Calculo de incerteza

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ESTIMATIVADAINCERTEZAConfiabilidadedasMedies C fi bilid d d M di

As informaes de bom curso devem ser objetivas e diretas !!!!!!!!

So Paulo -2009

WalterLink 1

Roteiro1- Benefcios 2- Conceitos 2 C it 3- Formulao matemtica 44 Estatstica bsica 5- Tipos de incertezas 6- Distribuio de probabilidades 7- Fontes das incertezas 8 8- Passo a passo 9- Aplicaes 10- UFA!!!!!!! Walter Link walter link@uol com br walter_link@uol.com.br - 84 - 94314182So Paulo -2009 2

introduo

A

necessidade id d

de d

os

laboratrios l b t i

de d

ensaios i

e

calibrao lib

apresentarem seus resultados com estimativa de incerteza gerou a elaborao do Guia para Expresso da Incerteza de Medio da ISO (International Organization for Standardization) ISO GUM 1995. Mas em muitos casos, principalmente na rea de ensaios, a metodologia proposta no se tem mostrada a mais adequada ou vivel, seja pelas condies inerentes aos ensaios quer pela complexidade dos clculos envolvidos. envolvidosSo Paulo -2009 3

introduoPor estas razes est sendo apresentada, pela verso ISO GUM 2005, formas alternativas para o clculo da incerteza de medio. A forma alternativa proposta o uso do mtodo de Monte Carlo, que embora bastante badalado no de todo simples e de fcil aplicao. A p p principal razo dessa mudana , muitas vezes, a presena de grandezas de influncia do tipo B e este fato induz a um resultado nem sempre correto ao intervalo atribudo incerteza. A base para a aplicao da simulao de Monte Carlo no clculo da incerteza consiste em obter aleatoriamente um nmero grande possveis valores para uma grandeza de entrada com uma influncia.So Paulo -2009 4

de dada

distribuio e repetir o procedimento para cada grandeza de entrada ou

introduoA publicao UKAS M3003 The Expression of Uncertainty and

Confidence 2007, sugere a aplicao do mtodo da convoluo entre a incerteza normal e a incerteza do tipo B dominante com alternativa ao mtodo de Monte Carlo.

As diferenas entre os estes mtodos sero apresentadas no fim do trabalho.

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INCERTEZA DE MEDIO

Quantos tipos de rudos voc conhece?

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INCERTEZA DE MEDIOBenefciosMede a qualidade de um resultado usurios podem escolher a relao custo/qualidade apropriado laboratrios podem escolher o melhor mtodo, otimizando tambm o equilbrio entre custo e qualidade. q q Torna mais eficiente o uso de um resultado apresentao correta do resultado, com um nmero adequado de algarismos significativos, evidenciando sua credibilidade melhor interpretao dos resultados, levando em conta sua incerteza.

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INCERTEZA DE MEDIOBenefciosPermite efetiva comparao entre resultados de diferentes laboratrios (na indstria e na intercomparao) no laboratrio (coerncia interna - auditorias) com valores de referncia de normas ou especificaes (para (para, p.ex., anlise de conformidade) Permite identificar pontos fracos e crticos nos mtodos, possibilitando (quando vivel) a melhoria dos mesmos p (q )

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INCERTEZA DE MEDIO O que ocorre em uma medio ? Oqueocorreemumamedio?Toda medio envolve de certa maneira aes, ajustes, condicionamentos e registros das indicaes de um instrumento. Este conjunto de informaes utilizado para obter o valor de uma grandeza (mensurando) a partir das grandezas de entrada

X1, X2, X3, ...Xn atravs de uma funo f .

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INCERTEZA DE MEDIO Esta definio sintetizada pela figura 1, onde: X1mensurando

YModelo matemtico

f

X2 Xn

Figura 1 - Modelo sinttico de uma medio Y f Xi grandeza grande a de sada (interesse) funo de transferncia (modelo matemtico do experimento) grandezas de entrada (influncia) Formalmente pode se escrever Y = f(X1, X2, X3,..... Xn) pode-seSo Paulo -2009

-11 1.110

INCERTEZA DE MEDIO Se fosse s isso seria fcil determinar o valor de uma grandeza Na prtica, porm, o conhecimento das variveis ou

grandezas de influncia nem sempre so completas e assim necessrio falar-se de incerteza do valor obtido. por isso que o resultado de uma medida no pode ser expresso por um simples nmero. H um intervalo ou conjunto de valores associados ao resultado da que podem ser

medio. A amplitude deste medio.

q medida. intervalo um bom avaliador da qualidade da medida.So Paulo -2009 11

INCERTEZA DE MEDIOMedir Comparar !!Errodezero

P

tp tmErrodegravao

M

M = P

+ E1 + E2 + E3 + E4

No fcil ?So Paulo -2009

0,6 ou 0,712

Errodeleitura

INCERTEZA DE MEDIO

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INCERTEZA DE MEDIOFERRAMENTAS ESTATSTICASMdia aritmtica (X): representa a tendncia central de um conjunto de ( ) p j n dados amostrais

x + x + ........ + xn x= 1 2 = nProblema: Sensvel a valores extremos

xi =1

i

n

Mediana: mdia dos dois valores centrais de um conjunto de valores ordenados em ordem crescente quando o nmero de dados for par e o valor que divide a amostra em dois subconjuntos iguais. 2,1-2,3-2,4-/2,4-2,5/-2,5-2,6-2,6 2 1 2 3 2 4 /2 4 2 5/ 2 5 2 6 2 6 mediana = (2 4+2 5)/2=2 45 (2,4+2,5)/2=2,45 mediana = 2,414

2,1-2,3-2,4-/2,4/-2,5-2,5-2,6So Paulo -2009

INCERTEZA DE MEDIODesvio padro: medida mais conhecida de um conjunto de resultados em relao mdia

s=

(x

i

x

)

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n 1

Intervalo de confiana:utilizando a distribuio de Student, pode-se fazer inferncia sobre a mdia, quando o valor do desvio padro da populao desconhecido atravs do intervalo de confiana desconhecido, calculado por:

= x tn 1

s n

Sendo a mdia da populao, n o nmero de medies e tn-1 o valor crtico de t tabelado com n-1 graus de liberdade e determinado nvel de confiana.So Paulo -2009 15

INCERTEZA DE MEDIOExemplo: 0,530 0,541 0,531 0,550 0,530 0,541 n-1 = 5 1 tn-1(95%) = 2 571 2,571 = 0,537 0,008 Este resultado significa que se tem uma chance de 95% de que esteja no intervalo 0,529 e 0,545 Teste de significncia: quando for necessrio decidir se um mtodo de medio melhor que outro utiliza se hiptese de que no h utiliza-se diferena entre eles, isto , quaisquer diferenas so devidas a erros aleatrios no processo metrolgico. Esse tipo de hiptese denominado hi t d i d hiptese nula (E l (Ex.: H0: mtodo A = mtodo B) os t d t d processos que habilitam a decidir se uma hiptese nula ser aceita ou rejeitada so os testes de significncia.So Paulo -2009 16

INCERTEZA DE MEDIOComparao de uma mdia experimental com um valor verdadeiro (): neste caso se assume que qualquer diferena entre um valor real e um valor medido devida somente a erros aleatrios e a probabilidade que tal diferena se origina de erros aleatrios, e dada d d por:

n tn 1 = x sSe o valor calculado tn-1 exceder certo valor crtico tabelado de t a hiptese rejeitada, ou seja, as medias so diferentes. p j j

(

)

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INCERTEZA DE MEDIOComparao de duas mdias: para comparar os resultados de duas metodologias (ou o desempenho de dois tcnicos). Neste caso tem-se duas mdias e se verifica se ambas no diferem significativamente. Se os d i dois grupos ti tiverem d desvios padro similares, calcula-se i d i il l l inicialmente, uma estimativa combinada de s a partir dos desvios padro individuais s1 e s2 atravs de:

s=

(n1 1)s12 + (n2 1)s22 (n1 + n2 2)

em que (n1-1) e (n2-1) so os graus de liberdade de cada conjunto de valores O valor de t dado por: valores.

t=

(x x )1 2

s 1 + 1 n n2 1

Sendo que t tm (n1+n2-2) graus de liberdade. Novamente, se o valor calculado d t exceder o valor crtico t b l d a hi t l l d de d l ti tabelado, hiptese nula l rejeitada. So Paulo -2009

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INCERTEZA DE MEDIOTeste F para comparao de desvios padro: considera a relao entre as varincias de duas medies isto a razo entre medies, , os quadrados dos desvios padro que calculada por:

s F= s

2 1 2 2

Os valores de s1 e s2 so alocados na equao de modo seja sempre maior que 1. Se o valor calculado exceder um determinado valor tabelado a hiptese nula rejeitada.

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INCERTEZA DE MEDIOTeste emparelhado: para comparar duas tcnicas de medio avaliando amostras que tem a caracterstica medida significativamente diferente e cujos desvios padro no so iguais. Neste caso aplica-se o teste t emparelhado. Se o valor calculado de t exceder o valor tabelado a hiptese nula rejeitada. O clculo de t dado por:

t = dt

n sd

em que dt a diferena entre as mdias dos resultados obtidos por duas tcnicas diferentes e sd o desvio padro das diferenas entre cada par de medidas e t tem n-1 graus de liberdade.

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INCERTEZA DE MEDIOOUTLIERS: todo tcnico deve saber como tratar um valor OUTLIERS : de um conjunto de dados que difere, aparentemente sem razo, de outros valores medidos. Tal valor chamado de discrepante (outlier) O teste Q de Dixon usado para (outlier). analisar este valor suspeito:

Q=

(Maior Valor Menor Valor )

(V

suspeito

Vmais prximo )

O valor calculado comparado com um valor crtico tabelado e se exceder tal valor o dado suspeito excludo.

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INCERTEZA DE MEDIOConceitos intuitivosIncerteza I t parmetro associado ao resultado para caracterizar a disperso dos valores vlidos di d l lid30000 20000 15000 10000 5000 0So Paulo -2009

Valores Verdadeiros ??

estimativa do intervalo em que deve estar o 25000 valor verdadeiro

Mdia

14182226303438424650545822

Incertez