Salete Souza de Oliveira Buffoni 1

- UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA

SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Torção Não-Uniforme A barra não precisa ser prismática e os torques aplicados podem agir em

qualquer lugar ao longo do eixo da barra. Nesse caso aplica-se a fórmula de torção pura

em segmentos individuais da barra e somam-se os resultados, ou aplicam-se as fórmulas

para elementos diferenciais e integra-se,

Caso 1 – Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao

longo de cada segmento, como na Figura 1.

Figura 1 - Barra em torção não-uniforme

Tem-se que os torques abaixo são constantes ao longo do comprimento de seu

segmento:

321CD TTTT +−−= (1)

21BC TTT −−= (2)

1AB TT −= (3)

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Convenção de sinal

Um torque interno é positivo quando seu vetor aponta para fora da seção cortada

e negativa quando seu vetor aponta em direção a seção.

Caso o torque tenha sinal positivo, isso quer dizer que ele está na direção

assumida, caso contrário, ele age na direção oposta.

Ângulo de torção

O ângulo de torção total de uma extremidade da barra em relação à outra é então obtido

através da soma algébrica, da seguinte maneira:

n21 φφφφ +++= K (4)

1φ - Ângulo de torção para o segmento 1.

2φ - Ângulo de torção para o segmento 2

E assim por diante, onde n é o número total de segmentos.

Fórmula geral do ângulo de torção

( )∑∑==

==n

1i iPi

iin

1ii IG

LTφφ (5)

O subscrito i é um índice numérico para os vários segmentos, Ti é o torque interno, Li é

o comprimento, Gi é o módulo de cisalhamento e ( )iPI é o momento de inércia polar.

Caso 2 - Barra com seções transversais variando continuamente e torque constante

A tensão de cisalhamento máxima ocorre na seção que tem o menor diâmetro.

Consideremos um elemento de comprimento dx à distância x de uma extremidade da

barra, como na Figura 2. O ângulo de rotação diferencial φd para esse elemento é:

( )xGITdxd

P=φ (6)

Figura 2 - Barra em torção não-uniforme.

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Em que ( )xI P é o momento polar de inércia da seção transversal à distância x da

extremidade. O ângulo de torção para toda a barra é a soma dos ângulos de rotação

diferenciais.

( )∫∫ ==L

0 P

L

0xGI

Tdxdφφ (7)

Resolução da integral: Analítica ou numericamente.

Caso 3 - Barra com seções transversais variando continuamente e torque variando

continuamente como na Figura 3.

Figura 3 – Barra em torção não-uniforme

Ângulo de torção para o caso 3

( )( )∫∫ ==

L

0 P

L

0xGI

dxxTdφφ (8)

Limitações

As análises descritas são válidas para barras feitas de materiais elásticos lineares com

seções transversais circulares (sólidas ou vazadas). As tensões determinadas são válidas

em regiões distantes de concentração de tensão.

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Exercício

1. Um eixo sólido de aço ABCD, Figura 4, tendo diâmetro d=30 mm gira

livremente em mancais nos pontos A e E. O eixo é comandado pela engrenagem

em C, que aplica um torque T2=450 N.m na direção ilustrada na figura. As

engrenagens em B e D são giradas pelo eixo e tem torques de resistência T1=275

N.m e T3=175 N.m, respectivamente, agindo na direção oposta ao torque T2. Os

segmentos BC e CD têm comprimentos LBC = 500 mm e LCD=400 mm,

respectivamente, e o módulo de elasticidade de cisalhamento G=80 GPa.

Determine a tensão de cisalhamento máxima em cada parte do eixo e o ângulo

de torção entre as engrenagens B e D.

Figura 4 - Eixo de aço em torção.

Solução

Figura 5 – Diagramas de corpo livre.

Resposta: MPa9,51BC =τ , MPa0,33CD =τ , oBD 61,0−=φ

Estudar o exercício resolvido 3.5 do Gere pág. 155

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Transmissão de Potência por eixos Circulares

Utilidade: Transmitir potência mecânica de um dispositivo ou máquina para outro (eixo

propulsor de um navio, eixo de uma bicicleta).

A potência é transmitida através do movimento rotatório do eixo e a quantidade

de potência transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de rotação.

Problema comum

Determinar o tamanho do eixo de tal forma que ele transmita uma quantidade

específica de potência numa velocidade de rotação especificada sem exceder as tensões

admissíveis do material.

Analise a Figura 6

Figura 6 - Eixo transmitindo um torque constante T a uma velocidade angular w.

Trabalho realizado por um torque de magnitude constante

ψTW = (9)

Onde W é o trabalho realizado pelo torque T e ψ é o ângulo de rotação em radianos

Potência é a taxa em que o trabalho é realizado

dtdt

dtdWP ψ

== (10)

Onde P é a potência e t é o tempo. A velocidade angular, ω é dada por:

dtdψω = (11)

Substituindo-se (11) em (10)

ωtdt

dWP == srad=ϖ (12)

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Essa fórmula da física, fornece a potência transmitida por um eixo em rotação

transmitindo um torque constante T

Unidades:

SI= Torque T em N/m -> Potência em Watt (W). 1 Watt = 1 Nm/seg = 1 joule/seg

Torque T em libra-pés -> Potência em pé-libras/seg

Velocidade Angular

f2πω = (ω em rad/s, f =Hz=s-1) (13)

Substituindo-se (13) em (12)

fT2P π= (f =Hz=s-1) (14)

Número de revoluções por minuto (rpm), denotada pela letra n é dada por:

f60n = (15)

Substituindo-se (15) em (14)

60nT2P π

= (16)

Prática da engenharia nos estados unidos

Potência é expressa em Cavalos (hp) -> 1 hp=550 ft-lb/s

Exercício:

1. Um motor rotacionando um eixo circular sólido transmite 40 hp para uma

engrenagem em B, Figura 7. A tensào de cisalhamento admissível no aço é 6000

psi

(a) Qual é o diâmetro d necessário do eixo se ele é operado a 500 rpm?

(b) Qual é o diâmetro d necessário se ele é operado a 3000 rpm?

Resposta: (a) d=1,62 in (b) d=0,89 in

Figura 7: Eixo de aço em torção.

Resolver o exercício 3.8 do Gere pág. 165

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Membros de Torção Estaticamente Indeterminados

As reações e torque internos não podem ser mais obtidos através das equações de

equilíbrios.

Utilizam-se as equações de compatibilidade.

Passos para se resolver o problema

1- Escrever as equações de equilíbrio a partir de diagramas de corpo livre. As

quantidades desconhecidas são os torques, tanto internos como de reação.

2- Formular equações de compatibilidade, as incógnitas são os ângulos de torção.

3- Relacionar os ângulos de torção aos torques pelas relações de torque-

deslocamento, como PGITL=φ , depois de colocar essas relações nas equações

de compatibilidade, elas também se tornam equações tendo os torques como

incógnitas.

4- Obter os torques desconhecidos resolvendo simultaneamente as equações de

equilíbrio e compatibilidade.

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Ilustração do método de solução: Suponha a barra composta AB apresentada na

Figura 8. A Extremidade A é engastada e em B existe uma placa rígida.

Figura 8 – Barra estaticamente

indeterminada em torção.

Quando o torque T é aplicado à

barra composta, a placa na

extremidade rotaciona através de um

pequeno ângulo φ

E os torques T1 e T2 são

desenvolvidos na barra sólida e tudo,

respectivamente. Do equilíbrio

sabemos que a soma desses torques

é igual à carga aplicada, e dessa

forma a equação de equilíbrio é:

TTT 21 =+ (17)

Incógnitas: T1 e T2

Consideração dos deslocamentos de

rotação.

Os ângulos de torção devem ser

iguais por que a barra e o tubo estão

unidos seguramente à placa rígida e

rotacionam com ela.

21 φφ = (18)

Relações de Torque deslocamento

1P1

11 IG

LT=φ ,

2P2

22 IG

LT=φ (19)

onde G1 e G2 são os módulos de

elsaticidade de cisalhamento dos

materiais, Ip1 e Ip2 são os

momentos de inércia polar das

seções transversais. Substituindo-se

(19) em (18)

2P2

2

1P1

1

IGLT

IGLT

= (20)

Assim,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2P21P1

1P11 IGIG

IGTT

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2P21P1

2P21 IGIG

IGTT (21)

A análise estaticamente

indeterminada está completa. As

tensões e ângulos de torção podem

agora ser encontrados a partir dos

torques

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Exercício:

1. A barra ACB ilustrada na Figura 9.a e b está engastada em ambas as extremidades

carregadas por um torque To no ponto C. Os segmentos AC e CB da barra têm diâmetros

dA e dB, os comprimentos LA e LB e momentos de inércia polar IPA e IPB, respectivamente.

O material da barra é o mesmo ao longo de ambos os segmentos.

Obtenha fórmulas para (a) os torques de reação TA e TB nas extremidades, (b) As tensões

de cisalhamento máximas ACτ e CBτ em cada segmento da barra e (c) o ângulo de

rotação Cφ na seção transversal em que a carga To é aplicada.

Figura 9- Barra estaticamente indeterminada em torção

Resposta: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=PBAPAB

PABoA ILIL

ILTT ; ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=PBAPAB

BPAoB ILIL

ILTT

( )PBAPAB

ABoAC ILIL2

dLT+

=τ ; ( )PBAPAB

BAoCB ILIL2

dLT+

=τ ; ( )PBAPAB

BAoC ILILG

LLT+

=φ

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Referências Bibliográficas:

1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books,

1995.

2. Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora Thomson Learning

3. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora Livros Técnicos e

Científicos, 2000.

Observações:

1- O presente texto é baseado nas referências citadas.

2- Todas as figuras se encontram nas referências citadas.