Concreto ArmadoPAVIMENTOS DE EDIFCIOS COM LAJES MACIASlajes so
placas de concreto superfcie plana(elementos laminares simtricos em
relao ao seu plano mdio), em que a dimenso perpendicular superfcie,
usualmente chamada espessura, relativamente pequena comparada s
demais (largura e comprimento), e sujeitas principalmente a aes
normais a seu plano.Quando as aes esto contidas em seu plano,
chapas ou viga-parede.superfcie no planacascas. moldadas no local
ou pr-moldadas. Concreto ArmadoO pavimento moldado no local pode
ser composto por uma nica laje ou vrias macia sem
vigasnervuradasmaciasapoiadas em vigas.Lajes macias distribuem suas
reaes em todas as vigas de contorno. facilidade em colocar, antes
da concretagem, tubulaes eltricas ou de outros tipos de
instalaes.Diversos pavimentos h economia das formas que so
reaproveitadasaltura (espessura) e o menor vo da laje varia 1/40 a
1/60. Concreto ArmadoConcreto Armado.2 MTODOS DE CLCULO o elstico e
o de ruptura. mtodo de ruptura desenvolvido com base no mecanismo
de ruptura da laje, 991).mtodo elsticosubestima-se os
deslocamentos, pois no considerada a fissurao do concreto; mtodo
elsticono se pode dizer que os esforos na situao de ruptura, usados
no clculo da armadura, so proporcionais aos obtidos em
servioprocura identificar de que forma a laje chega ao colapso e
nesta situao, so calculados os esforos pela chamada teoria das
charneiras plsticas ou linhas de ruptura; no sendo possvel,precisar
informaes sobre o comportamento da estrutura em servio.
(deslocamentos)Johansen (1962, 1972), Langendonck (1970) Montoyaet.
al. (1991).ROCHA A. 1971Pode-se escolher relao entre armadurasEm
algumas situaes conduz a armadura menorConcreto Armado7.3 MTODO
ELSTICOteoria das placas delgadas ou, ainda, pela de Kirchhoff,
Timoshenko & Woinowsky (1959), Martinelli et al (1986)Bares
(1972).Teoria elstica baseada na teoria de elasticidade 7.3.1
Hipteses de clculomaterial homogneo,elstico,istropo,linear
fisicamente tm pequenos deslocamentos. a ao das placas nas vigas de
contorno se faz somente atravs de foras verticais, no h transmisso
de momentos de toro para as vigas;as aes das placas nas vigas so
uniformemente distribudas e no htransmisso de carga diretamente
para os pilares; a carga nas placas transferida para as vigas e da,
para os pilares;as vigas de contorno so indeslocveis na direo
vertical;a rotao das placas no contorno livre (apoio simples) ou
totalmente impedida (engastada).Concreto Armado7.3.2 Equao
fundamentalDpywy xw2xw442 2444w deslocamento vertical; x, y
coordenadas de um ponto genrico da placa; p intensidade da carga
atuante; ) 1 ( 12h ED23 a rigidez flexo da placa; E mdulo de
deformao longitudinal do concreto; coeficiente de Poisson.
2222xywxwDm2222yxwywDmyxxMm(7.4)Concreto Armado7.3.3 Processos de
resoluodiferenas finitas;elementos finitos;grelha
equivalente;utilizao de sries para a representao do valor de p
(x,y).Concreto 27.3.3 Processos de resoluo7.3.4 Clculo por
diferenas finitasAs derivadas do polinmio so consideradas como
aproximadamente iguais s da funo incgnita, cujas derivadas parciais
se pretende substituir pelas diferenas finitas, como por
exemplo:expresses aplicadas a diversos pontos, permitindo que a
soluosoluo um sistema de equaes lineares.1 21 2xyxyx xy yddConcreto
27.3.5 Processo dos elementos finitossubdivide-se a placa em
elementos de dimenso finita conectados por pontos nodais,
impondo-se nestes pontos a compatibilidade de esforos e de
deslocamentos. Usa-se a equao fundamentalos deslocamentos w com
polinmios cujos coeficientes devem ser determinados. aplicadas aos
diversos pontos nodais dos elementos, equaes lineares .Concreto
Armado7.3.6 Processo de grelha equivalenteSubstituir placa e vigas
por vigas emduas direes Concreto Armado7.3.7 Determinao de esforos
e deslocamentos por meio de sriesby nsenax msen p ) y , x ( p pm
nmnDpywy xw2xw442 2444a e b dimenses da placa; m e n nmero de
retngulos em que se divide a placa, cada um com lados a/m e b/n;
pmn valor mximo do carregamento no centro de cada retngulo. Com a
equao fundamentalSubstituir p por uma srie que representa o
carregamento considerada com referencia e soluo exataConcreto
27.3.7 Determinao de esforos e deslocamentos por meio de sriesby
nsenax msenbnamDpw222224mnb0a0n mdy dxby nsenax msen ) y , x ( pb
a4pm n2222 6bnamn mbx nsenax msenDp 16wCom m e nmpares (1,3,5,...),
pois valores pares de m e n levam a0 pn m, e com p ) y , x ( pcarga
uniformemente distribuda, pmn torna-se: para placa retangular
Concreto 27.3.7 Determinao de esforos e deslocamentos por meio de
sriesm n2222222224xby nsenax msenbnamn mbnamp 16mm n2222222224yby
nsenax msenbnamn mambnp 16mm n2222 6bnamn mbx nsenax msenDp
16wIntegrando duas vezesConcreto Armado11 2y 2 1 x 1 221xm m 111m11
2x 2 1 y 1 221ym m 111m212211w w1 2Os valores de esforos e
deslocamentos dependem do coeficiente de PoissonConcreto
Armado7.3.7.2 Utilizao de tabelasVrios casos j foram resol vidos e
tabeladoConcreto Armado.3.7.2.1 Determinao de flechas100h Epf34xp
carregamento uniformemente distribudo sobre a placa; coeficiente
tirado da tabela 7.2; x menor vo da laje; E mdulo de
deformabilidade do concreto; h altura ou espessura da placa. xy
caso 1caso 2 caso 3caso 4caso 5caso 6caso 7caso 8caso 9
1,004,673,203,202,422,212,211,811,811,46
1,055,173,613,422,672,552,312,041,921,60
1,105,644,043,632,912,922,412,272,041,74
1,156,094,473,823,123,292,482,492,141,87
1,206,524,914,023,343,672,562,722,241,98
1,256,955,344,183,554,072,632,952,332,10
1,307,365,774,353,734,482,693,162,422,20
1,357,766,214,503,924,922,723,362,482,30
1,408,146,624,654,085,312,753,562,562,37
1,458,517,024,784,235,732,803,732,622,45
1,508,877,414,924,386,142,843,912,682,51
1,559,227,815,004,536,542,864,072,532,57
1,609,548,175,094,656,932,874,222,872,63
1,659,868,525,134,777,332,874,372,782,68
1,7010,158,875,174,887,702,884,512,792,72
1,7510,439,195,264,978,062,884,632,812,76
1,8010,719,525,365,078,432,894,752,832,80
1,8510,969,825,435,168,772,894,872,852,83
1,9011,2110,115,505,239,082,904,982,872,85
1,9511,4410,395,585,319,412,905,082,892,88
2,0011,6810,685,665,399,722,915,192,912,91
15,3515,356,386,3815,353,076,383,073,07 ExerccioLaje de 4mx4m4
vigas de 1mx4mConcreto Armado. 3.7.2.2 Determinao dos momentos
mximos nas direes x e y'y'x y xe , ,100pm2xx x100pm2xy y100px2x 'x
x100px2x 'y yxmenor lado da placa;caso 1caso 2caso 3 x y x y y'x
x'y 1,00 4,414,413,073,668,403,948,522,91 1,05
4,804,453,423,788,794,198,912,84 1,10
5,184,493,773,909,184,439,302,76 1,15
5,564,494,143,979,534,649,632,68
1,205,904,484,514,059,884,859,952,59
1,256,274,454,884,1010,165,0310,222,51
1,306,604,425,254,1510,415,2010,482,42
1,356,934,375,604,1810,645,3610,712,34
1,407,254,335,954,2110,865,5110,922,25
1,457,554,306,274,1911,055,6411,102,19
1,507,864,256,604,1811,235,7711,272,12
1,558,124,206,904,1711,395,8711,422,04
1,608,343,147,214,1411,555,9811,551,95
1,658,624,077,424,1211,676,0711,671,87
1,708,864,007,624,0911,796,1611,801,79
1,759,063,967,664,0511,886,2411,921,74
1,809,273,917,693,9911,966,3112,041,68
1,859,453,838,223,9712,036,3812,141,64
1,909,633,758,743,9412,146,4312,241,59
1,959,773,718,973,8812,176,4712,291,54
2,0010,003,649,183,8012,206,5112,341,48
12,573,779,183,8012,207,6112,761,48 ExerccioLaje de 4mx4m4 vigas de
1mx4mConcreto 2. 3.7.2.2 Determinao dos momentos mximos nas direes
x e y'y'x y xe , ,100pm2xx x100pm2xy y100px2x 'x x100px2x 'y
yxmenor lado da placa;caso 4caso 5 caso 6 x x'y y'x y y'x x'y
1,002,816,992,816,992,153,176,993,176,992,15
1,053,057,432,817,182,473,327,433,297,202,07
1,103,307,872,817,362,783,477,873,427,411,99
1,153,538,282,807,503,083,588,263,527,561,89
1,203,768,692,797,633,383,708,653,637,701,80
1,253,969,032,747,723,793,809,033,717,821,74
1,304,169,372,697,814,153,909,333,797,931,67
1,354,339,652,657,884,503,969,693,848,021,59
1,404,519,932,607,944,854,0310,003,908,111,52
1,454,6610,412,548,005,194,0910,253,948,131,45
1,504,8110,622,478,065,534,1410,493,998,151,38
1,554,9310,822,398,095,864,1610,704,038,201,34
1,605,0610,992,318,126,184,1710,914,068,251,28
1,655,1611,162,248,146,484,1411,084,098,281,23
1,705,2711,302,168,156,814,1211,244,128,301,18
1,755,3611,432,118,167,114,1211,394,148,311,15
1,805,4511,552,048,177,414,1011,434,158,321,11
1,855,5311,571,998,177,684,0811,654,168,331,08
1,905,6011,671,938,187,954,0411,774,178,331,04
1,955,6711,781,918,198,213,9911,834,178,331,01
2,005,7411,891,888,208,473,9211,884,188,330,97
7,0612,501,958,2012,584,1311,884,188,330,97 Concreto 2. 3.7.2.2
Determinao dos momentos mximos nas direes x e y'y'x y xe ,
,100pm2xx x100pm2xy y100px2x 'x x100px2x 'y yxmenor lado da placa;
caso 7caso 8caso 9 x x'y y'x x'y y'x x'y y'
1,002,135,462,606,172,606,172,135,462,115,152,115,15
1,052,385,982,666,462,786,472,095,562,315,502,105,29
1,102,636,502,716,752,956,762,045,652,505,852,095,43
1,152,877,112,756,973,096,991,985,702,736,142,065,51
1,203,117,722,787,193,237,221,925,752,946,432,025,59
1,253,438,812,797,363,347,401,855,753,046,671,975,64
1,303,568,592,777,513,467,571,785,763,136,901,915,68
1,353,768,742,747,633,557,701,725,753,257,091,865,69
1,403,968,882,717,743,647,821,645,743,387,281,815,70
1,454,159,162,677,833,717,911,595,733,487,431,735,71
1,504,329,442,637,913,788,001,535,723,587,571,665,72
1,554,489,682,607,983,848,071,475,693,667,681,605,72
1,604,639,912,558,023,898,141,425,663,737,791,545,72
1,654,7810,132,508,033,948,201,375,623,807,881,475,72
1,704,9210,342,458,103,988,251,325,583,867,971,405,72
1,755,0410,532,398,134,018,301,275,563,918,051,365,72
1,805,1710,712,328,174,048,341,205,543,958,121,325,72
1,855,2610,882,278,164,078,381,175,553,988,181,265,72
1,905,3611,042,228,144,108,421,145,564,018,241,215,72
1,955,4511,202,148,134,118,451,115,604,048,291,195,72
2,005,5511,352,078,124,138,471,085,644,078,331,165,72
7,0712,502,058,124,188,331,095,644,198,331,175,72 Concreto
Armado7.4 ROTEIRO PARA O CLCULO DE PAVIMENTOS COMLAJES MACAAS DE
CONCRETO ARMADODiscretizao do pavimentoVerificao de flechaClculo
dos momentos Determinao das espessurasClculo da armaduraClculo das
reaes de apoio nas vigasDetalhamentoda armaduraVerificao de
cisalhamentoConcreto 2O pavimento moldado no local pode ser
composto por uma nica laje ou vrias L1-L3 engastada; L1 L3
engastada e L2-L3 engastadaL4-L5 engastada?Em geral apoiadaConcreto
2Determinao da espessura3 2d2 coeficiente dependente das condies de
vinculaoe dimenses da laje (tabela 7.6); 3 coeficiente que depende
do tipo de ao (tabela 7.7, onde foi mantido o CA-32 e o CA-40);
menor dos dois vos das laje. A NBR 6118:2003, item 13.2.4.1,
estipula valores limites mnimos para a espessura que devem ser
respeitados: a)5 cmpara lajes de cobertura no em balano; b)7 cmpara
lajes de piso ou de cobertura em balano; c)10 cmpara lajes que
suportem veculos de peso total menor ou igual a 30 kN; d)12 cmpara
lajes que suportem veculos de peso total maior que 30 kN; e)15
cmpara lajes com protenso apoiadas em vigas,/42 para lajes de piso
biapoiadas e/50 para lajes de piso contnuas; f)16 cm para lajes
lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. Tabela 7.6 Valores de
2utilizados no pr-dimensionamento da altura das lajes. Concreto
Armado3 2d Caso 1 Caso 2Caso 3Caso 4Caso 5Caso 6Caso 7Caso 8Caso 9
1,001,501,701,701,801,901,902,002,002,20
1,051,481,671,691,781,871,891,971,992,18
1,101,461,641,671,761,831,881,941,972,15
1,151,441,611,661,741,801,871,911,962,13
1,201,421,581,641,721,761,861,881,942,10
1,251,401,551,631,701,731,851,851,932,08
1,301,381,521,611,681,691,841,821,912,05
1,351,361,491,601,661,661,831,791,902,03
1,401,341,461,581,641,621,821,761,882,00
1,451,321,431,571,621,591,811,731,871,98
1,501,301,401,551,601,551,801,701,851,95
1,551,281,371,541,581,521,791,671,841,93
1,601,261,341,521,561,481,781,641,821,90
1,651,241,311,511,541,451,771,611,811,88
1,701,221,281,491,521,411,761,581,791,85
1,751,201,251,481,501,381,751,551,781,83
1,801,181,221,461,481,341,741,521,761,80
1,851,161,191,451,461,311,731,491,751,78
1,901,141,161,431,441,271,721,461,731,75
1,951,121,131,421,421,241,711,431,721,73
2,001,101,101,401,401,201,701,401,701,70 Tabela 7.5 Valores de 3
utilizados no pr-dimensionamento da altura das lajes. AoVigas e
Lajes NervuradasLajes Macias CA 252535 CA 322233 CA 402030 CA
501725 CA 601520 Concreto ArmadoEXEMPLO 7.1 Calcular e detalhar a
armadura do pavimento de lajes macias cuja planta de frmas est
indicada na Figura 7.15. Considerar que as salas sero utilizadas
para escritrios, que as lajes
deverotertodasamesmaespessuraequeorevestimentoinferiordegesso,paraefeitode
clculo de carga, pode ser desprezado. Sero admitidos os seguintes
dados de projeto: contrapiso com espessura de 2,0 cm e183kN m / ;
piso de plstico, cujo peso de 0,20 kN/m2 j inclui a cola e a camada
de regularizao; cobrimento nominal da armadura de 25 mm, admitindo
classe de agressividade ambiental II; vigas: largura bw =12 cm e
altura h =50 cm; concreto com resistncia caracterstica fck =20 MPa;
ao CA-50. Concreto Armado EXEMPLO 7.1 Concreto Armado EXEMPLO 7.1
Concreto 2Determinao da espessura3 2d LajeCaso xy 2 3d (m)h (m)
L146,006,001,001,80250,1330,173 L244,006,001,501,60250,1000,14
L335,0010,002,001,40250,1430,183 Pelos resultados, a maior altura
necessria de 18,3 cm. possvel empregar uma altura menor que a
encontrada e verificar se a mesma atende s limitaes de flecha
impostas pela norma; caso contrrio, aumenta-se novamente a altura.
Como as trs lajes devem ter a mesma altura, adota-se: d =12 cm e h
=16,0 cm Concreto Armado3 2d Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5
Caso 6 Caso 7 Caso 81,001,50 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00
2,001,051,48 1,67 1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,991,101,46 1,64 1,67
1,76 1,83 1,88 1,94 1,971,151,44 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91
1,961,201,42 1,58 1,64 1,72 1,76 1,86 1,88 1,941,251,40 1,55 1,63
1,70 1,73 1,85 1,85 1,931,301,38 1,52 1,61 1,68 1,69 1,84 1,82
1,911,351,36 1,49 1,60 1,66 1,66 1,83 1,79 1,901,401,34 1,46 1,58
1,64 1,62 1,82 1,76 1,881,451,32 1,43 1,57 1,62 1,59 1,81 1,73
1,871,501,30 1,40 1,55 1,60 1,55 1,80 1,70 1,851,551,28 1,37 1,54
1,58 1,52 1,79 1,67 1,841,601,26 1,34 1,52 1,56 1,48 1,78 1,64
1,821,651,24 1,31 1,51 1,54 1,45 1,77 1,61 1,811,701,22 1,28 1,49
1,52 1,41 1,76 1,58 1,791,751,20 1,25 1,48 1,50 1,38 1,75 1,55
1,781,801,18 1,22 1,46 1,48 1,34 1,74 1,52 1,761,851,16 1,19 1,45
1,46 1,31 1,73 1,49 1,751,901,14 1,16 1,43 1,44 1,27 1,72 1,46
1,731,951,12 1,13 1,42 1,42 1,24 1,71 1,43 1,722,001,10 1,10 1,40
1,40 1,20 1,70 1,40 1,70 Tabela 7.5 Valoresde 3
utilizadosnopr-dimensionamentodaalturadaslajes. AoVigas e Lajes
NervuradasLajes MaciasCA 2525 35CA 3222 33CA 4020 30CA 5017 25CA
6015 20 Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4Caso 5 Caso 6 Caso 7 Caso 8 Caso
9 1,001,50 1,70 1,70 1,80 1,90 1,90 2,00 2,00 2,201,051,48 1,67
1,69 1,78 1,87 1,89 1,97 1,99 2,181,101,46 1,64 1,67 1,76 1,83 1,88
1,94 1,97 2,151,151,44 1,61 1,66 1,74 1,80 1,87 1,91 1,96
2,131,201,42 1,58 1,64 1,72 1,76 1,86 1,88 1,94 2,101,251,40 1,55
1,63 1,70 1,73 1,85 1,85 1,93 2,081,301,38 1,52 1,61 1,68 1,69 1,84
1,82 1,91 2,051,351,36 1,49 1,60 1,66 1,66 1,83 1,79 1,90
2,031,401,34 1,46 1,58 1,64 1,62 1,82 1,76 1,88 2,001,451,32 1,43
1,57 1,62 1,59 1,81 1,73 1,87 1,981,501,30 1,40 1,55 1,60 1,55 1,80
1,70 1,85 1,951,551,28 1,37 1,54 1,58 1,52 1,79 1,67 1,84
1,931,601,26 1,34 1,52 1,56 1,48 1,78 1,64 1,82 1,901,651,24 1,31
1,51 1,54 1,45 1,77 1,61 1,81 1,881,701,22 1,28 1,49 1,52 1,41 1,76
1,58 1,79 1,851,751,20 1,25 1,48 1,50 1,38 1,75 1,55 1,78
1,831,801,18 1,22 1,46 1,48 1,34 1,74 1,52 1,76 1,801,851,16 1,19
1,45 1,46 1,31 1,73 1,49 1,75 1,781,901,14 1,16 1,43 1,44 1,27 1,72
1,46 1,73 1,751,951,12 1,13 1,42 1,42 1,24 1,71 1,43 1,72
1,732,001,10 1,10 1,40 1,40 1,20 1,70 1,40 1,70 1,70 Tabela 7.5
Valoresde 3 utilizadosnopr-dimensionamentodaalturadaslajes. AoVigas
e Lajes NervuradasLajes Macias CA 2525 35CA 3222 33CA 4020 30CA
5017 25CA 6015 20 Concreto 2Determinao das aes c1) Cargas
permanentes peso prprio: ..........g1 =0,16 25 kN/m3 =4,00 kN/m2
contrapiso: ..............g2 =0,02 18 kN/m3 =0,36 kN/m2 piso:
.......................g2 =0,20 kN/m2 total:
......................g =g1 +g2 +g2 =4,56kN/m2 c3) Carga total 2m /
kN 56 , 6 00 , 2 56 , 4 q g p c2) Carga acidental salas para
escritrio (NBR 6120:1980): q =2,00 kN/m2. Concreto 2Verificao das
flechasAs flechas, calculadas para as duas combinaes, devero
atender aos limites dados na Tabela 4.7 do Captulo 4, transcritos a
seguir, para a condio de aceitabilidade sensorial, sendo que o
menor vo da laje considerada: para a totalidade de cargas (combinao
rara):/250 para a carga acidental:/350 Os valores limites para cada
situao de carregamento e para cada uma das lajes esto na tabela
seguinte: Flechas Limites (cm)Laje x (cm) Carga totalCarga
acidental L16002,401,71 L24001,601,14 L35002,001,43 Verificao das
flechas d2) Mdulo de deformao longitudinal do concreto (NBR
6118:2003, item 8.2.8) O mdulo de elasticidade secante, a ser
utilizado nas verificaes de estados limites de servio, deve ser
calculado pelas expresses 1.9 e 1.10, Captulo 1, com os valores em
MPa. 2ck ci csm / kN 21287000 MPa 21287 20 4760 f 5600 85 , 0 E 85
, 0 E d3) Clculo da flecha elstica 100h Epf34x com dado na tabela
7.2 em kN 6 , 87191 ) m ( 16 , 0 ) m / kN ( 21287000 h E3 2 3.
Flecha para ao apenas da carga acidental 4x74x34xq10 29 , 2100 6 ,
871910 , 2100h EqfFlecha para a carga total (permanente mais
acidental, combinao rara) 4x74x34xq g10 52 , 7100 6 , 87191) 0 , 2
56 , 4 (100h E) q g (f Flechas Elsticas e Limites (mm)LajeCaso x
(m) y (m) 4x (g +q)(g +q) lim(q)(q) lim
L146,06,01,02,4231362,3624,00,7217,1
L244,06,01,54,3811210,8416,00,2611,4
L335,010,02,05,6635372,6620,00,8114,3 Concreto ArmadoDeterminao de
nova altura Observa-se que as flechas de cada laje so bem menores
que as limites, sendo possvel, dessa maneira, diminuir a altura das
lajes. Igualando a maior das flechas das lajes (flecha de L3 para a
situao g+q), com a flecha limite correspondente, tem-se uma nova
altura: cm 2 , 8 m 082 , 0 h 020 , 010066 , 5h 000 287 215 ) 0 , 2
56 , 4 (020 , 0100h E) q g (3434x Comocm 0 , 4 d 0 , 1 5 , 1 5 , 2
d h , pode-se adotar: cm 9 hecm 0 , 5 dConcreto Armado d5)
Determinao do novo carregamento A carga total sobre a laje deve ser
recalculada para a nova altura de 9 cm. 2 2 2 2 3m / kN 81 , 4 m /
kN 0 , 2 m / kN 20 , 0 m / kN 36 , 0 m / kN 25 m 09 , 0 p e1)
Determinao dos momentos O clculo dos momentos (kNm/m) fica melhor
organizado em uma tabela: LajeCaso xp (kN/m2) px2xmx ymy x' xx y'
xy L146,001,004,811732,814,862,814,866,9912,106,9912,10
L244,001,504,81774,813,702,471,9010,628,188,066,21
L335,002,004,811206,517,811,481,7812,3414,81--
Osmomentosmximospositivoenegativo,naslajes,porunidadede
comprimento(faixaunitria)socalculadosatravsdasexpresses7.18a7.21,comos
coeficientes x y x y, , ,' ' fornecidos na tabela 7.3, 7.4 e 7.5.
100pm2xx x
100pm2xy y
100px2x 'x x
100px2x 'y y Concreto Armado e2) Determinao da altura til mnima
A partir do maior momento fletor resultante, calculada a altura til
mnima, que a menor altura em que a laje ainda trabalhar apenas com
armadura tracionada e com os materiais
nolimitedesuacapacidaderesistente,portantocommelhoraproveitamento(limiteentreos
domnios 3 e 4). domnios 3 e 4).
Oclculoserefetuadoconformevistonoestudodeseesretangularessobflexo
normal(Captulo3)e,nocaso,paraumafaixadelajedelarguraunitria(1,0
m),com: m =14,81 kNm/m (mximo momento atuante no pavimento, ou
seja, momento negativo na laje L3); bw =1,0 m; fck =20000 kN/m2; 34
=0,628 (ao CA-50). 234272 , 0 68 , 0 f bMd34 cd wdmin20,628 0,272 -
,628 0 0,681,4000 200 , 181 , 14 4 , 1 cm 74 , 6 m 0674 , 0 dmin
e3) Determinao da altura final da lajemine3) Determinao da altura
final da laje Com o valor da altura mnima, determina-se a nova
altura total das lajes: cm 74 , 10 0 , 4 74 , 6 cm 0 , 4 d 0 , 1 5
, 1 5 , 2 d h Concreto Armado cm 12 hecm 0 , 8 d .
Pode-seadotarfinalmente,paraalturatotalealturatil,osseguintesvalores,que
obviamente atendem s condies de flechas limites: e4) Determinao do
carregamento final A carga sobre a laje deve ser recalculada, agora
ara a altura total de 12 cm. 2 2 2 2 3m / kN 56 , 5 m / kN 0 , 2 m
/ kN 20 , 0 m / kN 36 , 0 m / kN 25 m 12 , 0 p e5) Momentos finais
nas lajes emkNm/m LajeCaso x p (kN/m2) px2 x mx y my x' xx y' xy
L146,001,005,56191,22,815,622,815,626,9913,996,9913,99
L244,001,505,5685,04,814,282,472,2010,629,468,067,17
L335,002,005,56132,86,518,961,482,0612,3417,16 Concreto Armado e5)
Momentos finais nas lajes emkNm/m LajeCaso x p (kN/m2) px2 x mx y
my x' xx y' xy
L146,001,005,56191,22,815,622,815,626,9913,996,9913,99
L244,001,505,5685,04,814,282,472,2010,629,468,067,17
L335,002,005,56132,86,518,961,482,0612,3417,16 Os momentos
negativos so maiores que os positivosOs momentos negativos so
diferentes entre duas lajesConcreto 2 a)Clculo das armaduras
longitudinais Para o clculo da armadura positiva das lajes existem
duas alturas teis, uma para cada
direo,conformepodeservistonaFigura7.17,paraasdireessev.Recomenda-se,
entretanto,quesejatomadacomoalturatildalajeadistnciaentreabordacomprimida
superior e o centro das barras da camada superior da armadura
positiva (no caso, ds, que menor
quedv)possibilitandoque,naconstruo,asbarrasdecadadireosejamposicionadasem
qualquer uma das camadas. Assim, ser empregada no clculo de todas
as armaduras, inclusive para as negativas, altura til igual a 8,0
cm, determinada anteriormente. para as negativas, altura til igual
a 8,0 cm, determinada anteriormente. Figura 7.17 Direes s e v e as
respectivas alturas teis. Os programas automticos definem a altura
Concreto Armado O clculo da armadura feito da mesma maneira que em
vigas retangulares sob flexo
simples,paraumafaixadelajedelarguraiguala1,0
m.Comoaalturatilmaiorquea
mnima,oao(CA-50)trabalharcomsuacapacidadetotal,ouseja, s yd
=2,07,ea resistnciadoaoserfs =fyk =50
kN/cm2.Aresistnciacaractersticadoconcreto fck =20000 kN/m2. m 0153
, 04 , 12000008 , 0 0 , 1m 4 , 1f d bMKMD2cd2wd ) cm () KZ (m4025 ,
01,15) /cm (kN 50) m ( 08 , 0 ) KZ () m / kNm ( m 4 , 1f d ) KZ
(MA22sds Os passos para o clculo e os resultados finais da rea de
ao por metro de largura da laje [As (cm2/m)] esto na tabela
seguinte: LajeL1L2L3 Mom.mxmyxxxymxmyxxxymxmyxx
kNm/m5,625,6213,9913,994,282,209,467,178,962,0617,16
KMD0,0860,0860,2140,2140,0650,0340,1450,1100,1370,0320,263
KZ0,94720,94720,85150,85150,96020,97590,90580,93050,90940,97590,8068
s ()10,00010,0005,9265,92610,00010,00010,00010,00010,00010,0003,746
m/(KZ)5,9335,93316,43016,4304,4572,25410,4447,7069,8532,11121,269
As2,3882,3886,6136,6131,7940,9074,2043,1023,9660,8508,561 Concreto
Armado a)Detalhamento da armadura
Paraodetalhamentodaarmadura,cujoesquemaseencontranaFigura7.20,foram
adotados os procedimentos relacionados a seguir. g1) Dimetro mximo
das barras:mm 5 , 12 cm 25 , 18cm 108hmax. g2) Dimetros utilizados:
sero empregadas barras de6,3 mme10 mm. g3) Armadura mnima para seo
retangular e fck = 20 MPa (tabela 4.2) e bw = 100 cm: m / cm 5 , 1
10 10010015 , 0h b10015 , 0A2w min , s. g4) Espaamento (s) para a
armadura mnima: 6,3 mm:cm 21 m 21 , 0m / cm 5 , 1cm 32 , 0AAs22ss
10 mm:cm 53 m 53 , 0m / cm 5 , 1cm 8 , 0AAs22ss g5) Espaamento
mximo adotado Para as armaduras positiva e negativa foi adotado, de
acordo com a norma, e que atende tambm a condio de armadura mnima,
um espaamentocm 20 s . Concreto 2 g6) Espaamentos das barras Na
tabela a seguir esto as barras empregadas para cada situao (dimetro
e rea), os espaamentos resultantes e os espaamentos finais
adotados. LajeL1L2L3 Mom.mxmyxxxymxmyxxxymxmyxx
kNm/m5,115,1112,7212,723,902,008,606,538,241,8815,61 As
(cm2/m)2,3882,3886,6136,6131,7940,9074,2043,1023,9660,8508,561 s
(mm) 6,3 6,3 10 10 6,3 6,3 10 10 10 6,3 10 As,1
0,320,320,800,800,320,320,800,800,800,320,80 s
(m)0,1340,1340,1210,1210,1780,33530,190,2580,2020,3760,093 As,1
0,320,320,800,800,320,320,800,800,800,320,80 s
(m)0,1340,1340,1210,1210,1780,33530,190,2580,2020,3760,093 s final
(cm)12,512,512,512,517,5202020202010 s
(m)0,1340,1340,1210,1210,1780,33530,190,2580,2020,3760,093 s final
(cm)12,512,512,512,517,5202020202010 Concreto ArmadoComprimento e
espaamento das barrasSero colocadas barras em todo o vo das lajes
(armadura corrida); Positivas Comprimentos para a laje L1, nas
direes x e y: cm 602 7 2 6 2 600(N1) Comprimentos para a laje L2:
cm 402 7 2 6 2 400x (N2) cm 602 7 2 6 2 600y (N1) Comprimentos para
a laje L3: cm 502 7 2 6 2 500x (N3) cm 1002 7 2 6 2 1000y (N4)
Asbarrasdeveropenetrarnosapoios(vigas)6 cmou10 =100,63 =6,3 cm;ser
adotado o valor de 7 cm; Largura das vigas =12 cm (dado inicial);
As dimenses das lajes, em planta, esto relacionadas aos eixos das
vigas. Concreto 2Negativas Todas as barras da armadura negativa tm
dimetro =10 mm. Nas lajes adjacentes ser considerada a armadura
referente ao maior momento. Nas lajes adjacentes ser considerada a
armadura referente ao maior momento.
Todasaslajesseroconsideradasisoladas,eaarmadura,paratodasassituaesde
vinculao, se estendero no interior da laje a uma distncia x25 , 0 ,
sendo x o menor vo da laje, conforme a figura 7.18. Ao comprimento
anterior deverser acrescentado o comprimento de ancoragem reto (ao
CA-50, boa aderncia, fck= 20 MPa, = 10,0 mm):cmffbdydb44486 , 2 15
, 150040 , 140 , 7 5 , 2 5 , 2 0 , 12g Espaamento e comprimento das
barras da armadura comuns s lajes L1 e L2: L1y:10,0c/12,5 cm
adota-se 10,0c/12,5 cm L2x:10,0c/20 cm ComprimentonalajeL1: cm 201
7 44 600 25 , 0 comprimento total =352 cm (N5) ComprimentonalajeL2:
cm 151 7 44 400 25 , 0 cm 151 7 44 400 25 , 0 Espaamento e
comprimento das barras da armadura comuns s lajes L1 e L3:
L1x:10,0c/12,5 cm adota-se 10,0c/10 cm L3x:10,0c/10 cm
ComprimentonalajeL1: cm 201 7 44 600 25 , 0 comprimento total =377
cm (N6) ComprimentonalajeL3: cm 176 7 44 500 25 , 0 Espaamento e
comprimento das barras da armadura comuns s lajes L2 e L3:
L2y:10,0c/20 cm adota-se 10,0c/10 cm L3x:10,0c/10 cm Comprimento na
laje L2:cm 151 7 44 400 25 , 0 comprimento total =327 cm
Comprimento na laje L3:cm 176 7 44 500 25 , 0(adotar mesmo que L1
c/ L3) 7.4.7 Reao das lajes nas vigas 45entre dois apoios do mesmo
tipo; 60a partir do apoio considerado engastado, se o outro for
considerado simplesmente apoiado; 90apartir do apoio, quando a
borda vizinha for livre. 10p k qxx x10p k qxy y10p k qx 'x'x10p k
qx 'y'yDefine geometriaResultante do elementoDividir resultante
pelo lado - uniformecaso 1caso 2caso 3 kxkykxky ky' kx kx' ky
1,002,502,501,832,324,022,324,021,83
1,052,622,501,922,374,102,384,131,83
1,102,732,502,012,414,172,444,231,83
1,152,832,502,102,444,222,504,321,83
1,202,922,502,202,464,272,544,411,83
1,253,002,502,292,484,302,594,481,83
1,303,082,502,382,494,322,634,551,83
1,353,152,502,472,504,332,674,621,83
1,403,212,502,562,504,332,704,681,83
1,453,282,502,642,504,332,744,741,83
1,503,332,502,722,504,332,774,791,83
1,553,392,502,802,504,332,804,841,83
1,603,442,502,872,504,332,824,891,83
1,653,482,502,932,504,332,854,931,83
1,703,532,502,992,504,332,874,971,83
1,753,572,503,052,504,332,895,011,83
1,803,612,503,102,504,332,925,051,83
1,853,652,503,152,504,332,945,091,83
1,903,682,503,202,504,332,965,121,83
1,953,722,503,252,504,332,975,151,83
2,003,752,503,292,504,332,995,181,83
5,002,505,002,504,333,666,251,83 caso 4caso 5 caso 6 kx kx' ky ky'
kx ky'kx' ky 1,001,833,171,833,171,443,563,561,44
1,051,923,321,833,171,523,663,631,44
1,102,003,461,833,171,593,753,691,44
1,152,073,581,833,171,663,843,741,44
1,202,143,701,833,171,733,923,801,44
1,252,203,801,833,171,803,993,851,44
1,302,253,901,833,171,884,063,891,44
1,352,303,991,833,171,954,123,931,44
1,402,354,081,833,172,024,173,971,44
1,452,404,151,833,172,094,224,001,44
1,502,444,231,833,172,174,254,041,44
1,552,484,291,833,172,244,284,071,44
1,602,524,361,833,172,314,304,101,44
1,652,554,421,833,172,384,324,131,44
1,702,584,481,833,172,454,334,151,44
1,752,614,531,833,172,534,334,171,44
1,802,644,581,833,172,594,334,201,44
1,852,674,631,833,172,664,334,221,44
1,902,704,671,833,172,724,334,241,44
1,952,724,711,833,172,784,334,261,44
2,002,754,751,833,172,844,334,281,44
3,666,331,833,175,004,335,001,44 caso 7caso 8caso 9 kx kx'ky'kx' ky
ky'kx'ky' 1,001,442,503,033,031,442,502,502,50
1,051,522,633,083,121,442,502,622,50
1,101,592,753,113,211,442,502,732,50
1,151,662,883,143,291,442,502,832,50
1,201,733,003,163,361,442,502,922,50
1,251,803,133,173,421,442,503,002,50
1,301,883,253,173,481,442,503,082,50
1,351,943,363,173,541,442,503,152,50
1,402,003,473,173,591,442,503,212,50
1,452,063,573,173,641,442,503,282,50
1,502,113,663,173,691,442,503,332,50
1,552,163,753,173,731,442,503,392,50
1,602,213,833,173,771,442,503,442,50
1,652,253,903,173,811,442,503,482,50
1,702,303,983,173,841,442,503,532,50
1,752,334,043,173,871,442,503,572,50
1,802,374,113,173,901,442,503,612,50
1,852,404,173,173,931,442,503,652,50
1,902,444,213,173,961,442,503,682,50
1,952,474,283,173,991,442,503,722,50
2,002,504,333,174,011,442,503,752,50
3,666,343,175,001,442,505,002,50 Laje L1 Carga total na laje:kN 16
, 200 0 , 6 0 , 6 56 , 5 p Py x Carga total nas vigas: 5 V 4 V 2 V
1 Vq q q q P y'x y x x'y x yq q q q PkN 16 , 200 0 , 6 ) 58 , 10 10
, 6 ( 0 , 6 ) 58 , 10 10 , 6 ( P Laje L2 Carga total na laje:kN 44
, 133 0 , 4 0 , 6 56 , 5 p Py x Carga total nas vigas: 5 V 4 V 3 V
2 Vq q q q P x'y x y y x y'xq q q q PkN 52 , 133 0 , 4 ) 05 , 7 07
, 4 ( 0 , 6 ) 43 , 5 41 , 9 ( P Laje L3 Carga total na laje:kN 0 ,
278 0 , 10 0 , 5 56 , 5 p Py x Carga total nas vigas: 6 V 5 V 3 V 1
Vq q q q P y x y'x x yq q q 2 PkN 0 , 278 0 , 10 ) 40 , 14 31 , 8 (
0 , 5 09 , 5 2 PL335,02,027,80 2,99 8,31 (V6) 1,83 5,09 (V1,V3)
5,18 14,40 (V5) L244,01,522,24 2,44 5,43 (V3) 1,834,07 (V4)4,239,41
(V2)3,177,05 (V5) L335,02,027,80 2,99 8,31 (V6) 1,83 5,09 (V1,V3)
5,18 14,40 (V5) Os resultados, em kN/m esto na tabela seguinte,
para p =5,56 kN/m2: LajeCaso xpxkxqxkyqy kx'qx'ky'qy'
L146,01,033,36 1,83 6,10 (V4) 1,836,10 (V1)3,17 10,58 (V5) 3,17
10,58 (V2) caso 4caso 5 caso 6 kx kx' ky ky' kx ky'kx' ky
1,001,833,171,833,171,443,563,561,44
1,051,923,321,833,171,523,663,631,44
1,102,003,461,833,171,593,753,691,44
1,152,073,581,833,171,663,843,741,44
1,202,143,701,833,171,733,923,801,44
1,252,203,801,833,171,803,993,851,44
1,302,253,901,833,171,884,063,891,44
1,352,303,991,833,171,954,123,931,44
1,402,354,081,833,172,024,173,971,44
1,452,404,151,833,172,094,224,001,44
1,502,444,231,833,172,174,254,041,44
1,552,484,291,833,172,244,284,071,44
1,602,524,361,833,172,314,304,101,44
1,652,554,421,833,172,384,324,131,44
1,702,584,481,833,172,454,334,151,44
1,752,614,531,833,172,534,334,171,44
1,802,644,581,833,172,594,334,201,44
1,852,674,631,833,172,664,334,221,44
1,902,704,671,833,172,724,334,241,44
1,952,724,711,833,172,784,334,261,44
2,002,754,751,833,172,844,334,281,44
3,666,331,833,175,004,335,001,44 a)Verificao ao cisalhamento i1)
Verificao da necessidade de armadura de cisalhamento A verificao da
necessidade de utilizao de armadura de cisalhamento nas lajes ser
feita para a laje 3, que apresenta o maior valor para a reao (fora
cortante) de todas as lajes, no casojunto
vigaV5.Compara-seaforacortantedeclculoVSdcomaforaresistentede
projeto ao cisalhamento VRd1 (se VSd VRd1 no necessrio armadura de
cisalhamento). Para a verificao so necessrios as seguintes
informaes, resultantes dos clculos e detalhamento j efetuados:
projeto ao cisalhamento VRd1 (se VSd VRd1 no necessrio armadura de
cisalhamento). Para a verificao so necessrios as seguintes
informaes, resultantes dos clculos e detalhamento j efetuados: fora
cortante solicitante: VS =14,40 kN/m; toda a armadura inferior se
estende ao longo das lajes, chegando at ao apoio; na laje L3, a
armadura longitudinal inferior composta de barras de 10 mm (0,8
cm2) a cada 20 cm, resultando em 5 barras por metro. O valor de VSd
(fora cortante solicitante de clculo) : 16 , 20 40 , 14 4 , 1 V 4 ,
1 VS Sd kN O valor da fora resistente de projeto V dado pela equao
7.27: d b 15 , 0 ) 40 2 , 1 ( k Vw cp 1 Rd 1 Rd 0 , 47 08 , 0 0 , 1
) 005 , 0 40 2 , 1 ( 52 , 1 276 VkN 0 , 47 08 , 0 0 , 1 ) 005 , 0
40 2 , 1 ( 52 , 1 276 V1 Rd kN 276 , 0 4 , 1 / 368 , 7 0525 , 0 4 ,
1 / 20 0525 , 03 / 2Rd MPa =276 kN/m2 c3 / 2ck c m , ct c ,inf ctk
ctd Rd/ f 3 , 0 7 , 0 25 , 0 / f 7 , 0 25 , 0 / f 25 , 0 f 25 , 0 1
52 , 1 08 , 0 6 , 1 d 6 , 1 k 02 , 0 005 , 08 1008 , 0 5d bAw1 s1
0cp (no h fora longitudinal na seo); d b 15 , 0 ) 40 2 , 1 ( k Vw
cp 1 Rd 1 Rd 16 , 20 40 , 14 4 , 1 V 4 , 1 VS Sd kN Portanto VSd
=20,16 kN
