Equações Diferenciais Ordinárias - .EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 41. ... Resolução

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  • Equaes Diferenciais Ordinrias

    Semana 12

    Professor Luiz Claudio Pereira

    Departamento Acadmico de Matemtica

    Universidade Tecnolgica Federal do Paran

    Material Previsto para uma semana

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 41

  • Equaes Diferenciais Ordinrias

    1 Equaes de ordem maior do que 1

    Equao linear homognea.

    Equao linear no-homognea

    Algumas aplicaes

    2 Operador diferencial

    Propriedades

    Resoluo de equaes

    Equao de Euler-Cauchy

    3 Srie de potncias e equaes diferenciais ordinrias

    4 Sistema de equaes diferenciais ordinrias

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

    que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

    (x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

    e ser denotado por C. Note que:

    (x ,0) (a,b) = (xa0b,xb+0a)= (xa,xb) R2 x(a,b)

    Desta forma, indica-se x (x ,0).

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

    que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

    (x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

    e ser denotado por C. Note que:

    (x ,0) (a,b) = (xa0b,xb+0a)= (xa,xb) R2 x(a,b)

    Desta forma, indica-se x (x ,0).

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

    que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

    (x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

    e ser denotado por C. Note que:

    (0,1) (0,1) = (0 01 1,0 1+1 0)= (1,0) R2 1

    Indicando i = (0,1), tem-se 1= i i = i2.

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  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

    que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

    (x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

    e ser denotado por C. Note que:

    b i = (b,0) (0,1)= (b 00 1,b 1+0 0)= (0,b)

    Por conseguinte,

    (a,b) = (a,0)+(0,b) = a+b i .

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  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

    que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

    (x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

    e ser denotado por C. Note que:

    Dado z = (a,b) C, tem-se que|z |=

    a2+b2 = z ,z1/2 o comprimen-

    to de z . Ademais,

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  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    O conjunto dos elementos (x ,y) R2 tais

    que (x ,y)+(a,b)def= (x+a,y +b) e

    (x ,y) (a,b) def= (xa yb,xb+ ya) chamado corpo dos nmeros complexos

    e ser denotado por C. Note que:

    sendo o ngulo orientado que o vetorz = a+bi forma com o eixo real,obtm-sez = |z |cos + i |z |sen

    = |z |(cos + i sen)= |z | [cos(arg(z))+ i sen(arg(z))]

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  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Resumo

    Um nmero complexo z = (a,b) admiteuma representao na forma algbrica

    z = a+bi , i2 =1

    e uma forma trigonomtrica

    z = |z |(cos + i sen)

    Denio

    O nmero complexo abi , denotadopor z ou z, chamado conjugadocomplexo de z = (a,b).

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Resumo

    Um nmero complexo z = (a,b) admiteuma representao na forma algbrica

    z = a+bi , i2 =1

    e uma forma trigonomtrica

    z = |z |(cos + i sen)

    Denio

    O nmero complexo abi , denotadopor z ou z, chamado conjugadocomplexo de z = (a,b).

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    Dado z = (a,b) C, o nmero real a chamado parte real de z e b parteimaginria de z . Alm disso,

    z+ z = (a+bi)+(abi) = 2a a = z+ z

    2

    e

    z z = (a+bi) (abi) = 2bi b = z z

    2i

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  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.

    Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,

    f (z) =(z)+(z)

    2e g(z) =

    (z)(z)2i

    As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a

    generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,

    dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.

    Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,

    f (z) =(z)+(z)

    2e g(z) =

    (z)(z)2i

    As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a

    generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,

    dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Conceito

    Seja X C. Uma regra que a cada z X associa o nmero w C chamada funo complexa de varivel complexa.

    Como (z) = w , as partes real e imaginria de w devem ser funes de z .Assim, existem funes reais f e g tais que (z) = f (z)+ i g(z). Emparticular,

    f (z) =(z)+(z)

    2e g(z) =

    (z)(z)2i

    As funes complexas de varivel complexa so definidas de modo a

    generalizar funes reais de varivel real conhecidas. Noutras palavras,

    dene-se (z) = w de modo que (x+0i) = w R seja uma funo realde varivel real conhecida.

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Exemplo

    Sabe-se que et =+

    n=0

    tn

    n!para todo t R. Supondo que esse

    desenvolvimento em srie de potncias seja vlido para um nmero

    imaginrio puro t = ix , segue que

    e ix = 1+ ix+(ix)2

    2!+

    (ix)3

    3!+

    (ix)4

    4!+ . . .

    =

    (1 x

    2

    2!+

    x4

    4!+ . . .

    )+ i

    (x x

    3

    3!+

    x5

    5! . . .

    )

    =+

    n=0(1)n x

    2n

    (2n)!+ i

    +

    n=0(1)n x

    2n+1

    (2n+1)!= f (x) +i g(x)

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  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Exemplo

    Note que f (x)+

    n=0(1)n x

    2n

    (2n)!= 1 x

    2

    2!+

    x4

    4! . . . tal que f (0) = 1 e

    f (x) =x+ x3

    3! x

    5

    5!+ . . .=g(x)

    Ademais, g(x)+

    n=0(1)n x

    2n+1

    (2n+1)!= x x

    3

    3!+

    x5

    5! . . . tal que g(0) = 0

    e

    g (x) = 1 x2

    2!+

    x4

    4! . . .= f (x)

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Exemplo

    Note que f (x)+

    n=0(1)n x

    2n

    (2n)!= 1 x

    2

    2!+

    x4

    4! . . . tal que f (0) = 1 e

    f (x) =x+ x3

    3! x

    5

    5!+ . . .=g(x)

    Ademais, g(x)+

    n=0(1)n x

    2n+1

    (2n+1)!= x x

    3

    3!+

    x5

    5! . . . tal que g(0) = 0

    e

    g (x) = 1 x2

    2!+

    x4

    4! . . .= f (x)

    Deste modo, f (x) = cosx , g(x) = senx e

    e ix = cosx+ i senx = cos(arg(e ix)

    )+ i sen

    (arg(e ix)

    )EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Observao

    Da Frmula de Euler

    e ix = cosx+ i senx = cos(arg(e ix)

    )+ i sen

    (arg(e ix)

    )tem-se que eix = cos(x)+ i sen(x) = cosx i senx . Ademais,

    cosx =e ix + eix

    2

    e

    senx =e ix eix

    2i=ie ix + ieix

    2

    EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 41

  • Equao Diferencial Ordinriade ordem n > 1, linear, homognea, com coecientes constantes - Mtodo dos operadores

    Exemplo

    Sendo z = + i C, a funo complexa exponencial, indicada por exp(z)ou ez , denida por

    exp(z) = e+i

    = e e i= e (cos + i sen )= e

    [cos(arg(e i )