Propagação de Incerteza em Medições

Propagação de Incertezaem Medições

Vitor F. [email protected]

2Copyright Vitor F. Pamplona

Problema

● Dois pontos quaisquer em um espaço 2D


Problema

4cm

● Calcular a distância entre eles

4cm


Problema

4cm

● Estes dois pontos possuem incertezas


Problema

● Propagar as incertezas para distância?

4 +- 0.5 cm


Conceitos: Acurácia e Precisão

● Acurácia● Proximidade do valor valor verdadeiroverdadeiro

● Precisão● Tamanho da dispersãodispersão


Conceitos: Erro e Incerteza

● Erro● É conhecidoÉ conhecido, logo o valor deve ser corrigido

● Incerteza● Não é conhecidoNão é conhecido, logo não é possível corrigí-lo.


Conceitos: Valores médios

● Valor verdadeiro

yv




● Valor médio verdadeiro

yv

ymv==limn∞

1n∑i=1

n

yi




● Valor médio verdadeiro

● Valor médio

yv

ymv==limn∞

1n∑i=1

n

yi

y=1n∑i=1

n

y i


Tipos de Erros

● Erros sistemáticos● Sempre o mesmo erroSempre o mesmo erro em todas as medidas● Podem ser reduzidos ou corrigidoscorrigidos

● Instrumental / Calibração● Ambiental ● Observacional● Teórico

yvy


Tipos de Erros

● Erros sistemáticos residuaisresiduais● Sempre o mesmo erro em todas as medidas● Não podem ser corrigidosNão podem ser corrigidos

yvy?


Tipos de Erros

● Erros estatísticosestatísticos● Erro varia em torno do valor médioem torno do valor médio● Se repeteSe repete entre conjuntos de leituras

● Incerteza tipo AIncerteza tipo A: estimadas estatisticamente● Incerteza tipo B: estimadas de outras formas

yv y


Incerteza Padrão

● Desvio padrãoDesvio padrão em relação ao valor verdadeiro em medições repetidas vezes

n k


Incerteza Padrão


n k

Valor médio do conjValor verdadeiro

p2=1k∑j=1

k

y j− yv2


Incerteza Padrão


n k


Incerteza estatísticaIncerteza sistemática residual

p2=m

2 r

2

p2=1k∑j=1

k

y j− yv2


p2=1k∑j=1

k

[ y j− j − j− yv]2

Incerteza Padrão


n k



p2=m

2 r

2

Valor médio do verdadeiro

p2=1k∑j=1

k

y j− yv2


p2=1k∑j=1

k

[ y j− j − j− yv]2

Incerteza Padrão



p2=1k∑j=1

k

[ y j− j − j− yv]2

Incerteza Padrão


p2=1k∑j=1

k

y j− j21k∑j=1

k

j− yv22 ...


p2=1k∑j=1

k

[ y j− j − j− yv]2

Incerteza Padrão


p2=1k∑j=1

k

y j− j21k∑j=1

k

j− yv22 ...

p2=m

2 r

2


p2=1k∑j=1

k

[ y j− j − j− yv]2

Incerteza Padrão


p2=1k∑j=1

k

y j− j21k∑j=1

k

j− yv22 ...

p2=m

2 r

2

m2=1k∑j=1

k

y j− j 2

r2=1k∑j=1

k

j− yv2


p2=1k∑j=1

k

[ y j− j − j− yv]2

Incerteza Padrão


p2=1k∑j=1

k

y j− j21k∑j=1

k

j− yv22 ...

p2=m

2 r

2

m2=1k∑j=1

k

y j− j 2

r2=1k∑j=1

k

j− yv2


● Desvio padrãoDesvio padrão em em medições repetidas vezes ● Desvio das médiasDesvio das médias

Incerteza Padrão

nk

p≈

n


Incerteza Relativa

● Um percentual da medidapercentual da medida

= p

y

y


4 +- 10%

Incerteza Relativa

● Um percentual da medidapercentual da medida

= p

y

y


Propagação de Incerteza

w=w x , y , z , ...

● Dado uma função



w=w x , y , z , ...


w=dist x1 , y1 , x2 , y2



w=w x , y , z , ...


● E que são grandezas experimentaisx , y , z , ...

x x y y z z



w=w x , y , z , ...


● E que são grandezas experimentais

● Como calcularComo calcular ?

x , y , z , ...

x x y y z z

w



w2=

∂w∂ x

2

x2

∂w∂ y

2

y2

∂w∂ z

2

z2...


Dedução da Propagação

x1 y1 z1 ...x2 y2 z2 ...... ... ... ...xn yn zn ...

● Dados as grandezas


x2=1n∑i=1

n

xi−x2


x1 y1 z1 ...x2 y2 z2 ...... ... ... ...xn yn zn ...

y2=1n∑i=1

n

y i− y2

z2=1n∑i=1

n

zi−z2

● Dados as grandezas

● E suas respectivas incertezas

Valor médio do verdadeiro



w1=w x1, y1, z1, ...w2=w x2, y2, z2, ...... ... , ... , ... , ...wn=w xn , yn , zn , ...

● Pode-se encontrar w i



w1=w x1, y1, z1, ...w2=w x2, y2, z2, ...... ... , ... , ... , ...wn=w xn , yn , zn , ...

● Pode-se encontrar

● E o valor médio verdadeiro para

w i

w

wmv=limn∞

1n∑i=1

n

wi



w i≈w x , y ,z , ...

∂w∂ x

xi−x ∂w∂ y

y i− y ∂w∂ z

zi−z...

● Cada pode ser expandido em potência de desvios

w i



w i≈w x , y ,z , ...

∂w∂ x

xi−x ∂w∂ y

y i− y ∂w∂ z

zi−z...

● Cada pode ser expandido em potência de desvios

● As derivadas de segunda ordem são desprezíveis se não houver covariânciase não houver covariância

w i



∑i=0

n

w i≈nw x ,y ,z , ... ∂w∂ x

∑i=0

n

xi−x

∂w∂ y

∑i=0

n

yi−y ∂w∂ z

∑i=0

n

zi−z ...

● A soma de , entãow i



∑i=0

n

w i≈nw x ,y ,z , ... ∂w∂ x

∑i=0

n

xi−x

∂w∂ y

∑i=0

n

yi−y ∂w∂ z

∑i=0

n

zi−z ...

● A soma de , então

● No infinito os três últimos se anulam

w i

wmv≈w x ,y ,z , ...



● Logo o desvio padrão de no infinito é

w2=limn∞

1n∑i=1

n

wi−wmv2

w



● Logo o desvio padrão de no infinito é

● Utilizando a série de potênciassérie de potências dos desvios

w2=limn∞

1n∑i=1

n

wi−wmv2

w

wi−wmv2≈

∂w∂ x

2

xi−x2

∂w∂ y

2

yi−y2

∂w∂ z

2

zi−z2...



● Aplicando o somatório

∑i=0

n

w i−wmv2=

∂w∂ x

2

∑i=0

n

x i−x2

∂w∂ y

2

∑i=0

n

y i−y2

∂w∂ z

2

∑i=0

n

zi−z2...

x2=1n∑i=1

n

xi−x2



● Substituindo o somatório pela incerteza

w2=

∂w∂ x

2

x2

∂w∂ y

2

y2

∂w∂ z

2

z2...



w2=

∂w∂ x

2

x2

∂w∂ y

2

y2

∂w∂ z

2

z2...


Covariância

xy2 ≈

1n−1∑i=1

n

x i−x y i− y

● Quanto duas variáveis mudam juntasmudam juntas● EstimadaEstimada através de


Prop. Incerteza com Covariância

w2=

∂w∂ x

2

x2

∂w∂ y

2

y2

∂w∂ z

2

z2 ...

2∂w∂ x

∂w∂ y

xy2 2

∂w∂ x

∂w∂ z

xz2

2∂w∂ y

∂w∂ z

xz2 ...

Perguntas?

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