Aula01

EQUAES DIFERENCIAIS

Definio de Equaes Diferenciais (E.D.)

Uma equao cujas incgnitas so funes (funo incgnita,

= 2 + 3 = ()) e que contm, pelo menos, uma derivada (ou diferencial) dessas funes denominada de equao diferencial.

Exemplos de E.D.s


Uma equao cujas incgnitas so funes (funo incgnita,

= 2 + 3 = ()) e que contm, pelo menos, uma derivada (ou diferencial) dessas funes denominada de equao diferencial.

Exemplos de E.D.s

= +

+

=

+

+ =

+

+

=

+

=

Classificao de Equaes Diferenciais (ED)

Podemos classificar a E.D.s em relao ao seu tipo, ordem e

quanto a linearidade




Tipo

Uma equao diferencial pode chamada de ordinria (E.D.O) se a

funo incgnita depende apenas de uma varivel independente.

Caso a funo incgnita dependa de mais de uma varivel

independente temos ento uma equao diferencial parcial (E.D.P).




Tipo





E.D.O E.D.P

= 5 + 3

2

2+

3

+

= 0

2

2+

2

= 0 22(, )

2=

(, )

4

4+ 5

2

2+ 3 = cos t 2

2(, )

2=

2(, )

2




Tipo





E.D.O E.D.P

= 5 + 3

2

2

2

2+

3

+

= 0

2

2+

2

= 0 22(, )

2=

(, )

4

4+ 5

2

2+ 3 = cos t 2

2(, )

2=

2(, )

2

Equao de calor

Equao de onda


Ordem

A ordem de uma E.D. indicada pela maior ordem de derivao

que aparece na equao. Exemplos:


Ordem

A ordem de uma E.D. indicada pela maior ordem de derivao

que aparece na equao. Exemplos:

Primeira Ordem


Obs: No confundir Ordem da E.D. com Grau da E.D. O grau da

E.D. indicada pela potncia da derivada de maior ordem na

equao. Ex:




equao. Ex:

E.D. de 1 grau E.D. de 2 grau E.D. de 3 grau

= 5 + 3

3

2+

3

3

2

= 0 2

2

2

2

3

= 0

2

2+

2

= 0

7

7

2

= 2x

8

+2

3

+

= 0

2

2 2

+ = 2

2

2

2

= 8

10

+2

2

5

4

4

3

= 0




equao. Ex:

Nem toda equao pode ser classificada segundo o grau (somente

as que podem ser escritas como um polinmio.

E.D. de 1 grau E.D. de 2 grau E.D. de 3 grau

= 5 + 3 3

3+

3

3

2

= 0 2

2

2

2

3

= 0

2

2+

2

= 0

7

7

2

= 2x

8

+2

2

3

+

= 0

2

2 2

+ = 2

2

2

2

= 8

10

+2

2

5

4

4

3

= 0


Linearidade

Uma E.D. chamada de Linear quando pode ser escrita na forma

Para ser uma E.D.L. cada coeficiente uma funo que deve

depender apenas da varivel independente e tanto a varivel dependente (geralmente ) quanto suas derivadas s odo primeiro grau. Uma equao que no linear chamada de Equao

Diferencial no-linear.

Em algumas situaes possvel aproximar uma E.D. no-linear por uma equao linear. Isso ocorre pois os mtodos para resolver

equaes lineares esto mais desenvolvidos


Linearidade

Exemplos:

E.D. Linear E.D. No-Linear

= 5 + 3

3

3+

3

3

2

= 0

2

2 2

+ = 2

3

3+ 2

2

2+

=

43

3+ (sen x)

2

2+ 5y = 0

22(, )

2=

(, )

Observaes

Neste curso nosso objetivo estudar E.D.O. de 1 e 2 ordens.

( poderemos ver mtodos expandidos para casos mais gerais)

Iremos nos ater ao estudo de equaes lineares

Exerccios de fixao

Soluo de Equao Diferencial

Geralmente o principal interesse ao lidar com uma equao

diferencial e encontrar uma funo que torne a sentena

verdadeira. Quando tal funo encontrada ela recebe o nome de

Soluo para a equao diferencial ou matematicamente a

soluo para a E.D.

, , , , = 0

um funo que possui pelo menos n derivadas e satisfaz

, , (), , () = 0

para todo no intervalo .

OBS: geralmente essas solues esto definidas em intervalos de

nmeros reais que podem variar para cada problema.


Exemplos

Exemplo 1 - Verifique que =

soluo da equao diferencial

= / para

todo pertencente ao intervalo (, ).

Exemplo 2 - Verifique se = soluo da equao diferencial y 2y + y = 0 para todo real.

Exemplo 3 - Verifique se existe soluo para a equao diferencial

+ = .

Exemplo 4 - Verifique se = 900 + / soluo para a equao diferencial

=

.

Exemplo 5 - Verifique se a relao + = soluo da equao diferencial

=

para todo < < real.

OBS: para verificar se soluo basta derivar a funo (ou relao) e substituir na

equao.


Uma soluo de uma E.D. pode ser classificada como explicita ou

implcita.

Soluo explicita: uma soluo que pode ser escrita na forma = ()

Nos exemplos anteriores 1, 2 e 4 so solues

Soluo implcita: dizemos que uma relao , = 0 uma soluo implcita em um intervalo se ela define uma ou mais solues explicitas em .

No exemplo anterior 5. A equao + = define duas solues explicitas:

= e = no intervalo < < .


Nmero de solues de uma equao diferencial

Ao buscar/verificar solues para os 5 exemplos passados vimos que em alguns

casos a E.D. podem ou no ter solues. Na verdade em muitos caso um

equao diferencial pode ter infinitas solues. No exemplo 4 a soluo

= 900 + / representa uma famlia de solues para a equao

=

.

Para cada valor atribudo a tem-se uma nova soluo.



A soluo que depende de um (ou vrios) parmetro (s) arbitrrio (s) chamada

de soluo geral.

Uma soluo que depende de um valor especifico do parmetro chamada de

soluo particular.

As vezes a E.D. possui soluo que no pode ser obtida especificando os

parmetros em uma famlia de solues. Quando isso acontece a soluo

chamada de singular.

Geralmente para se obter a soluo particular de uma E.D. dentre as infinitas

curvas que compem a famlia de solues necessrio estabelecer uma

condio para a equao (ou para a soluo) de modo que o critrio seja

satisfeito. A condio que determina o valor do parmetro denominada

condio inicial.



Exemplo

Uma soluo particular para a 4 a equao

=

pode ser obtida = 0 em

= 900 + / deste modo a soluo se reduz a = 900.

Problemas de valor inicial (PVI)

Se a E.D. que estiver acompanhada de uma condio

inicial ento estamos diante de um problema de valor

inicial.

Em um PVI estamos interessados em resolver

= (, )

sujeito a condio (0) = 0. Geometricamente estamos procurando uma soluo para a E.D. definida em um intervalo tal que o grfico da soluo passe pelo ponto (0, 0) determinado a priori.

Problemas de valor inicial (PVI)

Exemplo 1

Determine a soluo particular para a equao diferencial abaixo

=

sujeito a condio y(0) = 3.

Do curso de Calculo I percebemos que a funo que satisfaz a E.D.

da forma = e resolvendo o PVI temos que a soluo procurada = 3

Teorema da existncia e unicidade

E qual garantia temos que o PVI existe ? E se existir ser

nico ?

Exemplo:

O PVI

= 1/2 e 0 = 0 possui duas solues, a

saber, 0 e =4

16

O teorema a seguir garante que, sob certas

circunstancias, um PVI possui soluo e que a mesma

nica.



Seja R uma regio retangular no plano xy definida por

a e c que contem o ponto (0, 0) em seu interior. Se

, e

so continuas em R, ento existe um intervalo centrado

em 0 e uma nica funo ()definida em que satisfaz o PVI.

Exemplo vimos que

= 1/2 possui pelo menos duas solues

cujos grficos passam pelo ponto (0,0). As funes

(, y) = 1/2 e

=

21/2

So continuas no semiplano superior definido por > 0. logo pelo

teorema acima para qualquer ponto (0, 0) com 0 > 0 existe um intervalo tal que a E.D. possui uma nica soluo para (0) = 0.



Exemplo 2

Como podemos garantir que para

= sujeito a condio

y(0) = 3.

A soluo = 3 nica ?

Note que

(, y) = e

= 1

So continuas em todo o plano xy. logo pelo teorema a soluo do

PVI nica.

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