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Equaes Diferenciais Ordinrias
Semana 12
Professor Luiz Claudio Pereira
Departamento Acadmico de Matemtica
Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Material Previsto para uma semana
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 41
Equaes Diferenciais Ordinrias
1 Equaes de ordem maior do que 1
Equao linear homognea.
Equao linear no-homognea
Algumas aplicaes
2 Operador diferencial
Propriedades
Resoluo de equaes
Equao de Euler-Cauchy
3 Srie de potncias e equaes diferenciais ordinrias
4 Sistema de equaes diferenciais ordinrias
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos
e ser denotado por C. Note que:
(x ,0) (a,b) = (xa0b,xb+0a)= (xa,xb) R2 x(a,b)
Desta forma, indica-se x (x ,0).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos
e ser denotado por C. Note que:
(x ,0) (a,b) = (xa0b,xb+0a)= (xa,xb) R2 x(a,b)
Desta forma, indica-se x (x ,0).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos
e ser denotado por C. Note que:
(0,1) (0,1) = (0 01 1,0 1+1 0)= (1,0) R2 1
Indicando i = (0,1), tem-se 1= i i = i2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos
e ser denotado por C. Note que:
b i = (b,0) (0,1)= (b 00 1,b 1+0 0)= (0,b)
Por conseguinte,
(a,b) = (a,0)+(0,b) = a+b i .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos
e ser denotado por C. Note que:
Dado z = (a,b) C, tem-se que|z |=
a2+b2 = z ,z1/2 o comprimen-
to de z . Ademais,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais
que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e
(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos
e ser denotado por C. Note que:
sendo o ngulo orientado que o vetorz = a+bi forma com o eixo real,obtm-sez = |z |cos + i |z |sen
= |z |(cos + i sen)= |z | [cos(arg(z))+ i sen(arg(z))]
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Resumo
Um nmero complexo z = (a,b) admiteuma representao na forma algbrica
z = a+bi , i2 =1
e uma forma trigonomtrica
z = |z |(cos + i sen)
Denio
O nmero complexo abi , denotadopor z ou z, chamado conjugadocomplexo de z = (a,b).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Resumo
Um nmero complexo z = (a,b) admiteuma representao na forma algbrica
z = a+bi , i2 =1
e uma forma trigonomtrica
z = |z |(cos + i sen)
Denio
O nmero complexo abi , denotadopor z ou z, chamado conjugadocomplexo de z = (a,b).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
Dado z = (a,b) C, o nmero real a chamado parte real de z e b parteimaginria de z . Alm disso,
z+ z = (a+bi)+(abi) = 2a a = z+ z
2
e
z z = (a+bi) (abi) = 2bi b = z z
2i
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.
Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,
f (z) =(z)+(z)
2e g(z) =
(z)(z)2i
As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a
generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,
dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.
Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,
f (z) =(z)+(z)
2e g(z) =
(z)(z)2i
As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a
generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,
dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Conceito
Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.
Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,
f (z) =(z)+(z)
2e g(z) =
(z)(z)2i
As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a
generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,
dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Exemplo
Sabe-se que et =+
n=0
tn
n!para todo t R. Supondo que esse
desenvolvimento em srie de potncias seja vlido para um nmero
imaginrio puro t = ix , segue que
e ix = 1+ ix+(ix)2
2!+
(ix)3
3!+
(ix)4
4!+ . . .
=
(1 x
2
2!+
x4
4!+ . . .
)+ i
(x x
3
3!+
x5
5! . . .
)
=+
n=0(1)n x
2n
(2n)!+ i
+
n=0(1)n x
2n+1
(2n+1)!= f (x) +i g(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Exemplo
Note que f (x)+
n=0(1)n x
2n
(2n)!= 1 x
2
2!+
x4
4! . . . tal que f (0) = 1 e
f (x) =x+ x3
3! x
5
5!+ . . .=g(x)
Ademais, g(x)+
n=0(1)n x
2n+1
(2n+1)!= x x
3
3!+
x5
5! . . . tal que g(0) = 0
e
g (x) = 1 x2
2!+
x4
4! . . .= f (x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Exemplo
Note que f (x)+
n=0(1)n x
2n
(2n)!= 1 x
2
2!+
x4
4! . . . tal que f (0) = 1 e
f (x) =x+ x3
3! x
5
5!+ . . .=g(x)
Ademais, g(x)+
n=0(1)n x
2n+1
(2n+1)!= x x
3
3!+
x5
5! . . . tal que g(0) = 0
e
g (x) = 1 x2
2!+
x4
4! . . .= f (x)
Deste modo, f (x) = cosx , g(x) = senx e
e ix = cosx+ i senx = cos(arg(e ix)
)+ i sen
(arg(e ix)
)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Observao
Da Frmula de Euler
e ix = cosx+ i senx = cos(arg(e ix)
)+ i sen
(arg(e ix)
)tem-se que eix = cos(x)+ i sen(x) = cosx i senx . Ademais,
cosx =e ix + eix
2
e
senx =e ix eix
2i=ie ix + ieix
2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 41
Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores
Exemplo
Sendo z = + i C, a funo complexa exponencial, indicada por exp(z)ou ez , denida por
exp(z) = e+i
= e e i= e (cos + i sen )= e
[cos(arg(e i )