Apostila de Calculo

Medianeira

UTFPR – UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Medianeira – PR Departamento de Engenharia ___________________ Curso: ENGENHARIA ___________________

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 – 2011/2

Agosto, 2011

UTFPR – Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Medianeira

2

CONJUNTOS NUMÉRICOS

Os primeiros números conhecidos foram os números contáveis, ou seja, o conjunto dos Números Naturais, representado por IN , isto é:

N = {0, 1, 2, 3, ...}

A = {x / x ∈ N}

As operações com os números naturais foram responsáveis pela criação dos números negativos, assim:

x + a = b => x = b – a,

onde a e b são números naturais.

Estes números, juntamente com os números naturais formam o conjunto dos Números Inteiros, representado por Z, isto é:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

A = {x / x ∈ Z}

A resolução de equações do tipo

bx = a => b

ax =

com a e b números inteiros onde b ≠ 0, pode levar ao surgimento de números não inteiros. Desta

forma, os números da forma b

a com a e b números inteiros e b ≠ 0 formam um conjunto de

números, denominado Números Racionais, representado por Q. E os números (frações) decimais infinitos não periódicos são denominados Números Irracionais, representados por I . São exemplos

de números irracionais: π, e, 2 , 3 , 5 , ...

Observando a reta numerada, vemos que a todos os pontos foram atribuídos números. Temos, então que, a reunião dos números racionais com os números irracionais se denomina conjunto dos Números Reais, representado por R.

Como o cálculo envolve números reais, vejamos algumas definições e propriedades fundamentais destes números, embora não tenhamos interesse em mostrar como estas propriedades são tiradas dos axiomas e teoremas.


3

1) Comutativa: ∀a, b ∈ R =>

=+=+

abba

abba

2) Associativa: ∀ a, b e c ∈ R =>

=++=++

cbacba

cbacba

)()(

)()(

3) Existência de elemento neutro:

=⋅=⋅∈∃∈∀=+=+∈∃∈∀

aaaRRa

aaaRRa

11/1,

00/0,

4) Elemento oposto: 0)()(/)(, =+−=−+∈−∃∈∀ aaaaRaRa

5) Elemento inverso: 1)()(/)(, 111 =⋅=⋅∈∃∈∀ −−− aaaaRaRa

6) Distributiva: cabacbaRcba ⋅+⋅=+⋅⇒∈∀ )(,,

INTERVALOS NUMÉRICOS

Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente, correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, se a < b, então o intervalo aberto de a até b, denotado por (a , b), é o segmento de reta que se estende de a até b, excluindo-se os extremos; e o intervalo fechado de a até b, denotado por [a , b], é o segmento de reta que se estende de a até b, incluindo-se os extremos.

Estes intervalos podem ser expressos na notação de conjuntos como

(a , b) = {x ∈ R / a < x < b}

[a , b] = {x ∈ R / a < x < b}

. Um intervalo pode incluir um extremo, mas não outro. Estes intervalos são chamados semi-abertos (ou, algumas vezes, semi-fechados). Além disso, é possível um intervalo estender-se indefinidamente em uma ou em outra direção, escrevemos +∞ no lugar do extremo direito, e para indicar que o intervalo se estende indefinidamente na direção negativa, escrevemos -∞, no lugar do extremo esquerdo. Os intervalos que se estendem entre dois números reais são chamados de intervalos finitos, enquanto que os que se estendem indefinidamente em uma ou em ambas as direções são chamados de intervalos infinitos.

Notação de intervalo Notação de conjunto Representação geométrica

[a , b] { x ∈ R / a < x < b}

[a , b[ { x ∈ R / a < x < b}

]a , b[ { x ∈ R / a < x < b}

]-∞ , b] {x ∈ R / x < b}

]a , ∞[ { x ∈ R / x > a}

]- ∞ , ∞[ { x / x ∈ R}


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FUNÇÕES SITUAÇÕES - PROBLEMA Identifique as variáveis envolvidas em cada situação e analise a veracidade das afirmações: 1- A área de um círculo depende da medida do raio da circunferência. Isto é, A = πr². Portanto, dizemos que A é uma função de r. 2- A população P de um país depende do tempo t. Isto é, com o passar do tempo a população pode aumentar ou diminuir, então, dizemos que P é função de t. 3- Durante uma viagem de automóvel é feita uma tabela associando a cada hora a distância percorrida pelo carro desde o início do percurso, medida em quilômetros marcados no odômetro. Isso significa que a distância percorrida é função do tempo gasto no percurso. td 80= 5- A medida do lado de um quadrado determina sua área, isto é, a área do quadrado é função da

medida do lado, ou seja, 2l=A .

Definição: Uma função f é uma lei (uma relação) para a qual cada elemento x de um conjunto A faz corresponder exatamente um elemento chamado f(x), em um conjunto B. Exemplos: a) b) c) d) O termo função significa que há uma correspondência única e exprime uma relação de dependência entre as grandezas. Na prática, identificamos as grandezas com seus valores e dizemos que a variável y é função da variável x. Muitas vezes, traduzimos a expressão y é função de x por: y depende de x; x determina y ou ainda a cada x é associado um único y. Muitas situações reais envolvem várias grandezas. Para expressarmos uma das grandezas em função da outra, é necessário fixar (considerar constantes) as demais. Assim, o gráfico de uma função y = f(x), é o conjunto dos pares ordenados (x, f(x)), e para cada valor de x existe um único correspondente f(x).

A B

1 3 5

1 3 5

A B

2 -3

1 5

A B

1 3 -3

1 4 9


5

DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO

Para identificarmos o domínio de uma função y = f(x), analisamos os valores que a variável independente pode assumir, isto é, se ela tem alguma restrição ou não. O domínio de uma função é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas. E a imagem é o intervalo representado pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas.

CLASSIFICAÇÃO DAS FUNÇÕES As funções são classificadas em:

••••

•

•

••

•

•

•

inversasediretasasHiperbólic

lg

inversasediretasricasTrigonomét

asLogarítmic

lExponencia

ntesTranscende

sIrracionai

asFracionári

InteirasRacionais

sPolinomiai

ébricasA

Alguns exemplos de gráficos de funções:

Função do 1º grau. f(x) = ax + b

* O gráfico corta o eixo y em b.

* Se, a > 0, a função é crescente

e o gráfico é inclinado p/ direita.

* Se, a < 0, a função é decrescente

e o gráfico é inclinado p/ esquerda.

y = -x + 1 y = x – 1

y I y1 M y0 A y2 G E y3 M

x0 x1 x2 x3 x DOMÍNIO


6

Função do 2º grau. f(x) = ax² + bx + c

* O gráfico corta o eixo y em c.

* Se, a > 0, a parábola tem concavidade para cima.

* Se, a < 0, a parábola tem concavidade para baixo.

* a

bxv 2

−= e a

yv 4

∆−=

Função Polinomial

f : R ––> R definida por f(x) = anxn + an–1x

n – 1 + ... + a0, com ai, i = 0; 1; ... ; n, constantes reais, an ≠ 0, n ∈ N e n é o grau do polinômio. As funções constante, identidade, lineares e quadráticas são exemplos de funções polinomiais.

Exemplos) y = x3 – x y = x4 – 5x² + 4

Função Modular: O módulo de um nº é dado por

<−>

=0,

0,||

xsex

xsexx

Exemplo 1) f(x) = | x + 1| =

−<−−−≥+

1,1

1,1

xsex

xsex

y = x2 + 2x – 3

y = -x² – 2x + 3

a > 0

a < 0


7

Exemplo2) y = | x² – 4| =

<<−+−

≥−≤−

22,4

22,42

2

xsex

xouxsex

Exemplo 3) f(x) = -| x – 2| =

<−≥+−

2,2

2,2

xsex

xsex

Funções Racionais: São funções definidas como o quociente de duas funções polinomiais, isto é,

)(

)()(

xq

xpxf = , onde q(x) ≠ 0. O domínio da função racional é o conjunto dos reais excluindo todos

os valores de x tais que q(x) ≠ 0:


8

FUNÇÕES TRANSCENDENTES

Funções Exponenciais: Dado um número real “a” , tal que a > 0 e a ≠ 1, chamamos função exponencial de base “a” a função f de R em R que associa a cada “x” real o número ax. f : R → R f(x) = k ax + b, com k e b ∈ R, sendo y = b assíntota horizontal.

Funções Logarítmicas: Considerando-se dois números “x” e “a” reais e positivos com a ≠ 1, a > 0 e x > 0, existe sempre um número “y” tal que: ay = x. A esse expoente “y” damos o nome de logaritmo de “x” na base “a” e definimos como:

y = loga (x) ⇔⇔⇔⇔ ay = x

De modo geral: y = k loga (x) + b, em que k e b ∈ R, sendo x = b assíntota vertical.

Funções Trigonométricas: Dado um ângulo, cuja medida em radianos é x, chamamos de função seno ou cosseno a função que associa a cada x pertencente a R e indicamos:

f(x) = sen(x) ou f(x) = cos(x).

D = R Im = [-1,1].

Genericamente escreve-se: f(x) = a sen(bx + c) + d ou f(x) = a cos(bx + c) + d

A função é periódica e o período é b

Pπ2=


9

b => é a frequencia da função

d => é o deslocamento vertical

c => é o deslocamento horizontal

f(x) = 2sen(x) + 1 )cos(

)()(

x

xsenxtgy ==

D = R; A = 2; im = [-1, 3]

∈∀+≠∈= ZkkxRxD ,

2/ ππ

Exemplo 1) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y = 2x + 4.

Solução: Neste caso não há nenhuma restrição para a variável x, que é a variável independente, portanto:

D = {x ∈ R / x = R} ou D = R

Im = {y ∈ R / y = R} ou Im = R

y = tg(x)


10

Exemplo 2) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 2

1

+=

xy .

Solução: Aqui temos uma função racional, isto é, a variável independente está no denominador. A restrição que temos é que:

x + 2 ≠ 0 => x ≠ -2

D = {x ∈ R / x ≠ -2} ou D = R – {2}

Im = {y ∈ R / y = R*}

Exemplo 3) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função 42 −= xy .

Solução: Neste caso, temos uma função irracional, isto é, a variável está no radicando. A restrição é que:

2x – 4 ≥ 0 => x ≥ 2

D = { x ∈ R / x ≥ 2} ou D = [2 , ∞)

Im = {y ∈ R / y ≥ 0} ou Im = [0 , ∞)

Exemplo 4) Analise o domínio, a imagem e esboce o gráfico da função y² = x + 5.

Solução: Aqui temos que: 5+±= xy

x + 5 ≥ 0 => x ≥ -5

D = { x ∈ R / x ≥ -5} ou D = [-5 , ∞)

Im = {y ∈ R / y = R} ou Im = R

ou Im = (-∞ , ∞)


11

EXERCÍCIOS

1) Analise as seguintes funções determinando o domínio, a imagem e esboço do gráfico.

a) y = 8 5x − b) y = x2 16−

c) y = x x2 5 4− + d) y =5x

12 −

e) x

xf2

)( = f) 82

1)( 2 −= xxf

g) f(x) = 6 – 5x + x² h) y = ex + 1

i) f(x) = 2sen(x) j) f(x) = sen(2x)

k) y = 3cos(x) l) f(x) = cos(3x)

PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES

Função Injetora

Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, dois elementos distintos quaisquer do domínio de f possuem imagens distintas em B. Sendo x1 ∈ A e x2 ∈ A, temos: x1 ≠≠≠≠ x2, f(x1) ≠≠≠≠ f(x2).

Função Sobrejetora

Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, Im(f ) = B, onde B é CD(f ).

Função Bijetora

Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, é injetora e sobrejetora.

Reconhecimento de função injetora, sobrejetora ou bijetora através do gráfico

Devemos analisar o número de pontos de interseção das retas paralelas ao eixo x, conduzidas por cada ponto (0, y) em que y ∈ B (contradomínio de f)


12

1º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então a função é injetora.

Exemplo 5) f: R → R b) f: R+ → R f(x) = x f(x) = x2

2º) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos, então a função é sobrejetora. Exemplo 6) f: R → R b) f: R → R+ f(x) = x -1 f(x) = x2

3º) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a função é bijetora. Exemplo 7) f: R → R b) f: R → R f(x) = 2x f(x) = x3


13

FUNÇÃO INVERSA

Dada a função f a sua inversa denotada por f –1 existe se o ponto (a , b) está no gráfico de f e o ponto (b , a) está no gráfico de f -1.

Os pontos (a , b) e (b , a) são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, o gráfico de f e f –1 são simétricos em relação á reta y = x , e então o domínio de f é a imagem de f –1 e a imagem de f é o domínio de f -1.

Obs: Para admitir inversa a função deve ser bijetora.

Para obtermos a inversa procedemos da seguinte forma:

a) trocamos x por y na função f;

b) isolamos y.

Exemplo 8) Seja y = 2x + 3. Determine a sua inversa, se existir.

x = 2y + 3

2

31 −=− xy

logo 2

3)(1 −=− x

xf

Gráficos de outras inversas

y = x f

f -1

3 xy =

y = x3

y = log(x)

y = 10x


14

Funções Trigonométricas Inversas

y = sen(x) f -1(x) = arcsen(x)

−=2

,2

ππD e im = [-1 , 1]

−=2

,2

ππim e D = [-1 , 1]

y = sen(x) f -1(x) = arcsen(x)

−=2

,2

ππD e im = [-1 , 1] im = R e D = [-1 , 1]

y = tg(x) f -1(x) = arctg(x)

−=2

,2

ππD e im = ]-∞ , ∞[ D = ]- ∞ , ∞[ e

−=2

,2

ππim


15

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Certas combinações de ex e e-x aparecem tão freqüentemente em aplicações da matemática que recebem nomes especiais. Três destas funções são: seno hiperbólico, cosseno hiperbólico e tangente hiperbólica. Os valores destas funções estão relacionadas com as coordenadas dos pontos de uma hipérbole equilátera. E vale salientar que estas funções não são periódicas.

Função Seno Hiperbólico: é definida por y = senh x = 2

ee xx −−, onde o D = R e a Im = R.


16

Função Cosseno Hiperbólico: definida por y = cosh x = 2

ee xx −+, onde o D = R e a Im = [1, ∞[.

Função Tangente Hiperbólica: definida por y = tgh x = xx

xx

ee

ee−

−

+

−, onde o D = R e a Im = ]-1, 1[.

Função Cotangente Hiperbólica: é definida por y = cotghx =xx

xx

ee

ee−

−

−

+,

onde o D = R* e a Im = ]-∞, -1[ ou ]1, ∞[.

Função Secante Hiperbólica: é definida por y = sech x = xx ee

2−+

, onde o D = R e a Im = ]0, 1].


17

Função Cossecante Hiperbólica: é definida por y = cossechx =xx ee

2−−

,

onde o D = R* e a Im = ]-∞, 0[ ou ]0, ∞[.

Muitas identidades análogas às conhecidas para funções trigonométricas são válidas para as funções hiperbólicas. Algumas identidades das funções hiperbólicas estão abaixo relacionadas:

i) cosh²(x) – senh²(x) = 1;

ii) senh(x) + cosh(x) = ex;

iii) cosh(x) – senh(x) = e-x;

iv) 1 – tgh2(x) = sech2(x);

v) 1 – cotgh2(x) = cossech2(x) ;

vi) senh (x + y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x) senh(y);

vii) cosh (x + y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x) senh(y);

viii) senh(2x) = 2senh(x) cosh(x);

ix) cosh(2x) = cosh2(x) + senh2(x);

x)2

1)2cosh()(2 −= x

xsenh ;

xi) 2

1)2cosh()(cosh2 += x

x


18

FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS

Função Arg Seno Hiperbólico: é definida por y = argsenh(x) = )1(ln 2 ++ xx ,

onde o D = R e a Im = R.

Determinação da expressão que define a função argsenh(x), através da técnica de determinação da função inversa de y = senh(x)

)()(arg ysenhxxsenhy =⇔=

22

yyyy eex

eesenhyx

−− −=⇒−==

2x = ey - e-y => 2x - ey + e-y = 0 (. ey)

e2y – 2xey –1 = 0 => 2

)1.(1.4)2(2 2 −−−±=

xxey

1xxe 2y +±=

1xxe 2y ++= => )1xx(lneln 2y ++=

)1(ln 2 ++= xxy

Função Arg Cosseno Hiperbólico: é definida por y = argcosh(x) = )1(ln 2 −+ xx ,

onde o D = [1, ∞[ e a Im = [0, ∞[.


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Função Arg Tangente Hiperbólica: é definida por y = argtgh(x) =

−+

x

x

1

1ln ,

onde o D = ]-1, 1[ e a Im = R.

Função Arg Cotangente Hiperbólica: é definida por y = argcotgh(x) =

−+

1

1ln

x

x,

onde D = ]-∞, -1[ ou ]1, ∞[ e a Im = R-{0}

Função Arg secante Hiperbólica: é definida por y = argsech(x) =

−+x

x211ln ,

onde D = ]0, 1[ e a Im = R


20

Função Arg cossecante Hiperbólica: é definida por y = argcossech(x) =

++||

11ln

2

x

x,

onde D = R* e a Im = R*

FUNÇÃO COMPOSTA

DEFINIÇÃO: Sejam as funções f de A em B, e g de B em C. Função composta de f em g

(g o f)(x) é a função de A em C definida por (g o f)(x) = g(f(x)).

Exemplo 9) Vamos supor que certo organismo tenha forma esférica. Seu volume V pode ser obtido

a partir de seu raio r (em mm), isto é 3r3

4)r(VV π== mm3. Suponhamos, ainda, que o raio varie

com o tempo (em s) e que a relação entre r e t seja dada por r = r(t) = 0,02t2. Então o volume V é função de t, mediante

632 t000008,03

4)t02,0(

3

4)t(VV π=π==


21

Exemplo 10) Imaginemos que uma mancha de óleo sobre uma superfície de água tenha a forma de um disco de raio r (em cm). Então, sua área A (em cm2) é função do raio, sendo dada por:

A =A(r) =πr2cm2

Por outro lado, considere que o raio cresça em função do tempo t (em min), obedecendo à seguinte relação r = r(t) = 15t + 0,5cm.

Sem dificuldades, usando a noção de função composta, pode-se determinar a área ocupada pela mancha em função do tempo. De fato, quando t varia a partir do instante inicial (t = 0), o raio passa a crescer a partir de ro = 0,5cm. Como A = A(r) está definida para todos os valores de r ≥ 0, podemos calcular a função composta:

A(t) = π(15t + 0,5)2cm2

Exemplo 11) Dadas as funções f(x) = 4x – a e g(x) = 3x + 4. Calcule o valor de a para que f(g(x)) = g(f(x)).

Solução: para que f(g(x)) = g(f(x))

4(3x + 4) – a = 3(4x – a) + 4 => a = -6

Exemplo 12) Seja f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x – 5. Calcule f -1(g(x)).

Solução: Neste caso, devemos fazer a composta e depois a inversa

f(g(x)) = 3(2x – 5) + 2 => f(g(x)) = 6x – 13

6

13))((1 +=− x

xgf

EXERCÍCIOS: Achar o domínio e imagem das funções e esboçar o gráfico:

1) y = 2x + 1 2) 3

92

−−=

x

xy

3)

<≤<

≤−=

xse

xse

xse

y

24

211

13 4) 3−= xy

5) 92 −= xy 6) 22 xxy −−=


22

7)

≤<−

=xsex

xsexy

1

1232

8) y = x2 – 3x + 2

9) 5

22 −

+=x

xy 10) y = 2x + 1

11) 2−= xy 12) y = 3cos(x) – 1 p/ 0 < x < 2π

13) x2 + y2 = 4 14) 2

1

xy =

15) y = x3 + 2 16) xy −= 3

17) x

y1= 18) 62 −−= xxy

19) 2

42

−+=

x

xy 20) y = ln(x – 1)

EXERCÍCIOS GERAIS

1) Ache a equação da reta que passa pelos pontos (3,4) e (-5,2)

2) Ache o ponto de intersecção das retas representadas pelas equações 3x – 4y + 6 = 0 e x – 2y – 3 = 0

3) Calcular f -1(x), de y = 2x –1 e representá-las graficamente no mesmo plano cartesiano.

4) Uma panela, contendo uma barra de gelo a –400C, é colocada sobre a chama de um fogão. Nestas condições, o gráfico abaixo nos mostra a evolução da temperatura da água em função do tempo. Pergunta-se:

a) Qual é a lei que descreve essa evolução nos dois primeiros minutos? E nos oito minutos seguintes? E nos dez minutos que se seguem?

b) O que significam as diferentes inclinações dos três segmentos que compõem o gráfico?


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5) Os cabos de um lado de uma ponte com cargas uniformemente distribuídas tomam a forma de uma parábola. As torres de suporte dos cabos têm 60 m de altura e o intervalo entre as torres é de 600 m. O ponto mais baixo fica a 18 m do nível da ponte (conforme figura). Determine a função que descreve o comprimento (L) dos fios e determine o comprimento de um dos fios de sustentação situado a 100 m do centro da ponte. L = 22,67m

6) Na fabricação de um determinado artigo, verificou-se que o custo total foi obtido através de uma taxa fixa de R$ 4.000,00, adicionada ao custo de produção, que é de R$ 50,00 por unidade. Determinar:

a) a função que representa o custo total em relação à quantidade produzida;

b) o gráfico dessa produção;

c) o custo de fabricação de 15 unidades;

d) quantas unidades devem ser produzidas para que o custo total seja de R$ 5.250,00.

7) Um vendedor de carros recebe um ordenado fixo calculado em 5 salários mínimos mais uma comissão de 2 salários para cada carro vendido.

a) Num dado mês qual foi seu ordenado total bruto?

b) No mês de abril ele recebeu 13 salários mínimos. Quantos carros ele vendeu neste mês?

8) João Carvoeiro e sua família trabalham para uma fábrica de carvão. O patrão paga R$ 0,20 por saco de carvão produzido. Toda a comida da família é comprada no armazém do patrão, e dá um total de 120,00 u.m. por mês. Quantos sacos de carvão a família terá de produzir para pagar a conta do armazém?

9) O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função de x, com x ≥0, cujo gráfico está representado abaixo:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 98

520

400

C(x)

x (litros)

Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?


24

10) Um homem deposita R$ 5000,00 a juros de 6% a.a. Em quanto tempo ele terá um montante de R$ 8954,24.

a) se o juro é pagável anualmente; t ≈≈≈≈ 10 anos

b) se o juro é pagável trimestralmente? t ≈≈≈≈ 9 anos e 9 meses

Solução

a) M = 5000(1 + 0,06)t ⇒ 8954,24 = 5000(1,06)t logo t ≈≈≈≈ 10 anos

b) M = 5000(1+ 0,06/4)4t ⇒ 8954,24 = 5000(1 + 0,015)4t logo t ≈≈≈≈ 9 anos e 9 meses

11) Uma determinada população de bactérias no instante t é dado por P(t) = 30⋅31095 t, sendo t o tempo dado em minutos. Em quanto tempo esta população chegará a 11100 bactérias? t ≈≈≈≈ 0,29 s

12) Nível sonoro (N) de um som é o quociente entre suas intensidades i e i0, onde i0 é a menor

intensidade do som detectável pelo ouvido humano dado por N = 10 log

0i

i. A unidade do nível

sonoro é o decibel (dB), sendo i (W/m2) a intensidade sonora. Submetido a níveis sonoros superiores a 80 dB, o ouvido humano pode perder irrecuperavelmente a sensibilidade auditiva. No interior de um consultório dentário, os motores funcionam de forma inadequada e o nível sonoro é

de 100dB. Considerando que a mínima intensidade sonora audível é i0 = 10-12 W/m2, determinar, a

intensidade sonora (i). logo, i = 10-2W/m2

13) Há dois sistemas comum para medir temperatura, Celsius e Fahrenheit. A água congela a 0 ºC e a 32 ºF, e ferve a 100 ºC e 212 ºF.

a) Sendo as temperaturas Celsius (Tc) e Fahrenheit (Tf) expressas como uma função linear, encontre

Tc em função de Tf. 9

1605 −= xTC

b) Qual é a temperatura na qual a leitura em Celsius e Fahrenheit é a mesma? -40º

c) A temperatura normal do corpo humano é 98,6 ºF. Quanto é em ºC? TC = 37 ºC

d) Esboce o gráfico de Tc versus Tf e determine o domínio e a imagem.

14) Conforme mostra a figura em anexo, uma câmera é montada em um ponto a 900 da base de um foguete. Quando lançado, o foguete sobe verticalmente e o ângulo de elevação da câmera é constantemente ajustado para seguir a base dele.

a) Expresse a altura como uma função do ângulo de elevação. x = 900tg(θθθθ)

b) Determine o domínio e a imagem da função.

c) Calcule a altura do foguete quando seu ângulo de elevação for π /3. x = 1558,84m


25

15) O centro de gravidade de um golfinho saltador descreve uma parábola conforme o desenho. Sendo assim, determine a altura máxima atingida pelo mesmo. 3,2 m

16) Um foguete experimental é disparado do topo de uma colina, toca a extremidade superior de uma árvore, sem mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura anexa. Determine a altura máxima atingida.

17) Segundo dados de uma pesquisa, a população de certa região do país vem decrescendo em relação ao tempo t, contado em anos, aproximadamente, segundo a relação: tPtP 25,04)0()( −⋅= . Sendo P(0) uma constante que representa a população inicial dessa região e P(t) a população t anos após, determine quantos anos se passarão para que essa população fique reduzida à metade. R: 2 anos

18) O lucro de uma empresa é expresso pela função L(x) = 100(10 – x)(x – 2), em que x é a quantidade vendida num mês qualquer. Determine a quantidade vendida para maximizar o lucro, diga qual é o lucro máximo obtido e faça um esboço completo do gráfico. R: 1600,00

19) Uma escada está encostada numa parede vertical formando com ela um ângulo de 60°. Sabendo que o pé da escada está a uma distância de 5m da parede. Calcule o comprimento da escada. R: 5,77m

20) Combine cada função com seu gráfico correspondente: a) 5 x ; b) y = 2x5 ; c) 8

1

xy −= ;

d) y = 8x; e) 4 2−= xy ; f) x

y8

1=


26

21) Sejam as funções f(x) = x² + 3 e g(x) = x . Determine f(g(x)) e g(f(x)).

22) Sejam as funções f(x) = ln(x), g(x) = x e h(x) = sen(x² + 1). Determine f(g(x)) e g(f(h(x))).

23) Seja )1(2

)( −= xx

xf . Verifique se f(x + 1) = f(x) + x.

24) Seja f(x) = ln(x), verifique se:

a) f(x) + f(y) = f(xy)

b) )(2)(2 vfufu

vf

v

uf −=

−


27

LIMITE

Limite é um tema que está relacionado com todos os aspectos da nossa vida. Nós temos limites tanto físicos quanto psicológicos, emocionais, etc.

Matematicamente o estudo de limite de uma função é muito importante, pois, possibilita a análise de uma serie de informações sobre o comportamento do gráfico desta função, na “vizinhança” de um ponto, por exemplo.

Na vida prática tem muita relevância. Por exemplo: considere o custo (y) de uma conta de energia elétrica, sendo R$ 0,40 por kw/h o custo num determinado mês. Suponha que, no mês de março, deseja-se ter uma conta de R$ 40,00 com uma tolerância de R$ 5,00 para mais ou para menos. Qual a faixa de consumo x de energia elétrica em kw para que a conta fique dentro da tolerância do custo estabelecido?

Solução: x = consumo de energia em kw; y = custo final da conta de energia

A função custo é: y = 0,4x com 35 < y < 45 e a < x < b

f(a) = 35 => 0,4a = 35 => a = 87,5

f(b) = 45 => 0,4b = 45 => b = 112,5

Conta (y) 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

Consumo (x) 87,5 90 92,5 95 97,5 ? 102,5 105 107,5 110 112,5

Pode-se observar que há uma relação direta entre a tolerância do valor da conta de energia (ε) com a tolerância do consumo de energia elétrica (δ). Sendo assim, podemos escrever: seja uma tolerância ε > 0 (na conta y), é possível determinar uma tolerância δ > 0 (consumo de energia) tal que:

| y – 40 | < ε sempre que | x – 100 | < δ

Nota-se que à medida que x se aproxima de 100, y se aproxima de 40, ou seja, quando x tende para 100 (x 100), y tende para 40 (y 40). Simbolicamente escreve-se:

404,0lim100

=→

xx

Vemos que é possível fazer o valor de f(x) tão próximo de 40 quanto desejarmos, tornando x suficientemente próximo de 100, isto é, podemos tornar o valor absoluto da diferença entre f(x) e 40 tão pequeno quanto desejarmos, tornando o valor absoluto da diferença entre x e 100 suficientemente pequeno.

x ∈ [87,5 ; 112,5]


28

DEFINIÇÃO : Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos,

Lxfax

=→

)(lim

se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que ε<− Lxf )( sempre que δ<− ax .

Exemplo 1) Provar que 2)13(lim1

=−→

xx

ε<−− 2)13( x sempre que δ<−< 10 x

ε<− 33x

ε<− )1(3 x

33

1εδε =⇒<−x

então, ε<−− 2)13( x sempre que δ<−< 10 x .

Exemplo 2) Provar que =+→

)13(lim2

xx

7

Exemplo 3) Provar que =−−

→ 39

lim2

3 x

xx

6


29

LIMITES LATERAIS

Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o limite à direita da função f quando x tende para "a" pela direita, e escrevemos:

Lxfax

=+→

)(lim isto é, todos os valores de x são sempre maiores do que "a".

Seja f uma função definida em um intervalo aberto I (a, c). Dizemos que um número real L é o limite à esquerda da função f quando x tende para "a" pela esquerda, e escrevemos:

Lxfax

=−→

)(lim isto é, todos os valores de x são sempre menores do que "a".

TEOREMA: Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, exceto possivelmente no ponto a, então:

Lxfax

=→

)(lim se e somente se: Lxfxfaxax

==−+ →→

)(lim)(lim

Lê-se: limite de f de x, quando x tende a a é L

Exemplos 4) Verifique se existe o limite da função f(x) = x² + 1, quando x tende a 1.

Solução: 1lim 2

1+

−→x

x = (1)² + 1 = 2

1lim 2

1+

+→x

x = (1)² + 1 = 2

Como 2)(lim)(lim11

==+− →→

xfxfxx

, logo, 21lim 2

1=+

→x

x


30

Exemplo 5) Verifique se existe o limite de

≥−<+

=1,2

1,1)(

xsex

xsexxf , em x = 1.

Solução:

1lim1

+−→x

x = 1 + 1 = 2

xx

−+→2lim

1 = 2 – 1 = 1

Como )(lim)(lim11

xfxfxx +− →→

≠ , Logo, existenãoxfx

=→

)(lim1

LIMITES NO INFINITO

Uma função f(x) tem limite b quando x tende ao infinito positivamente, se para qualquer número ε positivo por pequeno que seja, é possível indicar um M positivo, tal que, para todo x que satisfaz x > M se verifica | f(x) – b | < ε. Isto é,

MxsebxfquetalMbxfx

><−>∃>∀⇔=∞+→

εε |)(|0,0)(lim

Geometricamente:

Uma função f(x) tem limite b quando x tende ao infinito negativamente, se para qualquer número ε positivo por pequeno que seja, é possível indicar um N negativo, tal que, para todo x que satisfaz x < N se verifica | f(x) – b | < ε. Isto é,

NxsebxfquetalNbxfx

<<−<∃>∀⇔=∞+→

εε |)(|0,0)(lim

Geometricamente:


31

Exemplo 6) Considere a função 1

)(+

=x

xxf . Pelo gráfico de f(x) podemos notar que o limite é

aproximadamente igual a 1. Este fato é escrito da seguinte forma

11

lim =

+∞−→ x

xx

Solução: ∀ ε > 0, ∃ N < 0 tal que | f(x) – 1 | < ε se x < N.

ε

ε

ε

<+

<+

−

<<−+

|1|

1

1

1

11

x

x

Nxsex

x

εε

ε

11

11

:

1|1|

−−<⇒−<+

>+

xx

módulodeepropriedadPor

x

Como x < N, logo, ε1

1−−=N

Se, ε = 0,01 => N = -101

DEFINIÇÃO: Seja f: B → R uma função, B um conjunto que não é limitado superiormente (inferiormente) e L ∈ R. Dizemos que

Lxfxfxx

==∞−→∞+→

)(lim)(lim


32

LIMITES INFINITOS

Uma função y = f(x) torna-se infinitamente grande positivamente quando x → a se o valor de f(x) se torna e permanece maior do que qualquer número positivo M devidamente escolhido, por maior que seja. Isto é,

δδ <−>>∃>∀⇔+∞=→

||)(0,0)(lim axquesempreMxfquetalMxfax

Geometricamente:

Uma função y = f(x) torna-se infinitamente grande negativamente quando x → a se o valor de f(x) se torna e permanece menor do que qualquer número negativo N devidamente escolhido, por maior que seja. Isto é,

δδ <−<>∃<∀⇔−∞=→

||)(0,0)(lim axquesempreNxfquetalNxfax

Geometricamente:


33

Exemplo 7) Determine

−→ 1

2lim

1 xx

Solução:

δδ <−>>∃>∀⇔+∞=→

||)(0,0)(lim axquesempreMxfquetalMxfax

MMx

xquesempreMx

22|1|

|1|1

2

==−

<−>−

δ

δ

se δ = 0,01 => M = 200

∞==−

=−→ 0

2

11

2

1

2lim

1 xx

Propriedades dos Limites

P1) ccax

=→

lim

P2) axax

=→

lim

P3) )(lim)(lim xfcxfcaxax →→

⋅=⋅

P4) [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax →→→

±=±

P5) [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfaxaxax →→→

⋅=⋅

P6) )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax→

→

→=

P7) [ ]n

ax

n

axxfxf

=

→→)(lim)(lim

P8) nax

n

axxfxf )(lim)(lim

→→=

P9) )(limlog)(loglim xfxfax

bbax →→

= com f(x) > 0


34

CÁLCULO DE LIMITES : LIMITES INDETERMINADOS

No estudo do limite de uma função é considerada uma indeterminação quando ocorrer uma das seguintes situações:

0,,1,,0

0,0 ∞∞−∞

∞∞±∞⋅ ∞ e 00.

Para evitarmos (ou sairmos de) uma indeterminação de limite devemos simplificar a função.

Exemplo 8) Calcule o limite de 4

168lim

2

4 +++

−→ x

xxx

.

Solução: 0

0

44

16)4(8)4(lim

2

4=

+−+−+−

−→xindeterminação.

0444lim4

)4(lim

4

168lim

4

2

4

2

4=+−=+=

++=

+++

−→−→−→x

x

x

x

xxxxx

Exemplo 9) Calcule 4

2lim

4 −−

→ x

xx

.

Solução:

0

0

44

24lim

4=

−−

→x indeterminação.

4

1

22

1

2

1lim

)2)(4(

4lim

2

2

4

2lim

444=

+=

+=

−−−=

++⋅

−−

→→→ xxx

x

x

x

x

xxxx


35


1lim

3

1 −−

→ x

xx

Solução: 0

0

1

1lim

3

1=

−−

→ x

xx

indeterminação

Definindo x = t6. Se x → 1, então, t → 1, assim:

3

2

1

1lim

1

1lim

1

1lim

213

2

16

3 6

1=

+++=

−−=

−−

→→→ tt

t

t

t

t

tttt

Exemplo 11) Calcule xx

xx 35

52lim

2

2

++−

∞→

Solução: ∞∞−=

++−

∞→ xx

xx 35

52lim

2

2

indeterminação

Colocando x² em evidência, obtemos:

5

23

5

52

lim2

−=+

+−

∞→

x

xx


21lim

3 −−−

→ x

xx

Solução: 0

0

3

21lim

3=

−−−

→ x

xx

indeterminação

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado, obtemos:

22

1

)21()3(

3lim

21

21

3

21lim

33=

+−−−=

+−+−⋅

−−−

→→ xx

x

x

x

x

xxx


36

EXERCÍCIOS

1) Para a função cujo gráfico está na figura em anexo determine:

a) )(lim3

xfx −→

= b) )(lim3

xfx +→

= c) )(lim3

xfx→

=

d) f(3) = e) )(lim xfx ∞−→

= f) )(lim xfx ∞+→

=


a) )(lim0

xfx −→

= b) )(lim0

xfx +→

= c) )(lim0

xfx→

=

d) f(0) = e) )(lim xfx ∞−→

= f) )(lim xfx ∞+→

=


a) )(lim0

xfx −→

= b) )(lim0

xfx +→

= c) )(lim0

xfx→

=

d) f(0) = e) )(lim xfx ∞−→

= f) )(lim xfx ∞+→

=


a) )(lim4

xfx −−→

= b) )(lim4

xfx +−→

= c) )(lim4

xfx −→

=

d) f(-4) = e) )(lim xfx ∞−→

= f) )(lim xfx ∞+→

=

5)

≥

<−=

1,2

1,1)(

2

xsex

xsexxf )(lim

1xf

x→ resp: ñ existe

6)

≥<+

=0,0

0,12)(

xse

xsexxf )(lim

0xf

x→ resp: ñ existe

7) 2

4lim

2

2 −−

→ x

xx

resp: 4

8) x

xx −

−→ 1

1lim

2

1 resp: 2

9)

≥

<+=

2,

2,2)(

2 xsex

xsexxf )(lim

2xf

x→ resp: 4


37

10) 2

2lim

2

2 ++

−→ x

xxx

resp: -2

11) xx

xxx +

−→ 2

3

0lim resp: -1

12) 2

652lim

23

2 −−−+

→ x

xxxx

rep: 15

13) xx

xxxxx −

+−+→ 2

234

1

252lim resp: 3

14) 832lim 24

1−−+−

→xxx

x resp: -8

15) 52

12lim

2

1 +++

→ x

xxx

resp: 4/7

16) 4

6lim

2

2

2 −−−

−→ x

xxx

resp: 5/4

17) 112lim 22 −−+∞+→

xxx

resp: ∞

18) 1

1lim

3

1 ++

−→ x

xx

resp: 3

19) 8

4lim

3

2

2 −−

→ x

xx

resp: 1/3

20) xx

xx 3

24lim

2

2

0 +−+

→ resp: 0

21) 64 )4(

12lim

−−

→ x

xx

resp: ∞

22) 1

142lim

23

23

+++−+

∞→ xxx

xxx

resp: 2

23) 12

3lim

2

+++

∞→ x

xxx

resp: ½ e -½

24) 3

1lim

3 3

+−+

∞→ x

xxx

resp: 1


38

25) xxx

xx +++

+∞+→ 3

3lim

2 resp: 1/2

26) )(lim xarctgx ∞→

resp: π/2

27) xxx −

−−→ 1

3

1

1lim

1 resp: ∞

28) 1

1lim

4

3

1 −−

→ x

xx

resp: 4/3

29) 2

33 2

1 )1(

12lim

−+−

→ x

xxx

resp: 1/9

LIMITES NOTÁVEIS OU FUNDAMENTAIS

Os limites fundamentais auxiliam no cálculo de limites indeterminados do tipo 0

0, 1∞ e ∞0.

I) Proposição 1)sen(

lim0

=

→ x

xx

TEOREMA DO CONFRONTO OU SANDUÍCHE: Suponhamos que g(x) < f(x) < h(x) para qualquer x em um intervalo aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também que:

Lxhxgcxcx

==→→

)(lim)(lim , então, Lxfcx

=→

)(lim

Para mostrarmos que a proposição I é verdadeira vamos considerar 2

0π<< x , com x = θ.

Área ∆OAP < área do setor OAP < área ∆OAT Pode-se expressar as áreas em termos de θ da seguinte maneira:

Área ∆OAP = )sen(2

1)sen()1(

2

1

2

1 θθ ==⋅ hb

Área do setor OAP = θθθ2

1)1(

2

1

2

1 2 ==r

0 θ

tg(θ)

y

1

T

x A(1,0)

P

cos(θ) Q

1 sen(θ)


39

Área ∆OAT = )(2

1)()1(

2

1

2

1 θθ tgtghb ==⋅

Logo, )(2

1

2

1)sen(

2

1 θθθ tg<<

multiplicando por 2, obtém-se:

sen(θ) < θ < tg(θ) => )cos(

)sen()sen(

θθθθ <<

dividindo por sen(θ), obtemos: )cos(

1

)sen(1

θθθ <<

invertendo as frações, temos: )cos()sen(

1 θθ

θ >>

Aplicando o limite, obtemos: 1)cos(lim1lim

00==

→→θ

θθ

Conclusão: 1)sen(

lim0

=

→ θ

θθ

De modo geral pode-se escrever: 1)(

))((lim

0)(=

→ xf

xfsenxf

II) Proposição 0)(

))((cos1lim

0)(=

−→ xf

xfxf

Caso Particular: 0)cos(1

lim0

=−→ x

xx

Substituindo-se 1 – cos(x) =

22 2 x

sen

⋅

=

=

=−→→→→ 2

2

2lim

2

2lim

22

lim)cos(1

lim0

2

0

2

00

xsen

x

xsen

x

xsen

x

xsen

x

xxxxx


40

0012

lim

2

2lim

00=⋅=

⋅

=→→

xsen

x

xsen

xx

Finalmente: 0)cos(1

lim0

=−→ x

xx

III) Proposição ( )( ) ex x

x=+

→

11lim

0

IV) Proposição ex

x

x=

+∞→

11lim

V) Proposição )ln()(

1lim

)(

0)(a

xf

a xf

xf=−

→

Caso Particular: )ln(1

lim0

ax

ax

x=−

→

Substituindo u = ax – 1 => ax = u + 1

ln(ax) = ln(u + 1) => x ln(a) = ln(u + 1) => )ln(

)1ln(

a

ux

+=

se x → 0, u → 0, assim:

)ln(

)1ln(lim

)ln(lim

)1ln(

)ln()1ln(

)ln(

)1ln(

)ln(

)ln(

)1ln(lim

1

0

0

10a

u

a

u

a

u

ua

u

au

a

uu

u

u

u

uu

=+

=+

=+

=+

=+

→

→

→

Finalmente: )ln(1

lim0

ax

ax

x=−

→


41

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

Continuidade de uma função num ponto

Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto interior c do seu domínio quando:

)()(lim)(

)(lim)(

)()(

cfxfIII

xfII

cfI

cx

cx

=

∃∃

→

→

Continuidade num intervalo: Uma função y = f(x) é contínua à direita em x = a ou é contínua à esquerda em x = b, então a função é contínua no intervalo fechado x ∈ [a , b].

)()(lim)()(lim bfxfouafxfbxax

==−+ →→

TEOREMA : Se a função f(x) não é definida para x = a e se o Lxfax

=→

)(lim , então, a função f(x)

será contínua em x = a se o valor L for atribuído à f(x) para x = a. Isto é:

=≠

=axseL

axsexfxf

,

,)()(

Exemplos 16) Analise a continuidade da função 1

1)(

2

−−=

x

xxf

Solução: D = R – {1}. Não é definida em x = 1.

21lim1

)1()1(lim

1

1lim

11

2

1=+=

−+−=

−−

→→→x

x

xx

x

xxxx

)1()(lim1

fxfx

≠→

, portanto, a função dada tem descontínua removível em x = 1.

Redefinindo a função, obtemos:

=

≠−−

=1,2

1,1

1)(

2

xse

xsex

xxf


42

Exemplo 17) Analise a continuidade da função:

<+−−≥+

=1,1

1,3)(

xsex

xsexxf

Solução: Seja a ∈ R.

se a > -1, temos f(a) = a + 3

33lim +=+→

axax

se a < -1, temos f(a) = -a + 1

11lim +−=+−→

axax

se a = -1, temos f(-1) = -1 + 3 = 2

23lim1

=++−→

xx

, 21lim1

=+−−−→

xx

, logo, 2)(lim1

=−→

xfx

A função dada é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Exemplo 18) Analise a continuidade da função:

−=

−≠+=

2,3

2,2

1)(

xse

xsexxg

Solução: D = R – {-2}

∞=+−→ 2

1lim

2 xx

portanto, a função dada tem uma descontínua essencial em x = -2.


43

EXERCÍCIOS

1) Analise as seguintes funções, verificando a continuidade.

a)

≥−<−=1,4

1,1)(

2

xsex

xsexxf

b)

−=−≠+

=2,2

2,3)(

xse

xsexxf

c) 6

3)(

2 −+=

xxxf

d) 2

1)(

2 −+−=xx

xxf

e) 4)( −= xxf

f) 1

2

+=

x

xy

g) x

xy

1+=

2) Calcule os seguintes limites:

a) x

xx

)5sen(lim

0→ resp: 5

b) )(cos.lim0

xecxx→

resp: 1

c)

→ x

xx

6senlim

0 resp: 0

d)

−∞→ x

xsen

x 32lim

π resp:

2

3−

e) )15sen(

)9sen(lim

0 x

xx→

resp: 5

3

f) )2sen(

)8sen(lim

0 x

xx→

resp: 4

g) x

xx 7

)sen(lim

0→ resp: 0


44

h)

−∞→ 28

2cos3lim

x

xx

π resp:

2

23

i)

−∞→ x

xx 21

3cos2lim

π resp: 0

j)

++∞→

11

2lim2x

xsen

x

π resp: 1,19

k) 30

)()(lim

x

xsenxtgx

−→

resp: ½

l) ( ))ln()1ln(lim xxx

−+∞→

resp: 0

m) 2

)2()(lim

2 −−

→ x

senxsenx

resp: cos(2)

n) x

ex x

x 2

1lim

2

0

+−→

resp: 3/2

o) 20

)2cos()cos(21lim

x

xxx

+−→

resp: -1

p) )2(

1lim

)(

0 xsen

e xsen

x

−→

resp: ½

q) )()cos(

)(1lim

4xsenx

xtg

x −−

→π

resp: 2

r) 1

1lim

55

22

1 −−

−

−

→ x

x

x e

e resp: 2/5

s) x

xsenxx

)(3lim

2

0

−→

resp: -3

t) 3

)3ln()ln(lim

3 −−

→ x

xx

resp: 1/3

u) ( ) )(cot2

0

2

)(31limx

xxtg+

→ resp: e3

v)

−+

∞→xxx

xlim resp: ½

x) )()2(

52lim

0 xsenxsen

xx

x −−

→ resp:

5

2ln


45

z) )(

5434lim

0 xsen

xx

x

⋅−⋅→

resp:

5

3ln4

aa) 1

16316lim

0 −−⋅

→ x

x

x e resp: 16 ln(3)

bb) )1ln(

93lim

2

0 +−+

→ x

x

x resp: 9 ln(3)


46

DERIVADA Introdução: A reta tangente

Seja f uma função contínua e P(x, f(x)) um ponto sobre a curva y = f(x). Analisaremos agora, o cálculo da inclinação (coeficiente angular) da reta tangente à curva traçada por f no ponto P. Para analisarmos esta questão, escolhemos um número pequeno ∆∆∆∆x = x – xo, diferente de zero. Sobre o gráfico, marcamos o ponto Q(x+∆∆∆∆x, f(x+∆∆∆∆x)). Traçamos uma reta secante que passa pelos pontos P e Q. A inclinação desta reta é dada por:

x

xfxxfmPQ ∆

−∆+= )()( (quociente de Newton)

Vamos fixar o ponto P, e mover Q ao longo da curva, aproximando-se de P. Logo, ∆∆∆∆x → 0 (dizemos que ∆∆∆∆x tende a 0). Note que a reta secante PQ se aproxima a uma posição limite. Desejamos que essa posição limite seja a reta tangente. Assim, caso a reta tangente à curva de f no ponto P exista, PQm também se aproxima do coeficiente angular desta reta:

x

xfxxfm

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim

0.

Derivada de uma função y = f(x) num ponto em que x = x0 Considere a figura acima, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. A operação para encontrarmos a derivada de uma função chama-se diferenciação. Calculamos a derivada utilizando o conceito de limites: aplicando a fórmula:

x

xfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim)('

0

lê-se: derivada de f em relação a x.

xo = valor inicial no eixo x; f(xo) = valor inicial no eixo y

x = valor final no eixo x; f(x) = valor final no eixo y

∆∆∆∆x = x - xo; ∆∆∆∆y = f(x) - f(xo) variações de x e y

OBSERVAÇÃO

* A Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = xo pode ser entendida como a taxa instantânea da variação de y em relação a x no ponto (xo ; yo).

* Geometricamente, a derivada de uma função f num ponto xo é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa xo.


47

Notações para a derivada de uma função y = f(x):

f' (x), fx(x), Dxf(x), y’ e dx

dy

Se a função é diferenciável em xo, então a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (xo , f(xo)) é:

y = f’ (xo)(x – xo) + f(xo)

Exemplo 1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 3x2 – 12 no ponto (1 , -9).

Solução: x

xfxxfxf

x ∆−∆+=

→∆

)()(lim)('

0

xxf

xxx

xxx

x

xxx

x

xxxxx

x

xxxxf

xxx

xx

6)('

)6(lim)6(

lim)(6

lim

12312)(63lim

)123(12)(3lim)('

00

2

0

222

0

22

0

=

∆+=∆

∆∆+=∆

∆+∆=

∆+−−∆+∆+=

∆−−−∆+=

→∆→∆→∆

→∆→∆

f’(1) = 6(1) = 6

y = f’(xo)(x – xo) + f(xo)

y = 6(x – 1) – 9

y = 6x - 15

INTERPRETAÇÃO MECÂNICA DA DERIVADA

Velocidade média Velocidade instantânea

Aceleração média Aceleração instantânea

t

Sv

∆∆=

dt

ds

t

Sv

t=

∆∆=

→∆ 0lim

t

va

∆∆=

dt

dv

t

va

t=

∆∆=

→∆ 0lim


48

REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO

Derivada da Função Constante

y = k => y’ = 0

0lim'0

=∆−=

→∆ x

kky

x

Derivada da Função Identidade

y = x => y’ = 1

1lim'0

=∆

−∆+=→∆ x

xxxy

x

Derivada da Função Potência

y = xn => y’ = n xn – 1

11221

0

1221

0

1221

0

1221

0

)()(...)(2

)1(lim'

)()(...)(2

)1(

lim'

)()(...)(2

)1(

lim'

)()(...)(2

)1()(

:

)(lim'

−−−−−

→∆

−−−

→∆

−−−

→∆

−−−

→∆

=∆+∆++∆−+=

∆

∆+∆++∆−+∆=

∆

−∆+∆++∆−+∆+=

∆+∆++∆−+∆+=∆+

−∆

−∆+=

nnnnn

x

nnnn

x

nnnnnn

x

nnnnnn

nn

x

xnxxxnxxnn

xny

x

xxxnxxnn

xxny

x

xxxxnxxnn

xxnxy

xxxnxxnn

xxnxxx

quesetemNewtondebinômioPelox

xxxy

Finalmente: 1

0

)(lim' −

→∆=

∆−∆+= n

nn

xxn

x

xxxy


49

Derivada do produto de uma constante por uma função

Seja g(x) = k f(x) => g’(x) = k f’(x)

)(')('

)()(lim

)()(lim

)()(lim)('

000

xfkxg

x

xfxxfk

x

xfxxfk

x

xfkxxfkxg

xxx

=

∆−∆+=

∆−∆+=

∆−∆+=

→∆→∆→∆

Derivada da soma e diferença de funções

Seja h(x) = f(x) ± g(x) => h’(x) = f’(x) ± g’(x)

( )

x

xgxxg

x

xfxxfxh

x

xgxxgxfxxf

x

xgxfxxgxxfxh

xx

xx

∆−∆+±

∆−∆+=

∆−∆+±−∆+=

∆±−∆+±∆+=

→∆→∆

→∆→∆

)()(lim

)()(lim)('

)()()()(lim

)()()()(lim)('

00

00

Finalmente: h’(x) = f’(x) ± g’(x)

Derivada do Produto de funções

Seja f(x) = u(x)⋅v(x) => f’(x) = u’v + u v’

[ ] [ ]x

xvxxvxu

x

xuxxuxxvxf

x

xvxuxxvxuxxvxuxxvxxuxf

x

xxvxuxxvxuxvxuxxvxxuxf

quesetemxxvxutermoonumeradornosubtraindoesomandox

xvxuxxvxxuxf

xx

x

x

x

∆−∆++

∆−∆+∆+=

∆−∆++∆+−∆+∆+=

∆∆+−∆++−∆+∆+=

−∆+∆

−∆+∆+=

→∆→∆

→∆

→∆

→∆

)()()(lim

)()()(lim)('

)()()()()()()()(lim)('

)()()()()()()()(lim)('

:)()(,,

)()()()(lim)('

00

0

0

0

Finalmente: f’(x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x)


50

Derivada do Quociente de funções

Seja )(

)()(

xv

xuxf = =>

2

'')('

v

vuvuxf

−=

[ ] [ ]

[ ] [ ]x

xvxxv

xvxxv

xu

x

xuxxu

xvxxv

xvxf

xxvxxv

xvxxvxuxuxxuxvxf

xxvxxv

xvxuxvxuxxvxuxvxxuxf

quesetemxvxutermoonumeradornosubtraindoesomando

xxvxxv

xxvxuxvxxuxf

x

xvxxv

xxvxuxvxxu

x

xv

xu

xxv

xxu

xf

xx

x

x

x

xx

∆−∆+

∆+−

∆−∆+

∆+=

∆∆+−∆+−−∆+=

∆∆+−+∆+−∆+=

−∆∆+

∆+−∆+=

∆∆+

∆+−∆+

=∆

−∆+∆+

=

→∆→∆

→∆

→∆

→∆

→∆→∆

)()(

)()(

)(lim

)()(

)()(

)(lim)('

)()(

)()()()()()(lim)('

)()(

)()()()()()()()(lim)('

:)()(,,

)()(

)()()()(lim)('

)()(

)()()()(

lim)(

)(

)(

)(

lim)('

00

0

0

0

00

Finalmente: 2

'')('

v

vuvuxf

−=

Derivada da Função Exponencial

Seja y = ax => y’ = ax ln(a)

x

aa

x

aa

x

aa

dx

dy x

x

xxx

x

xxx

x ∆−=

∆−=

∆−=

∆

→∆

∆

→∆

∆+

→∆

1lim

)1(limlim

000

Finalmente: )ln(aadx

dy x=

No caso particular de:

y = ex => y’ = ex


51

Derivada da Função Logarítmica

Seja y = loga x => xxdx

dyalog

1=

∞→→∆=∆

∆+=

∆+∆

=∆

∆+

=∆

−∆+=

∆

→∆

→∆→∆→∆

uxux

xdosubstituin

x

x

x

xx

xx

x

xx

x

xxx

dx

dy

x

ax

ax

a

x

aa

x

,0,1

1loglim

log1

limlog

limlog)(log

lim

1

0

000

= u

au

xu

au uxu

+=

+∞→∞→

11log

1lim

11loglim

1

por limite notável

Finalmente: exdx

dyalog

1=

No caso particular de:

y = ln(x) => x

y1

'=

Derivada da Função Seno

Seja y = sen(x) => y’ = cos(x)

( )x

xxsenxxsen

x

xsenxxsenxxsen

x

xsenxxsen

dx

dy

x

xx

∆∆+−∆=

∆−∆+∆=

∆−∆+=

→∆

→∆→∆

)cos()(1)cos()(lim

)()cos()()cos()(lim

)()(lim

0

00

= ( )

x

xxsen

x

xxsenxx ∆

∆+∆

−∆→∆→∆

)cos()(lim

1)cos()(lim

00 por limite notável

Finalmente: )cos(xdx

dy =


52

Derivada da Função Cosseno

Seja y = cos(x) => y’ = -sen(x)

( )

( ):lim,

)()(lim

1)cos()cos(lim

)()(1)cos()cos(lim

)cos()()()cos()cos(lim

)cos()cos(lim

00

0

00

notáveliteporx

xsenxsen

x

xx

x

xsenxsenxx

x

xxsenxsenxx

x

xxx

dx

dy

xx

x

xx

∆∆−

∆−∆=

∆∆−−∆=

∆−∆−∆=

∆−∆+=

→∆→∆

→∆

→∆→∆

Finalmente: )(xsendx

dy −=

Derivada da função tangente

Seja y = tg(x) => y’ = sec²(x)

A função tangente é escrita como uma razão )cos(

)()(

x

xsenxtgy == , logo sua derivada pode ser

encontrada pela regra do quociente, assim, 2

''

v

vuvu

dx

dy −= .

)(cos

1

)(cos

)()()cos()cos(22 xx

xsenxsenxx

dx

dy =+=

Finalmente: )(sec2 xdx

dy =

• A derivada das demais funções trigonométricas pode ser obtida, com facilidade, a partir das regras de derivadas já demonstradas.


53

EXERCÍCIOS

1) Uma partícula percorre uma curva obedecendo à equação horária S = 3t2 (SI). Determine a sua velocidade no instante t = 5 s. R: v(5) = 30 m/s

2) Um ponto material descreve uma curva tendo para equação horária tS = (SI). Determinar a sua velocidade no instante t = 1,5s. R: v(1,5) = 0,42 m/s²

3) Um ponto em movimento tem equação da velocidade 2ttv += (SI). Encontrar sua aceleração no instante t = 1s. R: a(1) = 2,5 m/s²

4) Encontrar a aceleração no instante t = 8s de um ponto que tem velocidade variável segundo a

expressão 3 ttv += (SI). R: a(8) = 1,08 m/s²

5) Determinar a equação da reta normal ao gráfico de 2)( −= xxf no ponto em que x = 3. R: y = -2x + 7 6) Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 2sen(x) + x que é paralela à y – x = -1. R: y = x + 2 7) Encontrar o coeficiente angular e a reta tangente ao gráfico de 2)ln()( −+= xxxf no ponto

em que x = 1. R: 2

5

2

3 −= xy

8) Determine a equação da reta normal à f(x) = x2 + e3x no ponto (0 , 1). R: 13

+−= xy

9) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = x³ – 3x + 4, no ponto (2 , 6). R: y = 9x – 12

10) Seja f(x) = x² – ln(x + 1) uma curva. Caso exista, determine a equação da reta tangente a esta curva, tal que seja normal a reta r: 3y + 3x = 6. R: y = x – 0,75

11) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função 8

3xy = , no ponto (4 , 8).

R: y = 6x - 16

12) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = x4 – 4x, no ponto (0 , 0). R: y = -4x

13) Ache a equação da reta tangente ao gráfico da função y = 2cos(x) + 1, no ponto em que x = 0. R: y = 3

14) Determine a equação da reta tangente à função y = ex + 1 que seja paralela à reta y = x – 2. R: y = x + 2


54

DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA (REGRA DA CADEIA)

As regras de derivação já estudadas são aplicadas a funções simples, porém para derivar uma função composta f(g(x)) ou )()'( xgf o não há regra que possa ser aplicada diretamente. Por

exemplo, para derivar funções como uy = e u = x² + 1, então 12 += xy é necessário usar outra forma de derivada que é chamada Regra da Cadeia.

DEFINIÇÃO: Se y = f(u), u = g(x), e as derivadas du

dy e

dx

du existem, ambas, então a função

composta definida por y = f(g(x)) tem derivada dada por:

)('))((')(')(' xgxgfxgufdx

du

du

dy

dx

dy ==⋅=

Formaremos, separadamente, o quociente de Newton em ambas as funções, assim:

∆y = f(u + ∆u) – f(u) => u

ufuuf

u

y

∆−∆+=

∆∆ )()(

(i)

∆u = g(x + ∆x) –g(x) => x

xgxxg

x

u

∆−∆+=

∆∆ )()(

(ii)

Note que, os primeiros membros de (i) e (ii), nos dão uma razão entre o acréscimo de cada função e o acréscimo da correspondente variável. Os segundos membros de (i) e (ii), nos dão as mesmas razões de outra forma. Escolhemos os primeiros membros por ser uma notação mais conveniente e façamos o produto, assim:

x

u

u

y

x

y

∆∆⋅

∆∆=

∆∆

Fazendo ∆x → 0, então, ∆u → 0, pois, u(x) é variável e, portanto, contínua logo, podemos escrever:

x

u

u

y

x

yxux ∆

∆⋅∆∆=

∆∆

→∆→∆→∆ 000limlimlim

)('))((' xgxgfdx

dyou

dx

du

du

dy

dx

dy =⋅=

É importante observar que du

dy é a derivada em relação a u quando y é considerado como

função de u e que dx

du é a derivada em relação a x quando y é considerado uma função (composta)

de x.


55

Exemplo 2) Determinar dx

dy se 12 += xy

Solução: u = x² + 1, 21

uuy == , a derivada é: dx

du

du

dy

dx

dy ⋅=

udu

dy

2

1= e xdx

du2=

portanto, u

x

dx

dyx

udx

dy =⇒⋅= 22

1 =>

12 +=

x

x

dx

dy

A solução também poderia ser obtida de forma mais simplificada, como:

212 )1( += xy ⇒ xxy 2)1(

2

1' 2

12 ⋅+= −

Exemplo 3) Achar dx

dy se y = sen(cos(x))+ 3xex² + 1

Solução: Usando a regra da cadeia, obtemos:

y' = -cos(cos(x)) sen(x) + 3ex² + 1 + 6x² ex² + 1

Exemplo 4) Achar a derivada de y = (2x3 – 5x2 +4)10

y' = 10(2x3 – 5x2 + 4)9⋅⋅⋅⋅(6x2 – 10x)

212 )1('

−+= xxy


56

Exemplo 5) Determine a derivada de 3 22

2

)1( −+=

x

xy

Solução: reescrevendo a função, obtemos:

3

12

33

22

3

1223

22

3

2223 222

)1(3

4)1(2'

2)1(3

2)1(2'

)1()1(

−

−

+++=

+++=

+=+=

xx

xxy

xxxxxy

xxxxy

Derivada da composta da função logaritmo natural

( )u

uxuDx

'|)(|ln =

Derivada da função exponencial composta

a) Seja y = eu(x) => y’ = eu u’

b) Seja y = u(x)v(x) => y’ = u’v uv – 1 + uv ln(u) v’

)ln( vuey = => y = ev ln(u)

)')ln('()')ln('('

)')ln('('

)ln(''

11)ln(

1)ln()ln(

−−

−

+=+=

+=

+=

uuvuvuuuvuvey

uuvuveu

uvuvey

vu

uvuv

v

y' = u’ v uv – 1 + uv ln(u) v’


57

TABELA DE DERIVADAS

Função Derivada Função Derivada

f(x) = k f' (x) = 0 f(x) = sen(u(x)) f' (x) = cos(u)⋅⋅⋅⋅ u'

f(x) = u(x)n f' (x) = n⋅⋅⋅⋅un-1 u’ f(x) = cos(u(x)) f' (x) = - sen(u)⋅⋅⋅⋅ u'

f(x) = k⋅⋅⋅⋅u(x)n f' (x) = kn⋅⋅⋅⋅un-1 u’ f(x) = tg(u(x)) f' (x) = sec2(u)⋅⋅⋅⋅ u'

f(x) = u(x) ± v(x) f' (x) = u' ± v' f(x) = cotg(u(x)) f' (x) = -cosec2(u)⋅⋅⋅⋅ u'

f(x) = u(x)⋅⋅⋅⋅v(x) f' (x) = u' ⋅⋅⋅⋅ v + u⋅⋅⋅⋅v' f(x) = sec(u(x)) f' (x) = sec(u)⋅⋅⋅⋅tg(u)⋅⋅⋅⋅ u'

)(

)()(

xv

xuxf =

2

'')('

v

vuvuxf

⋅−⋅= f(x) = cosec(u(x)) f' (x)=-cosec(u)⋅⋅⋅⋅cotg(u)⋅⋅⋅⋅u'

f(x) = ln|u(x)| u

uxf

')(' = f(x) = arcsen(u(x)) '

1

1)('

2u

uxf

−=

f(x) = log a u(x) ||ln

')('

au

uxf = f(x) = arccos(u(x)) '

1

1)('

2u

uxf

−

−=

f(x) = eu(x) f' (x) = eu ⋅⋅⋅⋅ u' f(x) = arc tg(u(x)) '1

1)('

2u

uxf

+=

f(x) = au(x) f' (x) = au ln|a|⋅⋅⋅⋅ u’ f(x) = u(v(x)) f' (x) = u' ⋅⋅⋅⋅ v'

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

1) sen2(x) + cos2(x) = 1 2) )cos(

)()(

x

xsenxtg =

3) )(

)cos()(cot

xsen

xxg = 4)

)cos(

1)sec(

xx =

5) )(

1)sec(cos

xsenx = 6) sec2(x) = 1 + tg2(x)

7) cosec2(x) = 1 + cotg2(x) 8) 2

)2cos(1)(2 x

xsen−=

9) 2

)2cos(1)(cos2 x

x+= 10) sen2(x) = 2sen(x).cos(x)

11) cos(2x) = cos2(x) – sen2(x) 12) cos(2x) = 1 - 2 sen2(x) 13) cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sen(a).sen(b) 14) sen(a – b) = sen(a).cos(b) – sen(b).cos(a) 15) sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)


58

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS

Seja ( )xx eexsenhy −−==2

1)( => ( ) )cosh(

2

1' xeey xx =+= −

Logo, y = senh(x) => y’ = cosh(x)

Seja ( )xx eexy −+==2

1)cosh( => ( ) )(

2

1xsenheey xx =−= −

Logo, y = cosh(x) => y’ = senh(x)

Seja xx

xx

ee

eextghy −

−

+−== )( => ( )2

4'

xx eey

−+=

Logo, y = tgh(x) => y’ = sech²(x)

Seja xx

xx

ee

eexghy −

−

−+== )(cot => ( )2

4'

xx eey

−−−=

Logo, y = cotgh(x) => y’ = - cossech²(x)

Seja y = sech(x) => y’ = - sech(x) tgh(x)

Seja y = cossech(x) => y’ = - cossech(x) cotgh(x)

� As demonstrações da derivada das funções hiperbólicas ficam como exercício.


59

EXERCÍCIOS

1) Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:

a) f(x) = 7x – 5 f’(x) = 7

b) g(x) = 1 – 2x – x² g’(x) = -2 – 2x

c) f(x) = x³ - 3x² + 5x – 2 f’(x) = 3x² - 6x + 5

d) 48

8

1xxy −= y’ = x7 – 4x³

e) 24

2

1

4

1)( tttf −= f’(t) = t 3 – t

f) ( )43 2

3

4)( ++= xetgrrV π V’(r) = 4π r² + 2x ex² + 4 sec²(ex² + 4)

g) 2

2 13)(

xxxxf ++= f’(x) = 2x + 3 – 2/x³

h) 4

4

4

14)(

xxxg −= g’(x) = 16x3 + 1/x5

i) ( ))3(ln

3

1

)(xsen

exf = )3()3cos()(' 3

2

xsenxxf−

=

j) 42

53)(

xxxg += g’(x) = -6/x3 – 20/x5

k) ( )13)( 2 −= xsenxf ( )13cos13

3)(' 2

2−

−= x

x

xxf

l) f(x) = (2x4 – 1)(5x3 + 6x) f’(x) = 8x³(5x³ + 6x) + (2x4 – 1)(15x² + 6)

m) 1

)(−

=x

xxf

2)1(

1)('

−−=

xxf

n) 12

12)(

2

2

+−++=

xx

xxxh

22

2

)12(

)1(4)('

+−−=xx

xxh

o) 221

5)(

t

ttf

+=

22

2

)21(

105)('

t

ttf

+−=

p) 8

8)(

3

3

+−=

y

yyh

23

2

)8(

48)('

+=

y

yyh


60

q)

xe

x

x

e

exp

+

−=1

1ln)(

11

1ln

2)('

2

2

−+

+−=

x

x

x

xx

e

e

e

eexp

r) 43 2)( xxxq += 43

31

4

1

3

2)('

−− += xxxq

s) 4

3

31)( x

xxxp +−= 33

42

34

2

1)(' xxxxp ++−= −−

t) f(x) = x² ( )3ln +x + e2x – 5x f’(x) = x ln(x + 3) + 62

2

+x

x + 2e2x – 5

u) y = 3 ( ))(ln 2xsen + e-3x – x3 + 10 232 33)cot(3' xexxy x −−= −

v) y = 2xe-x³ + ln(5x) – 2x³ 23 61

62'33

xx

exey xx −+−= −−

x) y = 2x + 1 – x³ + sen(3x²) y’ = 2x + 1 ln(2) – 3x² + 6xcos(3x²)

y) f(x) = 5x² – ln(x² + 1) 1

25)5ln(2'

2

2

+−=

x

xxy x

z) y = 32x + tg(2x) – cossec(x²) y’ = 2ln(3) 32x + 2sec²(2x) + 2xcossec(x²)cot(x²)

DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA

Função Implícita:

Dada a função y = 2x2 – 3, costumamos dizer que y é uma função explícita de x, pois, podemos escrever: y = f(x), com f(x) = 2x2 –3.

A equação y – 2x² = -3 define a mesma função f, pois, resolvendo em relação à y, temos: y = 2x2 – 3.

Para o caso y – 2x² + 3 = 0, dizemos que y (ou f) é uma função implícita de x, ou que f é definida implicitamente.

Substituindo y por f(x) em y – 2x² = -3, obtemos:

f(x) – 2x² = -3 => 2x2 – 3 – 2x² = -3


61

A última equação é uma identidade, pois é válida, ∀ x do domínio de f. Esta é uma característica de toda função f definida implicitamente por uma equação em x e y; isto é, f é implícita se e somente se a substituição de y por f(x) conduz a uma identidade. Como (x , f(x)) é um ponto do gráfico de f, a última afirmação implica que o gráfico da função implícita coincide com uma parte do (ou todo o) o gráfico da função.

Derivada implícita

A derivada de uma função implícita é feita pelo método da diferenciação implícita, segundo o qual derivamos cada termo da equação em relação a x.

Ao aplicar a diferenciação implícita, é muitas vezes necessário considerar Dx(yn) para alguma

função desconhecida y de x, digamos y = f(x). Pela regra da potência podemos escrever Dx(yn) em

qualquer uma das seguintes formas:

Dx(yn) = n yn-1⋅ Dx(y) = n yn-1⋅⋅⋅⋅y’ =

dx

dynyn ⋅−1

Como a variável dependente y representa a expressão f(x), é essencial multiplicar n yn-1 pela derivada y’ ao diferenciarmos y em relação a x. Assim, Dx(y

n) ≠ n yn-1, a menos que y = x.

Exemplo 6) Encontre a derivada implícita da função implícita: y – 2x² = -3.

Solução:

Dx (y – 2x²) = Dx (-3)

y’ – 4x = 0 =>

Exemplo 7) Encontre a derivada implícita da função implícita: y4 + 3y – 4x3 = 5x + 1.

Solução:

Dx (y4 + 3y – 4x3) = Dx (5x + 1)

4y3⋅y’ + 3y’ – 12x2 = 5

Agora isolamos y’, obtendo: y' (4y3 + 3) = 12x2 + 5 =>

y’ = 4x

34

512'

3

2

++=

y

xy


62

Exemplo 8) Determine, se existir, a equação de uma reta normal à curva C: x² + xy + y² = 3 no ponto que x = 1.

Solução: a reta normal tem coef. Angular inverso oposto da reta tangente. Derivando implicitamente.

2x + y + xy’ + 2yy’ = 0 => xy

yx

dx

dy

++−=

2

2

Se x = 1 => y² + y – 2 = 0

y1 = 1 e y2 = -2

No ponto (1 , 1) => 11

−==xdx

dy

No ponto (1 , -2) => 01

==xdx

dy, não é inverso oposto ao da tangente.

A equação da reta tangente em (1 , 1) é: yn = -x + 2

A equação da reta normal em (1 , 1) é: yn = x

DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA

Sejam as funções y = f(x) e sua inversa y = f -1(x) suponha que ambas as funções são diferenciáveis.

A função inversa pode ser escrita como

x = f (y) (1)

diferenciando (1) em relação a y, obtém-se:

)(' yfdy

dx = (2)

e diferenciando (1) implicitamente em relação a x, obtém-se:

( )

)('

1

)('1)()(

yfdx

dy

dx

dyyfyf

dx

dx

dx

d

=

=⇒=


63

Assim, podemos relacionar a derivada da função original com a derivada da sua inversa por:

( ))('

1)(1

xfdy

dxxf

dx

d ==− =>

dy

dxxf

dx

dy 1)´( ==

DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

Derivada da função y = arcsen(x)

Se f(x) = arcsen(x) => x = sen(y)

)('

1)('

yxxf = => x’(y) = cos(y)

)cos(

1)('

yxf = => )(1)cos( 2 yseny −=

Finalmente: 21

1)('

xxf

−=

Derivada da função y = arccos(x)

Se f(x) = arccos(x) => x = cos(y)

)('

1)('

yxxf = => x’(y) =-sen(y)

)(

1)('

ysenxf

−= => )(cos1)( 2 yysen −=

Finalmente: 21

1)('

xxf

−

−=

Derivada da função y = arctg(x)

Se f(x) = arctg(x) => x = tg(y)

)('

1)('

yxxf = => x’(y) = sec²(y)


64

)(sec

1)('

2 yxf = => sec²(y) = 1 + tg²(y)

Finalmente: 21

1)('

xxf

+=

• As demais derivadas das trigonométricas inversas seguem a mesma idéia de raciocínio.

'1

1')(cot

2u

uyugarcy

+−=⇒=

'1||

1')sec(

2u

uuyuarcy

−=⇒=

'1||

1')sec(arccos

2u

uuyuy

−−=⇒=

DERIVADA DAS FUNÇÕES HIERBÓLICAS INVERSAS

Seja ( )1ln)(arg 2 ++== xxxsenhy => 1

1'

2 +=

xy

Seja

−+==

x

xxtghy

1

1ln)(arg =>

21

1'

xy

−= para | x | < 1

Seja

−+==

1

1ln)(cotarg

x

xxghy =>

21

1'

xy

−= para | x | > 1

Seja

−+==x

xxhy

211ln)(secarg =>

21

1'

xxy

−−= para 0 < x < 1

Seja

++==x

xxhy

211ln)(seccosarg =>

21||

1'

xxy

+−= para x ≠ 0


65

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA

Função na forma paramétrica

Uma função y = f(x) escrita na forma paramétrica tem a forma:

==

)(

)(

txy

txx, com t ∈ [a , b] (3)

Para cada valor do parâmetro t, obtém-se um ponto (x , y).

Por exemplo, considere a equação da curva

x² + y² = a² (4)

Na forma paramétrica, pode-se escrever:

==

)(

)cos(

tsenby

tax, com t ∈ [0 , 2π] (5)

Se as funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto P(x(t) ; y(t)) descreve uma curva no plano xy. As equações (5) são chamadas equações paramétricas da curva (4) e t é chamado parâmetro.

Derivada de uma Função Paramétrica

Seja y uma função de x, definida pelas equações paramétricas (3). Suponhamos que as funções y = y(t), x = x (t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis. A função y = y(x), através das equações (3), pode ser vista como função composta

y = y (t(x)) (6)

Aplicando a regra da cadeia na equação (6), obtém-se:

dx

dt

dt

dy

dx

dy = (7)

Como x = x(t) e t = t(x) são deriváveis, pela derivada da função inversa, tem-se que:


66

)('

1)('

1

txxt

dt

dxdx

dt =⇒=

Logo,

)('

1)('

txty

dx

dy = => )('

)('

tx

ty

dx

dy =

Exemplo 9) Considere a função representada parametricamente por

=

=

)(2)(

)(cos2)(3

3

tsenty

ttx.

Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função para 4

π=t .

Solução: As retas tangente e normal têm coef. angular inverso oposto, então:

)('

)('

tx

ty

dx

dy = => )()(cos23

)cos()(232

2

tsent

ttsen

dx

dy −=

)()cos(

)(ttg

t

tsen

dx

dy −=−=

Para 4

π=t , 1

4

−==

πtdx

dy coef. angular da reta tg.

E ainda para 4

π=t =>

=

=

2

1

4

2

1

4

π

π

y

x

A equação da reta tg em

2

1,

2

1 é: yt = -x + 1

A equação da reta normal em

2

1,

2

1 é: yn = x


67

DERIVADAS SUCESSIVAS - f(n): Derivada de ordem n.

exemplos:

1) f(x) = 5x3; f'(x) = 15x2; f'' (x) = 30x; f'''(x) = 30; fiv(x) = 0.

2) y = sen(3x); y’ = 3cos(3x); y” = -9sen(3x); y”’ = -27cos(3x).

3) y = e-2x; y’ = -2e-2x; y” = 4e-2x; y”’ = -8e-2x; yiv = 16e-2x.

EXERCÍCIOS 1) Calcular a segunda derivada de:

a) f(x) = sen(x) + cos(x)

b) f(x) = arctg(x)

c) f(x) = ln|x| - ex

d) f(x) = - 4x2 + 1

e) y = e2x + sen(3x) – x³

f) 12 −= xy

EXERCÍCIOS: Determine, y’ em cada caso.

1) x² + y² = 16 y

xy −='

2) 4ex² – 9y2 = x y

exy

x

18

18'

2

−=

3) x² + y² = 7xy yx

yxy

27

72'

−−=

4) x³ + ln( y³) = 8xy xy

yxyy

83

38'

22

−−=

5) 111 =+yx

2

2

'x

yy −=


68

6)

−=

−=

3

124

3

ty

tx

3

2t

dx

dy =

7) xyx

233 =−

2

222

3

23'

x

yxyy

+=

8) y = tgh(e3x) + ( )3 2 )1ln −x )1(3

2)(sec3'

2323

−+=

x

xehey xx

9) x = sen(x + y) )cos(

)cos(1'

yx

yxy

++−=

10) x²y² = x² + y² )1(

)1('

2

2

−−=

xy

yxy

11) x²y³ = x4 – y4 )43(

)2(2'

22

32

yxy

yxxy

+−=

12) 4=+ yx x

yy −='

13) y = cos(x – y) 1)sen(

)sen('

−−−=yx

yxy

14) ( ))1ln( 2 −= xarcseny )1(ln1)1(

2'

222 −−−=

xx

xy

15)

+−+

=ax

ax

x

aarctgy ln

44

32'

ax

ay

−=

16)

+−=2

1 2 xarcsenxy

22 4

1

1'

xx

xy

−+

−

−=

17) y = 2senh(e3x) + esenh(x) y’ = 6e3x cosh(e3x) + cosh(x) esenh(x)

18) y =4 x cosh(x²) – 3senh(x²) y’ = 4cosh(x²) + 8x² senh(x²) – 6x cosh(x²)

19) ln(y) – exy = x yx

yx

exy

eyyy

−+=

1'

2

20) Se existir escreva a equação da reta normal a curva (x² + 4) y = 4x – x³ e que passe na origem do sistema cartesiano. R: yn = x

21) Determine a equação da reta normal à curva C: xy² + y³ = 2x – 2y + 2 no ponto em que abcissa e ordenada tem o mesmo valor.


69

22) Verifique se a função definida parametricamente por

==

))ln(cos(

)sec(

ty

tx para todo t ∈

−2

,2

ππ

satisfaz a equação 02

2

=+dx

dye

dx

yd y .

23)

==

)cos(3

)(

tay

tsenax

−=−=a

xarcsentgttg

dx

dy3)(3

24)

−=−=

))cos(1(

))((

tay

tsentax

)cos(1

)(

t

tsen

dx

dy

−=

25)

=

=−t

t

ey

ex2

3

2

2

=−=−

2ln

3

1

3 3

2 x

e

e

dx

dyt

t

26)

=

=

)cos( 2

2

t

t

ey

ex )()( 2 xsenesen

dx

dy t =−=

27) Considere a função g(x) = cos(x) [f(x)]², onde f : R → R é duas vezes diferenciável (derivável), f(0) = -1, f’(0) = f"(0) = 2. Calcule g”(0) .

28) Determine f’(0) sabendo que ( ) ππ −+−=

− xxfxsenf 33

2

3)(

29) Sejam f: R → R uma função diferenciável até 2ª ordem e g: R → R definida por g(x) = f(x + 2cos(3x)). Determine:

a) g”(x)

b) Supondo f’(2) = 1 e f”(2) = 8 , calcule g”(0) .

30) Verifique se a função y = x e-x é solução da equação x y’ = (1 – x) y.

31) Verifique se a função )ln(1

1

xxy

++= é solução da equação x y’ = y (y ln(x) – 1).

32) Verifique se a função y = 3e2x é solução da y’ – y = e2x.

33) Verifique se a função xeexy 2)( = é solução da equação y’ = y ex.


70

DIFERENCIAIS E INCREMENTOS

Incremento

Seja y = f(x) uma função. Sempre é possível considerar uma variação da variável independente x. Se x varia de x0 a x1, definimos o incremento ou acréscimo de x, denotado por ∆x, como

∆x = x1 – x0 => x1 = x0 + ∆x

Se y = f(x) e se x varia de x0 a x1, então há uma correspondente variação no valor de y que vai de y0 = f(x0) até y1 = f(x1), ou seja, o incremento ∆x em x produz um incremento ∆y em y, onde

∆y = y1 – y0 = f(x1) – f(x0)

Com esta notação pode-se escrever:

∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)

Em um ponto qualquer, omitindo-se os subscritos, tem-se que:

∆y = f(x + ∆x) – f(x)

Diferencial

Os símbolos dy e dx que aparecem na derivada são chamados de diferenciais, e o nosso objetivo é definir estes símbolos de tal forma que se possa tratar dy / dx como uma razão. Com essa finalidade, vamos considerar x como fixo e definir dx como uma variável independente, para a qual possa ser atribuído um valor arbitrário. Se f for diferenciável em x, então definimos dy pela fórmula

dy = f’(x0) dx

Se dx ≠ 0, podemos dividir esta expressão por dx. Assim,

)(' xfdx

dy =

Como a inclinação da reta tangente a y = f(x) em x é mt = f’(x), os diferenciais dy e dx podemos ser vistas como o avanço (dx) e a elevação (dy) correspondentes dessa reta tangente.


71

Para ver a diferença entre o incremento ∆y e o diferencial dy, vamos atribuir às variáveis dx e ∆x o mesmo valor (dx = ∆x). Dessa forma tem-se que:

a) ∆y representa a variação ao longo da curva y = f(x) quando são percorridas ∆x unidades na direção de x.

b) dy representa a variação ao longo da reta tangente, quando são percorridas dx unidades na direção de x.

Quanto menor for o valor de dx, menor será a diferença entre ∆y e dy (∆y – dy) → 0. Ambos tendem a igualdade no ponto de tangência.

� Outra forma de entender diferencial e incremento é pela análise da área de um quadrado, como segue:

Considere um quadrado de lado x unidades, tendo um acréscimo dx em cada lado x, como mostra a figura anexa.

A(x) = x²

A(x + dx) = (x + dx)² = x² + 2x dx + dx²

A área achurrada é o diferencial da área original, isto é,

uma estimativa da variação da área.

dA = x dx + x dx = 2x dx

Pela definição de diferencial: dA = A’(x) dx => dA = 2x dx

A variação exata da área é:

∆A = A(x + dx) – A(x) => ∆A = x² + 2x dx + dx² – x²

∆A = 2x dx + dx²

Portanto, | ∆A – dA | = 2x dx + dx² – 2x dx = dx² que é desprezível quando dx for próximo de zero.

x

dx dx

dx x

dx


72

Exemplo 10) Deseja-se construir uma caixa d´agua cúbica com capacidade interna de 8 m³ de água. Determine, aproximadamente, a quantidade de concreto necessária para construí-la com 10 cm de espessura em todos os lados.

Solução: se x = 2 m => V(x) = x³ volume interno

dx = 0,1 + ,01 = 0,2 m

dV = 3x² dx => dV = 2,4 m³ de concreto aproximadamente

∆V = V(2 + 0,2) – V(2) ∆V = 2,648 m³ de concreto exatamente

TAXAS RELACIONADAS

Um problema envolvendo taxas de variação de variáveis relacionadas é chamado de problema de Taxas Relacionadas. Começaremos nossa discussão com um exemplo que descreve uma situação real.

Exemplo 11) Uma escada com 25m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3m/s, qual a velocidade com que a escada está deslizando, quando seu pé está a 15m de comprimento da parede?

Solução:

t = tempo em (s) decorrido desde que a escada começou a deslizar pela parede;

y = distância do chão ao topo da escada em t(s), y = f(t);

x = distância do pé da escada até a parede em t(s), x = f(t);

dt

dx= velocidade ou taxa de variação em que a escada está sendo puxada horizontalmente;

dt

dy= velocidade ou taxa de variação em que a escada desliza pela parede, verticalmente.

Como o pé da escada está sendo puxado horizontalmente da parede a 3m/s, smdt

dxx /3' == .

Queremos encontrar dt

dyy =' quando x = 15m. Pelo teorema de Pitágoras, obtemos:

y² + x² = 25²

25

x

y parede


73

y² + x² = 625 (1)

Como x e y são funções de t, derivamos x e y em relação a t, então:

0'2'2 =+ xxyy => dt

dx

y

x

dt

dy −=

Da equação (1), quando x = 15, obtemos: y² + 15² = 625 => y = 20

Portanto, para achar dt

dy, quando y = 20 e 3=

dt

dx, temos que:

320

15 ⋅−=dt

dy => é a velocidade com que a escada está deslizando pela

parede, quando x = 15m longe da parede. O sinal negativo significa que y é decrescente quando t cresce.

Exemplo 12) Suponhamos que um óleo derramado através da ruptura de um tanque se espalha no mar em forma circular cujo raio cresce em uma taxa constante de ½ m/s. Com que velocidade a área do derramamento de óleo está crescendo quando o raio dele for 20m?

Solução: Sejam t : tempo (s); r : raio (m): A : área do círculo (m²);

Determinar ?20

==rdt

dA para r = 20, sendo sm

dt

dr/5,0=

Como o óleo está derramando em forma circular, a área do derramamento é:

A(r) = π r²

Como r está variando com o tempo, pela regra da cadeia temos que:

dt

dr

dr

dA

dt

dA = => dt

drr

dt

dA π2=

Finalmente: smdt

dA

r

/20 2

20

π==

y’ = - 2,25m/s


74

Exemplo 13) Acumula-se areia em monte com a forma de um cone cuja altura é igual ao raio da base. Se o volume da areia cresce a uma taxa de 10 m³/h, a que razão aumenta à área da base quando a altura do monte é de 4 m.

Solução: h : altura: r : raio da base: A : área da base: V : volume do cone

hmdt

dV/³10= . Determinar ?=

dt

dA para h = 4m.

2rA π= => dt

dr

dr

dA

dt

dA = => dt

drr

dt

dA π2=

Como r = h, devemos usar a fórmula do volume para encontrar dt

dr, assim:

32

3

1

3

1rhrV ππ == =>

dt

dr

dr

dV

dt

dV =

dt

drr

dt

dV 2π= => 2

10

rdt

dr

π=

Portanto, hmdt

dA/5 2=

RESUMO: Para resolver problemas envolvendo taxas relacionadas deve-se:

1 – Faça uma figura, se possível.

2 – Defina as variáveis. Em geral defina primeiro t, pois as outras variáveis usualmente dependem de t.

3 – Escreva todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e suas derivadas em relação a t.

4 – Obtenha uma equação envolvendo as variáveis dependentes de t.

5 – Derive em relação a t ambos os lados da equação encontrada na etapa 4.

6 – Substitua os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa 5 e resolva em termos da quantidade desejada.


75

EXERCÍCIOS

1) Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce a razão de 12,5 cm/s. Qual a variação do volume no instante em que o raio é de 15,2 cm?

2) Um ponto se move sobre a parte superior da parábola semicúbica y² = x3 de tal maneira que sua abscissa cresce a razão de 5 unidades por segundo. Quando x = 4, com que rapidez varia a ordenada?

3) Um corpo é lançado no espaço formando com a horizontal um ângulo α, descreve no ar, por ação da gravidade uma curva cujas equações são x = v0 t cos(α) e y = v0 t sen(α) – ½ g t2. Sabendo que α = 60º e v0 = 50 m/s, determine a direção do movimento quando t = 2s?

4) Dois carros, um dirigindo-se para leste com velocidade de 77 km/h, o outro se dirigindo para o sul com velocidade de 57 km/h, estão viajando em direção ao encontro das duas rodovias. A que velocidade os carros se aproximam um do outro, no momento em que o primeiro carro estiver à 477 m e o segundo carro estiver à 277 m da intersecção das rodovias?

5) Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base 2 m. O mesmo está sendo cheio de água à razão de 7 m³/min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de profundidade?

6) Considerando um bloco de madeira de forma cúbica, se é tirada uma placa de 0,47 cm de espessura de cada lado do bloco, e se o bloco tinha originalmente 1,7 cm de comprimento do lado, qual a razão de variação do volume por causa desse processo?

7) Uma piscina tem 18 m de largura, 28 m de comprimento, 2 m de profundidade em um extremo e 8 m no outro, o fundo tem forma de um plano inclinado. Se a água está sendo bombeada para a piscina à razão de 0,8 m³/min, com que velocidade se eleva o nível da água no instante em que ele é de 1,8 m na extremidade mais profunda?

8) Um triângulo retângulo inscrito no círculo x² + y² = 25, tem as extremidades da hipotenusa situadas nos pontos A(5; 0) e B (-5; 0), enquanto que, o terceiro vértice, situado no ponto P(x; y), se move sobre a circunferência com uma velocidade dx/dt = ½ m/s. Calcule a velocidade com que a área deste triângulo está variando quando x = 4 m.

9) Em que pontos da parábola y² – 18x = 0 a ordenada y cresce duas vezes mais depressa que a abscissa x?

10) Uma pipa está a 80 m de altura sobre o nível do solo. Horizontalmente, se a criança que a segura se move a 4 m=s, com que velocidade a criança está soltando a corda quando esta corda medir 100 m.

11) Um ponto se move ao longo do gráfico de 1

12 +

=x

y de tal modo que a sua abscissa varia a

uma velocidade constante de 5 m/s. Qual a velocidade da ordenada no instante em que x = 10 m.

12) Uma piscina tem 10m de largura, 20m de comprimento, 1m de profundidade nas extremidades e 3 m no meio, de modo que o fundo seja formado de dois planos inclinados. A água é bombeada para a piscina à razão de 0,3 m³/min. Seja h a altura da água na parte mais profunda, com que velocidade estará variando h no instante em que h = 1m?


76

13) Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5m de raio da base a 10m de altura. No tempo t = 0 s, a água começa a fluir no tanque à razão de 25 m³/h. Então:

a) com que velocidade sobe o nível da água?

b) quanto tempo levará para o tanque ficar cheio?

14) Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de 1/3 m/s. Quando ele está a 17m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 5 m/s passa por baixo dele. A que taxa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará 3s depois?

15) Uma cidade A é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de uma tempo x, medido em dias a partir do

primeiro dia da epidemia, é aproximadamente dado por 3

64)(3x

xxf −= .

a) Qual a razão de expansão da epidemia no tempo x = 4 dias?

b) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no quinto dia?

16) A água escoa a uma taxa de 6 m³/min de um reservatório hemisférico com raio de 13m (figura anexo). Responda às questões a seguir, sendo que o volume de água em um recipiente hemisférico

de raio r é dado por )3(3

2 yryV −= π, quando a água tem y metros de profundidade abaixo.

a) Qual será o raio r na superfície da água quando a água tiver y metros de profundidade?

b) A que taxa o nível da água variará quando a água tiver 8m de profundidade?

c) A que taxa o raio r variará quando a água tiver 8m de profundidade?

17) Uma lâmpada colocada num poste está a 4m de altura. Se uma criança de 90cm de altura caminha afastando-se do poste à razão de 5m=s, com que rapidez se alonga sua sombra?

18) Às 13:00 h o navio A está a 100 km ao norte do navio B. O navio A está navegando rumo ao sul a 20 km/h enquanto o navio B estiver navegando rumo ao leste a 15 km/h. Qual a velocidade de afastamento dos navios às 19:00 hs?

19) Um bote é puxado por uma corda presa à proa e que passa por uma argola na cais a 2m acima da proa. A corda é puxada com uma taxa de 0,6 m/s.

a) A que velocidade o bote se aproxima do cais quando 3m de corda foram puxados?


77

b) A que taxa o ângulo θ varia neste momento?

APLICAÇÕES DA DERIVADA

TEOREMAS SOBRE FUNÇÕES DERIVÁVEIS

REGRAS DE L’HSOPITAL

As regras de L'Hospital, são para calcular limites indeterminados, da forma 0

0 ou

∞∞

, usando

derivadas. Estaremos também examinando gráficos de funções envolvendo exponenciação.

Diremos que o limite )(

)(lim

xg

xfax→

tem a forma indeterminada 0

0, se f(x) e g(x) são contínuas e

deriváveis para x ≠≠≠≠ a e 0)(lim)(lim ==→→

xgxfaxax

.

Diremos que o limite )(

)(lim

xg

xfax→

tema forma indeterminada ∞∞

, se f(x) e g(x) são contínuas e

deriváveis para x ≠≠≠≠ a ∞±==→→

)(lim)(lim xgxfaxax

.

Os mesmos conceitos se aplicam se tivermos x→→→→ a+ ou x→→→→ a-.

São duas as chamadas regras de L'Hospital. Uma para formas indeterminadas 0

0 e outra para

formas indeterminadas ∞∞

. No entanto, ambas podem ser enunciadas conjuntamente em um único

teorema (que não demonstraremos).

TEOREMA (Regras de L'Hospital): Se )(

)(lim

xg

xfax→

tem uma forma indeterminada 0

0 ou

∞∞

,

então:

)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xfaxax →→

=


78

caso o limite )('

)('lim

xg

xfax→

exista (sendo finito ou infinito). O mesmo vale se a é substituído por a+ ou

a-, ou se a = ±±±± ∞∞∞∞.

Exemplo 14) Calcular 253

2lim

2

2

2 −−−−

→ xx

xxx

Solução: Um cálculo direto nos dá a forma indeterminada 0

0. Pelo método tradicional, usando

fatoração, fazemos:

7

3

13

1lim

)13)(2(

)1)(2(lim

253

2lim

222

2

2=

++=

+−+−=

−−−−

→→→ x

x

xx

xx

xx

xxxxx

Aplicando L’Hopital, temos que:

7

3

56

12lim

253

2lim

22

2

2=

−−=

−−−−

→→ x

x

xx

xxxx

Mas às vezes, as regras de L'Hospital são o único recurso no cálculo de um limite:


)sen(lim

x

xxx

−→

.

Solução: 0

0)sen(lim

30=−

→ x

xxx

. Aplicando L'Hospital, temos:

0

0

3

)cos(1lim

)sen(lim

2030=−=−

→→ x

x

x

xxxx

( ) ==−=−→→→ x

x

x

x

x

xxxxx

sen

6

1lim

3

)cos(1lim

)sen(lim

02030

6

1


79


2

limx

e x

x ∞→

Solução:

∞∞=

==

∞+→

∞−→

∞→

3

2

3

2

3

2

lim

0limlim

x

e

x

e

x

ex

x

x

xx

x

Aplicando L’Hospital, temos que:

∞∞==

∞+→∞+→ 2

2

3

2

3

2limlim

x

e

x

e x

x

x

x

====∞+→∞+→∞+→∞+→ 6

8lim

6

4lim

3

2limlim

22

2

2

3

2 x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

e

x

e+∞∞∞∞

Forma indeterminada: 0⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞

No cálculo de limites sabemos também que 0⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞ representa uma indeterminação. Neste caso, também podemos usar as regras de L’Hospital, após uma conveniente representação das funções no limite.

Suponhamos que ∞⋅=⋅→

0)()(lim xgxfax

, isto é, 0)(lim =→

xfax

e ∞=→

)(lim xgax

.

Neste caso, primeiramente fazemos:

( ) 0

0

)(

)(lim

1=−→ xg

xfax

, então utilizando L’Hospital calculamos: ( )( )'1)(

)('lim

−→ xg

xfax

.

Exemplo 17) Calcular )ln(lim0

xxx +→

Solução: )(0)ln(lim0

−∞⋅=+→

xxx

0lim)(1

limlim)ln(

lim0

2

02

1

010=−=−=

−=

++++ →→−→−→xx

xxx

xxx

x

xx


80

Exemplo 18) Calcule o seguinte limite x

xxx 3

12)cos(lim

0

−+→

.

Solução: 0

0

3

12)cos(lim

0=−+

→ x

xxx

, Aplicando L´Hospital, obteremos:

3

2)sen(lim

3

12)cos(lim

00

+−=−+→→

x

x

xxxx

= 3

2

Exemplo 19) Calcule o limite )2cos(1

2lim

0 x

ee xx

x −−+ −

→

Solução: 0

0

)2cos(1

2lim

0=

−−+ −

→ x

ee xx

x

4

2

)2cos(4lim

)2sen(2lim

)2cos(1

2lim

000=+=−=

−−+ −

→

−

→

−

→ x

ee

x

ee

x

ee xx

x

xx

x

xx

x =

2

1

Forma indeterminada: ∞∞∞∞ – ∞∞∞∞

Se f(x) = g(x) – h(x) e o ∞−∞=→

)(lim xfax

, então, através de operações elementares entre as

funções g(x) e h(x) é sempre possível transformar o )(lim xfax→

numa das formas indeterminadas 0

0

ou ∞∞

.

.

Exemplo 20) Calcule )sec()(lim2

xxtgx

−→

π

Solução: ∞−∞=−→

)sec()(lim2

xxtgx

π indeterminação

)cos(

1)(lim

)cos(

1

)cos(

)(lim

22x

xsen

xx

xsen

xx

−=−→→

ππ, Aplicando L’Hospital

)(

)cos(lim

2xsen

x

x

−→

π = 0


81

Formas indeterminadas do tipo: 1∞∞∞∞, 00 e ∞∞∞∞0

Se f(x) = [g(x)] h(x) e [ ] )()(lim xh

axxg

→ assume uma das três formas indeterminadas 1∞, 00 e ∞0,

então, para qualquer uma das três indeterminações, define-se:

[ ] Lxg xh

ax=

→

)()(lim

Aplicando-se o logaritmo neperiano à função dada, temos que:

[ ]( ) ( )Lxg xh

axln)(lnlim )( =

→

Assim, o limite passa a ter a forma indeterminada 0⋅∞, que se resolve por L’Hospital. Para determinar a solução final deve-se aplicar a função exponencial (pois é a função inversa do logaritmo) no limite encontrado.

Exemplo 21) Calcule

→− 2

1)2(lim

xtg

xx

π

Solução: ∞

→=− 1)2(lim 2

1

xtg

xx

π

aplicando o logaritmo neperiano, obtemos:

( ) ( )

( )

πππ

π

ππ

2

2seccos

2

2

1

lim

',

2cot

)2(lnlim

)2(ln2

limln)2(lnlim

1

1

1

2

1

=

−

−−

−

−

⇒=

−

→

→

→

→

xx

HospitalLAplicandox

g

x

xx

tgLx

x

x

x

xtg

x

( )π2

ln =L => π2

eL =


82

EXERCÍCIOS

1) Calcule os seguintes limites, se existirem.

a) 25

21lim

25 −−−

→ x

xx

R: 40

1

b) 12

23lim

2

3

1 −−+−

→ xx

xxx

R: 0

c) ( ) 2

1lim 2 x

xex −

∞→− R: 0

d) xxtg

xxx −

−→ )(

)sen(lim

0 R:

2

1−

e) ( )1lim1

0−

→xex

x R: indefinida

f) 20

1lim

x

ex x

x

−+→

R: 2

1−

g) ( )

))ln(sen()(lim2

xxtgx −→ π

R: 0

h)

+−

−∞→ 11lim

22

x

x

x

xx

R: 2

i) )(cos

)sen(1lim

22 x

xx

+→π

R: ∞

j) 24

4lim

34 −+−

→ x

xx

R: 12

k) ( ) )(3

)sec(2lim

2 xtg

xx

+−→ π

R: 3

1

l) )ln(

lim2

x

xx ∞→

R: ∞

m) )sen(

)sen(2lim

0 xx

xee xx

x

−− −

→ R: 0

n) 20

32lim

x

exe xx

x

−

→

−− R: ∞


83

o) 2

)1ln(lim

2 −−

→ x

xx

R: 1

p) x

ex

x 3

)2ln(lim

+∞→

R: 1/3

q) )ln(lim0

xxx +→

R: 0

r) x

xx

)ln(lim

∞→ R: 0

s) )(

2lim

0 xsenx

xee xx

x −−− −

→ R: 2

t) )(

0)(cotlim xsen

xxg

→ R: 1

u) )cos(1

1

)(

2lim

20 xxsenx −−

→ R: ½

v) ( )xx

xxe

1

0lim +

→ R: e²

x) )ln(

1

1

1lim

1 xxx−

−→ R: -½

z)

→

−a

xtg

ax a

x 22lim

π

R: π2

e

aa) ( ) )(2lim2

xtgxx

−→

ππ

R: 2

bb) ( ) ( )xg

xxsen cot

0)(1lim +

→ R: e

cc) )1ln(

1)(lim

0 +−−

→ x

xsenex

x R: 0


84

TEOREMA DE ROLLE

O teorema afirma que se o gráfico de uma função diferenciável cruza o eixo x em dois pontos, a e b, então entre eles deve existir ao menos um ponto c onde a reta tangente é horizontal. Isto significa que no intervalo [a , b] a função tem pelo menos um ponto extremo, como na figura.

No exemplo acima ilustrado, em cada um dos pontos cujas abscissas são c1 e c2 o coeficiente angular da reta tangente à curva é zero. Portanto, f’(c) = 0.

TEOREMA DE ROLLE

Seja f uma função tal que:

i) f é contínua em [a , b] ;

ii) f derivável em (a , b);

iii) f (a) = f (b)

Então, existe pelo menos um c ∈ (a , b) tal que f’(c) = 0.

Demonstração: Consideremos dois casos.

1º Caso: Se f(x) = k, ∀ x ∈ [a , b].

Então f’(x) = 0, ∀ x ∈ (a; b).

Logo, qualquer número entre a e b pode ser escolhido como c.

2º Caso: Se f(x) ≠ f (a) = f (b), para algum x ∈ (a , b).

Como f é contínua em [a , b], pela proposição 2, f atinge seu máximo e seu mínimo em [a , b]. Sendo f(x) ≠ f (a) = f (b) existe pelo menos um valor extremo em algum c ∈ (a , b).

E ainda, como f é derivável, pela proposição 1, conclui-se que f’(c) = 0.


85

Exemplo 22) A função f(x) = x - x³ ∀ x ∈ [-1 , 1] verifica o teorema de Rolle?

Solução:

I) Como f é uma função polinomial, logo é contínua em [-1 , 1] II) f também é derivável em (-1 , 1) III) f(-1) = f(1) = 0

f’(x) = 1 – 3x² => 1 – 3c² = 0 => 3

3±=c

Logo, a função verifica o teorema de Rolle em [-1 , 1], isto é, existem dois pontos extremos na função neste intervalo.

Exemplo 23) A função f(x) = 3 2)2( −x ∀ x ∈ [0 , 4] verifica o teorema de Rolle?

Solução:

I) f é contínua em [0 , 4] II) f é derivável em (0 , 4)?

f’(x) = 3 23

2

−x => f não é derivável em x = 2, logo, não verifica o

Teorema de Rolle neste intervalo.


86

TEOREMA DO VALOR MÉDIO (OU DE LAGRANGE)

Seja f uma função tal que

I) f é contínua em [a , b];

II) f é derivável em (a , b);

Então, existe pelo menos um a < c < b tal que ab

afbfcf

−−= )()(

)(' .

Demonstração: A equação da reta que passa pelos pontos A(a, f(a)) e B(b , f(b)) é:

)()()(

)( axab

afbfafy −

−−=−

Se y = h (x), então: )()()()(

)( afaxab

afbfxh +−

−−=

Observe que h(x) é uma função polinomial. Sendo assim, h é uma função contínua e diferenciável para todo x.

Fazendo a função g(x) = f(x) – h(x). Assim,

)()()()(

)()( afaxab

afbfxfxg −−

−−−=

Esta função representa a distância vertical entre um ponto do gráfico e o ponto correspondente da reta secante.

Note que:

i) g(a) = g(b) = 0;

ii) g é uma função contínua em [a , b];

iii) g é derivável em (a , b);

Portanto, como a função g satisfaz as condições do Teorema de Rolle, ∃ c ∈ (a , b) tal que:

ab

afbfcfcg

−−=⇒= )()(

)('0)('

Isto significa que a função tem uma reta tangente em x = c e que é paralela a reta secante que passa por (a, f(a)) e (b , f(b)).


87

Exemplo 24) Em que ponto da curva f(x) = ln(x) a reta tg é paralela a corda que passa pelos pontos A(1 , 0) e B(e , 1).

Solução: Neste caso a solução é pelo TVM no intervalo 1 < x < e.

I) f é contínua em [1 , e] II) f é derivável em (1 , e)

xxf

1)(' = =>

1

011

−−=

ec => 1−= ec

Portanto, o ponto da curva em que a reta tg é paralela a reta secante é (e – 1 , ln(e – 1)).

Exemplo 25) Verifique se a função f(x) = x – x³ verifica o Teorema do Valor Médio em x ∈ [-2 , 1].

Solução: Verificando as hipóteses do teorema do valor médio

i) f é definida e contínua em [-2; 1];

ii. f’(x) = 1 – 3x² é contínua para todo x ∈ (-2 , 1);

Logo, satisfaz as condições do teorema. Assim, temos que ∃ c ∈ (-2; 1) tal que

ab

afbfcf

−−= )()(

)('

1 – 3c² = -2 => 3c² = 3 => 1±=c

Observe que, apenas -1 ∈ (-2 , 1), portanto, apenas c = -1 verifica as condições do TVM .


88

EXTREMOS DE FUNÇÕES: MÁXIMOS E MÍNIMOS

As derivadas de uma função y = f(x) fornecem informações importantes acerca do comportamento do gráfico de f(x) no que se refere ao seu crescimento ou decrescimento e também sobre os valores extremos (máximos e mínimos).

Definição: Seja f uma função contínua em um intervalo [a , b] e diferenciável em (a, b).

a) Crescimento:

f(x) é crescente no intervalo [a, b] se:

{ )()(],[, 212121 xfxfxxquetalbaxx <⇒<∈∀

Se a f(x) for diferenciável em [a, b], não constante, tem-se que:

b) Decrescimento:

f(x) é decrescente no intervalo [a, b] se:

{ )()(],[, 212121 xfxfxxquetalbaxx >⇒<∈∀

Se a f(x) for diferenciável em [a, b], não constante, tem-se que:

f' (x) < 0, a partir de, f' (x) = 0

f' (x) > 0, a partir de, f' (x) = 0


89

Exemplo 26) Determinar os intervalos em que é crescente e os intervalos em que é decrescente a função f(x) = x3 + x2 – 5x – 5.

Exemplo 27) Determinar os intervalos em que é crescente e os intervalos em que é decrescente a função f(x) = -x3 + 6x2 - 9x + 5.

c) Valores extremos (Teste da Primeira Derivada):

Seja f(x) uma função definida em [a, b] tal que xo ∈ [a, b], tem-se:

c.1) Ponto de mínimo local (ponto crítico):

Se xo é um ponto de mínimo local então, f’ (x) = 0 ou não existe e, numa vizinhança de xo, tem-se que:

⇒>⇒>⇒<⇒<

crescenteéxfxfxx

edecrescentéxfxfxx

)(0)('

)(0)('

0

0

Exemplo 28) f(x) = x2 – 2x – 4


90

c.2) Ponto de máximo local (ponto crítico):

Se xo é um ponto de máximo local então, f’ (x) = 0 ou não existe e, numa vizinhança de xo, tem-se que:

⇒<⇒>⇒>⇒<

edecrescentéxfxfxx

crescenteéxfxfxx

)(0)('

)(0)('

0

0

Exemplo 29) f(x) = -x2 + 2x + 4

Quadro Resumo:

Ponto Crítico (xo) x < xo x > xo Conclusão

f’ (xo) = 0 f’ (x) > 0 (crescente) f’ (x) < 0 (decrescente) xo é ponto de máx. local

f’ (xo) = 0 f’ (x) < 0 (decrescente) f’ (x) > 0 (crescente) xo é ponto de min. local

RESUMO: Para determinar os extremos locais de uma função f(x).

I) Achar f’ (x).

II) Achar os pontos críticos de f, isto é, os valores de x para os quais f’ (x) = 0, ou para os quais f’ (x) não existe.

III) Substituir os pontos críticos em f(x) e verificar os máximos e mínimos.


91

d) Teste da Derivada Segunda

A segunda derivada de uma função y = f(x), geralmente, facilita a verificação dos pontos extremos locais em relação à primeira derivada. Baseia-se na observação geométrica de que, num máximo local, a função f(x) é côncava para baixo num intervalo aberto I, contendo o ponto crítico xo de f(x), enquanto que, num mínimo local, ela é côncava para cima.

TEOREMA 1: Suponha que uma função f seja diferenciável duas vezes em um ponto (xo ; yo) então:

Se f’ (xo) = 0 e f” (xo) > 0, então f tem em xo um mínimo local.

Se f’ (xo) = 0 e f” (xo) < 0, então f tem em xo um máximo local .

Se f’ (xo) = 0 e f” (xo) = 0, então o teste é inconclusivo, isto é, a função pode ter um máximo ou um mínimo local ou nenhum dos dois em xo.

Ponto de inflexão: Se uma função f é contínua num intervalo aberto I contendo o ponto (x1 ; y1) e se a função muda a direção da concavidade neste ponto, então, f tem um ponto de inflexão em (x1;y1).

TEOREMA 2: Seja uma função f diferenciável até segunda ordem em um intervalo aberto I contendo o ponto x1.

Se f” (x) > 0 em I, então a função tem concavidade para cima, ou seja, é côncava em I.

Se f” (x) < 0 em I, então a função tem concavidade para baixo, ou seja, é convexa em I.

Exemplo 30) Seja f(x) = x³ – 3x² + 1. Ache os pontos de máximo e mínimo e o intervalo em que a função tem concavidade para cima e para baixo.

Solução:

f’(x) = 3x² – 6x => 3x(x – 2) = 0 => x1 = 0 e x2 = 2 pontos críticos

f”(x) = 6x – 6 => f ”(0) = -6 < 0 => f” (2) = 6 > 0

f(0) = 1 e f(2) = -3

Logo, a função tem um ponto de máximo local em x = 0 e um ponto de mínimo local em x = 2.

f”(x) = 6(x – 1) => x = 1 é ponto de inflexão.


92

Se x < 1, f”(x) < 0. A função é convexa.

Se x > 1, f”(x) > 0. A função é côncava.

OBSERVAÇÃO: Os pontos de inflexão marcam os lugares no gráfico de y = f(x) nos quais a taxa de variação de y em relação a x muda de crescente para decrescente ou vice-versa. Isto é, mudam as inclinações das retas tangentes, ou seja, passa de crescente para decrescente ou vice-versa. É também neste ponto que a função y = f(x) cresce mais rapidamente.

O exemplo físico a seguir nos ajuda a clarear as idéias: suponha que água seja acrescentada ao frasco da figura abaixo, de tal forma que o volume aumenta a uma taxa constante e vamos examinar a taxa, segundo a qual se eleva o nível y da água, ele irá crescer até atingir o ponto mais estreito no gargalo do frasco. A partir deste ponto em diante, a taxa segundo a qual o nível da água se eleva irá decrescer, à medida que o diâmetro aumenta. Desta forma, o ponto onde o frasco fica mais estreito é aquele onde a taxa de variação de y em relação a t muda de crescente para decrescente.

Concavidade Para cima

Concavidade para baixo.

Ponto de inflexão ocorre quando o nível da água está no ponto mais estreito do frasco

y (nível da água)

t (tempo)


93

ASSÍNTOTAS

Assíntota Vertical

A reta x = a é dita assíntota vertical do gráfico de uma função f se:

∞±=→

)(lim xfax

Assíntota Oblíqua

A reta y = kx + b é dita assíntota oblíqua do gráfico de uma função f se:

x

xfk

x

)(lim

∞→= ; kxxfb

x−=

∞→)(lim

• Se k = 0 e b ≠ 0, a reta y = b é dita assíntota horizontal do gráfico de uma função f se:

Exemplo 31) Identifique as assíntotas, se existirem, de 86

53 2

−+=

x

xy .

Solução: A. V. se existir, está na restrição de domínio.

∞=−

+→ 86

53lim

2

3

4 x

x

x

, logo 3

4=x é assíntota vertical.

A. O. y = kx + b

0)86(

53lim

2

=⇒−

+=∞→

kxx

xk

x

−∞−→

∞+→==

−+=

∞→∞→

6

3,

6

3,

6

||3lim

86

53lim

2

xse

xse

x

x

x

xb

xx

As assíntotas horizontais são: 6

3=y e 6

3−=y


94

Exemplo 32) Identifique as assíntotas, se existirem, de 1

12)(

2

−−+=

x

xxxf

Solução: x – 1 ≠ 0 => x ≠ 1

D = R – {1}

∞−=−

−+

∞+=−

−+

−

+

→

→

1

12lim

1

12lim

2

1

2

1

x

xx

x

xx

x

x

A função tem uma A.V. em x = 1.

31

12lim

1)1(

12lim

2

2

1

=−−

−+=

=−

−+=

∞→

→

xx

xxb

xx

xxk

x

x

A função tem uma A.O. y = x + 3.

Exemplo 33) Seja 1

)(2

−=

x

xxf . Faça um esboço completo do gráfico desta função.

Solução: D = R – {1}

2

2

2

2

)1(

2

)1(

)1(2)('

−−=

−−−=

x

xx

x

xxxxf

200)1(

2212

2

==⇒=−−

xexx

xx P.C.

Pelo teste da 1ª derivada:

Se x < 0, f’(x) > 0 e se 0 < x < 2, f’(x) < 0, logo, f(x) tem um máx. em x = 0.

Se x > 2, f’(x) > 0 f(x) tem min. em x = 2.

3)1(

2)(''

−=

xxf => não existe f’’(x) = 0.


95

Se x < 1, f’’(x) < 0 a função é convexa

Se x > 1, f’’(x) > 0 a função é côncava

∞=−→ 1

lim2

1 x

xx

a função tem uma A. V. em x = 1.

A. O. y = kx + b

111

1lim

2

=⇒=−

=∞→

kxx

xk

x

111

lim2

=⇒=−−

=∞→

bxx

xb

x

a função tem A. O. y = x + 1.

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Exemplo 34) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m, cuja área é a maior possível.

Solução:

x = comprimento y = largura A = área

A = x⋅y (1)

O perímetro é 100 m, então:

2x + 2y = 100 => y = 50 – x (2)

Substituindo (2) em (1), obtém-se:

A = x(50 – x) => A = 50x – x² (3)

Como x representa o comprimento, este não pode ser negativo e o perímetro não pode ultrapassar 100 m, então: 0 ≤ x ≤ 50.

A área representada por (3) será máxima quando encontrarmos um valor x que dê a maior área. Para isso, usaremos a derivada.

x y


96

xdx

dA250−= => Para 0=

dx

dA, obtemos:

50 – 2x = 0 => x = 25

Portanto, o valor máximo da área deve estar em [0 , 50] incluindo x = 25.

A = 50⋅0 – 0² => A = 0 m²

A = 50⋅25 – 25² => A = 625 m² é área máxima

A = 50⋅50 – 50² => A = 0

P/S: Em qualquer figura retangular com perímetro constante, a área máxima será sempre um quadrado.

Exemplo 35) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 cm por 30 cm, destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?

Solução:

x = comprimento dos lados dos quadrados cortados

V = volume (em cm³) da caixa resultante

Como estamos cortando quadrados de lados x de cada canto, a caixa resultante terá dimensões x, 16 – 2x e 30 – 2x. O volume desta caixa é o mesmo de um paralelepípedo, portanto:

V(x) = x(16 – 2x)(30 – 2x) => V(x) = 480x – 92x² + 4x³

Sendo x o comprimento dos quadrados dos cantos, não pode ser negativo e a largura menor da caixa não pode ultrapassar 16 cm, portanto, x tem restrições, logo: 0 ≤ x ≤ 8 ou x ∈ [0 , 8].

212184480 xxdx

dV +−=

Para encontrarmos os pontos críticos, fazemos V’(x) = 0.

12x² – 184x + 480 = 0 => 3

101 =x e x2 = 12 são os pontos críticos


97

Como x = 12 está fora do intervalo, então o ponto crítico que nos interessa é 3

101 =x .

V(0) = V(8) = 0, pois 0 e 8 são raízes da equação do volume.

37263

10cmV ≅

é o volume máximo.

Portanto, o valor procurado é cmx3

10= .

Exemplo 36) Suponha que a disseminação de um vírus de gripe em um determinado campus

universitário é modelada pela função te

ty9,09991

1000)( −+

= , em que y(t) é o número de pessoas

infectadas no instante t (em dias, começando em t = 0). Estime o dia em que o vírus se espalha mais rapidamente.

Solução:

y(t) é o número de pessoas infectadas t é o nº de dias, começando em t = 0

29,0

9,0

)9991(

899100)('

t

t

e

ety −

−

+= ;

29,0

9,0

39,0

8,1

)9991(

809190

)9991(

1616761620)("

t

t

t

t

e

e

e

ety −

−

−

−

+−

+=

0)9991(

809190

)9991(

161676162029,0

9,0

39,0

8,1

=+

−+ −

−

−

−

t

t

t

t

e

e

e

e

1616761620e-1,8 t – 809190e-0,9 t (1 + 999e-0,9 t) = 0

1616761620e-1,8 t – 809190e-0,9 t – 808380810e-1,8 t = 0

808380810e-1,8 t - 809190e-0,9 t = 0

e-1,8 t = 0,001e-0,9 t => e-1,8 t e0,9 t = 0,001

e-0,9 t = 0,001 => -0,9t = -6,908


98

t = 7,67 ≅ 8 é ponto de inflexão

Como y’(t) é a taxa de variação de y em relação a t, temos que: y’(8) ≅≅≅≅ 220.

Resposta: No oitavo dia ocorrerá o maior nº de pessoas infectadas, 220 pessoas.

Exemplo 37) Deve-se construir um tanque, para armazenamento de um gás propano, em forma de um cilindro circular reto com dois hemisférios esféricos nas extremidades. O custo do metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser de 12π m³, que dimensões minimizam o custo da construção?

Solução: Sejam

C: função custo;

r: raio do hemisfério = raio do cilindro;

h: altura do cilindro.

Objetivo: Determinar as dimensões r e h que minimizam o custo na construção do tanque. Como o custo está associado com a área total do tanque, temos que:

C = 2 [área de uma esfera = área de 2 hemisférios)] + (área lateral do cilindro)

C = 2 (4πr²) + 2 πrh = 8πr² + 2πrh com r > 0 e h > 0.

Precisamos encontrar uma relação entre r e h. Para isso, usaremos o volume do tanque

V = volume da esfera + volume do cilindro

3

41212

3

42

23 r

rhhr

rV −=⇒=+= πππ


99

32

2

2

22

4

90

24

3

32

0)('24

3

32)('

24

3

16)(

3

41228)(

=⇒=−

=⇒−=

+=⇒

−+=

rr

r

rCr

rrC

r

rrC

r

rrrrC

ππ

ππ

ππππ

Pelo teste da 2ª derivada, temos que:

04

9"

48

3

32)(" 3

3>

⇒+= C

rrC

ππ

Logo, 31,14

93 ≅=r m minimiza o custo da construção do tanque. Assim, a altura do tanque é

24,5

2

3

6

3

≅=h m.

EXERCÍCIOS

1) Determinar o ponto crítico e dizer se é máximo ou mínimo local da função f(x) = x2 - 5x + 7.

2) Determinar o ponto crítico e dizer se é máximo ou mínimo local da função f(x) = -x³ + 2x - 13

3) Considere o gráfico da função abaixo e faça uma análise gráfica de f, observando, se existir(em), assíntota(s) vertical(is), assíntota(s) horizontal(is), os intervalos em que f’(x) > 0 e f’(x) < 0 , os intervalos em que f’’ (x) > 0 e f’’ (x) < 0 , pontos de máximo(s) e/ ou mínimo(s) relativos e o(s) ponto(s) de inflexão.


100

4) Uma indústria química vende ácido sulfúrico a granel a R$ 100,00 por unidade. Se o custo de produção total diário em reais para x unidades for: C(x) = 100000 + 50x + 0,0025x² e se a capacidade de produção diária for de, no máximo, 7000 unidades. Responda:

a) Quantas unidades de ácido sulfúrico devem ser fabricadas e vendidas diariamente para maximizar o lucro?

b) Beneficiaria ao industrial expandir a capacidade de produção diária?

5) Num certo processo de fabricação química, o peso diário y de produção defeituosa depende do peso x de toda a produção, de acordo com a fórmula empírica y = 0,01x + 0,00003x², onde x e y estão em libras. Se o lucro for de R$ 100,00 por libra do produto químico sem defeito e a perda for de R$ 20,00 por libra de produto químico defeituoso produzido, quantas libras do produto devem ser produzidas diariamente para maximizar o lucro diário total?

6) Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1litro (1000 cm³) de líquido. Como poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção da lata?

7) Ache os pontos máximos e mínimos locais e os pontos de inflexão da função 23

344 4)( xxxxf −+= , aplicando o teste da segunda derivada.

8) Ache os máximos e mínimos locais da função f(x) = sen(x) + cos(x), aplicando o teste da segunda derivada.

9) Em cada item seguinte faça um esboço completo dos gráficos das funções.

a) f(x) = -4x³ + 3x² + 18x

b) h(x) = 3

1

)1( −x

c) f(z) = (4 – z)4

d) k(x) = x

xx 122 −+

e) f(x) = 2cos(x) + 3

f) f(x) = e-xsen(x) + x

g) f(x) = x + ln(x)

h) xxxf −= 2)(


101

10) Uma caixa retangular de base quadrada com tampa deve ser construída de forma que, cheia, tenha V = 3 m³ de água. Encontre as medidas dos lados (em cm) que minimiza a área total A do material usado na sua confecção.

11) Se uma lata fechada com volume de 16π cm³ deve ter a forma de um cilindro circular reto, ache a altura e o raio, se um mínimo de material deve ser usado em sua fabricação.

12) Para se construir uma caixa d´agua retangular de base quadrada, com capacidade para 2000 litros. O material da tampa e da base custa R$ 3,00 por m² e o material para os lados custa R$ 1,50 por m². Encontre as dimensões da caixa cujo custo total do material seja mínimo.

13) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de te

tp06,032

20)( −+

= milhões.

a) Qual é a população atual?

b) Qual será a população daqui a 50 anos?

c) Esboce o gráfico de p(t).

d) O que acontecerá com a população a longo prazo?

14) Esboce o gráfico da função que satisfaz as seguintes condições:

a) f(0) = 1; b) y = 1 é A.H. da função c) f não possui A.V.

d) f’(x) > 0 ∀ x ∈ (-∞ , -1) ∪ (1 , +∞) e) f’(x) < 0 ∀ x ∈ (-1 , 1)

f) f’’(x) > 0 ∀ x ∈ (-∞ , - 3 ) ∪ (0 , 3 ) g) f’’(x) < 0 ∀ x ∈ (- 3 ,0) ∪ ( 3 , ∞)


a) D = {x ∈ R / x ≠ ± 1}; b) f’(x) > 0 ∀ x (-∞ , 3− ) ∪ ( 3 , +∞)

c) f’(x) < 0 ∀ x ( 3− , -1) ∪ (-1 , 1) ∪ (1 , 3 )

d) f’’(x) > 0 ∀ x ∈ (-∞ , -3) ∪ (-1 , 0) ∪ (1 , 3)

e) f’’(x) < 0 ∀ x ∈ (-3 , 1) ∪ (0 , 1) ∪ (3 , +∞)

f) f(0) = 0; f(-3) = -3/2; f(3) = 3/2

g) ±∞=−→

)(lim1

xfx

, ±∞=→

)(lim1

xfx

, −∞=∞−→

)(lim xfx

e +∞=∞+→

)(lim xfx


a) D = R+ b) f’(x) > 0 ∀x ∈ D

c) f’’(x) > 0 ∀ x (0 ; 2,44) d) f’’(x) < 0 ∀ x (2,44 ; +∞)


102

e) f(0) = 1; f(2,44) = 5 e 10)(lim =∞+→

xfx

17) Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes das 17hs à meia-noite. A pesquisa mostra que a porcentagem de adultos sintonizados na estação x horas a partir das 17hs é

modelada por ( )2401082728

1)( 23 +−+−= xxxxf . Responda:

a) Em que instantes, entre 17hs e meia-noite, existem mais e menos ouvintes sintonizados na estação? mais ouvintes = 17h e menos ouvintes = 20h

b) Qual é a porcentagem de ouvintes nestes momentos? 30% e 13%

18) Tem-se um terreno retangular de 4328 m² de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho de um dos lados paga a metade do muro que faz limite com sua propriedade. Para tanto, quais devem ser as dimensões deste terreno para que se gaste o mínimo possível ao murá-lo?


103

ANTIDERIVADA OU INTEGRAL INDEFINIDA

Até aqui estudamos essencialmente o problema: dada uma função, achar a sua derivada. Muitas aplicações importantes do Cálculo envolvem o problema inverso: dada a derivada de uma função, achar a função. Esta operação, que consiste em determinar a função original a partir de sua derivada, é a operação inversa da diferenciação. É chamada antidiferenciação ou integração.

Como estas operações são inversas uma da outra, algumas aplicações da integração são imediatas. Por exemplo, a integração de uma função aceleração gera uma função velocidade. A integração pode ser utilizada para achar a área de uma região, o valor médio de uma função e o volume de um sólido, etc.

Definição de Antiderivada: Uma função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) se, para todo x no domínio de f, temos F’ (x) = f(x).

Exemplo Seja f(x) = 2x, encontre a antiderivada F(x).

Solução:

Se F1(x) = x² => F’(x) = f(x) = 2x

Se F2(x) = x² + 1 => F’(x) = f(x) = 2x

Se F3(x) = x² – 5 => F’(x) = f(x) = 2x

Conclusão: As funções F1(x), F2(x) e F3(x) são antiderivadas de f(x) = 2x. Isto significa que se F(x) é uma antiderivada de f(x), então também o é F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária. Assim, o processo de antidiferenciação não define uma única função, e sim uma família de funções, que diferem entre si por uma constante.

Notação de Integral para Antiderivadas:

Sinal de integral Diferencial

C F(x)dx f(x) +=∫

Integrando Antiderivada

Antidiferenciação

Diferenciação

F F’ = f(x)


104

Em que f(x) é o integrando e C é a constante de integração. A diferencial dx na integral indefinida identifica a variável de integração. Ou seja, o símbolo ∫∫∫∫ f(x) dx denota a “integral de f em relação a

x”, da mesma forma que o símbolo dx

dy a “derivada de y em relação a x”.

Interpretação Geométrica da Integral Indefinida A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas.

Exemplo 1) Verifique que F1(x) = (x – 1)², F2(x) = x2 – 2x e F3(x) = x² – 2x – 1 são antiderivadas de f(x) = 2x – 2. Faça o gráfico de F1, F2 e F3 no mesmo plano cartesiano. Como se relacionam estes gráficos? O que podemos dizer sobre o gráfico de qualquer outra antiderivada de f ?

Propriedades da Integral Indefinida:

P1) Uma constante pode se mover através do sinal de integração: isto é,

∫ ∫= dxxfcdxxfc )()(

P2) A integral de uma soma é a soma das integrais, isto é,

( ) ∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Algumas Regras de Integração Direta

Cxdx +=∫ Ckxdxk +=∫

Cedxe xx +=∫ Cxdxx

+=∫ ||ln1

1,1

1

−≠++

=+

∫ nparaCn

xdxx

nn Cxdxx +−=∫ )cos()sen(

F1(x) = x² – 2x + 2 F2(x) = x² – 2x F3(x) = x² – 2x – 2

F’1(x) = 2x – 2 F’2(x) = 2x – 2 F’3(x) = 2x – 2

y = 2x – 2 y = 2x – 4 y = 2x – 6


105

Cxdxx +=∫ )sen()cos( Cxtgdxx +=∫ )()(sec2

Caa

dxa xx +=∫ ||ln

1 Cxgdxx +−=∫ )(cot)(seccos 2

Cxdxxtgx +=∫ )sec()()sec( Cxdxxgx +−=∫ )sec(cos)(cot)sec(cos

Cxtgdxx +=∫ )()(sec2

EXERCÍCIOS Calcule as seguintes integrais indefinidas e verifique o resultado por diferenciação.

dxx

xxdx

xdx

x ∫∫ ∫

∫∫∫

∫∫∫

∫ ∫∫

∫∫∫

−+−

+

++

2

5

233-

3 2t

2

23

42

2

523)15

3

2)14

3)13

dy yy 12) dx 2)(x 11) dx 5x 10)

dx 5)-1)(6x-(x 9) dx x 8) dt e 7)

dt t

2t 6) 1)dx -3x(2x 5) dt 3t 4)

dx 4x

1 3) du 2) dx 6 1)

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO OU MUDANÇA DE VARIÁVEL

Esta técnica utiliza a Regra da Cadeia para a antidiferenciação. Considere a integral indefinida

∫ dx (x)g'(g(x)) f

Fazendo u = g(x) e, conseqüentemente, du = g’(x) dx, fazemos as substituições e obtemos:

C F(g(x)) C F(u))(

(x)g'

du (x)g' f(u)dx (x)g' (g(x)) f

+=+=

=

∫

∫∫

duuf


106

Esta técnica só é possível se o integrando for do tipo f(g(x)) g’(x), ou seja, deve conter uma função composta e a derivada da função interna da composta. Pode ser necessária a introdução de constantes no integrando a fim de ajustá-lo para que esteja na forma f(g(x))⋅g’(x). Quando fazemos uma substituição, o objetivo é obter um integrando f(u) que é facilmente integrado através das regras básicas de integração.

OBS: Consulte um livro de Cálculo e veja a demonstração que verifica a técnica de Integração por Substituição e a sua relação com a Regra da Cadeia.

Diretrizes para a Integração por Substituição:

I) Observar o integrando e escrever a função u = g(x), dependendo de x, convenientemente.

II) Derivar a função u em relação a x e destacar o diferencial du.

III) Fazer os ajustes necessários no integrando para proceder a substituição.

IV) Escrever todo o integrando em função da variável u e procurar adaptá-la a uma ou mais regras básicas de integração. Se nenhuma se ajustar, tentar outra substituição.

V) Após efetuar a integração, escrever a antiderivada como função de x.

Exemplo 2) Calcular a integral indefinida ∫ − dx 1xx 2

Solução: Consideremos a substituição u = x² – 1. Assim, du = 2x dx.

Para que 2xdx faça parte do integrando, sem alterá-lo, multiplicamos e dividimos por 2, então:

du u2

1

dx2x 1)(x2

1

dx 1xx

21

212

2

∫

∫

∫

=

−=

=−

Simplificando e substituindo u para retornar a variável x.

C.1)(x3

1 C

23u

2

1 232

23

+−=+=

Multiplicando e dividindo por 2. Substituindo x e dx. Aplicando a regra da potência.


107

Exemplo 3) Resolva a integral: ∫ +++ dxxxx )32()53(9 82

Solução: O 2º fator é a derivada do 1º fator. Usando uma substituição u, temos que:

u = x² + 3x + 5 => du = (2x + 3)dx => dxx

du =+ 32

Cuduux

duxu +=⇒

++ ∫∫

988 932

)32(9

substituindo u = x² + 3x + 5, obtemos a solução final:

Cxxdxxxx +++=+++∫9282 )53()32()53(9

Exemplo 4) Resolva a integral dxex x∫

+23 4

Solução: Usando a substituição u = x4 + 2, du = 4x³ dx => dxx

du =34

, então:

∫ ∫ +=⇒ Ceduex

duex uuu

4

1

4

1

4 33

Cedxex xx += ++∫

223 44

4

1

Exemplo 5) Resolva a integral ∫+

dxx

x

5

32

Solução: Fazemos u = x² + 5; du = 2x dx dxx

du =2

∫∫ +=⇒− C

uduu

x

du

u

x

21

21

21

2

3

2

3

2

3

Cu +21

3 => Cxdxx

x ++=+

∫ 435

3 2

2


108

Algumas Integrais por substituição:

)sec(ln)cos(ln)(

)(ln)(cot1

)(1

)cos()cos(1

)(

xCxdxxtg

CxsendxxgCek

due

Cuksenk

duukCukk

duuksen

ukuk

=+−=

+=+=

+=+−=

∫

∫∫

∫∫

EXERCÍCIOS

Lista 1) Resolva as seguintes integrais usando substituição ou mudança de variável.

( ) Cx

Cedx

Ce

C

x

x

++⇒+

+⇒

+−−⇒−

+⇒

∫

∫

∫

∫

23

22

13

2dx x1 4)

3

1e2x 3)

)1ln(3

1 dx

e1

e 2)

9-t

2- dt

9)-(t

2 1)

33x

33x

3x

2

Ctdt

Ce x

+⇒

+⇒

∫

∫

)(ln2

1

t

ln t 6)

5

1 dxe 5)

2

55x

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) Ctt dt tt

Cxxx dxx

x

Ctt

Cx

++−+⇒+

+−−−+−⇒−

−

+−+−⇒−

++⇒++

∫

∫

∫

∫

34

37

21

23

25

14

31

7

31)10

124

312

6

112

20

1

12

1)9

1ln212dt1t

1 8)

3xln2 dx x3x

212x 7)

3

2

22


109

( ) ( ) Cxx dxxx

Cxx dx x

xx

+−−−⇒−−

++⇒+

∫

∫

23

25

23

22

5

22)1()12

22626

)11

( ) ( )

( ) ( ) ( ) Cxxx dxxx

Ct dtt-

t

Cxx

x dx x

x

C xx dx xx

+−−−+−−⇒−

+−−⇒

++−+

−⇒+

+−+−⇒−

∫

∫

∫

∫

23

25

27

23

25

13

21

5

41

7

21)16

11

)15

)1ln(21

1

)1()14

3235

23)13

2

2

2

2

2

Lista 2)

Cxdxxec

c

Ctdttgt

b

Cxxdxxxa

+−⇒

+⇒

+−⇒+

∫

∫

∫

)cos()(cos

7)

)sec()(cot)cos(

1)

)sen(24

5))cos(25() 43

( ) Cxxgxtgdxxgxtgi

Cxxecdxx

xxgh

Cxgxdxxecxtgxg

Cxdxx

xf

Czdzz

ztge

Cttgdtt

td

++−⇒++

++−⇒−

++⇒−

+−⇒

+⇒

+⇒

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2)(cot)(4)(cot)()

)cos(3)(cos2)sen(

)(sen3)(cot2)

)(cot5)sec(3))(cos5)()sec(3()

)cos(2)cos(

)2sen()

)sec()cos(

)()

)()cos(

)sec()

22

2

2

( )

( )Ctdt

t

ttm

Cttgdtttgttecl

Cdtg

k

Cxtgxecdxxxgxecj

+⇒

+−−⇒−

+−⇒−

++−⇒+

∫

∫

∫

∫

)sec()cos(

)sen()sec()

)sec(5)(cot3)()sec(5)(cos3)

)sen(4)sec(3)cos(

)(cos4)(3)

)(2)(cos4)(sec2)(cot)(cos4)

2

2

2

θθθθ

θθ


110

INTEGRAL POR PARTES

Não é possível resolver algumas integrais pelos métodos vistos até agora como substituição de variável (por exemplo). A técnica de integração que veremos agora consiste em interpretar uma função como sendo o produto de uma função pela diferencial de outra função.

Se u = f(x) e v = g(x) são funções diferenciáveis, então, pela regra do produto, temos que:

[ ] [ ] '')()( vuvuvudx

dxgxf

dx

d ⋅+⋅=⋅=⋅

Integrando ambos os lados, obtemos:

[ ]

Cdxvduvudxdvu

dxdvudxvduCvu

dxdvudxvdudxvud

+⋅−⋅=⋅

⋅+⋅=+⋅

⋅+⋅=⋅

∫∫

∫∫

∫∫∫

Na prática, escrevemos: u = f(x), du = f’ (x) dx; v = g(x), dv = g’(x) dx

Portanto podemos escrever:

Exemplo 6) Resolva a integral ∫ dxex x

Solução:

fazendo u = x e dv = ex dx

du = dx e v = ∫ dxex => v = ex

Portanto, =+−= ∫∫ Cdxeexdxex xxx Ceex xx +−

∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu


111

Exemplo 7) Resolva a integral ∫ dxxx )ln(2

Solução: Fazendo, u = ln(x) e dv = x²

dxx

du1= e v =

3

32 x

dxx =∫

∫∫∫ −=−= dxxxx

dxx

xx

xdxxx 2

3332

3

1)ln(

3

1

3)ln(

3)ln(

Cx

xx

dxxx +−=∫ 9)ln(

3)ln(

332

Exemplo 8) Resolva a integral ∫ dxxx )cos(2

Solução: Fazendo, u = x² e dv = cos(x)

du = 2x dx e v = ∫ dxx)cos( => v = sen(x)

∫−= dxxxxx 2)sen()sen(2 u = 2x e dv = sen(x)

du = 2 dx e v = -cos(x)

( )∫−−−−= dxxxxxx 2)cos()cos(2)sen(2 =

Resumindo:

� Se a integral for do tipo: ∫ dxsenoousenopotência cos*

u = função potência e dv = função seno ou cosseno

� Se a integral for do tipo: ∫ dxonencialpotência exp*

u = função potência e dv = função exponencial

� Se a integral for do tipo: ∫ dxaritmopotência log*

u = função logaritmo e dv = função potência

x² sen(x) + 2x cos(x) – 2 sen(x)


112

Integração Resultante de Funções Trigonométricas Inversas

A integração das funções resultantes de trigonométricas inversas é expressa em forma de teorema em que a demonstração é feita partindo da derivada da integral.

Cau

au

adu

auC

u

udu

u

Cau

au

adu

uaC

u

udu

u

Ca

uarctg

adu

uaCuarctgdu

u

Ca

udu

uaCudu

u

++−=

−+

+−=

−

+−+=

−+

−+=

−

+

=+

+=+

+

=−

+=−

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

ln2

11

1

1ln

2

1

1

1

ln2

11

1

1ln

2

1

1

1

11)(

1

1

arcsen1

)arcsen(1

1

222

222

222

222

Ca

uarc

adu

auuCuarcdu

uu+

=−

+=−∫ ∫ sec

11)sec(

1

1222

Exemplos 9) Resolva a integral: ∫ +−dx

xx 523

12

Solução: Vamos fatorar o denominador para obtermos um quadrado perfeito, então:

( ) ( )[ ]

( ) Cx

arctgCx

arctgdxx

x

dx

x

dx

xx

dx

xx

dx

+

−=+

−=

+−

+−=

+−=

−++−=

+−

∫

∫∫∫∫

14

)13(

14

1

14

1

3

11

3

1

335)(35)(3

31

31

31

31

314

9142

31

9142

31

3142

31

31

91

322

322

Cx

arctg +

−=14

13

14

14


113

Exemplo 10) Resolva a integral ∫ +++

dxxx

x

52

722

Solução: Como d(x² + 2x + 5) = (2x + 2)dx, então:

∫∫∫ +++

+++=

++++

dxxx

dxxx

xdx

xx

x

III4342143421 52

5

52

22

52

522222

(I ) u = x² + 2x + 5; du = (2x + 2)dx

|52|ln||ln1

22

22 2 ++===+

+∫∫ xxudu

ux

du

u

x

(II ) Cx

arctgdxxxx

dx +

+=++

=+++ ∫∫ 2

1

2

5

4)1(

15

4125

22

Somando (I ) + (II ), obtemos:

∫∫ +++

+++

dxxx

dxxx

x

III4342143421 52

5

52

2222

= Cx

arctgxx +

++++2

1

2

552ln 2

EXERCÍCIOS

1) Calcule as seguintes integrais:

Cx

arctgxx

dxd

Cx

arcxx

dxc

Ct

arctgt

dtb

Cx

x

dxa

+

−⇒

+−

+

⇒

−

+

⇒

+

+

⇒

−

∫

∫

∫

∫

7

12

7

2

2)

4sec

16

1

164)

55

1

25)

2

3arcsen

3

1

94)

2

2

2

2


114

( ) Cxarctgxx

dxf

Cxx

dxe

+⇒+

+

⇒

−

∫

∫

2)1(

)

2

10arcsen

5

5

52)

2

Cxdxx

xi

Cdxxh

Cdxg

xx

xx

+⇒

+−⇒

+⇒

∫

∫

∫−

−

)sen(2

1

)sec()

|4|ln

4

2

14)

|2|ln

22)

22

2

2

π

ππ

( ) ( ) ( )

+⇒++

+⇒

∫

∫

122

1

84)

||lnsec||ln||lnsec

)

2

xarctg

xx

dxk

Cxdxx

xtgxj

2) Resolva as seguintes integrais:

Ceex

ex

dxexc

Cxxtgxdxxxb

Ceex

dxexa

xxxx

xxx

++−⇒

++⇒

+−⇒

∫

∫

∫

2222

22

2

222

4

1

22)

|)cos(|ln)()(sec)

4

1

2)

[ ] Cxxsenedxxed xx ++⇒∫ )cos()(2

1)cos()

C|x)sen(3|ln9

1+x)(3cotg

3)3(cos)

x9

4 |x|lnx

3

2)ln(xg)

Cx)sen(48

x+x)cos(4

32

1+x)cos(4

4)4(xf)

Cx)sen(55

x+x)cos(5

25

1)5cos()

2

22

23

23

+−⇒

+−⇒

+−⇒

+⇒

∫

∫

∫

∫

xdxxecxh

Cdxx

xdxxsen

dxxxe


115

Cdxexj

Cxx

dxx

x +−−⇒

+−⇒

∫

∫

− 222 x-x-2

3

3322

e2

1e

2

x)

9

2ln(x)

3

2)ln(xi)

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA EM INTEGRANDOS TRIGONOMÉTR ICOS Uma forma diferente de substituição ocorre quando se deseja operar com funções trigonométricas elevadas a certas potências. Nesse caso as seguintes regras podem ser utilizadas:

m ímpar Separar )x(sen Transformar os senos restantes em co-senos

)xcos(u =

n ímpar Separar )xcos( Transformar os co-senos restantes em senos

)x(senu = ∫ dxxxsen nm )(cos)(

m, n pares Usar 2

)2cos(1)(2 x

xsen−= e

2

)2cos(1)(cos2 x

x+=

m ímpar Separar )sec()( xxtg Transformar as tangentes restantes em secantes

)xsec(u =

n par Separar )x(sec 2 Transformar as secantes restantes em tangentes

)(xtgu =

∫ dxxxtg nm ).(sec)(

∫ dxxxg nm )(seccos)(cot

m par e n ímpar Não há método padrão. Tentar integração por partes.

Exemplo 11) ∫ dxxxsen )(cos)( 45

Solução:

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫∫

+−=+−

−==

dxxsenxxxdxxsenxxx

dxxsenxxdxxsenxxsendxxxsen

)()(cos)(cos2)(cos)()(cos)(cos)(cos21

)()(cos)(cos1)()(cos)()(cos)(

864442

42242245


116

u = cos(x) -du = sen(x)dx

Cuuu

duuuu +−+−=+−− ∫ 97

2

5)2(

975864

Cxxxdxxxsen +−+−=∫ )(cos9

1)(cos

7

2)(cos

5

1)(cos)( 97545

Exemplo 12) ∫ dxxxtg )(sec)( 46

Solução:

( ) ( )∫∫

∫∫

+=+

=

dxxxtgxtgdxxxtgxtg

dxxxxtgdxxxtg

)(sec)()()(sec)(1)(

)(sec)(sec)()(sec)(

286226

22646

u = tg(x) du = sec²(x)dx

( ) Cuu

duuu ++=+∫ 97

9786

Cxtgxtgdxxxtg ++=∫ )(9

1)(

7

1)(sec)( 9746

Integrais com integrando do tipo 22 xa − , 22 xa + e 22 ax − .

Se u < 0

φ u

a

22 ua −

-2

π φ

u a

22 ua −

2

π

Se u > 0


117

Assim, as substituições normalmente utilizadas nestes casos são:

Expressão Substituição identidade 22 xa − ( )φsenax = para

22

πφπ ≤≤− ( ) ( )φφ 22 cos1 =− sen

22 xa + ( )φtgax = para 22

πφπ <<− ( ) ( )φφ 22 sec1 =+ tg

22 ax − ( )φsecax = para 2

0πφ <≤ ( ) ( )φφ 22 1sec tg=−

Exemplo 13) Calcular a integral dxx

x∫

−2

29

Solução: seja ( )φsenx 3= , onde 22

πφπ ≤≤− . Então, ( ) φφ ddx cos3= e

( ) ( )( )∫∫∫

−=

−=− φφ

φφ

φφφ

dsen

send

xsen

sendx

x

x)cos(3

)(

19)cos(3

)(9

9992

2

2

2

2

2

Se u < 0

φ u

a

22 ua +

-2

π φ

u

22 ua +

2

π

Se u > 0

a

Se u < -a

φ

u

a

22 au −

-2

π φ

u 22 au −

2

π

Se u > a

a


118

( ) ( )

Cgdx

dgdsen

dsen

+−−=−

==

∫

∫∫∫

φφφ

φφφφφφφ

φφ

)(cot)1)(sec(cos

)(cot)(9

cos9)cos(3

)(9

cos9

2

222

.

Porém, deve-se voltar à variável original x , então do triângulo

obtém-se, ( ) ( )( ) x

x

sen

29

3

cos3cot

−==φφφ

e de ( ) ( )

=⇒=⇒=33

3x

arcsenx

sensenx φφφ , tem-se:

Cx

arcsenx

xdx

x

x +

−−−=−∫ 3

99 2

2

2

Exemplo 14) Calcular a integral dxxx

∫ + 4

122

Solução: seja ( )φtgx 2= , onde 22

πφπ <<− . Então, ( ) φφ ddx 2sec2= e

Aplicando a substituição trigonométrica, tem-se que:

( )( )

( )( ) ( )

( )( )( ) ∫∫∫∫

∫∫∫

===

+=

+=

+

φφ

φφφφ

φφ

φφφ

φφφ

φφφ

φφφφ

φ

dsen

dsen

dtg

dtg

dtgtg

dtgtgxx

dx

)(

)cos(

4

1cos

cos

1

4

1

)(

)sec(

4

1

)sec()(

)(sec

4

1

1)(4

sec

2

1

4)(44

sec2

4

22

2

22

2

22

2

22

2

22

))cos(

)(

φφφ

ddu

senu

==

= ( )( )

Csenu

duu

+−=−=

−=∫ 4

seccos

4

11

4

11

4

12

φφ

( ) 29cos3 x−=φ

3 ( )φsenx 3=


119

Porém, deve voltar-se à variável original x , então do triângulo

obtém-se, ( )x

x 4seccos

2 +=φ

Cx

x

xx

dx ++−=+∫

4

4

2

22

Exemplo 15) Calcular a integral dxx

x∫ + 42

Solução: seja ( )φtgx 2= , onde 22

πφπ <<− . Então, ( ) φφ ddx 2sec2=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )φφφφφ sec2sec2sec21tan21tan44 2222 ===+=+=+x .

( ) ( )( ) ( ) ( ) Cdtgd

tg +== ∫∫ )sec(2sec2sec2

sec22 2

φφφφφφ

φφ

Voltando à variável original x:

( )2

2

42

42

cos

2)sec(2 x

x +=+==φ

φ

Finalmente: Cxdxx

x ++=+∫ 4

4

2

2

42 +x

2

( )φtgx 2=

42 +x

2

( )φtgx 2=


120

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES SENO E COSSENO DE ARCOS DIFERENTES

Nestes casos, deve-se usar uma das identidades a seguir para reduzir os integrandos a integrais mais simples de resolver.

( ) ( )])()([)cos()( 21 xbasenxbasenbxaxsen −++=

( ) ( )])(cos)([cos)()( 21 xbaxbabxsenaxsen +−−=

( ) ( )])(cos)([cos)cos()cos( 21 xbaxbabxax −++=

Exemplo 16) ∫ dxxxsen )4cos()2(

Solução: ( ) ( )])()([)cos()( 21 xbasenxbasenbxaxsen −++=

( ) Cxxdxxsenxsendxxxsen +

+−=−+= ∫∫ )2cos(2

1)6cos(

6

1

2

1)2()6(

2

1)4cos()2(

Cxxdxxxsen +−=∫ )6cos(12

1)2cos(

4

1)4cos()2(

Exemplo 17) ∫ dxxx )4cos()3cos(

Solução: ( ) ( )])(cos)([cos)cos()cos( 21 xbaxbabxax −++=

( ) Cxsenxsendxxxdxxx +

+=−+= ∫∫ )()7(7

1

2

1)cos()7cos(

2

1)4cos()3cos(

Cxsenxsendxxx ++=∫ )(2

1)7(

14

1)4cos()3cos(


121

INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS POR MEIO DE FUNÇÕES PARCI AIS

Toda função racional pode ser escrita na forma de uma fração racional, isto é, como a razão de dois polinômios da forma:

02

21

1

02

21

1

...

....

)(

)()(

bxbxbxb

axaxaxa

xq

xpxf

mm

mm

mm

nn

nn

nn

++++++++

== −−

−−

−−

−−

Se o grau do polinômio do numerador for menor que o grau do polinômio do denominador a fração é dita própria, do contrário é dita imprópria.

No caso das impróprias, ao dividir o numerador pelo denominador, segundo divisão de polinômios, pode-se representar a fração dada como a soma de um polinômio e de uma fração própria. Assim:

)(

)()(

)(

)()(

xq

xRxQ

xq

xpxf +==

Em que Q(x) é um polinômio e )(

)(

xq

xR é uma fração própria.

Como Q(x) é um polinômio, integrá-lo, é simples. Vejamos o caso em que )(

)(

xq

xR , que é uma

fração própria, conforme o método a ser apresentado.

Método dos Coeficientes Indeterminados

Neste método é útil escrever )(

)()(

xq

xpxf = como uma soma de frações parciais. Os

denominadores destas frações são obtidos fatorando-se o polinômio q(x) em um produto de fatores lineares e ou quadráticos. Às vezes isto pode não ser fácil, porém há um teorema que nos diz que:

“Qualquer polinômio com coeficientes reais pode ser expresso como um produto de fatores lineares e ou quadráticos, de tal forma que cada um dos fatores tenha coeficientes reais.”

Depois de feita a fatoração, o método para determinar as frações parciais depende da natureza desses fatores. Vamos considerar vários casos, para tanto, tomemos o polinômio q(x) de grau n cujo coeficiente de termo xn é 1, caso contrário, seremos obrigados a dividir tanto o numerador quanto o denominador por este coeficiente.

1º Caso: As raízes de q(x) são todas reais e distintas.

Neste caso, podemos escrever q(x) da forma:

)(...))(()( 10 ixxxxxxxq −−−=


122

onde os xi, com i = 1; 2; ... ; n são as raízes reais de q(x).

A função racional )(

)()(

xq

xpxf = pode ser decomposta em frações mais simples, da forma:

i

i

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xq

xpxf

−++

−+

−+

−== ...

)(

)()(

2

2

1

1

0

0

Onde os Ai, com i = 1; 2; ... ; n são constantes a serem determinadas.

Exemplo 18) ( )

∫ −−+

dxxx

x

2

22

,

Solução: ( )

( )( )( ) ( )( )( )

( )2

2

21

12

2121

22 −−

+−+=−+

++−=−

++

=−+

+xx

BAxBA

xx

xBxA

x

B

x

A

xx

x

( )

=

−=⇒

=

−=⇒

=+−−−=

⇒

=+−=+

3

43

1

3

41

212

1

22

1

B

A

B

BA

BB

BA

BA

BA

( ) ( ) ( ) Cxxdxx

dxxxx

dxx +−++−=−

++

−=−−

+∫∫∫ 2ln

3

41ln

3

1

2

1

3

4

1

1

3

1

2

22

Finalmente: ( )

Cxxdxxx

x ++−−=−−

+∫ )1ln(

3

1)2ln(

3

4

2

22

2º Caso: Os fatores de q (x) são todos lineares e alguns se repetem.

Admitindo que (x – x1) seja um fator que se repete r vezes, correspondente a este fator, existe a soma de r frações parciais do tipo:

)(...

)()()(

)()(

11

1

2

1

1

0

0

xx

A

xx

A

xx

A

xx

A

xq

xpxf i

rr −++

−+

−+

−== −

onde os Ai, com i = 1; 2; ... ; n são constantes a serem determinadas.

Neste caso dizemos que as frações parciais possuem denominadores com raízes reais múltiplas.


123

Exemplo 19) ∫ −−+

dxxx

xx23

45

4

8

Solução: Como o polinômio do numerador é maior que o do denominador é necessário efetuar a divisão de polinômios, assim:

∫

∫∫

−−+++=

−−+++=

−−+

dxxx

xx

xx

dxxx

xxxdx

xx

xx

23

223

23

22

23

45

4

88020

2

5

3

4

880205

4

8

)4(

)4()4(

4)4(

8802

2

22

2

−+−+−=

−++=

−−

xx

CxxxBxA

x

C

x

B

x

A

xx

x

80x² – 8 = A(x – 4) + Bx(x – 4) + Cx²

Se x = 4 => 16C = 1272 => 2

159=C

Se x = 0 => -4A =- 8 => A = 2

Se x = 1 => -3A – 3B + C = 72 => 2

1=B

∫

−+++++= dx

xxxx

xx

4

1

2

1591

2

1220

2

5

3 2

23

Finalmente: Cxxx

xxx

dxxx

xx +−++−++=−

−+∫ )4ln(

2

159)ln(

2

1220

2

5

34

8 23

23

45

3º Caso: q(x) tem raízes complexas que podem ser repetidas.

A fração parcial correspondente a cada fator quadrático ax2 + bx + c no denominador é da forma:

cbxax

BAx

+++

2

Sendo que o fator quadrático não pode ser decomposto num produto e fatores lineares. Do contrário teríamos os casos anteriores.


124

Exemplo 20) ∫ −+− dxeee xxx )1)(1(

12

Solução: reescrevendo o integrando, temos que: ∫ −+dx

ee

exx

x

)1)(1( 2

u = ex du = ex dx

∫∫ −+=

−+du

uudx

ee

exx

x

)1)(1(

1

)1)(1( 22

CBuBAuCAuCuBuA

uu

uCuBuA

u

C

u

BuA

uu

+−+−++=++−+=

−+++−+=

−+

++=

−+

)()()1()1)((1

)1)(1(

)1()1)((

11)1)(1(

1

22

2

2

22

=

−=

−=

⇒

=+−=+−

=+

2

12

12

1

1

0

0

C

B

A

CB

BA

CA

Cuuarctgu

duu

duu

duu

udu

uu

u

duu

C

u

BuAdu

uudx

ee

exx

x

+−+−+−=

−+

+−

+−=

−+

++−=

−+

++=

−+=

−+

∫∫∫∫

∫∫∫

)1ln(2

1)(

2

1)1ln(

4

1

1

1

2

1

1

1

2

1

12

1

1

1

2

1

1

1

2

1

11)1)(1(

1

)1)(1(

2

222

222

Finalmente: ( ) ( ) Ceearctgedxee

e xxxxx

x

+−+−+−=−+∫ 1ln

2

1

2

1)1ln(

4

1

)1)(1(2

2


125

EXERCÍCIOS: Resolva as seguintes integrais

1) ∫ dxxxsen )(cos)( 52

2) ∫ −+

dxe

ex

x

1

12

2

3) ∫ dxxxsen )3cos()2(

4) ∫−

dxx

x 42

5) ∫ dxxxtg )(sec)( 43

6) ∫ +−dx

xsenxsen

x

12)(6)(

)cos(2

7) ( )∫

−dx

x 2

326

1

8)

( )∫+

dx

x 2

3

1

1

9) ∫ +dx

xx 4

122

10) ∫ −++

dxx

xx

1

22

2

11) ∫ +dx

xxx

x

)(ln4

)ln(2

12) ∫ ++

−dx

xxxx

x

2)2(

1222

13) ∫ ++

dxx

x

3

2

14) dxx

xx∫

−4

37

6

15) dxexx

ex

x

∫ + 1


126

16) ∫ −−+

−

−−

dxe

eex

xx

1

2233

2

17) ∫−+

+dx

ee

e

xx

x

52

12

18) ∫ dxxxtg )(sec)( 32

19) ∫ ++−

dxxx

x

)4)(1(

3322

3

20) ∫ +++

dxxx

xx

9

193

35

21) dxxx

x∫ +−+ 4 11

22) ( )dxxx

x∫ +

−

12

43 2

3

23) ( )∫

−dx

x32 9

1

24) dxx 14

1

++

25) dxx

xx∫

+− 10)ln(2)(ln 2

26) ∫ dxxsenxsen )3()5(3

27) ∫ dxxx )4cos()10cos(5

28) ∫ dxxxsen )8cos()2(


127

INTEGRAL DEFINIDA

O Problema da Área: Calcule a área da figura pintada definida pelo gráfico a seguir:

Solução:

a) uaAhb

A 22

22

2=⋅=⇒

⋅=

Somatórios: Utilizaremos agora uma nova notação para fazermos, de forma compacta, longas somas. Esta idéia será muito útil na definição de integral definida, que veremos posteriormente.

Lê-se: Somatório de f (k), para k variando de m até n.

Exemplos:

a) ∑=

8

1

3

k

k b) ∑=

5

1

2k

k

c) ∑=

+5

0

)12(i

i d) ∑=

+−6

0

)12()1(x

x x

e) ∑=

7

3

2k

f) ∑=

5

0

2i

i

y = x

Valor final de k

Símbolo de Somatório ∑=

n

mk

kf )( Fórmula de soma

valor inicial de k


128

Propriedades dos Somatórios

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

===

===

==

−=−

+=+

=

n

kk

n

kk

n

kkk

n

kk

n

kk

n

kkk

n

kk

n

kk

babaP

babaP

acacP

111

111

11

)()3(

)()2(

)1(

Algumas Fórmulas em Somatórios

Teorema:

4

)1(...321)

6

)12)(1(...321)

2

)1(...4321)

1...11111)

223333

1

3

2222

1

2

1

1

+=++++=

++=++++=

+=+++++=

=+++++=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

nnnkc

nnnnkb

nnnka

na

n

k

n

k

n

k

n

k

Exemplos: Calcule as seguintes somas:

a) 2

)1(

6

)12)(1()()1(

30

1

30

1

230

1

230

1

++++=+=+=+ ∑∑∑∑====

nnnnnkkkkkk

kkkk

9920)31(15)61)(31(52

)130(30

6

)1302)(130(30 =+=+++⋅+=


129

b) ∑∑∑∑∑=====

++=++=+n

k

n

k

n

k

n

k

n

k

kkkkk1

2

111

2

1

2 69)69()3(

nnnnnnnnnn

nnnnnnn

nnnnnn

6

73

2

7

3

1

6

22181854

6

22339

6

)12)(1(

2

)1(69

232232

2232

++=++++++=

++++++=+++++=

b) Outra alternativa é dividirmos a figura em retângulos, como:

Na figura (a), os retângulos têm base ∆x e altura igual ao valor da função nos extremos direitos.

Na figura (b), os retângulos têm base ∆x e altura igual ao valor da função nos extremos esquerdos.

Consideremos uma região R no plano, limitada pelo eixo x, as retas x = a e x = b, e a curva definida pela função y = f(x), como mostra a figura a seguir.

Estimando o valor da área A(R): Sabemos como calcular a área de um retângulo, certo? A área de um retângulo de largura l e altura h é dada por A = l⋅⋅⋅⋅ h.

Figura (a) Figura (b)

∆x ∆x


130

SOMA SUPERIOR: Aqui, temos a função y = x sen(x) com a = 0 e b = 2 e dividimos o intervalo [0 , 2] em 15 subintervalos de largura ∆x. Denotamos os extremos destes subintervalos por xi, onde 0 ≤ i ≤ 2. Então a soma superior das áreas dos 15 retângulos será:

∑=

∆=15

115 )(

ii xxfS ;

15

2

15

02 =−=−=∆n

abx

( ) xxfxfxfxfxfS

xxfxxfxxfxxfxxfS

∆+++++=

∆++∆+∆+∆+∆=

)(...)()()()(

)(...)()()()(

15432115

15432115

( )15

22...

15

10

15

8

15

6

15

4

15

215

++

+

+

+

+

= ffffffS

133,0818,1785,1710,1599,1

459,1296,1118,1934,075,0574,0412,0271,0156,007,0018,015

++++++++++++++

=S

S15 = (13,97) 0,133 ≅ 1,858 ua

Geometricamente, aumentando o número de pontos da partição, uniformemente distribuídos, a soma superior se aproxima da área sob o gráfico de f(x) = x sen(x) no intervalo [0, 2]. Então, a soma superior das áreas dos n retângulos será:

∑=

∆=n

iin xxfS

1

)(

Algebricamente, S(n) se aproxima de A(R) (área da região R). Desta forma, podemos dizer que:

∑=∞→∞→

=∆=n

ii

nnRAxxfnS

1

)()(lim)(lim

Esta soma é chamada soma de Riemann (matemático alemão Bernhard Riemann, 1826-1866).


131

SOMA INFERIOR : Para a mesma função y = x sen(x) com a = 0 e b = 2 e dividimos o intervalo [0 , 2] em 15 subintervalos de largura ∆x. Denotamos os extremos destes subintervalos por xi, onde 0 ≤ i ≤ 2. Então a soma inferior das áreas dos 15 retângulos será:

∑=

∆=14

015 )(

ii xxfS ;

15

2

15

02 =−=−=∆n

abx

( ) xxfxfxfxfxfxfS ∆++++++= )(...)()()()()( 144321015

15

2

15

28...

15

10

15

8

15

6

15

4

15

2)0(15

++

+

+

+

+

+= fffffffS

133,0785,1710,1599,1

459,1296,1118,1934,075,0574,0412,0271,0156,007,0018,0015

++++++++++++++

=S

S15 = (13,97) 0,133 ≅ 1,616 ua

OBS: O valor preciso da área, por integração, é de: A = 1,741 ua

Geometricamente, aumentando o número de pontos da partição, uniformemente distribuidos, a soma inferior se aproxima da área sob o gráfico de f(x) = x sen(x) no intervalo [0, 2]. Então, a soma inferior das áreas dos n retângulos será:


132

∑−

=

∆=1

0

)(n

iin xxfS

Algebricamente, S(n) se aproxima de A(R) (área da região R). Desta forma, podemos dizer que:

∑−

=∞→∞→=∆=

1

0

)()(lim)(limn

ii

nnRAxxfnS

DEFINIÇÃO : Se f for uma função, positiva, definida no intervalo [a , b], então a integral definida

de f de a até b, denotada por ∫b

a

dxxf )( , representa a soma das áreas de retângulos de f, dada por:

∫∑ =∆==∞→

b

a

n

ii

ndxxfxxfA )()(lim

1

Exemplo 1) Encontre a área sob o gráfico da função y = x² + x e acima do eixo x, com x ∈ [0 , 3].

Solução: Utilizando a soma superior temos que:

∑∫=∞→

∆=+=n

ii

nxxfdxxxA

1

3

0

2 )(lim)( , n

abx

−=∆ , n

x3=∆

x0 = 0,

x1 = ∆x,

x2 = 2∆x,

x3 = 3∆x,

.............

xi = i∆x => f(xi) = (i∆x)² + i∆x

( ) ( ) ∑∑∑=∞→=∞→=∞→

∆+∆=∆∆+∆=∆∆+∆=n

in

n

in

n

in

xixixxixixxixiA1

232

1

22

1

2 )()(lim)(lim)(lim


133

( )( ) ( )

++

+

+=

++

++=

+

+

++

=

∆+∆=

∞→∞→

∞→==∞→ ∑∑

nnn

n

n

n

nA

nn

n

nnn

nixixA

n

nnn

n

n

n

i

n

in

11

2

912

11

2

9lim

2

19

6

213lim

2

)1(3

6

)12)(1(3lim)()(lim

12

2

113

3

3

23

1

2

1

23

uaA2

27

2

99 =+=

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Seja f uma função contínua em [a , b] e, se F for uma antiderivada de f em [a , b], então:

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

em que a é o intervalo inferior e b é o intervalo superior.

Outra notação para a integral definida é:

] )()()()( aFbFxFdxxf ba

b

a

−==∫

OBS: Se a área procurada estiver abaixo do eixo x, então, tem-se que:

))()(()()( aFbFdxxfxAb

a

−−=−= ∫

Exemplos 2) Calcular a área definida pelas funções y = 2, x = 1 e x = 4 e y = 0.

Solução:

] 6)1(2)4(222 41

4

1

=−==∫ xdx


134

Exemplo 3) Calcular a área limitada por y = x + 2, x = -1 e x = 2 e eixo x.

Solução:

uaAA

xx

dxxA

2

15

2

342

)1(22

)1()2(2

2

22

2)2(

222

1

22

1

=⇒++=

−+−−+=

+=+=

−−∫

Exemplo 4) Determine a área da região limitada pelas funções y = x² e y = 2x.

Solução: Neste caso, os intervalos de integração são os pontos de intersecção das funções em x. Para a integração, faz-se a diferença entre a função “superior” e a “inferior”. Também poderíamos inverter os intervalos de integração de x para y. Então, temos duas opções de solução.

a) x² = 2x => x² – 2x = 0

x1 = 0 e x2 = 2

uaAA

xxdxxxA

3

4

3

84

03

22

3)2(

32

2

0

32

2

0

2

=⇒−=

−−=

−=−= ∫

b) y = x² => yx = ; y = 2x => 2

yx =

04

44

3

2

43

2

22

23

4

0

24

0

4

0

23

21

−−=

−=

−=

−= ∫∫y

ydyy

ydyy

yA

uaAA3

44

3

164

3

82 =⇒−=−⋅=


135

Exemplo 5) Encontre o valor da área delimitada pelas curvas y = x², y = 2 – x² e y = 2x + 8.

Solução: Neste caso precisamos identificar a região limitada pelas curvas pelos gráficos e então determinarmos os intervalos de integração para o cálculo da área solicitada.

Intersecções: x² = 2x + 8

x² – 2x – 8 = 0 x1 = -2 e x2 = 4

x² = 2 – x² => 2x² = 2

x² = 1 => x1 = -1 e x2 = 1

4

1

32

1

1

32

1

2

32

4

1

21

1

21

2

2

4

1

21

1

21

2

2

38

36

38

826282

)()82()2()82()()82(

xxx

xxx

xxxA

dxxxdxxxdxxxA

dxxxdxxxdxxxA

t

t

t

−+++++−+=

−+++++−+=

−++−−++−+=

−−

−

−

−

−

−

−

∫∫∫

∫∫∫

uaAt 3

100=

Exemplo 6) Determine a área da região limitada pelas funções y² = 2x – 2 e y = x – 5.

Solução: o intervalo de integração é a intersecção das funções, assim:

2x – 2 = (x – 5)²

2x – 2 = x² – 10x + 25

x² – 12x + 27 = 0 => x1 = 3 e x2 = 9

Se o intervalo de integração for em x, deve-se dividir em duas áreas, então:


136

uadxxxdxxA

AAA

t

t

18)5(222229

3

3

1

21

=−−−+−=

+=

∫∫

Mas se o intervalo de integração for em y, a mesma área é obtida de forma mais simples:

uayyy

dyy

ydyy

yA 18462

42

12

54

2

324

2

24

2

2

=+−=

+−=

+−+=

−−−∫∫

COMPRIMENTO DE ARCO

Embora as fórmulas para comprimento de arcos circulares apareçam nos primeiros dados históricos conhecidos, muito pouco se sabia sobre os comprimentos de curvas mais gerais até a metade do século XVII. Nesta época, foram descobertas fórmulas para o comprimento de arco para algumas curvas específicas, tais como a ciclóide. No entanto, problemas básicos como os de encontrar o comprimento de uma elipse desafiaram os matemáticos daquele período e quase nenhum progresso foi feito no problema genérico de encontrar o comprimento de uma curva até o advento do cálculo no século seguinte.

Para chegar a uma fórmula conveniente, empregaremos um processo análogo ao que poderia ser usado para aproximar o comprimento de um arame encurvado. Imaginemos o arame dividido em muitas partes pequenas por meio de pontos Qo, Q1, Q2, ..., Qn, conforme a figura abaixo. Podemos obter uma aproximação do comprimento de pedaço entre Qk-1 e Qk (para cada k) medindo a distância d(Qk-1, Qk).

A soma de todas as distâncias é uma aproximação do comprimento total do arame. O processo que utilizaremos para o gráfico de uma função é semelhante; apenas aqui determinaremos o comprimento exato tomando um limite de somas de comprimento de segmentos retilíneos. Este processo conduz a uma integral definida. Para garantir a existência da integral, devemos impor restrições à função como se indica a seguir.

y

Q1 Q2

xn = b xk

Qk -1

x

Qk ∆xk

Qn = B

xk -1 x1 x2 a = xo

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