Sequencias e Series

Engenharia Textil

Disciplina: Calculo Diferencial e Integral 3

Sequencias, Series Numericas e Series de Potencias

Professor

Marcio Hiran Simoes

UTFPR - Apucarana

2 semestre de 2011

Captulo 1

Series Infinitas

Um processo infinito que intrigou os matematicos por seculos foi a soma de series infinitas.

Algumas vezes uma soma infinita de termos resultava em um numero, como em

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . . = 1

(Voce pode verificar isso pela adicao das areas indicadas no quadrado unitario infinitamente

dividido ao meioabaixo.) Entretanto, algumas vezes a soma infinita era infinita, como em

1

1+

1

2+

1

3+

1

4+

1

5+ . . . = +

(embora isso esteja longe de ser obvio), e algumas vezes era impossvel definir a soma infinita,

como em

1 1 + 1 1 + 1 1 + . . .

(E 0? E 1? Nao e nenhum dos dois?)

Apesar disso, matematicos como Gauss e Euler usaram com sucesso series infinitas para

obter resultados anteriormente inalcancaveis. Laplace usou series infinitas para provar a esta-

bilidade do sistema solar. Passaram-se muito anos ate que analistas cuidadosos como Cauchy

desenvolvessem o fundamento teorico para calculos de series, mandando muitos matematicos

(inclusive Laplace) de volta para a escrivaninha para verificar seus resultados.

Series infinitas formam a base para uma tecnica notavel que nos permite expressar muitas

funcoes como polinomios infinitose, ao mesmo tempo, calcular o erro quando truncamos esses

polinomios para torna-los finitos. Alem de produzir aproximacoes polinomiais eficazes de funcoes

diferenciaveis, esses polinomios infinitos (chamados series de potencias) tem muitas outras utili-

dades. As series infinitas fornecem uma maneira eficiente para avaliar integrais nao elementares

1

e resolvem equacoes diferenciais que nos permitem compreender o fluxo de calor, a vibracao, a

difusao qumica e a transmissao de sinais.

1.1 Limites de sequencias de numeros

Informalmente, uma sequencia e uma lista ordenada de coisas, mas aqui as coisas serao ge-

ralmente numeros. Sequencias de numeros sao frequentes em Matematica. Por exemplo, os

numeros

2, 4, 6, 8, 10

formam uma sequencia denominada finita pois ha um ultimo numero. Se o conjunto de numeros

que formam uma sequencia nao tiver um ultimo numero, a sequencia e denominada infinita.

Por exemplo, a sequencia1

3,

2

5,

3

7,

4

9, . . . (1.1)

e infinita pois os tres pontos sem nenhum numero em seguida indicam que nao ha um ultimo

numero. Estamos interessado aqui em sequencias infinitas e quando usamos a palavra sequenciadevemos

entender que se trata de uma sequencia infinita.

Definicao 1.1 - Sequencia e uma funcao cujo domnio e o conjunto

{1, 2, 3, . . . , n, . . .}

de todos os numeros inteiros positivos.

Os numeros na imagem de uma sequencia sao chamados de elementos da sequencia.

Se o n-esimo elemento for dado por f(n), entao a sequencia sera o conjunto de pares orde-

nados da forma (n, f(n)), onde n e um inteiro positivo.

Ilustracao 1.1 - Se f(n) =n

2n+ 1, entao

f(1) =1

3f(2) =

2

5f(3) =

3

7f(4) =

4

9

e assim por diante. A imagem de f consiste nos elementos da sequencia (1.1). Alguns dos

pares ordenados da sequencia f sao (1, 13), (2,25), (3,

37 , (4,

49) e (5,

511). Um esboco do grafico

da sequencia esta na Figura 1.1. Geralmente o n-esimo termo da sequencia e dado quando os

elementos aparecem em ordem. Assim, os elementos da sequencia (1.1) podem ser escritos como

1

3,

2

5,

3

7,

4

9, . . . ,

n

2n+ 1, . . .

2

Figura 1.1:

Como o domnio de toda sequencia e o mesmo, a notacao {f(n)} pode ser usada para denotara sequencia. Assim sendo, (1.1) pode ser denotada por { n2n+1}. A notacao {an} e tambem usadapara denotar a sequencia para a qual f(n) = an.

Dizemos que a sequencia

a1, a2, a3, . . . , an, . . .

e igual a` sequencia

b1, b2, b3, . . . , bn, . . .

se, e somente se, ai = bi para todo i inteiro positivo. Lembre-se que uma sequencia consiste

em uma ordenacao de elementos. Dessa forma, e possvel duas sequencias terem os mesmos

elementos e nao serem iguais. Por exemplo,

Ilustracao 1.2 - A sequencia {1/n} tem como elementos os recprocos dos numeros inteirospositivos.

1,1

2,1

3,1

4, . . . ,

1

n, . . . (1.2)

A sequencia para a qual

f(n) =

1 se n for mpar

2

n+ 2se n for par

tem como elementos

1,1

2, 1,

1

3, 1,

1

4, . . . (1.3)

Os elementos das sequencias (1.2) e (1.3) sao os mesmos, contudo, as sequencias sao diferentes.

Esbocos dos graficos das sequencia (1.2) e (1.3) sao dados nas Figuras (1.2) e (1.3), respectiva-

mente.

Vamos colocar agora, num eixo horizontal, os ponto correspondentes aos sucessivos elementos

de uma sequencia. Isso foi feito na Fig. 1.4 para a sequencia (1.1) que e

{n

2n+ 1

}. Observe

3

Figura 1.2:

Figura 1.3:

que os sucessivos elementos da sequencia estao cada vez mais proximos de 12 , muito embora

nenhum elemento da sequencia assuma o valor 12 . Intuitivamente, vemos que e possvel obter

um elemento da sequencia tao proximo de 12 quanto desejarmos, bastando para isso tomar o

numero de elementos suficientemente grande. Ou, expressando-se de outra forma,

n2n+ 1 12

pode-se tornar menor que qualquer numero positivo , contanto que n seja suficientemente

grande. Por isso, dizemos que o limite da sequencia

{n

2n+ 1

}e 12 .

Figura 1.4:

Em geral, se existe um numero L tal que |an L| seja arbitrariamente pequeno para nsuficientemente grande, dizemos que a sequencia {an} tem o limite L. Segue a definicao precisade limite.

Definicao 1.2 - A sequencia {an} tem o limite L se para qualquer > 0 existir um numeroN > 0, tal que se n for inteiro e se n > N , entao

|an L| <

4

e escrevemos

limn+ an = L

Exemplo 1.1 - Use a Definicao (1.2) para provar que a sequencia

{n

2n+ 1

}tem limite 12 .

Solucao:

Ilustracao 1.3 - Considere a sequencia

{(1)n+1

n

}. Note que o n-esimo elemento dessa

sequencia e(1)n+1

n, e (1)n+1 e igual a +1 quando n for mpar e igual a 1 quando n for par.

Assim sendo, podemos escrever os elementos da sequencia da seguinte forma:

1,12,1

3,1

4,1

5, . . . ,

(1)n+1n

, . . .

Na Figura 1.5 foram colocados os pontos correspondentes a sucessivos elementos dessa

sequencia. Na figura, a1 = 1, a2 = 12 , a3 = 13 , a4 = 14 , a5 = 15 , a6 = 16 , a7 = 17 , a8 =18 , a9 = 19 , a10 = 110 . O limite dessa sequencia e 0, e os elementos oscilam en torno de 0.

Compare a definicao de limite de sequencias com a definicao de limite de funcoes com x

tendendo ao infinito. As duas definicoes sao quase identicas; contudo, quando estabelecemos

que limx+ f(x) = L, a funcao f e definida para todos os numeros reais maiores do que um

certo real r, enquanto que quando consideramos limn+ an, n esta restrito aos numeros inteiros

positivos. Porem, o Teorema abaixo estabelece uma relacao bastante clara entre os dois limites.

5

Figura 1.5:

Teorema 1.1 - Se limx+ f(x) = L e f estiver definida para todo inteiro positivo, entao tambem

limn+ f(n) = L quando n for um inteiro positivo qualquer.

Figura 1.6:

Ilustracao 1.4 - Vamos verificar o teorema anterior para a sequencia do Exemplo 1.1, para a

qual f(n) =n

2n+ 1. Assim, f(x) =

x

2x+ 1e

limx+

x

2x+ 1= lim

x+1

2 + 1x=

1

2

Segue, entao, do Teorema 1.1, que limn+ f(n) =

1

2quando n for qualquer inteiro positivo. Isso

esta de acordo com a solucao dada no Exemplo 1.1.

Definicao 1.3 - Se a sequencia {an} tiver um limite, dizemos que ela e convergente, e anconverge para o limite. Se a sequencia nao for convergente, ela sera divergente.

Exemplo 1.2 - Determine se a sequencia

{4n2

2n2 + 1

}e convergente ou divergente.

Solucao:

6

Exemplo 1.3 - Prove que se |r| < 1, entao a sequencia {rn} sera convergente e rn convergirapara zero.

Solucao:

Exemplo 1.4 - Determine se a sequencia {(1)n + 1} e convergente ou divergente.Solucao:

7

Exemplo 1.5 - Determine se a sequencia{n sen

pi

n

}e convergente ou divergente.

Solucao:

Existem teoremas de limites para sequencias, analogos aos que foram dados para funcoes.

No enunciado desses teoremas e usada a terminologia de sequencias.

Teorema 1.2 - Se {an} e {bn} forem sequencias convergentes e c for uma constante, entao

(i) a sequencia constante {c} tem c como seu limite;

(ii) limn+ can = c limn+ an;

(iii) limn+(an bn) = limn+ an limn+ bn;

(iv) limn+ anbn =

(lim

n+ an)(

limn+ bn

);

(v) limn+

anbn

=lim

n+ an

limn+ bn

, se limn+ bn 6= 0 e todo bn 6= 0.

Exemplo 1.6 - Use o teorema anterior para provar que a sequencia

{n2

2n+ 1sen

pi

n

}e conver-

gente e ache o seu limite.

Solucao:

8

1.1.1 Lista de exerccios

Exerccio 1.1 - Nos exerccios de 1 a 12, escreva os quatro primeiros elementos da sequencia e

determine se ela e convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.

1.

{n+ 1

2n 1}

2.

{2n2 + 1

3n2 n}

3.

{n2 + 1

n

}

4.

{3n3 + 1

2n2 + n

}5.

{3 2n2n2 1

}6.

{e2

n

}

7.

{lnn

n2

}8.

{n

n+ 1sen

npi

2

}9.

{1

n2 + 1 n

}

10.{

n+ 1n} 11. {cosnpi} 12. {(1 + 13n

)n}(

Sugestao: use limx0

(1 + x)1/x = e)

Exerccio 1.2 - Mostre que as sequencias

{n2

n 3}

e

{n2

n+ 4

}divergem, porem, a sequencia{

n2

n 3}{

n2

n+ 4

}e convergente.

Exerccio 1.3 - Prove que se a sequencia {an} for convergente e limn+ an = L, entao a

sequencia {a2n} tambem sera convergente e limn+ a2n = L

2.

1.2 Sequencias Monotonas e Limitadas

Certos tipos de sequencias recebem nomes especiais.

Definicao 1.4 - Dizemos que uma sequencia {an} e

(i) crescente, se an an+1 para todo n;

(ii) decrescente, se an an+1 para todo n.

Chamamos de monotona uma sequencia que seja crescente ou decrescente.

No caso de an < an+1, a sequencia e dita estritamente crescente; se an > an+1, a

sequencia e estritamente decrescente.

9

Exemplo 1.7 - Determine se as seguintes sequencias sao crescentes, decrescentes ou nao-

monotonas:

(a)

{n

2n+ 1

}(b)

{1

n

}(c)

{(1)n+1

n

}Solucao:

Definicao 1.5 - Uma sequencia {an} e limitada superiormente se existir um numero M talque

an M, para todo n.

E e limitada inferiormente se existir um numero m tal que

an m, para todo n.

Se ela for limitada superiormente e inferiormente, entao {an} e uma sequencia limitada.

Exemplo 1.8 -

(a) A sequencia 1, 2, 3, . . . , n, . . . nao e limitada superiormente, mas e limitada inferiormente por

m = 1.

(b) A sequencia 12 ,23 ,

34 , . . . ,

nn+1 , . . . e limitada superiormente por M = 1 e inferiormente por

m = 12 .

10

(c) A sequencia 1, 2,3, 4, . . . , (1)nn, . . . nao e limitada nem superiormente e nem inferior-mente.

Observe que nem toda sequencia limitada e convergente pois, por exemplo, a sequencia

{(1)n} e limitada (1 an 1), mas e divergente. Alem disso, nem toda sequencia monotonaconverge, pois a sequencia 1, 2, 3, . . . , n, . . . dos numeros naturais e monotona, mas diverge. Se,

entretanto, uma sequencia e tanto limitada quanto monotona, entao ela deve convergir. Isto e

o que diz o seguinte teorema.

Teorema 1.3 - Toda sequencia monotona e limitada e convergente.

Exemplo 1.9 - A sequencia

{n

n+ 1

}e convergente pois ela e crescente e limitada inferiormente

por m = 0 e superiormente por M = 1.

Solucao:

Exemplo 1.10 - A sequencia

{2n

n!

}e convergente.

Solucao:

11

Exemplo 1.11 - Investigue a sequencia {an} definida pela relacao de recorrencia,

a1 = 2, an+1 =1

2(an + 6) para n = 1, 2, 3, 4, . . .

Solucao:

12

1.2.1 Lista de Exerccios

Exerccio 1.4 - Nos exerccios de 1 a 10, determine se a sequencia dada e crescente, decrescente

ou nao-monotona.

1.

{3n 14n+ 5

}2.

{2n 14n 1

}3.

{1 2n2n2

}

4.

{n3 1n

}5.

{2n

1 + 2n

}6.

{5n

1 + 52n

}

7.{ n

2n

}8. { sen (npi)} 9.

{cos(npi

3

)}

10.{n2 + (1)nn}

Exerccio 1.5 - Determine se a sequencia dada e limitada.

(a)

{n3 + 3

n+ 1

}(b) {3 (1)n1}

Exerccio 1.6 - Calcule o limite da sequencia{2,

2,

2, . . .

}

1.3 Series Infinitas

Uma parte importante do estudo do Calculo envolve a representacao de funcoes como somas

infinitas. Isso requer que a operacao usual de adicao em conjuntos finitos de numeros seja esten-

dida para conjuntos infinitos. Para tanto, usamos um processo de limite atraves de sequencias.

Associemos a` sequencia

u1, u2, . . . , un, . . .

uma soma infinitadenotada por

u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . .

Mas, qual e o significado de tal expressao? Isto e, o que queremos denotar com a somade

um numero infinito de termos e em quais circunstancias essa soma existe? Para termos uma

ideia intuitiva do conceito dessa soma, consideremos um pedaco de fio com 2 m de comprimento

e suponhamos que ele seja cortado ao meio. Uma das partes e deixada de lado, enquanto que

13

a outra e novamente dividida ao meio. Um dos pedacos com 1/2 m de comprimento e posto

de lado, enquanto que o outro e cortado ao meio, e entao obtemos dois pedacos com 1/4 m

de comprimento cada um. Tomando apenas um deles e dividindo-o ao meio, obtemos dois

pedacos com 1/8 m de comprimento. Novamente, cortamos um dos pedacos ao meio. Se esse

processo continuar indefinidamente, o numero de metros na soma dos comprimentos dos pedacos

separados pode ser considerado como a soma infinita

1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .+

1

2n1+ . . . (1.4)

Figura 1.7:

Como comecamos com um fio com 2 m de comprimento, nossa intuicao indica que a soma

infinita (1.4) deve ser 2. Mais adiante demonstraremos que realmente e o que ocorre. No entanto,

precisamos primeiro de algumas definicoes preliminares.

Da sequencia

u1, u2, u2, . . . , un, . . .

vamos formar uma nova sequencia {sn} adicionando os sucessivos elementos de {un}:s1 = u1

s2 = u1 + u2

s3 = u1 + u2 + u3

s4 = u1 + u2 + u3 + u4...

sn = u1 + u2 + u3 + u4 + . . .+ un

A sequencia {sn} obtida dessa maneira e chamada de serie infinita.

Definicao 1.6 - Se {un} for uma sequencia e

sn = u2 + u2 + u3 + . . .+ un

entao a sequencia {sn} sera chamada de serie infinita, a qual e denotada por+n=1

un = u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . .

14

Os numeros u1, u2, u3, . . . , un, . . . sao chamados de termos da serie infinita. Os numeros

s1, s2, s3, . . . , sn, . . . sao chamados de somas parciais da serie infinita.

Ilustracao 1.5 - Considere a sequencia {un}, onde un = 12n1

:

1,1

2,1

4,1

8,

1

16, . . . ,

1

2n1, . . .

A partir dela vamos formar uma sequencia de somas parciais:

s1 = 1 s1 = 1

s2 = 1 +12 s2 = 32

s3 = 1 +12 +

14 s3 = 74

s4 = 1 +12 +

14 +

18 s4 = 158

s5 = 1 +12 +

14 +

18 +

116 s5 = 3116

...

sn = 1 +12 +

14 +

18 +

116 + . . .+

12n1

Essa sequencia de somas parciais {sn} e a serie infinita denotado por+n=1

1

2n1= 1 +

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .+

1

2n1. . .

Observe que essa e a soma infinita 1.4 obtida no comeco desta secao, na discussao sobre o

corte de um fio de 2 m de comprimento. Ela e exemplo de uma serie geometrica a ser estudada

posteriormente.

Quando {sn} e uma sequencia de somas parciais,

sn1 = u1 + u2 + u3 + . . .+ un1.

Assim,

sn = sn1 + un.

Usaremos essas formula no exemplo a seguir.

Exemplo 1.12 - Dada a serie infinita

+n=1

un =

+n=1

1

n(n+ 1).

(a) Determine os quatro primeiros elementos da sequencia de somas parciais {sn}.(b) Determine a formula para sn em termos de n.

15

Solucao:

O metodo de resolucao do exemplo acima aplica-se somente a casos particulares. Em geral,

nao e possvel obter tal expressao para sn.

Definicao 1.7 - Seja+n=1

un uma dada serie infinita, e seja {sn} a sequencia das somas parciaisque definem a serie. Entao, se lim

n+ sn existir e for igual a S, dizemos que a serie dada sera

convergente, sendo S a soma da serie infinita dada. Se limn+ sn nao existir, a serie sera

divergente e nao tera soma.

Essencialmente a definicao acima estabelece que uma serie infinita sera convergente se e

somente se a sequencia de somas parciais correspondentes for convergente.

Se uma serie infinita tiver uma soma S, dizemos tambem que a serie converge para S.

Ilustracao 1.6 - A serie infinita da Ilustracao 1.5 e

+n=1

1

2n1= 1 +

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .+

1

2n1. . . (1.5)

e a sequencia das somas parciais e {sn} onde

sn = 1 +1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ . . .+

1

2n1(1.6)

16

Para determinar se a serie infinita 1.5 tem uma soma, precisamos calcular limn+ sn. Em primeiro

lugar, encontremos uma formula para sn. Da Algebra, temos que

an bn = (a b)(an1 + an2b+ an3b2 + . . .+ abn2 + bn1)

Aplicando essa formula com a = 1 e b = 12 obtemos

1 12n

=

(1 1

2

)(1 +

1

2+

1

22+

1

23+ . . .+

1

2n1

)ou seja,

1 +1

2+

1

4+

1

8+ . . .+

1

2n1=

1 12n12

Comparando essa equacao com (1.6), temos

sn = 2

(1 1

2n

)

Como limn+

1

2n= 0 obtemos

limn+ sn = 2

Assim sendo, a serie infinita (1.5) tem por soma 2.

Exemplo 1.13 - Determine se a serie infinita do Exemplo 1.12 e convergente.

Solucao:

17

Exemplo 1.14 - Determine a serie infinita que tem a seguinte sequencia de somas parciais:

sn =

{1

2n

}.

Tambem determine se a serie infinita e convergente ou divergente; se for convergente obtenha a

soma.

Solucao:

Como ja mencionamos acima, na maioria dos casos nao e possvel obtermos uma expressao

para sn em termos de n; sendo assim, precisamos de outros meios para determinar se uma dada

serie infinita tem uma soma, isto e, se uma dada serie e convergente ou divergente.

Teorema 1.4 - Se a serie infinita

+n=1

un for convergente, entao limn+un = 0.

Demonstracao:

18

O Teorema 1.4 fornece um teste simples para a divergencia, pois se limn+un 6= 0, entao

podemos concluir que+n=1

un e divergente.

Exemplo 1.15 - Prove que as duas series seguintes sao divergente:

(a)+n=1

n2 + 1

n2

(b)+n=1

(1)n+13Solucao:

O inverso do Teorema 1.4 e falso. Isto e, se limn+un = 0, entao nao e necessariamente

verdadeiro que a serie seja convergente. Em outras palavras, e possvel ter uma serie divergente

para a qual limn+un = 0. Um exemplo disso e a chamada serie harmonica, que e dada por

+n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ . . . (1.7)

Obviamente, limn+

1

n= 0. Mas provaremos a seguir que a serie harmonica diverge.

Exemplo 1.16 - Mostre que a serie harmonica

+n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ . . .

e divergente.

Solucao: Observe que

19

s1 = 1

s2 = 1 +1

2

s4 = 1 +1

2+

(1

3+

1

4

)

> 1 +1

2+

(1

4+

1

4

)= 1 +

2

2

s8 = 1 +1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+

1

6+

1

7+

1

8

)

> 1 +1

2+

(1

4+

1

4

)+

(1

8+

1

8+

1

8+

1

8

)

= 1 +1

2+

1

2+

1

2= 1 +

3

2

s16 = 1 +1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+ . . .+

1

8

)+

(1

9+ . . .+

1

16

)

> 1 +1

2+

(1

4+

1

4

)+

(1

8+ . . .+

1

8

)+

(1

16+ . . .+

1

16

)

= 1 +1

2+

1

2+

1

2+

1

2+ = 1 +

4

2

Similarmente, s32 > 1 +5

2, s64 > 1

6

2, e em geral,

s2n > 1 +n

2.

Isto mostra que s2n quando n e assim {sn} e divergente. Portanto a serieharmonica diverge.

Uma serie geometrica e da forma

+n=1

arn1 = a+ ar + ar2 + . . .+ arn1 + . . .

A serie infinita (1.5), discutida nas Ilustracoes 1.6 e 1.7, e uma serie geometrica com a = 1

e r =1

2. A soma parcial da serie geometrica acima e dada por

sn = a(1 + r + r2 + . . .+ rn1) (1.8)

20

Da identidade

1 rn = (1 r)(1 + r + r2 + . . .+ rn1)

podemos escrever (1.8) como

sna(1 rn)

1 r , se r 6= 1 (1.9)

Teorema 1.5 - A serie geometrica converge para a somaa

1 r se |r| < 1 e a serie geometricadiverge se |r| 1.Demonstracao: Sabemos que lim

n+ rn = 0 se |r| < 1. Logo de (1.9), podemos concluir que se

|r| < 1,lim

n+ sn =a

1 rAssim sendo, se r1, a serie geometrica converge e sua soma e a1r .

Se r = 1, sn = na. Entao, limn+ sn = +, se a > 0 e limn+ sn = , se a < 0.

Se r = 1, entao a serie geometrica torna-se

a a+ a a+ . . .+ (1)n1a+ . . .

Assim, sn = 0, se n for par e sn = a, se n for mpar. Logo, limn+ sn nao existe. Entao, a serie

geometrica diverge se |r| = 1.Se |r| > 1, lim

n+ arn1 = a lim

n+ rn1 6= 0 pois |rn1| pode se tornar tao grande quanto

desejarmos, tomando n suficientemente grande. Logo, pelo Teorema 1.4, a serie e divergente.

Isso completa a demonstracao. 2

O teorema acima pode ser usado para expressar uma dzima periodica como uma fracao

comum. Veja no exemplo seguinte.

Exemplo 1.17 - Expresse a dzima periodica 0, 3333 . . . como uma fracao comum.

Solucao:

21


Exerccio 1.7 - Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequencia de so-

mas parciais {sn}, e obtenha uma formula pra sn em termos de n. Determine tambem se a serieinfinita e convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.

(a)+n=1

1

(2n 1)(2n+ 1) (b)+n=1

5

(3n+ 1)(3n 2) (c)+n=1

lnn

n+ 1(d)

+n=1

2

5n1

Exerccio 1.8 -Nos itens abaixo, encontre a serie infinita que produz a sequencia de somas par-

ciais dada. Determine tambem se a serie infinita e convergente ou divergente; se for convergente,

encontre a sua soma.

(a) {sn} ={

2n

3n+ 1

}(b) {sn} =

{1

3n

}(c) {sn} = {ln(2n+ 1)}

Exerccio 1.9 - Nos itens abaixo, escreva os quatro primeiros termos da serie infinita dada e

determine se ela e convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.

(a)

+n=1

2n+ 1

3n+ 2(b)

+n=1

(2

3

)n(c)

+n=1

ln1

n

(d)

+n=1

(1)n+1 32n

(e)

+n=1

cos(pin) (f)

+n=1

en

Exerccio 1.10 - Nos itens abaixo, expresse a dzima periodica decimal como uma fracao or-

dinaria.

(a) 0, 272727 . . . (b) 2, 0454545 . . . (c) 1, 234234234 . . . (d) 0, 465346534653 . . .

22

Exerccio 1.11 - A trajetoria de cada oscilacao de um pendulo e 0,93 do comprimento da

trajetoria da oscilacao anterior (de um lado ate o outro). Se a trajetoria da primeira oscilacao

mede 56 cm de comprimento e se a resistencia do ar leva o pendulo ao repouso, quanto mede o

caminho percorrido pelo pendulo ate que ele pare?

Exerccio 1.12 - Qual a distancia total percorrida por uma bola de tenis ate o repouso, se ela

cai de uma altura de 100 m e se apos cada queda ela rebate no chao e volta a uma distancia de

11/20 da altura anterior?

Exerccio 1.13 - Apos tirar os pes dos pedais, a roda da frente de uma bicicleta gira 200 vezes

durante os 10 primeiros segundos e em cada um dos 10 segundos seguintes ela gira 4/5 do que

girou no perodo anterior. Determine o numero de voltas da roda ate que a bicicleta pare.

1.4 Quatro Teoremas sobre Series Infinitas

O primeiro teorema dessa secao estabelece que o carater convergente ou divergente de uma serie

infinita nao e afetado quando se muda um numero finito de termos.

Teorema 1.6 - Se+n=1

an e+n=1

bn sao duas series infinitas que diferem somente pelo seus m

primeiros termos (isto e, ak = bk, se k > m), entao ambas convergem ou ambas divergem.

Exemplo 1.18 - Determine se a serie infinita+n=1

1

n+ 4e convergente ou divergente.

Solucao:

23

Exemplo 1.19 - Determine se a seguinte serie e convergente ou divergente:

+n=1

[cos(3pin

)+ 2]

3n

(Aqui o smbolo [.] esta representando a funcao maior inteiro.)

Solucao:

Como consequencia do Teorema 1.6, para uma dada serie infinita, podemos adicionar ou

subtrair um numero finito de termos, sem afetar seu carater convergente ou divergente. Por

exemplo, no Exemplo 1.18, a serie dada pode ser considerada como a serie harmonica da qual

foram subtrados os quatro primeiros termos. Como a serie harmonica e divergente, a serie dada

tambem sera divergente. No Exemplo 1.19 poderamos considerar a serie geometrica convergente

2

36+

2

37+

2

36+ . . . (1.10)

e obter a serie dada somando cinco termos. Como uma converge a outra tambem e convergente.

O teorema seguinte estabelece que se uma serie infinita for multiplicada termo a termo por

uma constante nao-nula, seu carater convergente ou divergente nao sera afetado.

Teorema 1.7 - Seja k uma constante nao-nula.

(i) Se a serie+n=1

un for convergente e sua soma for S, entao a serie+n=1

kun tambem sera

convergente e sua soma sera kS.

(ii) Se a serie

+n=1

un for divergente, entao a serie

+n=1

kun tambem sera divergente.

Exemplo 1.20 - Determine se a serie+n=1

1

4ne convergente ou divergente.

Solucao:

24


an e+n=1

bn sao series infinitas convergentes com somas S e R, respecti-

vamente, entao

(i)+n=1

(an + bn) e uma serie convergente e sua soma e S +R.

(ii)+n=1

(an bn) e uma serie convergente e sua soma e S R.

Teorema 1.9 - Se a serie

+n=1

an for convergente e a serie

+n=1

bn for divergente, entao a serie

+n=1

(an + bn) sera divergente.

Determine se a serie infinita abaixo e convergente ou divergente.

+n=1

(1

4n+

1

4n

)Solucao:

Se ambas as series+n=1

an e+n=1

bn forem divergentes, a serie+n=1

(an + bn) podera ou nao ser

convergente. Por exemplo, se an =1

ne bn =

1

n, entao an + bn =

2

ne

+n=1

2

nsera divergente.

Mas, se se an =1

ne bn = 1

n, entao an + bn = 0 e

+n=1

0 sera convergente.


Exemplo 1.21 Exerccio 1.14 - Nos itens a seguir, determine se a serie e convergente ou di-

vergente. Se for convergente, ache a sua soma.

25

(a)+n=1

1

n+ 2(b)

+n=1

3

2n(c)

+n=1

3

2n(d)

+n=1

4

3

(5

7

)n

(e)+n=1

(1

2n+

1

2n

)(f)

+n=1

(1

2n+

1

3n

)(g)

+n=1

(en + en

)(h)

+n=1

(1

2n 1

3n

)

Exerccio 1.15 - De um exemplo para mostrar que mesmo sendo

+n=1

an e

+n=1

bn divergentes,

e possvel que+n=1

anbn seja convergente.

1.5 Series Infinitas de Termos Positivos

Se todos os termos de uma serie infinita forem positivos, a sequencia das somas parciais sera

crescente. Assim sendo, segue o teorema a seguir.

Teorema 1.10 - Uma serie infinita de termos positivos sera convergente se e somente se sua

sequencia de somas parciais for limitada superiormente.

Exemplo 1.22 - Prove que a serie+n=1

1

n!e convergente.

Solucao:

26

No exemplo acima, os termos da serie dada foram comparados com os de uma serie que

sabemos ser convergente. Esse e um caso particular do teorema a seguir, conhecido como o teste

da comparacao.

Teorema 1.11 - Seja

+n=1

un uma serie de termos positivos.

(i) Se+n=1

vn for uma serie de termos positivos que sabemos ser convergente e se un vn para

todo n inteiro positivo, entao

+n=1

un sera convergente.

(ii) Se+n=1

wn for uma serie de termos positivos que sabemos ser divergente e se un wn para

todo n inteiro positivo, entao

+n=1

un sera divergente.


4

3n + 1e convergente ou divergente.

Solucao:

27


1n

e convergente ou divergente.

Solucao:

O teorema a seguir, conhecido como teste da comparacao com limite, e consequencia do

teorema anterior, e sua aplicacao e, em muitos casos, mais facil.

Teorema 1.12 - Sejam+n=1

un e+n=1

vn duas series de termos positivos.

(i) Se limn+

unvn

= c > 0, entao ambas as series convergem, ou ambas as series divergem.

(ii) Se limn+

unvn

= 0, e se+n=1

vn converge, entao+n=1

un converge.

(iii) Se limn+

unvn

= +, e se+n=1

vn diverge, entao

+n=1

un diverge.

Exemplo 1.25 - Resolva o Exemplo 1.23, usando o teste da comparacao com limite.

Solucao:

28

Exemplo 1.26 - Resolva o Exemplo 1.24, usando o teste da comparacao com limite.

Solucao:


n3

n!e convergente ou divergente.

Solucao:

29


un for uma serie convergente de termos positivos, seus termos poderao

ser agrupados de qualquer maneira, e a serie resultante continuara convergente e com a mesma

soma que a serie original.

Uma serie frequentemente usada no teste da comparacao e aquela conhecida como serie p

ou serie hiper-harmonica. Ela e

1

1p+

1

2p+

1

3p. . .+

1

np. . . onde p e uma constante. (1.11)

Na ilustracao a seguir vamos mostrar que a serie hiper-harmonica diverge se p 1 e convergese p > 1.

Ilustracao 1.7 - Se p = 1, a serie p e a serie harmonica que sabemos e divergente. Se p < 1,

entao np < n e assim1

np 1n

para todo n inteiro positivo.

Logo, pelo item (ii) do Teorema 1.11, a serie hiper-harmonica e divergente se p < 1.

Se p > 1, vamos agrupar os termos da seguinte forma:

1

1p+

(1

2p+

1

3p

)+

(1

4p+

1

5p+

1

6p+

1

7p

)+

(1

8p+

1

9p+ . . .+

1

15p

)+ . . . (1.12)

Consideremos a serie

1

1p+

2

2p+

4

4p+

8

8p+ . . .+

2n1

(2n1)p+ . . . (1.13)

Trata-se de uma serie geometrica cuja razao e2

2p=

1

2p1, que e um numero positivo menor

do que 1. Assim sendo, a serie (1.13) e convergente. Vamos reescrever os termos da serie (1.13)

para obter

1

1p+

(1

2p+

1

2p

)+

(1

4p+

1

4p+

1

4p+

1

4p

)+

(1

8p+

1

8p+ . . .+

1

8p

)+ . . . (1.14)

Comparando as series (1.12) e (1.14) vemos que o grupo de termos em cada conjunto entre

parenteses, apos o primeiro grupo, tem soma menor em (1.12) do que em (1.14). Logo, pelo

teste de comparacao, a serie (1.12) e convergente. Como (1.12) e um mero reagrupamento da

serie p quando p > 1, segue, do Teorema 1.13, que a serie p e convergente, se p > 1.

Observe que a serie do Exemplo 1.24 e uma serie hiper-harmonica com p =1

2< 1 e, portanto,

e divergente.

30

Exemplo 1.28 - Determine se a serie infinita e convergente ou divergente.

+n=1

1

(n2 + 2)1/3


Exerccio 1.16 - Nos itens abaixo, determine se a serie dada e convergente ou divergente.

(a)

+n=1

1

n2n(b)

+n=1

3n+ 1

2n2 + 5(c)

+n=1

cos2 n

3n(d)

+n=1

1n2 + 4n

(e)+n=1

n!

(n+ 2)!(f)

+n=1

n

5n2 + 3(g)

+n=1

n!

(2n)!(h)

+n=1

1

nn2 1

(i)+n=1

3

2nn (j)+n=1

lnn

n2 + 2(k)

+n=1

(n+ 1)2

(n+ 2)!

1.6 O Teste da Integral

O teorema conhecido como o teste da integral faz uso da teoria das integrais improprias para

testar a convergencia de uma serie de termos positivos.

Teorema 1.14 - O Teste da Integral Seja f uma funcao contnua, decrescente e com valores

positivos para todo x 1 e suponha que f(n) = an. Entao, a serie infinita+n=1

an = a1 + a2 + a3 + . . .+ an + . . .

sera convergente se a integral impropria +1

f(x)dx

existir e sera divergente se

limb+

b1f(x)dx = +.

31

Figura 1.8:

Exemplo 1.29 - Use o teste da integral para mostrar que a serie hiper-harmonica diverge se

p 1 e converge se p > 1.Solucao:

Exemplo 1.30 - Determine se a serie

+n=1

nen e convergente ou divergente.

Solucao:

32

Se para uma serie infinita o ndice do somatorio comeca com n = k em vez de n = 1, a

integral impropria do teste da integral tambem deve ser calculada no intervalo [k,+) ou invesde [1,+).

Exemplo 1.31 - Determine se a serie

+n=1

1

n

lnne convergente ou divergente.

Solucao:


Exerccio 1.17 - Nos itens abaixo, use o teste da integral para determinar se a serie dada e

convergente ou divergente.

(a)+n=1

1

2n+ 1(b)

+n=1

1

(n+ 2)3/2(c)

+n=1

4

n2 4 (d)+n=1

e5n


(a)

+n=1

lnn

n(b)

+n=1

1

n lnn(c)

+n=1

lnn

n3(d)

+n=1

n2en (e)+n=1

e1/n

n2

33

Exerccio 1.19 - Prove que a serie+n=1

1

n(lnn)pe convergente se e somente se p > 1.

1.7 Series Alternadas

Nesta secao e na seguinte consideraremos series infinitas constando tanto de termos negativos

como positivos. Discutiremos primeiramente um tipo de serie cujos termos sao alternadamente

positivos e negativos - as chamadas series alternadas.

Definicao 1.8 - Se an > 0 para todo n inteiro positivo, entao a serie

+n=1

(1)n+1an = a1 a2 + a3 a4 + . . .+ (1)n+1an + . . . (1.15)

e a serie+n=1

(1)nan = a1 + a2 a3 + a4 . . .+ (1)nan + . . . (1.16)

sao chamadas de series alternadas.

Ilustracao 1.8 - Um exemplo de serie alternada do tipo (1.15), onde o primeiro termo e

positivo, e+n=1

(1)n+1 1n

= 1 12

+1

3 1

4+ . . .+ (1)n+1 1

n+ . . .

Uma serie alternada do tipo (1.16), onde o primeiro termo e negativo, e

+n=1

(1)n 1n!

= 1 + 12! 1

3!+

1

4! . . .+ (1)n 1

n!+ . . .

O teorema a seguir fornece um teste de convergencia para uma serie alternada. Ele e chamado

de teste de series alternadas; tambem e conhecido como teste de Leibniz, pois foi formulado por

ele em 1705.

Teorema 1.15 - (Teste de Leibniz) Considere a serie alternada

+n=1

(1)n+1an (ou a do outrotipo), onde an > 0 e an+1 < an para todo n inteiro positivo. Se lim

n+ an = 0, a serie alternada

converge.

Exemplo 1.32 - Prove que a serie alternada

+n=1

(1)n+1 1n

e convergente.

Solucao:

34


(1)n n+ 2n(n+ 1)


Solucao:

Definicao 1.9 - Se uma serie infinita for convergente e sua soma for S, entao o resto obtido

quando aproximamos a soma da serie pela k-esima soma parcial sk sera denotado por Rk e

Rk = S sk

Teorema 1.16 - Considere a serie alternada

+n=1

(1)n+1an (ou a outra forma), onde an > 0e an+1 < an para todo n inteiro positivo, e lim

n+ an = 0. Se Rk for o resto obtido quando

aproximamos a soma da serie pela soma dos k primeiros termos entao |Rk| < ak+1.

Exemplo 1.34 - Uma serie para calcular ln(1 + x) se x esta no intervalo aberto (1, 1) e

ln(1 + x) =+n=1

(1)n+1xn

n

Ache um limitante superior para o erro cometido quando aproximamos o valor de ln 1, 1 pela

soma dos tres primeiros termos da serie.

Solucao:

35



(a)

+n=1

(1)n+1 12n

(b)

+n=1

(1)n 3n2 + 1

(c)

+n=1

(1)n 1lnn

(d)

+n=1

(1)n+1 n2

n3 + 2

(e)+n=1

(1)n+1 lnnn2

(f)+n=1

(1)n 3n

n2(g)

+n=1

(1)n n2n

Exerccio 1.21 - Nos itens abaixo, ache um limitante superior para o erro, quando aproxima-

mos a soma da serie infinita dada pela soma dos quatro primeiros termos.

(a)

+n=1

(1)n+1 1n

(b)

+n=1

(1)n+1 1(2n 1)2

(c)

+n=1

(1)n 1n2

(d)

+n=1

(1)n+1 1(n+ 1) ln(n+ 1)

Exerccio 1.22 - Nos itens abaixo, obtenha a soma da serie infinita dada, com precisao de

tres casas decimais.

(a)

+n=1

(1)n+1 12n

(b)

+n=1

(1)n+1 1n!

(c)

+n=1

(1)n+1 1(2n)3

(d)

+n=1

(1)n+1 1n2n

1.8 Convergencia Absoluta e Condicional; O Teste da Razao e

o Teste da Raiz

Se todos os termos de uma dada serie infinita forem substitudos pelos seus valores absolutos e

a serie resultante for convergente, entao dizemos que a serie dada e absolutamente convergente.

36

Definicao 1.10 - Dizemos que a serie infinita+n=1

un e absolutamente convergente se a

serie

+n=1

|un| for convergente.

Ilustracao 1.9 - Considere a serie

+n=1

(1)n+1 23n

=2

3 2

32+

2

33 2

34+ . . .+ (1)n+1 2

3n+ . . . (1.17)

Essa serie sera absolutamente convergente se a serie

+n=1

2

3n=

2

3+

2

32+

2

33+

2

34+ . . .+

2

3n+ . . .

for convergente. Como se trata de uma serie geometrica de razao r =1

3< 1, ela e convergente.

Logo, a serie (1.17) e absolutamente convergente.

Ilustracao 1.10 - Uma serie convergente que nao e absolutamente convergente e, por exemplo,

+n=1

(1)n+1 1n

Ja mostramos que essa serie e convergente porem nao e absolutamente convergente pois a

serie dos valores absolutos e a serie harmonica, que e divergente.

A serie da Ilustracao (1.10) e exemplo de uma serie condicionalmente convergente.

Definicao 1.11 - Uma serie que e convergente, mas nao e absolutamente convergente, e deno-

minada condicionalmente convergente.

Entao, e possvel que uma serie seja convergente, mas nao absolutamente convergente. Por

outro lado, se uma serie for absolutamente convergente, ela devera ser convergente.

Teorema 1.17 - Se a serie infinita+n=1

un for absolutamente convergente, ela sera convergente

e +n=1

un

+n=1

|un|

Exerccio 1.23 - Determine se a serie+n=1

cos npi3n2


Solucao:

37

O teste da razao, dado no proximo teorema, e usado frequentemente para determinar se uma

dada serie e absolutamente convergente.

Teorema 1.18 - (O Teste da Razao) Seja+n=1

un uma serie infinita dada para a qual todo un

e nao-nulo. Entao,

(i) se limn+

un+1un = L < 1, a serie dada e absolutamente convergente.

(ii) se limn+

un+1un = L > 1, ou se limn+

un+1un = + a serie dada e divergente.

(iii) se limn+

un+1un = 1, nenhuma conclusao quanto a convergencia pode ser tirada do teste.


(1)n+1 n2n


Solucao:

Exemplo 1.36 - Provamos anteriormente que a serie

+n=1

(1)n n+ 2n(n+ 1)

e convergente. Essa serie e absolutamente convergente ou condicionalmente convergente?

Solucao:

38

Teorema 1.19 - (O Teste da Raiz) Seja+n=1

un uma serie infinita dada para a qual todo un e

nao-nulo. Entao,

(i) se limn+

n|un| = L < 1, a serie dada e absolutamente convergente.

(ii) se limn+

n|un| = L > 1, ou se lim

n+n|un| = + a serie dada e divergente.

(iii) se limn+

n|un| = 1, nenhuma conclusao quanto a convergencia pode ser tirada do teste.

Exemplo 1.37 - Use o teste da raiz para determinar se a serie+n=1

(1)n 32n+1

n2ne convergente

ou divergente.

Solucao:

Os testes da razao e da raiz estao intimamente relacionados; contudo, o primeiro e, em geral,

mais facil de ser aplicado. Se os termos da serie contiverem fatoriais, entao certamente sera esse

o caso. Por outro lado, se os termos contiverem potencias de n, como no exemplo acima, podera

ser mais vantajoso o uso do teste da raiz.

39


1

[ln(n+ 1)]ne convergente ou divergente.

Solucao:



(a)

+n=1

(2

3

)n(b)

+n=1

(1)n+1 2n

n!(c)

+n=1

n2

n!(d)

+n=1

(1)n n!2n+1

(e)

+n=1

1 2 sennn3

(f)

+n=1

(1)n+1 3n

n!(g)

+n=1

(1)n+1 senpinn

(h)

+n=1

1

(lnn)n

Exerccio 1.25 - Se |r| < 1, prove que a serie+n=1

rn sennt e absolutamente convergente para

todos os valores de t.

Exerccio 1.26 - Dada a serie

+n=1

1

2n+1+(1)n. (a) Mostre que o teste da razao falha para essa

serie. (b) Use o teste da raiz para determinar se a serie e convergente ou divergente.

40

Captulo 2

Series de Potencias

As series infinitas do captulo anterior envolvem termos constantes. Discutiremos agora um tipo

importante de series de termos variaveis chamados series de potencias, que podem ser conside-

radas como uma generalizacao da funcao polinomial. Voce aprendera, neste captulo, como usar

series de potencias para calcular valores de funcoes como senx, ex, lnx ex, os quais nao po-

dem ser calculados pelas operacoes da Aritmetica, usadas para determinar os valores de funcoes

racionais. Voce podera aplicar a teoria de series de potencias para encontrar aproximacoes de

numeros irracionais tais como

2, pi, e, ln 5 e sen 0, 3. Outra aplicacao e feita para aproximar

as integrais indefinidas para as quais o integrando nao tem antiderivada que possa ser expressa

em termos de funcoes elementares. Por exemplo, voce aprendera a usar series de potencias para

calcular valores de integrais tais como

1/20

et2dt,

10

cosxdx e . . .

0,10 ln(1 + senx)dx para

qualquer precisao exigida. Alem disso, solucoes de equacoes diferenciais podem ser expressas

como series de potencias.

Definicao 2.1 - Uma serie de potencia em x a e uma serie da forma

c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + c3(x a)3 + . . .+ cn(x a)n . . . (2.1)

Usaremos a notacao

+n=0

cn(x a)n para representar a serie (2.1). (Observe que considera-

remos (x a)0 = 1 mesmo quando x = a, por conveniencia, ao escrever o termo geral. Se xfor um determinado numero, a serie de potencias (2.1) tornar-se-a uma serie infinita de termos

constantes. Um caso especial de (2.1) ocorre quando a = 0, e a serie torna-se uma serie de

potencias em x, que e

+n=1

cnxn = c0 + c1x+ c2x

2 + . . .+ cnxn + . . . (2.2)

41

Alem das series de potencias em x a e x, existem series de potencias da forma+n=0

cn[(x)]n = c0 + c1(x) + c2[(x)]

2 + . . .+ cn[(x)]n + . . .

onde e uma funcao de x. Tais series sao chamadas de series de potencias em (x). Aqui

trataremos exclusivamente de series de potencias da forma (2.1) ou (2.2) e, quando usarmos o

termo series de potencias, estaremos nos referindo a uma dessas duas formas. Restringiremos

a nossa discussao a`s series de potencias da forma (2.2). A forma mais geral (2.1) pode ser obtida

de (2.2) atraves da translacao x = x a; assim sendo, nossos resultados aplicam-se igualmentea`s series da forma (2.1).

Ao tratarmos de series infinitas de termos constantes, estavamos interessados em questoes

de convergencia ou divergencia da serie. Ao considerarmos series de potencias, perguntamos:

para que valores de x a serie converge? Para cada valor de x para o qual a serie converge,

ela representa um numero que e a sua soma. Assim sendo, uma serie de potencias define uma

funcao. A funcao f , com valores funcionais

f(x) =+n=0

cnxn

tem como domnio todos os valores de x para os quais a serie de potencias converge. E claro

que toda serie de potencias (2.2) e convergente para x = 0. Existem algumas series que sao

convergentes somente para esse valor de x, enquanto ha tambem series que convergem para todo

valor de x.

Os tres exemplos a seguir ilustram como o teste da razao pode ser usado para determinar

os valores de x para os quais uma serie de potencias e convergente. Quando n! for usado na

representacao do n-esimo termo de uma serie de potencias, convem lembrar que 0! = 1, de tal

forma que a representacao do n-esimo termo sera valida tambem quando n = 0.

Exemplo 2.1 - Ache os valores de x para os quais a serie de potencias

+n=1

(1)n+1 2nxn

n3n

e convergente.

Solucao:

42


+n=0

xn

n!

e convergente.

Solucao:


+n=0

n!xn

e convergente.

Solucao:

43

No proximo exemplo, o teste da raiz sera usado para determinar quando uma serie de

potencias e convergente.


+n=1

n3xn

e convergente.

Solucao:

Teorema 2.1 - Seja+n=0

cnxn uma dada serie de potencias. Entao uma, e somente uma das

seguintes afirmacoes e verdadeira:

(i) a serie converge somente para x = 0;

(ii) a serie e absolutamente convergente para todos os valores de x;

(iii) existe um numero R > 0 tal que a serie e absolutamente convergente para todos os valores

de x para os quais |x| < R e e divergente para todos os valores de x para os quais |x| > R.

Se, em vez da serie de potencias+n=0

cnxn, tivermos a serie

+n=0

cn(xa)n, entao nas afirmacoes(i) e (iii) do Teorema (2.1), x sera substitudo por x a. As afirmacoes alteram-se para:

44

(i) a serie converge somente para x = a;

(iii) existe um numero R > 0 tal que a serie e absolutamente convergente para todos os valores

de x para os quais |x a| < R e e divergente para todos os valores de x para os quais|x a| > R.

Ao conjunto de todos os valores de x para os quais uma dada serie de potencias e convergente,

chamamos intervalo de convergencia da serie de potencias. O numero R da afirmacao (iii)

do Teorema 2.1 e denominado raio de convergencia da serie de potencias. Se a afirmacao (ii)

for verdadeira, entao R = +.

Ilustracao 2.1 - Para a serie de potencias do Exemplo 2.1, R =3

2e o intervalo de convergencia

e

(3

2,3

2

]. No Exemplo 2.2, R = +, e o intervalo de convergencia e escrito como (,+).

Se R for o raio de convergencia da serie

+n=0

cnxn, o intervalo de convergencia sera um dos

seguintes: (R,R), [R,R], (R,R] ou [R,R). No caso mais geral da serie de potencias+n=0

cn(x a)n, o intervalo de convergencia sera

(aR, a+R), [aR, a+R], (aR, a+R], [aR, a+R).

Uma dada serie de potencias define uma funcao cujo domnio e o intervalo de convergencia.

O metodo mais vantajoso para determinar o intervalo de convergencia de que dispomos e o teste

da razao. No entanto, tal teste nada revela sobre o que acontece nos pontos extremos do intervalo

de convergencia, quanto a convergencia ou divergencia da serie de potencias. Nas extremidades

do intervalo de convergencia a serie de potencias pode ser absolutamente convergente, condicio-

nalmente convergente, ou ainda divergente. Se uma serie de potencias convergir absolutamente

numa extremidade, segue da definicao de convergencia absoluta que a serie sera absolutamente

convergente nas extremidades. Se uma serie de potencias convergir numa extremidade e divergir

na outra, a serie sera condicionalmente convergente no extremo no qual convergir. Ha casos

em que a convergencia ou divergencia de uma serie de potencias nos extremos nao pode ser

determinada por metodos do Calculo Elementar.

Exemplo 2.5 - Determine o intervalo de convergencia da serie de potencias

+n=1

n(x 2)n

45

Solucao:

Exemplo 2.6 - Determine o intervalo de convergencia da serie de potencias

+n=1

xn

2 + n2

Solucao:

46

2.1 Lista de Exerccios

Exerccio 2.1 - Nos itens abaixo, determine o intervalo de convergencia da serie de potencia

dada.

(a)+n=0

xn

n+ 1(b)

+n=0

xn

n2 3 (c)+n=1

2nxn

n2(d)

+n=1

nxn

3n

(e)

+n=1

(1)n+1 x2n1

(2n 1)! (f)+n=0

(x+ 3)n

2n(g)

+n=1

(1)n xn

(2n 1)32n1 (h)+n=1

(1)n+1 (x 1)n

n

(i)

+n=2

(1)n+1 xn

n(lnn)2(j)

+n=1

n2

5n(x 1)n (k)

+n=1

lnn(x 5)n(n+ 1)

(l)

+n=1

xn

nn

Exerccio 2.2 - Se a e b sao inteiros positivos, determine o raio de convergencia da serie de

potencias

+n=1

(n+ a)!

n!(n+ b)!xn.

2.2 Derivacao de Series de Potencias

Vimos na secao anterior que uma serie de potencias

+n=0

cnxn define uma funcao em que o domnio

e o intervalo de convergencia da serie.

Ilustracao 2.2 - Considere a serie geometrica com a = 1 e r = x, isto e,+n=0

xn. Pelo Teorema

1.5, a serie converge para a soma1

1 x , se |x| < 1. Logo, a serie de potencias+n=0

xn define a

funcao f , tal que f(x) =1

1 x se |x| < 1. Logo,

1 + x+ x2 + x3 + . . .+ xn + . . . =1

1 x se |x| < 1 (2.3)

A serie (2.3) pode ser usada para formar outras series de potencias cujas somas podem ser

determinadas.

Ilustracao 2.3 - Se em (2.3) x for substitudo por x, teremos

1 x+ x2 x3 + . . .+ (1)nxn + . . . = 11 + x

se |x| < 1 (2.4)

47

Seja x = x2 em (2.3), teremos

1 + x2 + x4 + x6 + . . .+ x2n + . . . =1

1 x2 se |x| < 1 (2.5)

Se em (2.3) x for substitudo por x2, obteremos

1 x2 + x4 x6 + . . .+ (1)nx2n + . . . = 11 + x2

se |x| < 1 (2.6)

Nesta secao e na proxima, outras series interessantes sao obtidas de series como as acima re-

feridas, por derivacao e integracao. Provaremos que se R (onde R 6= 0) for o raio de convergenciade uma serie de potencias que define a funcao f , entao f sera diferenciavel no intervalo (R,R)e a derivada de f podera ser obtida ao derivarmos a serie de potencias termo a termo. Alem

disso, mostraremos que f e integravel em todo subintervalo fechado de (R,R), e calculamosa integral de f , integrando a serie de potencias termo a termo. Precisamos primeiro de alguns

teoremas preliminares.

Teorema 2.2 - Se

+n=0

cnxn for uma serie de potencias com um raio de convergencia R > 0,

entao a serie+n=1

ncnxn1 tambem tera R como raio de convergencia.

Este teorema estabelece que a serie, obtida com a derivacao de cada termo de uma dada

serie de potencias, tera o mesmo raio de convergencia que a serie dada.

Ilustracao 2.4 - Verificaremos o Teorema 2.2 para a serie de potencias

+n=0

xn+1

(n+ 1)2= x+

x2

4+x3

9+ . . .+

xn+1

(n+ 1)2+

xn+2

(n+ 2)2+ . . .

Determinamos o raio de convergencia aplicando o teste da razao,

limn+

un+1un = limn+

(n+ 1)2xn+2(n+ 2)2xn+1

= |x| limn+

n2 + 2n+ 1

n2 + 4n+ 4

= |x|

48

Dessa forma, a serie de potencias e convergente quando |x| < 1; assim sendo, seu raio deconvergencia e R = 1.

A serie de potencias obtida da serie dada com derivacao termo a termo e

+n=0

(n+ 1)xn

(n+ 1)2=

+n=0

xn

n+ 1

= 1 +x

2+x2

3+x3

4+ . . .+

xn

n+ 1+xn+1

n+ 2+ . . .

Aplicando o teste da razao a essa serie de potencias, temos

limn+

un+1un = limn+

(n+ 1)xn+1(n+ 2)xn

= |x| limn+

n+ 1n+ 2

= |x|

Essa serie e convergente se |x| < 1; assim, o seu raio de convergencia e R = 1. Como R = R,esta cumprido o Teorema 2.2.

Teorema 2.3 - Se o raio de convergencia da serie de potencias+n=0

cnxn for R > 0, entao o raio

de convergencia da serie

+n=2

n(n 1)cnxn2 tambem sera R.

Para provar o Teorema 2.3 basta aplicar o Teorema 2.2 a` serie+n=1

ncnxn1.

Estamos agora em condicoes de enunciar o teorema sobre derivacao termo a termo de uma

serie de potencias.

Teorema 2.4 - Seja

+n=0

cnxn uma serie de potencias cujo raio de convergencia e R > 0. Entao,

se f for a funcao definida por

f(x) =+n=0

cnxn (2.7)

f (x) existira para todo x no intervalo aberto (R,R), sendo dada por

f (x) =+n=1

ncnxn1.

49

Exemplo 2.7 - Seja f a funcao definida pela serie de potencias da Ilustracao 2.4 . (a) Ache o

domnio de f ; (b) escreva a serie de potencias que define f e determine o domnio de f .

Solucao:

O exemplo anterior ilustra o fato de que se uma funcao f for definida por uma serie de

potencias e se essa serie for derivada termo a termo, a serie de potencias resultante, que define f ,

tera o mesmo raio de convergencia, mas nao necessariamente o mesmo intervalo de convergencia.

Exemplo 2.8 - Obtenha a serie de potencias que represente

1

(1 x)2

Solucao:

50

Exemplo 2.9 - Mostre que para todos os valores reais de x

ex =

+n=0

xn

n!= 1 + x+

x2

2!+x3

3!+ . . .+

xn

n!+ . . .

Solucao:

Exemplo 2.10 - Use o Exemplo 2.9 para achar uma representacao em serie de potencias de

ex.

Solucao:

51

Exemplo 2.11 - Use a serie do Exemplo 2.10 para determinar o valor exato de e1 ate a quinta

casa decimal.

Solucao:

Nos calculos com series infinitas ocorrem dois tipos de erros. Um deles e o erro dado pelo

resto apos os n primeiros termos. O outro e o arredondamento que ocorre quando cada termo

da serie e aproximado por um decimal com um numero finito de casas. No caso do Exemplo

2.11, queramos o resultado preciso para cinco casas decimais; assim, cada termo foi arredondado

para seis casas decimais. Depois de calcular a soma, arredondamos o resultado para cinco casas

decimais. Naturalmente, o erro dado pelo resto pode ser reduzido, se considerarmos termos

adicionais da serie, enquanto que o erro de arredondamento pode ser reduzido se usarmos mais

casas decimais.

Num curso de Equacoes Diferenciais voce vera que e possvel expressar as solucoes de muitas

equacoes diferenciais como series de potencias. O exemplo a seguir ilustra isso.

Exemplo 2.12 - Mostre que

y = x+

+n=0

xn

n!(2.8)

e uma solucao da equacao diferenciald2y

dx2 y + x = 0.

Solucao:

52


Exerccio 2.3 - Nos itens abaixo, faca o seguinte: (a) ache o raio de convergencia da serie de

potencias dada e o domnio de f ; (b) escreva a serie de potencias que define a funcao f e ache

seu raio de convergencia usando os metodos da secao 2.1; (c) ache o domnio de f .

(a) f(x) =+n=1

xn

n2(b) f(x) =

+n=1

xnn

(c) f(x) =+n=1

(1)n1 x2n1

(2n 1)!

(d)f(x) =+n=1

(n+ 1)(3x 1)n (e) f(x) =+n=1

(x 1)nn3n

Exerccio 2.4 - Use o resultado do Exemplo 2.8 para achar uma representacao em serie de

potencias de1

(1 x)3 .

Exerccio 2.5 - Use o resultado do Exemplo 2.9 para achar uma representacao em serie de

potencias para ex.

Exerccio 2.6 - Obtenha uma representacao em serie de potencias de1

(1 + x)2, se |x| < 1,

derivando a serie (2.4) termo a termo.

Exerccio 2.7 - (a) Use a serie (2.3) de modo a encontrar uma representacao em series de

potencias para1

1 2x . (b) Derive termo a termo a serie encontrada na parte (a), a fim de

achar uma representacao em serie de potencias para2

(1 2x)2 .

Exerccio 2.8 - (a) Use o resultado do Exemplo 2.9, a fim de encontrar uma representacao

em serie de potencias para ex2. (b) Derive termo a termo a serie encontrada em (a) de modo

a achar uma representacao em serie de potencias para xex2.

Exerccio 2.9 - Use o resultado do Exemplo 2.10 para determinar o valor de1e

com precisao

de cinco casas decimais.

Exerccio 2.10 - Use o resultado do Exemplo 2.8 para encontrar a soma da serie+n=1

n

2n.

Exerccio 2.11 - (a) Ache uma representacao em serie de potencias para x2ex. (b) Por

derivacao termo a termo da serie de potencias da parte (a), mostre que

+n=1

(2)n+1n+ 2n!

= 4.

53

Exerccio 2.12 - Suponha que uma funcao f tenha a representacao dada pela serie de potencias+n=0

cnxn. Se f for uma funcao par, mostre que cn = 0 quando n for mpar.

Exerccio 2.13 - Nos itens (a), (b) e (c), mostre que a serie de potencias e uma solucao da

equacao diferencial.

(a) y =+n=0

2n

n!xn;

dy

dx 2y = 0

(b) y =+n=1

(1)n+1(2n 1)!x

2n1;d2y

dx2+ y = 0

(c) y =+n=0

(1)n 2nn!

(2n+ 1)!x2n+1;

d2y

dx2+ x

dy

dx+ y = 0

2.3 Integracao de Series de Potencias

O teorema que diz respeito a` integracao termo a termo e uma consequencia direta do Teorema

2.4.

Teorema 2.5 - Seja+n=0

cnxn uma serie de potencias cujo raio de convergencia e R > 0. Entao,

se f for a funcao definida por

f(x) =

+n=0

cnxn

f sera integravel em todo subintervalo fechado de (R,R), e calculamos a integral de f inte-grando termo a termo a serie de potencias dada; isto e, se x esta em (R,R), entao x

0f(t)dt =

+n=0

cnn+ 1

xn+1.

Alem disso, o raio de convergencia da serie resultante e R.

O Teorema 2.5 e usado com frequencia para o calculo de uma integral definida, a qual nao

pode ser determinada diretamente, achando uma antiderivada do integrando. Os exemplos a

seguir ilustram essa tecnica. A integral definida

x0et

2dt que aparece nesses dois exemplos e

54

similar a`quela que representa a medida da area de uma regiao sob a curva de probabilidade

normal.

Exemplo 2.13 - Ache uma representacao em serie de potencias de

x0et

2dt.

Solucao:

Exemplo 2.14 - Use o resultado do Exemplo 2.13 para calcular, com precisao de ate tres casas

decimais, o valor de

1/20

et2dt.

Solucao:

55

Exemplo 2.15 - Obtenha uma representacao em serie de potencias para ln(1 + x).

Solucao:

No Exemplo 2.15, o Teorema 2.5 permite-nos concluir que a serie de potencias obtida repre-

senta a funcao somente para os valores de x no intervalo aberto (1, 1). No entanto, a serie depotencias e convergente no extremo direito 1, conforme ja foi mostrado anteriormente. Quando

x = 1, a serie de potencias torna-se a serie harmonica negativa que e divergente. Logo ointervalo de convergencia da serie de potencias e (1, 1].

Na ilustracao a seguir mostramos que a serie de potencia do Exemplo 2.15 representa ln(1+x)

em x = 1, provando que a soma da serie+n=1

(1)n1n

e ln 2.

Ilustracao 2.5 - Para a serie infinita+n=1

(1)n1n

, a n-esima soma parcial e

sn = 1 12

+1

3 1

4+ . . .+ (1)n1 1

n(2.9)

Assim, da definicao, se mostrarmos que limn+ sn = ln 2, provamos que a soma da serie e ln 2.

Da Algebra, temos a seguinte formula para a soma de uma serie geometrica finita:

a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ arn1 =a arn1 r

56

Dessa formula com a = 1 e r = t,

1 t+ t2 t3 + . . .+ (t)n1 = 1 (t)n

1 + t

que pode ser escrita como

1 t+ t2 t3 + . . .+ (1)n1tn1 = 11 + t

+ (1)n1 tn

1 + t

Integrando de 0 a 1, obtemos 10

[1 t+ t2 t3 + . . .+ (1)n1tn1]dt = 10

1

1 + tdt+ (1)n1

10

tn

1 + tdt

que da

1 12

+1

3 1

4+ . . .+ (1)n1 1

n= ln 2 + (1)n1

10

tn

1 + tdt (2.10)

De (2.9), vemos que o primeiro membro de (2.10) e sn. Seja

Rn = (1)n1 10

tn

1 + tdt

entao (2.10) pode ser escrito como

sn = ln 2 +Rn (2.11)

Comotn

1 + t tn para todo t em [0, 1], segue que

10

tn

1 + tdt

10tndt

Logo,

0 |Rn| = 10

tn

1 + tdt

10tndt =

1

n+ 1

Como limn+

1

n+ 1= 0, segue da desigualdade acima e do Teorema do Confronto que

limn+Rn = 0 Portanto, de (2.11),

limn+ sn = ln 2 + limn+Rn = ln 2

Assim,+n=1

(1)n1 1n

= 1 12

+1

3 1

4+ . . . = ln 2 (2.12)

57

A solucao do Exemplo 2.15 mostra que a serie de potencias+n=1

(1)n1xn

nrepresenta ln(1+x)

se |x| < 1. Entao, com o resultado da Ilustracao 2.5 podemos concluir que a serie de potenciasdada representa ln(1 + x) para todo x em seu intervalo de convergencia (1, 1].

Embora seja interessante que a soma da serie em (2.12) seja ln 2, essa serie converge muito

vagarosamente para ser usada no calculo de ln 2. Vamos obter agora uma serie de potencias

para o calculo de logaritmos naturais.

Vimos que,

ln(1 + x) =+n=1

(1)n1xn

n, se |x| < 1 (2.13)

ou, segundo a Ilustracao 2.5,

ln(1 + x) = x x2

2+x3

3 . . .+ (1)n1x

n

n+ . . . para x em (1, 1] (2.14)

Substituindo x por x nessa serie,

ln(1 x) = x x2

2 x

3

3 x

4

4 . . . x

n

n . . . para x em [1, 1) (2.15)

Subtraindo termo a termo (2.15) de (2.14), obtemos

ln1 + x

1 x = 2(x+

x3

3+x5

5+ . . .+

x2n1

2n 1 + . . .)

se |x| < 1 (2.16)

A serie (2.16) pode ser usada para o calculo do logaritmo natural de qualquer numero posi-

tivo.

Ilustracao 2.6 - Se y for um numero positivo qualquer, seja

y =1 + x

1 x e entao x =y 1y + 1

e |x| < 1

Por exemplo, se y = 2, entao x =1

3. De (2.16),

ln 2 = 2

(1

3+

1

34+

1

535+

1

737+

1

939+

1

11311+ . . .

)

= 2

(1

3+

1

81+

1

1215+

1

15.309+

1

177.147+

1

1.948.617+ . . .

)

2(0, 333333 + 0, 012346 + 0, 000823 + 0, 000065 + 0, 000006 + 0, 000001 + . . .)Usando os seis primeiros termos entre parenteses, multiplicando por 2 e arredondando para

cinco casas decimais, obtemos

ln 2 0, 69315

58

Exemplo 2.16 - Obtenha uma representacao em serie de potencias para tg1x.

Solucao:

Embora o Teorema 2.1 nos permita concluir que a serie de potencias obtida no exemplo

anterior representa tg1x somente para valores de x tais que |x| < 1, podemos mostrar que ointervalo de convergencia da serie de potencias e [1, 1] e que ela e uma representacao de tg1xpara todo x em seu intervalo de convergencia. Logo,

tg1x =+n=0

(1)n x2n+1

2n+ 1

= x x3

3+x5

5 . . . se |x| 1

(2.17)

Ilustracao 2.7 - Se x = 1 em (2.17),

pi

4= 1 1

3+

1

5 1

7+ . . .+ (1)n 1

2n+ 1+ . . .

A serie da Ilustracao 2.7 nao e adequada ao calculo de pi, pois converge muito vagarosamente.

O metodo a seguir fornece um metodo melhor.

Exemplo 2.17 - Prove quepi

4= tg1

1

2+ tg1

1

3.

59

Use essa formula e a serie de potencias para tg1(x) do Exemplo (2.16), para calcular com

precisao de cinco algarismos significativos o valor de pi.

Solucao:


Exerccio 2.14 - Ache a representacao em serie de potencias para a integral dada e determine

o seu raio de convergencia

(a)

x0etdt (b)

x2

1

4 tdt

Exerccio 2.15 - Calcule com precisao de tres casas decimais o valor da integral dada por dois

metodos: (a) use o segundo teorema fundamental do calculo; (b) use os resultados do exerccio

60

anterior.

(a)

x0etdt (b)

x2

1

4 tdt

Exerccio 2.16 - Calcule com precisao de tres casas decimais o valor da integral dada, usando

series.

(a)

1/20

1

1 + x3dx (b)

10ex

2dx (c)

1/20

tg1x2dx (d) 10x senh

xdx

Exerccio 2.17 - Use a serie de potencias da funcao tg1x para calcular tg11

4com precisao

de quatro casas decimais.

Exerccio 2.18 - Se f (x) =+n=0

(1)n (x 1)n

n!, ache f(54) com precisao de tres casas decimais.

Exerccio 2.19 - Integrando termo a termo de 0 a x uma representacao em serie de potencias

de ln(1 t), mostre que+n=2

xn

(n 1)n = x+ (1 x) ln(1 x)

Exerccio 2.20 - Ache a serie de potencias em x de f(x) se f (x) = f(x), f(0) = 0 e f (0) = 1.Ache tambem o raio de convergencia da serie resultante.

2.4 Serie de Taylor

Se f for uma funcao definida por

f(x) =

+n=0

cnxn

= c0 + c1x+ c2x2 + c3x

3 + . . .+ cnxn + . . .

(2.18)

cujo raio de convergencia e R > 0, segue que, de sucessivas aplicacoes do Teorema 2.4, que f

tem derivadas de todas as ordens em (R,R). Dizemos que tal funcao e infinitamente derivavelem (R,R). Sucessivas derivacoes da funcao em (2.18) resultam em

f (x) = c1 + 2c2x+ 3c3x2 + 4c4x3 + . . .+ ncnxn1 + . . . (2.19)

f (x) = 2c2 + 2 3c3x+ 3 4c4x2 + . . .+ (n 1)ncnxn2 + . . . (2.20)

61

f (x) = 2 3c3 + 2 3 4c4x+ . . .+ (n 2)(n 1)ncnxn3 + . . . (2.21)

f (iv)(x) = 2 3 4c4 + . . .+ (n 3)(n 2)(n 1)ncnxn4 + . . . (2.22)

e assim por diante. Se x = 0 em (2.18),

f(0) = c0

Se x = 0 em (2.19),

f (0) = c1

Se x = 0 em (2.20),

f (0) = 2c2 c2 = f(0)2!

De (2.21), se x = 0,

f (0) = 2 3c3 c2 = f(0)3!

Da mesma forma, de (2.22), se x = 0,

f (iv)(0) = 2 3 4c4 c4 = f(iv)(0)

4!

Em geral,

cn =f (n)(0)

n!para todo n inteiro positivo.

Essa formula tambem e valida para n = 0, se tomarmos f (0)(0) como sendo f(0) e 0! = 1.

Assim,dessa formula e de (2.18), a serie de potencias f em x pode ser escrita como

+n=0

f (n)(0)

n!xn = f(0) + f (0)x+

f (0)2!

x2 + . . .+f (n)(0)

n!xn + . . . (2.23)

Em um sentido mais geral,consideremos a funcao f como uma serie de potencias em x a,isto e,

f(x) =+n=0

cn(x a)n

= c0 + c1(x a) + c2(x a)2 + c3(x a)3 + . . .+ cn(x a)n + . . .

(2.24)

Se o raio de convergencia dessa serie for R, entao f sera infinitamente derivavel em

(aR, a+R). Sucessivas derivacoes da funcao em (2.24) resultam em

f (x) = c1 + 2c2(x a) + 3c3(x a)2 + 4c4(x a)3 + . . .+ ncn(x a)n1 + . . .

62

f (x) = 2c2 + 2 3c3(x a) + 3 4c4(x a)2 + . . .+ (n 1)ncn(x a)n2 + . . .

f (x) = 2 3c3 + 2 3 4c4(x a) + . . .+ (n 2)(n 1)ncn(x a)n3 + . . .

e assim por diante. Tomando x = a nas representacoes de f em series de potencias, bem como

nas sua derivadas, obtemos

c0 = f(a) c1 = f(a) c2 =

f (a)2!

c3 =f (a)

3!

e em geral

cn =f (n)(a)

n!(2.25)

Dessa formula e de (2.24) podemos escrever a serie de potencias de f em x a como+n=0

f (n)(a)

n!(x a)n = f(a) + f (a)(x a) + f

(a)2!

(x a)2 + . . .+ f(n)(a)

n!(x a)n + . . . (2.26)

A serie (2.26) e chamada de serie de Taylor de f em a. O caso especial de (2.26) quando

a = 0, isto e, (2.23), e chamada de serie de Maclaurin.

Exemplo 2.18 - Ache a serie de Maclaurin para ex.

Solucao:

63

Exemplo 2.19 - Ache a serie de Taylor para senx em a.

Solucao:

Podemos deduzir que a representacao de uma funcao em series de potencias e unica. Isto

e, se duas funcoes tem os mesmos valores funcionais em algum intervalo contendo o numero a,

e se ambas as funcoes tem uma representacao em serie de potencias em x a, entao trata-seda mesma serie, pois os seus coeficientes sao obtidos a partir dos valores das funcoes e de suas

derivadas em a. Logo, se uma funcao tem uma representacao em series de potencias em x a,essa serie deve ser a sua serie de Taylor em a. Assim sendo, a serie de Taylor para uma dada

funcao nao precisa ser obtida da formula (2.26). Qualquer metodo que resulte em uma serie em

x a representando a funcao sera a serie de Taylor da funcao em a.

Ilustracao 2.8 - Para encontrar a serie de Taylor para ex em a, vamos escrever ex = eaexa e

entao usar a serie (2.27), onde substitumos x por x a. Entao,

ex = ea[1 + (x a) + (x a)

2

2!+

(x a)33!

+ . . .+(n a)n

n!+ . . .

]Ilustracao 2.9 - A serie para ln(1 + x), encontrada no Exemplo 2.15 da secao anterior, pode

ser usada para determinar a serie de Taylor de lnx em a (a > 0), escrevendo

lnx = ln[a+ (x 1)]

64

ou ainda

lnx = ln a+ ln

(1 +

x aa

)(2.27)

Uma questao natural que surge e: se uma funcao tem uma serie de Taylor em xa, com raiode convergencia R > 0, essa serie representa a funcao para todos os valores de x no intervalo

(a R, a + R)? Para a maioria das funcoes elementares a resposta e afirmativa. Ha, contudo,funcoes para as quais a resposta e nao. O exemplo a seguir ilustra isso.

Exemplo 2.20 - Seja f a funcao definida por

f(x)

e1/x2 se x 6= 0

0 se x = 0

Ache a serie de Maclaurin para f e mostre que ela converge para todos os valores de x, mas

que ela representa f(x) somente para x = 0.

Solucao:

O teorema a seguir fornece um teste para determinar se uma funcao esta representada por

sua serie de Taylor.

Teorema 2.6 - Seja f uma funcao tal que f e todas as sua derivadas existam em algum inter-

65

valo (a r, a+ r). Entao, a funcao e representada por sua serie de Taylor+n=0

f (n)(a)

n!(x a)n

para todo x, tal que |x a| < r se,e somente se,

limn+Rn(x) = limn+

f (n+1)(n)

(n+ 1)!(x a)n+1 = 0

onde cada n esta entre x e a.

O Teorema 2.6 tambem e valido para outras formas do resto Rn(x), alem da formula de

Lagrange. Frequentemente, e difcil aplicar o Teorema 2.6, pois os valores de n sao arbitrarios.

Mas, a`s vezes pode ser encontrado um limitante superior para Rn(x) e pode ser possvel provar

que o limite dos limitantes superiores e zero quando n +. O seguinte limite e de grandevalia em alguns casos:

limn+

xn

n!= 0 para todo x (2.28)

Isto segue do fato que a serie de potencias+n=0

xn

n!e convergente para todos os valores de x

e assim, o seu n-esimo termo deve ser zero.

Exemplo 2.21 - Use o Teorema 2.6 para mostrar que a serie de Maclaurin para ex representa

a funcao para todos os valores de x.

Solucao:

66

Exemplo 2.22 - Mostre que a serie de Taylor para senx em a representa a funcao para todos

os valores de x.

Solucao:

Exemplo 2.23 - Calcule o valor de sen 47 com precisao de quatro casas decimais.

Solucao:

67

Exemplo 2.24 - Calcule com precisao de cinco casas decimais 11/2

senx

xdx.

Solucao:


Exerccio 2.21 - Prove que a serie

+n=0

(1)nx2n(2n)!

representa cosx para todos os valores de x.

Exerccio 2.22 - Use a serie de Maclaurin de ln(1 + x) para encontrar a serie de Taylor para

lnx em 2.

Exerccio 2.23 - Ache uma representacao em serie de potencias para a funcao em torno do

ponto a e determine o raio de convergencia.

(a) f(x) = ln(x+ 1); a = 1 (b) f(x) =x; a = 4 (c) f(x) = cosx; a =

pi

3

Exerccio 2.24 - Ache a serie de Maclaurin para sen 2x.

(Sugestao: use sen 2x =1

2(1 cos 2x).)

Exerccio 2.25 - Use serie de potencias para calcular, com a precisao exigida, o valor da quan-

tidade dada.

68

(a) cos 58; quatro casas decimais

(b)5

30; cinco casas decimais

(c) ln(0, 8); quatro casas decimais

Exerccio 2.26 - Calcule com tres casas decimais de precisao o valor da integral definida.

(a)

1/20

senx2dx

(b)

0,10

ln(1 + senx)dx

(c)

10g(x)dx, onde g(x) =

1 cosx

x, se x 6= 0

0 se x = 0

Exerccio 2.27 - A funcao E definida por

E(x) =2pi

x0et

2dt

e chamada de funcao erro e e importante em Estatstica Matematica. Ache a serie de Maclaurin

para a funcao erro.

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