Física I · 2020. 9. 29. · Equação de movimento de uma única partícula de momento sujeita a uma força externa 𝐹Ԧ 𝑥𝑡 𝐹Ԧ 21 2 𝐹Ԧ 12 𝐹Ԧ 2 𝑥𝑡 𝐹Ԧ

Física I

Momento Linear – parte I (material de apoio a aula)

Profs.: Camilla Codeço e Marcello Barbosa

Coordenação: Malena Hor-Meyll e Thereza Paiva

1

Objetivo da aula

• Momento linear

• Sistema de duas partículas: • Centro de massa

• Posição, velocidade e aceleração do centro de massa

• Sistema de muitas partículas

• Conservação do momento linear

Definir e discutir os conceitos sobre momento linear

2

Momento linear

Para colocar um corpo em movimento com uma dada velocidade Ԧ𝑣 sabemos, daexperiencia cotidiana, que o nosso esforço é maior quanto maiores forem a massa docorpo e o módulo da velocidade Ԧ𝑣

Momento linear


Dada uma partícula com massa 𝑚 e sujeita à força total Ԧ𝐹, pela segunda Lei de Newton:

𝑚Ԧ𝑎 = Ԧ𝐹Aceleração da partícula

Momento linear



𝑚Ԧ𝑎 = Ԧ𝐹Aceleração da partícula

𝑚𝑑 Ԧ𝑣

𝑑𝑡= Ԧ𝐹

𝑑

𝑑𝑡(𝑚 Ԧ𝑣) = Ԧ𝐹

Velocidade da partícula

Momento linear

𝑑


Ԧ𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣Momento linear:


Momento linear: vetor definido pelo produto entre a massa de uma

partícula e o seu vetor velocidade

Momento linear

𝑑




Momento linear: vetor definido pelo produto entre a massa de uma

partícula e o seu vetor velocidade

O vetor momento linear tem a mesma direção e sentido

do vetor velocidadeUnidades no S.I.: Ԧ𝑝 = 𝑘𝑔.𝑚/𝑠

Momento linear

𝑑



Momento linear

𝑑




𝑑 Ԧ𝑝

𝑑𝑡= Ԧ𝐹Segunda Lei de Newton:

Momento linear

𝑑




𝑑 Ԧ𝑝


Segunda Lei de Newton: a taxa instantânea de variação do momento linear de uma partícula é igual à força total aplicada sobre ela

Momento linear



𝑑 Ԧ𝑝


Ԧ𝐹 = 0 →𝑑 Ԧ𝑝

𝑑𝑡= 0 → Ԧ𝑝 = 𝑐𝑡𝑒 A partícula tem velocidade

constante e executa um MRU

Segunda Lei de Newton: a taxa instantânea de variação do momento linear de uma partícula é igual à força

total aplicada sobre ela

Momento linear

X

https://an.wikipedia.org/wiki/Coix%C3%ADn#/media/Imachen:Cushion.jpg

ℎ ℎ


Momento linear

X


ℎℎ

𝑑 Ԧ𝑝

𝑑𝑡= Ԧ𝐹

Obs: O intervalo de tempo neste caso, é o intervalo de tempo da frenagem


Sistema de duas partículas

Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si:

Estrelas binárias: duas estrelas que interagementre si mas que estão isoladas do resto douniverso.

https://pt.wikipedia.org/wiki/Estrela_bin%C3%A1ria






𝑑 Ԧ𝑝1𝑑𝑡

= Ԧ𝐹12

2° Lei de Newton para este sistema:

Força que atua na partícula 1devido à partícula 2







= Ԧ𝐹12


= Ԧ𝐹21










= Ԧ𝐹12


= Ԧ𝐹21




𝑑𝑃

𝑑𝑡= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹21, 𝑃 = Ԧ𝑝1 + Ԧ𝑝2

Momento total do sistema de duas partículas






O que podemos dizer sobre as forças Ԧ𝐹12 e Ԧ𝐹21?

𝑑𝑃

𝑑𝑡= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹21

Pela 3° Lei de Newton Ԧ𝐹12e Ԧ𝐹21 constituem um par

de ação e reação= 0






O que podemos dizer sobre as forças Ԧ𝐹12 e Ԧ𝐹21?

𝑑𝑃

𝑑𝑡= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹21

Pela 3° Lei de Newton Ԧ𝐹12e Ԧ𝐹21 constituem um par

de ação e reação

𝑑𝑃

𝑑𝑡= 0 O momento total do

sistema se conserva!

Num sistema isolado o momento total se conserva!

Lei de conservação associada a essa nova grandeza



Considere um sistema de duas partículas que interagem entre si e no qual atuam forças externas

Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1




= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1





Força que atua na partícula1 devido à partícula 2

Força externa totalque atua na partícula 1

Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1








Força externa totalque atua na partícula 1

Força externa total queatua na partícula 2


Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1







Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

𝑑𝑃

𝑑𝑡= Ԧ𝐹12 + Ԧ𝐹21 + Ԧ𝐹1

𝑒𝑥𝑡 + Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Repetindo o procedimento anterior:

Ԧ𝐹12 = − Ԧ𝐹21 : 3° Lei de Newton

𝑑𝑃

𝑑𝑡= Ԧ𝐹1








Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

Para que o momento total de um sistema se conserve a resultante das forças externas

aplicadas no sistema precisa ser nula!

𝑑𝑃

𝑑𝑡= Ԧ𝐹1


Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡 = Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡 + Ԧ𝐹2

𝑒𝑥𝑡

𝑑𝑃

𝑑𝑡= Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡

: resultante das forças externas


𝑑𝑃


Equação de movimento de uma única partícula de

momento 𝑃 sujeita a uma força externa Ԧ𝐹𝑒𝑥𝑡

Uma outra forma de olhar para o mesmo problema...

Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1


𝑑𝑃




Uma outra forma de olhar para o mesmo problema...

Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1 Pensar em uma única partícula (fictícia) representativa de todo o sistema


𝑑𝑃




Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

Pensar em uma única partícula (fictícia) representativa de todo o sistema

Centro de massa: é um ponto do espaço que determinamos a partir das posições das outras partículas do sistema, e que representa todo o

sistema, mas não é uma partícula.

Centro de massa de um sistema de duas partículas

Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

Como determinar a posição do centro de massa?


Ԧ𝑝1 = 𝑚1

𝑑 Ԧ𝑟1𝑑𝑡

Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

Ԧ𝑝2 = 𝑚2




Ԧ𝑝1 = 𝑚1


Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

Ԧ𝑝2 = 𝑚2



𝑃 =𝑑

𝑑𝑡(𝑚1 Ԧ𝑟1+𝑚2 Ԧ𝑟2)

Momento linear total do sistema


Ԧ𝑝1 = 𝑚1


Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

Ԧ𝑝2 = 𝑚2



𝑃 =𝑑


𝑃 = 𝑀𝑑𝑅

𝑑𝑡,

𝑃 =𝑑




Ԧ𝑝1 = 𝑚1


Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

Ԧ𝑝2 = 𝑚2



𝑃 =𝑑


𝑃 = 𝑀𝑑𝑅

𝑑𝑡,

𝑃 =𝑑


𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2

Vetor posição do centro de massa

𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2



Ԧ𝐹21

2

Ԧ𝐹12

Ԧ𝐹2𝑒𝑥𝑡

Ԧ𝐹1𝑒𝑥𝑡

1

𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2

Como determinar a velocidade e aceleração do centro de massa?

𝑉 =𝑑𝑅

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡

𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2

Vetor velocidade do centro de massa

Ԧ𝐴 =𝑑𝑉

𝑑𝑡=

𝑑2

𝑑𝑡2𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2

Vetor aceleração do centro de massa


Exemplo: considere duas partículas de massa 𝑚 distribuídas conforme indica a figuraabaixo. Calcule a posição do centro de massa no sistema.

𝑦

4

𝑥

2

2

1

2

𝑂


𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2


𝑦

4

𝑥

2

2

1

2

𝑂


𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2


𝑦

4

𝑥

2

2

1

2

Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗

𝑂

Ԧ𝑟1

Ԧ𝑟2


𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2


𝑦

4

𝑥

2

2

1

2

Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗𝑅 =

𝑚(4 Ƹ𝑗 + 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗)

2𝑚

𝑂

Ԧ𝑟1

Ԧ𝑟2


𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2


𝑦

4

𝑥

2

2

1

2

Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗𝑅 =

𝑚(4 Ƹ𝑗 + 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗)

2𝑚

𝑅 =(2 Ƹ𝑖 + 6 Ƹ𝑗)

2

𝑅 = 1 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗𝑂

Ԧ𝑟1

Ԧ𝑟2


𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2


𝑦

4

𝑥

2

2

1

2

Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗

𝑅 =𝑚(4 Ƹ𝑗 + 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗)

2𝑚

𝑅 =(2 Ƹ𝑖 + 6 Ƹ𝑗)

2

𝑅 = 1 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗

1

3𝐶𝑀


𝑅 =𝑚1 Ԧ𝑟1 + 𝑚2 Ԧ𝑟2𝑚1 + 𝑚2


𝑦

4

𝑥

2

2

1

2

Ԧ𝑟1 = 4 Ƹ𝑗

Ԧ𝑟2 = 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗

𝑅 =𝑚(4 Ƹ𝑗 + 2 Ƹ𝑖 + 2 Ƹ𝑗)

2𝑚

𝑅 =(2 Ƹ𝑖 + 6 Ƹ𝑗)

2

𝑅 = 1 Ƹ𝑖 + 3 Ƹ𝑗

1

3𝐶𝑀

O CM localiza-se sobre a reta que une as duas partículas

O CM localiza-se mais próximo da partícula de maior massa

42

Fim da aula!

Volte ao slide “Objetivos da aula” e avalie se você compreendeu os conceitos. Por exemplo, pense se você é capaz de falar sobre eles ou explicá-los para uma outra pessoa.

Pense em perguntas sobre esses conceitos e as tragam para a aula.

Não entendeu algo ou tudo? Calma! Assista o vídeo novamente,leia o livro texto e traga suas dúvidas para a aula.

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Física I · 2020. 9. 29. · Equação de movimento de uma única partícula de momento sujeita a uma força externa 𝐹Ԧ 𝑥𝑡 𝐹Ԧ 21 2 𝐹Ԧ 12 𝐹Ԧ 2 𝑥𝑡 𝐹Ԧ