Resumao Edo

Embed Size (px)

Text of Resumao Edo

  • Universidade Federal de Pelotas - UFPELEquaes Diferenciais OrdinriasProf. Valdecir Bottega

    Reviso IntegraisIntegral Indefinida

    AntiderivadaExemplo:

    Qual a funo cuja derivada a funo Fx = 2x ? fx = x2 , pois ddx x2 = 2x

    A funo F chamada uma antiderivada de F.Definio:

    Uma antiderivada da funo f uma funo F tal queFx = fx

    em todo ponto onde fx definida.Observao: Sabemos que Fx = x3 uma antiderivada de Fx = 3x2, assim como:

    Gx = x3 + 1 e Hx = x3 5.Na verdade, qualquer funo do tipo Jx = x3 + C antiderivada de Fx.

    Teorema:

    Se Fx = fx em todo ponto do intervalo aberto I, entotoda antiderivada G , de f em I, tem a forma

    Gx = Fx + Conde C uma constante.

    Assim, uma nica funo tem muitas antiderivadas. O conjunto de todas as antiderivadas da funo Fx chamada integral indefinida (ou antidiferencial) de f com relao a x e denotada por fxdx.

    fxdx = Fx + C

    A operao de antidiferenciao, assim como a diferenciao, linear:

    cfxdx = c fxdx (onde c uma constante)e

    fx gxdx = fxdx gxdx

    A integrao e a diferenciao so operaes inversas uma da outra. Este fato nos permite obterfrmulas de integrao diretamente das frmulas de diferenciao.

    1

  • FRMULAS: xndx = 1

    n+1 xn+1 + C ( n 1) secx tanxdx = secx + C

    dx = x + C cscxcotxdx = cscx + C

    cos xdx = sinx + C sin2x + cos2x = 1

    sinxdx = cos x + C 1 + tan2x = sec2x

    sec2xdx = tanx + C 1 + cot2x = csc2x

    csc2xdx = cotx + C

    Exerccios:1) Faa os exerccios do Leithold, pg. 294, 3a edio, do no 1 at o no 21 (mpares) e do no 29 at o no 35.

    Integrao por Substituio:Trabalharemos algumas tcnicas para integrar funes compostas. Essas tcnicas envolvem uma

    substituio. O uso da substituio na integrao pode ser comparado ao uso da Regra da Cadeia nadiferenciao. Iniciaremos recordando a Regra da Cadeia da diferenciao.

    Seja a funo y = fgx com y = fu e u = gx funes diferenciveis. Para calcular y devemos utilizar aRegra da Cadeia e obteremos:

    y = ddx fgx = fgx.g x = f u.u

    Exemplo:Derive a funo composta y = x2 + 33 :Seja u = x2 + 3 . Ento y = u3Utilizando a Regra da Cadeia, obtemos:y = 3u2.u = 3u2. x2 + 3 = 3. x2 + 32. 2x

    Teorema:

    Sejam f e g duas funes tais que f g e g so contnuas em um intervalo I.Se F uma antiderivada de f em I, ento:

    fgxg xdx = Fgx + C

    Ex.1: Calcule x2 + 14xdx: Resp: 110 x2 + 15 + C

    Ex.2: Calcule cos3x + 1dx : Resp.: 13 sin3x + 1 + C

    Exerccios:1:Calcule ecosx sinxdx. Resp.: ecosx + C2: Calcule cos3x + 1dx . Resp.: 13 sin3x + 1 + C3: Calcule 2x 1

    x2 xdx. Resp.: ln|x2 x|+C

    4: Calcule 3xx2 5

    dx. Resp.: 32 ln|x2 5|+C5: Calcule e2x+1dx. Resp.: 12 e2x+1 + C

    2

  • 6: Calcule xex2 dx. Resp.: 12 ex2+ C

    7: Calcule tdtt + 3

    Resp.: 23 t + 33 6 t + 3 + C

    Integrais que resultam na funo logartmica natural:

    Seja u uma funo diferencivel de x :1. 1x dx = ln|x| + C 2. 1u dx = ln|u | + C

    Exemplo 1: Calcule 2x 1x2 x

    dx Exemplo 2: Calcule 3xx2 5

    dx

    A Integral Indefinida da Funo Exponencial Natural: exdx = ex + C e eudx = eu + C

    Exemplo 1: Calcule e2x+1dx :

    Integrao por partes:Teorema:

    Se u e v so funes de x com derivadas contnuas, entoudv = uv vdu

    Ex.1: xexdx . Resp.: xex ex + C Ex. 2: x2 lnxdx . Resp.: x33 lnx x3

    9 + C

    OBS.: Uma integral pode necessitar de aplicaes repetidas da frmula de integrao por partes.Ex. 4: x2 sinxdx . Resp.: x2 cos x + 2x sinx + 2cos x + C

    Exerccios:1) xe2xdx, 2) xex2 dx, 3) xe2xdx, 4) x3exdx, 5) x3 lnxdx6) t lnt + 1dt, 7) lnx2dx, 8) lnx2x dx.Respostas:1) e2x4 2x 1 + c, 2)

    ex2

    2 + c, 3) -1

    4e2x2x + 1 + c, 4) exx3 3x2 + 6x 6 + c,

    5) x416 4 lnx 1 + c, 6)14 2t

    2 1 ln|t + 1| t2 + 2t + c,7) xlnx2 2x lnx + 2x + c, 8) lnx

    3

    3 + c

    3

  • CAPTULO 1: EQUAES DIFERENCIAIS1.1 Conceitos Bsicos

    Uma equao diferencial uma equao que envolve uma funo incgnita e suas derivadas.

    Exemplos:a) dydx = fx ou y

    = fx y : funo incgnita, onde y = yx, ou seja, por exemplo, y = x + 3b) d2y

    dx2+ 2 dydx

    2= 1 y = yx

    c) d3ydx3

    + x + 3 d2y

    dx2+

    dydx + xy = 0 y = yx

    d) d2ydx2

    3+ y dydx

    7+ y3 dydx

    2+ 5x = 0 y = yx

    e) 2yt2

    = c2yx2

    y = yx, t

    f) m d2xtdt2

    = F t,xt, dxtdt (Lei de Newton)

    1.1.1 Classificao:1. Tipo:

    Eq, Diferencial

    Eq.Diferencial Ordinria(EDO) Eq. Diferencial Parcial (EDP)

    - EDO: uma equao diferencial ordinria aquela cuja funo incgnita depende de apenas uma varivelindependente.Exemplos.: a), b), c), d) e f).

    - EDP: uma equao diferencial parcial aquela cuja funo incgnita depende de duas ou mais variveisindependentes.Exemplo: e).

    2. Ordem: A ordem de uma equao diferencial a ordem da mais alta derivada que nela aparece.Exemplos.: a) equao diferencial de primeira ordem.

    b), d), e) e f) so equaes diferenciais de segunda ordem.c) equao diferencial de terceira ordem.

    Exemplos de Aplicao: Um modelo para o movimento de uma mola:

    A equao diferencial ordinria que modela o movimento de um objeto de massa m preso a uma mola :m d

    2xdt2

    = kxonde k uma constante positiva(chamada constante da mola)

    4

  • Equao diferencial ordinria que governa o decaimento de uma substncia radioativa com o tempoR(t) (funo incgnita):

    dRtdt = kRt

    onde k uma constante conhecida.

    3. Linearidade: Eq. Diferencial

    Linear No - linear

    - Linear: uma equao diferencial ordinria (EDO) de ordem n linear se puder ser escrita na forma:

    a0xdnydxn + a1x

    dn1ydxn1

    +. . .+anxy = gx

    (Definio semelhante aplica-se a EDP).

    - No-linear: uma equao diferencial que no tenha a forma da equao acima dita no-linear.Exemplos.: a), c) e e) so lineares.

    b) e d) so no-lineares (potncias das derivadas).

    Exemplo de Aplicao:Pndulo: A equao diferencial ordinria que modela o movimento oscilatrio de um pndulo simples dada por:

    d2dt2

    +gl sin = 0

    que uma equao no-linear (termo sin ). Faltam tcnicas gerais de soluo. Em alguns casos, possvel fazer uma aproximao do problema para equaes lineares (tcnicas desenvolvidas).

    Neste exemplo, se o ngulo for pequeno, ento sin e a EDO no-linear substituda por umaequao linear:

    d2dt2

    +gl = 0

    Observao: Existem problemas que no possvel aproximar uma equao no-linear por uma equaolinear.

    1.1.2 Solues:

    Uma soluo de uma equao diferencial na funo incgnita y e na varivel independente x, nointervalo I, uma funo que verifica a equao diferencial identicamente para todo x em I.

    Exemplo 1: yx = C1 sin2x + C2 cos 2x soluo de y + 4y = 0 ?y x =

    y x =Substituindo na EDO, verifica-se que yx satisfaz a equao diferencial para x.

    5

  • Portanto, yx soluo no intervalo ,.

    Exemplo 2: yx = x2 lnx soluo de x2y 3xy + 4y = 0 , x > 0 ?y x =y x =

    Exemplo 3: y = x2 1 soluo de y 4 + y2 = 1 ?A equao no admite soluo, pois y 4 + y2 sempre no negativo para todo yx real, no podendo

    ser igual a -1.

    Exemplo 4: y 4 + y2 = 0 , admite como nica soluo y 0 (pelo mesmo motivo do exemplo anterior).

    Definio: Uma soluo particular de uma equao diferencial qualquer soluo. A soluo geral de umaequao diferencial o conjunto de todas as solues.Exemplo 5: Pode-se mostrar que yx = C1 sin2x + C2 cos 2x a soluo geral de y + 4y = 0. Isto , toda asoluo particular da ED tem esta forma. Por exemplo, so solues particulares:

    y = 5 sin2x 3cos 2x C1 = 5,C2 = 3y = sin2x C1 = 1,C2 = 0y = 0 C1 = 0, C2 = 0

    Observao: Nem sempre se pode expressar por uma frmula nica a soluo de uma ED.Exemplo 6: y + y2 = 0 tem como solues particulares y = 1x e y 0

    1.1.3 Problemas de Valores Iniciais e de Valores no Contorno:

    Uma equao diferencial acompanhada de condies adicionais sobre a funo incgnita e suasderivadas (todas no mesmo valor da varivel independente) constitui um problema de valores iniciais. Estascondies so chamadas C.I. (condies iniciais).Exemplo 1: y + 2y = ex

    y = 1 , y = 2 (CI)Este um problema de valor inicial, pois as condies adicionais so dadas em x = .

    Se as condies adicionais so dadas para mais de um valor da varivel independente, temos umproblema de valores no contorno e as condies so C.C. (condies de contorno).Exemplo 2: y + 2y = ex

    y0 = 1 , y1 = 1 (CC)Este um problema de valor no contorno, pois as condies adicionais so dadas em x = 0 e x = 1.

    Exemplo 3: Determine uma soluo do problema y + 4y = 0 onde y0 = 0 , y 0 = 1 se a soluo geral yx = C1 sin2x + C2 cos 2x

    y0 =y x =y 0 =Soluo particular: yx = 12 sin2x

    Soluo geral: conjunto de todas as solues (famlia de curvas)Soluo particular: soluo que satisfaz as CI ou as CC (uma nica curva)

    6

  • -4 -2 2

    -0.4

    -0.2

    0.2

    0.4

    x

    y

    -4 -2 2 4

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    x

    y

    Soluo particular: Soluo geral: .Campo de direes: d um perfil das solues dydx = fx,y coeficiente angular da soluo no ponto

    x,y.

    1.2 LISTA DE EXERCCIOS I1- Nos exerccios seguintes, determine:(a) a ordem da eq. diferencial. (b) o tipo EDO ou EDP.(c) a varivel independente. (d) a funo incgnita.1.1 y + xy = x2 1.2 y 3 = sinx1.3

    2ux2

    + 2u

    xy + 72uy2

    + 8 ux

    + 2u = sinxy

    1.4 d3y

    dx3+ 3 d

    2ydx2

    + y = ex 1.5 d4y

    dx4d3ydx3

    d2ydx2

    =dydx

    1.6 y 2 3yy + xy = 0 1.7 x4yIV + xy = ex 1.8 dny

    dxn = y2 + 1

    2 - Quais, entre as funes abaixo, so solues de y 5y = 0?a) y = 5 b) y = 5x c) y = x5 d) y = e5x e) y = 2e5x f) y = 5e2x3 - Quais, entre as funes abaixo, so solues de x 4x + 4x = e t ?