Equações Diferenciais Ordinárias - EDO

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  • 1. Equacoes diferenciais .Rodrigo Carlos Silva de Lima rodrigo.u.math@gmail.com

2. 1 3. Sumario1 Equacoes diferenciais ordinarias 31.1 Equacoes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 Caso de matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Solucoes e conjugacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Teoria geral de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Exponencial de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Autovalores com autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 Solucao de sistemas lineares usando forma canonica de Jordan . . . . . . . 251.4 Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Solucoes maximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 Classicacao de sistemas planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.1 Classicacao por conjugacao topologica . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 EDO e sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8 Dependencia das solucoes em relacao as condicoes iniciais e parametros . . 351.8.1 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9 Elementos da teoria qualitativa das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . 411.9.1 Campos vetoriais e uxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 4. Captulo 1Equacoes diferenciais ordinariasDenicao 1 (Equacao diferencial ordinaria em Rn). Sejam f : U Rn, U aberto deR Rn, (t, x) U onde t R, x Rn, x : I Rnonde I e um intervalo aberto de R,x = x(t) sendo tambem chamada de caminho. Uma equacao da formax(t) = f(t, x)e uma equacao diferencial ordinaria em Rn, denida por f, no caso queremos encontrarx que satisfaca a equacao acima. t em f(t, x) e dita ser a variavel temporal. Tal equacaox= f(t, x) e dita ser equacao vetorial, no caso de funcoes reais dizemos que a equacao eescalar.Podemos denotar x(t) = (xk(t))n1 e f(t, x) = (fk(t, x))n1 onde cada xk : I R,fk(t, x) : U R sao as funcoes coordenadas. A derivada x(t) consiste em derivarcoordenada-a-coordenadax(t) = (xk(t))n1equiparando com o lado direito, temos o sistemax1(t) = f1(t, x1(t), , xn(t))x2(t) = f2(t, x1(t), , xn(t))...xn(t) = fn(t, x1(t), , xn(t))3 5. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 4Entao a equacao diferencial vetorial x= f(t, x) e equivalente a um sistema de equacoesdiferenciais escalares. x= f(t, x) e ainda chamada de equacao de primeira ordem porenvolver apenas a derivada primeira de x. Diremos tambem que xe uma velocidade.Corolario 1. Segue da interpretacao da equacao diferencial por meio de sistema que aexistencia e unicidade de solucoes de sistema de equacoes diferenciais em R equivale aexistencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais vetoriais em Rn.Denicao 2 (Solucao de equacao diferencial). Uma solucao para equacao diferencialx(t) = f(t, x) e um caminho derivavel x : I R que satisfaz a primeira equacao, xtambem pode ser chamado de curva integral.Em termos de sistemas, uma solucao consiste em n funcoes xj : I R derivaveis, taisquexj(t) = fj(t, x1(t), , xn(t)).Denicao 3 (Condicao inicial). Dada um solucao de uma equacao diferencial x= f(t, x)dizemos que x(t0) = x0 e uma condicao inicial, um problema de valor inicial e acharx : I Rncom x= f(t, x) e x(t0) = x0.Uma condicao inicial para o sistema e dada porx1(t0) = x1, x2(t0) = x2, , xn(t0) = xn.Denicao 4 (Equacao diferencial autonoma e campo de vetores). E uma equacao do tipox= f(t, x) onde f(t, x) = f(x), a funcao nao depende de t.Nesse caso interpretamos f : E Rncomo um campo de vetores, E Rn.Denicao 5 (Equacao diferencial nao-autonoma). E uma equacao do tipo x= f(t, x)onde f(t, x) depende de t.Denicao 6 (Equacao diferenciais normais). Sao equacoes do tipo x= f(t, x) onde epossvel explicitar xem funcao de (t, x). 6. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 5Denicao 7 (Equacao diferencial de ordem m). Uma equacao diferencial de ordem ordemm em Rn, e uma equacao do tipoy(m)= g(t, y, y(1), , y(m1))onde g e denida em um aberto U R Rn Rnn vezesonde y(k)e a k-esima derivada emrelacao `a t, y : I RnPropriedade 1. Toda equacao de ordem m, pode ser escrita como uma equacao diferen-cial de ordem 1.Demonstracao.Denimos o sistemax1(t) = x2(t)x2(t) = x3(t)...xm1(t) = xm(t)xm(t) = g(t, x1(t), , xm(t))com isso temos xm(t) = xm1 (t), tomando x1(t) = y(t), fazemos o sistema de ordem mrecair em um sistema de ordem 1x(t) = f(t, x)x(t) = (x1(t), x2(t), , xm(t))f(t, x) = (x2(t), x3(t), , xm(t), g(t, x1(t), , xm(t)) )as igualdades conseguimos derivando termo-a-termo x(t) e equiparando com f(t, x).Propriedade 2. Um sistema nao-autonomo pode ser reduzido a um sistema autonomo.Demonstracao. Sendo uma equacao nao-autonoma x= f(t, x), f : U Rn,denimos y = (t, x) U R Rn, denimos g : U Rn+1comg(y) = g(t, x) = (1, f(t, x)) 7. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 6e a equacao y= g(y) que resulta em (1, x) = (1, f(t, x)).Com isso temos que a existencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais veto-riais dependentes da variavel temporal e equivalente `a existencia e unicidade de solucoesde equacoes diferenciais vetoriais sem dependencia na variavel temporal t.Como os casos citados recaem sobre o estudo da equacao autonoma x(t) = f(x), vamosdar enfase ao estudo desse tipo de equacao.1.1 Equacoes diferenciais linearesDenicao 8 (Campos lineares). Campos lineares sao funcoes do tipof(x) = Axonde A = (ak,j)nn e x e o vetor coluna n 1.Denicao 9 (Equacao diferencial linear). Uma equacao diferencial linear e uma equacaodo tipo x= A(x)x(t) = Ax(t),que pode ser vista comox1(t)x2(t)...xn(t)=a1,1 a1,2 a1,n... ...an,1 an,2 an,nx1(t)x2(t)...xn(t)efetuando a multiplicacao temos o sistemax1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t) + + a1,nxn(t)x2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t) + + a2,nxn(t)...xn(t) = an,1x1(t) + an,2x2(t) + + an,nxn(t)Nesta secao iremos em geral considerar matrizes com entradas reais. 8. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 7Teorema 1. Se A = (ak,j)nn e uma matriz real, entao para cada x0 Rnexiste umaunica solucao do problema de valor inicialx(t) = Ax, x(0) = x0.Demonstracao.Propriedade 3. O conjunto de todas solucoes de x= A(x) e um espaco vetorial, su-bespaco de F(R, Rn).Demonstracao. x(t) = 0v e solucao da equacao pois x(t) = 0v, A(0v) = 0v, logo temos a equacaodiferencial satisfeita. Se s1(t) e s2(t) sao solucoes de x= A(x) entao s1(t) + cs2(t) e solucao onde c Rqualquer. Temos s1(t) = As1(t), s2(t) = As2(t), c R entao cs2(t) = cAs2(t) =Acs2(t) portanto cs2(t) e solucao, juntando tais fatos temosA(s1(t) + cs2(t)) = As1(t) + cAs2(t) = s1(t) + s2(t)logo s1(t) + cs2(t) e solucao, como queramos demonstrar.Corolario 2. Por unicidade de solucao se x(t) = 0 para algum t R entao x(t) = 0 t R por unicidade de solucao.1.1.1 Caso de matriz diagonalPropriedade 4. Se A e uma matriz diagonal, A = d(1, n) entao a solucao dex(t) = Ax(t)e da formax(t) = (x1e1t, x2e2t, , xnent)onde x(0) = (t1, t2, , tn) em outra notacaox(t) = d(e1t, e2t, , ent)x0. 9. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 8Demonstracao. Pelo produto das matrizes Ax = x(t) temosx1(t)x2(t)...xn(t)=1 0 0... ...0 0 nx1(t)x2(t)...xn(t)efetuando a multiplicacao temos o sistemax1(t) = 1x1(t)x2(t) = 2x2(t)...xn(t) = nxn(t)cada uma das equacoes diferenciais pode ser resolvida, resultando em xk(t) = ckekt,usando xk(0) = tk, temos ck = tk entao a solucao e da forma como queramosx(t) = (t1e1t, t2e2t, , tnent).1.1.2 Solucoes e conjugacaoPropriedade 5. Se Q conjuga as matrizes reais A e B de Mnn, isto e, A = QBQ1,entao sao equivalentes1. y(t) e uma solucao de y= By2. x(t) = Qy(t) e uma solucao de x= Ax.Demonstracao.1. 1) 2). Vamos mostrar que se y(t) e uma solucao de y= By entao x(t) = Qy(t)e uma solucao de x= Ax. Derivamos x(t) = Qy(t)x1(t)x2(t)...xn(t)=c1,1 c1,2 c1,n... ...cn,1 cn,2 cn,ny1(t)y2(t)...yn(t)= 10. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 9=c1,1y1(t) + c1,ny1(t)c2,1y2(t) + c2,ny2(t)...cn,1yn(t) + cn,nyn(t)derivando temosc1,1y1(t) + c1,ny1(t)c2,1y2(t) + c2,ny2(t)...cn,1yn(t) + cn,nyn(t)=c1,1 c1,2 c1,n... ...cn,1 cn,2 cn,ny1(t)y2(t)...yn(t)= Qy(t)lembrando que AQ = QB e y(t) = By(t) temosx(t) = Qy(t) = QBy(t) = AQy(t) = Ax(t)como queramos demonstrar.2. 2) 1). Vamos provar que se x(t) = Qy(t) e uma solucao de x(t) = Ax(t) entaoy(t) e uma solucao de y(t) = By(t). TemosQy(t) = AQy(t)como AQ = QB tem-seQy(t) = QBy(t) y(t) = QBy(t)pois Q e invertvel, logo provamos a equivalencia.Propriedade 6. Seja A Mn matriz diagonalizavel, isto e, A = QDQ1com D diagonal.1. Se D possui todos elementos na diagonal negativos entao x(t), solucao de x(t) =Ax(t) satisfazlimtx(t) = 0.2. Se D possui todos elementos na diagonal positivos distintos, A nao nulo e y(0) naopossuir coordenada nula entaolimt|x(t)| = . 11. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 103. Cada coordenada xk satisfaz equacao diferencial linear de ordem n .Demonstracao.1. Seja y(t) solucao de y(t) = Dy(t), ela e da forma y(t) = (c1e1t, , cnent), ondeD =1 0... 00 0 .A solucao de x(t) = Ax(t) e x(t) = Qy(t),a1,1 a1,n... ...an,1 an,nc1e1t...cnent =a1,1c1e1t+ + a1,ncnent...an,1c1e1t+ + an,ncnent =x1(t)...xn(t) .logo o limite em qualquer coordenada tende a zero, poisxk(t) = ak,1c1e1t+ + ak,ncnentonde cada parcela tende a zero pois ekt 0 quando t , se os coecientes saonulos nao se altera o resultado.2. Tem-se quexk(t) = ak,1c1e1t+ + ak,ncnenttomando s o maior valor entre os (k)n1 que esteja associado a constante ak,s = 0 ,colocamos em evidencia|xk(t)| = |est||ak,1c1e(1s)t+ + ak,scs + + ak,ncne(ns)t|onde |ak,1c1e(1s)t+ + ak,scs + + ak,ncne(ns)t| e limitada pois possuemtermos que ten