Somatorio Sequencias Series

Universidade Federal de Pelotas

Instituto de Física e Matemática

Curso de Licenciatura em Matemática a Distância

Notação Somatório, Seqüencias, Séries

Notação Somatório

Nesta item será introduzida a notação somatório que permite escrever, de maneira

compacta, somas com um número grande de parcelas.

Utilizamos a letra grega maiúscula sigma representada por .

A soma dos n termos ,,,, 321 naaaa pode ser escrita como

n

n

ii aaaaa

3211

onde i é o índice do somatório, ia é o i-ésimo termo da soma e os limites inferior

e superior do somatório são 1 e n , respectivamente.

Colocamos alguns exemplos do uso do somatório:

Uma soma não tem necessariamente uma única representação mediante somatórios. Para

comprovar isso, observe atentamente as duas primeiras somas dos exemplos anteriores.

Usualmente, é costume utilizar as letras ,,,,, nmkji como índices do somatório.

As seguintes propriedades da notação somatório irão ajudar a manipular a soma:




E algumas fórmulas prontas:

1. Exemplos: (a,b,c,d,e)

Escrevemos diversas somas na forma de somatório:

a.

13

1 51

1351

351

251

151

651

151

101

51

i n ;

b.

90

1 143

1904390

13433

12432

11431

35993

116

75

34

i nn ;

c.

12

1

2222

41

4121

421

411

i

i ;

d.

n

i nni

ni

nnn

nn

nnnnnn

2

2

3333 2222233222 ;

e.

n

i nni

nnn

nnnn

3

3

2222 312331234123312 .

2. Exemplos:

Vamos calcular a soma 1 5 9 13 57 . Primeiro, colocamos na forma de somatório: 15

1

1 5 9 13 57 (4 3)i

i

.

Agora, procedemos ao cálculo do somatório, utilizando as fórmulas dadas no início desta

seção:

15 15 15

1 1 1(4 3) 4 3

15 (15 1) 15 164 15 3 4 15 32 2

480 45 435

i i ii i




3. Exemplo:

Vamos calcular a soma 2 2 2 2 21 5 9 13 57 . Primeiro, colocamos na forma de

somatório: 15

2 2 2 2 2 2

1

1 5 9 13 57 (4 3)i

i

.

Agora procedemos ao cálculo do somatório:

17095135288019840

13512024124016

1592161524

631161516

1592

)115(15246

)1152()115(1516

92416

)92416()34(

15

1

15

1

15

1

2

15

1

215

1

2

iii

ii

ii

iii

4. Exemplo:

Usando as fórmulas fornecidas, vamos calcular Observe o

desenvolvimento:




Sequências

Quando determinados elementos de um conjunto são dispostos em certa ordem seguindo um padrão, dizemos que esses elementos formam uma sequência ou sucessão. Os elementos de uma sequência podem ser de vários tipos. Veja alguns exemplos. Nomes das pessoas aprovadas em determinado concurso, escritos

em ordem alfabética:

(Adilson, André, Beatriz, Carla,..., Jonas)

Anos em que foram realizados as olimpíadas de 1996 a 2012:

(1996, 2000, 2004, 2008,2012)

Sequência dos números naturais:

(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...)

Cada elemento de uma sequência ou sucessão é chamado termo. Em geral, representamos os termos da sequência por uma letra e um índice, que indicam a posição ou a ordem do termo. O 1º termo de uma sequência, por exemplo, pode ser

indicado por 1a , o 2º termo por 2a , o 3º termo por 3a , e assim sucessivamente.

Quando queremos indicar um termo qualquer da sequência, utilizamos na , também

chamado n-ésimo termo ou termo de ordem n. Representamos essa sequência por:

,...),...,,,( 4321 aaaa

Em matemática, a palavra “sequência” é usada quase da mesma forma em português comum. Dizer que uma coleção de objetos ou eventos está em sequência em geral significa que a coleção está ordenada de forma que ela tem um primeiro elemento, um segundo elemento, um terceiro elemento identificados, e assim por diante. Matematicamente, uma sequência é definida como uma função cujo domínio é o conjunto dos naturais. Embora uma sequência seja uma função, é comum representá-la pela notação de subscrito em vez da notação padrão de função.




,,

,,,4,3,2,1

4,3,2,1 naaaaa

n

Por exemplo, na sequência 1 é levado em 1a , 2 é levado em 2a , e assim por diante. Os

números ,...,...,,, 4321 aaaa são termos da sequencia. O número na , é o enésimo termo

da sequência e a sequência toda é denotada por }{ na .

Definição de sequência

De modo geral, uma sequência pode ser finita ou infinita. Definição 1: Chama-se sequência finita de n termos uma função f cujo domínio é

*N ={1, 2, 3, ...,n}. A cada *Ni está associado um Ria .

Em geral, indicamos o conjunto imagem por: },...,,,{ 321 naaaa .

Veja alguns exemplos: Sequência dos múltiplos de 3, maiores que 1 e menores que 31:

(3, 6, 9, 12, ..., 27, 30)

Nesse caso, 1a = 3, 2a = 6, e assim por diante.

Sequência dos números pares positivos menores que 20:

(2, 4, 6, 8,..., 16, 18)

Nesse caso, 1a = 2, 2a = 4, e assim por diante.

Definição 2: Chama-se sequência infinita uma função f cujo domínio é N*= {1, 2,

3,..., n,...}. A cada *Ni está associado um Ria . Em geral, indicamos o conjunto

imagem por: ,...},...,,,{ 321 naaaa .

Sequência dos múltiplos positivos de 4:

(4, 8, 12, 16,...)




Nesse caso, 1a = 4, 2a =8 e assim por diante.

Sequência dos números pares positivos:

(2, 4, 6, 8, ...)

Nesse caso, 1a = 2, 2a = 4 e assim por diante.

NOTAÇÃO: Podemos denotar uma sequência de várias formas:

,...},{ 21 xx , ou 1}{ nnx , ou 1

}{nnx , ou simplesmente }{ nx .

Determinação dos elementos de uma sequência

Uma sequência pode ser definida por uma lei de formação que permite determinar seus elementos. Por exemplo: A sequência definida por nan 3 , com *Nn ,é dada por:

n=1 → 1a = 3 . 1 = 3

n=2 → 2a = 3 . 2 = 6

n=3 → 3a = 3 . 3 = 9

n=4 → 4a = 3 . 4 = 12

Assim a sequência é (3, 6, 9, 12, ...).

A sequência definida por 1a = 3 e 41 nn aa com *Nn e n ≥ 2 é

dada por:

n= 2→ 2a = 12a + 4 = 1a + 4 = 3 + 4 = 7

n= 3→ 3a = 13a + 4 = 2a + 4 = 7 + 4 = 11

n= 4→ 4a = 14a + 4 = 3a + 4 = 11 + 4 = 15

n= 5→ 5a = 15a + 4 = 4a + 4 = 15 + 4 = 19

Assim a sequência é (3, 7, 11, 15, 19 ...).

Os termos da sequência definida por })1(3{}{ nna são

,...)1(3,)1(3,)1(3,)1(3 4321 2, 4, 2, 4, ...




Através dos termos da sequencia podemos determinar seu termo geral. Veja o exemplo:

Dada a sequência (1, 3, 5, 7,...), dos números naturais ímpares, podemos determinar o termo geral an:

n= 1→ 1a = 1 → 1a = 2 . 1 – 1 = 1

n= 1→ 2a = 1 → 2a = 2 . 2 – 1 = 3

n= 1→ 3a = 1 → 3a = 2 . 3 – 1 = 5

n= 1→ 4a = 1 → 4a = 2 . 4 – 1 = 7

Nesta sequência, notamos que cada termo é igual ao dobro de n menos

1, ou seja, o termo geral 12 nan , com *Nn .

Veja outros exemplos de sequências e exercícios resolvidos: Exemplos: 1n4 é a seqüência ,,,, 151173 cujo termo geral é 1n4 . O vigésimo termo dessa seqüência, por exemplo, vale 791204 , enquanto o centésimo vale 399. ,,,,, 111111 n .

,,,, 88888 (seqüência constante).

,,,,1710

137

94

51

1n42n3

.

,,,,1613

813

413

213

213 n

1n

.




,,,,,,3616

51

1616

31

4161

. O termo geral desta seqüência é

2

1 se é ímpar

16 se é parn

nnx

nn

Observação (1): Para muitas seqüências é impossível determinar a expressão que caracteriza o seu termo geral. Por exemplo, a seqüência cujo seu n-ésimo termo é o n-

ésimo algarismo na representação decimal de ,,,,,,,: 2951413 . Outro exemplo é a

seqüência dos números primos: ,,,,, 117532 . Observação (2): Progressões aritméticas e geométricas são exemplos de seqüências, desde que tenham uma infinidade de termos. Exercícios Resolvidos:

Considere a seqüência nx , sendo 1nn1nx

1n

n

)(

.

Escreva os cinco primeiros termos de nx . Escreva os termos de ordem 85 e 120. Resolução: Basta atribuir a n os valores 1, 2, 3, 4, 5:

;;;

;)(

;)()(

35

610x0

50x

23

46x

030

12212x

122

2111

11111x

543

3

2

211

1

Resposta: Os cinco primeiros termos da seqüência são 350

2301 ,,,,

. Basta calcularmos os referidos termos:




01210

11201201120x

4385

86170

18585185x

121

120

86

85

)(

)(

Resposta: ;; 0x

4385x 12085

Escreva o termo geral de cada uma das seqüências:

,,,,,641

321

161

81

41

.

,,,,87

65

43

21

. Resolução: Observe a tabela abaixo:

O numerador é 1 se n é par e 1 se n é impar. Isto é representado por n1)( . Já o

denominador é sempre uma potência de 2, sendo o expoente uma unidade maior do que n.

Portanto o termo geral é 1n

n

21

)(.

Resposta: 1n

n

n 21x

)(.

Observe a tabela a seguir:

Comparando n com nx conclui-se que n21n2xn

, que é o termo geral da seqüência.

n 1 2 3 4 5 ...

nx 221

32

1

421

52

1

621

...

n 1 2 3 4 5 ...

nx 12

34

56

78

910

...




Séries

Neste item você estudará somas com um número infinito de termos. Um exemplo de soma infinita, ou série, surge com o estudo das dízimas periódicas. Por exemplo, a dízima periódica 0,11111.... é representado pela soma infinita

e que pode ser interpretada como a soma de uma progressão geométrica de razão

Definição de Série

Podemos então perceber que em uma soma infinita, cada parcela pode ser considerada

como um termo de uma sequência numérica. Assim, a série é definida como a soma

desses termos, conforme vemos a seguir.

Exemplos: Escreva os cinco primeiros termos de cada série:




Algumas séries especiais

Ao trabalharmos com séries, algumas merecem destaque devido as suas propriedades e

aplicações e, portanto, também recebem nomes especiais. Algumas delas são

apresentadas a seguir.




Convergência de Séries

Intuitivamente, dizer que uma série infinita converge significa dizer que à medida que

vamos somando os seus termos, esses valores vão se aproximando de algum número S,

que chamamos de limite da soma. Vamos trabalhar este conceito através de alguns

exemplos.




Percebemos que essas somas cumulativas estão aumentando e depois do n-ésimo termo, obtemos, pela soma dos termos de uma p.a., que

Portanto, essas somas se tornam muito grandes à medida que n aumenta, nos levando a concluir que seria impossível determinar um número S para o qual a soma infinita se aproxime. Essa série, então, não está convergindo para nenhum valor.

Estamos percebendo que essas somas não estão crescendo muito como no exemplo dado anteriormente. Se tabelarmos essas somas para diferentes valores de n , como mostrado na tabela a seguir, podemos perceber melhor esse fato.




A tabela mostra que, quando adicionamos mais e mais termos, essas somas se tornam cada vez mais próximas de 1 . Assim, parece razoável dizer que a série está convergindo para S=1. Você pôde perceber nos dois exemplos anteriores que para termos uma ideia sobre a convergência de uma série começamos observando o comportamento da soma de seus termos iniciais, indo acrescentando um termo de cada vez a essa soma. Essa forma de ir somando os termos de uma série é chamada de soma parcial e a definimos a seguir, pois, servirá de ferramenta para o estudo da convergência da série.

Exemplo:




Observe que as somas parciais Sn formam uma sequência numérica. Veremos que se essa

sequência convergir, então a série será convergente.

Exemplo:




Para determinarmos a convergência ou divergência de séries, que não sejam as séries

geométricas, são utilizados outros critérios e testes. Estes casos serão abordados em

outro momento.

Referências Bibliográficas

Howard, Anton. Cálculo um novo horizonte, volume 2, Bookman, 2000.

Edwards, L. Cálculo, Nona edição. Cengage Learning, 2010. Suazo, G.R.C.; Simch, M.R.R.; COSTA, C.P. . Introdução à Análise Real. Pelotas: Editora Universitária/UFPEL, 2010. 105p . Smole, K.S., Diniz, M.I. Matemática (Ensino Médio), volume 1, Editora Saraiva, 2005 –




429p. BARRET0, Edmary. Séries Numéricas: uma introdução, IFBA, Bahia, 2004. BATISTA, Eliezer e JANESCH, Silvia M. H. Cálculo B. Curso de Licenciatura em Matemática à Distância, Pelotas, 2007. OLIVEIRA, Filipe. Introdução às séries numéricas. Disponível em < http://arquivoescolar.org/bitstream/ arquivo-e/43/1/series.pdf>. Acesso em 20 de junho de 2013. STEWART, James. Cálculo. Tradução da 7ª ed. norte-americana, v. 2, São Paulo, Cengage Learning, 2013.

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