Capítulo 149 Equação do momento - PlinioTomaz · · 2013-01-14Segunda Lei de Newton F= m. a sendo: F= força (N/m2) ... Usando a equação do momento achar a força FD que age

Curso de Manejo de águas pluviaisCapitulo 149- Equação do momento

Engenheiro Plínio Tomaz 12 de janeiro de 2013 [email protected]

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Capítulo 149Equação do momento

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Capítulo 149- Equação do momento em canais abertos

149.1 IntroduçãoNa hidráulica as equações básicas são:

a) Conservação de massa ........Q= V.Ab) Conservação de energia ........E= z + y +α V2/2gc) Conservação do momento .. ∑F=β.ρ.Q (V2-V1)

Vamos considerar o volume de controle da Figura (149.1) conformeSubramanya, 2009.

O volume de controle é fixado em um espaço ladeado pelas faces(1) e (2) e escolhemos os contornos do mesmo para facilitar os cálculos.

Figura 149.1- Esquema para aplicação da equação do momento

A somatória das forças agindo no volume de controle deverá serigual a variação do momento. Não devemos esquecer que o momento éum vetor de quantidade.

Assim teremos:∑ F = F1 – F2 – F3 + F4 = M2 – M1




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Mas, M1= β1. ρQ V1 que é o momento na entrada do volume de controle.

e M2= β2. ρQ V2que é o momento na saída do volume de controle.

Nota: β geralmente é considerado igual a 1.

A equação do momento segundo Subramanya, 2009 é particularmenteuma ótima ferramenta na análise do movimentos rapidamente variados(RVF-Rapidly Varied Flow) em situações onde as perdas por energia sãocomplexas e não podem ser facilmente estimadas.

Segunda Lei de NewtonF= m. a

sendo:F= força (N/m2)m= massa (kg)a= aceleração ( m/s2)

A aceleração “a” pode ser escrita:a= (V2- V1)/ ∆tF= m. aF= m. (V2- V1)/ ∆tF= (m/ ∆t) . (V2- V1)

F= M=ρ.Q (V2-V1)

ρ.Q.V= momento= massa x velocidade




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Exemplo 149.1Calcular a força F que age sobre uma comporta móvel da Figura (149.2)usando a equação do momento.

Figura 149.2- Descarga móvelFonte: Subramanya, 2009

Primeiramente temos o volume de controle que é a linha (1) e (2).Aplicando o teorema do momento no volume de controle temos:Na seção (1) a altura é γ.y1 e a área do triângulo de altura y1 será:

Base= γ.y1

Altura y1

Em um ponto qualquer da água temos P= γ. yPara o fundo temos PA= γ. y1

Area= γ.y1 . y1/ 2= γ.y12/2

Portanto, teremos:γ.y1

2/2 - γ.y22/2 -F= ρ.Q (V2-V1)

Donde facilmente podemos achar o valor de F.




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Exemplo 149.2Usando a equação do momento achar a força FD que age sobre o blocosendo que o ressalto está sobre a horizontal.

Figura 149.3- Volume de controle do ressalto com o bloco

Aplicando a equação do momento no volume de controle (1) e (2) temos:

P1- FD – P2 = M2- M1

γ.y12/2 – FD - γ.y2

2/2 = ρ.Q (V2-V1)

Onde facilmente acharemos o valor de FD.




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Exemplo 149.3Seja o volume de controle em um ressalto hidráulico definido pelasseções (1) e (2).

γ.y12/2 - γ.y2

2/2 = ρ.Q (V2-V1)

Facilmente chegaremos a equação conhecida:y1/y2 = 0,5 ( -1 + (1+8F1

2) 0,5)Sendo:F1= V1/(g.y1)0,5

Figura 149.4- Esquema de ressalto hidráulico em fundo planoFonte: Subramanya, 2009




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149.2 Aplicação a curvas pressurizadas em tubosVer página 455 do livro Applied fluid mechanics de Robert L.Mott onde

mostra que a equação do momento pode ser aplicada a condutos forçados eneste caso temos duas posições: x e y para aplicação da equaçao domomento.

Exemplo 149.4Calcular a força exercida por um tubo em curva de 90º com objetivo de mantero equilibrio.Na Figura (149.5) e (149.6) temos uma curva de 90º.

Figura 149.5- Curva de 90º

Figura 149.6- Esquema das forças agindo sobre o volume de controle

Aplicando a equação do momento em X e depois em Y.

Fx= ρQ(V2x-V1)V2x=0Fx=- ρQV1

mas Fx= p1.A1 – Rx




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Fx= p1.A1 – Rx= - ρQV1Rx= p1.A1+ ρQV1p1=550000 Paρ= 1000 kg/m3

A1= 8,213 x 10-3 m2

Q= 0,05m3/sV1= Q/A1= 6,09m/sρQV1 = 1000 x 0,05 x 6,09= 305 kg.m/s2= 305 N

p1.A1= 550000 x 8,213 x 10 -3 = 4517 N

Rx= p1.A1+ ρQV1Rx= 4517+ 305= 4822 N

Assim achamos Rx= 4822 N

Para acharmos Ry façamos os calculos na direção Y.

Ry= p2.A2+ ρQV2

Acharemos Ry= 4822 N

As forças Rx e Ry serão usadas na ancoragem da curva de 90º.




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Exemplo 149.5Calcular a reação em X e Y sobre uma proteção em um jato de águasobre uma curva de 90º.

O problema é semelhante ao anterior coma diferença p1.A1=p2.A2=0.




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149.19 Bibliografia e livros consultados-CHANSON, HUBERT. The hydraulics of open channel flow: an introduction.2a ed. 585 páginas. Elsevier, 2010 ISBN 978-0-7506-5978-9.-MOTT, ROBERT L. Applied fluid mechanics. 4a ed. 579 páginas, 1994, NewYork-SUBRAMANYA, K. Flow in open channels. 3a ed. Tata McGraw-Hill, NewDelhi, 2009, 548 páginas, ISBN 0-07-069966-6.


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