Apostila de EDO

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Equações diferenciais ordinárias

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  • FACULDADE DE TECNOLOGIA SENAI/CIMATEC DISCIPLINA: CLCULO C DOCENTE: ANDR SOLEDADE ALUNO:______________________________________

    Equaes Diferenciais

    1.1 Introduo

    Muitas vezes em fsica, engenharia e outros ramos tcnicos, h necessidade de encontrar uma

    funo incgnita. Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equao envolvendo derivadas (ou

    diferenciais) da funo incgnita. Tais equaes envolvendo derivadas (ou diferenciais) so chamadas

    equaes diferenciais, em que a incgnita no um nmero, mas uma funo.

    Antes de iniciar nosso curso, vamos mostrar algumas aplicaes para servir de motivao.

    Lei de Resfriamento de Newton

    A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variao de temperatura T(t) de um corpo em

    resfriamento proporcional diferena entre a temperatura do corpo e a temperatura cte Tm do meio

    ambiente, isto :

    dT/ dt = k(T Tm) ,

    em que k uma cte de proporcionalidade.

    Exemplo Um ovo duro, a 98 C, colocado em uma pia contendo gua a 18 C. Depois de 5 minutos,

    a temperatura do ovo de 38 C. Suponha que durante o experimento a temperatura da gua no

    aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais ser necessrio para que o ovo atinja 20 C?

    Soluo :

    Tm = 18 C

    T(0) = 98 C

    T(5) = 38 C

    t = ? qdo T (t) = 20 C

    dT/dt = k(T Tm)

  • 1

    dT/dt = k(T 18)

    dT/(T 18)= kdt

    Resolvendo essa equao diferencial, obtemos t 13 minutos

    Circuitos em Srie

    Em um circuito em srie contendo somente um resistor e um indutor, a segunda lei de

    Kirchhoff diz que a soma da queda de tenso no indutor (L(dI/dt)) e da queda de tenso no resistor

    (I.R) igual voltagem (E(t)) no circuito, ou seja

    L(dI/dt) + R.I = E(t),

    em que L e R so ctes conhecidas como a induntncia e a resistncia, respectivamente.

    Exemplo Suponha que um circuito simples a resistncia 550 (ohms), a indutncia de 4 H (henry)

    e a pilha fornece uma voltagem constante de 110 V (volts). Determine a corrente I se a corrente inicial

    zero.

    Soluo:

    E(t) = 110 V; L = 4 H, e R = 550

    I(t) = ? quando I (0) = 0

    L(dI/dt) + RI = E(t)

    4. (dI/dt) + 550.I = 110

    dI/dt + (550/4).I= (110/4)

    I(t) = 0,2 0,2.e-137,5 t.

    --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

    Nos prximos tpicos veremos mtodos de resolver equaes diferenciais. Isto , veremos as vias

    pelas quais podemos com sucesso usar equaes diferenciais para determinar uma funo

    desconhecida.

  • 2

    Simbolicamente, uma equao diferencial pode ser escrita como:

    F(x, y, y , y , ... , y (n)) = 0 ou F(x, y, dx

    dy,

    2

    2

    dx

    yd, ...,

    n

    n

    dx

    yd ) = 0.

    Se a funo incgnita depende apenas de uma varivel, temos uma equao diferencial ordinria.

    Se depender de mais de uma varivel, temos uma equao diferencial parcial.

    As expresses seguintes so alguns exemplos de equaes diferenciais.

    A. yxdx

    dy 2 D. 032

    4

    2

    2

    3

    32

    dx

    dy

    dx

    ydy

    dx

    ydx

    B. xdx

    dysen E. 22 dxyxdyex

    C. 02

    2

    ydx

    dyx

    dx

    yd F. 0

    2

    2

    2

    2

    t

    u

    x

    u, onde u = (x, t)

    A ordem de uma equao diferencial o nmero n que corresponde ordem mxima das derivadas

    da equao.

    Exemplo: Na expresso (A) acima, a equao tem ordem 1 e na expresso (C), ordem 2.

    O grau de uma equao diferencial a maior potncia da derivada de maior ordem.

    Exemplos Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equaes diferenciais.

    (a) 07

    3

    2

    2

    dx

    dy

    dx

    dy

    dx

    yd (b) 03

    2

    y

    dx

    dy

    dx

    dy

    A Equao (a) uma equao diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2y/dx

    2 a

    derivada de maior ordem na equao e est elevada primeira potncia. Notar que a terceira potncia

    de dy/dx no tem influncia no grau da Equao (a) porque dy/dx de menor ordem que d2y/dx

    2.

    A Equao (b), por outro lado, uma equao diferencial de segundo grau e primeira ordem; dy/dx

  • 3

    a derivada de maior ordem (ordem 1) e 2 a maior potncia de dy/dx aparecendo na equao.

    Uma soluo de uma equao diferencial uma funo y = f (x) a qual, juntamente com as suas

    derivadas, satisfaz a equao diferencial dada.

    Exemplos: (a) Verificar que y = 4.e-x

    + 5 uma soluo da equao diferencial de segunda ordem e

    primeiro grau .02

    2

    dx

    dy

    dx

    yd

    Observando que xedx

    dy .4 e xedx

    yd .42

    2

    e substituindo na equao diferencial dada, temos:

    4.e-x

    + ( 4.e-x) = 0

    0 = 0

    (b) Verificar que y =x

    x

    eC

    eC

    .1

    .1

    uma soluo da equao diferencial de primeira ordem e

    primeiro grau )1(2

    1 2 ydx

    dy.

    A primeira derivada da equao dada 2.1

    ..2x

    x

    eC

    eC

    dx

    dy

    . Substituindo este resultado na

    equao diferencial dada, temos:

    2.1..2

    x

    x

    eC

    eC

    =

    1

    .1

    .1

    2

    12

    2

    x

    x

    eC

    eC

    =

    2

    2222

    .1

    ..21..21

    2

    1x

    xxxx

    eC

    eCeCeCeC

    =

    2

    .1

    ..4

    2

    1x

    x

    eC

    eC

    2.1..2

    x

    x

    eC

    eC

    .

    A soluo y = 4.e-x

    + 5 no Exemplo (a) acima um exemplo de uma soluo particular de uma

    equao diferencial. Podemos verificar que y = 4.e-x

    + 3 tambm uma soluo particular da equao

    diferencial no exemplo (a). Deste modo, uma equao diferencial pode ter mais do que uma soluo

    particular.

    Uma soluo y = f(x) de uma equao diferencial de ordem n contendo n constantes arbitrrias

    chamada uma soluo geral. Assim, a soluo y =x

    x

    eC

    eC

    .1

    .1

    no Exemplo (b) ou y = 4.e

    -x + C no

  • 4

    Exemplo (a) um exemplo de uma soluo geral.

    Geometricamente, a soluo geral de uma equao diferencial de primeira ordem representa

    uma famlia de curvas conhecidas como curvas-soluo uma para cada valor da constante arbitrria.

    Uma soluo particular pode ser obtida se forem dadas certas condies iniciais. Uma condio

    inicial de uma equao diferencial uma condio que especifica um valor particular de y, y0,

    correspondente a um valor particular de x, x0. Isto , se y = f(x) pode ser uma soluo da equao

    diferencial, ento a funo deve satisfazer a condio: y0 = f(x0). O problema de ser dada uma equao

    diferencial com condies iniciais chamado um problema de valor inicial.

    Um estudo completo de equaes diferenciais incluiria um estudo de equaes diferenciais de

    todos os graus e equaes diferenciais parciais e ordinrias. Limitamos deste modo as nossas

    consideraes s equaes diferenciais ordinrias do primeiro grau.

    Exemplos: (a) Verificar que y = C1.cosx + C2.senx uma soluo geral da equao diferencial

    y + y = 0.

    Primeiro, determinar as derivadas da funo dada:

    y' = - C1.senx + C2..cosx

    y= - C1.cosx - C2..senx

    Substituindo na equao diferencial, temos:

    y + y = 0

    - C1.cosx - C2..senx + ( C1.cosx + C2..senx) = 0

    - C1.cosx - C2..senx + C1.cosx + C2..senx = 0

    0 = 0

    Portanto, y = C1.cosx + C2..senx uma soluo geral da equao diferencial dada com duas

    constantes arbitrrias distintas.

    (b) Mostre que y = C.e-2x

    uma soluo para a equao diferencial y + 2y = 0 e encontre

    a soluo particular determinada pela condio inicial y(0) = 3.

    Sabemos que y = C.e-2x

    soluo porque y = - 2.C.e-2x e y + 2y = - 2.C.e-2x + 2.( C.e-2x ) = 0.

    Usando a condio inicial y(0) = 3, ou seja, y = 3 e x = 0, obtm:

    y = C.e-2x

    3 = C e-2.0 C = 3

  • 5

    e conclumos que a soluo particular y = 3.e-2x

    .

    Exerccios

    Constatar a ordem e o grau de cada uma das seguintes equaes diferenciais.

    1. 22 yxdx

    dy 5. y- 4y + xy = 0

    2. 023

    2

    dx

    dyx

    dx

    dy 6. y+ x.cosx = 0

    3. yxdx

    dyxy

    dx

    yd 22

    2

    5 7. (y)3 - xy + y = 0

    4. 0

    22

    dx

    dyy

    dx

    dyx 8. y+ ex y = 2

    Verificar que cada uma das funes dadas y = f(x) uma soluo da equao diferencial dada.

    9. 3dx

    dy; y = 3x 7 14. yx

    dx

    dyx 2 ; y = x2 + Cx

    10. 242 xxydx

    dy ; y = x2 - 4x 15. 016

    2

    2

    ydx

    yd; y = C1sen4x + C2cos4x

    11. x xydx

    dy42 ; y = x2 - 4x 16. 3

    2

    2

    20xdx

    yd ; y = x5 + 3x - 2

    12. 02

    2

    ydx

    yd; y = 2 senx + 3 cosx