Aula de EDO - Lei do Resfriamento de Newton

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Conforme solicitado em aula pelo professor Anderson, estou postando a minha aula feita em slides no power point!!! Cristiane P. F. Lima

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  • Celer Faculdades Xaxim/SCCentro de Excelncia em Gesto PblicaAula De Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO)MATEMTICA APLICADA

  • LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON Determinao do instante da morte

  • Alm das grandes contribuies para a Fsica, Newton tambm deixou algumas contribuies para a Matemtica. Uma delas refere-se s trocas de calor entre corpos. O mais interessante disto, para ns, a modelagem do problema, que recair em uma equao diferencial.

  • A lei de Newton do resfriamentoEm 1701, com quase 60 anos, Newton publicou anonimamente um artigo Scala Graduum Caloris, onde descreve um mtodo para medir temperaturas de at 1000 C, algo impossvel aos termmetros da poca (SOUZA, 2007).

  • O mtodo estava baseado no que hoje conhecido como a Lei do Resfriamento de Newton, ou seja:A taxa de diminuio da temperatura de um corpo proporcional diferena de temperaturas entre o corpo e o ambiente.

    Em termos matemticos:

    dT = - k (T Tm) dt

  • DIMINUINDO COM O PASSAR DO TEMPO, EM RELAO Onde:

    T = a temperatura do corpot = o tempoTm = a temperatura do meio ambientek = uma constante que depende do material com que o corpo foi construdo.

    OBS.: O SINAL NEGATIVO INDICA QUE A TEMPERATURA DO CORPO ESTTEMPERATURA DO MEIO AMBIENTE.

  • VAMOS AO PROBLEMA...

    Sobre a conduo do calor: um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo est colocado. Aceita 3 hipteses bsicas:

    A temperatura T = T (t) depende do tempo t e a mesma em todos os pontos do corpo.

    A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante ao longo da experincia. A taxa de variao da temperatura com relao ao tempo t proporcional diferena entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

  • MONTAGEM E RESOLUO DA EQUAO DIFERENCIAL ORDINRIA (EDO):Assumiremos verdadeiras as hipteses enumeradas, observando que:dT = - k (T Tm) dt

    Esta uma EDO separvel, que pode ser transformada em: __dT__ = - k dt (T Tm)

  • Integrando ambos os membros em relao varivel tempo:

    Teremos,ln (T-Tm) = - k t + k0

    Aplicando a funo exponencial a ambos os membros, teremos:

    e Ln (T - Tm) = e k (- t + 1)

  • Logo: T Tm = e-kt . e1 C ,

    e tomando as constantes embutidas, obtm-se:

    T (t) Tm = C . e-kt

    Ento a soluo da equao diferencial ser:

    T(t) = Tm + C . e-kt

  • Determinao da constante C:Mas como sabemos que a temperatura inicial do corpo T(0) = T0 , ento substituindo t = 0 na soluo da equao, teremos:T(0) = Tm + C . eo T0 = Tm + C Logo, C = T0 Tm

    Ento substituindo C na equao, obtm-se a soluo final:T(t) = Tm + (T0 Tm) . e-kt

  • DETERMINAO DO INSTANTE DA MORTENa investigao de um homicdio, ou de uma morte acidental, muitas vezes importante estimar o instante da morte.Por exemplo:1) Folheando um jornal , encontramos a seguinte notcia: CORPO ENCONTRADO MISTERIOSAMENTEFoi encontrado pelas 4h na esquina da rua I com a rua J o corpo de um homem aparentando 30 anos. Moradores do local disseram ter ouvido tiros por volta da meia-noite e tambm em torno das 3 da madrugada. A polcia j encontrou ambos os autores dos disparos. Somente aps o legista identificar a hora da morte que a polcia poder prender um dos suspeitos.Voc deve estar se perguntando: Como podemos saber quando a vtima morreu?

  • Para responder a esta pergunta precisamos saber a temperatura do corpo no instante da descoberta e a temperatura ambiente, e efetuarmos os seguintes clculos, usando a equao final da temperatura em funo do tempo.Ento vamos admitir que a temperatura do corpo seja 30C no instante da descoberta e 23C duas horas depois, e a temperatura ambiente de 20C.Primeiramente, calcularemos a constante k, tendo os dados:

    T = 23Ct = 2hTm = 20CT0 = 30CRESOLVENDO: T(t) = Tm + (T0 Tm) . e-kt

    23 = 20 + (30 20) . e-2k

    3 / 10 = e-2k

    e-2k = 0,3

    -2k = ln 0,3

    k = -1,2 / -2

    k = 0,6

  • Agora precisamos saber o instante da morte, ou seja, a hora exata da morte.Ento vamos admitir que a temperatura do corpo seja igual a temperatura normal de 37C no instante t = 0, a temperatura ambiente de 20C. Calcularemos t (instante da morte), tendo os dados:

    T0 = 37CTm = 20C T = 30C k = 0,6

    RESOLVENDO: T(t) = Tm + (T0 Tm) . e-kt

    30 = 20 + (37 20) . e-0,6t

    10 / 17 = e-0,6t

    e-0,6t = 0,58823...

    -0,6t = ln 0,58823...

    t = -0,53 / -0,6

    t = 0,88333...h

    t 53 min

  • RESPONDENDO A PERGUNTA INICIAL:

    Como podemos saber quando a vtima morreu?Como acharam o corpo s 4h, e o instante de sua morte foi 53 min antes, ento a vtima morreu aproximadamente s 3h 07min.

  • 23/06/2014

    02/08/2008