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UFABC - Física Quântica - Curso 2017.3 Prof. Germán Lugones
Aula 10 Valores Esperados
1
2
A função de onda 𝛙(x,t) contém toda a informação sobre o comportamento de uma partícula.
𝛙(x,t) pode ser obtida a partir da equação de Schrödinger independente do tempo.
Resta ainda saber como podemos extrair a informação do sistema a partir da função de onda 𝛙(x,t).
Obter informações sobre: - posição, - momento, - energia, - e outras grandezas que caracterizam o movimento das partículas.
Suponha que preparamos vários sistemas idênticos (por exemplo, átomos de hidrogénio com o elétron no estado fundamental).
Se medimos a posição da partícula, a probabilidade de a probabilidade de encontrá-la entre x e x+dx é:
P(x,t) dx = 𝛙*(x,t)𝛙(x,t)dx
Se realizarmos uma série de medidas desses sistemas, no mesmo instante de tempo t, obteremos diferentes valores da posição x.
A média desses valores é:
Em mecânica quântica, este valor médio é denominado valor esperado da coordenada.
3
Valor esperado da posição
hxi =Z 1
0xP (x, t)dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)x (x, t)dx
4
O valor esperado de qualquer função pode ser calculado da mesma forma:
Mesmo pode ser feito para uma função que dependa explicitamente do tempo, pois todas as medidas são realizadas no mesmo instante de tempo t:
hx2i =Z 1
0x2P (x, t)dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)x2 (x, t)dx
hf(x)i =Z 1
0f(x)P (x, t)dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)f(x) (x, t)dx
hf(x, t)i =Z 1
0f(x, t)P (x, t)dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)f(x, t) (x, t)dx
5
O valor esperado do momento p de uma partícula é:
Para calcular a integral anterior, precisamos escrever p em função de x e t.
No entanto, lembremos que pelo princípio de incerteza não é possível determinar x e p simultaneamente → não é possível escrever p=p(x,t); não há trajetórias em Física Quântica.
Para encontrar a uma relação entre x e p vamos considerar uma onda senoidal:
Valor esperado do momento
hpi =Z 1
0pP (x, t)dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)p (x, t)dx
(x, t) = ei(kx�!t)
6
Derivamos em relação a x:
Portanto (usando –i = 1/i) temos:
Em Física Quântica, a variável dinâmica p é representada por um operador diferencial:
Esta associação foi obtida no caso particular de uma função de onda senoidal. No entanto, a relação é válida em geral.
@ (x, t)
@x=
@ei(kx�!t)
@x= ikei(kx�!t) = i
p
~
p (x, t) = �i~ @
@x (x, t)
p = �i~ @
@x
7
Agora podemos calcular o valor esperado do momento:
hpi =Z 1
0 ⇤(x, t)[p (x, t)]dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)
�i~ @
@x (x, t)
�dx
8
O valor esperado da energia E de uma partícula é:
Para obter E em função de x e t, vamos considerar novamente uma onda senoidal:
Derivamos em relação a t:
Valor esperado da energia
(x, t) = ei(kx�!t)
hEi =Z 1
0E P (x, t)dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)E (x, t)dx
@ (x, t)
@t=
@ei(kx�!t)
@t= �i!ei(kx�!t) = �i
E
~
9
Portanto (usando –i = 1/i) temos:
A variável dinâmica E é representada pelo operador diferencial:
Esta associação foi obtida no caso particular de uma função de onda senoidal, mas a relação é válida em geral.
O valor esperado da energia é:
E (x, t) = i~ @
@t (x, t)
E = i~ @
@t
10
Agora podemos calcular o valor esperado do momento:
hEi =Z 1
0 ⇤(x, t)[E (x, t)]dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)
i~ @
@t (x, t)
�dx
11
A função de onda de uma partícula livre é:
onde A é uma constante.
1) Onde está localizada uma partícula livre?
Para determinar a localização da partícula calculamos a densidade de probabilidade:
Como P(x, t) = A*A é uma constante para todo x, existe a mesma probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar do espaço. Em outras palavras, a partículas livre está "deslocalizada".
Valores esperados para a partícula livre
(x, t) = Aei(kx�!t)
P (x, t) = ⇤(x, t) (x, t) = A⇤e�i(kx�!t)Aei(kx�!t) = A⇤A
12
2) Valor esperado do momento:
O valor esperado do momento de uma partícula livre é ℏk.
Temos assim, ∆x=∞ e ∆p=0, em concordância com o princípio de incerteza de Heisenberg.
hpi =Z 1
0 ⇤(x, t)[p (x, t)]dx =
Z 1
0 ⇤(x, t)
�i~ @
@x (x, t)
�dx
=
Z 1
0A⇤e�i(kx�!t)
�i~ @
@xAei(kx�!t)
�dx
=
Z 1
0A⇤e�i(kx�!t)(�i~)(ik)Aei(kx�!t)dx
= ~kZ 1
0 ⇤(x, t) (x, t)dx = ~k
13
Encontre os valores de expectação <p> e <p2> para função de onda do estado fundamental de uma partícula em um poço de potencial infinito.
A parte espacial da função de onda de uma partícula no estado fundamental de um poço infinito é:
No cálculo dos valores de expectação podemos ignorar a parte temporal da função de onda 𝜙(t) = exp(-iEt/ℏ) já que se anula ao fazermos 𝜙*𝜙.
Portanto, temos
Valores esperados para a partícula no poço infinito
6-2 The Infinite Square Well 243
Just as in the case of the standing-wave function for the vibrating string, we can con-sider this stationary-state wave function to be the superposition of a wave traveling to the right (first term in brackets) and a wave of the same frequency and amplitude trav-eling to the left (second term in brackets).
EXAMPLE 6-2 An Electron in a Wire An electron moving in a thin metal wire is a reasonable approximation of a particle in a one-dimensional infinite well. The poten-tial inside the wire is constant on average but rises sharply at each end. Suppose the electron is in a wire 1.0 cm long. (a) Compute the ground-state energy for the electron. (b) If the electron’s energy is equal to the average kinetic energy of the molecules in a gas at T � 300 K, about 0.03 eV, what is the electron’s quantum number n?
SOLUTION 1. For question (a), the ground-state energy is given by Equation 6-25:
E1 �P262
2mL2
�P2�1.055 � 10�34 J � s�2�2� �9.11 � 10�31 kg� �10�2 m�2
� 6.03 � 10�34 J � 3.80 � 10�15 eV
2. For question (b), the electron’s quantum number is given by Equation 6-24:
En � n2 E1
3. Solving Equation 6-24 for n and substituting En � 0.03 eV and E1 from above yields
n2 �En
E1 or
n � �En
E1� � 0.03 eV
3.80 � 10�15 eV
� 2.81 � 106
Remarks: The value of E1 computed above is not only far below the limit of mea-surability, but also smaller than the uncertainty in the energy of an electron con-fined into 1 cm.
EXAMPLE 6-3 Calculating Probabilities Suppose that the electron in Exam-ple 6-2 could be “seen” while in its ground state. (a) What would be the prob-ability of finding it somewhere in the region 0 � x � L�4? (b) What would be the probability of finding it in a very narrow region $�x � 0.01L wide centered at x � 5L�8?
SOLUTION(a) The wave function for the n � 1 level, the ground state, is given by Equation 6-32 as
C1�x� � � 2L
sin PxL
TIPLER_06_229-276hr.indd 243 8/22/11 11:57 AM
6-4 Expectation Values and Operators 251
�p� � )� @
� @
#4 6i ��x5# dx 6-48
Similarly, �p2� can be found from�p2� � )� @
� @
#4 6i ��x5 4 6i
��x5# dx
Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical quantity operates on #(x, t), not on #*(x, t); that is, its correct position in the integral is between #* and #. This is not important to the outcome when the operator is sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the case of the momentum operator. Note that ��p2� is simply 2mE since, for the infinite
square well, E � p2�2m. The quantity 4 6i ��x5 , which operates on the wave function
in Equation 6-48, is called the momentum operator pop:
pop �6i ��x 6-49
EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2 Find ��p� and ��p2� for the ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them, what do you think the results will be?)
SOLUTIONWe can ignore the time dependence of #, in which case we have
�p� � )L
04� 2
L sin
nxL5 4 6
i ��x5 4� 2
L sin
nxL5 dx
�6i 2L
P
L )L
0 sin
PxL
cos PxL
dx � 0
The particle is equally as likely to be moving in the �x as in the �x direction, so its average momentum is zero.
Similarly, since
6i ��x4 6i
��x5C � �62
�2C
�x2 � �624 � P2
L2� 2L
sin PxL5
� � 62P2
L2 C
we have �p2� �62P2
L2 )L
0CC dx �
62P2
L2
The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently in terms of pop:
4 12m5p2
op C�x� � V�x�C�x� � EC�x� 6-50
TIPLER_06_229-276hr.indd 251 8/22/11 11:57 AM
O resultado anterior é fácil de entender. Existe a mesma probabilidade de que a partícula esteja se movimentando para esquerda ou para direita, portanto, o valor de expectação do momento é zero.
Para obter <p2> precisamos aplicar duas vezes o operador –iℏ∂/∂x ou
equivalentemente (ℏ/i) ∂/∂x:
Assim, obtemos:
6-4 Expectation Values and Operators 251
�p� � )� @
� @
#4 6i ��x5# dx 6-48
Similarly, �p2� can be found from�p2� � )� @
� @
#4 6i ��x 5 4 6i
��x5# dx
Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical quantity operates on #(x, t), not on #*(x, t); that is, its correct position in the integral is between #* and #. This is not important to the outcome when the operator is sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the case of the momentum operator. Note that ��p2� is simply 2mE since, for the infinite
square well, E � p2�2m. The quantity 4 6i ��x5 , which operates on the wave function
in Equation 6-48, is called the momentum operator pop:
pop �6i ��x 6-49
EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2 Find ��p� and ��p2� for the ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them, what do you think the results will be?)
SOLUTIONWe can ignore the time dependence of #, in which case we have
�p� � )L
04� 2
L sin
nxL5 4 6
i ��x5 4� 2
L sin
nxL5 dx
�6i 2L
P
L )L
0 sin
PxL
cos PxL
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The particle is equally as likely to be moving in the �x as in the �x direction, so its average momentum is zero.
Similarly, since
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��x5C � �62
�2C
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L2� 2L
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L2
The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently in terms of pop:
4 12m5p2
op C�x� � V�x�C�x� � EC�x� 6-50
TIPLER_06_229-276hr.indd 251 8/22/11 11:57 AM
6-4 Expectation Values and Operators 251
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#4 6i ��x5# dx 6-48
Similarly, �p2� can be found from�p2� � )� @
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#4 6i ��x 5 4 6i
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Notice that in computing the expectation value, the operator representing the physical quantity operates on #(x, t), not on #*(x, t); that is, its correct position in the integral is between #* and #. This is not important to the outcome when the operator is sim-ply some f (x), but it is critical when the operator includes a differentiation, as in the case of the momentum operator. Note that ��p2� is simply 2mE since, for the infinite
square well, E � p2�2m. The quantity 4 6i ��x5 , which operates on the wave function
in Equation 6-48, is called the momentum operator pop:
pop �6i ��x 6-49
EXAMPLE 6-5 Expectation Values for p and p2 Find ��p� and ��p2� for the ground-state wave function of the infinite square well. (Before we calculate them, what do you think the results will be?)
SOLUTIONWe can ignore the time dependence of #, in which case we have
�p� � )L
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nxL5 4 6
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The particle is equally as likely to be moving in the �x as in the �x direction, so its average momentum is zero.
Similarly, since
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The time-independent Schrödinger equation (Equation 6-18) can be written conveniently in terms of pop:
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