EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail
Lermontov 915Seqncias e sries numricas 5.1Sucesses ou seqncias
Definio:Umasucessoouseqnciaumarelaocujodomnioum conjunto dos nmeros
naturais e os nmeros da imagem da relao so chamados de elementos da
sucesso. 1 2 3
a1 a2 a3
Umaseqnciainfinitadenotadapor{ }na ou na erepresentadapor { } {
} , a , , a , a , a an 3 2 1 n= ou, a , , a , a , a an 3 2 1 n=
,onde 1a o primeiro termo da sucesso e na o termo geral. Exemplos:
i), 3 n , , 6 , 5 , 4 , 3 an+ = ii) *nN n ;n10a =iii), 2 , , 2 , 2
, 2 , 2 an= iv)( ) , 1 , , 1 , 1 , 1 , 1 ann =v) ( )*nnnN n ;21a =
Definio: Uma sucesso na dita convergente para LseL a limnn=+ . Caso
contrrio, ela dita divergente. Exemplos: Verifique se as sucesses
convergem ou divergem: i)3 n an+ = ii) *nN n ;n10a =iii)2 an= iv)(
)nn1 a =v) *nnN n ;21a |.|
\| =EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma
Medeiros&Mihail Lermontov 92 vi) ( )*nN n ;nn lna =vii) 1
nnn32a+= viii) 2 5n3n na23n+= ix) *nN n ;n1sen n a |.|
\| = Definio:Umaseqncia na ditacrescente(decrescente)se 1 n na
a+ ,n . Observao: Uma seqncia que seja sempre crescente, sempre
decrescente ou sempre constante chamada montona. Exemplos:
Verifique se as seqncias abaixo so montonas: i) 2 3n1 2n+ ii)
|.|
\|2nsen
Definio:UmnmeroI(S)ditocotainferior(superior)deumasucesso nase na I
( )na S ,n . Definio:Se na
temcotainferior(superior)diz-sequeelalimitada inferiormente
(superiormente). Se uma seqncia limitada superior e inferiormente
diz-se que ela limitada. Exemplos: Verifique se as seqncias so
limitadas: i)3 n + ii) *N n ;n10iii)( )n1 iv) n21|.|
\|v) *N n ;1 2n1 vi)( )1 2nn1n+ vii) n2! n Definio: Toda seqncia
limitada e montona convergente. EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS
Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 935.2Exerccios
OBS:amaiorpartedosexercciosdestecaptuloforamretiradosdolivrode
Clculo, volume 2, Munem-Foulis. 1) Calcule os 6 primeiros termos de
cada seqncia e tambm o 100, supondo *N n : a)1 n2+ R:001 . 10 ; 37
; 26 ; 17 ; 10 ; 5 ; 2b) ( )1 n11 n++R: 1011;71;61;51;41;31;21 c) 5
nn2+ R: 005 . 10100;416;305;214;143;92;61 d) n12 + R:
100201;613;511;49;37;25; 3 2) Encontre a expresso do termo geral da
seqncia: a) ,27, 3 ,25, 2 ,23, 1 ,21R: 21 nan+=b) , 1 , 0 , 1 , 0 ,
1 , 0 , 1R: ( )( ) + = ==N p e 1 2p n mpar n ; 0N p e 2p n par n ;
1an c) ,61,51,41,31,21R: *nN n ;1 n1a +=d) , 121 , 81 , 49 , 25 , 9
, 1 R:( )2n1 2n a + =OU ( )* 2nN n ; 1 2n a = 3)
Determinesecadaseqnciaabaixoconvergeoudiverge.Seconvergir, calcule
seu limite: a) n100 b) 1 5nn22+ c) 2n 7n5n n33+ d) 5 9n1 2n22++ e)
1 3n5n2+ f) ( )nn101 g) |.|
\|++2n
sen1 nn 2n2 h) n nn n3 33 3+ i) ( )1 n1 n ln++ j) ( ) 4 n
lnn1ln+|.|
\| k) n 1 n12 + EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma
Medeiros&Mihail Lermontov 94l) n1nm) nn11|.|
\|+R: a) 0; b) 51; c) 71; d) 92; e) diverge; f) 0; g) ; h) 1; i)
0; j)1 ; k) diverge; l) 1; m) e 4) Diga se cada seqncia crescente,
decrescente ou no-montona e tambm se limitada superiormente ou
inferiormente. Por ltimo diga se a seqncia converge ou diverge: a)
2 3n1 2n++R: Crescente, limitada e convergente; b)( )2n1 R:
No-montona, limitada e divergente; c) n21n R: Decrescente, limitada
superiormente e divergente; d) n4 nsen|.|
\|R: No-montona, limitada e convergente. 5.3Sries numricas
infinitas Definio:Dadaumasucesso na ,diz-sequeasomadetodosostermos
desta sucesso, +== + + + +1 nn n 2 1a a a a , uma srie numrica
infinita. Observao: = = = = +=++=+=+= 0 m1 m2 j1 j1 ii1 nna a a a .
Soma de um nmero infinito de parcelas: Dadaasucesso na
easrieinfinita+ + + + =+=n 2 11 nna a a a ,sejaa sucesso de somas
parciais definida abaixo: 1 1a S=2 1 2 1 2a S a a S + = + =3 2 3 2
1 3a S a a a S + = + + =
n 1 n n 2 1 na S a a a S + = + + + =
EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail
Lermontov 95Da,seasucessoinfinita, S , , S , S , S Sn 3 2 1 n=
convergirparaS, isto,seS S limnn=+ ,entoasrieinfinita +=1 nna
tambmconvergirparaS ||.|
\|= =+ +=S S lim ann1 nn.
Exemplos:Determineseassriesnumricasinfinitasabaixoconvergemou
divergem: i) +=+=|.|
\|+ =1 n 1 nn1 n1n1a ii) +=1 nniii) ( )+=+ 1 n2 n n2 5.4Srie
geomtrica Definio:Asrie+ + + + = +=1 n1 n1 nar ar a r a
denominadadesrie geomtrica, que a soma dos termos de uma
progressogeomtrica de razo r e 1 termo igual a a. Vamos determinar
a convergncia desta srie. ( ) ( )nnn 2n1 nnr 1 a S r 1ar ar ar rSar
ar a S = + + + =+ + + =
( )= =1 r ; a n1 r ;r 1r 1 aSnn ( )( )== < > =+ + + + 1 r
; a n lim1 r ;r 1r 1 alim1 r ;r 1r 1 alimS limnnnnnnn = + +=1 r ;1
r ;r 1a1 r ; Da, a srie +=1 n1 nr aconverge para r 1a, se1 r < .
Nos outros casos a srie diverge. EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS
Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 96Resumindo, r 1ar a r a0
nn1 n1 n= = +=+=, se1 r < . Exemplos: 1) Determine a convergncia
ou divergncia das sries geomtricas: i) +=1 nn2 ii) +=1 nn5iii)
+=|.|
\|0 nn87 2) Escreva as dzimas peridicas abaixo sob a forma de
frao, utilizando srie geomtrica: i) 0,333... ii) 0,454545... iii)
0,1232323... iv) 1,235474747...
3)Deixa-secairumaboladeborrachadeumaalturade6msobreuma
superfcieplana.Cadavezqueabolaatingeoplano,caindodeumaalturah,ela
retorna a uma alturah41. Determine a distncia total percorrida pela
bola. R: 10 m 5.5Exerccios 1)
Verifique,atravsdeumamudanadendices,queasduassomasso idnticas: a)
=+102 n21 nn e =+ ++71 k210 6k k3 k b) ( )=122 nn1 n1 e ( )=+111 k1
kk1 c) =254 n29 n1 e =287 k26k k1 d) =150 n2n! n3 e ( ) =+132 n2n!
2 n3 81 2) Calculeos5primeirostermosdecadasrie na eentocalculeos5
primeirostermosdaseqncia nS desuassomasparciais.Encontreuma
frmulaparaan-simasomaparcial nS emfunodenedeterminesea srie
converge ou diverge. Se convergir calcule sua soma S: a) ( )( )+=+
1 n1 2n 1 2n1 b) +=((
+1 n3 2n21 lnEQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma
Medeiros&Mihail Lermontov 97c)( )+=+ 1 n1 n nd) +=+1 n22n n1 e)
( )+=+ +1 n2 21 n n1 2n R: a) |.|
\|+ + + +99163135115131; |.|
\|115,94,73,52,31; 1 2nnSn+= ; 21S =b)( ) ( ) ( ) 13 ln 3 ln ;
|.|
\|+=3 2n3ln Sn; diverge c)( ) 30 20 12 6 2 + + + + ;( ) 70 , 40
, 20 , 8 , 2 ; diverge d) ||.|
\||.|
\| +716121121; ((
++ =2 n11 n12321Sn;3 S =e) |.|
\|3611 ; ( )2n1 n11 S+ = ;1 S = 3) Encontre a srie infinita com
a seqncia de somas parciais dada, determine se a srie converge ou
diverge e, se convergir, encontre sua soma: a) 1 nnSn+=b)( )nn1 1 S
=c) 1 nn212 S =d)n Sn=R: a) ( )11 n n11 n=+ +=; b)( ) diverge 1 21
n1 n +=+; c)2211 n1 n=+=; d)diverge 11 n+= 4)Determine a
convergncia ou divergncia das sries geomtricas: a) +=0 nn103R: 310
b) +=0 nnn32 1 R: 23c) +=+1 n2 n21R: 41 d) ( )+=1 nn1 n45R: diverge
e) +=+0 nn3 n32R:24EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma
Medeiros&Mihail Lermontov 98f) +=+2 n1 n 31 n43 R: 156163
5)Escrevaasdzimasperidicasabaixosobaformadefrao,utilizando srie
geomtrica: a)0,777... b) 0,242424... c)0,62454545... d)
0,112019019... 6)
Mostrequeasigualdadessoverdadeirasnasseguintessriesgeomtricas
(sugesto: resolva da direita para a esquerda): a)( ) 1 x ,x 11x 10
nn n e k entoouambasassriesconvergemouambas divergem; Se0 k =ento
se +=1 nnbconverge ento +=1 nnaconverge; Se+ kento se +=1
nnbdiverge ento +=1 nnadiverge. EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS
Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov 102 Exemplos: Determine a
convergncia das sries: a) +=+1 n5 23 n1 b) ( )+=+ +1 n3 n2 31 n 3n
2n c) ( )+=1 n4nn ln d) +=+1 n1 2n1 5.9.3TESTE DE LEIBNIZ PARA
SRIES ALTERNADAS Seja( )+= 0 nnna 1 umasriealternada.Se0 a a1 k
k> +paratodo inteiropositivok(ouseja,decrescente)e0 a limnn=+
ento( )+= 0 nnna 1converge. Exemplos: Estude a convergncia das
sries: a) ( )+=1 n1 nn1b) ( ) ( )+=+++ 1 n1 n7 n1 n 1 Teorema:Se(
)+= 0 nnna 1 umasriealternadaconvergenteentoo erro cometido ao
aproximarmos a soma S da srie pela soma parcial de ordem n, nS ,
numericamente inferior a 1 na+.
Exemplo:Dumaestimanumricaparaasomadasrie ( )+=1 n51 nn1 com uma
preciso de 3 casas decimais. Soluo: Em primeiro lugar verifique que
a srie converge (use Leibniz). Assim, ( )0,00051 n1a R51 n n=+= .
Teorema:Seumasrieinfinitaconvergeabsolutamenteentoela converge.
Exemplo: Estude a convergncia da srie ( )+=1 n2nn sen.
Definio:Umasriequeconvergente,masnoabsolutamente,dita
condicionalmente convergente. Exemplo: ( )+=1 n1 nn1 5.9.4TESTE DA
RAZO Seja +=0 nnauma srie infinita, ondelaalimn1 nn=++ . Da: i) Se1
l < , a srie +=0 nnaconverge absolutamente; ii) Se1 l > , a
srie +=0 nnadiverge; iii) Se1 l = , nada podemos afirmar. Exemplos:
1) +=0 nn3! n 2) +=1 nn2n 3) ( )+= 0 nn n! n2 1 4) +=1 nn3 n! n
EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail
Lermontov 1045.9.5TESTE DA RAIZ Seja +=0 nnauma srie infinita,
ondel a limnnn=+ . Da: i) Se1 l < , a srie +=0 nnaconverge; ii)
Se1 l > , a srie +=0 nnadiverge; iii) Se1 l = , nada podemos
afirmar. Exemplos: 1) +=1 nn2nne 2) +=|.|
\|+1 nn1 2nn 3) +=|.|
\|+1 nn1 3n5n 5.10Exerccios 1) Utilize os critrios da divergncia
para determinar a natureza das sries: a) +=1 n2nne b) +=+ ++1 n2
331 n n1 n c) +=|.|
\| +1 nnn1 n d)( )+=1 nnn ln e 2)
Utilizeotestedacomparaocomumasrieparadeterminarsecadasrie converge
ou diverge: a) +=+ +1 n421 3n nn b) +=1 nn5 n1 c) +=+1 n3 73 n5n d)
+=+1 n31 n8 e) +=+ +1 n323 4n nn f) +=+ +1 n33 4n n1 R: a)
converge; b) converge; c) converge; d) diverge; e) diverge; f)
converge 3) Use o teste da integral para determinar se cada srie
converge ou diverge: a) +=1 n3n n1b) +=+1 n24 n1 EQUAES
DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov
105c) +=+1 n3216 n3n d) 21 nn1000 +=|.|
\| e) +=1 nne nf) ( ) ( ) ( )+= 3 nn ln ln n ln n1 R: a)
converge; b) converge; c) diverge; d) converge; e) converge; f)
diverge 4) Utilizeotestedacomparaodelimiteparadeterminarsecadasrie
converge ou diverge: a) +=2 n31 n1 b) +=+1 nn 11 c) +=++ +1 n321 n1
2n 3n d) +=++1 n2n 9 n 2n100 n 5 e) +=|.|
\|1 nn
senf) +=++1 nnn5 12 1 R: a) converge; b) diverge; c) diverge; d)
converge; e) diverge; f) converge; 5)
Dumaestimativanumricaparaasomadasrie ( )( )+=+0 nn! 1 2n1comuma
preciso de 3 casas decimais. R: 0,842 6) O mesmo exerccio anterior
para a srie ( )+=0 nn! n1. R: 0,367 7)
Apliqueotestedarazoparadeterminarsecadasrieconverge absolutamente
ou diverge: a) ( )+=+ 1 nnn 1 n4 n5 1 b) ( ) ( ) +=++ 1 n3 1 n! n1
n 1 c) ( )( )+=+ 1 nn 1 n! 3n7 1 d) ( ) ( )+= 1 nnne! 1 2n 1 e) (
)( )+=+ 1 nn4 1 n1,02n 1 f) ( ) ( ) +=+ 1 nnn n2e 1 1 R: a) diverge
(D); b) converge absolutamente (CA); c) CA; d) D; e) CA; f) D
EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail
Lermontov 1065.11Sries de Potncias
Definio:Sexumavarivelentoumasriedaforma +=0 nnnx a
denominadaumasriedepotnciasdex.Analogamente,( )+= 0 nn0 nx x a uma
srie de potncias de 0x x . Definio:Dizemosqueumasriedepotncias +=0
nnnx a convergeem c se +=0 nnnc a
converge.DizemosqueasrieconvergenoconjuntoSse +=0 nnnd aconverge
para todoS d . Teorema:Se +=0 nnnx a convergepara0 c
entoelaconverge absolutamente para todo x tal quec x < . Se uma
srie de potncias diverge para um nmero0 d ento ela diverge para
todo x tal qued x > . Existem, ento, trs possibilidades para uma
srie de potncias: 1) A srie converge apenas em0 x = ; 2) A srie
absolutamente convergente para todos os nmeros reais x; 3) Existe
um nmero positivo r tal que a srie converge parar x . Associado a
cada caso existe um raio de convergncia: 1) O raio de convergncia
zero; 2) O raio de convergncia tende a + ; 3) O raio de convergncia
r. Observao:Paradeterminarmosoraiodeconvergnciautilizaremos,
inicialmente, o teste da razo.
Exemplos:Determineosvaloresdexparaosquaisassriesconvergem
(intervalo de convergncia IC): 1) ( )+=1 nnnxn12) +=1 nn2xn1 EQUAES
DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma Medeiros&Mihail Lermontov
1073) +=1 nnnx6n4) ( )+=1 nnx! 3n! n 5.12Exerccios Determine o
intervalo de convergncia (IC) das seguintes sries: 1) +=0 nnx !
n2)( )+= 1 nn2 x n3) +=+0 nnx1 n1 4) +=1 nn2nxn2 5) ( )+=+1 nnx1 n
ln1 6) ( )+=0 nnx! 2n1 7)( )+= 1 nnn3 xn 21 8) +=1 nnnxn2 9) ( )(
)+= 1 nnnn5 x101 10)( )+=+ 0 nnn7 x! n100 11) +=|.|
\| 1 nn14xn1 12) +=0 nnx! n1 13)( )+=+ 1 n1 n22 xn1 14) ( )(
)+=+ 0 nn3n nx1 n2 1 15) ( )( )+= +0 nnnx 13 1 n1 16) +=0 nn nx 7R:
1)( ) 1,3 ; 2)( ) 1,3 ; 3)[ ) 1,1 ; 4) ((
21,21; 5) ; 6) ; 7)[ ) 1,5 ; 8) |.|
21,21; 9)( ) 5,15 ;10);11)[ ) 0,8 ;12);13)[ ] 1 3, ;14) ((
21,21; 15)( ] 2,4 ; 16) |.|
\|71,71 EQUAES DIFERENCIAIS APLICADAS Valria Zuma
Medeiros&Mihail Lermontov 1085.13Diferenciao e Integrao de Srie
de Potncias Teorema:Se( ) += =0 nnnx a x f ,( ) c c, x
entofdiferencivelem ( ) c c, e( ) ( ) +=+=+= = =||.|
\| = 1 n1 nn0 nnn0 nnnx a n x adxdx adxdx f Exemplos:
1)Sabendo-sequeafuno( ) xe x f = podeserrepresentadacomoumasrie de
potncias na forma( )+== =0 nnx! nxe x f , mostre que( ) xe x f = .
2) Seja a srie geomtrica1 x ;x 11x1 n1 n
