C E N T R O D E C I Ê N C I A S T E C N O L Ó G I C A S

D E P A R T A M E N T O D E F Í S I C A

P R O F : J O R G E P A S S I N H O

Lei de resfriamento de Newton

Objetivos:

Desenvolver um modelo de simulação para o processo de resfriamento de um sistema contendo água quente que perde calor para o meio ambiente.

verificar se a simulação é coerente com o experimento (Lei de Resfriamento de Newton).

Material Utilizado:

Cronômetro

Resistência (usada para aquecer a água)

Termopar (termômetro)

Recipiente (com água)

Montagem e Procedimento Experimental:

1) Coloque água até encher uns 90% do recipiente e utilize a resistência para aquecer o sistema até cerca de 70 °C.

2) Coloque o conjunto recipiente/água quente sobre a bancada e mergulhe o termopar no sistema (use uma flanela nessa operação, todo cuidado para não se queimar).

3) antes de colocar o termômetro na água meça e anote a temperatura ambiente. Para ter uma boa idéia se ocorre alguma variação ao longo do tempo, meça tal temperatura no início e no fim do experimento (se tiver um termômetro extra).

4) Acione o cronômetro e, então, a intervalos regulares t de tempo (por exemplo a cada 3 minutos), meça e anote a temperatura T da água (sistema). Para anotar os dados use uma tabela de tempo e temperatura

SIMULAÇÃO

Neste etapa do trabalho objetivamos desenvolver um modelo de simulação para o processo de troca de calor entre a água num recipiente e o ambiente. O processo escolhido foi o de resfriamento (água quente perdendo calor para o meio ambiente). Para essa simulação entramos com dados obtidos no experimento.

Lei do resfriamento de Newton

Sobre a transferência do calor: Um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente onde está posto, aceita três hipóteses básicas:

1. A temperatura T=T(t) depende do tempo e é a mesma em todos os pontos do corpo.

2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência.

3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente.

Lei do resfriamento de Newton

dT=-k T-Tmdt

Montagem da EDO: Assumiremos verdadeiras as hipóteses anteriores, observando que:

onde T=T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente, T-Tm é a diferença de temperatura e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construído, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Lei do resfriamento de Newton

dT

=-kdtT-Tm

ln T-T =-kt+cm

Resolução da EDO: Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em:

Integrando ambos os membros , teremos:

Lei do resfriamento de Newton

-kt+c -kt+c -ktT-T =e T=e +T T=Ce +Tm m m

-k(0)T =Ce +T T =C+T C=T -To m o m o m

logo, a solução da EDO será:

Quando temos a temperatura inicial do corpo é T(0)=To, então podemos obter a constante C que aparece na solução, pois:

Lei do resfriamento de Newton

-ktT= T -T e +To m m

A solução do PVI será:

Condições iniciais do experimento:

Tm=27,8°C (temperatura do meio ambiente)

T0=70,8°C (temperatura inicial do sistema)

No instante to =0, temos:

70,8-27,8=Ce kt

Calculando a constante C:

Substituindo t=0, temos que C=43, logo nossa eq. Fica:

43 ktT Tm e

Depois de 69 minutos a temperatura da água estava 52,5°C, daí substituímos novamente na eq. anterior calculamos o valor de k, cujo resultado foi de k=0,011/s, a partir desses dados montamos o gráfico e comparamos com o resultado obtido experimentalmente.

Aqui temos um exemplo

de como a temperatura da água vai diminuindo com o tempo.

Construa dois gráficos:

a) com os dados obtidos experimentalmente

b) O outro com a sua solução da EDO que você resolveu utilizando PVI do seu experimento

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