Calc 4 Unid a Sequencias

CADERNOS SRIES PROF MARCO A BRASIL

UNIDADE A: SRIES NUMRICAS CADERNO 1 : SEQUNCIAS PGINA 1

A LINGUAGEM MATEMTICA:

CADERNOS

PROF MARCO A BRASIL



UNIDADE A



SUMRIO

CONTEDOS PGINA

CADERNO 1 SEQUNCIAS 4

1 Notaes Bsicas 5

2 Formando Sequncias 6

3 Soma de uma PA finita 14

4 Soma de uma PG finita 16

5 Limite de uma Sequncia 18

6 Proposies Fundamentais I 20

7 Propriedades Operacionais dos Limites I 22

8 Propriedades Operacionais dos Limites II 23

9 Propriedades Operacionais dos Limites III 24

10 Sequncias Limitadas 27

11 Sequncias Montonas 29

12 Atividades de Estudos 31

35

: TPICO AUXILIAR DE ESTUDO ( * ): Contedo Optativo



SEQUNCIAS

Uma Sequncia ou Sucesso toda lista ordenada de nmeros reais. uma lista de nmeros, inteiro e positivo, dispostos de modo que reconhecemos qual o 1 termo, o 2 termo, o 3 termo e, assim sucessivamente.

Os nmeros inteiros e positivos indicam a ordem de colocao dos termos, ou elementos, na sequncia e os valores que se sucedem devem obedecer a uma regra previamente definida ou certa disposio tabular.

uma lista ordenada { que pode ser interpretada como

uma funo que associa a cada , = { 1, 2, 3, . . . , , . . .} um, e somente um, nmero real ( ) = .

uma funo:

: tal que: 1 ( 1 ) = 1 2 ( 2 ) = 2 3 ( 3 ) = 3

( ) = an,

O valor ( ), denotado an, chamado termo de ordem n, termo geral, ensimo termo ou termo de ordem n da sequncia.

( )

Por exemplo, seja = 3 + 2.

Cada valor produz um nico valor (6,20) formando pares ordenados (5,12)

( , ) = ( , 2 3 + 2 ), (4,6) dos quais destacamos : (3,2)

( 1, 0 ), ( 2, 0 ), ( 3, 2 ), ( 4, 6 ), ( 5, 12 ) ou ( 6, 20 ) ( 1, 0 ) (2,0)

1 CADERNO 1

DEF 1: Uma sequncia de nmeros reais uma funo real cujo domnio o

conjunto dos nmeros inteiros e positivos = { 1, 2, 3, . . . , , . . .} .

DEF 2:

O Grfico da sequncia { an } o conjunto dos pares ordenados ( , an ),



NOTAES BSICAS

Em geral, como toda sequncia ( ) = tem o mesmo domnio, o conjunto dos nmeros inteiros e positivos, elas podem ser denotadas:

( 1 ) Atravs da notao funcional ( ) = ou ( ) = ;

( 2 ) Explicitando alguns primeiros termos { , , , . . . } separados

por vrgulas entre chaves onde os trs pontos significam e assim sucessivamente;

( 3 ) Indicando o termo geral entre chaves { }, subentendido ,

ou { } | , para um nmero inteiro e positivo diferente de 1.

Se conveniente, podemos comear uma sequncia pelo ndice 0 ou qualquer

outro nmero inteiro e positivo.

Por exemplo, o Fatorial uma sequncia iniciada em = 0, de modo que:

0 = 1, 1 = 1. 1, 2 = 1. 2 = 2, 3 = 1. 2. 3 = 6, . . . , e

= 1. 2. 3. . . . , se .

Assim construmos a sequncia { 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040. . . }.

uma funo que associa a cada nmero N o valor 0 = 1 e para n 0,

= 1. 2. 3. . . . .

uma funo : = { 0, 2, 3, 4, . . . , n, . . . } tal que

( ) = { 1, = 0 = 1. 2. 3. . . . , .

A sequncia = 2

3 comea em n = 4 para construir a lista

{ 2, 1, , , , . . . }.

denotada = ou = 2

3 se n 4.

Agora observamos que no se deve confundir a sequncia { }, com o

conjunto dos seus termos, denotado por ( ). Enquanto um conjunto uma lista de elementos, uma sequncia toda lista

ordenada de elementos.

Por exemplo, o conjunto A = { 2, 2, 2, 2, 2 } tem apenas um elemento.

A sequncia finita { } = { 2, 2, 2, 2, 2 } tem os seguinte elementos 1 = 2,

2 = 2, 3 = 2, 4 = 2 e 5 = 2. Mas o conjunto dos seus termos tem apenas o elemento 2.

O Conjunto dos Termos de uma Sequncia { } a lista dos nmeros, ou

elementos, que compe a sequncia, denotada por ( ).

1



FORMANDO SEQUNCIAS

O CONJUNTO DOS TERMOS DE UMA SEQUNCIA

A SEQUNCIA CONSTANTE =

( 1 ) A sequncia constante = k, uma sequncia cujos termos so todos iguais.

( 2 ) a sequncia cujos termos so { } = { , , , . . . , }.

( 3 ) O conjunto dos seus termos o conjunto unitrio { }: ( ) = { }.

A SEQUNCIA OSCILANTE = { 0,

1 ,

( 1 ) Os termos de { } so { } = { 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . . , . . . };

( 2 ) Os termos de { } oscilam entre 1 e 0.

( 3 ) O conjunto dos seus termos ( ) = { 0,1 }.

A SEQUNCIA OSCILANTE =

( 1 ) Os termos de { } so { } = { 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, . . . };

( 2 ) Os termos de { } oscilam entre 1, 0 e 1;

( 3 ) O conjunto dos seus termos ( ) = { 1, 0,1 }.

A SEQUNCIA OSCILANTE = ( ) +

( 1 ) Os termos de { } so { } = { 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . };

( 2 ) Os termos de { } oscilam entre 1 1;

( 3 ) O conjunto dos seus termos ( ) = { 1, 1 }.

A SEQUNCIA DE FIBONACCI = { 1 = 12 = 1

= 1 + 2, 3

( 1 ) A Sequncia de Fibonacci, definida recursivamente, diz :

( 2 ) Cada termo a partir do 3 termo, igual a soma dos dois termos precedentes;

( 2 ) Os termos de { } so { } = { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . };

( 3 ) O conjunto dos seus termos ( ) = { 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . . };

EXEMPLO 1

E 1 A

E 1 B

E 1 C

E 1 D

E 1 E

2



FORMANDO SEQUNCIAS

{ } = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . }

( 1 ) Temos: 1 1 = 1; 2 2 = 2; 3 3 = 3; . . . , de modo que n = n;

( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por = ;

{ } = { 2, 4, 6, 8, 10, . . . }

( 1 ) Temos: 1 1 = 2 = 2. 1;

2 2 = 4 = 2. 2;

3 3 = 6 = 2. 3; . . . , de modo que n = 2. n;


{ } = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . }

( 1 ) Temos: 1 1 = 1;

2 2 = 3 = 2. 2 1 ;

3 3 = 5 = 2. 3 1;

4 4 = 7 = 2. 4 1, . . . , de modo que n = 2. n 1 ;


{ } = { 1, , , , , . . . };

( 1 ) Temos: 1 1 = 1;

2 2 = 1 2 ,

3 3 = 1 3 , . . . , de modo que n = ;

( 2 ) Portanto, o termo geral dado por =

;

EXEMPLO 2

E 2 A

Muitas vezes, mas nem sempre, a partir de alguns termos possvel intuir ou reconhecer a Lei de Formao ou Regra Geral de uma sequncia.

E 2 C

E 2 B

E 2 D



FORMANDO SEQUNCIAS II

{ } = { 1, , , , , . . . };

( 1 ) Temos: 1 1 = 1;

2 2 = 1 3 ;

3 3 = 1 5 ; . . . , de modo que

n = ( ) ,

( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por =

;

{ } = { 1, 1, 1, 1, 1, . . . }

( 1 ) Temos: 1 1 = 1 = (1)1+1 = (1)2 = 1;

2 2 = 1 = (1)2+1 = (1)3 = 1;

3 3 = 1 = (1)3 +1 = (1)4 = 1; . . . de modo que

n = (1)n +1

( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por = () +;

{ } = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . }

( 1 ) Temos: 1 1 = 1 = (1)1+1. ( 2. 1 1 ) = (1)2 . 1 = 1. 1 = 1

2 2 = 3 = (1)2 +1. ( 2. 2 1 ) = (1)3 . 3 = 1. 3 = 3 ;

3 3 = 5 = (1)3 +1. ( 2. 3 1 ) = (1)4 . 5 = 1. 5 = 5;

4 4 = 7 = (1)4 +1. ( 2. 4 1 ) = (1)5 . 7 = 1. 7 = 7, . . . , de modo que

n (1)n +1. ( 2. n 1 ) ;

( 2 ) Portanto, o termo geral deve ser dado por = (1)n +1 ( );

EXEMPLO 3

E 3 A

Muitas vezes, mas nem sempre, a partir de alguns termos possvel intuir ou reconhecer a Lei de Formao ou Regra Geral de uma sequncia.

E 3 C

E 3 B



OS NMEROS PRIMOS

( 1 ) Nem sempre possvel encontrar uma regra ou lei de formao de uma sequencia entre os termos de uma sequncia;

( 2 ) Um bom exemplo a sequncia { } dos nmero primos; ( 3 ) Um numero inteiro positivo > 1 PRIMO se os seus nicos divisores positivos so ele mesmo e a unidade; ( 4 ) A lista dos 10 primeiros nmeros primos { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 }; ( 5 ) Um nmero inteiro positivo maior do que 1 que no primo diz-se COMPOSTO; ( 6 ) 2 o nico nmero primo par; ( 7 ) Nmeros Primos Impares consecutivos so chamados Primos Gmeos; Por exemplo, 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 17 e 19 ou, 29 e 31; ( 8 ) 3, 5 e 7 o nico terno de nmeros primos impares e consecutivos; ( 9 ) CONJECTURA DE GOLDBACH O matemtico alemo Christian Goldbach em carta ao matemtico suo Leonhard Paul Euler, observou que TODO INTEIRO PAR MAIOR DO QUE 4 PODE SER ESCRITO COMO SOMA DE DOIS INTEIROS IMPARES;

Assim, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11 = 7 + 7, . . . ( 10 ) Muitas frmulas para construir nmeros primos foram propostas, entretanto, ainda na ausncia de uma regra geral, desde o sculo II aC contamos com um processo prtico desenvolvido pelo matemtico grego Eratstenes, tambm conhecido por calcular a medida da circunferncia da Terra; ( 11 ) O CRIVO DE ERATSTENES::

A ) Escreva os inteiros positivos de 2 at um nmero inteiro positivo ; B ) Elimine todos os inteiros compostos mltiplos dos primos p tais que p

C) Assim, se n = 100, os primos p tais que p 100 = 10 so 2, 3, 5 e 7; D ) Ento elimine os inteiros compostos mltiplos de 2, 3, 4 e 7 para formar a

lista dos Nmeros Primos entre 2, inclusive, e 100:

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96

97 98 99 100

( 12 ) Teorema de Euclides: O conjunto dos Nmeros Primos infinito; ( 13 ) Teorema Fundamental da Aritmtica:

Todo inteiro positivo > 1 igual a um produto de fatores primos, chamado decomposio em fatores primos do nmero ; ( 14 ) Toda decomposio de um nmero inteiro e positivo > 1 na forma

= 11 . 2

2 . . . . . ,

onde 1, 2, . . . , so nmeros primos e 1, 1, . . . , so nmeros inteiros e positivos, chamada Decomposio Cannica do nmero ;

Por exemplo, 360 = 2.2.2.3.3.5 = 2. 3. 5 ou 17460 = 2. 3. 5. 7.

EXEMPLO 4



NMEROS IRRACIONAIS

No sculo V aC os gregos descobrem que nem todas as grandezas geomtricas da mesma espcie so comensurveis: existem grandezas de mesma natureza que no so mltiplas racionais entre si. Dito de outro modo: os nmeros racionais no so suficientes para descrever todas as medidas de comprimentos.

Pitgoras havia demonstrado que em todo tringulo retngulo o quadrado da hipotenusa igual soma dos quadrados dos catetos. Sabia que num tringulo

retngulo issceles de lado 1 a hipotenusa vale .

Ao provar que no pode ser colocado na forma de frao ou, que um nmero no racional, Pitgoras provocou a primeira grande reviso conceitual da Matemtica, s superada por volta de 370 a.C. com a Teoria das Propores de Eudoxo. Os desdobramentos da Teoria das Propores fornecem no sculo XIX as bases necessrias aos matemticos Richard Dedekind e Karl Theodor Wilhelm Weierstrass para a construo do Sistema dos Nmeros Reais.

Entretanto a convivncia com os nmeros irracionais bem mais antiga.

H mais de 40 sculos sabemos que dividindo o comprimento C de uma circunferncia pela medida do seu dimetro o resultado sempre o mesmo.

Enquanto os egpcios aproximaram este valor para 3,16, os Babilnios usaram 3,12. No sculo III aC Arquimedes usou 3,14 e no sculo II aC Ptolomeu aproximou para 3,1416. Em 1430 o matemtico rabe Al Kashi aproximou para 16 casas decimais e em 1706 o matemtico ingls Williams Jones indicou este valor pela letra

grega . Em 1761 o matemtico suo J.H. Lambert demonstra que irracional, pois

tem infinitas casas decimais que no formam perodo.

Enquanto a histria de recua no tempo, as origens de outro nmero irracional importante nas aplicaes das Cincias e Tecnologia denotado pela letra pelo matemtico suo Leonhard Euler, localizam-se no sculo XVI quando se percebeu

que a sequncia { } da frmula dos juros compostos tende ao valor 2,71828.

As tabelas abaixo mostram que a medida que o nmero aumenta a sequncia () = se aproxima do nmero e: o primeiro nmero a ser definido por um

processo de limite:

1 2 3 10.000 . . . 1.000.000

( ) (1 +

1

)

2 2,25 2,370370369 . . . 2,711814927 . . .2,718280469

Para valores de cada vez maiores, os termos de ( ) = ficam

cada vez mais prximos do valor e = 2,728281828459045235360287...

Demonstra-se que se n *: lim 1 + 1

=

EXEMPLO 5



FORMANDO SEQUNCIAS III

Seja { } = { 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, . . . };

( 1 ) Observe que a partir do 2 termo diferena entre cada termo e o termo anterior

sempre constante e igual a 7:

( 2 ) 9 2 = 7, 16 9 = 7, 23 16 = 7, 30 23 = 7, 37 30 = 7, . . . ,

( 3 ) Dados 3 termos consecutivos, o termo do meio ou termo mdio Mdia

Aritmtica entre os outros dois:

( 4 ) 9 16, 23, 30, 37, . . . ,

( 5 ) Sequncias que observam estas propriedades denominam-se Progresses

Aritmticas, abreviadamente PA.

Seja a PA { } = { , , , . . . , . . . }

( 1 ) A partir do 2 termo a diferena constante entre cada termo e o termo anterior

1 da sequncia { } chamada razo :

( 2 ) = 1

( 3 ) Assim, se a1 o primeiro termo de uma PA, ento:

= r = + r;

= r = + r = + r + r = + 2 r;

= r = + r = + 2 r + r = + 3 r ;

= r = + r = + 3 r + r = + 4 r . ( 4 ) E assim sucessivamente deduzimos a Frmula Geral de uma PA:

= a1 + ( ) .

{ k, k, k, k, k, . . . } uma PA com 1= , = 0 e = k ;

{ 1, 2, 3, 4, 5, . . . } uma PA com 1= 1, = 1 e = .

E 6 B

EXEMPLO 6

E 6 A

A PA, Progresso Aritmtica, uma importante sequncia que permite reconhecer dentre os nmero interessantes propriedades;

E 6 C

E 6 D



FORMANDO SEQUNCIAS IV

{ } = { 2, 4, 6, 8, 10, . . . } uma PA com 1 = 2 e = 2;

( 1 ) O termo geral, dado por = a1 + ( ), tal que = 2 + ( ) ;

( 2 ) Ou seja, = 2;

{ } = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } uma PA com 1 = 1 e = 2;

( 1 ) O termo geral, dado por = b1 + ( ), tal que = 1 + ( ) ;

( 2 ) Ou seja, = 2 1;

{ } = { 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, . . . } uma PA com 1 = 6 e = 2;

( 1 ) O termo geral, dado por = c1 + ( ), tal que = 6 + ( ) ;

( 2 ) Ou seja, = 2 8 ;

{ } = { 0, , 3, , 6, , . . . }

( 1 ) uma PA com 1 = 0 e = 3 2 ; ( 2 ) O termo geral, dado por = d1 + ( ), tal que = 0 + ( ) ;

( 2 ) Ou seja, = 3n 2 - 3 2 ;

Elementos Termo Razo Termo Geral

{ 12, 7, 2, 3, 8, . . . } 12 5 = 5 + 17

{ 5, 7 2 , 2, 1 2 , 1, . . . } 5 3 2 = 3 2 + 13 2

Os 3 primeiros termos da PA de razo 7 e = 7635, so calculados:

( 1 ) = + ( 321 1 ) 7 7635 = + 7. 320 = 5395;

( 2 ) Como = + r e = + 2r, ento = 5402 e = 5409.

EXEMPLO 7

E 7 A

O termo Geral de uma PA de 1 termo e razo = a1 + ( ) . A PA crescente se > 0, decrescente se < 0 e constante se = 0.

E 7 B

E 7 C

E 7 D

EXEMPLO 8

E 8 A

E 8 B



FORMANDO SEQUNCIAS V

Seja { } = { 3, 9, 27, 81, 243, . . . };

( 1 ) Observe que a partir do 2 termo o quociente de cada termo pelo termo anterior

sempre constante e igual a 3:

( 2 ) 9 3 = 3, 27 9 = 3, 81 27 = 3, 243 81 = 3, . . . ,

( 3 ) De cada 3 termos consecutivos o termo do meio ao quadrado igual ao produto

dos outros dois. O termo do meio a Mdia Geomtrica dos outros dois: 9 = 3 . 27,

27 = 9 . 81, 81 = 27 . 243,

( 4 ) Sequncias com estas propriedades denominam-se Progresses Geomtricas.

Seja a PG de razo , { } = { , , , . . . , . . . };

( 1 ) A partir do 2 termo o quociente de cada termo pelo termo anterior 1 sempre constante e igual a razo : ( 2 ) = / 1

( 3 ) Assim, se a1 o primeiro termo de uma PG, ento: / = = ;

/ = = . = . . = ;

/ = = = . . = ;

/ = = = . = 4 .

( 4 ) E assim sucessivamente deduzimos a Frmula Geral da PG: = ,

ou, considerando o 1 termo = , =

( 5 ) Dados 3 termos consecutivos , e , o termo do meio ao quadrado igual ao Produto dos outros dois. O termo mdio chamado Mdia Geomtrica

Ou seja, como

=

, ento = .

Nmero de termos da PG { } = { 3, 15, . . . , 3.662.109.375 };

( 1 ) Temos = 3, = 5 e = 3.662.109.375;

( 2 ) Como = 1 3. 5 1 = 3.662.109.375; 5 1 = 1.220.703.125 b; ( 3 ) Assim, 5 1 = 513 1 = 13 = 14.

EXEMPLO 9

E 9 A

A PG, Progresso Geomtrica, outra importante sequncia que permite reconhecer dentre os termos interessantes propriedades;

E 9 B

E 9 C



SOMA DE UMA PA FINITA

Numa sala de aula do ano 1787 o professor pede aos alunos que faam a soma dos 100 primeiros nmeros inteiros positivos.

Em poucos minutos o jovem Karl Friedrich Gauss, ento com 10 anos, apresenta o resultado: 5050.

Intrigado, o professor questiona como Gauss encontrou o resultado. Gauss explica:

( 1 ) Somando os extremos da sequncia { 1, 2, 3, . . . ., 98, 99, 100 } encontramos

sempre o mesmo valor, o nmero 101;

1 + 2 + 3 + 4 + . . . + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + . . . + 98 + 99 + 100 1 + 100 = 101 2 + 99 = 101 50 + 51 = 101 ( 2 ) 101 dividido por 2 d o termo mdio da sequncia, o valor 50,5;

( 3 ) A sequencia tem 100 termos;

( 4 ) Assim, concluiu, 100 vezes o termo mdio d a soma 5050 = 50,5 x 100;

Mais detalhadamente, o raciocnio geral o seguinte:

( 5 ) Seja a PA finita { 1, 2, 3, . . . , 2, 1, }

( 2 ) Como = + ( ) = +

2 = 1 + , 3 = 1 + 2, . . . ,

2 = 1 + ( 2 1 ) = 1 + 2 = 2

1 = 1 + ( 1 1 ) = 1 + =

( 3 ) Seja a soma dos primeiros termos da PA:

= 1 + 2 + 3 + . . . + 2 + 1 + ou,

= 1 + 1 + + 1 + 2 . . . + 2 + +

( 4 ) Formamos a soma da esquerda para a a direita e da direita para a esquerda:

{ = 1 + + 1 + 2 . . . + 2 + + = + 2 . . . + 1 + 2 + 1 + + 1

( 5 ) Assim, + = ( 1 + ) + ( 1 + ) + ( 1 + ) + . . . + ( 1 + )

( 7 ) Temos parcelas ( 1 + )

( 8 ) Portanto, 2 = (1 + )

( 9 ) = ( + )

, representa a soma dos n termos de uma PA finita.

3



SOMA DE UMA PA

Soma dos primeiros Nmeros Inteiros e Positivos

( 1 ) Seja { } = { 1, 2, 3, 4, . . . , n }; ( 2 ) Temos 1 = 1, r = 1, = e S = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + n;

( 3 ) Ento S = ( + )

=

( + )

ou S =

( + )

.

Soma dos Primeiros Nmeros Inteiros e Positivos Pares

( 1 ) Seja { } = { 2, 4, 6, . . . , 2n }; ( 2 ) Temos 1 = 2, r = 2, = 2n e S = 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n;

( 3 ) S = n ( 1 + )

2 =

n ( 2 + 2 )

2 S =

2 ( + 1 )

2 S = ( + 1 ).

Soma dos Primeiros Nmeros Inteiros e Positivos Impares

( 1 ) Seja { } = { 1, 3, 5, . . . , 2 1 }; ( 2 ) Temos 1 = 1, r = 2, = 2n 1 e S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 2n 1;

( 3 ) S = n ( 1 + )

2 =

n ( 1 + 2 1 )

2 S = .

Soma dos Mltiplos de 9 entre 100 e 3000

( 1 ) Como o 1 e o ltimo mltiplo de 9 entre 100 e 3000 so, respectivamente, 108 e

2997, temos uma PA tal que 1 = 108, = 2997e r = 9;

( 2 ) = 1 + ( 1 ) 2997 = 108 + ( 1 ). 9 = 322 mltiplos; ( 3 ) A soma dos mltiplos de 9 entre 100 e 3000 :

S = 108 + 117 + 126 + . . . + 2997

( 4 ) S = n ( 1 + )

2 =

322 ( 108 + 2997 )

2 S = 499.905

Soma dos Nmeros Inteiros de 100 at 3000

( 1 ) Temos a PA { 100, 101, 102, . . . , 3000 } tal que 1 = 100, = 3000 e r = 1;

( 2 ) = 1 + ( 1 ) 3000 = 100 + ( 1 ). 1 = 2901;

( 3 ) A soma S = 100 + 101 + . . . + 3000 = 2901 ( 100 + 3000 )

2 S = 4.496.550.

EXEMPLO 10

E 10 A

= ( + )

E 10 B

E 10 C

E 10 D

E 10 E



SOMA DE UMA PG FINITA

O relato abaixo d uma ideia do significado de uma Progresso Geomtrica e baseado na Lenda de Sessa, sobre a histria do Jogo de Xadrez, do livro Os Nmeros - Histria de uma grande inveno do matemtico Georges Ifrah. No sculo VI o rei hindu Iadava, Senhor da Provncia de Taligana, entrou em profunda depresso pela morte de seu filho nico em batalha. As preces e splicas dos brmanes no conseguiam aplacar a tristeza e angustia do rei.

At que um dia o brmane Lahur Sessa procurou o rei e lhe mostrou um jogo que poderia lhe acalmar o espirito. O jogo, um tabuleiro com 64 quadrados pretos e brancos e peas brancas e pretas que representavam a infantaria, a cavalaria, carros de combate, o vizir, a rainha e o rei. Depois das explicaes o rei perguntou por que a rainha era a pea mais forte do jogo. Sessa explicou que a rainha representa o patriotismo do povo, que a maior fora do reino.

O rei aprendeu as regras, estudou planos de defesa e ataque e de algum modo foi aceitando a fatalidade que pode resultar em paz e liberdade para o povo. Diz a lenda o rei quis recompensar Sessa, deixando que ele escolhesse o que quisesse. Sessa pediu para pensar e aps um dia solicitou a quantidade de gros de trigo correspondentes as 64 casas do seu jogo assim dispostos: 1 gro na 1 casa, 2 na 2, 4 na a 3 casa, 8 na 4 casa, 16 na 5, 32 na 6, e assim em diante.

O rei achou o pedido fcil e ordenou que fosse atendido at o final do dia. Mas a noite chegou e os matemticos do rei no conseguiam determinar as quantidades.

O rei ordenou que o problema estivesse resolvido at o amanhecer. E ao amanhecer o rei ia dispensar seus calculadores, pois o problema no

estava resolvido, quando um dos conselheiros interviu dizendo que os matemticos do norte haviam desenvolvido tcnicas que reduziam para horas o trabalho de dias.

Um dos matemticos do norte apresentou ao rei o resultado do pedido de Sessa: para juntar a quantidade pedida era necessrio semear 73 vezes seguidas sobre uma rea equivalente a toda superfcie da Terra.

E, para armazenar tal volume, 12 bilhes e 3 milhes de metros cbicos, seria preciso construir um celeiro de 5 metros de largura, 10 de comprimento e 300 milhes de quilmetros de profundidade.

Ou seja, uma altura 2 vezes a distncia da terra ao sol.

Isto porque, a quantidade de gro na casa 64 igual a 263 dando um total de gros de N = 1 + 2 + 2 + 2 + 24 + . . . + 263.

Portanto, disse o matemtico, acrescentando 1 grau ao total temos N + 1 = 2 +

2 + 2 + 2 + 24 + . . . + 263 = 2 ( 1 + 1 + 2 + 2 + 23 + . . . + 262 ) = 2 ( 2 + 2 + 2 + 23 + . . . + 262 ) = 2. 2 ( 1 + 1 + 2 + 2 + 23 + . . . + 261 ) = 2. 2 ( 2 + 2 + 2 + 23 + . . . + 261 ) = 2. 2. 2 ( 1 + 1 + 2 + 2 + 23 + . . . + 260 ) = . . . = 2 ( 2 + 2 + 2 + 23 + . . . + 260 ) = . . . = 263. 2 = 264. Assim N = 264 1 = 18.446.744.073.709.551.615 gros.

O rei, impressionado com a sutileza do pedido e os clculos desenvolvidos, temendo no cumprir sua palavra, perguntou como fazer para saldar tal dvida.

A resposta foi propor ao brmane contar pessoalmente gro por gro toda a quantidade solicitada. Mesmo que ele trabalhasse dia e noite sem descanso a razo de 1 gro por segundo, ele s recolheria em torno de 20 m em 10 anos.

Mas Sessa declarou que abria mo do pedido e pediu ao rei para meditar sobre a aparncia enganadora dos nmeros e a falsa modstia dos ambiciosos.

4



SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA

Seja = + + + + . . . + a soma dos n termos da

PG finita { } = { , , , , . . . , }

( 1 ) Se = 1, = + + + + . . . + = ( 2 ) Se 1, temos = + + + + . . . + = + +

+ + . . . + + ( 3 ) Ento =

( ) =

( 4 ) = ( )

SOMA DOS 64 TERMOS DA PG { 1, 2, 4, 8, 16, 32, . . . , }

( 1 ) Temos: a = 1, r = 2 e n = 64

( 2 ) = ( )

=

1 ( 1 264 )

1 2 =

1 264

1

( 3 ) = [1 (210. 210. 210. 210. 210. 210. 24 ) ] = 210. 210. 210. 210. 210. 210. 24 1 = 1024. 1024. 1024. 1024. 1024. 1024. 16 1 =

= ( 1.073.741.824 ) ( 1.073.741.824) .16 = 18.446.744.073.709.551.616 1

( 4 ) = 18.446.744.073.709.551.615.

Determine 3 nmeros , e em PA com soma 6 tais que, adicionando a cada um deles, respectivamente os nmeros 3, 6 e 9, eles formam PG.

( 1 ) A sequncia { , , } forma uma PA tal que + + = 6 + = 6

( 2 ) Devemos ter = 2 = +

( 3 ) De ( 1 ) e ( 2 ) segue-se 2 = 6 3 = 6 = 2 { , , } = { , 2, };

( 4 ) Agora, somando a cada termo da sequncia { , 2, } respectivamente os

nmeros 3, 6 e 9, temos uma sequncia { + 3, 2 + 6, + 9 } = { + 3, 8, + 9 };

( 6 ) Como { + 3, 8, + 9 } deve formar uma PG, devemos ter 8

+ 3 =

+ 9

8 ( + 3 ) ( + 9 ) = 64 4 + 9 + 12 3 + 27 = 64

10 + 25 = 0 = 5; ( 7 ) Como a + c = 2b 5 + c = 4 c = 1;

( 8 ) Os nmeros so , { , , } = , { 5, 2, 1 }.

PRODUTO DOS TERMOS DE UMA PG FINITA .

( 1 ) Na PG { , , , , . . . , 1 } seja P o produto dos seus termos; ( 2 ) P = . . . . . . . . 1 = . 1 + 2 + 3 + . . .+

( 3 ) Como 1 + 2 + 3 + . . . + = ( + 1 )

2, ento P = ( + 1 ) 2

.

E 11 C

EXEMPLO 11

E 11 A

E 11 B

E 11 D



LIMITE DE UMA SEQUNCIA

O quadro abaixo mostra alguns valores da sequncia = :

n 1 2 3 4 . . . 10 1000 10000 100000000000

1 1,43 1,67 1,81 . . . 2,7139 2,4962 2,499962 2,499999999996

Enquanto n cada vez maior, ou n tende ao infinito, simbolicamente n ,

os valores de aproximam-se cada vez mais do valor L = 5 2 , que se caracteriza como um valor limite.

E mais ainda.

A diferena entre o valor limite L = 2,5 e o termo geral de tal que

L = 2,5 = ,

cada vez menor e mais prximo de 0 quando n : L 0 , quando n suficientemente grande.

Indicamos este comportamento escrevendo = 2,5.

A notao = L diz que os termos de { } aproximam-se do nmero real L quando n torna-se grande.

Mais precisamente:

DEF 2: A sequncia { } tem limite L se podemos tornar os termos fn cada

vez mais prximos de L para n suficientemente grande. Escrevemos

= L e dizemos que

a sequncia { } converge ou convergente para L R.

DEF 3: A sequncia { } tem limite L = se para cada 0 < < 1

dado existe um inteiro positivo 0 tal que < sempre que > 0 .

Ou seja, " 0 < < 1, $ 0 / < sempre que > 0.

5

DEF 3:

Se no existe , = + ou = , a

sequncia { } denominada divergente, diverge ou no tem limite.



MOSTRE QUE = = 5

2;

( 1 ) Devemos mostrar que, DMQ, dado 0 < < 1 , existe um ndice 0 tal que

< sempre que > 0;

( 2 ) Ou seja, DMQ dado 0 < < 1, existe 0 tal que |

5

2 | < sempre

que > 0;

( 3 ) Agora, | 5

2 | < |

5

2 + 3

5

2 | < | 10 5 ( 2 + 3 )

2 + 3 | <

|10 10 15

2 ( 2 + 3 )| < | 15

4 + 6| <

15

4 + 6< 4 + 6 > 15 >

15 6

4

( 3 ) Como > 0 e > 15 6

4 , podemos tomar 0 =

15 6

4 ou 0 igual ao inteiro

mais prximo de 15 6

4 ;

( 5 ) Assim, dado 0 < < 1, mostramos que existe um ndice 0 que satisfaz a

definio de limite de uma sequencia tal que = 5

2;

( 6 ) Como | 5

2 | < sempre que > 0, temos <

5

2 <

5

2 < <

5

2 + ;

( 7 ) O que quer dizer que dado > 0, existe um nmero inteiro 0 = 15 6

4 tal que,

para todo inteiro positivo > 0, todos os termos da sequencia { } esto

contidos na faixa 5

2 < <

5

2 + , chamada Regio de Convergncia;

( 8 ) A tabela abaixo ilustra o que ocorre para alguns dados valores de :

0 = 15 6

4

5

2 < <

5

2 +

Leitura

0,1 36 2,4 < < 2,6 Existem 36 termos fora da regio de

convergncia

0,01 373 2,49 < < 2,51 Existem 373 termos fora da regio de

convergncia

0,001 3748 2,499 < < 2,501 Existem 3.748 termos fora da regio de

convergncia

0,000001 3.749.998 2,499999 < < 2,500001 Existem 3.749.998 termos fora da

regio de convergncia

( 9 ) Por exemplo, se = 0,1 existem 36 termos fora da regio da convergncia.

Observe:

( 37 ) = 2,402; ( 2000 ) = 2,498126405; ( 1.000.000.000 ) = 2,499999996.

EXEMPLO 12



PROPOSIES FUNDAMENTAIS I

UMA SEQUNCIA { } NO CONVERGE PARA DOIS

LIMITES DIFERENTES.

( 1 ) Numa sequncia convergente, para n suficientemente grande, dois termos

consecutivos e + 1 devem estar suficientemente prximos;

( 2 ) Ou seja, a distncia entre os termos e + 1 deve ser cada vez menor;

( 3 ) O que a proposio afirma que o termo da sequncia { } no pode estar prximo de dois nmeros diferentes 1 e 2 para n suficientemente grande;

( 4 ) Para mostrar essa impossibilidade, suponha 1 = e 2 = , com 1

2, para concluir que 1 s pode ser igual a 2;

( 5 ) Por hiptese, dado 0 < < 1 devemos encontrar um ndice 0 tal que:

1 < 2 sempre que > 0 e 2 < 2 sempre que > 0; ( 6 ) Assim, 1 2 = 1 + 2 = ( 1 ) + ( 2) ;

( 7 ) Ocorre que, dados e reais, sempre verdade que + + ;

( 8 ) Portanto ( 1 ) + ( 2) 1 + 2 < 2 + 2 = ;

( 9 ) Decorre que 1 2 < ;

( 10 ) Logo 1 2 deve ser igual a zero e assim 1 = 2.

( 11 ) Se o no nico, ele dito no existir e sequncia { } divergente.

SE { }, { } E { } SO SEQUNCIAS TAIS QUE

e = = L, ENTO = L.

( 1 ) Dado 0 < < 1, $ 0 tal que < e < com > 0;

( 2 ) Como , ento L L L;

( 3 ) Agora, < < < e < < < ;

( 4 ) Da L L L L < e = L.

SEJA { } TAL QUE = 0. ENTO = 0.

( 1 ) Por hiptese, { | | } e { | | } convergem para zero;

( 2 ) Mas, para todo nmero real , | | | |;

( 3 ) Ento | | | |;

( 4 ) Pela Proposio 2, = 0.

Por exemplo, seja = ( 1 ) + 1

1

. Ento | = | ( 1 )

+ 1 1

| =

| ( 1 ) + 1 1

| =

1

= 0. Portanto, ( 1 ) + 1

1

= 0.

PROPOSIO 1

6

PROPOSIO 2

PROPOSIO 3



Seja = . Ento = = +

( 1 ) Os termos da sequncia = so { 1, 4, 9, 16, . . . , n, . . . };

( 2 ) Enquanto o ndice n aumenta, os termos de = crescem ilimitadamente;

( 3 ) Ou seja, para todo M > 0, existe um ndice 0 tal que > 0 > M;

( 4 ) Portanto, = + ;

( 5 ) Por exemplo, seja M = 172.815. Ento n > M n > 172.815 n > 172. 815

ou n < 172. 815. Como n , ento n > 415,71

( 6 ) Assim, se 0 = 416, ento para > 0 seja = 417 e ( 417 ) = 173.889; ( 7 ) Portanto, = > 172.815 sempre que n > 416.

Seja = () + = { 1, 1, 1, 1, . . . }

( 1 ) Os termos da sequncia oscilam entre 1 e 1;

( 2 ) A distncia entre dois termos e + sempre igual a 2 e portanto jamais

ser suficientemente pequena;

( 3 ) Raciocinando por absurdo, suponha = () + com limite L;

( 4 ) Ento, dado 0 < < 1, digamos = 1 2 , deve existir um ndice 0 tal que

| () + | < 1 2 sempre que > 0;

( 4 )|() + | < 0,5 0,5 < () + < 0,5 {0,5 < 1 < 0,5, 0,5 < 1 < 0,5,

= {1,5 < < 1,5, 0,5 < < 1,5,

= {0,5 < < 1,5, 1,5 < < 0,5,

( 5 ) L ( 0,5; 1,5 ) ou L ( 1,5; 0,5 )

( 6 ) L no nico: observe que () + = 1 e ()

+ = 1;

( 8 ) Portanto, para todo n , () + no definido ou, no existe.

Seja =

, real.

SE < 1, = {

} CONVERGE PARA ZERO.

( 1 ) De fato. Devemos mostrar que

dado 0 < < 1, $ 0 tal que < sempre que > 0;

( 2 ) < < <

( 3 ) Ento < < ;

( 4 ) Agora, se < 1, ento < 1;

( 5 ) Portanto < > ( 6 ) Como > 0 e > , podemos tomar 0 = .

SE > 1, = { } DIVERGE.

EXEMPLO 13

EXEMPLO 14

EXEMPLO 15

E 15 A

E 15 B



PROPRIEDADES OPERACIONAIS DOS LIMITES I

A definio de limite de uma sequencia convergente { } diz que a partir de certo ndice 0 todos os termos de ndice > 0 esto em uma faixa, denominada Regio de Convergncia, determinada pelas retas y = L e y = L + :

L + L +

L L

L L

+

A definio esclarece o que devemos entender por de limite de uma sequncia. Entretanto, para calcular o valor limite de uma sequncia, devemos utilizar as

propriedades dos limites das funes reais de uma varivel real , pois elas se estendem s sequncias reais. o que garante o teorema:

Daqui em diante, Considere = , pois n .

Por exemplo, se x e f( x ) = 5

2 + 3 , ento, o

5

2 + 3 pode ser calculado

dividindo o numerador e o denominador pela maior potncia de :

( 1 ) lim 5 + 9

2 + 17 =

5

2 + 3

= 5

2

+

3

= 5

2 + 3

;

( 2 ) Assim, 5

2 + 3

= lim 5

2 + 3

=

lim5

lim2 +lim 3

;

( 2 ) Como lim 1

= 0, ento lim

3

= 3 lim

1

= 0;

( 3 ) Assim, lim 5

2 + 3 =

5

2 + 0 =

5

2.

( 4 ) Assim, se f( n ) = 5

2 + 3 , para n , ento

5

2 + 3 =

5

2.

7

Se ( ) = ( ) = , =

PROPOSIO 4



PROPRIEDADES OPERACIONAIS DOS LIMITES

Considere { } e { } sequencias convergentes de limite L e M, respectivamente. Ento, considerando = , pois n

, e k real:

L 1 ) = L 2 ) =

L 3 ) ( + ) = + L 4 ) ( . ) = .

L 5 )

=

= {

, 0 , 0 = 0

= 0 = 0.

L 6 ) =

L 7 ) ( ) = ( )

=

L 8 ) ( ) = ( ) = , se definido;

L 9 ) Se : [ a, ) , ento

= + e (1 )

= 0

Sejam ( ) = 0 + 1 + 2 + . . . + e

( ) = 0 + 1 + . . . +

. Ento,

L 10 ) ( )

=

L 11 ) [ ( ) ( )]

= ( )

Por exemplo,

( 1 ) 5

2 + 3 =

5

2 =

5

2 =

5

2;

( 2 ) 27 +73+5

936+12 = lim

27 +73+5

336+12 = lim

27

3 = lim

27

3 =

27

9 = 3.

8



PROPRIEDADES OPERACIONAIS DOS LIMITES III

O quadro abaixo resume as principais propriedades operacionais do limite das funes reais de varivel real quando :

Hipteses Concluso

1 ( ) = + e ( ) = +

[( + )( )] = +

2 ( ) = e ( ) =

[( + )( )] =

3 ( ) = + e ( ) = M 0

()( ) = {+, > 0, < 0

4 ( ) = e ( ) = M 0 ()( ) = {, > 0+, < 0

5 ( ) = + e ( ) = +

()( ) = +

6 ( ) = + e ( ) =

()( ) =

7 ( ) = e ( ) =

()( ) = +

8 ( ) = +

1 ( ) = 0

9 ( ) =

1 ( ) = 0

10 ( ) = 0

1 ( ) = +

No possvel estabelecer uma regra para os seguintes casos:

Hipteses No h Concluso

1 ( ) = + e ( ) = +

[( )( )]

2 ( ) = e ( ) =

[( )( )]

3 ( ) = + e ( ) =

[( + )( )]

4 ( ) ={

+

e ( ) = 0

()( )

5 ( ) ={

+

e ( ) = {+

(/)( )

9



CLCULO DO LIMITE DE UMA SEQUENCIA

( 8 5 + 7 ) = (8 ) = 8 lim = + ;

(3 + 62 3 + 2 ) = ( 5 ) = ( ) = ;

( 9 5 ) ( 2 + 12 ) = ( 9 ) ( 2 ) = ( 9 ) ( 2 ) = 9/2;

.

( 32 5 + 3 ) ( 5 + 4 ) = 3 5 = 3/5 = + .

CLCULO DO LIMITE DE UMA SEQUENCIA

10 17

2 + 32 +

+ 1 =

10

2 +

= 5 + 1 = 6

( 7 5 ) ( 8 + 3 ) = ( 5 ) ( 8 ) = (5 8 ) = 5 8 .

( 102 + 8 ) ( 53 + 2 7 ) = 102 53 = 2 1 = 0

( 2 5 )3( 3 7 )2 5 = (2)3(3 )2 5 = 72lim 5 5 = 72

( 4 + 5 3 + 4 ) = .

( 1 ) Multiplicando = 4 + 5 3 + 4 pelo seu conjugado temos

= 4 + 5 3 + 4 . 4 + 5 + 3 + 4

4 + 5 + 3 + 4 ;

( 2 ) Lembramos: o conjugado de + ;

( 3 ) Assim =( 2 4 + 5 )

2 ( 2 3 + 4 )

4 + 5 + 3 + 4 =

4 + 5 2 + 3 4

4 + 5 + 3 + 4

( 4 ) Observe que o numerador tem a forma ( ) ( + ) = ;

( 5 ) Portanto, = 1

4 + 5 + 3 + 4 =

( 1

1 )

( 2

2

4

2 +

5

2 ) + (

2

2

3

2 +

4

2 )

= (

1

1 )

1 4

+

5

2 + 1

3

+

4

2 =

1

1

1 4

+

5

2 + 1

3

+

4

2 =

0 1

1 0 + 0 + 1 0 + 0 = 1

EXEMPLO 16

E 16 A

E 16 B

E 16 C

E 16 D

EXEMPLO 17

E 17 B

E 17 C

E 17 D

E 17 A

EXEMPLO 18



CLCULO DE LIMITES

3 + 5 ( + 1 )

( 1 ) Observe que 3 + 5 = + e ( + 1 ) = + ;

( 2 ) 3 + 5 ( + 1 ) = + / + e / um smbolo de indeterminao;

( 3 ) Mas, 3 +5

+1 =

( 1 3

2 +

5

2 )

( 1 + 1

)

= 1

3

2 +

5

2

( 1 + 1

)

= 1

3

2 +

5

2

( 1 + 1

)

( 4 ) Como + , ento = e 3 +5

+1=

1 3

2 +

5

2

( 1 + 1

)

=

1

3

2 +

5

2

( 1 + 1

)

= lim 1

3

2 +

5

2

1 + 1

= lim 1

1 = 1;

( 5 ) Logo, 3 + 5 ( + 1 ) = 1.

[ + 5 + 3 ]

( 1 ) Observe que lim [ + 5 + 3 ] = e o smbolo no tem significado;

( 2 ) Mas, [ + 5 + 3 ] = [ + 5 + 3 ]. [ 2+ 5 +3 + ]

[ 2+ 5 +3 + ] =

( 2+ 5 +3 )2

[ 2+ 5 +3 + ] =

5 + 3

[ 2+ 5 +3 + ];

( 3 ) lim [ + 5 + 3 ] = 5 + 3

[ 2+ 5 +3 + ] =

;

( 4 ) 5 + 3

[ 2+ 5 +3 + ] =

( 5 + 3

)

[ 2( 1 + 5

2 +

3

2 ) + ]

= ( 5 +

3

)

1 + 5

+

3

2 ) +

=

( 5 + 3

)

1 + 5

+

3

2 ) +

= ( 5 +

3

)

[ 1 + 5

+

3

2 ) +

]

= 5 +

3

1 + 5

+

3

2 ) + 1

( 5 ) lim [ + 5 + 3 ] = 5 +

3

1 + 5

+

3

2 ) + 1

= 5 / 2.

EXEMPLO 19

E 19 A

E 19 B



SEQUNCIAS LIMITADAS

E mais ainda.

O nmero tal que chamado um Limitante Inferior ou Cota Inferior da sequncia { } e { } diz-se Limitada Inferiormente.

O nmero b tal que chamado um Limitante Superior ou Cota Superior da sequncia { } e { } diz-se Limitada Superiormente.

Se { } limitada superiormente e inferiormente, { } dita Limitada.

Se { } no for limitada, { } dita Ilimitada. Toda sequncia limitada Inferiormente tem infinitas cotas inferiores. A maior

das cotas inferiores denominada INFIMO de { } e denotada { }. Toda sequncia limitada Superiormente tem infinitas cotas superiores. A menor

das cotas inferiores denominada SUPREMO de { } e denotada { }.

{ } LIMITADA SE, E S SE, { } LIMITADA.

( 1 ) Se { } limitada, ento . ( 2 ) Como todo intervalo [ , ] est contido num intervalo ( , ), com > 0, ento ou . Portanto { } limitada. ( 3 ) Reciprocamente, se existe c > 0 tal que , ento { } limitada.

SEQUNCIAS LIMITADAS

A Sequncia Oscilante = {0,

1, divergente.

( 1 ) Os termos de { } oscilam infinitamente entre 0 e 1;

( 2 ) Como = 0 = 1, no existe o .

( 3 ) Entretanto, { } Limitada, pois o conjunto dos seus termos limitado: a( ) = { 0, 1 };

( 4 ) Observe que { } = 0 e { } = 1.

A Sequncia Oscilante bn = sen divergente, pois:

( 1 ) Seus ternos oscilam infinitamente entre 1, 0, 1 e no existe o ;

( 2 ) { } Limitada, pois o conjunto dos seus termos limitado: ( ) = { 0, 1 };

10

Uma sequncia { } LIMITADA se: ( 1 ) O conjunto dos seus termos limitado ou,

( 2 ) Se existem nmeros reais e tais que .

EXEMPLO 20

E 20 A

E 20 B

PROPOSIO 5



SEQUNCIAS LIMITADAS

A Sequncia Oscilante cn = limitada, pois ( ) = { 1, 1}.

= ou { } = { , , , . . . , , . . . } limitada, pois ( ) = { };

A Sequncia = 1

limitada, pois [ 0, 1 ]:

( 1 ) Um limitante 1 = 1, obtido fazendo = 1;

( 2 ) O outro limitante obtido fazendo : 1

= 0;

( 3 ) Assim, 0 o limitante inferior e 1 o limitante superior de = 1

;

( 4 ) { 1 } = 0, pois 0 a maior das cotas inferiores;

( 5 ) { 1 } = 1, pois 1 a menor das cotas inferiores;

A Sequncia = 2n 1 limitada Inferiormente: [ 1, + )


( 2 ) No existe outro limitante, pois ( 2 1 ) = + ;

( 3 ) Assim, 1 o limitante inferior e a sequncia ilimitada superiormente;

( 4 ) { 2 1} = 1, pois 1 a maior das cotas inferiores; SEQUNCIAS LIMITADAS

A Sequncia = 1 limitada Superiormente, pois ( , 0 ]


( 2 ) No existe outro limitante, pois ( 1 ) = ;

( 3 ) Assim, 1 o limitante Superior e a sequncia ilimitada Inferiormente;

( 4 ) { 1 2} = 0, pois 0 a menor das cotas superiores;

A Sequncia = 3 ( + 2 ) limitada, pois [ 1, 3 ]

( 1 ) Um limitante 1 = 1, obtido fazendo = 1, e o outro 3

+ 2 = 3;

( 2 ) Assim, 1 o limitante inferior e 3 o limitante superior;

( 3 ) { 3 ( + 2 ) } = 1 e { 3 ( + 2 ) } = 3.

= 1

limitada, pois { | 1

| } = {

1 } limitada.

EXEMPLO 21

E 21 C

E 21 D

E 22 A

E 21 B

EXEMPLO 22

E 22 C

E 22 B

E 21 A



SEQUNCIAS MONTONAS

E mais ainda. Uma consequncia da ideia de monotonicidade que o 1 termo um limitante

inferior se { } crescente ou, um limitante superior se { } decrescente. Na determinao da monotonicidade pode-se recorrer a um dos argumentos:

ARGUMENTO 1: CRITRIO DA COMPARAO POR DIFERENA

( 1 ) Faa a diferena + 1

( 2 ) Se + 1 0, ento {} crescente, {} ,

( 3 ) Se + 1 0, ento {} decrescente, {} ,

ARGUMENTO 2: 1 CRITRIO DARAZO

( 1 ) Faa o quociente 1 = + 1

( 2 ) Se 1 > 1, ou 1 1 > 0, {} crescente, {} ,

( 3 ) Se 1 < 1, ou 1 1 < 0, {} decrescente, {} ,

ARGUMENTO 3: 2 CRITRIO DARAZO

( 1 ) Faa o quociente 2 = + 1

( 2 ) Se 1 < 1, ou 1 1 < 0, {} crescente, {} ,

( 3 ) Se 1 > 1, ou 1 1 > 0, {} decrescente, {} ,

ARGUMENTO 4: TESTE DA DERIVADA

( 1 ) Seja F : uma funo real de varivel real positiva denominada

Funo Associada Sequncia = ( ); ( 2 ) Se ( ) 0, Crescente em [ 1, ) e da ( ) ( + 1 ) ou { }

crescente;

( 3 ) Se ( ) 0, Decrescente em [ 1, ) e da ( ) ( + 1 ) ou { } decrescente.

11

Uma sequncia { } MONTONA ( 1 ) CRESCENTE, {} , se 1 2 3 . . . . . . ou ;

( 2 ) DECRESCENTE, {} , se 1 2 3 . . . . . . ou ;

( 3 ) ESTRITAMENTE CRESCENTE, se < ;

( 4 ) ESTRITAMENTE DECRESCENTE, se > .



SEQUNCIAS MONTONAS

= ou { } = { , , , . . . , , . . . }

( 1 ) simultaneamente montona crescente e montona decrescente; ( 2 ) uma sequncia Montona Constante;

( 3 ) Verificando pelo Critrio da Comparao, + 1= = 0 = + 1 ;

A Sequncia cn = ou { } = { 1, 1, 1, 1, . . . }

( 1 ) No crescente e nem decrescente;

( 2 ) Ela Oscilante: os seus termos oscilam infinitamente repetindo o ciclo 1 e 1;

A Sequncia Oscilante =

( 1 ) No crescente e nem decrescente;

( 2 ) Seus ternos oscilam infinitamente repetindo o ciclo entre 1, 0, 1;

A Sequncia = 1

ou { } = { 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . . , 1 ,. . . }

( I ) Pelo CRITRIO DA COMPARAO,

( 1 ) + 1= 1

1

+1 =

+ 1

( + 1 ) =

1

( + 1 )

( 2 ) + 1 0, pois o numerador e o denominador so positivos;

( 3 ) Logo + 1 ou { 1 } decrescente;

( II ) Pelo CRITRIO DA DERIVADA,

( 1 ) Para todo x 1, seja ( ) = 1 = 1;

( 2 ) Ento f( x ) = 2 = 1 < 0;

( 3 ) Logo { 1 } decrescente.

( III ) Pelo 1 CRITRIO DA RAZO,

( 1 ) Seja 1 = + 1 / ;

( 2 ) Ento 1 = ( 1 + 1 ) ( 1 ) 1 = + 1

( 2 ) Agora 1 1 =

+ 1 1 =

1

( + 1 ) =

1

( + 1 ) < 0 1 1 < 0 1 < 0

( 3 ) Como 1 < 0 ou + 1 / < 1, { 1 } decrescente;

EXEMPLO 23

E 24 D

E 23 A

E 24 B

E 24 C



ATIVIDADE DE ESTUDOS 1 ) DESCREVA ATRAVS DE UMA DAS NOTAES DE SEQUNCIAS: A) A sequncia dos nmeros inteiros e positivos; B) A sequncia dos nmeros pares positivos; C) A sequncia dos nmeros impares positivos; D) A sequncia da raiz quadrada dos nmeros inteiros e positivos; E) A sequncia do inverso dos nmeros inteiros e positivos; 2 ) DESCREVA ATRAVS DE UMA DAS NOTAES DAS SEQUNCIAS:

A) A sequncia cujo termo geral = ; B) A sequncia cujo termo geral bn = ; C) A sequncia cujo termo geral = ;

D) A sequncia cujo termo geral dn = . ; 3 ) DESCREVA ATRAVS DE UMA DAS NOTAES DAS SEQUNCIAS:

A) , n { 4, 8, 14, 22, 32, . . . }

B) , n { -3, -2, 0, 4, 12, . . . }

C) , n { 2, 3, 12, 33, 102, . . . }

4 ) SEJA = 3n 4. DETERMINE , , 26, 3k 1, 9k 7 5 ) D O TERMO GERAL DA SEQUNCIA:

A) { , , , , , . . . }; B) { , , , , , . . . };

C) { 4, 6, 8, 10, . . . } 2n + 2 D) { 2, 4, 8, 16, 32, . . . };

E) { , , , , , . . . }; F) { 1, ; ; ; ; . . . };

6 ) D O TERMO GERAL DA SEQUNCIA:

A ) { 10, 8, 6, 4, . . . } 2n 12 B ) { 12, 7, 2, 3, . . . } 17 5 n

C ) { 5, 7/ 2, 2, 1/ 2, 1, . . . } 3n/ 2 + 13/ 2 D ) { 1 /6, 1 /3, 1 /2, . . . } n/ 6

7 ) Se = , determine as constantes A e B tais que = + . 1 e 1

8 ) Seja = .

Determine as constantes A e B tais que = + . e

12



9 ) Faa o grfico da sequncia = n 2 cujo domnio D = { 1, 2, 3, 4, 5 }

10 ) Se = 2n + 3 e = 5 + 3 , descreva em termos de n.

11 ) Determine a soma dos mltiplos de 9 entre 100 e 2500 266 mltiplos e S = 345.933

12 ) Determine a soma dos nmeros inteiros e positivos de 100 a 2000 1.996.050

13 ) Determine a soma dos inteiros positivos de 1 at n S = n (n + 1 ) / 2

14 ) Determine a soma dos mltiplos positivos de 4 formados por 3 algarismos 123.300

15 ) Quais so os 3 primeiros termos de uma PA de razo 7 tal que o termo de ordem 321 igual a 7635 ? 5395, 5402, 5409

16 ) Quantos mltiplos de 7 existem entre 52 e 2339 ? 327

17 ) Determine o 1 termo de uma PA em que a soma do 15 termo com o 24 termo

igual a 300 e a soma do 6 termo com o 13 termo igual 200. 115 /2

18 ) Determine o nmero que deve ser adicionado aos nmeros 4, 5 e 8 para obter, nesta ordem, uma PG. 7/ 2

19 ) Determine os nmeros , e que formam uma PA de soma 6 e so tais que somando a cada um deles, respectivamente, 3, 6 e 9, eles formam uma PG. 5, 2, 1

20 ) Quantos termos tem a PG { 3, 18, . . . , 181.398.528 } ? 11

21 ) Determine os nmeros e tais que 2, a e b, nesta ordem. formam uma PA e , e 12, nesta ordem, formam uma PA. a = 4 e b = 8 ou a = 3 e b = 9/ 2.

22 ) D a soma dos 10 primeiros termos de { 1, 3, 9, . . . }

23 ) Determine a razo de uma PG de 3 termos de soma 19/ 9 e produto 8/ 27. 9 ou 4

VERIFIQUE SE A SEQUNCIA DADA ABAIXO CONVERGE:

24 ) = n (n 2) D 25 ) = L = 1/5

26 ) = L = 5/8 27 ) = D

28 ) = L = 5 29 ) = L = 1

30 ) = sen D 31 ) = ( ) + D

32 ) = ( ) + D 33 ) =

L = 0

34 ) = ( 2 1 ) / ( + 1) L = 4 35 ) = 16 9 / ( n + 3 ) L = 4



VERIFIQUE SE A SEQUNCIA ABAIXO MONTONA:

36 ) = Decrescente 37 ) bn = cos No-montona

38 ) = Decrescente 39 ) dn = Crescente

40 ) = (1)+1

1

,

( 1 ) Os termos de so { 1, 1

2 ,

1

3,

1

4, 1

5,

1

6, . . . };

( 2 ) Sequncias cujos termos mudam alternadamente de sinal so chamadas Sequncias Alternadas; ( 3 ) Sequncias Alternadas no so Montonas, pois no crescentes e nem decrescentes; ( 4 ) A sequncia dada ALTERNADA;

( 5 ) Observe que 1> 2, 2< 3, 3> 4, 4< 5, . . . de modo que - se n impar, > + 1 e + 1< + 2, - se n par, < + 1 e + 1 > + 2; ( 6 ) Os termos de oscilam em torno de 0, aproximando cada vez de 0;

41 ) = (1)+1 , Sequncia Alternada; Se n impar, + e se par,

VERIFIQUE SE A SE QUNCIA MONTONA PELO CRITRIO INDICADO:

42 ) = 9

2 + 5: 1 Critrio da Razo, da Comparao e Critrio da Derivada

43 ) = + 1

+ 5 + 4: Critrio da Comparao e Critrio da Derivada

44 ) = 1 + 2. 3

4 6. 3: Critrio da Derivada

45 ) = 1. 3. 5. 7. . . . ( 2 1 )

2. 4. 6. 8. . . . ( 2 ): 1 Critrio da Razo

VERIFIQUE SE A SEQUNCIA LIMITADA SUPERIOR OU INFERIORMENTE

46 ) = + 1

3 + 2 Limitada 47 ) = 2 Limitada Inferiormente

48 ) = (1)+1

+ 1 Limitada 49 ) = (1)

+1

3 + 1 Limitada

50 ) xn = cos Limitada

SOMATRIOS

Abreviamos a escrita de somas utilizando letra grega , que corresponde ao S

do nosso alfabeto, para significar Somatrio.

O smbolo lido como a soma ou o somatrio dos termos para n

variando de 1 at o valor m.



Assim, = + + + + . . . + ou

= + + + . . .

Por exemplo: = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6,

= ( 3. 1+ 5 ) + ( 3.2 + 5 ) + ( 3.3 + 5 ) + ( 3.4 + 5 ) = 50.

Valem as seguintes propriedades:

I ) ) = +

II ) = k ;

III ) = m k

DESENVOLVA OS SOMATRIOS: 51 ) 52 ) 53 ) 54 ) 55 ) 56 ) 57 ) 58 ) 59 ) . 60 ) + ] ) 61 ) 85/64 62 ) + ] 30 REPRESENTE ATRAVS DO SMBOLO DE SOMATRIO 63 ) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ou 64 ) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12

65 ) + + +

66 ) 1 + + + +

67 ) 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + n

68 ) 2 22 + 23 24 + . . .

69 ) + + + + . . .

70 ) 1 + + 1

9 + + . . .

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Calc 4 Unid a Sequencias