Resultados de Resultados de Medições IndiretasMedições Indiretas

MotivaçãoMotivação

Como estimar a Como estimar a incerteza do valor de incerteza do valor de uma grandeza que é uma grandeza que é calculada a partir de calculada a partir de operações operações matemáticas com os matemáticas com os resultados de outras resultados de outras grandezas medidas?grandezas medidas?

b

c

A = b . c

u(A) = ?

± u(b)

± u(

c)

Medições indiretasMedições indiretas O valor do mensurando é determinado a O valor do mensurando é determinado a

partir de partir de operações matemáticasoperações matemáticas envolvendo resultados de envolvendo resultados de duas ou mais duas ou mais grandezas de entrada medidas grandezas de entrada medidas separadamenteseparadamente..

Exemplos:Exemplos: A área de um terreno calculada através do A área de um terreno calculada através do

produtoproduto entre sua entre sua larguralargura pelo seu pelo seu comprimentocomprimento..

Determinação da corrente elétrica Determinação da corrente elétrica multiplicandomultiplicando a queda de a queda de tensãotensão sobre um sobre um resistor pelo valor da sua resistor pelo valor da sua resistênciaresistência..

Considerações Preliminares:

O Modelo MatemáticoO Modelo Matemático

É necessário um modelo É necessário um modelo matemático que relacione as matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor grandezas de entrada com o valor do mensurando.do mensurando.

Exemplos:Exemplos: A = l . hA = l . h V = d / tV = d / t 2

122

122

12 )()()( zzyyxxd

D

y

P

P

x

x

y

z

z

X

Y

Z

Dependência estatística e correlaçãoDependência estatística e correlação

Duas variáveis aleatórias são Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente consideradas estatisticamente independentesindependentes ou ou não correlacionadasnão correlacionadas se as variações aleatórias da primeira se as variações aleatórias da primeira nãonão guardam nenhum tipo de guardam nenhum tipo de sincronismosincronismo com as da segunda. com as da segunda.

Exemplo:Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da a temperatura da água do mar na praia da

Joaquina e a cotação do Dólar.Joaquina e a cotação do Dólar.

Dependência estatísticaDependência estatística

Duas variáveis aleatórias são Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente consideradas estatisticamente dependentesdependentes ou ou correlacionadascorrelacionadas se as se as variações aleatórias da primeira variações aleatórias da primeira ocorrem de forma ocorrem de forma sincronizadasincronizada com as com as variações aleatórias da segunda.variações aleatórias da segunda.

Exemplos:Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Os valores em Real da cotação do Euro e do

Dólar.Dólar. A temperatura da água do mar em duas A temperatura da água do mar em duas

praias próximas.praias próximas.

Correlação diretaCorrelação direta

Na correlação Na correlação diretadireta as variações as variações estão sincronizadas de tal forma que:estão sincronizadas de tal forma que: (a) o (a) o aumentoaumento aleatório do valor da aleatório do valor da

primeira variável aleatória é primeira variável aleatória é acompanhado de um acompanhado de um aumentoaumento proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

(b) a (b) a reduçãoredução aleatória do valor da aleatória do valor da primeira variável aleatória é primeira variável aleatória é acompanhado de uma acompanhado de uma reduçãoredução proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

Correlação inversaCorrelação inversa

Na correlação Na correlação inversainversa as variações as variações estão sincronizadas de tal forma que:estão sincronizadas de tal forma que: (a) o (a) o aumentoaumento aleatório do valor da aleatório do valor da

primeira variável aleatória é primeira variável aleatória é acompanhado de uma acompanhado de uma reduçãoredução proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

(b) a (b) a reduçãoredução aleatória do valor da aleatória do valor da primeira variável aleatória é primeira variável aleatória é acompanhado de um acompanhado de um aumentoaumento proporcional da segunda variável.proporcional da segunda variável.

Analogia da Gangorra ...Analogia da Gangorra ...

AB

CAB

C

A e B possuem correlação direta

A e C possuem correlação inversa

B e C possuem correlação inversa

Coeficiente de CorrelaçãoCoeficiente de Correlação

YX

YXYX

.

),cov(),(

sendo(X,Y) o coeficiente de correlação entre X e Ycov(X, Y) a covariância entre X e YX o desvio padrão da variável aleatória XY o desvio padrão da variável aleatória Y

Estimativa do Coeficiente de Estimativa do Coeficiente de CorrelaçãoCorrelação

n

ii

n

ii

n

iii

yyxx

yyxxYXr

1

2

1

2

1

)(.)(

))((),(

sendor(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para X e Yxi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y

yex valores médios das variáveis X e Y n número total de pares de pontos das variáveis X e Y

Correlação direta e inversaCorrelação direta e inversa

Correlação direta perfeita:Correlação direta perfeita:

ρρ(X, Y) = +1,00(X, Y) = +1,00 Correlação inversa perfeita:Correlação inversa perfeita:

ρρ(X, Y) = -1,00(X, Y) = -1,00 Ausência total de correlaçãoAusência total de correlação

ρρ(X, Y) = 0,00(X, Y) = 0,00

Correlação entre múltiplas Correlação entre múltiplas variáveis aleatóriasvariáveis aleatórias

AB

CD

AB

CD

AA BB CC DD

AA +1+1 +1+1 -1-1 -1-1

BB +1+1 +1+1 -1-1 -1-1

CC -1-1 -1-1 +1+1 +1+1

DD -1-1 -1-1 +1+1 +1+1

Nas medições indiretas há boas Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando:chances de correlação quando:

Há erros sistemáticos consideráveis e Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de não compensados nas medições de ambas grandezas;ambas grandezas;

Uma mesma grandeza de influência age Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de fortemente em ambos processos de medição;medição;

Ambas grandezas são medidas pelo Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada.calibração ter sido realizada.

Nas medições indiretas há boas chances Nas medições indiretas há boas chances de de nãonão haver correlação se: haver correlação se:

Ambos os sistemas de medição foram Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas;correções estão sendo aplicadas;

Distintos sistemas de medição são Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar presente que possa afetar significativamente ambos os processos significativamente ambos os processos de medição.de medição.

Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza Combinada em Combinada em Medições não Medições não

Correlacionadas (MNC)Correlacionadas (MNC)

Caso Geral de MNCCaso Geral de MNC

),,,( 21 nXXXfG

22

22

2

11

2 )()()()(

n

n

XuX

fXu

X

fXu

X

f= Gu

iX

f

= coeficiente de sensibilidade

Podem ser calculados analitica ou numericamente

Exemplo: Adição de MNCExemplo: Adição de MNC

11 22

mT = m1 + m2

m1 = (1000 ± 6) g

m2 = (2000 ± 8) gu(mT) = 5 g

MNC

mT = (3000 ± 10) gu(m1) = 6/2,0 = 3 g

u(m2) = 8/2,0 = 4 g

U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g

2

22

2

11

2 )()(

)(

mu

m

fmu

m

f= mu T

2 54.13.1)( 222 = mu T

Exemplo: Subtração de MNCExemplo: Subtração de MNCmC = m2 – m1

m1 = (1000 ± 6) g

m2 = (2000 ± 8) g

u(mC) = 5 g

MNC

mC = (1000 ± 10) g

11 22

mC + m1 = m2

U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g

2

11

2

22

2 )()(

)(

mu

m

fmu

m

f= mu c

253.14.1)( 222 = mu C

Exemplo: Divisão de MNCExemplo: Divisão de MNC

V

R I

Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0) sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V.

R

VI u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω

u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V

222 )()()(

RuR

fVu

V

f= Iu

2

2

22 )()(.

1)(

RuR

VVu

R= Iu

R

VI

82 1 0.99 0 0)( = Iu

A 30 ,0 0 3 0 1 4 9 6)( Iu

RVef

RuRf

VuVf

Iu

44

4 )()()(

Cálculo do número de graus de Cálculo do número de graus de liberdade efetivosliberdade efetivos

ef

Valor da corrente elétrica:Valor da corrente elétrica:

U(I) = 2,000 . u(I)

U(I) = 2,000 . 0,003014963 = 0,006029925 A

I = (0,300 0,006) A

AR

V = I 3,0

A 30 , 0 0 3 0 1 4 9 6)( Iu

I = (300 6) mA

Na determinação da massa específica Na determinação da massa específica ((ρρ) de um material usou-se um processo ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:cada grandeza de entrada:

Exemplo: Caso Geral de MNCExemplo: Caso Geral de MNC

Medições RealizadasMedições Realizadas

D

h

Para a massa: Para a massa: m = (1580 m = (1580 ±± 22) g 22) gννm = 14m = 14

Para o diâmetro:Para o diâmetro:D = (25,423 D = (25,423 ±± 0,006) 0,006)

mmmmννD = ∞D = ∞

Para a altura:Para a altura:h = (77,35 h = (77,35 ±± 0,11) mm 0,11) mm

ννh = 14h = 14

Massa EspecíficaMassa Específica

D

h

),,( hDmf =

Vol

m =

hD

4m =

2

Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas.

A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student:

u(m) = U(m)/t14 = 22/2,195 = 10,023 gu(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mmu(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,195 = 0,0501 mm

Cálculo da incerteza combinadaCálculo da incerteza combinada222

2 )()()()(

hu

h

fDu

D

fmu

m

f= u

2

22

2

3

2

22 )(

4)(

8)(

4)(

huhD

mDu

hD

mmu

hD= u

1 12 1 0.7 ,9 6 7 6 5 2 56,0 1 8 9 3 9 8 696 5 1 5 ,8 1)( = u

3g/mm 50,00025676)( u

Cálculo do número de graus de Cálculo do número de graus de liberdade efetivosliberdade efetivos

14

.102,60706065-.109,49680992-

14

939.100,00025260000256765,0405-406-44-4

ef

3 3,1 4e f 1 9 5,2t

hDmef

huhf

DuDf

mumf

u

444

4 )()()()(

Valor da massa específica:Valor da massa específica:

U() = 2,195 . u()

U() = 2,195 . 0,000256765 = 0,000563598 g/mm3

= (0,04024 0,00056) g/mm3

m mg/ 0,040239 .77,35 )423(25. 1413

1580 4

.h D.

.m = 3

22566

,59,

.4

Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Combinada de Medições

Correlacionadas (MC)Correlacionadas (MC)

Caso GeralCaso Geral

), . . . ,,( 21 nXXXfG

iX

f

= coeficiente de sensibilidade

Pode ser calculado analitica ou numericamente

n

i

n

i

n

ijjiji

jii

i

XXrXuXuX

f

X

fXu

X

fGu

1

1

1 1

2

2

2 ),().().(2)()(

jiji XeXe n t r ec o r r e la ç ã od eec o e f ic ie n tXXr ),(

Medições correlacionadas e não Medições correlacionadas e não correlacionadascorrelacionadas

Para múltiplos termos:Para múltiplos termos:A B

CD

G = A + B + C + D

rr AA BB CC DD

AA +1+1 -1-1 00

BB +1+1 -1-1 00

CC -1-1 -1-1 00

DD 00 00 00

Medições correlacionadas e não Medições correlacionadas e não correlacionadascorrelacionadas

),().().(2),().().(2),().().(2

),().().(2),().().(2),().().(2

)()()()()( 22

22

22

22

2

DCrDuCuD

f

C

fDBrDuBu

D

f

B

fCBrCuBu

C

f

B

f

DArDuAuD

f

A

fCArCuAu

C

f

A

fBArBuAu

B

f

A

f

DuD

fCu

C

fBu

B

fAu

A

fGu

Medições correlacionadas e não Medições correlacionadas e não correlacionadascorrelacionadas

0).().(20).().(2)1).(().(2

0).().(2)1).(().(21).().(2

)()()()()( 22222

DuCuDuBuCuBu

DuAuCuAuBuAu

DuCuBuAuGu

)() .(2)() .(2)() .(2)()()()()( 22222 CuBuCuAuBuAuDuCuBuAuGu

)()()()()( 222 DuCuBuAuGu

Correlação parcialCorrelação parcial)(2),( s i nhhfG

com r(h, α) = -0,5

),().().(2)()()( 22

2

2

2

hruhuf

h

fu

fhu

h

fGu

)5,0).(().())cos(2))(sin(2(2)()cos(2)()sin(2)( 22222 uhuhuhhuGu

)().(.)cos()sin()(.)(cos)(.)(sin4)( 222222 uhuhuhhuGu

Bibliografia Bibliografia

Albertazzi, A., Souza, A. R. “FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA Albertazzi, A., Souza, A. R. “FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA E INDUSTRIAL”. 407p., Editora Manole, 2008.E INDUSTRIAL”. 407p., Editora Manole, 2008.

Guia para Expressão da Incerteza de Medição (Guide to the Guia para Expressão da Incerteza de Medição (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) – Inmetro, Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) – Inmetro, 20032003

SI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADESSI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADEShttp://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf

VIM 2008 - VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIAVIM 2008 - VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIAhttp://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/VIM_2310.pdf