Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Equações Diferenciais Ordinárias
Semanas 1, 2 e 3
Professor Luiz Claudio Pereira
Departamento Acadêmico de Matemática
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Material Previsto para três semanas
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 89
Preliminares
1 Conceitos BásicosEquação diferencialEquação diferencial ordináriaSolução: geral, particular, singularTrês questões: da existência, da unicidade, práticaSíntese da disciplina
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceitos
Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma funçãodesconhecida (incógnita) y com suas derivadas.
É útil classi�car os diferentes tipos de equações para um desenvolvimentosistemático da Teoria das Equações Diferenciais.
Conceitos
Quando a função incógnita y depende de uma única variável independente,diz que a Equação Diferencial é Ordinária. Uma equação diferencial quenão é ordinária é dita Equação Diferencial Parcial.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceitos
Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma funçãodesconhecida (incógnita) y com suas derivadas.
É útil classi�car os diferentes tipos de equações para um desenvolvimentosistemático da Teoria das Equações Diferenciais.
Conceitos
Quando a função incógnita y depende de uma única variável independente,diz que a Equação Diferencial é Ordinária. Uma equação diferencial quenão é ordinária é dita Equação Diferencial Parcial.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceitos
Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma funçãodesconhecida (incógnita) y com suas derivadas.
É útil classi�car os diferentes tipos de equações para um desenvolvimentosistemático da Teoria das Equações Diferenciais.
Conceitos
Quando a função incógnita y depende de uma única variável independente,diz que a Equação Diferencial é Ordinária. Uma equação diferencial quenão é ordinária é dita Equação Diferencial Parcial.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceitos
A ordem de uma EDO é a da derivada de maior ordem contida na equação.Assim, uma EDO de ordem n é uma equação da forma
F (x ,y ,y ′,y ′′, . . . ,y (n)) = 0
que exprime uma relação entre a variável independente x , uma função de x
não especi�cada y e suas derivadas y ′, y ′′, ..., y (n).
Conceitos
O grau de uma EDO é o maior expoente da derivada de maior ordem.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceitos
A ordem de uma EDO é a da derivada de maior ordem contida na equação.Assim, uma EDO de ordem n é uma equação da forma
F (x ,y ,y ′,y ′′, . . . ,y (n)) = 0
que exprime uma relação entre a variável independente x , uma função de x
não especi�cada y e suas derivadas y ′, y ′′, ..., y (n).
Conceitos
O grau de uma EDO é o maior expoente da derivada de maior ordem.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
(y ′)2+ xy ′+4y = 0
y ′′+3y ′+2y −6ex = 0
y (3)+2exy ′′+ yy ′ = x4
(y (3))2−2y ′y (3)+(y ′′)3 = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceitos
Dada uma EDO de ordem n na forma
F (x ,y ,y ′,y ′′, . . . ,y (n)) = 0 (1)
admitir-se-á que sempre seja possível obter de modo inequívoco sua formanormal
y (n) = f (x ,y ,y ′, . . . ,y (n−1))
Note que, em geral, dada uma EDO da forma (1) nem sempre é possívelobter de modo inequívoco sua forma normal.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceitos
Dada uma EDO de ordem n na forma
F (x ,y ,y ′,y ′′, . . . ,y (n)) = 0 (1)
admitir-se-á que sempre seja possível obter de modo inequívoco sua formanormal
y (n) = f (x ,y ,y ′, . . . ,y (n−1))
Note que, em geral, dada uma EDO da forma (1) nem sempre é possívelobter de modo inequívoco sua forma normal.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
(y ′)2+ xy ′+4y = 0
(y ′)2+2y ′(x2
)+(x2
)2−(x2
)2+4y = 0
(y ′+x
2)2 =
x2−16y4
de onde segue que
y ′ =−x+
√x2−16y2
ou y ′ =−x−
√x2−16y2
Observe ainda que admitir que a forma normal de uma equação diferencialexista não signi�ca admitir que exista uma função que a satisfaça.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 89
Equação Difrencial OrdináriaFundamentos
Conceitos
Por solução de uma EDO de ordem n
F (x ,y ,y ′,y ′′, . . . ,y (n)) = 0 (2)
em um intervalo aberto I = (α,β ), entende-se uma função φ , quejuntamente com suas derivadas φ ′, φ ′′, . . ., φ (n), satisfaz identicamente (2),i. e.,
F (x ,φ ,φ ′,φ ′′, . . . ,φ (n)) = 0
para todo x ∈ I .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceito.
Por solução geral de uma EDO de ordem n, entende-se uma função que ésolução e que possui n constantes arbitrárias.
Conceitos
Uma solução particular de uma EDO de ordem n é uma função que podeser obtida da solução geral por determinação do valor das n constantesarbitrárias. Neste caso, para a determinação do valor das n constantes,especi�cam-se informações adicionais denominadas valor inicial ou decontorno.
Por solução singular de uma EDO de ordem n, entende-se uma função queé solução da EDO e que, porém, não pode ser deduzida da solução geral.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceito.
Por solução geral de uma EDO de ordem n, entende-se uma função que ésolução e que possui n constantes arbitrárias.
Conceitos
Uma solução particular de uma EDO de ordem n é uma função que podeser obtida da solução geral por determinação do valor das n constantesarbitrárias. Neste caso, para a determinação do valor das n constantes,especi�cam-se informações adicionais denominadas valor inicial ou decontorno.
Por solução singular de uma EDO de ordem n, entende-se uma função queé solução da EDO e que, porém, não pode ser deduzida da solução geral.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Conceito.
Por solução geral de uma EDO de ordem n, entende-se uma função que ésolução e que possui n constantes arbitrárias.
Conceitos
Uma solução particular de uma EDO de ordem n é uma função que podeser obtida da solução geral por determinação do valor das n constantesarbitrárias. Neste caso, para a determinação do valor das n constantes,especi�cam-se informações adicionais denominadas valor inicial ou decontorno.
Por solução singular de uma EDO de ordem n, entende-se uma função queé solução da EDO e que, porém, não pode ser deduzida da solução geral.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Considere a EDO de primeira ordem
x2(y ′)2−2xyy ′+ y2−4−4(y ′)2 = 0
Seja y uma função de x e α uma constante arbitrária. Então,
x cosα + y senα−2= 0
é a solução geral da EDO dada.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Derivando em relação a x
cosα + y ′ senα = 0⇔ y ′ =−cotα . Daí,
x2(y ′)2−2xyy ′+ y2−4−4(y ′)2 =
x2(−cotα)2−2yx(−cosα
senα
)+ y2−4−4(−cotα)2 =
(2− y senα
senα
)2
+2y
(2− y senα
senα
)+ y2−4[1+(cotα)2] =
(2cscα− y)2+2y(2cscα− y)+ y2−4(cscα)2 =
4(cscα)2−4y cscα + y2+4y cscα−2y2+ y2−4(cscα)2 =0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Considere a EDO de primeira ordem
x2(y ′)2−2xyy ′+ y2−4−4(y ′)2 = 0
Seja y uma função de x . Então,
x2+ y2−4= 0
é a solução singular da EDO dada.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Derivando implicitamente em relação a x
2x+2yy ′ = 0⇔ y ′ =−xy−1. Daí,
x2(y ′)2−2xyy ′+ y2−4−4(y ′)2 =x2(−xy−1)2−2x(−x)+(−x2)−4(−xy−1)2 =
x4y−2+ x2−4x2y−2 =x2y−2(x2−4)+ x2 =x2y−2(−y2)+ x2 =
0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Em relação à equação diferencial ordinária de primeira ordem
x2(y ′)2−2xyy ′+ y2−4−4(y ′)2 = 0
sendo y uma função de x , tem-se que
x cosα + y senα−2= 0, α = const., é solução geral
x2+ y2−4= 0 é solução singular
e, por exemplo, com a condição inicial y(0) = 4√3x+ y −4= 0 é solução particular.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exercício
Considere as funções paramétricasx(p) =
−p3
+A
p1/2
y(p) =−p2
6− Ap1/2
(a) Prove que p =dydx
.
(b) Mostre que (x(p),y(p)) é a solução geral, na forma paramétrica, da
EDO (de Lagrange) y =−12dydx
(2x+
dydx
).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Questão da Existência
Dada uma EDO qualquer como sabemos se ela ao menos tem solução?
Questao da Unicidade
Assumindo que uma dada EDO tem uma solução, existirão outras soluções?Que condições devem ser especi�cadas para permitir uma única solução?
Questao Prática
De que modo se determina uma solução?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Questão da Existência
Dada uma EDO qualquer como sabemos se ela ao menos tem solução?
Questao da Unicidade
Assumindo que uma dada EDO tem uma solução, existirão outras soluções?Que condições devem ser especi�cadas para permitir uma única solução?
Questao Prática
De que modo se determina uma solução?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Questão da Existência
Dada uma EDO qualquer como sabemos se ela ao menos tem solução?
Questao da Unicidade
Assumindo que uma dada EDO tem uma solução, existirão outras soluções?Que condições devem ser especi�cadas para permitir uma única solução?
Questao Prática
De que modo se determina uma solução?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Síntese da Disciplina
Identi�car a equação↓
Aplicar o método de L99 Técnicas de integraçãode resolução apropriado
↓Veri�car se a função L99 Regra da Cadeiaobtida é solução Derivação implícita
Derivação logarítmica
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Seja y uma função de x tal que y = Aey/x , A= const.Mostre que y ésolução da equação diferencial
y ′ =y2
xy − x2⇔ (xy − x2)y ′ = y2
Resposta
Com efeito, y é uma função dada na forma implícita. Por derivaçãoimplícita e da Regra da Cadeia, tem-se que
dydx
= y ′ = Aey/xddx
(yx
)= y
(xy ′− y ·1
x2
)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Seja y uma função de x tal que y = Aey/x , A= const.Mostre que y ésolução da equação diferencial
y ′ =y2
xy − x2⇔ (xy − x2)y ′ = y2
Resposta
Com efeito, y é uma função dada na forma implícita. Por derivaçãoimplícita e da Regra da Cadeia, tem-se que
dydx
= y ′ = Aey/xddx
(yx
)= y
(xy ′− y ·1
x2
)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Seja y uma função de x tal que y = Aey/x , A= const.Mostre que y ésolução da equação diferencial
y ′ =y2
xy − x2⇔ (xy − x2)y ′ = y2
Resposta
Daí,x2y ′ = xyy ′− y2⇔ (xy − x2)y ′ = y2
Portanto, a função dada implicitamente é solução da equação diferencial.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 19 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Prove que y = Ax+Bx2−3x lnx é solução da equação diferencial
x2y ′′−2xy ′+2y = 3x
Que espécie de solução é y?
Resposta
Com efeito, y ′ = A+2Bx−3 lnx−3 e y ′′ = 2B−3/x . Daí,
x2y ′′−2xy ′+2y =
x2(2B−3/x)−2x(A+2Bx−3 lnx−3)+2(Ax+Bx2−3x lnx) = 3x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Prove que y = Ax+Bx2−3x lnx é solução da equação diferencial
x2y ′′−2xy ′+2y = 3x
Que espécie de solução é y?
Resposta
Com efeito, y ′ = A+2Bx−3 lnx−3 e y ′′ = 2B−3/x . Daí,
x2y ′′−2xy ′+2y =
x2(2B−3/x)−2x(A+2Bx−3 lnx−3)+2(Ax+Bx2−3x lnx) = 3x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Teorema de Existência (para EDO de ordem 1)
Sejay ′ = g(x ,y) (3)
uma edo de ordem 1 em um aberto D ⊂ R2. Se g(x ,y) é contínua em D e∂g
∂y(x ,y) é contínua em D, então (3) tem solução em D.
Exemplo
Determine a região do plano em que a EDO y ′ = x tg(xy) admite solução.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Teorema de Existência (para EDO de ordem 1)
Sejay ′ = g(x ,y) (3)
uma edo de ordem 1 em um aberto D ⊂ R2. Se g(x ,y) é contínua em D e∂g
∂y(x ,y) é contínua em D, então (3) tem solução em D.
Exemplo
Determine a região do plano em que a EDO y ′ = x tg(xy) admite solução.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Determine a região do plano em que a EDO y ′ = x tg(xy) admite solução.
Resposta
Sendo g(x ,y)≡ x tg(xy), tem-se que g é contínua em
D = R2−{(x ,y) : xy =π
2+nπ , n ∈ Z}
Como∂g
∂y(x ,y) = x2 sec2(xy) =
[x
cos(xy)
]2Pelo Teorema de Existência, a EDO dada possui solução em todos ospontos de D de�nido acima, ou seja, em uma região de R2 tal quecos(xy) 6= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Determine a região do plano em que a EDO y ′ = x tg(xy) admite solução.
Resposta
Sendo g(x ,y)≡ x tg(xy), tem-se que g é contínua em
D = R2−{(x ,y) : xy =π
2+nπ , n ∈ Z}
Como∂g
∂y(x ,y) = x2 sec2(xy) =
[x
cos(xy)
]2Pelo Teorema de Existência, a EDO dada possui solução em todos ospontos de D de�nido acima, ou seja, em uma região de R2 tal quecos(xy) 6= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Suponha que a função variável y = y(x) não aparece explicitamente em
g(x ,y), ou seja,∂g
∂y(x ,y) = 0⇔ g(x ,y) = φ(x) e que φ é contínua (em
R). Então, por integração em relação a x , resolve-se a EDO
y ′ = φ(x) .
Com efeito,
y ′ = φ(x) ⇔∫y ′(x)dx =
∫φ(x)dx
⇔ y(x) =∫
φ(x)dx+ const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Deste modo, a EDO y ′ = 2x tem por solução geral a função
y(x) = x2+k
onde k = const.
Conceito
Do ponto de vista geométrico, a solução geral de uma equação diferencialrepresenta uma família de curvas, chamadas curvas integrais. Se a EDO éde ordem 1, a família de curvas é dita uniparamétrica porque dependerá deuma constante (de integração).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exemplo
Deste modo, a EDO y ′ = 2x tem por solução geral a função
y(x) = x2+k
onde k = const.
Conceito
Do ponto de vista geométrico, a solução geral de uma equação diferencialrepresenta uma família de curvas, chamadas curvas integrais. Se a EDO éde ordem 1, a família de curvas é dita uniparamétrica porque dependerá deuma constante (de integração).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Teorema de Existência e Unicidade (para EDO de ordem 1)
Sejay ′ = g(x ,y) (4)
uma edo de ordem 1 em um aberto D ⊂ R2. Se g(x ,y) e∂g
∂y(x ,y) são
contínuas em D, então (4) sujeita à condição inicial
y(x0) = y0
tem uma única solução em D. O problema formado pela EDO e o ponto(x0,y0) ∈D é chamado Problema de Valor Inicial (ou Problema de Cauchy):{
y ′ = g(x ,y)y(x0) = y0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 89
Equação Diferencial OrdináriaAplicação do Teorema de Existência e Unicidade - Série de Potências
Exemplo
Considere o PVI {y ′ = y
y(0) = 1
Observe que a função f (x) = ex é solução do PVI. Agora, seja a função
ϕ(x) = 1+ x+x2
2!+
x3
3!+ . . .=
∞
∑n=0
xn
n!
Note ϕ(0) = 1. Ademais, supondo que a derivada de ϕ pode ser calculadatermo a termo, obtém-se
ϕ′(x) = 1+
2x2!
+3x2
3!+
4x3
4!+ . . .= ϕ(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 89
Equação Diferencial OrdináriaAplicação do Teorema de Existência e Unicidade - Série de Potências
Exemplo
Pelo Teorema de Existência e Unicidade, segue que
ex = 1+ x+x2
2!+
x3
3!+ . . .
=∞
∑n=0
xn
n!
para todo x ∈ R.
Conceitos
A soma in�nita∞
∑n=0
xn
n!é uma série de potências e, porque vale a igualdade
acima, diz-se tal série é a representação da função ex em série de potências(de Maclaurin).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 89
Equação Diferencial OrdináriaAplicação do Teorema de Existência e Unicidade - Série de Potências
Exemplo
Pelo Teorema de Existência e Unicidade, segue que
ex = 1+ x+x2
2!+
x3
3!+ . . .
=∞
∑n=0
xn
n!
para todo x ∈ R.
Conceitos
A soma in�nita∞
∑n=0
xn
n!é uma série de potências e, porque vale a igualdade
acima, diz-se tal série é a representação da função ex em série de potências(de Maclaurin).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
De�nição
Uma EDO de ordem n é dita linear, quando possui a seguinte forma
an(x)y(n)+an−1(x)y
(n−1)+ . . .+a2(x)y′′+a1(x)y
′+a0(x)y = Q(x) (5)
Noutras palavras, uma EDO de ordem n é linear quando é uma combinaçãolinear de y e suas derivadas até ordem n. Uma EDO que não possui aforma (5) acima é dita não-linear.
Exemplo
São equações diferenciais ordinárias não-lineares:(a) (x+4y)y ′− (2x− y) = 0(b) (xey −2y)y ′+ e
y
= 0(c) y ′−2yx−1 = 3xy2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
De�nição
Uma EDO de ordem n é dita linear, quando possui a seguinte forma
an(x)y(n)+an−1(x)y
(n−1)+ . . .+a2(x)y′′+a1(x)y
′+a0(x)y = Q(x) (5)
Noutras palavras, uma EDO de ordem n é linear quando é uma combinaçãolinear de y e suas derivadas até ordem n. Uma EDO que não possui aforma (5) acima é dita não-linear.
Exemplo
São equações diferenciais ordinárias não-lineares:(a) (x+4y)y ′− (2x− y) = 0(b) (xey −2y)y ′+ e
y
= 0(c) y ′−2yx−1 = 3xy2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
De�nição
Em particular, uma EDO linear, de ordem 1, é da forma
a1(x)y′+a0(x)y = Q(x) (6)
Dividindo por a1(x) 6= 0, tem-se
y ′+p(x)y = q(x) (7)
onde
p(x) =a0(x)
a1(x)e q(x) =
Q(x)
a1(x).
Note que a passagem de (6) para (7) pode introduzir pontos dedescontinuidade.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 29 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Solução geral de uma EDO Linear de ordem 1
Se q(x) = 0, para y(x) 6= 0, tem-se que
y ′+p(x)y = 0 ⇔ y ′
y=−p(x)
⇔ ddx
(ln |y |) =−p(x)
Integrando em relação a x , obtém-se
ln |y |=−∫p(x)dx+ const.⇔ |y |= Ae−
∫p(x)dx
onde A é uma constante.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Método do Fator Integrante
Dada a EDO linear, de ordem 1, na forma
y ′+p(x)y = q(x) (8)
A ideia é multiplicar (8) por uma função µ(x) 6= 0 de modo que
ddx
[µ(x)y ] = µ(x)y ′+µ(x)p(x)y
Se isso for possível, entãoddx
[µ(x)y ] = µ(x)q(x) e a EDO está resolvida
por integração, de ambos os membros, em relação a x :
y =1
µ(x)
[∫µ(x)q(x)dx+ const.
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Método do Fator Integrante
Dada a EDO linear, de ordem 1, na forma
y ′+p(x)y = q(x) (8)
A ideia é multiplicar (8) por uma função µ(x) 6= 0 de modo que
ddx
[µ(x)y ] = µ(x)y ′+µ(x)p(x)y
Se isso for possível, entãoddx
[µ(x)y ] = µ(x)q(x) e a EDO está resolvida
por integração, de ambos os membros, em relação a x :
y =1
µ(x)
[∫µ(x)q(x)dx+ const.
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Método do Fator Integrante
Dada a EDO linear, de ordem 1, na forma
y ′+p(x)y = q(x) (8)
A ideia é multiplicar (8) por uma função µ(x) 6= 0 de modo que
ddx
[µ(x)y ] = µ(x)y ′+µ(x)p(x)y
Se isso for possível, entãoddx
[µ(x)y ] = µ(x)q(x) e a EDO está resolvida
por integração, de ambos os membros, em relação a x :
y =1
µ(x)
[∫µ(x)q(x)dx+ const.
]EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Método do Fator Integrante
Ora, para y 6= 0,
ddx
[µ(x)y ] = µ(x)y ′+µ(x)p(x)y ⇔µ ′(x)y +µ(x)y ′ = µ(x)y ′+µ(x)p(x)y ⇔
[µ ′(x)−µ(x)p(x)]y = 0 ⇔
µ ′(x)−µ(x)p(x) = 0 ⇔ µ ′(x)
µ(x)= p(x)
Daí,
ddx
[ln |µ(x)|] = p(x) ⇔ ln |µ(x)|=∫p(x)dx+ const.
⇔ |µ(x)|= Ae∫p(x)dx
onde A é uma constante positiva.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Método do Fator Integrante
(Desde o início) o que se deseja é obter uma função µ(x) 6= 0 tal que, paray 6= 0,
ddx
[µ(x)y ] = µ(x)y ′+µ(x)p(x)y
Os cálculos anteriores revelam que é possível encontrar uma função nessascondições, por exemplo, considerando A= 1 e µ(x)> 0 dado por
µ(x) = e∫p(x)dx (9)
Esta técnica de resolução da EDO linear, de odem 1, é chamada métododo fator integrante e a função µ de�nida em (9) é denominada fatorintegrante.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exemplo
Resolva a equação diferencial ordinária
xy ′+2y = senx
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exemplo
Resolva a equação diferencial ordinária
xy ′+2y = senx
Resposta
(i) Primeiramente, devemos colocar a equação na forma (8):
y ′+2xy =
senxx
,
observando que, neste caso, p(x) =2x.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exemplo
Resolva a equação diferencial ordinária
xy ′+2y = senx
Resposta
(ii) Um fator integranteµ(x) = e
∫p(x)dx
é a função
µ(x) = e∫ 2
xdx
= e2lnx
= e lnx2
= x2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 36 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exemplo
Resolva a equação diferencial ordinária
xy ′+2y = senx
Resposta
(iii) Usando o fator integrante obtido µ(x) = x2, decorre que
y ′+2xy =
senxx
⇔ x2y ′+2xy = x senx ⇔ ddx
(x2y)= x senx
⇔ x2y =∫x senx dx+ const.
Assim, x2y = senx− x cosx+k⇔ y(x) =senxx2− cosx
x+
k
x2, k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 37 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exemplo
Resolva a equação diferencial ordinária
y ′+ xy = x
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exemplo
Resolva a equação diferencial ordinária
y ′+ xy = x
Resposta
(i) Primeiramente, note que a equação está na forma
y ′+p(x)y = q(x) ,
observando que p(x) = x .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 39 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exemplo
Resolva a equação diferencial ordinária
y ′+ xy = x
Resposta
(ii) Um fator integranteµ(x) = e
∫p(x)dx
é a função
µ(x) = e∫x dx
= ex2/2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 40 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exemplo
Resolva a equação diferencial ordinária
y ′+ xy = x
Resposta
(iii) Usando o fator integrante obtido µ(x) = ex2/2, decorre que
y ′+ xy = x ⇔ ex2/2y ′+ xex
2/2y = xex2/2 ⇔ d
dx
(ex
2/2y)= xex
2/2
⇔ ex2/2y =
∫xex
2/2 dx+ const.
Assim, ex2/2y = ex
2/2+k⇔ y(x) = 1+ke−x2/2, k = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Exercício
Considere o Problema de Valor Inicial{y ′− y lnx = 0
y(1) = 1
(a) Use o Teorema de Existência e Unicidade para determinar a região doplano em que a EDO admite solução.(b) Resolva o Problema de Cauchy dado.(c) Veri�que, por derivação, a validade do resultado obtido no item (b).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução particular de uma EDO linear, de ordem 1
Exercício
Um estudante a�rma que
φ(x) =−sen3x
16+
x cosx4
é solução particular da equação diferencial
y ′′+ y = cos2x senx .
Você concorda ou discorda? Justi�que.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 43 / 89
Equação Diferencial OrdináriaFundamentos
Exercício
Considere as funções paramétricasx(p) =
−p3
+A
p1/2
y(p) =−p2
6− Ap1/2
(a) Prove que p =dydx
.
(b) Mostre que (x(p),y(p)) é a solução geral, na forma paramétrica, da
EDO (de Lagrange) y =−12dydx
(2x+
dydx
).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 44 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Resposta de (b)
De acordo com o item (a), p =dydx
. Daí,
y = −p
2
[p
3+
2A
p1/2
]
= −p
2
[p3+2(x+
p
3
)]= −1
2dydx
(2x+
dydx
)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 89
Equação Diferencial OrdináriaSolução geral de uma EDO linear, de ordem 1
Resposta de (a)
Pela Regra da Cadeia, tem-se quedydx
=dydp· dpdx
. Além disso, pelo Teorema
da Derivada da Função Inversadpdx
=1dxdp
. Portanto,
dydx
=
ddp
(−p2
6−Ap1/2
)ddp
(−p3
+A
p1/2
) =
−p3− Ap−1/2
2−13− Ap−3/2
2
=
p
(−13− Ap−3/2
2
)−13− Ap−3/2
2
= p
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Conceito
Como y ′ =dydx
, uma equação na forma y ′ = g(x ,y) é equivalente a
g(x ,y)dx−dy = 0 (10)
a qual é chamada forma diferencial da EDO. A multiplicação de (10) poruma função f (x ,y) conduz a uma outra equação na forma diferencial:
f (x ,y)g(x ,y)dx− f (x ,y)dy = 0⇔M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0 (11)
A passagem de (10) para (11) pode introduzir descontinuidades, queoriginalmente não existiam na equação (10), em pontos (x ,y) que sãodescontinuidades de f , e soluções extras (curvas integrais) ao longo dosquais f (x ,y) = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 47 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Conceito
Como y ′ =dydx
, uma equação na forma y ′ = g(x ,y) é equivalente a
g(x ,y)dx−dy = 0 (10)
a qual é chamada forma diferencial da EDO. A multiplicação de (10) poruma função f (x ,y) conduz a uma outra equação na forma diferencial:
f (x ,y)g(x ,y)dx− f (x ,y)dy = 0⇔M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0 (11)
A passagem de (10) para (11) pode introduzir descontinuidades, queoriginalmente não existiam na equação (10), em pontos (x ,y) que sãodescontinuidades de f , e soluções extras (curvas integrais) ao longo dosquais f (x ,y) = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 47 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Conceito
Na equaçãoM(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
pode ocorrer de M ser função somente de x e N ser função apenas de y .Neste caso, a EDO y ′ = g(x ,y) assume a forma
M(x)dx+N(y)dy = 0 (12)
Uma equação diferencial que pode ser escrita na forma diferencial (12) édita separável.
Identi�cada uma EDO como separável, como se obtém sua solução?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 48 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Conceito
Na equaçãoM(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
pode ocorrer de M ser função somente de x e N ser função apenas de y .Neste caso, a EDO y ′ = g(x ,y) assume a forma
M(x)dx+N(y)dy = 0 (12)
Uma equação diferencial que pode ser escrita na forma diferencial (12) édita separável.
Identi�cada uma EDO como separável, como se obtém sua solução?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 48 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Método de Resolução
Suponha que existam funções H1 e H2 tais que
dH1(x)
dx=M(x)⇔H1(x)=
∫M(x)dx e
dH2(y)
dy=N(y)⇔H2(y)=
∫N(y)dy
Se y = ϕ(x) é uma função diferenciável, pela Regra da Cadeia, segue que
ddx
[H2(ϕ(x))] =dH2(y)
dy· dydx
= N(y)y ′ e
M(x)dx+N(y)dy = 0 ⇔ ddx
H1(x)+ddx
[H2(ϕ(x))] = 0
⇔ ddx
[H1(x)+H2(ϕ(x))] = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 49 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Método de Resolução
Portanto,H1(x)+H2(ϕ(x)) = k = const.∫
M(x)dx+∫N(y)dy = k (13)
Obtém-se assim a solução y = ϕ(x) da EDO separável
M(x)dx+N(y)dy = 0
na forma implícita por meio da expressão (13).
Exemplo
Resolva o problema de valor inicial y ′ =y cosx1+2y2
, y(0) = 1.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 50 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Método de Resolução
Portanto,H1(x)+H2(ϕ(x)) = k = const.∫
M(x)dx+∫N(y)dy = k (13)
Obtém-se assim a solução y = ϕ(x) da EDO separável
M(x)dx+N(y)dy = 0
na forma implícita por meio da expressão (13).
Exemplo
Resolva o problema de valor inicial y ′ =y cosx1+2y2
, y(0) = 1.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 50 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Método de Resolução
Portanto,H1(x)+H2(ϕ(x)) = k = const.∫ x
M(t)dt+∫ y
N(t)dt = k (14)
Obtém-se assim a solução y = ϕ(x) da EDO separável
M(x)dx+N(y)dy = 0
na forma implícita por meio da expressão (14).
Exemplo
Resolva o problema de valor inicial y ′ =y cosx1+2y2
, y(0) = 1.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 51 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Exemplo
Resolva o problema de valor inicial y ′ =y cosx1+2y2
, y(0) = 1.
Resposta
Inicialmente, observe que a EDO é separável, porquanto
y ′ =y cosx1+2y2
⇔ dydx
=y cosx1+2y2
⇔−cosx dx+
(2y +
1y
)dy = 0
Por conseguinte,
−∫cosx dx+
∫ (2y +
1y
)dy = k ⇔−senx+ y2+ ln |y |= k
e k =−sen(0)+12+ ln1= 1. A solução do PVI é y2+ ln |y |= 1+ senx .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 52 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Exemplo
Resolva o problema de valor inicial y ′ =y cosx1+2y2
, y(0) = 1.
Resposta
Inicialmente, observe que a EDO é separável, porquanto
y ′ =y cosx1+2y2
⇔ dydx
=y cosx1+2y2
⇔−cosx dx+
(2y +
1y
)dy = 0
Por conseguinte,
−∫cosx dx+
∫ (2y +
1y
)dy = k ⇔−senx+ y2+ ln |y |= k
e k =−sen(0)+12+ ln1= 1. A solução do PVI é y2+ ln |y |= 1+ senx .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 52 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Exemplo
Encontre, na forma explícita, a solução do problema de valor inicial
y ′ =3x2+4x+22(y −1)
, y(0) =−1.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 53 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Exemplo
Encontre, na forma explícita, a solução do problema de valor inicial
y ′ =3x2+4x+22(y −1)
, y(0) =−1.
Observe que a equação diferencial é separável e sua forma diferencial é
dydx
=3x2+4x+22(y −1)
⇔ 2(y −1)dy − (3x2+4x+2)dx = 0
Por conseguinte,∫2(y −1)dy −
∫ (3x2+4x+2
)dx = k ⇔ y2−2y − (x3+2x2+2x) = k
e k = (−1)2−2(−1) = 3. Na forma implícita, y2−2y = x3+2x2+2x+3.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 54 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Exemplo
Encontre, na forma explícita, a solução do problema de valor inicial
y ′ =3x2+4x+22(y −1)
, y(0) =−1.
Na forma explícita, tem-se
y2−2y = x3+2x2+2x+3
y2−2y +1= x3+2x2+2x+4
(y −1)2 = x3+2x2+2x+4
|y −1|=√x3+2x2+2x+4
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 55 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, separável
Exemplo
Encontre, na forma explícita, a solução do problema de valor inicial
y ′ =3x2+4x+22(y −1)
, y(0) =−1.
Na forma explícita, tem-se
y2−2y = x3+2x2+2x+3
y2−2y +1= x3+2x2+2x+4
(y −1)2 = x3+2x2+2x+4
|y −1|=√x3+2x2+2x+4
y(x) = 1−√x3+2x2+2x+4
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Conceito
São equações da forma y ′+p(x)y = q(x)yn.
Para n = 0 ou n = 1, a equação de Bernoulli reduz-se a uma edo linear deordem 1, cuja resolução já foi vista. Para n 6= 0 e n 6= 1, tem-se
y−ny ′+p(x)y1−n = q(x)
Pela Regra da Cadeia, (y1−n)′ = (1−n)y−ny ′. Isto sugere a mudança devariável
v = y1−n
Como v ′ = (1−n)y−ny ′⇔ y−ny ′ =v ′
1−ndecorre que
y−ny ′+p(x)y1−n = q(x)⇔ v ′+(1−n)p(x)v = (1−n)q(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 57 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Conceito
São equações da forma y ′+p(x)y = q(x)yn.
Para n = 0 ou n = 1, a equação de Bernoulli reduz-se a uma edo linear deordem 1, cuja resolução já foi vista. Para n 6= 0 e n 6= 1, tem-se
y−ny ′+p(x)y1−n = q(x)
Pela Regra da Cadeia, (y1−n)′ = (1−n)y−ny ′. Isto sugere a mudança devariável
v = y1−n
Como v ′ = (1−n)y−ny ′⇔ y−ny ′ =v ′
1−ndecorre que
y−ny ′+p(x)y1−n = q(x)⇔ v ′+(1−n)p(x)v = (1−n)q(x)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 57 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Conclusão
A mudança de variávelv = y1−n (15)
transforma a equação (não-linear) de Bernoulli
y ′+p(x)y = q(x)yn (16)
em uma equação linear nas variáveis x e v :
v ′+(1−n)p(x)v = (1−n)q(x)
Exemplo
Resolva a equação y ′− 2yx
= 3xy2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Conclusão
A mudança de variávelv = y1−n (15)
transforma a equação (não-linear) de Bernoulli
y ′+p(x)y = q(x)yn (16)
em uma equação linear nas variáveis x e v :
v ′+(1−n)p(x)v = (1−n)q(x)
Exemplo
Resolva a equação y ′− 2yx
= 3xy2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Exemplo
Resolva a equação y ′−2x−1y = 3xy2.
Resposta
Inicialmente, identi�camos a equação como de Bernoulli (com n = 2):
y ′− 2yx
= 3xy2⇔ y−2y ′− 2xy−1 = 3x
Considere a mudança de variável v = y−1. Daí, v ′ =−y−2y ′ e decorre a
equação linear v ′+2xv =−3x . O método do fator integrante, com
µ(x) = x2, conduz à solução (em v)
x2v(x) =−34x4+k ⇔ v(x) =
−3x4+4k4x2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Exemplo
Resolva a equação y ′−2x−1y = 3xy2.
Resposta
Inicialmente, identi�camos a equação como de Bernoulli (com n = 2):
y ′− 2yx
= 3xy2⇔ y−2y ′− 2xy−1 = 3x
Considere a mudança de variável v = y−1. Daí, v ′ =−y−2y ′ e decorre a
equação linear v ′+2xv =−3x . O método do fator integrante, com
µ(x) = x2, conduz à solução (em v)
x2v(x) =−34x4+k ⇔ v(x) =
−3x4+4k4x2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Como v = y−1, segue que
y(x) =4x2
4k−3x4⇔ y(x) =
4x2
A−3x4
onde A= 4k = const.
Exercício de veri�cação
Mostre que a função y(x) =4x2
A−3x4, onde A= const., é solução da
equação diferencial y ′− 2yx
= 3xy2.
Exercício
Resolva a equação diferencialdydx
=4yx
+ x√y .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Como v = y−1, segue que
y(x) =4x2
4k−3x4⇔ y(x) =
4x2
A−3x4
onde A= 4k = const.
Exercício de veri�cação
Mostre que a função y(x) =4x2
A−3x4, onde A= const., é solução da
equação diferencial y ′− 2yx
= 3xy2.
Exercício
Resolva a equação diferencialdydx
=4yx
+ x√y .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Como v = y−1, segue que
y(x) =4x2
4k−3x4⇔ y(x) =
4x2
A−3x4
onde A= 4k = const.
Exercício de veri�cação
Mostre que a função y(x) =4x2
A−3x4, onde A= const., é solução da
equação diferencial y ′− 2yx
= 3xy2.
Exercício
Resolva a equação diferencialdydx
=4yx
+ x√y .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Exercício
Resolva a equação diferencialdydx
=4yx
+ x√y .
Resposta
Inicialmente, identi�camos a equação como de Bernoulli (com n = 1/2):
y ′−4x−1y = xy1/2⇔ y−1/2y ′−4x−1y1/2 = x
Considere a mudança de variável v = y1/2. Daí, v ′ = y−1/2y ′/2 e decorre aequação linear v ′−2x−1v = x/2. O método do fator integrante, comµ(x) = x−2, conduz à solução (em v)
ddx
(x−2v
)=
x−1
2⇔ v(x) = x2
(k+
ln |x |2
)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Exercício
Resolva a equação diferencialdydx
=4yx
+ x√y .
Resposta
Inicialmente, identi�camos a equação como de Bernoulli (com n = 1/2):
y ′−4x−1y = xy1/2⇔ y−1/2y ′−4x−1y1/2 = x
Considere a mudança de variável v = y1/2. Daí, v ′ = y−1/2y ′/2 e decorre aequação linear v ′−2x−1v = x/2. O método do fator integrante, comµ(x) = x−2, conduz à solução (em v)
ddx
(x−2v
)=
x−1
2⇔ v(x) = x2
(k+
ln |x |2
)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Como v = y1/2, segue que
y(x) = x4(k+
ln |x |2
)2
onde k = const.
Exercício de veri�cação
Mostre que a função y(x) = x4(k+
ln |x |2
)2
, onde k = const., é solução
da equação diferencialdydx
=4yx
+ x√y
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, de Bernoulli
Como v = y1/2, segue que
y(x) = x4(k+
ln |x |2
)2
onde k = const.
Exercício de veri�cação
Mostre que a função y(x) = x4(k+
ln |x |2
)2
, onde k = const., é solução
da equação diferencialdydx
=4yx
+ x√y
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De�nição
Uma função f (x ,y) é chamada homogênea de grau k ∈ R, quando, paratodo t ∈ R, tem-se
f (tx , ty) = tk f (x ,y)
Exemplo
f (x ,y) = 2x3+5xy2 é uma função homogênea de grau 3, porquanto, paratodo t ∈ R, tem-se
f (tx , ty) = 2(tx)3+5(tx)(ty)2
= t3(2x3+5xy2)
= t3f (x ,y)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De�nição
Uma função f (x ,y) é chamada homogênea de grau k ∈ R, quando, paratodo t ∈ R, tem-se
f (tx , ty) = tk f (x ,y)
Exemplo
f (x ,y) = 2x3+5xy2 é uma função homogênea de grau 3, porquanto, paratodo t ∈ R, tem-se
f (tx , ty) = 2(tx)3+5(tx)(ty)2
= t3(2x3+5xy2)
= t3f (x ,y)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De�nição
Uma função f (x ,y) é chamada homogênea de grau k ∈ R, quando, paratodo t ∈ R, tem-se
f (tx , ty) = tk f (x ,y)
Exemplo
f (x ,y) = x1/2y + y3/2 é uma função homogênea de grau 3/2, porquanto,para todo t ∈ R, tem-se
f (tx , ty) = (tx)1/2(ty)+(ty)3/2
= t3/2(x1/2y + y3/2)
= t3/2f (x ,y)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 64 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
Exercício
A função f (x ,y) é homogênea de grau k ∈ R. A função
g(x ,y) =f (x ,y)
xy
é homogênea de algum grau?
Exercício
A função f (x ,y) é homogênea de grau 1. A função
g(x ,y) = k lnf (x ,y)
x
é homogênea de algum grau?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 65 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De�nição
Uma equação diferencial ordinária na forma diferencial
M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
é dita homogênea quando M(x ,y) e N(x ,y) são funções homogêneas degrau k .
Exemplo
A equação diferencial (2x− y)dx− (x+4y)dy = 0 é homogênea. Comefeito, as funções M(x ,y) = 2x− y e N(x ,y) =−(x+4y) são homogêneasde grau 1, pois, para todo t ∈ R, tem-se
M(tx , ty) = 2(tx)− (ty) = tM(x ,y)
N(tx , ty) =− [(tx)+4(ty)] = tN(x ,y)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De�nição
Uma equação diferencial ordinária na forma diferencial
M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
é dita homogênea quando M(x ,y) e N(x ,y) são funções homogêneas degrau k .
Exemplo
A equação diferencial (2x− y)dx− (x+4y)dy = 0 é homogênea. Comefeito, as funções M(x ,y) = 2x− y e N(x ,y) =−(x+4y) são homogêneasde grau 1, pois, para todo t ∈ R, tem-se
M(tx , ty) = 2(tx)− (ty) = tM(x ,y)
N(tx , ty) =− [(tx)+4(ty)] = tN(x ,y)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
Se M(x ,y) e N(x ,y) são homogêneas de mesmo grau k , então
f (x ,y)≡−M(x ,y)
N(x ,y)
é uma função homogênea (de grau zero), uma vez que, para todot ∈ R−{0},
f (tx , ty) =−M(tx , ty)
N(tx , ty)
=− tkM(x ,y)
tkN(x ,y)
= f (x ,y)
Provou-se, deste modo, o seguinte
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 67 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
Corolário
A equação diferencial ordinária na forma diferencial
M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
é homogênea se, e somente se,
y ′ = f (x ,y)
onde f (x ,y) é uma função homogênea (de grau zero).
Identi�cada uma EDO como homogênea, como se obtém sua solução?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 68 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
Corolário
A equação diferencial ordinária na forma diferencial
M(x ,y)dx+N(x ,y)dy = 0
é homogênea se, e somente se,
y ′ = f (x ,y)
onde f (x ,y) é uma função homogênea (de grau zero).
Identi�cada uma EDO como homogênea, como se obtém sua solução?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 68 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De uma observação, surge uma ideia
Por de�nição, para todo t ∈ R,
f (x ,y) = f (tx , ty)
Tomando t = 1/x , x 6= 0, obtém-se
f (x ,y) = f (1,y
x) = F
(yx
).
Note que, tomar t = 1/y , y 6= 0, acarretaria
f (x ,y) = f (x
y,1) = G
(x
y
).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 69 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De uma observação, surge uma ideia
Por de�nição, para todo t ∈ R,
f (x ,y) = f (tx , ty)
Tomando t = 1/x , x 6= 0, obtém-se
f (x ,y) = f (1,y
x) = F
(yx
).
Note que, tomar t = 1/y , y 6= 0, acarretaria
f (x ,y) = f (x
y,1) = G
(x
y
).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 69 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De uma observação, surge uma ideia
O exposto acima parece indicar que, para uma edo homogênea, a mudançade variável
v =y
x⇔ y = xv (17)
seja de alguma utilidade.
Neste caso, considerando v como função de x , segue que y ′ = v + xv ′ e
y ′ = F (y
x)⇔ v + xv ′ = F (v)⇔ x
dvdx
= F (v)− v ⇔ dvF (v)− v
− dxx
= 0
que é separável em x e v . Em consequência, resolvendo esta EDO para v ,a EDO dada originalmente estará resolvida mediante a mudança de variável(17).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
De uma observação, surge uma ideia
O exposto acima parece indicar que, para uma edo homogênea, a mudançade variável
v =y
x⇔ y = xv (17)
seja de alguma utilidade.
Neste caso, considerando v como função de x , segue que y ′ = v + xv ′ e
y ′ = F (y
x)⇔ v + xv ′ = F (v)⇔ x
dvdx
= F (v)− v ⇔ dvF (v)− v
− dxx
= 0
que é separável em x e v . Em consequência, resolvendo esta EDO para v ,a EDO dada originalmente estará resolvida mediante a mudança de variável(17).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial
(2x− y)dx− (x+4y)dy = 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 71 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (2x− y)dx− (x+4y)dy = 0.
Resposta
Como
(2x− y)dx− (x+4y)dy = 0⇔ y ′ =2x− y
x+4y=
2− y
x
1+4y
x
≡ F(yx
)identi�camos a EDO dada como homogênea. Assim, considere a mudançade variável
v =y
x⇔ y = xv
Segue que y ′ = v + xv ′ e, por conseguinte,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 72 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (2x− y)dx− (x+4y)dy = 0.
Resposta
Como
(2x− y)dx− (x+4y)dy = 0⇔ y ′ =2x− y
x+4y=
2− y
x
1+4y
x
≡ F(yx
)identi�camos a EDO dada como homogênea. Assim, considere a mudançade variável
v =y
x⇔ y = xv
Segue que y ′ = v + xv ′ e, por conseguinte,
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 72 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
Exemplo
Resolva a equação diferencial (2x− y)dx− (x+4y)dy = 0.
v + xv ′ =2− v
1+4v⇔ x
dvdx
=2− v − v −4v2
1+4v⇔ 1+4v
2−2v −4v2dv − 1
xdx = 0
que é separável. Daí,∫1+4v
2−2v −4v2dv −
∫1xdx = k ⇔−1
2ln∣∣2−2v −4v2
∣∣− ln |x |= k
Como v =y
x, conclui-se que
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, homogênea
−12ln∣∣2−2v −4v2
∣∣− ln |x |= k ⇔ ln
∣∣∣∣2−2y
x−4(yx
)2∣∣∣∣+2 ln |x |=−2k
⇔ ln∣∣2x2−2xy −4y2
∣∣=−2k⇔
∣∣2x2−2xy −4y2∣∣= A
onde A> 0 é uma constante.
Exercício de veri�cação
Mostre que a função y(x) dada implicitamente por∣∣2x2−2xy −4y2
∣∣= A,onde A> 0 é uma constante, é solução da edo(2x− y)dx− (x+4y)dy = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 74 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
De uma observação, surge uma ideia
Porque, para todo t ∈ R e qualquer que seja k ∈ R, φ(tx , ty) 6= tkφ(x ,y),tem-se que φ(x ,y) = 2x+3y −10 não é homogênea. Porém,
φ(x ,y) = 2(x+1)+3(y −4))⇔ ψ(u,v) = 2u+3v
e ψ(u,v) = 2u+3v é homogênea.
Deste modo, observa-se que é possível, através de uma mudança devariável apropriada, no caso,{
u = x+1
v = y −4⇔
{x = u−1
y = v +4transformar uma função não-homogênea em uma (outra) funçãohomogênea.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 75 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
De uma observação, surge uma ideia
Porque, para todo t ∈ R e qualquer que seja k ∈ R, φ(tx , ty) 6= tkφ(x ,y),tem-se que φ(x ,y) = 2x+3y −10 não é homogênea. Porém,
φ(x ,y) = 2(x+1)+3(y −4))⇔ ψ(u,v) = 2u+3v
e ψ(u,v) = 2u+3v é homogênea.
Deste modo, observa-se que é possível, através de uma mudança devariável apropriada, no caso,{
u = x+1
v = y −4⇔
{x = u−1
y = v +4transformar uma função não-homogênea em uma (outra) funçãohomogênea.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 75 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exercício
Geometricamente, a mudança de variável{u = x+1
v = y −4
pode ser interpretada de que modo?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 76 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Exercício
Geometricamente, a mudança de variável{u = x+1
v = y −4(18)
pode ser interpretada de que modo?
Resposta
De um ponto de vista geométrico, a mudança de variável (18) pode serinterpretada como uma translação do sistema de coordenadas (x ,y) para oponto (−1,4), origem do (novo) sistema de coordenadas (u,v).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 77 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Observação
Uma equação da forma y ′ = f
(ax+by
cx+dy
)é homogênea, pois
f
(ax+by
cx+dy
)= f
a+by
x
c+dy
x
= F(yx
)
Pergunta
Sobre uma EDO (não-homogênea) da forma
y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
),
k1 ou k2 não-nulo, o que pode ser dito?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 78 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Observação
Uma equação da forma y ′ = f
(ax+by
cx+dy
)é homogênea, pois
f
(ax+by
cx+dy
)= f
a+by
x
c+dy
x
= F(yx
)
Pergunta
Sobre uma EDO (não-homogênea) da forma
y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
),
k1 ou k2 não-nulo, o que pode ser dito?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 78 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Outra pergunta
Será possível transformar a equação y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
)em uma EDO
homogênea?
Uma resposta possível
Sejam u e v funções tais que {u = x−α
v = y −β
Então, pela Regra da Cadeia,
y ′ =dydx
=dydv· dvdu· dudx
=dvdu
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 79 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Outra pergunta
Será possível transformar a equação y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
)em uma EDO
homogênea?
Como {x = u+α
y = v +β
Se for possível achar α e β tais que
ax+by +k1 = a(u+α)+b(v +β )+k1 = au+bv
cx+dy +k2 = c(u+α)+d(v +β )+k2 = cu+dv
a equação será homogênea nas novas variáveis u e v .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 80 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Outra pergunta
Será possível transformar a equação y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
)em uma EDO
homogênea?
O que se deseja, portanto, é achar α e β tais que{aα +bβ =−k1cα +dβ =−k2
⇔[a b
c d
][α
β
]=
[−k1−k2
]6= 0
Esse sistema (de equações lineares) é possível sempre que∣∣∣∣ a b
c d
∣∣∣∣= ad −bc 6= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 81 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à homogênea
Resumo
A equação y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
)é redutível a uma EDO homogênea,
através da mudança de variáveis,{u = x−α
v = y −β
sempre que ∣∣∣∣ a b
c d
∣∣∣∣ 6= 0
Neste caso,dydx
=dvdu
e a nova EDO é dada pordvdu
= φ
(au+bv
cu+dv
).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 82 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à separável
Uma pergunta natural
O que fazer em relação à equação y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
)quando
∣∣∣∣ a b
c d
∣∣∣∣= ad −bc = 0⇔ a
c=
b
d
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 83 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à separável
Uma pergunta natural
O que fazer em relação à equação y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
)quando
∣∣∣∣ a b
c d
∣∣∣∣= ad −bc = 0⇔ a
c=
b
d
Uma resposta possível
Sendo
m ≡ a
c=
b
d⇔ a =mc e b =md
segue que
y ′ = f
(m(cx+dy)+k1
cx+dy +k2
)EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 84 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à separável
Isso sugere considerar a mudança de variável
u = cx+dy
Daí,
f
(m(cx+dy)+k1
cx+dy +k2
)= f
(mu+k1
u+k2
)≡ φ(u)
e, pensando em u como função apenas de x ,
dudx
= c+dy ′ = c+dφ(u)
de modo que o problema está resolvido! Por quê?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 85 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à separável
Isso sugere considerar a mudança de variável
u = cx+dy
Daí,
f
(m(cx+dy)+k1
cx+dy +k2
)= f
(mu+k1
u+k2
)≡ φ(u)
e, pensando em u como função apenas de x ,
dudx
= c+dy ′ = c+dφ(u)⇔ duc+dφ(u)
−dx = 0
de modo que o problema está resolvido porque a EDO é separável.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 86 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à separável
Resumo
A equação y ′ = f
(ax+by +k1
cx+dy +k2
), por meio da mudança de variável,
u = cx+dy (19)
é redutível a uma EDO separável nas variáveis x e u sempre que∣∣∣∣ a b
c d
∣∣∣∣= 0
Resolvida esta equação para u, a substituição em (19) conduz à função y .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 87 / 89
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, não-linear, redutível à separável
Exercícios
Resolva a equação diferencial dada.
1 y ′ =2x−3y −13x+ y −2
.
2 (3y + x)dx+(x+5y −8)dy = 0.
3 y ′ =2x− y +16x−3y −1
.
4 (x−3y −3)dx− (2x−6y +1)dy = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 88 / 89
Leitura Recomendada I
Abunahman, S. A.Equações diferenciais.Rio de Janeiro: EDC, 1989.
Boyce, W. E. e Diprima, R. C.Equações diferenciais elementare e problemas de valores de contorno.Rio de Janeiro: LTC, 2002.
Edwards, C. H. e Penney, D. E.Equações diferenciais elementares com problemas de contorno.Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1995.
Zill, D. G.Equações diferenciais: com aplicações em modelagem.São Paulo: Pioneira Thomson, 2003.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 89 / 89