Series e EDO

7/25/2019 Series e EDO.

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Uma soma innita um processo que sempre nos intriga porque literalmente no podemos

somar, um a um, uma innidade de termos. Ao estabelecer que a soma innita

a1+ a2+ a3+ + an+

tem valor Sdesejamos passar a seguinte idia: o valor da soma a1+ a2+ a3+ +an torna-searbitrariamente prximo deS, medida que o nmero nde parcelas aumenta.

Em alguns casos uma soma innita resulta em um nmero, como

no caso da soma 1=2 + 1=4 + 1=8 +

+ 1=2n +

= 1;deduzida

a partir da soma das reas da gura ao lado. Em outros casos,

a soma innita torna-se arbitrariamente grande medida que se

aumenta o nmero de parcelas. No parece to bvio, mas isso

ocorre com a soma1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + + 1=n + = 1;comoveremos adiante. Por m, existem somas innitas cujo resultado

indenido, como o caso da soma 1 1 + 1 1 + 1 cujo

valor pode ser 1, pode ser 0, dependendo de como seus termos so agrupados:

(1 1) + (1 1) + (1 1) + = 0 ou 1 + (1 + 1) + (1 + 1) + = 1:

O fundamento terico para o clculo de somas innitas foi desenvolvido por Cauchy e, antes

desse feito, matemticos como Gauss, Laplace e Euler usaram com sucesso somas innitas e ob-

tiveram resultados surpreendentes. O que desenvolveremos aqui servir de base para os captluos

seguintes, onde trataremos com sries de funes de diversos tipos.

2.1 Fundamentos Gerais

Para motivar o que ser desenvolvido neste captulo, apresentaremos como ilustrao o clculo

da soma innita:

0:9 + 0:09 + 0:009 + 0:0009 + :


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32 SRIES E EQUAES DIFERENCIAIS MARIVALDO P. MATOS

A esta soma innita associamos uma sequnciafSngdenida da seguinte maneira:

S1= 0:9

S2= 0:9 + 0:09 = 0:99

S3= 0:9 + 0:09 + 0:009 = 0:999

S4= 0:9 + 0:09 + 0:009 + 0:0009 = 0:9999;

e assim por diante. natural pensar na soma innita como o limite da sequnciafSng ; quandon ! 1;e considerando que:

Sn = 0:9999 : : : 9| {z }n vezes

ento limn!1

Sn = 0:9999 : : : uma dzima peridica. Esse clculo pode ser feito de outra maneira,

escrevendo as parcelas da soma innita como fraes ordinrias e dessa forma obtemos:

910+

9100 +

91000 +

910000 + ;

de onde segue que:

Sn = 910

h1 + 110 +

110

2+110

3+110

4+ + 110n1i : (2.1)

Em (2.1) a expresso entre colchetes a soma dos nprimeiros termos de uma progresso geomtrica

de razo r = 110 e vale Sn = 910 1 (1=10)n1 1=10 :Assim, Sn = 1 110n e, portanto, limn!1Sn = 1:Isto nos conduz igualdade 0:9999 : : := 1que deve ser vista como um limite.

Dada uma sequnciafangde nmeros reais, a soma innita

a1+ a2+ a3+ + an+

ser representada simbolicamente por1

Pn=1an e denominada srie innita ou simplesmente srie; o

termoan recebe o nome de termo geral da srie. A letra gregaP (l-se sigma) signica soma eo ndice n sob o

P indica onde a soma se inicia e o smbolo1 sobre oP indica que a soma

innita. O que temos em mente estabelecer condies sobre a sequnciafang para que a somainnita

1Pn=1

an resulte em um nmero real. Se este for o caso, a srie denomina-se convergente.


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CAPTULO 2 SRIES NUMRICAS 33

Exemplo 2.1.1 A soma innita1 + 1=2 + 1=4 + 1=8 + se representa por1Xn=1

1

2n1e para cada

nseja Sn a soma nita:

Sn = 1 + 1=2 + 1=4 + 1=8 + + 1=2n1

=

1

(1=2)n

1 1=2 = 2 [1 (1=2)n

] :

Se olharmos a soma innita1Pn=1

1

2n1como o limite da soma parcial Sn;com n ! 1;teremos

1Xn=1

1

2n1 = lim

n!1Sn= lim

n!12 [1 (1=2)n] = 2: (2.2)

Exemplo 2.1.2 Investiguemos a soma innita

1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 +

;

representada simbolicamente por1Xn=1

1=n: A gura 2.2 ao lado

mostra o grco da funo f(x) = 1=x; x > 0, onde jazem os

pontos (n; 1=n)e, comparando as reas dos retngulos com a rea

sob o grco de f, conclumos que:

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + + f(n) Z n1

f(x) dx;

ou seja:

1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + + 1=n ln n, 8n 2 N: (2.3)

Como limn!1

ln n= 1, usando (2.3) deduzimos que:

limn!1

[1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + + 1=n] = 1

e razovel armar que1Pn=1

1

n= 1:Observamos que essa soma innita no um nmero real.

Os exemplos dados acima motivam o conceito de convergncia para sries numricas. Aconvergncia de uma srie

1Pn=1

an est relacionada com a convergncia de sua sequncia de somas

parciaisfSng, a qual denida por:

Sn = a1+ a2+ a3+ a4+ + an: (2.4)


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O termo geral Sn denido em (2.4) denominado n-sima soma parcial da srie1Pn=1

an:

Denio 2.1.3 A srie1

Pn=1andenomina-se convergente quando a sequncia fSng de suas somas

parciais for convergente. Neste caso, a soma da srie o limite da sequnciafSng ;isto :1Xn=1

an = limn!1

Sn: (2.5)

Quando uma srie no for convergente ela ser denominada srie divergente. Neste caso, a sequncia

de somas parciaisfSng divergente, isto , ou no tem limite nito ou Sn! 1:

Exemplo 2.1.4

(a) Srie Geomtrica1

Xn=1rn1

Os nmeros e r que guram na srie geomtrica denominam-se, respectivamente, coeciente e

razo da srie; ambos so supostos diferentes de zero. O termo geral da srie an = rn1 e a

n-sima soma parcial Sn =

1 + r+ r2 + + rn1, cuja convergncia depende do valor darazore ser estabelecida por etapas.

sejrj 1, usamos a relaojSn+1 Snj =jan+1j =jj jrjn para deduzir que: (i) ser= 1, entojSn+1 Snj = jje (ii) sejrj >1, teremosjSn+1 Snj ! 1:Em ambos os casos asequncia fSng e, portanto, a srie diverge, porque as distncias jSn+1 Snj no se aproximam

de zero;sejrj < 1, vimos no exemplo 1.3.2(c) que lim rn = 0 e usando a relao (1 r) Sn =

(1 rn)( veja o Exerccio 1.4H) deduzimos que lim Sn= = (1 r). Este o nico caso em quea srie geomtrica converge e sua soma = (1 r) :Em (2.2) temos um caso particular.O valor da soma de uma srie geomtrica convergente determinado pela frmula padro

1Xn=1

rn1 == (1 r) ; jrj


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(b) Srie Harmnica1Xn=1

1

n

Vamos investigar a srie harmnica1 atravs de sua sequncia de somas parciais. Denotando por

fSnga sequncia de somas parciais dessa srie, temos que:Sn= 1 + 1=2 + 1=3 + + 1=nS2n = 1 + 1=2 + 1=3 + + 1=n + 1= (n + 1) + + 1=2n

e, portanto:

S2n Sn= 1n + 1

+ 1

n + 2+ + 1

2n 1

2n+

1

2n+ + 1

2n=

1

2: (2.7)

Se a sequnciafSng fosse convergente, ento a subsequnciafS2ng tambm seria, teria o mesmo

limite quefSng e, assim, teramos limn!1 fS2n Sng = 0. Isto no possvel, pois a desigualdade(2.7) nos assegura que lim

n!1fS2n Sng 1=2, caso o limite exista. Com isto conclumos que a

srie harmnica1Pn=1

1

n divergente e, como vimos no Exemplo 2.1.2, sua soma +1:

(c) Srie de Encaixe1Xn=1

(bn bn+1)

Uma srie do tipo (b1 b2) + (b2 b3) + (b3 b4) + , em que cada termo se encaixa no seguinte,recebe o nome de srie de encaixe ou srie telescpica. Ela representada simbolicamente por

P1n=1(bn bn+1)e sua sequncia de somas parciaisfSng:Sn = (b1 b2) + (b2 b3) + + (bn bn+1) =b1 bn+1: (2.8)

Se a sequncia fbng convergir para um nmerol, ento segue de (2.8) que a sequncia fSng convergepara b1 l, sendo este o valor da soma da srie. claro que, se a sequncia fbng divergir, o mesmoocorre com as somas parciaisfSng. Assim, a srie de encaixe

1Pn=1

(bn bn+1) convergente se, e

somente se, a sequnciafbngo for e, neste caso, a soma da srie :1Xn=1

(bn bn+1) =b1 limn!1

bn: (2.9)

1 A denominao srie harmnica em correspondncia aos ns em uma corda vibrando (nota musical). Por

exemplo, 1=2produz um harmnico igual ao dobro da freqncia fundamental, 1=3 produz um harmnico 3 vzes a

freqncia fundamentale assim sucessivamente.


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(d) Exemplos de Sries de Encaixe

1. A srie1Pn=1

1

n2 + npode ser vista como uma srie de encaixe, bastando para isso decompor

1

n2 + n em fraes simples escrevendo

1

n2 + n =

1

n 1

n + 1 . Como a sequncia bn = 1=nconverge

para zero, ento a srie de encaixe convergente e, alm disso, de acordo com ( 2.9), temos:

1Xn=1

1

n2 + n=b1 lim

n!1bn = 1 0 = 1:

Usando a convergncia dessa srie podemos deduzir que a srie1Pn=1

1

n2tambm converge. De fato,

a sequnciafSngde somas parciais dessa srie crescente e0 Sn 2Rn, ondefRng an-sima

soma parcial da srie1

Pn=11

n2 + n:Logo,

fSn

g montona limitada e, portanto, convergente.

2. A srie1Pn=1

ln

n

n + 1

tambm uma srie de encaixe, neste caso divergente. De fato, colo-

cando a srie sob a forma1Pn=1

(bn bn+1) ;combn = ln n;deduzimos que a srie de encaixe diverge,porque (bn) uma sequncia divergente.

3. Para calcular o valor da soma da srie1Pn=1

2

n2 + 5n + 6, primeiro decompomos a frao

2

n2 + 5n + 6em fraes parciais e identicamos a srie como uma srie de encaixe. Temos:

2

n2 + 5n + 6 = 2

(n + 2) (n + 3)= 2

n + 2 2

n + 3

e se considerarmos bn = 2

n + 2, teremos

1Xn=1

2

n2 + 5n + 6=

1Xn=1

(bn bn+1) =b1 lim bn = 2=3:

(e) Srie de Mengoli1Xn=1

(bn bn+k)

Fixados um nmero natural k e uma sequncia convergente

fbn

g, investiguemos a convergncia

da srieP1n=1(bn bn+k), conhecida por Srie de Mengoli2 e que generaliza as sries de encaixe.Usando o Mtodo de Induo Finita, mostra-se que a n-sima soma parcial da srie de Mengoli

Sn = b1+ b2+ + bk (bn+1+ bn+2+ + bn+k)2 Pietro Mengoli (1626-1826), matemtico italiano.


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e, considerando quelimn!1 bn+j = lim bn;8j = 1; 2; : : : k, conclumos que a srieP1

n=1(bn bn+k) convergente e tem soma

1

Xn=1 (bn bn+k) =b1+ b2+ + bk k lim bn: (2.10)A ttulo de ilustrao, deixe-nos calcular a soma da srie

1Pn=1

n

n + 1n + 2

n + 3

, a qual se identica

com a srie de Mengoli1Xn=1

n

n + 1n + 2

n + 3

=

1Xn=1

(bn bn+2) ;

sendobn = n

n + 1. De acordo com (2.10), temos

1

Xn=1 n

n + 1n + 2

n + 3=

1

Xn=1(bn bn+2) =b1+ b2 2lim bn = 5=6:

O critrio dado a seguir fornece uma condio necessria, mas no suciente, para que uma

srie numrica seja convergente.

Critrio 2.1.5 (Critrio do n-simo Termo) Se a srie1Pn=1

an convergente, ento o termo

geralan tem limite zero.

Demonstrao Denotando porfSng a sequncia de somas parciais da srie, temos que an =SnSn1e, admitindo que a srie seja convergente, resulta que a sequncia de somas parciais fSng

converge para um certo nmerol, o mesmo ocorrendo com a subsequnciafSn1g :Ento,

limn!1

an = limn!1

(Sn Sn1) = limn!1

Sn limn!1

Sn1= l l= 0: (2.11)

Observao 2.1.6 Como vimos no Exemplo 2.1.4, a srie1Pn=1

ln

n

n + 1

e a srie harmnica

1Pn=1

1

nso divergentes, embora o termo geral an tenha limite zero em ambos os casos. Ressaltamos

com isso que a condio limn!1

an = 0no suciente para garantir a convergncia da srie1Pn=1

an.

Porm, quando a sequncia fang for divergente ou limn!1 an6= 0;ento a srie1Pn=1 a

nser divergente.

Por exemplo, as sries1Pn=1

(1)n e1Pn=1

(1 + 1=n)so ambas divergentes. A primeira porque o termo

geralan = (1)n no converge e a segunda porque o termo geralan = 1+1=n, embora convergente,no tem limite zero.


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O Critrio 2.1.5 constitui-se no primeiro critrio de convergncia, na verdade um critrio

de divergncia, para sries. Ao investigarmos a convergncia de uma srie, em primeiro lugar

observamos o comportamento de seu termo geral, como sugere o diagrama a seguir.

A condio limn!1

an = 0 no d informao sobre a convergncia da srie1Pn=1

an; sendo

necessria uma investigao adicional para determinar a natureza (convergente ou divergente) dasrie. A seguinte tabela ilustra algumas situaes:

1Pn=1

an limn!1

an natureza da srie

1Pn=1

n

2n + 112 divergente

1

Pn=1

ln n

n2 0 no prevista pelo critrio 2.1.5

1Pn=1

en

n2 1 divergente

Como ocorre com as sequncias numricas, o acrscimo ou a omisso de um nmero nito de

termos no altera a convergncia ou a divergncia de uma srie, podendo alterar o valor de sua

soma. Em outras palavras, o comportamento da cauda da srie quem determina sua convergncia.

Alis, srie convergente aquela cuja cauda tem limite zero. Mais precisamente, uma srie1Pn=1

an

convergente se, e somente se, limp!1

1

Pn=p an = 0: Este critrio de convergncia conhecido comoCritrio de Cauchy e pode ser formulado assim: uma condio necessria e suciente para que a

srie1Pn=1

an seja convergente que:

limn;p!1

(an+1+ an+2+ + an+p) = 0:


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A demonstrao desse critrio de convergncia para sries foge ao nosso objetivo e, de certa

forma, o resultado a seguir d uma verso preliminar do comportamento da cauda de uma srie

convergente.

Critrio 2.1.7 (Critrio da Cauda) Se as sries 1Pn=1

ane 1Pn=1

bndiferem apenas em uma quan-

tidade nita de termos, ento ambas so convergentes ou ambas so divergentes.

Demonstrao Por hiptese, existe um ndicen0a partir do qual an = bn e sefSngefRngsoas sequncias de somas parciais de

1Pn=1

an e1Pn=1

bn, respectivamente, ento para n > n0;temos:

Sn=a1+ a2+ + an0+ + an (2.12)

Rn= b1+ b2+ + bn0+ + bn (2.13)

e sendo an = bn, a partir da ordem n0;resulta de (2.12) e (2.13) que:

Sn = Rn+ [(a1 b1) + (a2 b2) + + (an0 bn0)] ; 8n > n0: (2.14)

Observando a relao (2.14), levando em conta que a expresso entre colchetes constante, isto

, no depende do ndice n, deduzimos que as sequnciasfSngefRngso ambas convergentes ouambas divergentes.

consequncia direta do Exemplo 2.1.4 e do Critrio 2.1.7 que as sries harmnicas1

Pn=10

1

n

e 1Pn=6

1n 5 so divergentes, enquanto as sries

1Pn=8

14n5 e

1Pn=13

1n2 + n so convergentes. Procure

justicar essas armaes, comparando essas sries com as correspondentes do Exemplo 2.1.4,

identicando a quantidade de termos em que elas diferem. Ainda como consequncia do Critrio

2.1.7, temos que para cada nmero natural pas sries1Pn=1

an e1Pn=p

an so ambas convergentes ou

ambas divergentes.

Proposio 2.1.8 (Operaes com Sries) Sejam1

Pn=1ane

1

Pn=1bnduas sries numricas e seja

um nmero real.(a) Se as sries

1Pn=1

an e1Pn=1

bn so convergentes, ento as sries1Pn=1

(an+ bn) e1Pn=1

(an)

tambm convergem, e valem as relaes:1Xn=1

(an+ bn) =1Xn=1

an+1Xn=1

bn (2.15)


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1Xn=1

(an) =1Xn=1

an: (2.16)

(b) Se1

Pn=1an convergente e

1

Pn=1bn divergente;ento a srie

1

Pn=1(an+ bn) divergente.

(c) Se1Pn=1

an divergente e 6= 0, ento a srie1Pn=1

(an)tambm diverge.

Demonstrao Na demonstrao utilizaremos as Propriedades Algbricas 1.3.7 do limite de

sequncias. Denotando porfSng,fRng,fUng efVng as sequncias de somas parciais das sries1Pn=1

an,1Pn=1

bn;1Pn=1

(an+ bn)e1Pn=1

(an) ;respectivamente, temosUn = Sn+ Rn e Vn = Sn e, se

as sequnciasfSng efRng forem convergentes, ento as sequnciasfUng efVng tambm seroconvergentes e, alm disso:

limn!1

Un = limn!1

Sn + limn!1

Rn e limn!1

Vn = limn!1

Sn:

Isto prova a parte (a). Para provar a parte (b) raciocinamos por absurdo. De fato, se a srie

1Pn=1

(an+ bn) fosse convergente, ento a sequnciafUng seria convergente e, por conseguinte, a

sequnciafRng tambm seria, j que Rn = Un Sn. Isso acarretaria na convergncia da srie1

Pn=1bn, contradizendo a hiptese. A parte (c) se demonstra de forma semelhante. Se a srie

1Pn=1

(an)fosse convergente, ento a sequnciafVng seria convergente, o mesmo ocorrendo com a

sequnciafSng ;porqueSn = 1Vn:Mais uma vez chegamos a uma contradio, j que, neste caso,

a srie1Pn=1

an suposta divergente.

Observao 2.1.9 Quando as sries1Pn=1

ane1Pn=1

bnso ambas divergentes, ento a srie1Pn=1

(an+ bn)

pode convergir ou divergir. Por exemplo, as sries1

Pn=11

ne

1

Pn=11

n + 1so ambas divergentes e, con-

tudo, a srie obtida pela soma termo a termo a srie de encaixe1Pn=1

1

n2 + nconvergente. D um

exemplo de duas sries divergentes de modo que a srie obtida pela soma termo a termo seja diver-

gente. Por m, observamos que a srie1Pn=1

1

n2 + n+

2

5n1

convergente, porque

1Pn=1

1

n2 + n e


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1Pn=1

3

2nso convergentes, enquanto a srie

1Pn=1

1

n2 + n ln n

n + 1

divergente, porque

1Pn=1

1

n2 + n

converge e1

Pn=1

ln

n

n + 1

diverge.

2.2 Exerccios Complementares

2.2A O que signica uma srie1Pn=1

an ser divergente?

2.2B Falso ou Verdadeiro? Justique.

(a) se limn!1

an= 0, ento1Pn=1

an converge;

(b) se

1

Pn=1 an diverge, ento limn!1 an6= 0;(c) se

1Pn=1

an converge e an 0; 8n;ento1Pn=1

panconverge;

(d) se1Pn=1

an diverge, ento1Pn=1

a2n diverge;

(e) se1Pn=1

an e1Pn=1

bn divergem, ento1Pn=1

(an+ bn)diverge;

(f) se1

Pn=1an diverge e an6= 0; 8n;ento

1

Pn=11

anconverge;

(g) sefang uma sequncia constante, ento1Pn=1

an converge;

(h) se1Pn=1

an converge, ento1P

n=100an converge.

2.2C Por observao do limite do termo geral, verique que as sries abaixo so divergentes:

(a)1Pn=1

pn +

pn + 1

(b)

1Pn=1

[1 + (1)n] (c)1Pn=1

n3

n3 + n2 + 4

(d) 1Pn=1

ncos n (e)

1Pn=1

n sen 1n (f) 1P

n=1n!2n

:

2.2D Encontre uma srie cujan-sima soma vem dada por:

(a)Sn = 2n

3n + 1 (b)Sn =

n2

n + 1 (c)Sn =

1

2n


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2.2E Identique cada srie abaixo com uma srie de encaixe ou uma srie geomtrica e calcule o

valor da soma no caso de ela convergir.

(a)1

Pn=02

3n

(b)1

Pn=3 42

5n

(c)1

Pn=13

9n2

+ 3n 2(d)

1Pn=1

ln

n

n + 1

(e)

1Pn=1

2n + 1

n2(n + 1)2 (f)

1Pn=1

1

2n2 1

3n+2

(g)1Pn=1

"(1)n

2n +

(1)n+13n

# (h)

1Pn=1

1

4n2 1 (i)1Pn=1

2

(4n 3)(4n + 1)

(j)1Pn=1

ln

"(n + 1)2

n (n + 2)

# (k)

1Pn=1

2n+1

32n (l)

1Pn=1

2n sen(n+ =2)

32n2

:

2.2F Encontre os valores dexque tornam a srie1

Pn=1 x2n convergente e calcule o valor da soma.

Idem para a srie 1

2+

x 34

+(x 3)2

8 + +(x 3)

n

2n+1 +

2.2G Expresse cada decimal peridica como uma srie e ache a frao ordinria que ela representa:

(a)0; 232323 : : : (b)5; 146146146 : : : (c)3; 2394394 : : : (d)2; 718288288 : : : :

2.2H Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica apro-

ximadamente metade da distncia aps cada queda. Use uma srie geomtrica para aproximar o

percurso total feito pela bola at o repouso completo.

2.2I A extremidade de um pndulo oscila ao longo de um arco de 24 centmetros em sua primeira

oscilao. Se cada oscilao aproximadamente 5=6 da oscilao precedente, use uma srie ge-

omtrica para obter uma aproximao da distncia total percorrida pelo pndulo at entrar em

repouso total.

2.2J Administra-se a um indivduo uma dose deQ unidades de um certo remdio. A quantidade

que permanece na corrente sangnea ao nal detminutos Qekt, ondek uma constante positiva.

Admitindo que a mesma dose seja administrada em intervalos sucessivos de Tminutos, mostre que

a quantidade de remdio R (n)imediatamente aps a n-sima dose vem dada por:

R (n) =

n1Xj=0

QejkT:


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Encontre uma cota superior para a quantidade de remdio na corrente sangnea aps um nmero

arbitrrio de doses e ache o menor tempo entre as doses, de modo que a quantidade de remdio

R (n)no exceda um nvel de riscoM, M > Q.

2.2K Suponha que cada unidade monetria introduzida na economia recircule do seguinte modo:

85% da unidade original so gastos; em seguida, 85% daqueles 0,85 so gastos, e assim por diante.

Determine o impacto econmico (o total gasto) se $ 1.000.000,00 forem introduzidos na economia.

2.2L Em um programa de erradicao de epidemia, liberam-se diariamente na populao N

moscas macho esterilizadas, e 90% dessas moscas sobrevivem a um determinado dia. Aps n

dias, mostre que o nmero de moscas esterilizadas na populao dado por:

N = N+ (0:9) N+ (0:9)2 N+ ::: + (0:9)n1 N

e determine o nmero de moscas esterilizadas que devem ser liberadas a cada dia, se o objetivo do

programa, a longo alcance, manter 20.000 moscas esterilizadas na populao.

2.2M Dois atletas disputam 10 provas de percurso em 10 etapas sucessivas. Os tempos de cada

etapa so os mesmos e a tabela a seguir mostra as distncias, em km, percorridas por cada um

deles nas quatro etapas iniciais:

etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4

atleta A 1214

18

116

atleta B 122!

23!3!

34!4!

45!

Se a vitria dada quele que alcanou o maior percurso, qual foi o atleta vencedor?

2.2N Com auxlio do Exerccio 1.6L calcule o valor da soma1

Pn=1

n

(n + 1)!:

2.2O Considere a sequncia de Fibonaccifangdenida no Exemplo 1.5.5. Mostre que:

(a) 1

an1an+1=

1

an1an 1

anan+1;8n 2;

(b)1Pn=2

1

an1an+1= 1 e

1Pn=2

anan1an+1

= 2:


14/81


2.3 Sries de Termos Positivos

Nesta seo vamos investigar, por meio de critrios especcos, a convergncia de uma srie1

Pn=1 an em que todos os termos an so positivos. Para tal srie, as somas parciais Sn formamuma sequncia montona crescente e sua convergncia est condicionada sua limitao. Umasrie

1Pn=1

an onde cada termo an maior do que zero denominada srie de termos positivos.

Dizemos que a srie1Pn=1

an dominada pela srie1Pn=1

bn quando an bn ; 8n:Nesse caso,1Pn=1

an

a srie dominada e1Pn=1

bn a srie dominante. O primeiro critrio especco para sries de termos

positivos conhecido como Critrio da Integral e relaciona a soma discreta (srie) com a soma

contnua (integral).

Critrio 2.3.1 (Critrio da Integral) Consideremos uma funo f : [1; 1)! R contnua esuponhamos que fseja no negativa e montona no crescente, isto :

(a)f(x) 0 ; 8x 1 e (b)f(x) f(y), sempre que 1 x y:

Nestas condies, e considerando an= f(n), ento a srie1Pn=1

anser convergente se, e somente se,

a integral imprpriaZ11

f(x) dxo for.

Demonstrao Suponhamos que o grco de ftenha o aspecto mostrado nas guras 2.3.

Observando as guras 2.3(a) e 2.3(b), deduzimos que:

a2+ a3+ + anZ 21

f(x) dx +

Z 32

f(x) dx + : : : +

Z nn1

f(x) dx a1+ a2+ + an1;

isto :

0 Sn a1 Rn Sn1;8n; (2.17)


15/81


onde Sn = a1+ a2+ +an a n-sima soma parcial da srie e Rn =Rn1 f(x) dx. Sendo as

sequnciasfSng efRng montonas, segue das relaes (2.17) que a limitao e, portanto, aconvergncia de uma delas implica a limitao e, por conseguinte, a convergncia da outra. Isso

prova que as sequnciasfSngefRngso ambas convergentes ou ambas divergentes.Exemplo 2.3.2

(a) A funo f(x) = 1=x2 atende s condies do Critrio 2.3.1 no intervalo [1; 1). De fato,nesse intervalo a funo claramente contnua e no negativa e como a derivada f0 (x) =2=x3

negativa, para todo x 1; ento f(x) decrescente. A integral imprpriaR11 1=x2 dx convergente (seu valor igual a 1) e, por conseguinte, a srie correspondente

1

Pn=11

n2 converge.

(b) Para x2;a funo f(x) = 1x ln x

tambm atende s condies do Critrio 2.3.1 (veri-

que!) e a integral imprpriaR1

2 (1=x ln x) dx= limB!1[ln(ln x)]x=Bx=2 = 1;sendo divergente, implica

que a srie1Pn=2

1

n ln ntambm diverge.

(c) Consideremos agora a funo f(x) = xex2

, denida para x 1: No difcil vericarque as condies do Critrio 2.3.1 so atendidas tambm neste caso e que a integral imprpria

R11 xex2dxconverge para1=2e:Portanto, a srie1Pn=1 nen2 convergente.

(d) A srie1Pn=2

1

n (ln n)2 convergente, tendo em vista que

Z12

dx

x (ln x)2 = lim

B!1

Z12

dx

x (ln x)2 == lim

B!1

1

t

t=lnBt=ln2

= limB!1

1

ln 2 1

ln B

=

1

ln 2< 1:

2.3.1 Estimativa do Erro

Quando utilizamos o Critrio da Integral, o valor da integral imprpria no necessariamenteigual ao valor da soma da srie, no caso de esta convergir. O critrio d informao sobre a

convergncia sem indicar o valor da soma da srie. A n-sima soma parcialSn = a1+a2+a3+ +anpode ser considerada como aproximao da soma da srie e esta aproximao ser to melhor quanto

maior for o ndicen: claro que ao substituir a soma da srie pela n-sima soma parcial cometemos


16/81


um erro, o qual pode ser estimado pelo valor da integral imprpria. De fato, representando por S

a soma srie, ento

S Sn = an+1+ an+2+ an+3+ : : :

e as relaes Z1n+1

f(x) dx S SnZ1n

f(x) dx (2.18)

so deduzidas por comparao de reas a partir das guras 2.4(a) e 2.4(b).

AdicionandoSn a cada lado de (2.18), obtemos:

Sn+

Z1n+1

f(x) dx S Sn+Z1n

f(x) dx (2.19)

e as desigualdades (2.19) fornecem uma cota inferior e uma cota superior para a somaS, que podemser usadas para aproximar a soma Spor falta ou por excesso. Como ilustrao consideremos a srie

do Exemplo 2.3.2(c). Para aquela srie, temos:

S1 = 1=e ' 0:369S2 = 1=e + 2=e

4 ' 0:369 + 0:037 = 0:406S3 = 1=e + 2=e

4 + 3=e9 ' 0:37 + 0:037 + 0:00038 = 0:4063

e o erro cometido ao substituir a soma da srie1

Pn=1 nen2 pela soma parcial S3 menor do que1=2e9 6:4 105;que o valor da integral imprpriaR13 xex2dx:Uma aproximao por faltapara a soma da srie :

1Xn=1

nen2 S3+

Z14

x expx2 dx 0:4063 + 5:9 108:


17/81


Um clculo computacional nos d a aproximao1Pn=1

nen2 0:4065:

Ainda como ilustrao, vamos encontrar o nmero de termos que devem ser somados de modo

que o erro cometido ao aproximar1

Pn=11=n2 pela soma parcial correspondente seja menor do que

E = 0:1. De acordo com (2.18) o erro E = S Sn no ultrapassa o valorR1n 1=x2 dx e bastaconsiderarn de modo que essa integral seja menor do que 0:1. Isso nos d

1

n < 0:1 e, portanto,

devemos tomarn= 11e aproximar a soma da srie por S11 1:635:

2.3.2 p-sries

Uma classe importante de sries numricas aquela constituda das sries do tipo1Pn=1

1

np,

que levam o nome de p-sries e que so bastante utilizadas como sries de prova nos critrios de

comparao. O termo geral an = 1=np tem limite 1, quando p = 0, e limite1, quando p < 0.Em ambos os casos o Critrio do n-simo Termo estabelece a divergncia da srie. No caso p >0

a convergncia das p-sries ser determinada pelo Critrio da Integral e iniciamos a investigao

recordando algumas integrais imprprias elementares. Se p > 0; a funo f(x) = 1=xp; denida

para x 1;atende s condies do Critrio 2.3.1 (verique!) e temos:

(i) se p = 1, entoZ11

1

xpdx=

Z11

1

xdx= lim

B!1

Z B1

1

xdx= lim

B!1ln B= 1

(ii) se p 6= 1, ento Z11 1xpdx= limB!1 Z B

1 xp

dx= 1

1 p limB!1 B1p 1= 8>: 1, se 0 < p < 1

1p 1 , se p >1:

Assim, a integral imprpriaR1

1 (1=xp) dx converge apenas quando p >1e como consequncia do

critrio da integral deduzimos que a p-srie1Pn=1

1=np converge quando p > 1 e diverge quando

p 1:So convergentes as seguintesp-sries:1Pn=1

1

n5=2,1Pn=1

1

n3=2 e

1Pn=1

1

n2:So p-sries divergentes:

1Pn=1

1

n2=3,1Pn=1

1pn

e1Pn=1

1

n:

2.3.3 Comparao de Sries

Recordemos os seguintes fatos para sries de termos positivos:

(a) a sequncia fSng de somas parciais montona crescente e ser convergente se, e somentese, for limitada;


18/81


(b) se a srie1Pn=1

an dominada pela srie1Pn=1

bn, isto , se an bn; 8n, as respectivas

sequncias de somas parciaisfSngefRngsatisfazem relao Sn Rn ;8n:

Esses fatos, juntamente com o Critrio 1.3.11 estabelecem o seguinte critrio de convergncia,

conhecido como Critrio da Comparao.

Critrio 2.3.3 (Critrio da Comparao Direta) Sejam1Pn=1

an e1Pn=1

bn sries de termos

positivos.

(a) Se a srie1Pn=1

bn converge e an bn ; 8n;ento a srie1Pn=1

an tambm converge.

(b) Se a srie1

Pn=1 bn diverge e an bn ; 8n, ento a srie1

Pn=1 an tambm diverge.Demonstrao As armaes (a) e (b) so equivalentes e provaremos apenas a parte (a). Supon-

hamos ento que an bn;8n;e que a srie1Pn=1

bn seja convergente. SefSngefRng representam

as somas parciais das sries1Pn=1

ane1Pn=1

bn, respectivamente, ento0 Sn Rn;8n;e como fRng uma sequncia limitada, por ser convergente, resulta quefSng ;alm de montona, limitada e,portanto, convergente. Logo, a srie

1Pn=1

an converge.

Observao 2.3.4 Embora os resultados que envolvem uma srie dominada por outra sejam, em

geral, enunciados e demonstrados admitindo-se que este domnio ocorra para todos os termos das

sries, eles continuam vlidos quando uma das sries dominada pela outra a partir de determinada

ordem. Anal, quem estabelece a convergncia de uma srie sua cauda.

Exemplo 2.3.5

(a) Se n 3;ento ln nn

1n

e como a srie harmnica1Pn=1

1

n divergente (veja o Exemplo

2.1.4(b)) segue do Critrio da Comparao que a srie

1

Pn=1 ln nn tambm divergente.(b) As sries

1Pn=1

1

n! e

1Pn=1

1

n2 + 3n 2 so convergentes, j que elas so dominadas, respecti-

vamente, pelas sries convergentes1Pn=1

1

2n1 e

1Pn=1

1

n2.


19/81


(c) Se a srie dominada (a menor) for convergente, ento a srie dominante (a maior) pode

convergir ou divergir. Por exemplo, a srie convergente1Pn=1

1

n2 dominada pela srie divergente

1

Pn=11

n. Se a srie maior for divergente, ento a srie menor poder convergir ou no.

Ao aplicarmos o Critrio da Comparao, a srie de provaX1

n=1bnque desejamos encontrar,

alm de natureza conhecida, deve atender condio an bn ou an bn, conforme o caso, paratodo nmero naturalna partir de um certo ndicen0:Dependendo da expresso que dene o termo

geral an, a desigualdade an bn (ou an bn) pode ser de difcil comprovao, e o critrio dacomparao dado a seguir em geral mais fcil de ser aplicado porque, uma vez escolhida a srie

de provaP

bn;nossas concluses dependem to somente do limite da razo an=bn, comn ! 1.

Critrio 2.3.6 (Critrio da Comparao no Limite) Sejam1

Pn=1 an e1

Pn=1 bn duas sries determos positivos e seja l = lim

n!1(an=bn) :

(a) Se l >0 as sriesP1

n=1 an eP1

n=1 bn so ambas convergentes ou ambas divergentes.

(b) Se l = 0eP1

n=1 bn converge, entoP1

n=1 an tambm converge.

(c) Se l = 1eP1n=1 bn divergente, entoP1n=1 an tambm divergente.Demonstrao A demonstrao consequncia direta do Critrio da Comparao. Observamos

que em (a) e (b) a srie

P1n=1 bn;a partir de um certo momento, passa a dominar a srie

P1n=1 an;

enquanto em (c) a srieP1n=1 bn passa a ser dominada pela srieP1n=1 an. Por exemplo, em (a)xando"= l=2na denio de limite de sequncia, encontramos um ndice n0 tal que

l

2bn an 3l

2bn ; 8n n0:

Quando o termo geral an um quociente, um bom caminho para se chegar a uma srie de

prova1Pn=1

bnadequada ao Critrio da Comparao no Limite se obtm conservando no numerador e

no denominador deanapenas os termos dominantes (termos de maior grau no caso de polinmios).

Por exemplo, para a srie 1Pn=1

6pn5n + 4

temos an = 6pn5n + 4

e conservando os termos dominantes

obtemos 6

pn

5n =

6

5p

n e podemos considerarbn =

1pn

:Como limn!1

anbn

= 6

5 > 0 e

1Pn=1

bn diverge,

ento1Pn=1

an tambm diverge.


20/81


Exemplo 2.3.7 Com o Critrio 2.3.6 deduzimos que as sries1Pn=1

en2

e1Pn=1

sen4 (1=n)so con-

vergentes. Basta compar-las com as p-sries convergentes1Pn=1

1

n2 e

1Pn=1

1

n4e notar que

limn!1

en2

1=n2 = 0 e lim

n!1sen

4

(1=n)1=n4

= 1:

Exemplo 2.3.8 A restrio do Critrio da Comparao s series de termos positivos ca evi-

denciada quando consideramos an = 1=ne bn = (1)n =p

n;de modo que lim an=bn = 0e, como

veremos adiante,1Pn=1

bn convergente e, ainda assim,1Pn=1

andiverge. Observamos que a srie1Pn=1

bn

no de termos positivos.

Para nalizar esta seo, observamos que a propriedade associativa no vlida para qualquer

soma innita. Por exemplo, a srie divergente1

Pn=1 (1)n torna-se convergente quando seus termos

so reagrupados de modo conveniente. De fato:

(1 + 1) + (1 + 1) + +h

(1)n + (1)n+1i

+ = 0:

No caso das sries de termos positivos convergentes, um reagrupamento dos seus termos no altera

a convergncia nem o valor da soma, conforme estabelece o seguinte critrio.

Critrio 2.3.9 (Critrio do Reagrupamento) O valor da soma de uma srie de termos posi-

tivos convergente no alterado por um reagrupamento de seus termos.

Demonstrao Seja 1Pn=1

an uma tal srie com soma Se seja 1Pn=1

bn a srie obtida por reagrupa-

mento. SefSng efRng denotam, respectivamente, as somas parciais de1Pn=1

an e1Pn=1

bn, ento a

sequncia fSng converge paraSe para cada n temosRn S:Ora, a sequncia fRng montona e

limitada porS, logo convergente. Se R seu limite, ento R Se, invertendo os papis, podemos

olhar a srie1Pn=1

an como obtida de1Pn=1

bn por reagrupamento, e uma repetio do argumento

descrito acima implica S R:Com isso conclumos que S= R:

Na seo 2.7 daremos uma verso mais geral do Critrio 2.3.9 sobre o reagrupamento.

2.3.4 Produto de Sries

Dadas duas sries de termos positivos1Pn=1

an e1Pn=1

bn convergentes, ento a srie1Pn=1

anbn


21/81


convergente (veja o Exerccio 2.4G), embora no conheamos o valor de sua soma. J o Produto

de Cauchy dessas sries, que obtido por um arranjo conveniente dos termos anbn; conforme a

seguinte tabela

. . .a1b1 a1b2 a1b3 a1b4

. . . .a2b1 a2b2 a2b3 a2b4

. . . .a3b1 a3b2 a3b3 a3b4

. . . .a4b1 a4b2 a4b3 a4b4

... ... ... ...

d origem a uma nova srie convergente

1Xn=1

cn= a1b1+ a1b2+ a2b1+ a1b3+ a2b2+ a3b1+ ;

cuja soma :1

Xn=1cn =

1Xn=1

an

!1Xn=1

bn

!:

s vezes conveniente indexar as sries a partir de n = 0e, neste caso, o produto de Cauchy se

escreve sob a forma:

1Xn=0

cn = a0b0+ a0b1+ a1b0+ a0b2+ a1b1+ a2b0+

ou, simbolicamente:1

Xn=0cn =

1

Xn=0

n

Xk=0akbnk

!:

Os comentrios acerca do produto de sries apresentados aqui dizem respeito s sries de

termos positivos, embora os resultados sejam vlidos em situaes mais gerais, como veremos no

Teorema 2.7.5 adiante. Outros produtos de Cauchy podem ser arranjados sem que a srie resultante

seja alterada na sua convergncia ou no valor de sua soma. Por exemplo, a tabela


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# # # # a1b1 a1b2 a1b3 a1b4

# # # a2b1 a2b2 a2b3 a2b4 # #

a3b1 a3b2 a3b3 a3b4 #

a4b1 a4b2 a4b3 a4b4 ...

... ...

...

sugere o seguinte produto de Cauchy:

1Xn=1

cn = a1b1+ a1b2+ a2b2+ a2b1+ a1b3+ +a2b3+ a3b3


2.4A Use o Critrio da Comparao ou Comparao no Limite para determinar a natureza das

sries abaixo:

(a)1

Pn=11

n4 + n2 + 1 (b)

1

Pn=11

n3n (c)

1

Pn=1p

n

n2 + 1 (d)

1

Pn=12 + cos n

n2

(e)1Pn=1

arctgn

n (f)

1Pn=1

ln n

n3 (g)

1Pn=1

n + 5

n2n (h)

1Pn=1

ln (1 + 1=2n)

(i)1Pn=1

sen

1=n2

(j)1Pn=1

1

n! (k)

1Pn=1

2n + n2

n3 + 1 (l)

1Pn=1

13p

5n2 + 1

(m)1Pn=2

1p4n3 5n (n)

1Pn=1

pn

n + 4 (o)

1Pn=1

1 + 2n

1 + 3n (p)

1Pn=1

sen(1=n)

(q)1Pn=2

1

(n 1)2 (r)1Pn=1

ln n

n2 (s)

1Pn=1

1

nn (t)

1Pn=1

npn2 + 1

2.4B Em cada caso verique que a funo que estende o n-simo termo da srie satisfaz s

hipteses do Critrio da Integral e em seguida determine a natureza da srie:

(a)1Pn=3

3

n(ln n)2 (b)

1Pn=1

1

(2n + 3)2 (c)

1Pn=2

1

n(n 1) (d)1Pn=1

2n2

n3 + 1

(e)1Pn=1

1

n2 1 (f)1Pn=4

( 1

n 31

n) (g)

1Pn=1

arctgn

n2 + 1 (h)

1Pn=2

2

np

n2 1


23/81


2.4C Determine, caso exista algum, todos os nmeros reais e que tornam as sries1Pn=2

2n + n2

n (ln n)

e1

Pn=2

1

n ln n convergentes.

2.4D Observando a demonstrao do Critrio da Integral, verique a relao:

ln (n + 1)< 1 +1

2+

1

3+ +1

n 100:resposta: n > e100 1 ' 2:688 1043.

2.4E Em cada caso determine o menor nmero de termos que devem ser somados para aproximar

a soma da srie com um erro menor do que E :

(a)1Pn=1

1

n2; E= 0:001 (b)

1Pn=1

1

n3;E= 0:01 (c)

1Pn=2

1

n (ln n)2; E= 0:01:

2.4F Sefang uma sequncia de termos positivos e limn!1

npan =l >0;prove que a srie1Pn=1

an

converge se p >1 e diverge se 0 < p 1:

2.4G Se1Pn=1

ane1Pn=1

bnso sries de termos positivos convergentes, mostre que1Pn=1

anbn tambm

convergente.

2.4H Falso ou Verdadeiro? Justique.

(a) se an > 0;8n;e1Pn=1

an convergente, ento1Pn=1

1

andiverge;

(b) se an > 0;8n;e1Pn=1

an convergente, ento1Pn=1

panan+1 convergente;

(c) se an > 0;8n; e limn!1

pnan = 1, ento a srie

1Pn=1

an diverge;

(d) se an

> 0,8

n;e limn!1

an

= 0, ento a srie1

Pn=1 anpn converge;(e) se

1Pn=1

an e1Pn=1

bn so sries de termos positivos divergentes, ento a srie1Pn=1

(an+ bn)

tambm diverge;

(f) se an > 0;8n;e limn!1

an+1an

= 1, ento a srie1Pn=1

an diverge;


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(g) se 0 < an < 1 e1Pn=1

anconverge, ento1Pn=1

a2n converge;

(h) se 0 < an < 1 e1

Pn=1

an converge, ento1

Pn=1

an1 an converge;

2.4I A srie1Pn=1

1n2 + n

ln nn + 1

convergente ou divergente?

2.4J Mostre que

4

1Pn=1

1

n2 + 1 1

2+

4:

2.5 Sries Alternadas

A sequncia

fSn

gde somas parciais de uma srie de termos positivos

1

Pn=1 an crescente e suaconvergncia decorrente de sua limitao. Esse foi o argumento usado na demonstrao de critrios

de convergncia estudados at aqui, mais especicamente os Critrios da Comparao e da Integral,

os quais so vlidos apenas para sries de termos positivos. A restrio do Critrio da Comparao

s sries de termos positivos torna-se clara quando consideramos a srie1Pn=1

(n)que dominada

pela srie convergente1Pn=1

1

n2 e, ainda assim, no converge. O critrio da comparao no limite

tambm no se aplica se uma das sries no for de termos positivos. Se considerarmos an= 1=ne

bn = (

1)n =

pn, ento lim(an=bn) = 0, a srie

1

Pn=1 bn, como veremos adiante, converge e, contudo,1Pn=1

andiverge. Neste caso, o critrio da comparao no limite no se aplica porque a srie de prova

1Pn=1

bn tem seus termos alternadamente positivos e negativos e, por essa razo, ela recebe o nome

de Srie Alternada ou Srie de Leibniz, em homenagem ao matemtico alemo Gottfried Wilhelm

von Leibniz. As sries alternadas aparecem, por exemplo, no estudo de fenmenos ondulatrios,

cujo modelo matemtico tem por soluo funes u (x; t)representadas por sries trigonomtricas:

u (x; t) =

1Xn=1

ancosntL + bnsenntL sennxL ; (2.20)onde os coecientesane bnque guram na srie (2.20) determinam a posio inicial e a velocidade

inicial, respectivamente, de um ponto da onda. Uma introduo ao estudo das sries de Fourier

(sries trigonomtricas) ser apresentada no Captulo 4.


25/81


As sries alternadas em geral se apresentam em uma das seguintes formas equivalentes:

b1 b2+ b3 + (1)n1 bn+ =1Xn=1

(1)n1 bn (2.21)

ou: b1+ b2 b3+ + (1)n bn+ =

1Xn=1

(1)n bn; (2.22)

onde fbng uma sequncia de termos positivos. Nesse tipo de srie o fator(1)n o responsvel pelamudana no sinal dos termos da srie e as sries dadas por (2.21) e (2.22) so ambas convergentes

ou ambas divergentes. Por essa razo, investigaremos a convergncia apenas de uma delas.

Critrio 2.5.1 (Critrio de Leibniz) Sejafbnguma sequncia de termos positivos, montonadecrescente e tal que lim

n!1

bn = 0. Ento a srie alternada1

Pn=1 (1)n bn convergente e, sefSng

representa sua sequncia de somas parciais, a soma Sda srie atende relao:

S2n1 S S2n; 8n: (2.23)

Demonstrao Na gura 2.5 abaixo mostramos as primeiras somas parciais da srie oscilando

de um lado para o outro em torno do alvo Se a distncia entre duas somas parciais consecutivas

tornando-se cada vez menor, porque lim bn = 0.

Como a seqnciafbngdecresce, temos:

S1= b1S2= b1+ b2S3= S1+ (b2 b3) S1S4= S2+ (b3+ b4) S2S5= S3+ (b4 b5) S3S6= S4+ (b5+ b6) S4

Em geral, o decrescimento da sequnciafbngimplica que b2n b2n+1 0eb2n1+b2n 0;8n;

e sendo assimS2n = (b1+ b2) + (b3+ b4) + + (b2n1+ b2n)

montona decrescente (soma de parcelas negativas) e, reagrupando seus termos, obtemos:

S2n= b1+ (b2 b3) + (b4 b5) + + (b2n2 b2n1) + b2n b1;


26/81


de onde conclumos que fS2ng limitada inferiormente. Assim, fS2ng decrescente e limitada infe-riormente, sendo portanto convergente (veja o Critrio 1.3.11). Um raciocnio inteiramente anlogo

nos permite concluir que a sequnciafS2n1g montona crescente e limitada superiormente e,

portanto, convergente. Comofb2ngconverge para zero, ento:limn!1

S2n1= limn!1

(S2n b2n) = limn!1

S2n

e graas ao Critrio 1.3.14 estabelecemos a convergncia da sequnciafSng e, por conseguinte,da srie. Se S representa o valor da soma da srie, ento as subsequncias fS2ng efS2n1gconvergem para Se da monotonia defS2ng efS2n1g, deduzimos que S = inffS2ng e tambmS= sup fS2n1g. Com isso chegamos a (2.23) e conclumos a demonstrao.

Exemplo 2.5.2 A sequncia bn = 1=n decrescente, tem limite zero e o critrio de Leibniz

assegura a convergncia da srie alternada harmnica1Pn=1

(1)nn

. De modo similar deduzimos que

as sries alternadas1Pn=1

(1)nn5n

e1Pn=1

(1)npn

so convergentes.

Exemplo 2.5.3 Para aplicar o critrio de Leibniz serie alternada1Pn=3

(1)n nn2 5 ; primeiro mostraremos

que a sequncia bn = n

n2 5 tal que: (a) limn!1 bn = 0 e (b) bn bn+1; 8n 3:

Para comprovarmos a condio (a), observamos que limn!1 bn = limn!1 1n 5=n = 0:A condio (b)pode ser vericada observando-se o sinal da derivada primeira da funo extenso. De fato, se

f(x) = x

x2 5 ;ento f0 (x) = x

2 + 5

(x2 5)2 < 0;8x 3; e, portanto, a sequnciafbn = f(n)g se

torna decrescente a partir do seu terceiro termo. Sendo assim, a srie alternada converge.

2.5.1 Estimativa do Erro

Em muitas situaes prticas, mesmo tendo certeza da convergncia da srie alternada, s vezes bastante difcil calcular o valor exato de sua soma e, dependendo do caso, um valor aproximado

da soma da srie pode ser utilizado com sucesso, desde que se estime o erro cometido. Quando a

srie alternadaP1

n=1(1)n bn atende s condies do Critrio de Leibniz, a substituio da somaSda srie pela k-sima soma parcial Sk gera um erro cujo valor absoluto no excede o primeiro


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termo que se despreza, isto ,jS Skj bk+1. Para comprovar esse fato, representemos por Rk oerro

P1n=k+1(1)n bne observemos que:

(1)k+1 Rk =bk+1 bk+2| {z }+ + bk+3 bk+4| {z }+ + 0e, tambm:

(1)k+1 Rk = bk+1+ bk+3 bk+2| {z }

+ bk+5 bk+4| {z }

+ bk+1:

Combinando essas duas desigualdades, deduzimos que 0 (1)k+1 Rk bk+1e, consequentemente,obtemosjRkj bk+1, como queramos. oportuno observar quando a aproximao por falta oupor excesso. Para as sries do tipo

P1n=1(1)n bn a soma parcial S2n uma aproximao da

soma da srie por excesso, enquanto S2n1 uma aproximao da mesma soma, agora por falta,

conforme (2.23). Com as sries do tipoP1n=1(1)n1 bn ocorre o contrrio, e em ambos os casoso erro cometido da mesma ordem.

Exemplo 2.5.4 Ao aproximar a soma da srie1Pn=1

(1)nn5n

porS4 = 15

+1

50 1

375+

1

2500' 0:18,

cometemos um erro da ordemb5' 6:4103 e a aproximao por excesso, isto ,S S4' 0:18.

Exemplo 2.5.5 Vamos calcular o valor aproximado de1Pn=1

(1)n+1n2n

com quatro casas de-cimais

e com erro menor do que E = 5

104: O nmero de termos que devem ser considerados na

aproximao coincide com o primeiro ndice n tal que bn+1 E bn:Um clculo direto nos db7 = 11:1 104 e b8 = 4:8 105, de modo que devemos tomar n = 7 e a aproximao a serconsiderada S' S7. Com auxlio de uma calculadora, obtemos S7 = 0:4057e essa aproximao

por excesso. Usando mtodos computacionais, obtemos1Pn=1

(1)n+1n2n

' 0:40547:


2.6A Aproxime a soma da srie pela soma parcialS4 e estime o erro.

(a)1Pn=1

(1)n+1n3n

(b)1Pn=1

(1)n n(2n)!

(c)1Pn=1

(1)nn2

(d)1Pn=1

(1)n+1n2 + n

2.6B Use a Estimativa do Erro para aproximar a soma da srie com quatro casas decimais e com

erro menor do que E= 5 101. Diga quando a aproximao por falta ou por excesso:


28/81


(a)1Pn=1

(1)n+1pn

; E= 0:5 (b)1Pn=1

(1)nn2

; E= 0:05 (c)1Pn=1

(1)nnn

; E= 0:005

2.6C Verique que as sries abaixo atendem s condies do Critrio de Leibniz e conclua que

elas so convergentes:

(a)1Pn=1

(1)nn2 + 7

(b)1Pn=1

(1)n n2n

(c)1Pn=1

(1)n n2n3 + 2

(d)1Pn=1

(sen 12n sen 12n+1)

2.6D Determine os valores inteiros depque tornam a srie convergente.

(a)1Pn=1

(1)nnp

(b)1Pn=1

(1)nn +p

(c)1Pn=2

(1)n (ln n)pn

2.6E Sejafbng a sequncia denida por: bn = 1=n, se n for mpar, e bn = 1=n2, se n for par.Mostre que a srie

P(1)n bn divergente. Por que o Critrio de Leibiniz no se aplica neste caso?

2.7 Convergncia Absoluta e Condicional

Como vimos no Exemplo 2.5.2, a srie alternada1Pn=1

(1)nn

convergente, enquanto que a srie

obtida desta, considerando cada termo em valor absoluto a srie harmnica1Pn=1

1

ndivergente. O

processo inverso preserva a convergncia, isto , se a srieP1

n=1 janj convergente, ento a srie

P1n=1 an tambm converge. Para comprovar este fato primeiro usamos a relao0an+ janj

2 janj ; 8n;e o Critrio da Comparao para concluir que a srieP1n=1(an+janj) convergente. Emseguida usamos a relaoan = (an+janj)janj ;combinada com a propriedade 2.1.8(a), e conclumos

a convergncia da srieP1

n=1 an:Alm disso, denotando porfSngefRngas sequncias de somas

parciais das sriesP1

n=1 an eP1

n=1 janj ;respectivamente, segue da desigualdade triangular que:

jSnj = ja1+ a2+ ::: + anj ja1j + ja2j + ::: + janj =Rn;

e, portanto, limn!1Sn limn!1Rn:Assim,X1n=1

an

X1n=1

janj :

Esses comentrios motivam as denies de Convergncia Absoluta e Convergncia Condicional

dadas a seguir.


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Denio 2.7.1 A srieP1

n=1 andenomina-se absolutamente convergente quando a srieP1

n=1 janjfor convergente.

Exemplo 2.7.2 As sries1

Pn=1(1)n

n2 ;

1

Pn=1(1)n

2n e

1

Pn=11

n2 + 4convergem absolutamente. A srie

1Pn=1

(1)nn

;embora convergente, no converge absolutamente, conforme observamos no incio desta

seo. A convergncia desta ltima srie de natureza condicional. Mais precisamente temos

denio a seguir.

Denio 2.7.3 A srieP1

n=1 andenomina-se condicionalmente convergente quando for conver-

gente e a srieP1

n=1 janjfor divergente.

A natureza da convergncia (absoluta ou condicional) ir decidir se as somas innitas se comportam

como somas nitas, com respeito ao reagrupamento de seus termos. Em uma soma nita, claro,seus termos podem ser reagrupados (ou rearranjados) sem que o valor da soma seja alterado.

Nesse aspecto uma srie absolutamente convergente se comporta como uma soma nita. Isso

estabelecido pelo seguinte critrio:

Critrio 2.7.4 (Critrio do Reagrupamento) SeP1

n=1 anconverge absolutamente e tem soma

S;ento a srieP1

n=1 bn;obtida deP1

n=1 anpor um reagrupamento de seus termos, absolutamente

convergente e tem soma S:

Demonstrao Para cadak= 1; 2; 3; : : :, temos que:

0 Xk

n=1jbj j

X1n=1

jajj ; 8n= 1; 2; 3;

de onde segue que as somas parciais da srieP1

n=1 jbnj formam uma sequncia montona crescentee limitada, sendo portanto convergente. Assim, a srie

P1n=1 bnconverge absolutamente e resta-nos

provar que ela tem soma S:Denotemos porfSng efRng as somas parciais das sriesP1

n=1 an eP1n=1 bn;respectivamente, e seja " >0 dado. A convergncia absoluta da srie

P1n=1 an garante a

existncia de um ndice ntal que:

jSn Sj < "=2 e jan+1j + jan+2j + + jan+pj < "=2; 8p 1; (2.24)

e se m um ndice sucientemente grande, ento a soma parcial Rm contm todos os termos

aj; 1 j n;e certamente outros, e dessa forma podemos escrever:

Rm= a1+ a2+ + an+ ak1+ ak2+ + aks


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ondek1; k2; : : : ; ks so inteiros maiores do que n. Se n +p0 o maior dos nmeros k1; k2; : : : ; ks;

ento:

jRm Snj jak1 j + jak2 j + + jaks j jan+1j + jan+2j + + jan+p0 j < "=2 (2.25)

e usando (2.24), (2.25) e a desigualdade triangular, obtemos:

jRm Sj jRm Snj + jSn Sj < "=2 + "=2 =":

Quando uma srie converge condicionalmente um reagrupamento de seus termos pode alterar

o valor da soma e at torn-la divergente. Consideremos a serie condicionalmente convergente1Pn=1

(1)n1n

e calculemos sua soma. SeSn an-sima soma parcial dessa srie, vimos no Exemplo

1.5.4 queS2n=R2n Rne no Exemplo 1.3.20 constatamos que lim (Rn ln n) = :Considerandoa subsequncia par obtemos lim [R2n ln(2n)] =e combinando esses resultados, encontramos:

lim S2n = lim [R2n ln(2n)] lim(Rn ln n) + ln2 = ln 2

e comofSngconverge, deduzimos que lim Sn= ln 2:Assim,

1 12

+1

31

4+

1

51

6+ = ln 2: (2.26)

Multiplicando (2.26) por 1=2e inserindo zeros entre os termos da srie resultante, chegamos a:

0 +1

2+ 0 1

4+ 0 +

1

6+ 0 1

8+ 0 +

1

10+ = 12ln 2 (2.27)

e adicionando termo a termo as sries (2.26) e (2.27), obtemos:

1 +1

31

2+

1

5+

1

71

4+ = 32ln 2: (2.28)

Observamos que a srie (2.28) contm os mesmos termos da srie (2.26), porm rearranjados, e, con-

tudo, as somas dessas sries so diferentes. Com relao ao reagrupamento dos termos de uma srie

condicionalmente convergente, temos o seguinte: os termos de uma srie condicionalmente conver-gente

Panpodem ser rearranjados de modo que a srie resultante tenha soma Spr-estabelecida.

A construo que apresentaremos foi idealizada por Riemann e as sequncias a+n e an introduzidas

no Exerccio 2.8C sero utilizadas na comprovao. As sriesP

a+n eP

an so divergentes com

somas +1e1, respectivamente, e consideramos um nmero suciente de termos a+n ;cuja soma


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sejaS. Em seguida adicionamos termos negativos an de modo que a soma resultante sejaSe depois adicionamos termos positivos a+n de modo que a soma volte a ser Se assim por diante.Comoa+n ea

n convergem para zero e a

+n + a

n =an, ento a quantidade na qual a soma parcial Sn

excedeS;ou ca abaixo desse valor, se aproxima de zero. Logo lim Sn = S:

O seguinte resultado sobre o produto de Cauchy para sries absolutamente convergentes ser

apresentado sem demonstrao e o leitor interessado pode consultar [10] :

Teorema 2.7.5 SeP1

n=1 an eP1

n=1 bn so sries absolutamente convergentes, ento:

(a) a srieP1

n=1 anbn absolutamente convergente; e

(b) o produto de CauchyP1n=1 cn das sriesP

1n=1 an eP

1n=1 bn converge absolutamente eX1

n=1cn =

X1n=1

an

X1n=1

bn

:

2.7.1 Critrios da Razo e da Raiz

O critrio de convergncia que daremos a seguir, embora no conclusivo em muitos casos,

constitui-se em um dos mais importantes (seno o mais importante) dentre os critrios de con-

vergncia para sries numricas, no apenas do ponto de vista tcnico como tambm nas aplicaes

s Sries de Potncias que sero abordadas no prximo captulo.

Teorema 2.7.6 (Critrio da Razo) Dada uma srie1Pn=1

an, com an6= 0;8n;seja

L= limn!1

an+1an :

(a) Se L 1 ou L= 1, ento a srie diverge.

Demonstrao Supondo que limn!1 an+1an = L < 1; escolhemos um nmero real r tal que L 1 e consideramos, agora, r tal que 1 < r < L: Novamente

usamos a denio de limite de sequncia com "= L re xamos um ndice n0 a partir do qualse tem:

r L R:

Demonstrao bvio que a srie converge quandox = a: Se ela convergir em algum outrovalor de x, por exemplo em x1, ento pelo Teorema 3.2.1 ela convergir absolutamente seja qual

for o valor atribudo varivel xno intervalojx ajjx2 aj (se no existe umtal x2, ento a condio (b) claramente satisfeita) e, portanto, o conjunto A constitudo dos


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nmeros jx aj, sendox um valor onde a srie converge absolutamente, limitado superiormente4

porjx2 aje o nmeroRprocurado na condio (c) precisamente o supremo do conjuntoA:

Com relao ao raio de convergncia R estabelecido no Teorema 3.2.3(c), nos casos em que

ocorrer a condio (a) diremos que o raio de convergncia R = 0e quando a srie for convergente

em qualquer valor de x diremos que o raio de convergncia da srie R =1:Assim, toda sriede potncias tem um raio de convergncia que pode ser zero, um nmero real positivo ou 1:Umamaneira prtica de calcular o raio de convergncia de uma srie de potncias estabelecida no

teorema apresentado a seguir.

Teorema 3.2.4 Se l = limn!1

cn+1cn

e R o raio de convergncia da srie

1Pn=0

cn(x a)n+ ; >0;ento:

(a)l= 0 ) R= 1 (b)l= 1 ) R= 0 e (c) l 6= 0 ) R= (1=l)1=:

Demonstrao Representando por an o termo geral da srie, ento an = cn(x a)n+ e:

L= limn!1

an+1an lim

cn+1(x a)n++cn(x a)n+= jx aj lim

cn+1cn= jx aj l (3.23)

e, como consequncia de (3.23) e do Critrio da Razo, temos que: se l= 0, ento L= 0e a srie

converge absolutamente em qualquer valor de x e, neste caso, R =1; se l =1; ento a nica

possibilidade de se ter L < 1 quando x = a e, neste caso, R = 0; nalmente, se 0 < l


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CAPTULO 3 SRIES DE POTNCIAS 79

o que indica ser R =1 e a srie converge absolutamente para qualquer valor atribudo a x: Ointervalo de convergncia, neste caso, (1; 1) :

Exemplo 3.2.6 Para a srie1

Pn=0(1)n xn

(2n 1) 32n1

;temos:

l = limn!1

cn+1cn = limn!1 (2n 1) 32n1(2n + 1) 32n+1 =19 limn!1 2n 12n + 1 =19

e, portanto, R = 9: Assim, a srie converge absolutamente sejxj < 9 e diverge sejxj > 9: Para

x= 9obtemos a srie1Pn=0

(1)n 32n 1; condicionalmente convergente e sex = 9a srie

1Pn=0

3

2n 1 ;

divergente. Em resumo, a srie converge no intervalo (9; 9]; sendo a convergncia absoluta em

(

9; 9)e condicional em x= 9:

Exemplo 3.2.7 Consideremos a srie1Pn=0

4nx2n

n2 ;onde temos a= 0; = 2e cn =

4n

n2;de modo

que:

l= limn!1

cn+1cn= limn!1 4n+1(n + 1)2 n

2

4n= 4 lim

n!1n2

(n + 1)2 = 4:

Assim, R = (1=l)1=2 = 1=2 e a srie converge absolutamente quandojxj < 1=2 e diverge quandojxj > 1=2: Nos pontos extremos x =1=2 obtemos a p-srie convergenteP 1=n2. Logo, a srieconverge absolutamente no intervalo [1=2; 1=2]:

3.4 Derivao e Integrao

Como observamos anteriormente, uma srie de potncias1Pn=0

cn(x a)n dene uma funo

real cujo domnio o intervalo de convergncia da srie. A srie derivada1Pn=1

ncn(x a)n1 ;que

obtida por derivao termo a termo, tem o mesmo raio de convergncia da srie original, o que

facilmente comprovado, notando-se que:

limn!1

(n + 1) cn+1ncn = limn!1

cn+1cn ;

quando o ltimo limite existir. O mesmo vlido para a srie integral1Pn=0

cn(x a)n+1n + 1

e, neste


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caso:

limn!1

cn+1n + 2n + 1cn = limn!1

cn+1cn ;

onde, mais uma vez, admitimos a existncia do ltimo limite.

Para vericarmos que a derivao termo a termo possvel para srie de potncias, nos ins-

piramos nas funes polinomiais, para as quais o resultado bvio. Suponhamos que f(x) =P1n=0 cnx

n tenha raio de convergncia R >0 e xemos um ponto x0 no intervalo de convergncia.

A derivada de cada polinmio (soma parcial ) Sk(x) =Pk

n=0 cnxn calculada termo a termo

e a sequncia de derivadas S0k(x) converge para srie derivada S0 (x) =

P1n=1 ncnx

n1, isto ,

lim S0k(x) = S0 (x), em cada x no intervalo de convergncia. Da denio de limite a cada" > 0

dado, existe um nmero natural k0, que ser aumentado se for necessrio, tal que:

S0k(x) S0 (x)< "=2; 8k k0; (3.24)para todo x sucientemente prximo de x0. Para mostrar que f0 (x0) =S0 (x0) ;comeamos recor-

dando a relaoxnxn0 = (x x0)

xn1 + xn2x0+ + xn10, deixada como tarefa no Exerccio

1.6G, e usamos a desigualdade triangular para obtermosfx S0 (x0)

1Xn=0

cn(xn xn0 )

x x0 kX

n=0

cn(xn xn0 )

x x0

++

k

Xn=0

cn(xn

xn0 )

x x0 S0k(x0)+ jS0k(x0) S0 (x0)j :(3.25)

Agora, xemos um nmero no intervalo de convergncia tal quejx0j < R, de modo que:xn xn0x x0 jxjn1 + jxjn2 jx0j + + jx0jn1 nn1;

para x sucientemente prximo de x0, e assim:1

Xn=0cn(x

n xn0 )x x0

k

Xn=0cn(x

n xn0 )x x0

1

Xn=k+1jcnj

xn xn0x x0

1

Xn=k+1n jcnj n1:

Como a srieP1

n=1 n jcnj n1 converge, sua caudaP1

n=k+1 n jcnj n1 tem limite zero e torna-semenor do que "=2, desde que consideremos ksucientemente grande e, portanto:

1Xn=0

cn(xn xn0 )

x x0 kX

n=0

cn(xn xn0 )

x x0

< "=2; (3.26)


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para todok k0 e x sucientemente prximo de x0. Finalmente, da denio de derivada resulta

limx!x0

xn xn0x x0 =nx

n10

e, consequentemente:

limx!x0

kXn=0

cn(xn xn0 )

x x0 =kX

n=0

ncnxn10 =S

0k(x0) : (3.27)

Em (3.25) consideramos k k0 e fazemos x ! x0 para chegarmos a:

limx!x0

fx S0 (x0) "=2 + "=2 =" (3.28)

e sendo " >0 arbitrrio, segue de (3.28) que f0 (x0) =1

Pn=1ncn(x0 a)n1, como queramos. Com

isso formalizamos o seguinte resultado com relao a derivao de srie de potncias:

Teorema 3.3.1 (Derivao Termo a Termo) Se a srie1Pn=0

cn(x a)n tem raio de convergn-

cia R > 0, ento a srie1Pn=1

ncn(x a)n1 ; obtida por derivao termo a termo, tem raio de

convergncia R; a funo f(x) =1Pn=0

cn(x a)n derivvel no intervalo (a R; a + R) e neste

intervalof0 (x) =1Pn=1

ncn(x a)n1 :

Teorema 3.3.1 (Integrao Termo a Termo) Se uma srie de potncias f(x) = 1Pn=0

cn(x a)n

tem raio de convergncia R >0, ento para a R < < < a + R;a srieZ

f(x) dx=1Xn=0

cn

Z

(x a)n dx;

obtida por integrao termo a termo, tambm tem raio de convergncia R:Em particular,Z xa

f(t) dt=1Xn=0

cn(x a)n+1n + 1

, jx aj < R (3.29)

Demonstrao Considerando a funog (x) =1Pn=0

cnn + 1

(x a)n+1, segue do Teorema 3.3.1 que

g0 (x) =f(x) ;8x 2 (a R; a + R) ;e, portanto:Z xa

f(t) dt= g (x) =1Xn=0

cnn + 1

(x a)n+1 :


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Esses teoremas sobre derivao e integrao de sries de potncias justicam plenamente aquelas

operaes feitas na introduo, quando obtivemos o desenvolvimento de algumas funes em sries

de potncias. Naquela ocasio efetuamos, formalmente, a derivao e a integrao termo a termo.

Exemplo 3.3.3 Como veremos adiante, a funosen x representada no intervalo(1; 1)pelasrie:

sen x= x x3

3! +

x5

5! +(1)

n x2n+1

(2n + 1)! + ; 1 < x < 1 (3.30)

e por derivao termo a termo obtemos a seguinte representao em srie de potncias para a funo

cos x:

cos x= 1 x2

2! +

x4

4! x

6

6! + +(1)

n x2n

(2n)! + ; 1 < x < 1 (3.31)

Em smbolos essas sries se escrevem sob a forma:

sen x=1Xn=0

(1)n x2n+1(2n + 1)!

; 1 < x < 1 cos x=1Xn=0

(1)n x2n(2n)!

; 1 < x < 1

Combinando as sries (3.30) e (3.31) e usando alguns artifcios simples encontramos sries que

representam as funes sen2 x, cos2 xe x2 sen x. Por exemplo, a srie de sen2 x obtida usando a

relaosen2 x= 12(1 cos2x)juntamente com a srie (3.31) com 2xno lugar do x. Vejamos esteprocedimento passo-a-passo:

cos x =

1

Xn=0

(

1)n x2n

(2n)! ) cos2x=1

Xn=0

(

1)n (2x)2n

(2n)! =

1

Xn=0

(

1)n 4nx2n

(2n)! )

) cos2x= 1 +1Xn=1

(1)n 4nx2n(2n)!

) sin2 x= 12

(1 cos2x) =1Xn=1

(1)n 4nx2n2 (2n)! :

Exemplo 3.3.4 Usando o procedimento do Exemplo 3.1.9 e as sries (3.30) e (3.31), vamos

encontrar uma srie de potncias para a funo f(x) = tg x, no intervalo =2< x < =2:Temos:

tg x=sen x

cos x =b0+ b1x + b2x

2 + b3x3 + b4x

4 +

e substituindo as sries de sen xe cos x, chegamos a identidade:

x 13!x3 + 15!x5 17!x7 + =

1 12!x2 + 14!x4 16!x6 +

b0+ b1x + b2x2 + : (3.32)

Efetuando o produto do lado direito de (3.32) e agrupando os termos semelhantes, obtemos:

x 13!x3 + 15!x5 17!x7 + =b0 + b1x +12b0+ b2x2 + 12b1+ b3x3 + 14!b0+ 12b2+ b4x4 +


53/81


e igualando os coecientes encontramos b0 = 0; b1 = 1; b2 = 0; b3 = 1=3; b4 = 0; b5 = 2=15, etc.

Assim:

tg x= x + 13x3 + 215x

5 + ; =2< x < =2: (3.33)

Exemplo 3.3.5 Estimando sen xx

; x 6= 0.

A partir da srie (3.30) que representasen x, encontramos sen x

x =

1Pn=0

(1)n x2n(2n + 1)!

; x 6= 0;e usando

as estimativas (2.23) para sries alternadas, obtemos S1 sen xx

S0, isto :

1 x2

6 sen x

x 1; x 6= 0: (3.34)

De (3.34) mais o Critrio do Confronto 1.3.13, chegamos ao seguinte limite fundamental:

limx!0 sen xx = 1

Exemplo 3.3.6 As operaes de derivao e integrao termo a termo podem ser utilizadas para

identicar a funo elementar a partir de sua srie de potncias. Por exemplo, identiquemos a

funo denida pela srie1Pn=0

xn

n + 1no intervalo (0; 1). Para x nesse intervalo, temos:

1Xn=0

xn

n + 1=

1

x

1Xn=0

xn+1

n + 1=

1

x

1Xn=0

Z x0

tndt= 1

x

Z x0

(1Xn=0

tn)dt= 1

x

Z x0

dt

1 t = ln(1 x)

x ;

e, portanto, f(x) =x1 ln(1 x) a funo representada pela srieP1n=0 xnn + 1 no intervalo0< x


54/81


(c) se uma srie de potncias converge em um extremo de seu intervalo de convergncia e

diverge no outro, ento a convergncia naquele extremo condicional;

(d) seR o raio de convergncia de1

Pn=0cnx

n;entop

R o raio de convergncia de1

Pn=0cnx

2n;

(e) se limn!1

npjcnj =L >0;ento a srie 1Pn=0

cn(x a)n tem raio de convergncia 1=L;

(f) se1Pn=0

cn(x a)n tem raio de convergnciaR >0;entoRtambm o raio de convergncia

das sries1Pn=1

ncn(x a)n1 e1Pn=0

cnn + 1

(x a)n+1;

(g) uma srie de potncias1Pn=0

cnxn pode convergir apenas em dois valores de x:

(h) se R > 0 o raio de convergncia da srie1

Pn=0cn(x a)n, ento R tambm o raio de

convergncia da srie1Pn=0

cn(x a)n+p.

(i) se limn!1

n

pjcnj = L > 0; ento as sries

1Pn=0

cn(x a)2n e1Pn=0

cn(x a)2n+1 tm raio deconvergncia 1=

pL;

(j) se1Pn=0

cnxn tem raio de convergncia 2 e

1Pn=0

dnxn tem raio de convergncia 3, ento o raio

de convergncia de1Pn=0

(cn+ dn) xn R = 2:

(k) se a srie

Pcnx

n converge emx= 2;ento ela converge em x= 3;

(i) se a srieP cnxn diverge emx = 2;ento ela diverge em x= 3;3.4B Em cada caso determine o intervalo de convergncia da srie de potncias:

(a)1Pn=1

nn (x 3)n (b)1Pn=0

x2n+1

(4)n (c)1Pn=1

1 3 5 : : : (2n 1)2 4 6 : : : (2n) x

2n+1

(d)1Pn=0

(1)n+1 xn (e)1Pn=0

n (x 1)2n32n1

(f)1Pn=1

1 3 5 : : : (2n 1)2 4 6 : : : (2n) x

n

(g)1Pn=2

(1)n xnn (ln n)

(h)1Pn=1

(x + 5)n1

n2 (i)

1Pn=1

(1)n+1 x2n1(2n 1)!

(j) 1Pn=0

n!xn (k) 1Pn=0

2n

(2n)! x2n (l) 1P

n=0pnx

n

1 3 5 : : : (2n + 1)

(m)1Pn=1

(3 x)n1pn

(n)1Pn=1

(1 x)n(n + 1) 3n

(o)1Pn=1

(5n + 5n) (x + 1)3n2

n2

(p)1Pn=1

xn arctg n (q)1Pn=1

(1)n 2nxn(n + 1)3

(r)1Pn=1

(1)n+1 (x 3)4nn1=n

:


55/81


3.4C Comeando com a frmula 1

1 x =1Pn=0

xn, vlida parajxj 0;por uma srie de potncias de x.

3.4E Use a srie deex dada em (3.8) e calcule o valor da soma1Pn=0

(1)nn!2n

:

3.4F Use uma expanso em srie de potncias dex para 1(1 x)2 e mostre que

1Pn=1

n2n

= 2:

3.4G Encontre uma srie de potncias para representar a funo ex 1

x e, por derivao termo

a termo, prove que1Pn=1

n

(n + 1)!= 1:

3.4H Encontre uma expanso em srie de potncias de x para x2ex e, derivando o resultado,

prove que1

Pn=2(1)n (n + 2) 2n+1

n! = 8:

3.4I Derive duas vzes, termo a termo, uma srie de potncias que representa a funoexpx2

e mostre que1Pn=1

(1)n+1 (2n + 1)n!2n

= 1:

3.4J Dado um nmero inteiro positivo k, considere a k-sima funo de Bessel de 1a espcie

Jk(x), denida por:

Jk(x) =1Xn=0

(1)nn! (n + k)!

x2

2n+k:

(a) mostre que o erro cometido ao aproximarJ0(x) ;0 x 1;pelo polinmio1 x2

4 +x4

64 x6

2304 inferior a 105;

(b) mostre que J00= J1 eRx

0 t3J2(t) dt= x

3J3(x) ;

(c) esboce os grcos das somas parciais S3(x)de J0(x)e deJ1(x) ;no intervalo 0 x 2:


56/81


3.4K Mostre queln x = ln 2 +1Pn=1

(1)n+1 (x 2)nn2n

;0< x 0;mostre que

1Pn=0

Pn = 1:

3.4R Represente as integraisZ x0

ln (1 t)t

dteZ x0

et 1t

dtpor sries de potncias dex, indicando

o intervalo de convergncia de cada uma delas. Em cada caso o integrando em t = 0 denido pelolimite quando t ! 0:

3.4S Use uma srie de potncias adequada e aproxime cada integral com 4 casas decimais:

(a)Z 1=30

dx

1 + x6 (b)

Z 1=20

arctg

x2

dx (c)Z 0:50

ex3

dx (d)Z 10

sen x

x dx:


57/81


3.4T Seja f(x) = 2 + 3x+ 4x2 + =1Pn=2

nxn2, denida parajxj


58/81


funo, usando o fato que limn!1

rn

n! = 0;8r;deduzimos que se 0< < x; ento

limn!1

f(n+1) ()

(n + 1)! (x a)n+1 = lim

n!1e (x a)n+1

(n + 1)! = 0: (3.38)

O resultado principal desta seo, conhecido como Frmula de Taylor com Resto, estabelece uma

condio necessria e suciente para que uma funo innitamente derivvel possa ser aproximada

pelo seu Polinmio de Taylor.

Teorema 3.5.2 (Frmula de Taylor com Resto) Seja f(x)uma funo derivvel at a ordem

n+ 1em um intervalo I contendo a no seu interior. Dado qualquerx nesse intervalo, existe um

nmero entre a e x tal que:

f(x) =Pn(x; a) +

f(n+1) ()

(n + 1)! (x a)n+1

(3.39)

Alm disso, se f infnitamente derivvel a sequnciafPn(x; a)gconverge paraf(x)se, e somentese:

limn!1

f(n+1) ()

(n + 1)! (x a)n+1 = 0 (3.40)

O termo Rn(x; a) = f(n+1) ()

(n + 1)! (x a)n+1 que aparece em (3.39) denominado o resto da apro-

ximao da funo fpelo seu Polinmio de Taylor.

Demonstrao Suponhamos x > ae consideremos a funo G: [a; x] ! Rdenida por:

G (t) =f(x) " nXk=0

f(k) (t)

k! (x t)k + Rn(x) (x t)

n+1

(x a)n+1#

(3.41)

ondeRn(x) =f(x)Pn(x; a) :A funoG (t)assim denida contnua no intervalo fechado [a; x] ;derivvel no intervalo aberto (a; x)e, alm disso:

(a)G (a) =f(x) Pn(x; a) Rn(x) = 0 e (b) G (x) = 0:Pelo Teorema de Rolle existe um nmero entre a e x tal que G0 () = 0e como

G0 (t) =f(n+1) (t)

n! (x t)n (n + 1) Rn(x) (x t)

n

(x a)n+1 ;

ento G0 () = 0 implica Rn(x) = f(n+1) ()

(n + 1)! (x a)n+1 e assim obtemos (3.39). claro que a

relao (3.40) equivalente a convergncia da sequnciafPn(x; a)gpara f(x) :


59/81


Se denotarmos porfSn(x)g a sequncia de somas parciais da srie1Pn=0

f(n) (a)

n! (x a)n e se

existirem constantesM e rtais quef(n+1) ()

Mrn+1, para todo ne todo entre a e x, ento

jRn(x; a)j M rn+1

jx

a

jn+1

(n + 1)! e como consequncia do Critrio do Confronto 1.3.13 e do Exemplo1.3.18, deduzimos que lim Rn(x; a) = 0:Assim, de (3.40) segue que:

limn!1

Sn(x) = limn!1

Pn(x; a) = limn!1

[f(x) Rn(x)] =f(x) limn!1

Rn(x) =f(x)

e, portanto, a srie converge para f(x)em cada x do intervalo de convergncia. Assim,

f(x) =1Pn=0

f(n) (a)

n! (x a)n (3.42)

e em homenagem ao matemtico ingls Brook Taylor (1685-1731), a srie (3.42) denomina-se Srie

de Taylor de f em torno de x = a: No caso em que a = 0; a srie de Taylor correspondente

recebe o nome de Srie de Maclaurinde f, em homenagem ao matemtico escocs Colin Maclaurin

(1698-1746) que a popularizou em suas publicaes.

Exemplo 3.5.3 Se f(x) = ex; temos que f(n) (0) = 1; para todo n e, portanto, a srie de

Maclaurin de ex aquela obtida em (3.9). Ressaltamos que limf(n+1) () xn+1

(n + 1)! = 0;8x:

3.6.1 Aproximao Polinomial

Ao aproximar uma funo f(x)pelo polinmio de Taylor Pn(x; a) ;gerado por ela, devemos

ter em mente dois aspectos: (i) se a aproximao atende s expectativas e (ii) que grau deve ter o

polinmioPn(x; a)para obtermos a preciso desejada. O grau do polinmio determina o nmero

de termos que devem ser considerados na aproximao e o erro estimado usando a relao

jRn(x)

j=

jf(x)

Pn(x; a)

j:

Se a srie for alternada a estimativa de Leibniz para sries alternadas pode ser utilizada para medir

o tamanho do erro. Em qualquer caso podemos usar a Frmula de Taylor (3.39) para obtermos:

jRn(x)j = Mjx ajn+1

(n + 1)! ; onde

f(n+1) (t) M; paratentre a e x:


60/81


Exemplo 3.5.4 Vamos encontrar os valores positivos dex de modo que ao aproximar ln(1 + x)

por x o erro no ultrapasse 1% do valor de x. Por integrao da srie (3.13), obtemos a srie

alternada

ln (1 + x) =x 1

2 x2

+

1

3 x3

+(

1)n

n + 1xn+1

+ vlida parajxj < 1. A estimativa de Leibniz nos djR1j b2 = x2=2 e para que o erro noultrapasse 1% do valor de x devemos considerar x2=2 x=100e, assim, obtemos 0 < x 0:02:Essa estimativa obtida da Frmula de Taylor (3.39) observando que se 0< < x


61/81


(a) se f0 (a) = 0 e f00 < 0no intervalo I, ento f(x) f(a) ; para todo x no intervalo I e,portanto, a funo ftem um mximo local no ponto x= a;

(b) se f0 (a) = 0e f00 > 0no intervalo I, ento f(x) f(a) ; para todo x no intervalo I e,

portanto, a funo ftem um mnimo local no ponto x = a:

Observao 3.5.8 (o polinmio de Taylor a melhor aproximao) Se f(x) uma funo

derivvel at a ordem n;em certo intervalo Icentrado no ponto a, dentre os polinmios de grau

n o polinmio de Taylor Pn(x; a) de fnos d a melhor aproximao para f. De fato, se umpolinmiop (x) =b0+ b1(x a) + b2(x a)2 + + bn(x a)n tal que

p (a) =f(a) e limx!a

f(x) p (x)(x a)n = 0;

ento

limx!a

f(x) p (x)(x a)k

= limx!a

f(x) p (x)(x a)n (x a)

nk= 0; k= 0; 1; 2; 3; : : : ; n ;e admitindo que p(j) (a) =f(j) (a), paraj = 0; 1; 2; : : : ; k 1, obtemos, via Regra de LHpital, que

limx!a

p(k1) (x) f(k1) (x)x a =k! limx!a

p (x) p (a)(x a)k

= 0

e, consequentemente,

k!bk = p(k) (a) = lim

x!ap(k1) (x) p(k1) (a)

x a

= limx!a

"p(k1) (x) f(k1) (x)x a +f

(k1)

(x) f(k1)

(a)x a #= f(k) (a) :

Logo, bk =f(k) (a) =k!; k= 0; 1; 2; : : : ; n ;e p (x) o polinmio de Taylor de f emx= a:

Observao 3.5.9 Uma funof(x) ditaanalticaemx= aquando ela puder ser re-presentada

por sua Srie de Taylor em algum intervalo aberto contendo a. De acordo com o Teorema 3.5.2,

uma funo de classe C1 em uma vizinhana de a a analtica se, e somente se, o resto de sua

aproximao de Taylor tende para zero, com n! 1. Assim, a soma e o produto de funes

analticas so analticas, como tambm so analticas, alm dos polinmios, as demais funeselementares do clculo: ex; ln x; sen x;cos x etc. em seus respectivos domnios. Um fato crucial,

porm no to bvio, que se uma funo f(x) analtica em um intervalo I, onde ela nunca se

anula, ento a funo 1=f tambm analtica em I. Com isso queremos enfatizar que as funes

racionais so analticas em todo intervalo onde o denominador diferente de zero.


62/81


Observao 3.5.10 Se duas sries de potncias1Xn=0

cn(x a)n e1Xn=0

dn(x a)n tm raios de

convergncias positivos e tm a mesma soma no intervalo comum, ento cn = dn;8n: De fato,

se f(x) a funo representada pelas sries no intervalo comum, ento cn =

f(n) (a)

n! = dn:

Conseqentemente, se uma srie de potncias1Xn=0

cn(x a)n convergir no intervalojx aj < R

para uma funo f(x), ento essa a srie de Taylor de fno intervalo de convergncia.


3.6A Represente as seguintes funes em sries de potncias dex:

(a)f(x) =ex2

(b)f(x) =x sen x (c)f(x) = 3x+1 (d)f(x) = ln

1 + x2

(e)f(x) =x2 sen x (f) f(x) = cos2 x (g)f(x) =e4x (h)f(x) = sen2 x

(i)f(x) = senh x (j)f(x) = sen 4x (k)f(x) = cosh x (l)f(x) = cos 3x

3.6B Em estatstica a funoE(x) = 2p

Z x0

et2

dtrecebe o nome de Funo Erro. Encontre a

Srie de Maclaurin da funo E(x) :

3.6C Determine as constantesa0; a1; a2; a3 e a4, de modo que:

3x4 17x3 + 35x2 32x + 17 =a4(x 1)4 + a3(x 1)3 + a2(x 1)2 + a1(x 1) + a0:

3.6D Em cada caso encontre a expanso de Taylor da funofem torno do ponto indicado.

(a)f(x) =p

x ; a= 9 (b)f(x) = tg x ; a = 0 (c)f(x) = cos x ;a= =3

(d)f(x) =ex ; a = 4 (e)f(x) = 3p

x ;a= 1 (f) f(x) = sen x ; a = =6

(g)f(x) = 1

x2;a= 1 (h)f(x) =

1

3x; a = 2 (i)f(x) =

1

2x + 1; a = 3 :

3.6E Qual a Srie de Maclaurin do polinmioP(x) =a0+ a1x + a2x2 + + anxn?

3.6F Encontre uma srie de potncias dex para representar a funof(x) =1 cos x

x e, usando

o resultado, conclua que limx!0

1 cos xx

= 0:


63/81


3.6G Determine uma srie de potncias dex+1para a funof(x) =e2x e uma srie de potncias

de x 1parag (x) = ln x:

3.6H Uma funof : R ! R, innitamente derivvel, tal quef0 (x) = 2xf(x) ; f(x)> 0;8 x;ef(0) = 1:Represente a funo f(x)por uma srie de potncias de x:Idem para uma funo g (x)

com as propriedades: g (0) = 0; g0 (0) = 1e g00 (x) = g (x) ;8x 2 R:

3.6I Preencha a seguinte tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes

funesf(x) =x sen x; g (x) = cos

x2

; h (x) = ln

1 + x2

e p (x) =Rx0 e

t2dt:

f(15) (0) f(28) (0) g(16) (0) h(20) (0) p(17) (0)

3.6J Encontre o valor aproximado dee0:04, com erro menor do que 5 104:

3.6K Considere a funo f : R! Rdenida por: f(x) = exp 1=x2 ; se x6= 0, e f(0) = 0.Usando induo pode-se mostrar, embora no seja to simples, que f(n) (0) = 0; 8n= 0; 1; 2; 3; : : : :A funo fpode ser representada por uma Srie de Maclaurin em uma vizinhana de x= 0? a

funofanaltica em x = 0?

3.6L Suponha que uma funo par tenha representao em srie de potncias1Pn=0

cnxn. Mostre

que os coecientes c2n1= 0;

8n= 1; 2; 3; : : : :E se a funo fosse mpar?

3.6M Para que valores dex podemos substituir sen xpor x, sem que o erro supere 5 104?

3.6N Substituindocos xpor 1 x2=2;jxj


64/81


e conhecida por binmio de Newton, foi generalizada por volta de 1665 por Newton, no caso em

que o expoentek um nmero fracionrio positivo ou negativo, onde ele obteve uma expanso em

srie innita para (x + y)k : Motivados pela frmula binomial de Newton (3.44) procuramos uma

expanso em srie de potncias para a funo f(x) = (1 + x)

, sendo um nmero real qualquer,a qual ser a srie de Maclaurin de f. Para a srie binomial:

1 + x + ( 1) x2

2! + + ( 1) ( n + 1)x

n

n! + ; (3.45)

cujon-simo termo an = ( 1) ( n + 1)xn

n! , temos que:

limn!1

an+1an= limn!1 jxj

nn + 1= jxj

e, portanto, a srie binomial converge absolutamente quandoj

x

j < 1 e diverge quando

jx

j > 1.

Se g (x) a funo representada pela srie (3.45) no intervalo1 < x < 1, podemos escreversimbolicamente

g (x) = 1 +1Xn=1

( 1) ( n + 1)xnn!

e por derivao termo a termo deduzimos que:

g0 (x) = + ( 1) x + +n ( 1) ( n + 1) xn1

n! + :

Assim, g 0 (x) + xg0 (x) =g (x)ou, de forma equivalente:

(1 + x) g0 (x) g (x) = 0: (3.46)

Procedendo como no Exemplo 3.1.1, para mostrarmos que g (x) = (1 + x) derivamos o quociente

g (x)

(1 + x)em relao varivel x e obtemos aps as simplicaes:

d

dx

g (x)

(1 + x)

=

(1 + x) g0 (x) g (x)(1 + x)+1

:

Usando a relao (3.46) conclumos que esta derivada zero em1< x


65/81


Exemplo 3.7.1 Uma maneira de obtermos um valor aproximado dep

1 + x, para um dado valor

de x no intervalo (1; 1), usando a srie binomial. Neste caso temos = 1=2, de modo quep

1 + x= 1 + 12x

18x

2 + 116x3

e, dependendo da situao, podemos considerar apenas os dois ou os trs primeiros termos da srie

para a aproximao. Considerando x= 0:2e aproximando a srie por seus trs primeiros termos,

encontramos:p

1:2 ' 1 + 12(0:2) 18(0:2)2 ' 1:095:


3.8A 3.8AUsando a srie binomial para f(x) = 1

p1 x2 , mostre que:

arcsenx= x +1Xn=1

1 3 5 : : : (2n 1) x2n+1n! (2n + 1) 2n

; jxj


66/81


(a)1Pn=0

(n + 1) (n + 2) xn

2 ; jxj


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(a)ex2

=1Pn=0

(1)n x2nn!

; x 2 R (b)x sen x=1Pn=0

(1)n x2n+2(2n + 1)!

; x 2 R

(c)3x+1 = 31Pn=0

(ln3)n xn

n! ; x 2 R (d)ln 1 + x2= 1P

n=0

(1)n x2n+2n + 1

;jxj


68/81


3.6G e2x =e2(x+1) e2 =e21Pn=0

2n (x + 1)n

n! ; x 2 R.

ln x=Rx1

1

(t 1) + 1 dt=1Pn=0

(1)n (x 1)n+1n + 1

, 0 < x


69/81

4.2 Motivao

As sries de potncias apresentadas no captulo anterior so exemplos de sries em que seus

termos dependem no apenas do ndicen, que uma varivel discreta, mas tambm de uma varivel

contnua real x. Outros tipos de sries cujos termos dependem das variveisne xe que tambm

so utilizadas na resoluo de equaes diferenciais, so as sries trigonomtricas:

a02

+1

Xn=1(ancos nx + bnsen nx) ; (4.2)

onde a0; an e bn no dependem de x (o fator 12 no coeciente a0 utilizado para uniformizar as

expresses para an; n = 0; 1; 2; : : :). Essas sries so denominadas Sries de Fourier, em home-

nagem ao fsico francs Jean-Baptiste Fourier (1768-1830), que em suas investigaes sobre alguns

fenmenos fsicos percebeu a necessidade de expressar uma funo fpor uma srie do tipo (4.2).

As sries de Fourier aparecem no estudo dos modelos fsicos que descrevem pequenas oscilaes

de uma corda elstica e de uma membrana, como tambm no fenmeno de conduo do calor em

uma barra. Alguns resultados bsicos sobre as sries de Fourier so necessrios quando se estudam

os modelos que descrevem tais fenmenos.

O que temos em mente estabelecer alguns resultados sobre sries de Fourier que facilitem a

compreenso do mtodo de separao de variveis, que abordaremos no Captulo 9 onde analizare-

mos um fenmeno ondulatrio e mostramos o surgimento natural das Sries de Fourier. Tendo

em vista o carter elementar deste texto

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