Apostila de Calculo

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Medianeira UTFPR UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN Campus Medianeira PR Departamento de Engenharia ___________________ Curso: ENGENHARIA ___________________ CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 2011/2 Agosto, 2011UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 2 CONJUNTOS NUMRICOS Osprimeirosnmerosconhecidosforamosnmeroscontveis,ouseja,oconjuntodos Nmeros Naturais, representado por IN, isto : N = {0, 1, 2, 3, ...} A = {x / x N} Asoperaescomosnmerosnaturaisforamresponsveispelacriaodosnmeros negativos, assim: x + a = b => x = b a, onde a e b so nmeros naturais. Estesnmeros,juntamentecomosnmerosnaturaisformamoconjuntodosNmeros Inteiros, representado por Z, isto : Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} A = {x / x Z} A resoluo de equaes do tipo bx = a =>bax =comaebnmerosinteirosondeb0,podelevaraosurgimentodenmerosnointeiros.Desta forma,osnmerosdaforma bacomaebnmerosinteiroseb0formamumconjuntode nmeros,denominadoNmerosRacionais,representadoporQ.Eosnmeros(fraes)decimais infinitos no peridicos so denominados Nmeros Irracionais, representados por I. So exemplos de nmeros irracionais: , e,2 ,3 ,5 , ... Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribudos nmeros. Temos, ento que, areunio dos nmeros racionais comos nmeros irracionais se denomina conjunto dos Nmeros Reais, representado por R. Comooclculoenvolvenmerosreais,vejamosalgumasdefiniesepropriedades fundamentais destes nmeros, embora no tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades so tiradas dos axiomas e teoremas. UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 3 1) Comutativa: a, b R=> =+ = +a b b aa b b a 2) Associativa: a, b e c R=> =+ + = + +c b a c b ac b a c b a) ( ) () ( ) ( 3) Existncia de elemento neutro: = = = + = + a a a R R aa a a R R a1 1 / 1 ,0 0 / 0 , 4) Elemento oposto: 0 ) ( ) ( / ) ( , = + = + a a a a R a R a5) Elemento inverso: 1 ) ( ) ( / ) ( ,1 1 1= = a a a a R a R a6) Distributiva: c a b a c b a R c b a + = + ) ( , , INTERVALOS NUMRICOS Intervalossoconjuntosinfinitosdenmerosreais.Geometricamente,correspondema segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, se a < b, ento o intervalo aberto de a at b, denotado por (a , b), o segmento de reta que se estende de a at b, excluindo-se os extremos; e o intervalo fechado de a at b, denotado por [a , b], o segmento de reta que se estende de a at b, incluindo-se os extremos. Estes intervalos podem ser expressos na notao de conjuntos como (a , b) = {x R /a < x < b} [a , b] = {x R /a < x < b} .Umintervalopodeincluirumextremo,masnooutro.Estesintervalossochamadossemi-abertos(ou,algumasvezes,semi-fechados).Almdisso,possvelumintervaloestender-se indefinidamenteemumaouemoutradireo,escrevemos+nolugardoextremodireito,epara indicar que o intervalo se estende indefinidamente na direo negativa, escrevemos -, no lugar do extremoesquerdo.Osintervalosqueseestendementredoisnmerosreaissochamadosde intervalosfinitos,enquantoqueosqueseestendemindefinidamenteemumaouemambasas direes so chamados de intervalos infinitos. Notao de intervaloNotao de conjuntoRepresentao geomtrica [a , b]{x R /a < x < b} [a , b[{x R /a < x < b} ]a , b[{x R /a < x < b} ]- , b]{x R /x < b} ]a , [{x R /x > a} ]- , [{x / x R} UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 4 FUNES SITUAES - PROBLEMA Identifique as variveis envolvidas em cada situao e analise a veracidade das afirmaes: 1-Areadeumcrculodependedamedidadoraiodacircunferncia.Isto,A=r.Portanto, dizemos que A uma funo de r. 2- A populao P de um pas depende do tempo t. Isto , com o passar do tempo a populao pode aumentar ou diminuir, ento, dizemos que P funo de t. 3-Duranteumaviagemdeautomvelfeitaumatabelaassociandoacadahoraadistncia percorridapelocarrodesdeoinciodopercurso,medidaemquilmetrosmarcadosnoodmetro. Isso significa que a distncia percorrida funo do tempo gasto no percurso.t d 80 = 5-Amedidadoladodeumquadradodeterminasuarea,isto,areadoquadradofunoda medida do lado, ou seja, 2l = A . Definio: Uma funo f uma lei (uma relao) para a qual cada elemento x de um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. Exemplos: a)b) c)d) Otermofunosignificaquehumacorrespondncianicaeexprimeumarelaode dependncia entre as grandezas. Na prtica, identificamos as grandezas com seus valores e dizemos que a varivel y funo davarivelx.Muitasvezes,traduzimosaexpressoyfunodexpor:ydependedex;x determina y ou ainda a cada x associado um nico y. Muitas situaes reais envolvem vriasgrandezas. Para expressarmos uma das grandezas em funodaoutra,necessriofixar(considerarconstantes)asdemais.Assim,ogrficodeuma funoy= f(x), oconjunto dos pares ordenados (x, f(x)), e para cada valor de xexiste um nico correspondente f(x). AB 1 3 5 1 3 5 A B 2 -3 1 5 A B 1 3 -3 1 4 9 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 5 DOMNIO E IMAGEM DE UMA FUNO Paraidentificarmosodomniodeumafunoy=f(x),analisamososvaloresqueavarivel independente pode assumir, isto , se ela tem alguma restrio ou no. O domnio de uma funo ointervalorepresentadopelaprojeodogrficosobreoeixodasabscissas.Eaimagemo intervalo representado pela projeo do grfico sobre o eixo das ordenadas. CLASSIFICAO DAS FUNES As funes so classificadas em: inversas e diretas as Hiperbliclginversas e diretas ricas Trigonomtas Logartmicl Exponenciantes Transcendes Irracionaias FracionriInteirasRacionaiss Polinomiaibricas A Alguns exemplos de grficos de funes: Funo do 1 grau. f(x) = ax + b * O grfico corta o eixo y em b. * Se, a > 0, a funo crescente e o grfico inclinado p/ direita. * Se, a < 0, a funo decrescente e o grfico inclinado p/ esquerda. y = -x + 1y = x 1 y I y1 M y0 Ay2 G Ey3 M x0x1 x2x3x DOMNIO UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 6 Funo do 2 grau. f(x) = ax + bx + c * O grfico corta o eixo y em c. * Se, a > 0, a parbola tem concavidade para cima. * Se, a < 0, a parbola tem concavidade para baixo. * abxv2=e ayv4 = Funo Polinomial f : R > R definida por f(x) = anxn + an1xn 1 +... + a0, com ai, i = 0; 1;... ; n, constantes reais, an0,nNenograudopolinmio.Asfunesconstante,identidade,linearesequadrticas so exemplos de funes polinomiais. Exemplos)y = x3 xy = x4 5x + 4

Funo Modular: O mdulo de um n dado por < >=0 ,0 ,| |x se xx se xxExemplo 1) f(x) = | x + 1| = < +1 , 11 , 1x se xx se x y = x2 + 2x 3y = -x 2x + 3 a > 0 a < 0 UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 7 Exemplo2) y = | x 4| = < < + 2 2 , 42 2 , 422x se xx ou x se x Exemplo 3) f(x) = -| x 2| = < + 2 , 22 , 2x se xx se x FunesRacionais:Sofunesdefinidascomooquocientededuasfunespolinomiais,isto, ) () () (x qx px f = , onde q(x) 0. O domnio da funo racional o conjunto dos reais excluindo todos os valores de x tais que q(x) 0:

UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 8 FUNES TRANSCENDENTES FunesExponenciais:Dadoumnmeroreala,talquea>0ea1,chamamosfuno exponencial de base a a funo f de R em R que associa a cada x real o nmero ax. f : R Rf(x) = k ax + b, com k e b R, sendo y = b assntota horizontal. Funes Logartmicas: Considerando-se dois nmeros x e a reais e positivos com a 1, a > 0 ex>0,existesempreumnmeroytalque:ay=x.Aesseexpoenteydamosonomede logaritmo de x na base a e definimos como:y = loga (x) ay = x De modo geral: y = k loga (x) + b, em que k e b R, sendo x = b assntota vertical.

FunesTrigonomtricas:Dadoumngulo,cujamedidaemradianosx,chamamosdefuno seno ou cosseno a funo que associa a cada x pertencente a R e indicamos: f(x) = sen(x) ou f(x) = cos(x). D = RIm = [-1,1]. Genericamente escreve-se: f(x) = a sen(bx + c) + d ou f(x) = a cos(bx + c) + d A funo peridica e o perodo bP 2=UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 9 b => a frequencia da funo d => o deslocamento vertical c => o deslocamento horizontal f(x) = 2sen(x) + 1) cos() () (xx senx tg y = =D = R;A = 2;im = [-1, 3])` + = Z k k x R x D ,2/ Exemplo 1) Analise o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo y = 2x + 4. Soluo: Neste caso no h nenhuma restrio para a varivel x, que a varivel independente, portanto: D = {x R / x = R} ou D = R Im = {y R / y = R}ou Im = R y = tg(x) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 10 Exemplo 2) Analise o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo 21+=xy . Soluo: Aqui temos uma funo racional, isto , a varivel independente est no denominador. A restrio que temos que: x + 2 0 => x -2 D = {x R / x -2} ou D = R {2} Im = {y R / y = R*} Exemplo 3) Analise o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo4 2 = x y . Soluo: Neste caso, temos uma funo irracional, isto , a varivel est no radicando. A restrio que: 2x 4 0 => x 2 D = { x R / x 2} ou D = [2 , ) Im = {y R / y 0} ou Im = [0 , ) Exemplo 4) Analise o domnio, a imagem e esboce o grfico da funo y = x + 5. Soluo: Aqui temos que: 5 + = x yx + 5 0 => x -5 D = { x R / x -5}ou D = [-5 , ) Im = {y R / y = R} ou Im = R ou Im = (- , ) UTFPR Universidade Tecnolgica Federal do Paran Campus Medianeira 11 EXERCCIOS 1) Analise as seguintes funes determinando o domnio, a imagem e esboo do grfico. a) y = 8 5 x b) y =x216 c) y =x x25 4 +d) y =5 x12 e) xx f2) ( =f)821) (2 = x x fg) f(x) = 6 5x + x h) y = ex + 1

i) f(x) = 2sen(x) j) f(x) = sen(2x) k) y = 3cos(x) l) f(x) = cos(3x) PROPRIEDADES DAS FUNES Funo Injetora UmafunofdeAemBinjetorase,esomentese,doiselementosdistintosquaisquerdo domnio de f possuem imagens distintas em B. Sendo x1 A e x2 A, temos: x1 x2,f(x1) f(x2). Funo Sobrejetora Uma funo f de A em B sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B, onde B CD(f ). Funo Bijetora Uma funo f de A e