Aula 14 Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias ... valle/Teaching/2016/MA311/  ·

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  • Aula 14Sistemas de EquaesDiferenciais Ordinrias

    Lineares de Primeira Ordem.MA311 - Clculo III

    Marcos Eduardo Valle

    Departamento de Matemtica AplicadaInstituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica

    Universidade Estadual de Campinas

  • Um sistema de equaes diferenciais de ordinrias de primeiraordem um conjunto de equaes que envolvem as variveisdependentes, suas derivadas de primeira ordem, e a varivelindependente.

    Nessa disciplina, admitiremos que um sistema de equaesdiferenciais ordinrias de primeira ordem pode ser escrito como

    $

    &

    %

    x 11 f1pt , x1, x2, . . . , xnq,x 12 f2pt , x1, x2, . . . , xnq,

    ...x 1n fnpt , x1, x2, . . . , xnq,

    em que x1, x2, . . . , xn so variveis dependentes (funes) davarivel independente t .

  • Sistemas e Equaes de Ordem SuperiorUma equao diferencial de ordem n,

    x pnq f pt , x , x 1, x2, . . . , x pn1qq,

    pode ser escrito de forma equivalente como um sistemaequaes diferenciais de primeira ordem.

    Com efeito, defina x1, x2, . . . , xn da seguinte forma:

    x1 x , x2 x 1, x3 x2 e xn x pn1q.

    Dessa forma, obtemos o sistema$

    &

    %

    x 11 x2,x 12 x3,

    ...x 1n1 xn,x 1n f pt , x1, x2, . . . , xnq.

  • Exemplo 1

    Escreva a equao

    x p3q ` 3x2 ` 2x 1 5x senp2tq,

    como um sistema de equaes diferenciais de primeira ordem.

  • Exemplo 1

    Escreva a equao

    x p3q ` 3x2 ` 2x 1 5x senp2tq,

    como um sistema de equaes diferenciais de primeira ordem.

    Resposta: O sistema equivalente $

    &

    %

    x 11 x2,x 12 x3,x 13 5x1 2x2 3x3 ` senp2tq.

  • Exemplo 2

    Escreva o sistema#

    2x2 6x ` 2yy2 2x 2y ` 40 senp3tq,

    como um sistema de equaes diferenciais de primeira ordem.

  • Exemplo 2

    Escreva o sistema#

    2x2 6x ` 2yy2 2x 2y ` 40 senp3tq,

    como um sistema de equaes diferenciais de primeira ordem.

    Resposta: O sistema equivalente $

    &

    %

    x 11 x2,x 12 3x1 ` x3,x 13 x4x 14 2x1 2x3 ` 40 senp3tq.

  • Notao Vetorial

    Denotando

    x

    x1x2...

    xn

    fi

    ffi

    ffi

    ffi

    fl

    ,

    podemos escrever um sistema de equaes diferenciaisordinrias de primeira ordem de forma compacta como

    x1 fpt ,xq, (1)

    em que f uma funo que associa cada o par pt ,xq a umvetor com n componentes.

    Uma soluo uma funo vetorial xptq que satisfaz (1) paratodo t num intervalo t .

  • Problema de Valor Inicial

    Um problema de valor inicial (PVI) um sistema x1 fpt ,xqacompanhando de uma condio inicial

    xpt0q x0

    $

    &

    %

    x1pt0q x01 ,x2pt0q x02 ,

    ...xnpt0q x0n ,

    em que t0 e x0

    x01 , x02 , . . . , x

    0nT so dados.

  • Existncia e Unicidade da Soluo

    O seguinte teorema garante a existncia e unicidade dasoluo de um problema de valor inicial envolvendo umsistema de equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem.

    Teorema 3Suponha que cada uma das funes f1, f2, . . . , fn e suasderivadas parciais com respeito a x1, x2, . . . , xn so contnuasnuma regio

    R tpt ,xq : t , 1 x1 1, . . . , n xn nu.

    Se pt0,x0q P R, ento o problema de valor inicial

    x1 fpt ,xq e xpt0q x0,

    admite uma nica soluo para t P I p, q.

  • Sistema Linear

    Um sistema x1 fpt ,xq dito linear se f linear em x. Casocontrrio, o sistema dito no-linear.

    Equivalentemente, um sistema x1 fpt ,xq linear se pode serescrito como:

    x1 Pptqx` gptq,

    em que

    Pptq

    p11ptq p12ptq . . . p1nptqp21ptq p22ptq . . . p2nptq

    ......

    . . ....

    pn1ptq pn2ptq . . . pnnptq

    fi

    ffi

    ffi

    ffi

    fl

    e gptq

    g1ptqg2ptq

    ...gnptq

    fi

    ffi

    ffi

    ffi

    fl

    ,

    so funes de t .

  • Existncia e Unicidade da Soluo

    O seguinte teorema garante a existncia e unicidade dasoluo de um problema de valor inicial envolvendo um sistemade equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem linear.

    Teorema 4Suponha que pijptq e giptq, para qualquer i , j 1, . . . ,n, socontnuas contnuas para t P p, q. Se t0 P p, q, ento oproblema de valor inicial

    x1 Pptq ` gptq e xpt0q x0,

    admite uma nica soluo para todo t P p, q.

  • Sistema Linear Homogneo

    Um sistema linear x1 Pptqx` gptq dito homogneo se gptq o vetor nulo, ou seja, o sistema pode ser escrito como

    x1 Pptqx.

    Caso contrrio, o sistema dito no-homogneo.

    Teorema 5 (Princpio da Superposio)

    Se xp1q,xp2q . . . ,xpkq so solues de

    x1 Pptq,

    ento qualquer combinao linear

    c1xp1q ` c2xp2q ` . . .` ckxpkq

    tambm uma soluo do sistema linear homogneo.

  • WronskianoDizemos que xp1q,xp2q . . . ,xpnq so solues do sistema

    x1 Pptqx,

    linearmente independentes em p, q se o determinante

    W rxp1q,xp2q . . . ,xpnqsptq

    x p1q1 ptq x

    p2q1 ptq . . . x

    pnq1 ptq

    x p1q2 ptq xp2q2 ptq . . . x

    pnq2 ptq

    ......

    . . ....

    x p1qn ptq xp2qn ptq . . . x

    pnqn ptq

    ,

    chamado wronskiano, no nulo para todo t P p, q.

    Observao:

    Pode-se mostrar que W rxp1q, . . . ,xpnqs ou identicamente nuloou nunca se anula para t P p, q.

  • Soluo Geral de um Sistema Linear Homogneo

    Qualquer soluo x de um sistema linear homogneo

    x1 Pptqx,

    definida para t P p, q, pode ser expressa de forma nicacomo uma combinao linear

    x c1xp1q ` c2xp2q ` . . .` cnxpnq, (2)

    de n solues xp1q, . . . ,xpnq linearmente independentes emp, q.

    A expresso (2) chamada soluo geral dos sistema

    x1 Pptqx.

  • Sistemas Lineares Homogneos com CoeficientesConstantes

    Um sistema linear homogneo x1 Pptqx tem coeficientesconstantes se se Pptq constante, ou seja,

    Pptq A,

    em que A uma matriz que no depende de t .

    Em outras palavras, um sistema linear homogneo comcoeficientes constantes pode ser escrito como:

    x1 Ax.

    Faremos uma breve reviso de conceitos de auto-valor eauto-vetor antes de prosseguir com o estudo desses sistemas.

  • Reviso de Auto-valores e Auto-vetoresConsidere uma matriz A P Rnn.

    Dizemos que um vetor no-nulo r1, . . . , nsT umauto-vetor de A associado ao auto-valor r se

    A r.

    Observao 1:

    Note que, se um auto-vetor, ento c tambm umauto-vetor para qualquer c 0.

    Observao 2:

    Em palavras, um auto-vetor define uma direo na qual amatriz se comporta como um escalar!

  • Se um auto-vetor associado a r , ento

    pA r Iq 0,

    em que I denota a matriz identidade e 0 o vetor nulo.

    A equao acima admite soluo no-nula se e somente se

    detpA r Iq 0.

    A equaopprq detpA r Iq,

    define um polinmio de grau n, chamado polinmiocaracterstico de A.

    As razes do polinmio caracterstico so auto-valores de A.

  • Conhecendo um auto-valor r , determinamos o auto-vetorassociado resolvendo o sistema linear

    pA r Iq 0,

    que admite infinitas solues.

    Observao 1:

    Podemos determinar pelo menos um auto-vetor associado acada raiz do polinmio caracterstico.

    Observao 2:

    Se o polinmio caracterstico possui n razes distintasr1, r2, . . . , rn, ento podemos determinar n auto-vetoresp1q, p2q, . . . , pnq. Alm disso, pode-se mostrar que os nauto-vetores so linearmente independentes.

  • Exemplo 6

    Determine os auto-valores e auto-vetores da matriz

    A

    1 14 1

  • Exemplo 6

    Determine os auto-valores e auto-vetores da matriz

    A

    1 14 1

    Resposta: Os auto-valores so r1 3 e r2 1.Os auto-vetores associados so

    p1q

    12

    e p2q

    12

    .

    Obs: Mltiplos no-nulos desses vetores tambm seroauto-vetores de A.

  • Vamos agora retornar aos sistemas lineares homogneo comcoeficientes constantes.

    Exemplo 7

    Determine a soluo geral do sistema linear homogneo comcoeficientes constantes x1 Ax em que

    A

    1 14 1

    .

  • Vamos agora retornar aos sistemas lineares homogneo comcoeficientes constantes.

    Exemplo 7

    Determine a soluo geral do sistema linear homogneo comcoeficientes constantes x1 Ax em que

    A

    1 14 1

    .

    Resposta: Admitindo que uma soluo pode ser escrita como

    x ert ,

    conclumos que e r devem satisfazer a equao

    rert Aert A r,

    ou seja, um auto-vetor associado ao auto-valor r .

  • Sabemos que os auto-valores de A so r1 3 e r2 1 e osauto-vetores so

    p1q

    12

    e p2q

    12

    .

    Portanto, temos as solues

    xp1q

    12

    e3t e xp2q

    12

    et ,

    que so linearmente independentes.Concluindo, a soluo geral do sistema x1 Ax

    x c1

    12

    e3t ` c2

    12

    et .

  • Exemplo 8

    Encontre a soluo geral do sistema

    x1

    0 1 11 0 11 1 0

    fi

    flx

  • Exemplo 8

    Encontre a soluo geral do sistema

    x1

    0 1 11 0 11 1 0

    fi

    flx

    Resposta: Os auto-valores e auto-vetores so:

    r1 2, p1q

    111

    fi

    fl , r2 r3 1, p2q

    101

    fi

    fl e p3q

    011

    fi

    fl .

    Portanto, a soluo geral :

    x c1

    111

    fi

    fle2t ` c2

    101

    fi

    flet ` c3

    011

    fi

    flet .

  • Consideraes FinaisDe um modo geral, admitimos que um sistema linearhomogneo com coeficientes constantes x1 Ax admite umasoluo da forma

    x ert .

    Derivando e substituindo na equao, obtemos

    rert Aert A r,

    ou seja, um auto-vetor associado ao auto-valor r .

    Se a matriz A pos