UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO II

Lista 18 1. Resolva as equações diferenciais separáveis abaixo:

1.1.

€

dydx

= sen 5x 1.2.

€

dydx

= (x +1)2 1.3.

€

dx + e3xdy = 0

1.4.

€

dx − x 2dy = 0 1.5.

€

(x +1) dydx

= x + 6 1.6.

€

ex dydx

= 2x

1.7.

€

xy'= 4 y 1.8.

€

dydx

+ 2xy = 0 1.9.

€

dydx

=y 3

x 2

1.10.

€

dydx

=y +1x

1.11.

€

dydx

=x 2y 2

1+ x 1.12.

€

dydx

=1+ 2y 2

y.sen x

1.13.

€

dydx

= e3x+2y 1.14.

€

ex y dydx

= e−y + e−2x−y 1.15.

€

(4y + yx 2)dy − (2x + xy2)dx = 0

1.16.

€

(1+ x 2 + y 2 + x 2y 2)dy = y 2dx 1.17.

€

2y(x +1)dy = xdx 1.18.

€

x 2y 2dy = (y +1)dx

1.19.

€

y ln x dxdy

=y +1x

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

1.20.

€

dydx

=2y + 34x + 5⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ 2

1.21.

€

dSdr

= kS

1.22.

€

dQdt

= k(Q − 70) 1.23.

€

dPdt

= P − P2 1.24.

€

dNdt

+ N = Ntet+2

1.25.

€

sec2 xdy + cosec ydx = 0 1.26.

€

sen 3xdx + 2y cos3 3xdy = 0 1.27.

€

eysen 2xdx + cos x(e2y − y)dy = 0

1.28.

€

sec xdy = xcotg ydx 1.29.

€

(ey +1)2e−ydx + (ex +1)3e−xdy = 0 1.30.

€

yxdydx

= (1+ x 2)−1/ 2 (1+ y 2)1/ 2

1.31.

€

(y − yx2) dydx

= (y +1)2 1.32.

€

2 dydx

−1y

=2xy

1.33.

€

dydx

=xy + 3x − y − 3xy − 2x + 4 y − 8

1.34.

€

dydx

=xy + 2y − x − 2xy − 3y + x − 3

1.35.

€

dydx

= sen x(cos 2y − cos2 y) 1.36.

€

sec y dydx

+ sen(x − y) = sen(x + y)

1.37.

€

x 1− y 2dx = dy 1.38.

€

y(4 − x 2)1/ 2dy = (4 + y 2)1/ 2dx 1.39.

€

(ex + e−x ) dydx

= y 2

1.40.

€

(x + x ) dydx

= y + y

2. Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada: 2.1.

€

(e−y +1)sen xdx = (1+ cos x)dy; y(0) = 0 2.2.

€

(1+ x 4 )dy + x(1+ 4y 2)dx = 0; y(1) = 0

2.3.

€

ydy = 4x(y 2 +1)1/ 2dx, y(0) = 1 2.4.

€

dydt

+ ty = y, y(1) = 3

2.5.

€

dxdy

= 4(x 2 +1); x π4⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 1 2.6.

€

dydx

=y 2 −1x 2 −1

, y(2) = 2

2.7.

€

x 2y'= y − xy, y(−1) = −1 2.8.

€

y'+2y = 1, y(0) = 5/2

2.9.

€

dydx

=2x3y

; y(5) = 6

RESULTADOS LISTA 18 1.

1.1.

€

y = −15cos 5x +C

1.2.

€

y =13(x +1)3 +C

1.3.

€

y =13e−3x +C

1.4.

€

y = −1x

+C

1.5.

€

y = x + 5ln x +1 +C 1.6.

€

y = −2xe−x − 2e−x +C

1.19.

€

12y 2 + 2y + ln y =

13x 3 ln x − 1

9x 3 +C

1.20.

€

2(2y + 3)−1 =1

4x + 5+C

1.21.

€

S = Cekr 1.22.

€

Q = Cekt + 70

1.23.

€

P =Cet

1+Cet

1.24.

€

lnN = tet+2 − et+2 − t +C 1.25.

€

− cos y + sen 2x + 2x = C

1.37.

€

y = sen x 2

2+C

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1.38.

€

(4 + y 2)1/ 2 = C + arcsen x2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

1.39.

€

y = −1

tg−1(ex ) +C

1.40.

€

y = C ( x +1) −1 2.

2.1.

€

ey =4

1+ cos x−1

1.7.

€

y = Cx4 1.8.

€

y = e−x2 +C

1.9.

€

y−2 = 2x−1 +C 1.10.

€

y = Cx −1

1.11.

€

−y−1 − x2

2+ x − ln x +1 = C

1.12.

€

2y 2 = C (cosec x − cotg x)4 1.13.

€

−3e−2y = 2e3x +C 1.14.

€

ey (1− y) = −e−x − 13e−3x +C

1.15.

€

y 2 + 2 = C (4 + x 2) 1.16.

€

2 ln y + y − y−1 − tg−1x = C 1.17.

€

y 2 = x − ln x +1 +C

1.18.

€

12y 2 − y + ln y +1 = −

1x

+C

1.26.

€

y 2 = −16sec2 (3x) +C

1.27.

€

ey + e−y + ye−y = 2 cos x +C 1.28.

€

y = arcsec(Cecosx+xsen x ) 1.29.

€

(ex +1)−2 + 2(ey +1)−1 = C 1.30.

€

(1+ y 2)1/ 2 − (1+ x 2)1/ 2 = C

1.31.

€

ln y +1 + (y +1)−1 =12ln 1+ x1− x

+C

1.32.

€

y 2 = x 2 + x +C 1.33.

€

y − 5ln y + 3 = x − 5ln x + 4 +C 1.34.

€

y + 2 ln y −1 = x + 5ln x − 3 +C 1.35.

€

−cotg y = cos x +C 1.36.

€

ln cosec 2y − cotg 2y = 2sen x +C

2.2.

€

arc tg 2y + arc tg x 2 =π4

2.3.

€

y 2 +1 = 2x 2 + 2

2.4.

€

y 2 = 9e−t2 +2t−1

2.5.

€

x = tg 4y − 3π4

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

2.6.

€

y +1y −1

=x +1x −1

2.7.

€

y =e−(1+1/ x)

x

2.8.

€

y = 2e−2x +12

2.9.

€

3y ��� 2 = 2x 2 + 58