Equações Diferenciais Ordinárias - .EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 41. ... Resolução

Equaes Diferenciais Ordinrias

Semana 12

Professor Luiz Claudio Pereira

Departamento Acadmico de Matemtica

Universidade Tecnolgica Federal do Paran

Material Previsto para uma semana

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 41

Equaes Diferenciais Ordinrias

1 Equaes de ordem maior do que 1

Equao linear homognea.

Equao linear no-homognea

Algumas aplicaes

2 Operador diferencial

Propriedades

Resoluo de equaes

Equao de Euler-Cauchy

3 Srie de potncias e equaes diferenciais ordinrias

4 Sistema de equaes diferenciais ordinrias

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

e ser denotado por C. Note que:

(x ,0) (a,b) = (xa0b,xb+0a)= (xa,xb) R2 x(a,b)

Desta forma, indica-se x (x ,0).

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

e ser denotado por C. Note que:

(x ,0) (a,b) = (xa0b,xb+0a)= (xa,xb) R2 x(a,b)

Desta forma, indica-se x (x ,0).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 41

Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

e ser denotado por C. Note que:

(0,1) (0,1) = (0 01 1,0 1+1 0)= (1,0) R2 1

Indicando i = (0,1), tem-se 1= i i = i2.

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

e ser denotado por C. Note que:

b i = (b,0) (0,1)= (b 00 1,b 1+0 0)= (0,b)

Por conseguinte,

(a,b) = (a,0)+(0,b) = a+b i .

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

e ser denotado por C. Note que:

Dado z = (a,b) C, tem-se que|z |=

a2+b2 = z ,z1/2 o comprimen-

to de z . Ademais,

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

(x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

e ser denotado por C. Note que:

sendo o ngulo orientado que o vetorz = a+bi forma com o eixo real,obtm-sez = |z |cos + i |z |sen

= |z |(cos + i sen)= |z | [cos(arg(z))+ i sen(arg(z))]

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Resumo

Um nmero complexo z = (a,b) admiteuma representao na forma algbrica

z = a+bi , i2 =1

e uma forma trigonomtrica

z = |z |(cos + i sen)

Denio

O nmero complexo abi , denotadopor z ou z, chamado conjugadocomplexo de z = (a,b).

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Resumo

Um nmero complexo z = (a,b) admiteuma representao na forma algbrica

z = a+bi , i2 =1

e uma forma trigonomtrica

z = |z |(cos + i sen)

Denio

O nmero complexo abi , denotadopor z ou z, chamado conjugadocomplexo de z = (a,b).

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 41

Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

Dado z = (a,b) C, o nmero real a chamado parte real de z e b parteimaginria de z . Alm disso,

z+ z = (a+bi)+(abi) = 2a a = z+ z

2

e

z z = (a+bi) (abi) = 2bi b = z z

2i

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.

Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,

f (z) =(z)+(z)

2e g(z) =

(z)(z)2i

As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a

generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,

dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.

Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,

f (z) =(z)+(z)

2e g(z) =

(z)(z)2i

As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a

generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,

dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41

Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Conceito

Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.

Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,

f (z) =(z)+(z)

2e g(z) =

(z)(z)2i

As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a

generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,

dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41

Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Exemplo

Sabe-se que et =+

n=0

tn

n!para todo t R. Supondo que esse

desenvolvimento em srie de potncias seja vlido para um nmero

imaginrio puro t = ix , segue que

e ix = 1+ ix+(ix)2

2!+

(ix)3

3!+

(ix)4

4!+ . . .

=

(1 x

2

2!+

x4

4!+ . . .

)+ i

(x x

3

3!+

x5

5! . . .

)

=+

n=0(1)n x

2n

(2n)!+ i

+

n=0(1)n x

2n+1

(2n+1)!= f (x) +i g(x)

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Exemplo

Note que f (x)+

n=0(1)n x

2n

(2n)!= 1 x

2

2!+

x4

4! . . . tal que f (0) = 1 e

f (x) =x+ x3

3! x

5

5!+ . . .=g(x)

Ademais, g(x)+

n=0(1)n x

2n+1

(2n+1)!= x x

3

3!+

x5

5! . . . tal que g(0) = 0

e

g (x) = 1 x2

2!+

x4

4! . . .= f (x)

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Exemplo

Note que f (x)+

n=0(1)n x

2n

(2n)!= 1 x

2

2!+

x4

4! . . . tal que f (0) = 1 e

f (x) =x+ x3

3! x

5

5!+ . . .=g(x)

Ademais, g(x)+

n=0(1)n x

2n+1

(2n+1)!= x x

3

3!+

x5

5! . . . tal que g(0) = 0

e

g (x) = 1 x2

2!+

x4

4! . . .= f (x)

Deste modo, f (x) = cosx , g(x) = senx e

e ix = cosx+ i senx = cos(arg(e ix)

)+ i sen

(arg(e ix)

)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 41

Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Observao

Da Frmula de Euler

e ix = cosx+ i senx = cos(arg(e ix)

)+ i sen

(arg(e ix)

)tem-se que eix = cos(x)+ i sen(x) = cosx i senx . Ademais,

cosx =e ix + eix

2

e

senx =e ix eix

2i=ie ix + ieix

2

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Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

Exemplo

Sendo z = + i C, a funo complexa exponencial, indicada por exp(z)ou ez , denida por

exp(z) = e+i

= e e i= e (cos + i sen )= e

[cos(arg(e i )