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Áreas e Volumes
TOPOGRAFIA
¨ A estimativa da área de um terreno pode ser determinada através de medições realizadas diretamente no terreno ou através de medições gráficas sobre uma planta topográfica.
¨ As áreas que realmente interessam em todos os trabalhos topográficos são as correspondentes à projeção horizontal do terreno.
¨ Um terreno plano e um inclinado podem ter a mesma área legal e administrativa, mesmo que as suas áreas reais sejam distintas.
Áreas e Volumes
¨ A área de um terreno pode ser estimada por vários processos:
¤ Processo geométrico (decomposição em figuras elementares)
¤ Processo analítico (coordenadas cartesianas dos vértices, média das alturas, trapézios, parábolas ou de Sympson, quadrículas)
¤ Processo mecânico (planímetros)
Áreas e Volumes
DECOMPOSIÇÃO EM FIGURAS ELEMENTARES
¨ Consiste em dividir a área a ser estimada em figuras geométricas conhecidas tais como: triângulos, quadriláteros, trapézios.
¨ Aplica-se quando os contornos são poligonais.
Áreas e Volumes
COORDENADAS CARTESIANAS DO VÉRTICE
¨ A área é calculada a partir das coordenadas cartesianas do contorno poligonal que limita o terreno.
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MÉTODO DA MÉDIA DAS ALTURAS
¨ AB = maior eixo y = rectas perpendiculares a AB
¨ A área pode ser estimada substituindo a figura por um retângulo de lados AB e Ym, cuja área = AB × Ym.
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MÉTODO DOS TRAPÉZIOS OU DE BEZOUT
¨ AB = maior eixo y = rectas perpendiculares a AB = bases dos trapézios; h = altura do trapézio/triângulo
Áreas e Volumes
MÉTODO DAS PARÁBOLAS OU DE SIMPSON
¨ Dividir a área num n.º de par de intervalos com o mesmo espaçamento
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MÉTODO DA QUADRÍCULA
¨ Consiste em sobrepor uma quadrícula de dimensões conhecidas sobre a figura da área a determinar e contar o número de quadrados inscritos nesta.
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PLANÍMETRO
¨ Instrumento que mede a área de uma região simplesmente percorrendo o contorno que a delimita e com base em princípios matemáticos sofisticados.
Áreas e Volumes
¨ O volume pode ser estimada por vários processos:
¤ Decomposição em troncos de cone
¤ Método aproximado
¤ Decomposição em formas simples (formas mais complexas)
¤ Método da área média
¤ Método exacto
¤ Método da média das áreas
Áreas e Volumes
DECOMPOSIÇÃO EM TRONCOS DE CONE
¨ Considere-se duas curvas de nível, sendo A1 e A2 áreas das figuras limitadas pelas curvas de nível.
¨ No caso de não ser possível medir M, pode-se tomar como estimativa:
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E – equidistância natural M – área da secção equidistante das bases A1 e A2
MÉTODO APROXIMADO
¨ Condições de aplicação: Superfícies laterais planas e verticais
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= base plana e horizontal
h = cota de trabalho = cota terreno - cota de projeto
DECOMPOSIÇÃO EM FORMAS SIMPLES
¨ Aplica-se a formas complexas e consiste em dividir estas em formas mais simples.
¨ Metodologia 1. Divide-se a área num conjunto de áreas elementares, escolhidas de modo a
que correspondam ou só a escavação (Es) ou só a aterro (At);
2. Determina-se para cada área, as cotas do terreno dos vértices;
3. Determina-se para cada vértice as cotas de trabalho (diferença entre as cotas do terreno e as cotas do projecto);
4. Volume correspondente a cada área elementar = S × hm
(V – Volume; S – Secção ou área da base; hm – Altura média)
5. Volume total (Es ou At) = soma algébrica dos volumes calculados anteriormente.
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MÉTODO DA ÁREA MÉDIA
¨ Cálculo do volume entre perfis: 1. Desenhar P1 2. Desenhar P2
3. Calcular A1 e A2
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MÉTODO EXACTO
¨ Se a geometria se aproxima de um prismóide sólido: ¤ Limitado por duas faces planas e paralelas (bases); ¤ Limitado por uma superfície gerada por uma reta que se apoia nas
bases;
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¤ l = distância entre bases ou altura do prismóide;
¤ A1, A2 = área das bases; Am = área da secção média (l/2)
Fórmula do prismóide
MÉTODO DA MÉDIA DAS ÁREAS
¨ Se as geratrizes do prismóide são paralelas;
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MÉTODO DA MÉDIA DAS ÁREAS
¨ No caso de perfis mistos:
Áreas e Volumes
MÉTODO DA MÉDIA DAS ÁREAS
¨ No caso de perfis mistos:
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BIBLIOGRAFIA
Fonte, Cidália C.. “Textos de apoio de Topografia”. Departamento de Matemática FCTUC, Universidade de Coimbra.
Freitas, Elisabete (2011). Apresentações teóricas no âmbito da disciplina de Topografia. Universidade do Minho.
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