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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS UNIDADE CURVELO CAMPUS X ENGENHARIA CIVIL RELATÓRIO PRÁTICA IV: EQUAÇÃO DE NEWTON PARA O RESFRIAMENTO FÍSICA EXPERIMENTAL II CURVELO 2015

Relatório Prática IV - Equação de Newton Para o Resfriamento

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Física Experimental

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Page 1: Relatório Prática IV - Equação de Newton Para o Resfriamento

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CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

UNIDADE CURVELO – CAMPUS X

ENGENHARIA CIVIL

RELATÓRIO – PRÁTICA IV:

EQUAÇÃO DE NEWTON PARA O RESFRIAMENTO

FÍSICA EXPERIMENTAL II

CURVELO

2015

Page 2: Relatório Prática IV - Equação de Newton Para o Resfriamento

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RELATÓRIO – PRÁTICA IV:

EQUAÇÃO DE NEWTON PARA O RESFRIAMENTO

Física Experimental II

Docente

Pedro Rodrigues de Almeida III

Discente

Luana Emanuéle Cordeiro Cruz

Matrícula: 2012210210073

CURVELO

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SUMÁRIO

1. OBJETIVOS ........................................................................................................... 4

2. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 4

3. MATERIAIS UTILIZADOS ................................................................................. 6

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL E ANÁLISE DE RESULTADOS ..... 6

4.1. ANÁLISE DO DECRÉSCIMO DE TEMPERATURA DO TERMÔMETRO

EM CONTATO COM O AR. ................................................................................................. 6

4.2. ANÁLISE DO DECRÉSCIMO DE TEMPERATURA DO TERMÔMETRO

EM CONTATO COM A ÁGUA ............................................................................................ 8

4.3. COMPARAÇÃO DE RESULTADOS: CONSTANTE K ............................. 11

5. CONCLUSÃO ...................................................................................................... 12

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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1. OBJETIVOS

– Determinar a curva de resfriamento de um termômetro;

– Verificar a validade da lei de Newton para o resfriamento.

2. INTRODUÇÃO

Se dois corpos à temperaturas diferentes são colocados em contato, haverá passagem de

calor do corpo de temperatura mais alta para o corpo de temperatura mais baixa até que suas

temperaturas sejam iguais, ou seja, até que se atinja o equilíbrio térmico.

Consideremos um objeto de temperatura 𝑇 e um fluido à temperatura ambiente 𝑇𝑎, onde

𝑇 > 𝑇𝑎. Quando uma quantidade de calor 𝑑𝑄 é transferida em um tempo 𝑑𝑡 de 𝑇 para 𝑇𝑎, a taxa

de transferência de calor é dada por 𝑑𝑄/𝑑𝑡 (SEARS et al, 2003, p.122). Essa taxa de

transferência é chamada de H. Ela é diretamente proporcional à área de contato do objeto e a

diferença de temperatura (𝑇 − 𝑇𝑎):

𝐻 =𝑑𝑄

𝑑𝑡 𝛼 𝐴

𝐻 =𝑑𝑄

𝑑𝑡 𝛼 (𝑇 − 𝑇𝑎)

Introduzindo uma constante de proporcionalidade 𝛽, chamada condutividade térmica do

material, temos que:

𝐻 =𝑑𝑄

𝑑𝑡= 𝛽𝐴(𝑇 − 𝑇𝑎) (1)

O objeto mais quente, em contato fluido – mais frio –, irá transferir calor para este.

Durante o intervalo 𝑑𝑡, o objeto de 𝑇 > 𝑇𝑎, de massa 𝑚 e calor específico 𝑐, transfere para o

fluido de 𝑇𝑎 < 𝑇 uma certa quantidade de calor 𝑑𝑄, onde teremos, então, uma variação de

temperatura dT. Podemos obter essa relação por:

𝑑𝑄 = −𝑚𝑐 𝑑𝑇 (2)

Que expressa o calor necessário para mudar a temperatura de um corpo de massa 𝑚. O

valor negativo da expressão indica que o corpo de maior temperatura liberou calor e sua

temperatura diminuiu (SEARS et al, 2003, p.114).

Relacionando (1) e (2), temos:

𝐻 =𝑑𝑄

𝑑𝑡=

−𝑚𝑐 𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝛽𝐴(𝑇 − 𝑇𝑎)

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−𝑚𝑐 𝑑𝑇

𝑑𝑡= 𝛽𝐴(𝑇 − 𝑇𝑎)

𝑑𝑇

𝑇 − 𝑇𝑎=

𝛽𝐴

−𝑚𝑐𝑑𝑡

Sabemos que a condutividade térmica do material, a área, sua massa e seu calor

específicos são constantes. Fazendo 𝛽𝐴

𝑚𝑐= 𝑘, e substituindo na equação acima, teremos que

𝑑𝑇

𝑇 − 𝑇𝑎= −𝑘𝑑𝑡 (3)

ou

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) (3.1)

A relação (3.1), em termos de ∆𝑇 (∆𝑇 = 𝑇 − 𝑇𝑎) é conhecida como equação de Newton

para o resfriamento.

Supondo que o corpo de maior temperatura esteja à temperatura 𝑇0 no instante 𝑡 = 0 e

à temperatura 𝑇 após um tempo t, podemos integrar a equação (3). Sendo assim

∫𝑑𝑇

(𝑇 − 𝑇𝑎)

𝑇

𝑇0

= −𝑘 ∫ 𝑑𝑡𝑡

0

→ [ln(𝑇 − 𝑇𝑎)]𝑇𝑜

𝑇 = −𝑘𝑡

ln(T − 𝑇𝑎) − ln(𝑇0 − 𝑇𝑎) = −𝑘𝑡 → ln(𝑇 − 𝑇𝑎)

ln (𝑇0 − 𝑇𝑎)= −𝑘𝑡

ln(𝑇 − 𝑇𝑎) = −𝑘𝑡 ∙ ln(𝑇0 − 𝑇𝑎) → 𝑒ln(𝑇−𝑇𝑎) = 𝑒ln(𝑇0−𝑇𝑎) ∙ 𝑒−𝑘𝑡

(𝑇 − 𝑇𝑎) = (𝑇0 − 𝑇𝑎)𝑒−𝑘𝑡 (4)

Onde 𝑇 − 𝑇𝑎 = ∆𝑇 e indica a diferença de temperatura entre a superfície do sólido e do

fluido e 𝑇 − 𝑇0 = ∆𝑇0, onde ∆𝑇0 é a diferença de temperatura entre o sólido e a vizinhança no

instante 𝑡 = 0. Ou seja:

∆𝑇 = ∆𝑇0𝑒−𝑘𝑡 (5)

A equação (1) também pode ser expressada da seguinte forma:

𝑇 = 𝑇𝑎 + ∆𝑇0𝑒−𝑘𝑡 (5.1)

A Equação de Newton para o resfriamento tem diversas utilidades, entre elas calcular o

calor específico de um corpo na ausência de um calorímetro. Neste experimento, o objetivo é

apenas verificar a validade da equação para o resfriamento.

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3. MATERIAIS UTILIZADOS

– 02 Termômetros com escala de -10°C a 110°C;

– 01 Ebulidor;

– 02 Béqueres de 250 ml;

– 01 Cronômetro;

– 01 Tripé tipo estrela com manípulo.

4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL E ANÁLISE DE RESULTADOS

4.1. ANÁLISE DO DECRÉSCIMO DE TEMPERATURA DO TERMÔMETRO EM

CONTATO COM O AR.

O tripé foi montado. Um dos termômetros foi preso no tripé e a temperatura do ambiente

foi medida. O valor medido foi:

𝑇𝑎 = (27,5 ± 0,5)℃

Onde, 𝑇𝑎 = temperatura ambiente.

Em um béquer de vidro foram adicionados 150𝑚𝑙 de água. Esta água foi aquecida com

o ebulidor. O segundo termômetro foi colocado neste mesmo béquer e a água nele foi aquecida

até atingir uma temperatura em torno de (70,0 ± 0,5)℃. Então o ebulidor foi desligado e

retirado do béquer. Em seguida, o termômetro também foi retirado do béquer e segurado por

um aluno de modo que ficou em contato com ar do ambiente. O decréscimo da temperatura em

função do tempo foi então registrado, até que o valor do segundo termômetro estivesse bem

próximo ao da temperatura ambiente medida com o primeiro termômetro. Em um intervalo de

tempo de (10 ± 0,01)𝑠 entre cada medição, resultados obtidos foram:

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𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜

(𝑡 ± 0,001)𝑠 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 (𝑇 ± 0,5) °𝐶

𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜

(𝑡 ± 0,01)𝑠 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 (𝑇 ± 0,5) °𝐶

𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜

(𝑡 ± 0,001)𝑠 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 (𝑇 ± 0,5) °𝐶

0 70,0 110,00 34,5 220,00 30,0

10 59,5 120,00 34,0 230,00 29,5

20 53,5 130,00 33,0 240,00 29,5

30 49,5 140,00 32,5 250,00 29,0

40 46,0 150,00 32,5 260,00 29,0

50 43,5 160,00 32,0 270,00 29,0

60 41,5 170,00 31,5 280,00 29,0

70 39,5 180,00 31,0 290,00 28,5

80 38,0 190,00 31,0 300,00 28,5

90 36,5 200,00 30,5 310,00 28,0

100 35,0 210,00 30,0

Tabela I – Resultados obtidos na primeira parte do experimento (termômetro em contato com o ar).

Utilizando-se um programa gráfico para relacionar os resultados obtidos, o seguinte

gráfico foi plotado:

Figura I – Gráfico do decréscimo de temperatura em função do tempo (termômetro em contato com ar).

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Pode-se observar pelo gráfico que este segue uma função exponencial, de mesma forma

da equação (5.1), onde os parâmetros calculados são:

𝑇𝑎 = (29,5 ± 0,4)℃ ;

∆𝑇0 = (38,0 ± 0,8)℃ ;

𝑘 = (0,197 ± 0,0009)℃.

No experimento, 𝑇𝑎 = (27,5 ± 0,5)℃ foi a temperatura ambiente medida diretamente

via termômetro e ∆𝑇0 é dado ela diferença de temperatura entre o objeto e o fluido no instante

𝑡 = 0. Sendo 𝑇0 a temperatura medida diretamente do objeto no instante 𝑡 = 0 e 𝑇𝑎 a

temperatura da vizinhança também medida diretamente no instante 𝑡 = 0, ∆𝑇0 calculado com

as medidas diretas quando o termômetro esteve circundado pelo ar será dado por:

∆𝑇0 = 𝑇0 − 𝑇𝑎

∆𝑇0 = 70 ℃ − 27,5 ℃ → ∆𝑇0 = 42,5 ℃

O erro para ∆𝑇0 será:

∆(∆𝑇0) = ∆𝑇0 + ∆𝑇𝑎

∆(∆𝑇0) = 0,5 + 0,5 = 1℃

Logo, ∆𝑇0 = (43 ± 1)℃.

Observa-se que o valor calculado para a temperatura ambiente é maior que o medido

diretamente. Como a equipe não esperou a temperatura do termômetro chegar aos

(27,5 ± 0,5)℃, esta pode ser a principal causa da grande diferença entre a temperatura

ambiente calculada no programa gráfico e a medida diretamente, além do fato de que a medição

num termômetro analógico é mais passível de erros do que uma medição feita se o termômetro

fosse digital. Por este motivo, ∆𝑇0 calculado pelo programa gráfico foi menor que o calculado

através das medidas diretas, já que, como a variação de temperatura ∆𝑇0 é 𝑇0 − 𝑇𝑎, um 𝑇𝑎 maior,

implica em uma variação menor.

4.2. ANÁLISE DO DECRÉSCIMO DE TEMPERATURA DO TERMÔMETRO EM

CONTATO COM A ÁGUA

Repetiu-se o experimento colocando-se o segundo termômetro em contato com a água

à temperatura ambiente.

𝑇𝑎 = (28 ± 0,5)℃

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Como no procedimento anterior, a água em um béquer de vidro foi aquecida com o

ebulidor. Um termômetro foi colocado neste mesmo béquer e a temperatura foi medida até que

estivesse em torno de (76 ± 0,5)℃. Então o ebulidor foi desligado e o termômetro foi retirado

e colocado em um segundo béquer com água à temperatura ambiente. Em um intervalo de

(10 ± 0,01)𝑠, o decréscimo de temperatura foi registrado até que a temperatura indicada no

termômetro estivesse bem próximo da temperatura ambiente medida. Os resultados obtidos se

encontram na tabela a seguir:

𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜

(𝑡 ± 0,01)𝑠 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎

(𝑇 ± 0,5)℃

0 76,0

10,00 38,0

20,00 28,5

30,00 28,2

40,00 28,0

50,00 28,0

60,00 28,0

Tabela I – Resultados obtidos na segunda parte do experimento (termômetro em contato com a água).

Utilizando-se um programa gráfico para relacionar os resultados obtidos, foi plotado o

seguinte gráfico:

Figura II – Gráfico do decréscimo de temperatura em função do tempo (termômetro introduzido na água).

Page 10: Relatório Prática IV - Equação de Newton Para o Resfriamento

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Observa-se que o gráfico segue a forma da equação (5.1), onde:

𝑇𝑎 = (28,4 ± 0,2) ℃

∆𝑇0 = (47,6 ± 0,3) ℃

𝑘 = (0,159 ± 0,003) ℃

No experimento, a temperatura ambiente da água medida diretamente via termômetro

foi 𝑇𝑎 = (28 ± 0,5)℃, sendo ∆𝑇0 dado ela diferença de temperatura entre a água e o

termômetro no instante 𝑡 = 0. Sendo 𝑇0 a temperatura medida diretamente no termômetro no

instante 𝑡 = 0 e 𝑇𝑎 a temperatura da água também medida diretamente, no instante 𝑡 = 0, ∆𝑇0

calculado com as medidas diretas quando o termômetro esteve em contato com a água será dado

por:

∆𝑇0 = 𝑇0 − 𝑇𝑎

∆𝑇0 = 76,0 ℃ − 28,0 ℃ → ∆𝑇0 = 48,0 ℃

Como na primeira parte do experimento, o erro será a soma das incertezas de 𝑇𝑎 e 𝑇0,

Ou seja, (0,5 + 0,5) = 1℃. Sendo assim:

∆𝑇0 = (48 ± 1) ℃

Como esperou-se que temperatura do termômetro entrasse em equilíbrio térmico com a

água, ou seja, esperou-se até que o termômetro indicasse a temperatura ambiente medida para

a água, o programa gráfico retornou valores calculados bem próximos aos valores medidos

diretamente via termômetro, porém, observa-se que as incertezas calculadas são menores que

as incertezas obtidas pela medição direta. O fato de os cálculos feitos por uma máquina serem

muito mais precisos que um cálculo feito à mão, justificam esta observação.

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4.3. COMPARAÇÃO DE RESULTADOS: CONSTANTE K

A partir do programa gráfico, construiu-se um gráfico comparativo entre as duas etapas

do experimento:

Figura III – Gráfico comparativo para o decréscimo de temperatura em relação ao tempo quando o

termômetro está em contato com o ar e quando o termômetro está em contato com a água.

Como a taxa de resfriamento é diretamente proporcional à 𝑘 (𝑑∆𝑇

𝑑𝑡= −𝑘∆𝑇), espera-se

que, para uma taxa de resfriamento alta, o 𝑘 também seja alto. Observa-se pelo gráfico que em

contato com a água, a temperatura do termômetro decresce mais rápido, logo, espera-se que a

constante 𝑘 para a água seja maior que a constante 𝑘 para o ar.

Os resultados calculados pelo programa gráfico para o 𝑘𝑎𝑟 e para o 𝑘á𝑔𝑢𝑎 foram:

𝑘𝑎𝑟 = (0,0197 ± 0,0009)𝑠−1

𝑘𝐻2𝑂 = (0,159 ± 0,003)𝑠−1 *

Como 𝑘𝑎𝑟 < 𝑘𝐻2𝑂, o que era esperado. Pode-se concluir, portanto, que os resultados

para 𝑘 são compatíveis com os meios utilizados.

* 𝑘 =

𝑑∆𝑇

𝑑𝑡= −𝑘∆𝑇 → 𝑘 = ∫

𝑑∆𝑇

𝑑𝑡 → 𝑘 = ∫ −𝑘∆𝑇 → 𝑘 =

∆𝑇

𝑇= −𝑘𝑡

[𝑘] =℃

℃= 𝑘 ∙ 𝑠 → [𝑘] =

1

𝑠→ [𝑘] = 𝑠−1

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5. CONCLUSÃO

Através do experimento pôde-se determinar a curva de resfriamento de um termômetro

em ambientes diferentes e verificar que estas seguem a Equação do Resfriamento de Newton.

Observou-se também a tendência dos materiais de entrarem em equilíbrio térmico quando em

contato e concluiu-se que a rapidez com que esse equilíbrio é atingido depende do material, já

que a taxa de resfriamento depende da constante 𝑘, e esta constante depende, entre outros

fatores, do calor específico e da massa, propriedades que variam de material para material.

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REFERÊNCIAS BILBIOGRÁFICAS

Introdução

Física 2. Termodinâmica e Ondas. FREEDMAN, Roger A., YOUNG, Hugh D. 10ªEd.

(Capítulo 15. Seções 15.7/15.8)

Revista Brasileira de Ensino de Física. Disponível em:

http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1806-11172003000400010&script=sci_arttext.

Acessado em 11/04/2015

Universidade Estadual do Maranhão. Lei do Resfriamento de Newton. Disponível em:

http://www.academico.uema.br/DOWNLOAD/LeideresfriamentodeNewtonJP.pdf .

Acessado em 11/04/2015

Instituto de Física UFRGS. Disponível em:

http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20011/Adriano/teor.html. Acessado em:

12/04/2015