Aula Teórica 8

Difusividade, Viscosidade, Fluxo difusivo e Tensões de corte e

Equação de Evolução

Taxa de Acumulação e Equação de Evolução

• A taxa de variação de uma propriedade num sistema material de dimensões infinitesimais é dada pela derivada total.

• Porque variam as propriedades? – Pelas fontes e poços ou porque a propriedade pode deslocar-

se por meios diferentes da velocidade (e.g. difusão, radiação),– Pelas fontes ou poços descritas nos princípios de conservação

(e.g. Forças no caso da quantidade de movimento).

?

j

j xu

tdtd

Equação de evolução

• A derivada convectiva resulta da divergência do fluxo convectivo (ou advectivo).

• Afinal o que é a difusão? É a consequência da definição de velocidade.

iojjj

j SSDxx

utdt

d

Definição de velocidade

• A figura representa moléculas de dois fluidos em repouso. A velocidade mede o volume de moléculas que passa por unidade de área.

• Se a velocidade for nula, o volume que passa num sentido é igual ao que passa no sentido contrário.

Cx Cx+∆x

Difusão

• Mas as moléculas têm movimento browniano e por isso - num fluido - estão sempre a mudar de posição relativa.

• Se as moléculas que estão de um lado da superfície forem iguais às que estão do outro lado, o saldo é estatisticamente nulo.

• Se a concentração for diferente, então existirá um saldo com um fluxo resultante orientado da concentração maior para a menor.

Fluxo difusivo por unidade de área

bllld ucc

lclcc lll

lcul bd

.

xc

dx

Na direcção “x”:

Equação de evolução

iojjj

j SSxxx

utdt

d

iojjj

j SSxxx

utdt

d

Porque motivo a equação da continuidade não tem fluxo difusivo?

Ou:

O caso da quantidade de Movimento

lu

x jj

A taxa de variação da quantidade de movimento é igual ao somatório das forças aplicadas e por isso o fluxo difusivo pode ser visto como uma força: É a força de atrito

A difusividade de quantidade de movimento chama-se viscosidade.

Viscosidade• A força de atrito aparece quando as moléculas que passam de

um lado para o outro da superfície têm velocidade diferente. • O gradiente que gera o atrito é por isso o gradiente de

velocidade. • Existindo gradiente de velocidade, as moléculas têm que ser

aceleradas ou desaceleradas. Como consequência vão alterar a sua quantidade de movimento. A variação da quantidade de movimento implica a existência de aceleração e a foça vai ser proporcional à massa. Por unidade de volume teremos:

•

su

su

Síntese• A tensão de corte é o fluxo difusivo de

quantidade de movimento.• A tensão de corte é tangente à velocidade e

origina um fluxo de quantidade de movimento perpendicular à velocidade, no sentido contrário do gradiente de velocidade.

• A velocidade tem 3 componentes e por isso o seu gradiente tem 9 (cada uma das 3 componentes pode variar nas 3 direcções do espaço).

O tensor das tensões

• A tensão de corte é por isso representada por um tensor com 9 componentes.

• A componente “i” da velocidade pode variar em qualquer das direcções “j” do espaço, dando origem a 3 forças. O conjunto das tensões é o tensor:

•

ji

• Pensemos num volume infinitesimal com a forma de um cubo e na componente “1” da velocidade (representada a verde).

• Esta componente pode varia na direcção “1”, na direcção “2” e na direcção “3”, dando origem respectivamente às tensões

;31;21;11

• Estas tensões actuam nas faces do cubo com normais nas direcções “1”, “2” e “3”. Existem duas faces para cada uma das direcções. A resultante das forças é a diferença entre as tensões que actuam em faces correspondentes, que por unidade de volume dá:

• A convenção de sinais é: o que entra é positivo.

1jjx

Como determinar as tensões?

• São proporcionais ao gradiente de velocidade,• Não pode haver efeito de pressão (a força é

tangencial):

• E o momento resultante sobre um volume de controlo tem que ser nulo (caso contrário teria aceleração angular).

0332211

Caso geral dyyx

O sistema de tensões segundo x criaria um binário. Para o equilibrar tem que haver outro binário equilibrado por tensões iguais segundo y.

yx

xy

dxxy

yxxy

Expressão geral da Tensão de corte

i

j

j

iji x

uxu

k

kij

i

j

j

iji x

uxu

xu

32

Quando i=j esta expressão dá a divergência da velocidade, que se o fluido for compressível tem que ser anulada. A expressão geral fica: