1. Conjuntos1.1. Propriedades basicas

Notacao:

Representamos os conjuntos por letras maiusculas:

A, B, C, . . . .

Representamos os elementos dos conjuntos por letras minusculas:

a, b, c, . . . .

Representamos coleccoes de conjuntos (ou seja, conjuntos cujos ele-mentos sao tambem conjuntos) por letras caligraficas:

A , B, C , . . . .

Dados conjuntos A e B, representamos por A B o conjunto dospontos que estao em A mas nao em B.

Teorema 1.1. Dados um conjunto X e subconjuntos A,B X, temos:

(1) A B e equivalente a X B X A.(2) AXB H e equivalente a A X B.(3) AYB X e equivalente a X A B.

Definicao 1.1. Uma parametrizacao duma coleccao de conjuntos C e umafuncao sobrejectiva f : J Ñ C . Chamamos a J o conjunto dos ındices.Para cada α P J escrevemos fpαq Xα P C e representamos a coleccaoparametrizada por tXαuαPJ . Dada uma coleccao de conjuntos tXαu:

(1) podemos definir a uniao

x P¤αPJ

Xα ô Existe um α P J tal que x P Xα

(2) se C H, podemos definir a interseccao:

x P£αPJ

Xα ô Para qualquer α P J temos x P Xα

Teorema 1.2. Dada uma coleccao de conjuntos tXαu e um conjunto Y ,temos

(1) Y X Xα

pY XXαq.(2) Y Y

Xα

pY YXαq.(3) Y

Xα

pY Xαq.

1.2. Funcoes

Definicao 1.2. Dada uma funcao f : X Ñ Y e um conjunto U X, repre-sentamos por fpUq Y o conjunto dos valores de f em U :

fpUq y P Y : existe um x P U tal que y fpxq(

1

2

Teorema 1.3. Dada uma funcao f : X Ñ Y e uma coleccao tUαu de sub-conjuntos de X temos

(1) f

Uα

fpUαq.(2) f

Uα

fpUαq, com igualdade se f for injectiva.

Definicao 1.3. Dada uma funcao f : X Ñ Y e um conjunto V Y , re-presentamos por f1pV q X o conjunto dos pontos cuja imagem esta emV :

f1pV q tx P X : fpxq P V uTeorema 1.4. Dada uma funcao f : X Ñ Y e uma coleccao tVαu de sub-conjuntos de Y temos

(1) f1

Vα

f1pVαq.(2) f1

Uα

f1pVαq.

(3) f1pVα Vβq f1pVαq f1pVβq. Em particular, para qualquerV Y , f1pY V q X f1pV q

Teorema 1.5. Dada uma funcao f : X Ñ Y , e conjuntos U X e V Y :

(1) fpUq V e equivalente a U f1pV q.(2) fpUq X V H e equivalente a U X f1pV q H.(3) U f1

fpUq, com igualdade se f for injectiva.

(4) ff1pV q V , com igualdade se f for sobrejectiva.

1.3. Relacoes de equivalencia

Definicao 1.4. Dizemos que uma relacao num conjunto X e uma relacaode equivalencia se:

(1) x x para qualquer x P X.(2) x y se e so se y x.(3) Se x y e y z entao x z.

Chamamos classe de equivalencia dum ponto x P X ao conjunto rxs ty PX : y xu dos pontos equivalentes a x.

Teorema 1.6. Dados x, y P X, ou rxs rys ou rxs X rys H.

Demonstracao. Primeiro observamos que, se x y, entao rxs rys pois sew P rxs entao w x logo w y logo w P rys e de modo analogo, se w P rysentao w P rxs. Agora, se rxs X rys H, tomamos z P rxs X rys; entao z xe z y, logo x y, pelo que rxs rys.

Definicao 1.5. Chamamos particao de X a uma coleccao tAαu de subcon-juntos de X disjuntos dois a dois e tal que X

Aα.

Teorema 1.7. Seja X um conjunto.

(1) Dada uma relacao de equivalencia em X, a coleccao das classes deequivalencia formam uma particao de X.

(2) Reciprocamente, dada uma particao tAαu de X existe uma unicarelacao de equivalencia em X tal que tAαu e a coleccao das classesde equivalencia de .

3

1.4. Ordem

Definicao 1.6. Dizemos que uma relacao “ ” num conjunto X e umarelacao de ordem se:

(1) A relacao x x e falsa para qualquer x P X.(2) Se x y e y z entao x z (transitividade).(3) Para quaisquer x, y P X, ou x y, ou x y ou y x.

Se a condicao (3) nao se verificar, dizemos que ” ” e uma relacao de ordemparcial.

Repare que nunca podemos ter simultaneamente x y e y x pois nessecaso, pela transitividade, terıamos tambem x x.

Exemplo 1.1. A recta acabada R R Y t8,8u tem uma relacao deordem em que 8 a 8 para qualquer a P R.

Exemplo 1.2. A inclusao estrita de conjuntos e uma ordem parcial na co-leccao PpXq dos subconjuntos de X.

Exemplo 1.3. Dados conjuntos ordenados A e B, a ordem do dicionario emAB e definida por:

pa1, b1q pa2, b2q ô a1 a2 , ou

a1 a2 e b1 b2

1.5. O Lema de Zorn

Definicao 1.7. Uma relacao de ordem num conjunto X diz-se uma boaordem se qualquer subconjunto nao vazio de X tiver mınimo. Um conjuntocom uma boa ordem diz-se bem ordenado.

Exemplo 1.4. O conjunto N com a ordem usual e bem ordenado. O produtoN N com a ordem do dicionario e tambem bem ordenado.

Lema 1.1 (Zorn). Seja X um conjunto parcialmente ordenado tal que qual-quer subconjunto A X totalmente ordenado e majorado. Entao X temum elemento maximal.

Antes de passarmos a demonstracao introduzimos alguma notacao. Dadoum conjunto A totalmente ordenado e x P A escrevemos SApxq ty P A :y xu. Escrevemos x ¡ A se para qualquer y P A tivermos y x.

Demonstracao. Vamos supor por absurdo que X nao tem nenhum elementomaximal: para qualquer x P X existe um y P X tal que y ¡ x. E entaopossıvel escolher, para cada conjunto A X totalmente ordenado, um ele-mento fpAq P X tal que A fpAq. Dizemos que um subconjunto T Xbem ordenado e uma torre se, para qualquer x P T , tivermos x f

ST pxq

.

Em particular, se x minT , temos x fpST pxqq fpHq.

4

(1) Sejam T1, T2 duas torres, T1 T2. Vamos provar que, ou existeum x1 P T1 tal que T2 ST1px1q, ou vice versa. Seja B

y PT1 X T2 : ST1pyq ST2pyq

(. Entao fpHq P B. Como T1 T2,

podemos assumir que B T1. Primeiro observamos que, se y P B,entao ST1pyq B. Daqui segue que, se x minpT1 Bq, entaoST1pxq B, logo x fpBq P T1. Basta agora mostrar que T2 B. Caso contrario, repetindo o argumento, poderıamos concluir quefpBq P T2. Mas tal e impossıvel pois nesse caso terıamos fpBq P B.Concluimos que B T2 e portanto x fpT2q.

(2) Seja M a uniao de todas as torres em X. Vamos mostrar que M e

uma torre. E facil de ver que M e totalmente ordenado. Se C Me nao vazio tomamos x P C. Entao x P T para alguma torre T etemos minpT X Cq minC.

(3) Falta apenas observar que M Y tfpMqu e uma torre, o que e umacontradicao.

Teorema 1.8. Qualquer conjunto possui uma boa ordem.

Demonstracao. Seja O o conjunto dos pares pA, q em que A X e euma boa ordem em A. Dizemos que pA1, 1q pA2, 2q se A1 A2 e 1 fora restricao de 2 a A1. Entao “” e uma ordem parcial em O que satisfazas condicoes do Lema de Zorn. Um elemento maximal e uma boa ordem emX.

1.6. Cardinalidade

Definicao 1.8. Dizemos que dois conjuntos X e Y tem a mesma cardina-lidade (ou que sao isomorfos) se existir uma funcao bijectiva f : X Ñ Y .Dizemos que um conjunto e numeravel se tiver a mesma cardinalidade queN. Dizemos que um conjunto e contavel se for finito ou numeravel.

Exemplo 1.5. O conjunto Z dos numeros inteiros e numeravel.

Teorema 1.9.

(1) Se A e B sao contaveis entao AB e tambem contavel.(2) A uniao dum numero contavel de conjuntos contaveis e contavel.

Teorema 1.10. Existe um conjunto bem ordenado, que representamos porSΩ, com as seguintes propriedades:

(1) SΩ nao e contavel.(2) Para qualquer a P SΩ, o conjunto tx P SΩ : x au e contavel.(3) Qualquer subconjunto contavel de SΩ e majorado.

Demonstracao. Dado um conjunto nao contavel X com uma boa ordem sejaΩ P X o mınimo do conjunto dos pontos a P X tais que SXpaq nao e contavel.Entao SXpΩq satisfaz as 3 propriedades indicadas.

5

Exercıcios

(1) Dados conjuntos A, B e C:(a) Mostre que, se A B e A C, entao A B X C.(b) Verdadeiro ou falso: se A B Y C entao A B ou A C.(c) Mostre que AX pB Cq pAXBq pAX Cq.

(2) De um exemplo de conjuntos A, B, C tais que AXBXC H mas AXB,B X C e AX C sao os tres nao vazios.

(3) Sejam I, J R intervalos. Verdadeiro ou falso:(a) I X J e um intervalo.(b) I Y J e um intervalo.(c) I J e um intervalo.(d) Se I e um intervalo aberto, RI e uma uniao de intervalos fechados.

(4) Sejam tUαu e tVαu coleccoes de conjuntos tais que Uα X Vα H paratodo o α. Mostre que

Uα

X Vα

H.(5) Dada uma funcao f : X Ñ Y e um conjunto U X:

(a) Existe alguma relacao entre fpX Uq e Y fpUq?(b) E se f for injectiva?(c) E se f for sobrejectiva?

(6) Dadas funcoes f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z e conjuntos A X e B Zmostre que pg fqpAq g

fpAq e pg fq1pBq f1

g1pBq.

(7) Prove os Teoremas 1 a 4.(8) Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua. Mostre que, para quaisquer A X

e B Y , temos: B Y fpCq ô f1pBq X C.(9) Dado um conjunto X, verifique que a inclusao estrita e uma relacao de

ordem parcial na coleccao P dos subconjuntos de X.(10) Seja X um conjunto ordenado. Dado a P X, dizemos que b P X e um

sucessor de a se b ¡ a e o intervalo sa, br for vazio.(a) Mostre que o sucessor, se existir, e unico.(b) Mostre que se X for bem ordenado, qualquer a P X tem sucessor.

(11) Mostre que R nao e bem ordenado.(12) Mostre que qualquer subconjunto dum conjunto bem ordenado e tambem

bem ordenado.(13) Mostre que o conjunto tk p1nq : k, n P Nu R e bem ordenado.(14) Mostre que, se X e bem ordenado, qualquer a P X tem um sucessor, isto

e, um elemento b ¡ a tal que o intervalo sa, br e vazio.(15) Se X e bem ordenado, sera que qualquer elemento a P X tem um prede-

cessor?(16) Dados conjuntos ordenados X e Y , introduzimos a chamada ordem do

dicionario no produto X Y do seguinte modo: px1, y1q px2, y2q sex1 x2 ou x1 x2 e y1 y2.(a) Verifique que se trata duma relacao de ordem.(b) Considere o conjunto r0, 1sr0, 1s com a ordem do dicionario. Esboce

os intervalos abertos que contem o ponto p12, 12q.

6

(c) Considere o conjunto X N r0, 1r com a ordem do dicionario.Construa uma funcao bijectiva f : X Ñ r0,8r que preserva asrelacoes de ordem.

(d) Considere o conjunto X r0, 1r N com a ordem do dicionario.Mostre que qualquer a P X tem um sucessor.

(e) Mostre que, se X e Y sao bem ordenados, entao X Y e tambembem ordenado.

(f) Quais dos seguintes subconjuntos de R2 com a ordem do dicionariosatisfazem o axioma do supremo?

(a) r0, 1s r0, 1s (b) r0, 1s r0, 1r (c) r0, 1r r0, 1s

2. Topologia em Rn

Comecamos por recordar algumas nocoes topologicas em Rn. A distanciaentre dois pontos x, y P Rn e dada por dpx, yq x y. Dado um pontox P Rn e um numero real r ¡ 0, chamamos bola centrada em x de raio r aoconjunto Bpx, rq ty P Rn : dpx, yq ru. Um conjunto A Rn define umaparticao de Rn em tres conjuntos: o interior, a fronteira e o exterior de A.

(1) Um ponto x P Rn diz-se um ponto interior de A se existir uma bolacentrada em x e contida em A.

(2) Um ponto x P Rn diz-se um ponto exterior de A se existir uma bolacentrada em x que nao intersecta A.

(3) Um ponto x P Rn diz-se um ponto fronteiro de A se x nao for nem in-terior nem exterior a A. Dito de outro modo, qualquer bola centradaem x contem pontos de A e pontos que nao estao em A.

Chamamos interior, exterior e fronteira de A respectivamente aos conjuntosdos pontos interiores, exteriores e fronteiros e representamos estes conjuntospor intA, extA e frA. Repare que extA intpX Aq.

2.1. Conjuntos abertos e fechados

Para qualquer conjunto A temos sempre intA A pintAY frAq.Definicao 2.1. Um conjunto A Rn diz-se aberto se para qualquer x P Aexistir uma bola centrada em x e contida em A.

Ou seja, A e aberto sse A intA.

Teorema 2.1. Para qualquer y P Bpx, rq temos By, rdpx, yq Bpx, rq.

Portanto as bolas sao conjuntos abertos.

Demonstracao. Dado um z P By, rdpx, yq temos dpz, yq rdpx, yq, ouseja, dpx, yq dpy, zq r. Queremos mostrar que z P Bpx, rq, ou seja, quedpx, zq r. Tal e uma consequencia imediata da desigualdade triangular :

dpx, zq ¤ dpx, yq dpy, zq .

Teorema 2.2. Seja tAαuαPJ uma coleccao de subconjuntos abertos de Rn.

7

(1) A uniaoAα e tambem um aberto.

(2) Se a coleccao tAαu for finita, a interseccaoAα e tambem um

aberto.

Demonstracao.

(1) Dado um ponto x P Aα, existe um β P J tal que x P Aβ. Como Aβe aberto, existe uma bola Bpx, rq Aβ. Mas entao Bpx, rq

Aαlogo x e um ponto interior de

Aα. Sendo x um ponto arbitrario,

vemos que todos os pontos deAα sao pontos interiores pelo que

Aα e aberto.(2) Comecamos por mostrar que a interseccao de dois abertos e um

aberto. Dados conjuntos abertos A1 e A2 e um ponto x P A1 X A2,temos x P A1 e x P A2 logo existem bolas Bpx, r1q A1 e Bpx, r2q A2. Seja r mintr1, r2u; entao Bpx, rq A1 X A2 logo x e umponto interior de A1 XA2. Portanto A1 XA2 e aberto. O caso geralprova-se agora facilmente por inducao.

Um conjunto A diz-se fechado se contiver a sua fronteira, ou seja, seA intAY frA. Como intA, frA e extA formam uma particao de Rn, istoe equivalente a dizer que Rn A extA ou seja: um conjunto A Rn efechado se e so se o seu complementar for aberto.

2.2. Continuidade e limites

Recorde que uma sucessao pxnqnPN em Rn converge para um ponto a P Rnse para qualquer ε ¡ 0 existir um p P N tal que n ¡ p ñ xn a ε.A condicao xn a ε e equivalente a xn P Bpa, εq, pelo que podemosreescrever a definicao de limite duma sucessao em termos de bolas:

Uma sucessao pxnqnPN converge para um ponto a P Rn ssedada qualquer bola B centrada em a existir um p P N talque n ¡ pñ xn P B.

Uma funcao f : Rk Ñ Rn e contınua num ponto a P Rk sse para qualquerε ¡ 0 existir um δ ¡ 0 tal que

x a δ ñ fpxq fpaq ε .

Tal como para sucessoes, podemos reescrever esta definicao em termos debolas: uma funcao f : Rk Ñ Rn e contınua num ponto a P Rk sse paraqualquer bola B centrada em fpaq existir uma bola B1 centrada em a talque

x P B1 ñ fpxq P B .Mas esta ultima condicao e equivalente a dizer que fpB1q B pelo que:

Uma funcao f : Rk Ñ Rn e contınua num ponto a P Rk ssepara qualquer bola B centrada em fpaq existir uma bola B1

centrada em a tal que fpB1q B.

8

2.3. Espacos metricos

Para definirmos continuidade e limite em Rn usamos a distancia dpx, yq x y. Nas demonstracoes que fizemos nao usamos qualquer propriedadenao trivial de d, com excepcao da desigualdade triangular usada na demons-tracao do Teorema 2.1. Todos os resultados que vimos podem ser facilmentegeneralizado a qualquer conjunto no qual esteja definida uma distancia:

Definicao 2.2. Dado um conjunto X, uma distancia (tambem chamada demetrica) em X e uma funcao d : X X Ñ R nao negativa tal que, paraquaisquer x, y, z P X, temos:

(1) dpx, yq 0 ô x y.(2) dpx, yq dpy, xq.(3) dpx, zq ¤ dpx, yq dpy, zq (a desigualdade triangular).

Exemplo 2.1. Representamos por `8 o conjunto das sucessoes limitadas emR. Definimos a distancia entre duas sucessoes pxnq, pynq P `8 por:

dpxnq, pynq sup

nPN|xn yn| .

Mais geral ainda que a nocao de espaco metrico e a nocao de espacotopologico, que estudaremos na proxima seccao.

Exercıcios

(1) Determine o interior, o exterior e a fronteira dos seguintes subconjuntosde R2:(a)

px, yq P R2 : y 0(.

(b) px, yq P R2 : y 0 e x ¡ 0

(.

(c) px, yq P R2 : y 0 e x ¡ 0

(.

(d) px, yq P R2 : y 0u Y tpx, yq P R2 : x ¡ 0

(.

(e) px, yq P R2 : xy ¡ 0

(.

(f) px, yq P R2 : x P Q

(.

(g) px, yq P R2 : x 0 e y ¤ 1x(.

(h) px, yq P R2 : x, y P Z

(.

(2) Mostre que os seguintes subconjuntos de R2 sao abertos:(a)

px, yq P R2 : x ¡ 0(.

(b) Bp0, 0q, 2XB

p2, 0q, 1.(c)

nPZB

pn, 0q, 1.(d)

px, yq P R2 : x2 y2 ¡ 1(.

(e) px, yq P R2 : 1 x2 y2 2

(.

(3) Um ponto x P Rn diz-se um ponto limite dum conjunto A Rn sequalquer bola centrada em x intersectar A num ponto distinto de x.Determine quais os pontos limites dos conjuntos do exercıcio 1.

(4) Um ponto x P Rn diz-se um ponto isolado dum conjunto A Rn seexistir uma B bola centrada em x tal que BXA txu. Determine quaisos pontos isolados dos conjuntos do exercıcio 1.

9

(5) Dado um conjunto A Rn, representamos por A1 o conjunto dos pontoslimites (exercıcio 3) e por A a uniao intAY frA. Mostre que:(a) A AYA1;(b) A1 A, e o conjunto A A1 e o conjunto dos pontos isolados

(exercıcio 4).(6) Dados conjuntosA,B Rn, decida, justificando, se as seguintes afirmacoes

sao verdadeiras ou falsas:(a) Se A B entao frA frB.(b) Se A B entao extA extB.(c) Se A B entao extA extB.

(7) Considere o espaco `8 introduzido no Exemplo 2.1.(a) Verifique que a funcao d e uma distancia.(b) Seja A `8 o conjunto das sucessoes que tendem para zero. Deter-

mine intA, extA e frA.(c) Seja B `8 o conjunto das sucessoes que sao iguais a zero a partir

de certa ordem. Determine intB, extB e frB.

3. Espacos topologicosDar uma topologia num conjunto X e dizer quais dos subconjuntos de Xsao abertos.

Definicao 3.1. Uma topologia num conjunto X e uma coleccao T de sub-conjuntos de X (os abertos) tal que:

(1) H, X P T .(2) A uniao de qualquer coleccao de abertos tAαu e tambem um aberto.(3) A interseccao dum numero finito de abertos e tambem um aberto.

Chamamos espaco topologico ao par pX,T q.Observacao 3.1. Para mostrar que a propriedade (3) se verifica basta mostrarque a interseccao de dois abertos e um aberto: o caso dum numero finito deabertos segue facilmente por inducao.

Exemplo 3.1. A coleccao dos abertos em Rn formam uma topologia em Rn,a qual chamaremos a topologia usual. Mais geralmente, dado um conjuntoX com uma metrica d, seja T a coleccao dos conjuntos A X tais que,para qualquer x P A existe um ε ¡ 0 tal que Bpx, εq A. A coleccao T euma topologia em X. Chamamos a esta topologia a topologia da metrica.

Exemplo 3.2. Dado qualquer conjunto X:

(1) A coleccao de todos os subconjuntos de X e uma topologia em X,chamada de topologia discreta.

(2) A coleccao tH, Xu e chamada de topologia indiscreta.(3) A coleccao dos conjuntos A X cujo complementar X A e finito

ou igual a X e chamada de topologia cofinita.(4) A coleccao dos conjuntos A X cujo complementar XA e contavel

ou igual a X e chamada de topologia cocontavel.

10

Exemplo 3.3. Seja X um conjunto ordenado. Chamamos intervalo aberto aum subconjunto de X da forma tx P X : a x bu, ou tx P X : x ¡ auou tx P X : x bu (com a, b P X). Dizemos que um conjunto A X eaberto se para qualquer x P A existir um intervalo aberto I tal que x P Ie I A. Chamamos a esta topologia a topologia da ordem. Por exemplo,a recta acabada R R Y t8,8u tem uma topologia induzida pela suarelacao de ordem.

Exemplo 3.4. A coleccao T` dos subconjuntos A R tais que, para qualquerx P A, existe um ε ¡ 0 tal que rx, x εr A define uma topologia em R.Representamos R com esta topologia por R` pR,T`q.Definicao 3.2. Dado um conjunto X, e duas topologias T1, T2 em X,dizemos que a topologia T1 e mais fina que T2 se T2 T1.

Exemplo 3.5. Em R, a topologia discreta e mais fina que a topologia usual,que e mais fina que a topologia cofinita, que e mais fina que a topologiaindiscreta.

3.1. Nocoes topologicas

Definicao 3.3. Dizemos que um subconjunto F X dum espaco topologicoX e fechado sse X F for aberto.

Passando ao complementar as propriedades dos abertos obtemos de ime-diato:

Teorema 3.1. Seja X um espaco topologico. Entao:

(1) H e X sao fechados.(2) A interseccao de qualquer coleccao de fechados tFαu e tambem um

fechado.(3) A uniao dum numero finito de fechados e tambem um fechado.

Definicao 3.4. Dado um conjunto A X:

(1) O interior de A, que representamos por intA, e a uniao de todos osabertos contidos em A.

(2) O fecho, ou aderencia de A, que representamos por A, e a interseccaode todos os conjuntos fechados que contem A.

(3) Dizemos que um ponto x P X e um ponto limite de A se x P A txu.Teorema 3.2.

(1) Para qualquer conjunto A temos intA A A.(2) Um conjunto A e aberto se e so se A intA.(3) intA e o maior conjunto aberto contido em A, ou seja: se U e aberto

e U A entao U intA.(4) Para qualquer conjunto A X temos intpX Aq X A.(5) Um conjunto A e fechado sse A A.(6) A e o menor conjunto fechado que contem A, ou seja: se F e fechado

e A F entao A F .

11

Exercıcios

(1) Determine todas as topologias no conjunto X ta, bu e compare-as.(2) Seja X ta, b, cu. Decida, justificando, quais das seguintes coleccoes de

subconjuntos de X sao topologias em X:(a) T H, X, ta, bu, tcu((b) T H, X, ta, bu, tbu((c) T H, X, ta, bu, tb, cu((d) T H, X, tau, tcu((e) T H, X, tbu(

(3) Compare as topologias do exercıcio 2.(4) Determine o interior e o fecho do conjunto tcu em cada uma das topologias

do exercıcio 2.(5) Decida se a coleccao T de todos os intervalos abertos em R e ou nao uma

topologia.(6) Compare as topologias do exemplo 3.2.(7) Dado um conjunto X infinito, decida, justificando, se a coleccao dos sub-

conjuntos de X cujo complementar e infinito, mais o X, e ou nao umatopologia em X.

(8) Mostre que as seguintes coleccoes de subconjuntos de R sao topologiasem R e compare-as entre si e com a topologia usual em R:(a) A coleccao dos subconjuntos A R tais que 0 P A, mais o conjunto

vazio.(b) A coleccao dos subconjuntos A R tais que 0 R A, mais o conjunto

R.(c) A topologia T` do exemplo 3.4.(d) A coleccao dos intervalos da forma s8, ar, mais o conjunto vazio e

o R.(9) Determine o interior e o fecho dos conjuntos r0, 1s, s0, 1r e t1, 12, 13, 14, . . .u

em R nas topologias discreta, indiscreta, cofinita, cocontavel, e em cadauma das topologias do exercıcio 8.

(10) Sejam T1, T2 topologias num conjunto X com T2 mais fina que T1.Relacione o fecho dum conjunto A X nas topologias T1 e T2. Faca omesmo para o interior.

(11) Dada uma coleccao de espacos topologicos tXαuαPJ seja X αXα.

Dizemos que um conjunto U X e aberto sse para qualquer α P J oconjunto UXXα for aberto em Xα. Verifique que se trata duma topologiaem X.

(12) Quais dos seguintes conjuntos sao abertos em R`? Quais sao fechados?

sa, br , sa, bs , ra, br , ra, bs(13) Seja X um conjunto ordenado com a topologia da ordem (Exemplo 3.3).

(a) Verifique que a topologia da ordem e de facto uma topologia.(b) Mostre que os intervalos abertos sao conjuntos abertos.(c) Verifique que a topologia da ordem em R e a topologia usual.

12

(d) Considere a recta acabada R com a topologia da ordem. Mostre que,de facto, o fecho do conjunto R e R RYt8,8u (o que justificaa notacao usada para a recta acabada).

(e) Verifique que a topologia da ordem em N e a topologia discreta.(f) Dado a P X, mostre que o fecho do conjunto tx P X : x au esta

contido em tx P X : x ¤ au.(g) Quais dos seguintes conjuntos sao abertos na topologia da ordem do

dicionario em R2? Quais sao fechados?

ra, bs sc, dr , sa, br rc, ds , ra, br R , R rc, dr(14) Mostre que:

(a) intpX Aq X A.(b) Se A B entao intA intB e A B.

(c) intpintAq intA e A A.(d) AYB AYB e intpAXBq intAX intB.

(15) Seja tAαu uma coleccao de subconjuntos dum espaco topologico X.

(a) Mostre queAα

Aα e de um exemplo em que nao haja igual-

dade.(b) Repita a alınea (a) para a interseccao. Qual das inclusoes se verifica?(c) Repita as alıneas (a) e (b) substituindo o fecho pelo interior.

(16) Dados A,B X, existe alguma relacao entre AB e AB?(17) Seja X um espaco topologico. Mostre que um conjunto A X sem

pontos limites e necessariamente fechado.(18) Mostre que um conjunto A X intersecta qualquer aberto nao vazio sse

A X.(19) Seja X um conjunto e suponha definida na coleccao dos subconjuntos de

X uma operacao A ÞÑ A satisfazendo as propriedades seguintes:

p1q H H p2q @AX

A A p3q @A,BX

AYB AYB p4q @AX

A A

Mostre que existe exactamente uma topologia em X para a qual esta e aoperacao de fecho.

(20) Mostre que, partindo dum qualquer conjunto A X e aplicando suces-sivamente as operacoes ou de fecho ou de passagem ao complementar,obtemos no maximo 14 conjuntos diferentes. De um exemplo dum con-junto A R na topologia usual em que o numero 14 seja atingido.

4. Bases4.1. Vizinhancas e bases locais; sucessoes

Definicao 4.1. Dizemos que um conjunto V X e uma vizinhanca dumponto x P X se V for aberto e x P V . Representamos a coleccao dasvizinhancas dum ponto x P X por Vx.

Na topologia da metrica, as bolas Bpx, rq sao vizinhancas de x mas xtem muitas outras vizinhancas que nao sao bolas. No entanto, qualquer

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vizinhanca de x contem uma bola centrada em x: estas bolas formam o quechamaremos uma base de vizinhancas:

Definicao 4.2. Dizemos que uma coleccao de vizinhancas Bx Vx e umabase de vizinhancas de x se para qualquer vizinhanca U P Vx existir umB P Bx tal que B U .

Exemplo 4.1. Em R`, a coleccao dos intervalos da forma rx, x εr e umabase de vizinhancas de x.

Vamos agora generalizar para um espaco topologico X a definicao delimite duma sucessao:

Definicao 4.3. Dizemos que uma sucessao pxnqnPN num espaco topologicoX converge para um ponto a P X se, dada qualquer vizinhanca U de aexistir um p P N tal que n ¡ pñ xn P U .

Exemplo 4.2. Na topologia indiscreta em X, dado um ponto x P X temosVx tXu pelo que qualquer sucessao converge para qualquer ponto.

Exemplo 4.3. Seja X um espaco topologico com a topologia cocontavel.Dada uma sucessao pxnq e um ponto a P X, O conjunto C txn : n PN, xn au e contavel logo V X C e uma vizinhanca de a. Claramentexn P C ô xn a pelo que xn Ñ a sse a sucessao pxnq for constante iguala a a partir de certa ordem.

Teorema 4.1. Seja X um espaco topologico, x P X um ponto e Bx umabase de vizinhancas de x. Entao:

(1) Uma sucessao pxnq converge para a sse para qualquer B P Bx existirum p P N tal que n ¡ pñ xn P B.

(2) Dado um conjunto A X, temos x P intA sse existir um B P Bx

tal que B A.(3) x P A sse qualquer B P Bx intersectar A.(4) x e um ponto limite de A sse qualquer B P Bx intersectar A txu.

Definicao 4.4. Dizemos que um ponto a P X e sequencialmente aderentea um conjunto A X se existir uma sucessao pxnq de termos em A comlimite a.

Um ponto a sequencialmente aderente a um conjunto A e aderente aA, pois qualquer vizinhanca U de a contem pontos da sucessao, pelo queU XA H. No entanto, o recıproco nao e necessariamente verdade.

Exemplo 4.4. Na topologia cocontavel o fecho sequencial dum conjunto A eo proprio A mas A A so se verifica se A for fechado.

Definicao 4.5. Dizemos que X satisfaz o primeiro axioma de numerabili-dade se todo o ponto x P X tiver uma base de vizinhancas contavel.

Exemplo 4.5. Num espaco metrico, a coleccao das bolas Bpx, 1nq(

nPNformam uma base contavel de vizinhancas do ponto x.

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Lema 4.1. Seja X um espaco com o primeiro axioma de numerabilidade.Entao qualquer ponto x P X tem uma base de vizinhancas encaixadas, istoe, uma base tBnunPN tal que B1 B2 Bn .Demonstracao. Dada uma base contavel tUnunPN de vizinhancas, para cadan P N tomamos Bn U1 X X Un.

Podemos agora verificar que:

Teorema 4.2. Seja X um espaco topologico com o primeiro axioma denumerabilidade. Entao um ponto e aderente a um conjunto se e so se forsequencialmente aderente.

Portanto a topologia cocontavel nao satisfaz o primeiro axioma de nume-rabilidade.

Demonstracao. Seja a P A e seja tBnu uma base local em a tal que B1 B2 Bn . Para cada n P N escolhemos um ponto xn P BnXA H. Entao xn P A e para qualquer n P N temos xk P Bn para k ¥ n logoxn Ñ a, e portanto a e sequencialmente aderente a A.

4.2. Bases globais

Ja falamos de bases de vizinhancas num ponto x P X. Falaremos agora debases globais da topologia:

Definicao 4.6. Dado um espaco topologico X, uma coleccao de abertos Bdiz-se uma base da topologia se qualquer conjunto aberto puder ser escritocomo uma uniao de elementos de B.

Outra caracterizacao importante duma base e dada pelo proximo teorema.

Teorema 4.3. Uma coleccao de abertos B e uma base se e so se, dadoqualquer aberto A e qualquer ponto x P A, existir um B P B tal que x PB A.

Exemplo 4.6. Em Rn, a coleccao das bolas formam uma base da topologia.

Definicao 4.7. Dizemos que um espaco topologico X satisfaz o segundoaxioma de numerabilidade se X possuir uma base contavel B.

Exemplo 4.7. A coleccao B sa, br : a, b P Q(

e uma base contavel de R.

Dizemos que um conjunto A X e denso se A X. Um conjunto edenso sse intersectar qualquer aberto nao vazio. Dizemos que um espaco Xe separavel se contiver um conjunto contavel denso.

Teorema 4.4. Seja X um espaco com uma base contavel B. Entao:

(1) X tem o primeiro axioma da numerabilidade.(2) X e separavel.(3) Na topologia da metrica, (2) e equivalente a existencia duma base

contavel em X.

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Demonstracao.

(1) Basta observar que B XVx e uma base de vizinhancas de x.(2) Basta escolher um ponto em cada aberto B P B.(3) Se A e um conjunto contavel denso, vamos ver que a coleccao B

Bpa, rq : a P A, r P Q(

e uma base contavel de X. Seja y P Xe U P Vy. Entao existe um ε ¡ 0 tal que Bpy, εq U . Tomemosum ponto a P AX Bpy, 1

2εq. Entao Ba, ε dpa, yq Bpy, εq U .

Tomemos agora um r P Q tal que dpa, yq r ε dpa, yq. Entaoy P Bpa, rq U .

Exemplo 4.8. Vamos ver que o espaco `8 nao e separavel e portanto naosatisfaz o segundo axioma de numerabilidade, pois `8 tem a topologia dametrica. Seja A `8 o conjunto das sucessoes pxnq tais que xn P t0, 1u paratodo o n. Entao as bolas de raio 1

2 centradas em pontos de A formam umacoleccao nao contavel de bolas disjuntas 2 a 2. Qualquer conjunto densointersecta todas estas bolas pelo que nao pode ser contavel.

Exercıcios

(1) Descreva as sucessoes convergentes e os seus limites na topologia discreta.(2) Seja X t1, 1u e seja xn p1qn. Descreva os limites da sucessao pxnq

em todas as topologias de X (ha 4 topologias possıveis em X).(3) Seja T uma topologia em R. Sabendo que B

R, s8, 1r , s0, 1r , s1,8r(e uma base de T :(a) Mostre que qualquer sucessao tem 1 como limite.(b) Calcule os limites da sucessao xn 1n nesta topologia.(c) Mostre que qualquer x P R possui uma base de vizinhancas com um

so elemento.(4) Se T e T 1 sao duas topologias num conjunto X tais que T 1 e mais

fina que T , que relacao existe entre a convergencia duma sucessao nastopologias T e T 1?

(5) Dadas duas topologias T e T 1 num conjunto X, mostre que se existiruma base B de T tal que B T 1, entao T 1 e mais fina que T .

(6) Encontre uma base, tao pequena quanto possıvel, para a topologia dis-creta.

(7) Seja X um conjunto ordenado com a topologia da ordem. Mostre que acoleccao dos intervalos abertos e uma base da topologia.

(8) Seja A R um conjunto denso. Mostre que a coleccao dos intervalossa, br R com a, b P A e uma base da topologia usual em R.

(9) Decida quais dos axiomas de numerabilidade sao satisfeitos pelas seguin-tes topologias em R. Averigue tambem se o espaco e separavel:(a) A topologia indiscreta: T tH,Ru.(b) A topologia discreta.(c) A topologia T tA R : 0 P A ou A Hu.(d) A topologia T tA R : 0 R A ou A Ru.(e) A topologia T ts8, ar : a P Ru Y tH,Ru.

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(10) Mostre que, se T e separavel e T e mais fina que T 1 entao T 1 tambeme separavel.

(11) Seja X um espaco topologico.(a) Mostre que, se B e uma base da topologia, para cada x P X a

coleccao tB P B : x P Bu e uma base local de vizinhancas de x.(b) Mostre que, se para cada x P X, Bx for uma base local de vizi-

nhancas de x, entao a uniaoxPX Bx e uma base da topologia de

X.(12) Considere as seguintes topologias em R: a topologia usual, a topologia

com base os intervalos ra, br com a, b P R, e a topologia com base osintervalos rp, qr, com p, q P Q.(a) Compare estas 3 topologias.(b) Determine o fecho dos intervalos

0,?

2

e?

2, 3

em cada uma dastopologias.

(13) Considere a recta acabada com a topologia da ordem.(a) Mostre que B8 sa,8s(

aPR e B8 r8, br(bPR sao bases

de vizinhancas de respectivamente 8 e 8.(b) Mostre que, para cada x P R, Bx

sa, br(a x b

e uma base devizinhancas de x.

(c) Mostre que a recta acabada satisfaz o primeiro axioma de numera-bilidade.

(14) Mostre que uma sucessao pxnq converge para um ponto a sse dada qual-quer vizinhanca U de a o conjunto tn P N : xn R Uu for finito.

(15) Seja X um espaco topologico tal que quaisquer dois pontos distintostem vizinhancas disjuntas. Mostre que em X qualquer sucessao tem nomaximo um limite.

(16) Mostre que, na recta acabada com a topologia da ordem, uma sucessaode termos em R converge para 8 sse convergir no sentido usual.

(17) Considere o conjunto R com a topologia cofinita.(a) Mostre que, se uma sucessao pxnq convergir para um ponto a P R na

topologia usual, entao xn Ñ a tambem na topologia cofinita.(b) Mostre que a sucessao yn p1qn nao tem limite. Sugestao: consi-

dere os abertos R t1u e R t1u.(c) Seja xn 1n. Mostre que qualquer aberto A so nao contem um

numero finito de pontos de xn. Para que ponto (ou pontos) convergea sucessao pxnq?

(18) Considere R R com a topologia da ordem do dicionario. Verifique quea coleccao dos intervalos da forma spa, bq, pa, cqr, com b c, e uma baseda topologia.

(19) Sejam Tf e Tc respectivamente as topologias cofinita e cocontavel em R.(a) Averigue se Tf e Tc sao ou nao separaveis.(b) Mostre que Tf e Tc nao obedecem ao primeiro axioma de numera-

bilidade. Sugestao: assuma que existia uma base contavel tAku devizinhancas dum ponto a. Mostre que existe uma vizinhanca de aestritamente contida em

k Ak.

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(20) Recorde que R` e a topologia em R em que A R e aberto sse para todoo x P A existir um ε ¡ 0 tal que rx, x εr A (exemplo 3.4 na pagina10).(a) Mostre que a coleccao dos intervalos da forma ra, br com a, b P R e

uma base da topologia.(b) Decida se a coleccao dos intervalos da forma ra, br com a, b P Q e ou

nao uma base da topologia.(c) Descreva as sucessoes convergentes em R`.(d) Mostre que R` satisfaz o primeiro axioma de numerabilidade.(e) Averigue se R` e ou nao separavel.(f) Mostre que R` nao satisfaz o segundo axioma de numerabilidade.

Sugestao: se B e uma base de R`, para cada x P R tem que existirum B P B tal que minB x.

(21) Seja X um espaco tal que qualquer conjunto com um so elemento txue fechado. Mostre que um ponto a e ponto limite dum conjunto A ssequalquer vizinhanca de a contiver um numero infinito de pontos de A.Sugestao: caso contrario U X pA tauq seria fechado.

(22) Dado um espaco topologicoX, um conjunto V X diz-se uma vizinhancageneralizada dum ponto x P X se x P intV . Seja Nx a coleccao dasvizinhancas generalizadas de x.(a) Mostre que, se no Teorema 4.1 substituirmos Bx por Nx, as con-

clusoes do teorema permanecem validas.(b) Mostre que Nx tem as seguintes propriedades:

(i) Para qualquer x P X temos Nx H.(ii) Se U P Nx entao x P U .(iii) Se U P Nx e U V entao V P Nx.(iv) Se U, V P Nx entao U X V P Nx.(v) Para qualquer U P Nx existe um V P Nx tal que, para qualquer

y P V temos U P Ny.(c) Reciprocamente, dado um conjunto X e, para cada x P X, uma

coleccao Nx de subconjuntos de X satisfazendo as propriedades (i)a (v), mostre que existe uma unica topologia em X tal que Nx e acoleccao das vizinhancas generalizadas de X.

5. SubespacosDado um espaco topologico X e um conjunto Y X, a topologia de Xinduz uma topologia em Y :

Definicao 5.1. Seja X um espaco topologico. Dado um subconjunto Y X, a topologia de subespaco em Y e a topologia cujos abertos sao os con-juntos da forma U X Y em que U e aberto em X.

Exemplo 5.1. A topologia de subespaco de R R2 e a topologia usual.

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Exemplo 5.2. O intervalo s0, 1s e aberto no subespaco r1, 1s R (com atopologia usual) pois e a interseccao de um aberto de R com r1, 1s:

s0, 1s s0, 2r X r1, 1s .Exemplo 5.3. Chamamos esfera de dimencao n ao subespaco Sn tx PRn1 : x 1u Rn1. O “hemisferio norte” tpx, y, zq P S2 : z ¡ 0u eaberto pois e a interseccao de S2 com o conjunto tpx, y, zq P R3 : z ¡ 0u quee um subconjunto aberto de R3.

Teorema 5.1. Os conjuntos fechados em Y sao os conjuntos da forma FXYem que F e fechado em X.

Demonstracao. E uma consequencia da igualdade de conjuntos pX Uq XY Y pU X Y q:

(1) Seja G F X Y em que F e fechado em X. Seja U X F ; entaoU e aberto em X e F X Y pX Uq X Y Y pU X Y q. ComoU X Y e aberto em Y , G F X Y e fechado em Y .

(2) Reciprocamente, se G e fechado em Y , entao Y G e aberto emY , logo Y G U X Y , com U aberto em X. Mas entao G Y pU XY q pXUqXY . Portanto G e a interseccao com Y dumfechado em X, nomeadamente: F X U .

Teorema 5.2. Para qualquer A Y temos AY AXXY , em que AX e AY

representam os fechos de A nas topologias de X e de Y , respectivamente.

Demonstracao. Basta observar que o fecho de A e a interseccao de todos osfechados que contem A e aplicar o Teorema 5.1.

Exemplo 5.4. O fecho de s0, 1r em s1, 1r R (com a topologia usual) er0, 1s X s1, 1r r0, 1r.

Um conjunto aberto A num subespaco Y X nao e necessariamenteaberto em X: o intervalo s0, 1r e aberto em R R2, mas nao e aberto emR2.

Teorema 5.3. Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco.

(1) Se A Y e aberto em Y e Y e aberto em X, entao A e aberto emX.

(2) Se A Y e fechado em Y e Y e fechado em X, entao A e fechadoem X.

Uma base dum subespaco Y X pode facilmente ser obtida a partirduma base de X:

Teorema 5.4. Seja X um espaco topologico com base B, e seja Y X umsubespaco. Entao a coleccao de conjuntos tB X Y : B P Bu e uma base deY .

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Exercıcios

(1) Seja X ta, b, c, du e considere a seguinte topologia em X:

T tau, tb, cu, ta, b, cu, X,H(.

Determine a topologia induzida nos subespacos ta, bu, tb, cu e tc, du.(2) Descreva a topologia de subespaco de Z R, em que R tem a topologia

usual.(3) Considere o subespaco Y r0, 1r Y t2u R. Indique justificando quais

dos conjuntos t0u, s0, 1r, r0, 1r, t2u e t0, 2u sao abertos em Y e quais saofechados em Y .

(4) Mostre que, se X tem a topologia discreta, a topologia induzida emqualquer subconjunto Y X e tambem a topologia discreta. Repitao exercıcio para as topologias cofinita e cocontavel.

(5) Seja X um espaco topologico, Y X. Mostre que se um conjunto A Yfor aberto (ou fechado) em X entao e tambem aberto (ou fechado) emY . De exemplos em que A e aberto em Y mas nao em X, e em que A efechado em Y , mas nao em X.

(6) Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco.(a) Mostre que se X tiver o primeiro axioma de numerabilidade, Y

tambem o tem.(b) Mostre que se X tiver o segundo axioma de numerabilidade, Y

tambem o tem.(c) Mostre que se X for separavel e Y for aberto em X, entao Y tambem

e separavel.(7) Mostre que a topologia induzida por R` em Q tem por base a coleccao

dos intervalos da forma rp, qr com p, q P Q.(8) Considere a topologia em R2 em que A e aberto sse para qualquer ponto

px, yq P A existir um ε ¡ 0 tal que rx, x εr ry, y εr A.(a) Verifique que R2, com esta topologia, e separavel.(b) Determine qual a topologia induzida em tpx, yq P R2 : y xu e

verifique que esta topologia nao e separavel.(9) Sejam T e T 1 topologias num conjunto X tais que T 1 e mais fina que T .

Pode concluir alguma coisa sobre as topologias induzidas num subcon-junto Y X? Se T 1 T podera concluir que as topologias induzidastambem sao diferentes?

(10) Seja X um conjunto com a topologia induzida por uma distancia d econsidere um subconjunto Y X.(a) Verifique que d induz, por restricao, uma distancia em Y e que as

bolas em Y sao a interseccao com Y das bolas em X.(b) Mostre que a topologia da metrica em Y e a topologia de subespaco.

(11) Mostre que a topologia da ordem em r0, 1s R coincide com a topologiade subespaco.

(12) Verdadeiro ou falso: Dados A Y X, o interior de A na topologia deY e a interseccao de Y com o interior de A na topologia de X.

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(13) Seja X um espaco topologico, Y X. Mostre que uma sucessao pxnq emY converge para um ponto a P Y na topologia de Y sse convergir para ana topologia de X.

(14) Seja I r0, 1s. Compare as seguintes topologias no quadrado I I:a topologia da ordem do dicionario, a topologia induzida pela topologiausual em R2 e a topologia induzida pela topologia da ordem do dicionarioem R2.

(15) Seja X um conjunto com uma topologia T e seja A X com fecho A.Seja T 1 uma topologia mais fina que T tal que as topologias induzidasem A por T e por T 1 sao iguais. Mostre que o fecho de A na topologiaT 1 e igual a A (o fecho na topologia T ).

(16) Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco.(a) Mostre que se U, V Y sao abertos disjuntos (em Y ) os seus fechos

em X satisfazem U X V U X V H.(b) Mostre que, se Y U Y V e os fechos em X satisfazem U X V

U X V H entao U e V sao abertos em Y .(17) Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco. Encontre uma

formula relacionando o interior em Y dum conjunto A Y com o interiorem X dum certo conjunto B X que depende de A.

6. Continuidade6.1. Continuidade num ponto

Definicao 6.1. Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e contınua num pontoa P X se, para qualquer vizinhanca V de fpaq existir uma vizinhanca U dex tal que fpUq V .

A condicao fpUq V e equivalente a U f1pV q, pelo que f e contınuaem a se, para qualquer vizinhanca V de fpaq tivermos a P int f1pV q.Teorema 6.1. Dada uma funcao f : X Ñ Y e um ponto a P X, sao equi-valentes:

(1) f e contınua em a.(2) Dadas bases locais Ba e Bfpaq de a e de fpaq, para qualquer B P

Bfpaq existe um B1 P Ba tal que fpB1q B.

(3) Para qualquer conjunto C X, temos: a P C ñ fpaq P fpCq.Demonstracao. Vamos mostrar que 1 ñ 2 ñ 3 ñ 1

1 ñ 2 Seja B P Bfpaq. Como f e contınua em a, existe um U P Va tal que

fpUq B. Por definicao de base, existe um B1 P Ba tal que B1 Ulogo fpB1q B.

2 ñ 3 Seja C X tal que a P C. Queremos mostrar que fpaq P fpCq. Paraqualquer B P Bfpaq, existe um B1 P Ba tal que fpB1q B. Como

B1 X A H (pois a P C) e fpB1 X Aq fpB1q X fpAq B X fpAq,entao B X fpAq H, portanto fpaq P fpCq.

21

3 ñ 1 Vamos ver que, se (1) e falso entao (3) e tambem falso. Assumimosque existe uma vizinhanca V de fpaq tal que a R int f1pV q, o quee equivalente a:

a P X int f1pV q X f1pV q f1pY V q .

Seja C f1pY V q. Entao a P C mas

fpCq fpf1pY V qq Y V

logo, como Y V e fechado, temos fpCq Y V . Como fpaq P V ,

temos fpaq R fpCq portanto (3) e falso, o que termina a demons-tracao.

Exemplo 6.1. Na topologia da metrica a coleccao das bolas centradas em x euma base local de vizinhancas de x. Assim, por (2), uma funcao f : X Ñ Yentre espacos com a topologia da metrica e contınua num ponto a P X ssepara qualquer bola B

fpaq, ε existir uma bola Bpa, δq tal que f

Bpa, δq

Bfpaq, ε, o que e equivalente a escrever:

dpx, aq δ ñ dfpxq, fpaq ε .

Teorema 6.2. Dada uma funcao f : X Ñ Y e um ponto a P X:

(1) Se f e contınua em A, para qualquer sucessao pxnq em X tal quexn Ñ a temos fpxnq Ñ fpaq.

(2) O recıproco e verdadeiro se X tiver o primeiro axioma de numera-bilidade.

Demonstracao.

(1) Seja pxnq uma sucessao em X que converge para a; queremos mostrarque fpxnq Ñ fpaq. Seja V uma vizinhanca de fpaq. Como f econtınua em a, existe um U P Va tal que fpUq V . Como xn Ñ a,existe um p P N tal que n ¡ p ñ xn P U . Mas entao n ¡ p ñfpxnq P fpUq V . Por definicao de limite, fpxnq Ñ fpaq.

(2) Assumimos agora que X tem o primeiro axioma de numerabilidade.Seja C X um conjunto tal que a P C. Entao existe uma sucessaopxnq em C tal que xn Ñ a, logo fpxnq Ñ fpaq. Como fpxnq P fpCq,concluimos que fpaq P fpCq.

6.2. Continuidade global

Definicao 6.2. Sejam X, Y espacos topologicos. Uma funcao f : X Ñ Ydiz-se contınua se para qualquer conjunto aberto A em Y , a imagem inversaf1pAq for um aberto em X.

Exemplo 6.2. A funcao identidade f : X Ñ X e sempre contınua pois f1pAq A.

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Exemplo 6.3. Uma funcao constante e sempre contınua pois f1pAq so podeser vazio ou o espaco todo.

Da definicao segue facilmente que:

Teorema 6.3. Se f : Y Ñ X e g : X Ñ Y forem funcoes contınuas entaof g tambem e contınua.

Teorema 6.4. Dada uma funcao f : X Ñ Y , sao equivalentes:

(1) f e contınua.(2) f e contınua em todos os pontos a P X.

(3) Para qualquer conjunto A X, temos fpAq fpAq.(4) A imagem inversa de qualquer fechado em Y e um fechado em X.

Demonstracao. Vamos mostrar que 1 ñ 2 ñ 3 ñ 4 ñ 1.

1 ñ 2 Seja x P X, e seja V uma vizinhanca de fpxq. Entao basta tomarU f1pV q, pois fpUq f

f1pV q V .

2 ñ 3 Sai de imediato do Teorema 6.1.3 ñ 4 Seja F Y um fechado e seja C f1pF q. Queremos mostrar que

C e fechado. Para tal basta ver que C C. Seja a P C. Entaofpaq P fpCq fpf1pF qq F F . Assim, fpaq P F o que eequivalente a a P f1pF q C.

4 ñ 1 Basta passar ao complementar: se A e aberto, Y A e fechado logof1pY Aq X

f1pAq e fechado, logo f1pAq e aberto.

Exemplo 6.4. A funcao de Heaviside H: RÑ R definida por Hpxq 1 parax ¥ 0 e Hpxq 0 para x 0 nao e contınua em todos os pontos do intervalor0,8r (nao e contınua em x 0) mas a restricao de H a r0,8r e umafuncao contınua pois e constante.

6.3. Continuidade e Subespacos

Teorema 6.5. Seja Y X. Entao a inclusao i : Y Ñ X e uma funcaocontınua.

Demonstracao. Para qualquer U aberto em X temos i1pUq U XY o quemostra de imediato que i e contınua.

Teorema 6.6. Sejam X, Y espacos topologicos, f : X Ñ Y uma funcaocontınua.

(1) A restricao de f a um subespaco A X e contınua.

(2) Se Y Z, a funcao induzida pf : X Ñ Z e contınua.

(3) Se W Y e Im f W , a funcao induzida rf : X ÑW e contınua.

E frequentemente util definir funcoes por ramos:

Teorema 6.7. Dados espacos topologicos X e Y , subconjuntos fechadosA,B X tais que X AYB, e funcoes contınuas f : AÑ Y e g : B Ñ Y

23

tais que fpxq gpxq para qualquer x P A X B, entao a funcao h : X Ñ Ydefinida por

hpxq #fpxq , se x P A ;

gpxq , se x P Be uma funcao contınua.

6.4. Homeomorfismos

Definicao 6.3. Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e um homoemor-fismo se f for contınua, bijectiva, e a sua inversa f1 : Y Ñ X for tambemcontınua. Dizemos entao que os espacos X e Y sao homeomorfos.

Exemplo 6.5. A funcao fpxq tanx e um homeomorfismo entre sπ2, π2re R.

Exemplo 6.6. A bola de raio um centrada em 0 P Rn e homeomorfa a Rn: afuncao f : Rn Ñ Bp0, 1q dada por fpxq xp1 xq e um homeomorfismocom inversa f1pyq yp1 yq.Exemplo 6.7. Seja p p1, 0, . . . , 0q P Rn1. Entao Sn tpu e homeomorfoa Rn. Seja Sn pt,xq P R Rn : t2 x2 1

(a esfera de dimensao n e

seja X Sn tp1,0qu. Entao a funcao f : X Ñ Rn definida por fpt,xq xp1 tq (chamada de projeccao estereografica) e um homeomorfismo cominversa g : Rn Ñ X dada por

gpyq y2 1

y2 1,

2y

y2 1

.

Definicao 6.4. Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e aberta se para qual-quer aberto U X, o conjunto fpUq for tambem aberto. Dizemos que fe fechada se para qualquer fechado F X, o conjunto fpF q for tambemfechado.

Uma funcao contınua e bijectiva e um homeomorfismo sse for aberta, ssefor fechada.

Definicao 6.5. Dizemos que uma funcao injectiva f : Y Ñ X e um mergulhose a funcao induzida f : Y Ñ fpY q for um homeomorfismo.

Repare que um mergulho e a composicao dum homeomorfismo com umainclusao.

Exercıcios

(1) Se X tiver a topologia indiscreta e Y a topologia discreta, mostre queuma funcao f : X Ñ Y e contınua sse for constante.

(2) Encontre dois subespacos A,B s0, 1s homeomorfos tais que A e abertomas nao fechado em s0, 1s e B e fechado mas nao aberto em s0, 1s.

(3) De um exemplo duma funcao f : RÑ R (com a topologia usual) tal que:(a) f e contınua, aberta e fechada.

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(b) f e contınua mas nao aberta.(c) f e fechada mas nao contınua.(d) f nao e nem contınua, nem aberta nem fechada.(e) f e contınua mas nao fechada.

(4) Considere as seguintes topologias no conjunto X ta, b, cu:T1

H, tau, ta, bu, X(e T2

H, X, ta, cu, tcu( .Mostre que os espacos topologicos pX,T1q e pX,T2q sao homeomorfos.

(5) Decida, justificando, se os seguintes conjuntos sao abertos ou fechadosem R2:(a) tpx, yq : x2 y2 1u.(b) tpx, yq : xy ¡ 1u.(c) tpx, yq : x4 y4 ¤ 1u.(d) tpx, yq : y x2u.

(6) Seja X ta, bu com a topologia T tau, X,H(. Estude quanto a

continuidade em a e em b a funcao f : X Ñ X tal que fpaq b e fpbq a.(7) Sejam X, Y espacos topologicos e seja a P X tal que o conjunto tau e

aberto. Mostre que qualquer funcao f : X Ñ Y e contınua em a.(8) Sejam T , T 1 duas topologias num conjunto X. Mostre que a funccao

identidade pX,T q Ñ pX,T 1q e contınua sse T for mais fina que T 1.(9) Seja f : X Ñ R uma funcao contınua. Mostre que a funcao |fpxq| e

tambem contınua. Sugestao: defina |f | por ramos.(10) Sejam a, b P R. Mostre que os seguintes subespacos de R. sao homeo-

morfos:(a) r0, 1s e ra, bs.(b) s0, 1r e sa, br.(c) r0, 1r e sa, bs.

(11) Seja B2 tpx, yq P R2 : x2 y2 ¤ 1u. Mostre que existe uma funcaocontınua r : R2 Ñ B2 tal que rpxq x para x P B2. Sugestao: parax ¥ 1 defina rpxq xx.

(12) Mostre que R com a topologia gerada pelos intervalos ra, br com a, b P Re homeomorfo ao espaco R com a topologia gerada pelos intervalos sc, dscom c, d P R.

(13) Seja Opnq o conjunto das matrizes n n ortogonais (isto e, AAt 1.Damos a Opnq a topologia de subespaco identificando o conjunto das

matrizes n n com Rn2com a topologia usual.

(a) Mostre que Opnq e um subconjunto fechado de Rn2.

(b) Mostre que o determinante define uma funcao contınua f : Opnq Ñt1, 1u.

(c) Definimos SOpnq Opnq como o conjunto das matrizes de determi-nante 1. Mostre que SOpnq e aberto e fechado como subconjunto deOpnq.

(14) Mostre que uma funcao contınua f : R Ñ R pode ser prolongada porcontinuidade a recta acabada sse existirem, no sentido usual do Calculo,os limites de f em 8.

25

(15) Representamos por R` e Ru o conjunto R com a topologia com base osintervalos ra, br e o conjunto R com a topologia usual, respectivamente.Mostre que uma funcao f : R` Ñ Ru e contınua num ponto a P R sselimxÑa

fpxq fpaq.(16) Considere a funcao f : RÑ R tal que fpxq 1 para x P Q e fpxq 0 se

x R Q. Determine, em cada uma das seguintes topologias, em que pontose f contınua.(a) Topologia discreta.(b) Topologia indiscreta.(c) Topologia cocontavel.(d) Topologia usual.(e) A topologia em que os abertos sao os conjuntos que contem o zero

(mais o vazio).(f) A topologia em que os abertos sao os conjuntos que nao contem o

zero (mais o R).(17) Considere a funcao f : r0, 2πr Ñ S1 definida por fptq pcos t, sin tq.

(a) Mostre que f , apesar de ser bijectiva, nao e um homeomorfismo.Sugestao: mostre que f1 nao e sequencialmente contınua no pontop1, 0q P S1.

(b) Mostre que a restricao de f a s0, 2πr e um mergulho. Sugestao:construa a inversa f1 por ramos.

(18) Uma propriedade topologica P e uma propriedade que e invariante porhomeomorfismos; isto e, se X e Y forem espacos topologicos homeomor-fos, entao X tem a propriedade P se e so se Y a tiver.(a) Dizemos que um espaco topologico X e T1 se os conjuntos com um

so elemento forem fechados. Mostre que esta e uma propriedadetopologica.

(b) Averigue se a propriedade de ser limitado e uma propriedade to-pologica.

(19) Seja I p0, 0, zq P R3 : 1 ¤ t ¤ 1(

e seja X S2 Y I.

(a) Mostre que I e homeomorfo ao conjunto Y px, 0, zq P R3 : x2 z2 1, z ¥ 0

(.

(b) Mostre que X tp1, 0, 0qu e homeomorfo a uniao do plano xy comY . Sugestao: projeccao estereografica.

(20) Sejam X, Y conjuntos ordenados com a topologia da ordem.(a) Seja f : X Ñ Y uma funcao crescente e bijectiva. Dados intervalos

I1 X e I2 Y , mostre que fpI1q e f1pI2q sao intervalos.(b) Mostre que a recta acabada e homeomorfa ao intervalo r0, 1s.(c) Mostre que N r0, 1r com a topologia da ordem do dicionario e

homeomorfo a r1,8r.(21) Verdadeiro ou falso: dada uma funcao f : R Ñ R, a restricao f |r0,1s e

contınua sse f for contınua em todos os pontos x P r0, 1s.(22) Mostre que uma funcao f : X Ñ Y e contınua sse qualquer ponto x P X

tiver uma vizinhanca U tal que f |U e contınua.

26

(23) Mostre que S1 s0,8r R3 e homeomorfo a R2 t0u. Sugestao:considere a funcao f : R3 Ñ R2 definida por fpx, y, zq pzx, zyq.

(24) Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua num ponto a P X e seja g : Y Ñ Zuma funcao contınua em fpaq. Mostre que g f e contınua em a.

7. Subbases. Topologia produtoDefinicao 7.1. Dizemos que uma topologia T e gerada por uma coleccaode conjuntos S se T for a topologia menos fina para a qual os elementosde S sao abertos. Dizemos entao que a coleccao S e uma subbase datopologia.

Se B e uma base de T , entao T e gerada por B, portanto uma base etambem uma subbase. Mas em geral, uma coleccao de conjuntos S nao euma base da topologia gerada por S . Para tal precisamos de impor algumascondicoes a coleccao de conjuntos.

Teorema 7.1. Seja X um conjunto, B uma coleccao de subconjuntos de Xtal que:

(1) A uniao de todos os elementos de B e X.(2) Para quaisquer B1, B2 P B, a interseccao B1 X B2 pode ser escrita

como uma uniao de elementos de B.

Entao existe uma unica topologia T em X tal que B e uma base de T .

Demonstracao. Definimos os abertos como as unioes dos elementos de B.Claramente unioes de abertos sao abertos. A propriedade (1) mostra que Xe um aberto. Para ver que a interseccao de abertos e um aberto usamos arelacao pαBαq X pβ Bβq

α,βpBα XBβq e a propriedade (2).

Exemplo 7.1. Dados espacos topologicos X e Y seja B a coleccao dos sub-conjuntos de X Y da forma U V em que U X e V Y sao abertos.Entao a interseccao de dois elementos de B esta ainda em B pois

pU1 V1q X pU2 V2q pU1 X U2q pV1 X V2qAssim, pelo Teorema 7.1, existe uma unica topologia em X Y com baseB. Chamamos a esta topologia a topologia produto.

Teorema 7.2. Seja X um conjunto, S uma coleccao de subconjuntos deX. Entao a coleccao das interseccoes finitas de elementos de S :

B S1 X X Sk : S1, . . . , Sk P S , k P N

(Y tXue uma base da topologia gerada por S .

Demonstracao. Basta verificar que B satisfaz as condicoes do Teorema 7.1:a condicao (1) e imediata pois X P B e se B1, B2 P B, entao B1 X B2 P Bportanto a condicao (2) tambem e satisfeita.

27

Exemplo 7.2. Dados espacos topologicos X e Y , a coleccao dos conjuntosda forma U Y , com U X um aberto, ou X V , com V Y um aberto,formam uma subbase da topologia produto pois

pU Y q X pX V q U V

Teorema 7.3. Sejam X, Y espacos topologicos, e seja S uma subbase datopologia de Y . Entao:

(1) Uma funcao f : X Ñ Y e contınua sse para qualquer S P S , oconjunto f1pSq for aberto em X.

(2) Uma sucessao pxnq em Y converge para um ponto a P Y sse paraqualquer S P S tal que a P S, existir um p P N tal que n ¡ pñ xn PS.

7.1. Produtos

No exemplo 7.1 introduzimos a topologia produto em X Y . Vamos agorageneralizar para um produto dum numero infinito de espacos.

Chamamos n-tuplo em X a uma funcao x : t1, 2, . . . , nu Ñ X. E costumerepresentar os valores da funcao por xp1q x1, . . . , xpnq xn. Um n-tuplo pode naturalmente ser visto como um elemento px1 . . . xnq P Xn ±nk1X. De maneira analoga, uma sucessao em X e uma funcao N Ñ

X que representamos por pxkqkPN px1, x2, x3, . . .q, e que podemos vercomo um elemento de

±8k1X X X X . Generalizando, dado

um conjunto de ındices J , um J-tuplo e uma funcao x : J Ñ X. Paracada α P J chamamos coordenada α de x a xpαq xα e representamoso J-tuplo por pxαqαPJ , ou simplesmente pxαq se o conjunto de ındices Jestiver subentendido. Representamos o conjunto dos J-tuplos por

±αPJ X

ou simplesmente por XJ .Dada uma coleccao indexada de subconjuntos Xα X,1 definimos o

produto±αPJ Xα XJ como o conjunto dos J-tuplos pxαq em X tais

que xα P Xα para qualquer α P J , ou seja, como o conjunto das funcoesx : J Ñ X tais que xpαq P Xα para qualquer α P J .

Teorema 7.4. Dadas coleccoes tUαu e tVαu de subconjuntos de X, temos±Uα

X ±Vα

±pUα X Vαq.Dada uma coleccao tXαuαPJ de espacos topologicos, vamos agora ver

como definir uma topologia no produto±αXα. Para cada β P J temos a

funcao projeccao pβ :±αXα Ñ Xβ que leva cada J-tuplo x pxαq para

a sua coordenada β: pβpxq xβ. Naturalmente queremos que cada pβseja uma funcao contınua: para qualquer β P J e qualquer conjunto abertoU Xβ, o conjunto p1

β pUq devera ser aberto.

1Qualquer coleccao de conjuntos tXαu pode ser vista como uma coleccao de subcon-juntos dum conjunto X: nomeadamente, podemos tomar X

αXα.

28

Definicao 7.2. Chamamos topologia produto a topologia gerada pela co-leccao de conjuntos

S p1β pUq : β P J e U Xβ e aberto

(Vamos ver que esta definicao coincide com a definicao dada no exemplo 7.1

no caso dum produto X1 X2. Para cada i 1, 2 seja pi : X1 X2 Ñ Xi

a projeccao. Entao, dados Ui Xi temos p11 pU1q U1 X2 e p1

2 pU2q X1 U2. Vimos no exemplo 7.2 que estes conjuntos geram a topologiaproduto tal como foi definida no exemplo 7.1. Generalizando esta observacaotemos:

Teorema 7.5. Seja B a coleccao dos produtos±Uα tais que para cada α

os conjuntos Uα Xα sao abertos e Uα Xα excepto para um numerofinito de ındices α. Entao B e uma base da topologia produto.

Demonstracao. Basta provar que a coleccao B e a coleccao das interseccoesfinitas de elementos de S . Para tal comecamos por observar que, dadoU Xβ, temos p1

β pUq ±αPJ Uα, em que Uα Xα para α β e Uβ U .

O resultado e agora uma consequencia simples do Teorema 7.4.

Exemplo 7.3. A topologia produto em RR coincide com a topologia usualem R2.

Exemplo 7.4. A topologia produto em X1 X2 Xn tem como basea coleccao dos produtos U1 Un em que para cada i 1, . . . , n osconjuntos Ui Xi sao abertos.

Teorema 7.6. Uma funcao f : Y ѱXα e contınua sse, para todo o α P J

as funcoes coordenadas fα pα f : Y Ñ Xα forem contınuas.

Demonstracao. Se f e contınua, pαf e tambem contınua. Reciprocamente,para ver que f e contınua basta mostrar que a imagem inversa de qualquerelemento da subbase S e um aberto em Y . Mas f1

p1α pUq ppα

fq1pUq que e aberto pois pα f e contınua.

Como corolario temos:

Teorema 7.7. Seja X um espaco topologico e sejam f, g : X Ñ R funcoescontınuas. Entao, as funcoes afpxq bgpxq e fpxqgpxq sao contınuas paraquaisquer a, b P R, e se gpxq 0 para todo o x P X, a funcao fg e contınua.

Demonstracao. A funcao fg e a composicao da funcao pf, gq : X Ñ R R t0u com a funcao h : R

R t0u Ñ R definida por hpx, yq xy.Portanto fg e contınua. A demonstracao dos outros casos e completamenteanaloga.

Teorema 7.8. Uma sucessao pxnqnPN em±Xα converge para um ponto

x P±Xα sse as sucessoes coordenadas pαpxnq convergirem para pαpxq.

29

Exemplo 7.5. Uma funcao f : J Ñ X pode ser vista como um elementopxαq P XJ , com xα fpαq. Na topologia produto, uma sucessao de funcoesfn : J Ñ X converge sse para todo o α P J a sucessao

fnpαq

nPN convergir

em X. Por isso a topologia produto e tambem conhecida como a topologiada convergencia pontual.

Exercıcios

(1) Quais dos seguintes subconjuntos de Rω R R R sao abertosna topologia produto?(a) U pxnq P Rω : xn ¡ 0 para n par

(.

(b) Uk pxnq P Rω : xk 0

(.

(c) Uk pxnq P Rω : xn 0 para qualquer n ¤ k

(.

(d) Uk pxnq P Rω : xn ¤ 0 para qualquer n k

(.

(e) Uk pxnq P Rω : xn ¡ 0 para qualquer n ¡ k

(.

(f) U pxnq P Rω : xn en para qualquer n P N(.

(2) Seja X ta, b, c, d, eu. Descreva as topologias em X geradas pelas se-guintes subbases:(a) S1

ta, bu, tb, cu, tc, du(.

(b) S2 ta, b, cu, tc, d, eu, tdu(.

(c) S3 ta, bu, tcu, tdu, teu(.

(3) Dado um conjunto X, mostre que a coleccao dos conjuntos da formaX txu, com x P X, e uma subbase da topologia cofinita (ou seja, atopologia cofinita e a topologia menos fina em que os pontos sao conjuntosfechados).

(4) Mostre que a coleccao dos intervalos abertos ilimitados em R e uma sub-base da topologia usual. Generalize este resultado para uma topologiada ordem arbitraria.

(5) Sejam T1, T2 duas topologias num conjunto X. Mostre que, se S e umasubbase de T1 e S T2, entao a topologia T2 e mais fina que T1.

(6) Considere a topologia T H, t0u,R( no conjunto R. Descreva a topo-logia induzida no produto R R.

(7) Considere a topologia T em R2 em que os abertos sao os conjuntos daforma A R, com A R. A topologia T e o produto de que topologiasem R?

(8) Mostre que a topologia da ordem do dicionario em R2 e o produto datopologia usual pela topologia discreta em R.

(9) Considere a funcao f : RÑ RN definida por

fptq cosp2πtq, sinp2πtq, cosp2πtq, sinp2πtq, . . .

(a) Mostre que a funcao f e contınua.(b) Para cada n P N seja xn fpnq. Decida, justificando, se a sucessao

pxnqnPN e ou nao convergente.(10) Dada uma coleccao de conjuntos tXαu e dados subconjuntos Uα Xα,

mostre que±

Xα

±Uα

p1α pXα Uαq.

30

(11) Seja K t1, 12 ,

13 ,

14 , . . .u R.

(a) Encontre uma base para a topologia gerada pelos intervalos da formasa, br, com a, b P R, mais o conjunto RK.

(b) Compare esta topologia com a topologia gerada pelos intervalos daforma ra, br, a, b P R, e com a topologia gerada pelos intervalos daforma sa, bs, a, b P R.

(12) Seja tXαuαPJ uma coleccao de espacos topologicos. Chamamos topologiacaixa a topologia em

±Xα gerada pela coleccao dos conjuntos da forma±

Uα, em que para cada α P J o conjunto Uα Xα e aberto. Compareas topologias produto e caixa em

±Xα para J finito e infinito.

(13) Dados conjuntos X, Y com distancias dX e dY respectivamente, definimosuma distancia no produto X Y por

dpx1, y1q, px2, y2q

max dXpx1, x2q, dY py1, y2q

((a) Mostre que d e uma distancia.(b) Mostre que qualquer bola em X Y e o produto duma bola em X

com uma bola em Y .(c) Mostre que a topologia da metrica em X Y e a topologia produto.

(14) Dada uma funcao f : X Ñ Y chamamos grafico de f a G px, yq PX Y : y fpxq(. Mostre que se f for contınua entao X e homeomorfoa G (com a topologia de subespaco).

(15) Seja X a uniao de dois subespacos fechados X1 e X2 tais que X1 XX2 tpu para um certo ponto p P X. Seja f1 : X1 Ñ X1 X2 a funcaodefinida por f1pxq px, pq e f2 : X2 Ñ X1 X2 a funcao definida porf2pyq pp, yq. Mostre que f1 e f2 definem um mergulho f : X Ñ X1X2.

(16) Seja tXαu uma coleccao de espacos topologicos. Mostre que se Bα euma base de Xα entao a coleccao de conjuntos da forma

±Bα, em que

Bα P Bα e Bα Xα excepto para um numero finito de ındices α e umabase da topologia produto em

±Xα.

(17) Sejam X, Y espacos topologicos, A X e B Y subespacos. Mostre quea topologia produto AB e igual a topologia induzida como subespacode X Y .

(18) Compare a topologia da metrica em `8 com a topologia induzida comosubespaco de Rω RR com a topologia produto e com a topologiacaixa (exercıcio 12).

(19) Seja x0 P X. Mostre que a funcao f : Y Ñ X Y definida por fpyq px0, yq e um mergulho.

(20) Mostre que a projeccao p : X Y Ñ X e uma funcao aberta.(21) Seja R8 o conjunto das sucessoes que sao zero a partir de certa ordem.

Determine o fecho de R8 no produto RN.(22) Mostre que o produto dum numero nao contavel de copias de R nao tem o

primeiro axioma de numerabilidade. Sugestao: se tVnu for uma coleccaocontavel de vizinhancas dum ponto a, temos

n Vn ±

α Uα em queUα R excepto para um numero contavel de ındices α.

(23) Seja tTαu uma coleccao de topologias num conjunto X.

31

(a) Mostre queα Tα e uma topologia em X.

(b) Mostre que a topologia gerada por S α Tα e a interseccao de

todas as topologias em X que contem S .

8. Axiomas de separacaoDefinicao 8.1. Seja X um espaco topologico. Dizemos que X e

T1 se dados quaisquer pontos x y em X existir um aberto U talque x P U e y R U ;

de Hausdorff, ou T2, se dados quaisquer pontos x y em X existi-rem abertos disjuntos U , V tais que x P U e y P V .

regular se dados um fechado F e um ponto x R F , existirem abertosdisjuntos U , V tais que x P U e F V ;

normal se dados fechados disjuntos F , G existem abertos disjuntosU , V tais que F U e G V .

Um espaco T1 e regular diz-se T3. Um espaco T1 e normal diz-se T4.

Teorema 8.1. Um espaco e T1 sse os conjuntos com um so elemento foremfechados. Assim, temos as implicacoes T4 ñ T3 ñ T2 ñ T1.

Demonstracao. Se X e T1, para qualquer x P X o conjunto Xtxu e abertopois dado y P X txu temos y x logo existe uma vizinhanca U P Vy talque x R U e entao U Xtxu. Reciprocamente, se os pontos sao fechados,dados x y o aberto Xtxu e uma vizinhanca de y que nao contem x.

Teorema 8.2. Num espaco de Hausdorff ha unicidade de limite de su-cessoes.

Demonstracao. Se xn Ñ x e xn Ñ y, x e y nao podem ter vizinhancasdisjuntas.

Teorema 8.3. A topologia da metrica e T4.

Demonstracao. Dados fechados disjuntos F,G X, para cada x P F existeum δx tal que Bpx, δxqXG H. Seja U

xPF Bpx, δx2q. Analogamente,seja V

yPY Bpy, δy2q, em que Bpy, δyq X F H. Claramente F Ue G V pelo que basta provar que U X V H. Se a P U X V entaoexistem x P F e y P G tais que dpa, xq δx2 e dpa, yq δy2. Podemosassumir sem perda de generalidade que δx ¡ δy. Entao dpx, yq δx peloque y P Bpx, δxq XG o que e uma contradicao.

Teorema 8.4. Um subespaco dum espaco de Hausdorff e tambem um espacode Hausdorff.

Demonstracao. Se U, V X sao vizinhancas disjuntas de x e y entao U XYe V X Y sao vizinhancas disjuntas na topologia de subespaco.

Alternativamente, os axiomas de separacao podem ser expressos em ter-mos de abertos e seus fechos:

32

Teorema 8.5. Um espaco topologico X e:

(1) regular sse para qualquer x P X e qualquer U P Vx existir um V P Vx

tal que V U .(2) normal sse para qualquer fechado F e qualquer aberto U que contem

F , existir um aberto V tal que F V e V U .

Teorema 8.6 (Lema de Urysohn). Seja X um espaco normal, F,G Xfechados disjuntos. Entao existe uma funcao contınua f : X Ñ r0, 1s tal quefpxq 0 para x P F e fpxq 1 para x P G.

Demonstracao. Vamos definir, para cada racional p P Q, um aberto Up demodo a que

p q ñ Up Uq

Para tal comecamos por ordenar or racionais em r0, 1s: 1, 0, 12 , 1

3 , 23 , 1

4 , 34 ,

15 , . . . . Tomamos U1 X G e escolhemos U0 de modo a que F U0 e

U0 U1. Agora:

Como 0 12 1, escolhemos U12 de modo a que U0 U12 e

U12 U1.

Como 0 13 1

2 , escolhemos U13 de modo a que U0 U13 e

U13 U12.

Como 12 2

3 1, escolhemos U23 de modo a que U12 U23 e

U23 U1.

Prosseguindo recursivamente, definimos Up para todos os racionais em r0, 1s.Agora tomamos Up H para p 0 e Up X para p ¡ 1. Seja

fpxq inf p P Q : x P Up

(Agora:

Dado qualquer x temos x P Up para p ¡ 1 logo fpxq ¤ 1. Temostambem x R Up para x 0 logo fpxq ¥ 0. Assim 0 ¤ fpxq ¤ 1.

Se x P A entao x P Up ô p ¥ 0 logo fpxq 0. Se x P B entao x P Up ô p ¡ 1 logo fpxq 1.

Falta provar apenas a continuidade de f . Para tal observamos que:

(1) x P U r ñ fpxq ¤ r (2) x R Ur ñ fpxq ¥ r

Dado c P X vamos ver que f e contınua em c. Dada uma vizinhanca sa, br defpcq precisamos de encontrar uma vizinhanca U P Vc tal que fpUq sa, br.Para tal escolhemos racionais p e q tais que a p fpcq q b e tomamosU Uq Up. Entao:

U P Vc: claramente U e aberto; falta ver que c P U . Como fpcq q,por (2) temos c P Uq; como fpcq ¡ p, por (1) temos c R Up; assim,c P U .

fpUq sa, br: se x P U temos que ver que a fpxq b. Comox P Uq, por (1) temos fpxq ¤ q b; como x R Up, por (2) temosfpxq ¥ p ¡ a. Assim fpxq P sa, br.

33

Provamos que f e contınua, o que termina a demonstracao.

Exercıcios

(1) Verifique quais dos axiomas de separacao sao satisfeitos pelas seguintestopologias em R:(a) A topologia discreta.(b) A topologia indiscreta.(c) A topologia cofinita.(d) A topologia usual.

(2) Mostre que um espaco X finito e T1 tem necessariamente a topologiadiscreta.

(3) Sejam T1, T2 topologias num conjunto X tais que T2 e mais fina que T1.Se X for Hausdorff numa das topologias, pode concluir que X e tambemHausdorff na outra?

(4) Mostre que a esfera Sn e um espaco normal.(5) Seja X um espaco em que cada ponto possui uma base Bx de vizinhancas

que sao tambem conjuntos fechados. Mostre que X e regular.(6) Seja X um espaco topologico, Y X um subespaco.

(a) Mostre que se X e T1 entao Y e tambem T1.(b) Mostre que se X e Hausdorff entao Y e tambem Hausdorff.(c) Mostre que se X e regular entao Y e tambem regular.(d) Mostre que se X e normal e Y e fechado em X entao Y e tambem

normal.(7) Um espaco X diz-se T0 se dados quaisquer pontos x y em X se tiver

Vx Vy.(a) Mostre que T1 ñ T0 e de um exemplo dum espaco T0 que nao seja

T1.(b) Mostre que X e T0 sse dados pontos x y em X se tiver x R tyu ou

y R txu.(c) Mostre que um espaco regular e T0 e T3.(d) De um exemplo dum espaco normal e T0 que nao seja T4.

(8) Mostre que um espaco e T1 sseUPVx

U txu para qualquer x P X.(9) Mostre que um espaco X e regular sse qualquer aberto U for a uniao de

todos os abertos V tais que V U .(10) Mostre que num espaco regular quaisquer pontos x y possuem vizi-

nhancas cujos fechos nao se intersectam.(11) Sejam F1, F2 fechados disjuntos num espaco normal. Mostre que existem

abertos U1, U2 tais que Fi Ui e U1 X U2 H.(12) Mostre que um espaco X e de Hausdorff sse para qualquer x P X se tiver

UPVxU txu.

(13) Mostre que um espaco X e regular sse dado um fechado F X e umponto x R F existir uma vizinhanca U P Vx tal que U X F H.

(14) Mostre que um espaco X e regular sse dado um fechado F X, se tiverF

U : U P T e F U(.

34

(15) Sejam X, Y espacos topologicos e seja f : X Ñ Y uma funcao contınuae injectiva. Mostre que se Y for de Hausdorff entao X e tambem deHausdorff.

(16) Seja TK a topologia em R gerada pelos intervalos sa, br com a, b P R, epor R t1, 1

2 ,13 ,

14 , . . .u. Mostre que, com esta topologia, R e Hausdorff

mas nao e regular. Sugestao: qualquer aberto que contem o conjuntot1, 1

2 ,13 ,

14 , . . .u e tambem aberto na topologia usual.

(17) Mostre que a topologia da ordem e sempre regular.(18) Sejam T1, T2 topologias regulares num conjunto X. Mostre que a topo-

logia gerada por T1 YT2 e tambem regular.(19) Seja X um conjunto ordenado tal que qualquer subconjunto A H

possui mınimo.(a) Mostre que os conjuntos da forma sa, bs sao abertos na topologia da

ordem. Sugestao: o conjunto ty P X : y ¡ bu tem mınimo.(b) Mostre que X e normal com a topologia da ordem. Sugestao: dados

fechados disjuntos F e G, para cada x P F tome uma vizinhancasa, xs que nao intersecta G e faca o mesmo para os pontos de G.

(20) Seja X um espaco topologico, A X. O espaco obtido contraindo todosos pontos de A para um so ponto e, por definicao, o conjunto XA pX Aq Y tu com a seguinte topologia: dado U XA, se R U , entaoU X A e aberto sse for aberto em X; se P U , entao U e aberto ssepU tuq YX for aberto em X.(a) Verifique que se trata duma topologia.(b) Mostre que se XA for T1 entao A e fechado em X.(c) Mostre que, se X for regular e A for fechado em X entao XA e

Hausdorff.(d) Mostre que, se X for normal e A for fechado em X entao XA e

normal.(e) Quais dos axiomas de separacao sao satisfeitos por RpR t0uq?

(21) Seja tXαu uma coleccao de espacos topologicos.(a) Mostre que se Xα e Hausdorff para todo o α entao

±Xα e tambem

Hausdorff.(b) Mostre que se Xα e regular para todo o α entao

±Xα e tambem

regular.(22) Seja X um espaco normal e sejam A1, A2 X abertos tais que X

A1 Y A2. Mostre que existem fechados F1 A1 e F2 A2 tais queX F1 Y F2.

(23) Seja X um espaco de Hausdorff, Y X. Mostre que se existir umafuncao contınua r : X Ñ Y tal que rpyq y para todo o y P Y (r diz-seuma retraccao), entao Y e fechado em X. Sugestao: dado x P Y , assumaque rpxq x e use a continuidade de r em x.

(24) Seja X um espaco topologico tal que, para quaisquer pontos x y emX, existe uma funcao contınua f : X Ñ R tal que fpxq fpyq. Mostreque X e Hausdorff.

35

(25) Mostre que um espaco topologico satisfaz o Lema de Urysohn sse fornormal.

(26) Mostre que um espaco X e de Hausdorff sse a diagonal ∆ px, xq : x PX( X X for um subconjunto fechado.

(27) Um espaco topologico X diz-se completamente regular se dado um pontox P X e uma vizinhanca U P Vx de x existir uma funcao contınua f : X Ñr0, 1s tal que fpxq 1 e fpxq 0 para qualquer x R U .(a) Mostre que um espaco T4 e completamente regular.(b) Mostre que um espaco completamente regular e regular.(c) Sera um espaco completamente regular necessariamente T3?(d) Mostre que um subespaco dum espaco completamente regular e tambem

completamente regular.(e) Mostre que um produto

±Xα de espacos completamente regulares

e tambem completamente regular.(28) Seja X um espaco de Hausdorff, A X, e seja f : A Ñ Y uma funcao

contınua. Mostre que o prolongamento por continuidade de f a A, seexistir, e unico.

(29) Sejam f, g : X Ñ Y funcoes contınuas, Y um espaco de Hausdorff. Mostreque o conjunto tx P X : fpxq gpxqu e fechado em X.

(30) Um conjunto diz-se um conjunto Gδ se for a interseccao contavel de aber-tos. Mostre que num espaco normal X, um conjunto A X e umconjunto Gδ fechado sse existir uma funcao contınua f : X Ñ R tal quefpxq 0 para x P A e fpxq ¡ 0 para x R A. Sugestao: imite a demons-tracao do Lema de Urysohn.

9. Espacos metrizaveisDefinicao 9.1. Dizemos que um espaco topologico X e metrizavel se existiruma distancia d em X tal que a topologia de X e a topologia induzida pord.

Exemplo 9.1. Um espaco X com a topologia discreta e metrizavel: definimosa distancia por dpx, yq 1 para x y e dpx, xq 0.

Teorema 9.1. Seja I r0, 1s R com a topologia usual. O espaco dassucessoes IN I I I com a topologia produto e metrizavel.

Demonstracao. Dadas sucessoes x pxnq, y pynq definimos a distanciadpx,yq supn |xn yn|n. Dado ε ¡ 0 representamos as bolas em I porBpx, εq I X sx ε, x εr. Seja k o maior inteiro tal que kε 1. Entao abola em IN e igual a:

Bdpx, εq Bpx1, εq Bpx2, 2εq Bpxk, kεq I o que mostra que as bolas sao abertos na topologia produto que e portantomais fina que a topologia da metrica. Reciprocamente, seja

U 8¹n1

Un com Un I para n k

36

um elemento da subbase da topologia produto e seja x pxnq P U . ComoUk e aberto existe um δ ¡ 0 tal que Bpxk, δq Uk. Seja ε δk. EntaoBdpx, εq U pelo que U e aberto na topologia da metrica, o que termina ademonstracao.

Vamos agora mostrar que um espaco T3 com uma base contavel e me-trizavel. Precisamos primeiro de provar dois lemas:

Lema 9.1 (Lema do Mergulho). Seja X um espaco T1 e seja f : X Ñ r0, 1sJuma funcao contınua com componentes fα tais que, para qualquer x P X equalquer U P Vx, existe um α P J tal que fαpxq ¡ 0 e fα 0 em X U .Entao f e um mergulho.

Demonstracao. A funcao f e claramente contınua e injectiva pelo que bastaver que a funcao f1 : fpXq Ñ X e contınua em todos os pontos b fpaq PfpXq. Dada uma vizinhanca U de f1pbq a existe um α tal que fαpxq ¡ 0e fα 0 em XU . Seja V r0, 1sJ o subconjunto dos pontos de coordenadaα positiva. Entao V e uma vizinhanca de b e f1pV q U .

Lema 9.2. Um espaco topologico regular com uma base contavel e normal.

Demonstracao. Seja B uma base contavel de X e sejam F1 e F2 fechadosdisjuntos. Seja U1 tB P B : B X F2 Hu e de modo analogo definimosU2 tB P B : B X F1 Hu. As coleccoes U1 e U2 sao contaveis por issopodemos escrever U1 tUnunPN e U2 tVnunPN. Agora seja

U ¤n

Un pV 1 Y Y V nq

V

¤n

Vn pU1 Y Y Unq

Basta agora mostrar que F1 U , F2 V e UXV H. Seja x P F1. Entao,para qualquer k P N, x R V k. Como x P X F2, existe um W P Vx tal queW X F2, logo W X F2 H. Tomando um elemento da base contidoem W vemos que existe um n P N tal que x P Un, o que mostra que x P U .Assim, F1 U . De igual modo se mostra que F2 V . Falta mostrar queUXV H. Se x P UXV entao existem n, m tais que x P UnpV 1Y YV nqe x P Vm pU1 Y Y Umq o que e uma contradicao.

Teorema 9.2. Seja X um espaco topologico T3 e com uma base contavel.Entao X e metrizavel.

Demonstracao. Pelo Lema 9.2 X e T4. Seja tBnunPN uma base contavel deX. Seja J N N o conjunto dos pares pn,mq para os quais Bn Bm.Para cada pn,mq P J o Lema de Urysohn garante a existencia duma funcaofn,m : X Ñ r0, 1s tal que fn 1 em Bn e fn,m 0 em X Bm. As funcoesfn,m definem uma funcao contınua f : X Ñ r0, 1sJ , e como J e contavel,r0, 1sJ e metrizavel. Vamos ver que f e um mergulho, e que portanto X fpXq e metrizavel. Basta verificar que a coleccao pfn,mq esta nas condicoesdo Lema 9.1. Seja x P X e U P Vx. Entao, como X e normal, existe umm P N tal que x P Bm e Bm U . Repetindo o processo, existe um n P N tal

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que x P Bn e Bn Bm. Entao fn,mpxq 1 e fn,m 0 em XBm XU ,o que termina a demonstracao.

Exercıcios

(1) Seja X um espaco topologico cuja topologia e induzida por uma distancia

d. Mostre que a funcao d : X X Ñ R definida por dpx, yq 2dpx, yq euma distancia que induz a mesma topologia que d.

(2) Dado um conjunto X, mostre que a funcao d : X X Ñ R definida pordpx, yq 1 para x y e dpx, xq 0 e uma distancia que induz a topologiadiscreta em X.

(3) Seja X um espaco topologico cuja topologia e induzida por uma distancia

d. Mostre que a funcao d : X X Ñ R definida por dpx, yq 2dpx, yq euma distancia que induz a mesma topologia que d.

(4) Seja C o conjunto das funcoes contınuas f : r0, 1s Ñ R. Dados f, g P Rdefinimos

d1pf, gq » 1

0

fpxq gpxq e d8pf, gq supxPr0,1s

fpxq gpxq .(a) Mostre que d1 e d8 sao distancias em C.(b) Mostre que a sucessao de funcoes pfnq definida por fnpxq xn con-

verge para a funcao identicamente nula com a distancia d1, mas naocom a distancia d8.

(c) Mostre que d1pf, gq ¤ d8pf, gq. Qual das topologias induzidas porestas distancias e mais fina?

(5) Dados pontos x px1, . . . , xnq e y py1, . . . , ynq em Rn definimos

d1px,yq n

i1

|xi yi| d8px,yq maxi1,...,n

|xi yi|

(a) Verifique que d1 e d8 sao distancias.(b) Mostre que d8px,yq ¤ d1px,yq ¤ nd8px,yq. Conclua queBd1px, εq

Bd8px, εq Bd1px, n εq.(c) Mostre que d1 e d8 induzem a mesma topologia em Rn.(d) Mostre que as topologias induzidas por d1 e d8 em Rn sao a topologia

usual. Sugestao: mostre que d8px,yq ¤ d2px,yq ¤?nd8px,yq, em

que d2 e a distancia usual em Rn.(6) Seja X um conjunto com uma distancia d e seja dpx, yq min

dpx, yq, 1(.

Verifique que d e uma distancia que induz a mesma topologia em X quea distancia d.

(7) Decida se a topologia em R gerada pelos intervalos da forma ra, br coma, b P Q e ou nao metrizavel.

(8) Quais das seguintes topologias em R sao metrizaveis: a topologia discreta,a indiscreta, a cofinita e a cocontavel?

(9) Decida se RJ e metrizavel com a topogia produto, em que J e um conjuntofinito, contavel ou nao contavel.

38

(10) Mostre que se X1 e X2 sao metrizaveis entao X1 X2 e metrizavel.Sugestao: sejam d1, d2 metricas para X1, X2 respectivamente e sejaDpx1, x2q, py1, y2q

max d1px1, y1q, d2px2, y2q

(; quais sao as bolas na

metrica D?(11) Seja tXnunPN uma coleccao de espacos metrizaveis. Generalize a demons-

tracao do Teorema 9.1 para mostrar que±Xn e metrizavel:

(a) Mostre que para cada n podemos escolher uma distancia dn queinduz a topologia de Xn e tal que dnpx, yq ¤ 1 para todo o x, y P Xn.

(b) Dados pxnq, pynq P ±Xn seja D

pxnq, pynq sup dnpxn, ynqn.Mostre que D e uma distancia.

(c) Mostre que a topologia induzida por D e mais fina que a topologiaproduto.

(d) Dado pxnq P±Xn e ε ¡ 0 e tomando k ¥ 1ε mostre que

BDpxnq, ε Bd1px1, εqBd2px2, 2εq Bdkpxk, kεqXk1Xk2

Conclua que a topologia produto coincide com a topologia da metricaD.

(12) Seja X um espaco com a topologia induzida por uma distancia d. Dadoum ponto x P X e um subconjuntoA X, definimos dpx,Aq inftdpx, yq :y P Au.(a) Mostre que dpx,Aq 0 ô x P A.(b) Fixemos agora A X. Mostre que a funcao f : X Ñ R definida por

fpxq dpx,Aq e contınua.(c) Dados fechados disjuntos F eGmostre que gpxq dpx, F qdpx, F q

dpx,Gq define uma funcao contınua g : X Ñ r0, 1s tal que g|F 1e g|G 0.

(d) Mostre que a funcao d : X X Ñ R e contınua.(13) Considere a topologia TK em R gerada pelos intervalos abertos e por

R t1, 12 ,

13 ,

14 , . . . u. Mostre que pR,TKq e Hausdorff e tem uma base

contavel mas nao e metrizavel.(14) Considere a topologia T` em R gerada pelos intervalos da forma ra, br com

a, b P R. Mostre que pR,T`q e normal e separavel mas nao e metrizavel.(15) Seja T a topologia em R gerada pelos intervalos abertos e pelos conjuntos

U Q. Mostre que T e metrizavel.(16) Seja T a topologia em Z gerada pelos conjuntos Ai,k

i kn : n P Z

(,

com i, k P Z. Mostre que T e metrizavel.(17) Seja X px, yq P R2 : y ¡ 0u e seja Y Q t0u R2. Seja T a

topologia em X Y Y gerada pelas bolas contidas em X e pelos conjuntos

Ux,ε tpx, 0qu YBpx, εq, ε

para x P Q e ε ¡ 0. Mostre que T e metrizavel.

10. CompactosDizemos que uma coleccao de abertos U e uma cobertura aberta dum con-junto A X se a uniao dos abertos de U contiver A. Em particular, U

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e uma cobertura de X se a uniao for igual a X. Uma subcobertura e umasubcoleccao U 1 U que e ainda uma cobertura.

Definicao 10.1. Um espaco topologico X diz-se compacto se qualquer co-bertura aberta de X tiver uma subcobertura finita.

Exemplo 10.1. O espaco R nao e compacto pois a cobertura sn, nr(

nPNnao tem nenhuma subcobertura finita.

Teorema 10.1. Um subespaco Y X e compacto se e so se qualquercobertura U de Y por abertos de X tiver uma subcobertura finita.

Teorema 10.2. Seja X um conjunto ordenado satisfazendo o axioma dosupremo. Entao qualquer intervalo ra, bs X e compacto.

Demonstracao. Seja U uma cobertura de ra, bs. Seja A ra, bs o conjuntodos pontos x P ra, bs tais que ra, xr e coberto por um numero finito de abertosde U . Claramente a P A logo A H. Seja s supA.

(1) Tomemos um aberto U P U tal que a P U . Entao existe um x ¡ atal que ra, xr U , pelo que x P A, logo s ¡ a.

(2) Tomemos agora um aberto V P U tal que s P V . Como s ¡ a, existeum c s tal que sc, ss V . Como s e o menor dos majorantes, cnao e um majorante de A logo existe um x P A tal que x ¡ c. Entaoexistem U1, . . . , Uk P U tais que ra, xr U1 Y Y Uk, e comosc, ss V , temos ra, ss U1 Y Y Uk Y V .

(3) Para terminar a demonstracao basta observar que s b: casocontrario existiria um d ¡ s tal que rs, dr V donde seguiria quera, dr U1 Y Y Uk Y V logo d P A, o que e uma contradicao poiss supA.

Teorema 10.3. Seja f : X Ñ Y contınua, K X compacto. Entao fpKqe compacto.

Demonstracao. Dada uma cobertura aberta tUαu de fpKq tomamos umasubcobertura finita de f1pUαq.

Exemplo 10.2. O cırculo S1 e compacto pois e a imagem de r0, 1s pela funcaocontınua fptq

cosp2πtq, sinp2πtq.Teorema 10.4. Seja X um espaco compacto. Entao qualquer subconjuntoF X fechado e compacto.

Demonstracao. Dada uma cobertura tUαu de F , a coleccao tUαuYtXF ue uma cobertura de X logo tem uma subcobertura finita.

Teorema 10.5. Seja X um espaco de Hausdorff, K X um compacto.Entao, dado um ponto a R K, existem abertos U , V disjuntos tais queK U e a P V .

Demonstracao. Para cada x P K tomamos vizinhancas disjuntas Ux P Vx

e Vx P Va. A coleccao tUxu cobre K pelo que podemos tomas uma subco-bertura finita tUx1 , . . . , Uxnu. Entao podemos tomar U Ux1 Y Y Uxn eV Vx1 X X Vxn .

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Vamos ver agora varios corolarios.

Teorema 10.6. Seja X um espaco de Hausdorff, K X um compacto.Entao K e fechado em X.

Demonstracao. O Teorema 10.5 mostra que X K e aberto.

Teorema 10.7 (Weierstrass). Se X e um espaco compacto, qualquer funcaocontınua f : X Ñ R tem maximo e mınimo.

Demonstracao. O conjunto fpXq e compacto, logo e fechado. A coberturade fpXq pelos abertos da forma sn, nr tem uma subcobertura finita logofpXq e tambem limitado. Assim, fpXq tem maximo e mınimo.

Teorema 10.8. Um espaco compacto de Hausdorff e normal.

Demonstracao. Como os fechados em X sao compactos, o Teorema 10.5mostra que X e regular. Repetindo o argumento do Teorema 10.5, provamosque X e normal.

Teorema 10.9. Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua, X compacto e Y deHausdorff. Entao:

(1) Se f for injectiva, f e um mergulho.(2) Se f for bijectiva, f e um homeomorfismo.

Demonstracao. Basta observar que f e fechada: se F X e fechado, entaoe compacto, logo fpF q e compacto, e portanto fechado.

Definicao 10.2. Dizemos que uma coleccao de conjuntos C tem a propri-edade de interseccao finita (ou PIF) se a interseccao dum numero finito deelementos de C for nao vazia.

Teorema 10.10. Um espaco X e compacto sse para qualquer coleccao tFαude fechados com a PIF se tiver

Fα H.

Demonstracao. Se X nao for compacto, existe uma cobertura tUαu semnenhuma subcobertura finita. Seja Fα X Uα. Entao tFαu tem a PIFmas

Fα H.

Reciprocamente, se tFαu tem a PIF masFα H, seja Uα X Fα.

Entao tUαu e uma cobertura aberta sem nenhuma subcobertura finita.

Exemplo 10.3. O subespaco r0, 1s X Q de R nao e compacto: a coleccao defechados tCnu definidos por Cn rx p1nq, x p1nqs XQ tem a PIF maspara x irracional,

Cn H.

10.1. Produtos. O Lema do tubo

Vemos agora mostrar que o produto de dois espacos compactos e compacto.Para tal precisamos do

Lema 10.1 (Lema do tubo). Sejam X, Y espacos topologicos tais que X ecompacto. Seja p : X Y Ñ Y a projeccao. Entao dado um ponto a P Y eum aberto U X Y tal que p1paq U existe uma vizinhanca V Y dea tal que p1pV q U .

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Demonstracao. Para cada x P X temos px, aq P U logo existem abertosWx X e Vx Y tais que px, aq P Wx Vx U . Como X e compactoa cobertura tWxu tem uma subcobertura finita Wx1 , . . . ,Wxn . Seja V Vxi . Entao p1pV q U : se px, yq P p1pV q entao x P Wxi para algum i

logo px, yq PWxi Vxi U .

Teorema 10.11. Se X e Y sao compactos entao XY e tambem compacto.

Demonstracao. Seja U uma cobertura aberta de X Y . Para cada y P Yo espaco p1pyq X tyu e compacto e p1pyq

WPU W . Seja Uy umasubcobertura finita de p1pyq e seja Uy

WPUy

W . Pelo Lema do tubo

existe um aberto Vy P Vy tal que p1pVyq Uy. Como Y e compacto, acobertura tVyu tem uma subcobertura finita Vy1 , . . . , Vyn . Entao X Y i Uyi pelo que Uy1 Y YUyn e uma subcobertura finita de U .

Como corolario imediato temos:

Teorema 10.12. Um espaco X Rn e compacto sse for limitado e fechado.

Demonstracao. Se um conjunto K Rn e fechado e limitado e compacto,pois como K e limitado, esta contido num produto de intervalos ra, bsn quee compacto. Como K e fechado, concluımos que K e compacto. Recipro-camente, um compacto K R e fechado pois Rn e Hausdorff, e e limitadopois a cobertura

Bp0, nq( de K tem uma subcobertura finita.

Exercıcios

(1) Quais os espacos compactos com a topologia discreta?(2) Decida quais das seguintes coberturas de s0, 1r tem uma subcobertura

finita. s0, 1r e compacto?(a)

sx 13 , x 1

3 r(xPs0,1r

(b) sx2, 2xr (

xPs0,1r

(c) sx 1

5 , 2xr(xPs0,1r

(d) sx 1, 1 xr (

xPs0,1r

(3) Decida quais dos seguintes subespacos de Rn sao compactos:(a) A px, yq P R2 : y x2

((b) B s1, 0r Y s1, 2s(c) C B(d) D

0, 1, 12 ,

13 ,

14 ,

15 , . . .

((e) Sn px0, . . . , xnq P Rn1 : x2

0 x2n 1

((f) S1 A(g) fpS1q em que f : R2 Ñ R e a funcao fpx, yq sinpx cos yqcospy sinxq.(h) S1 S2 S3 R9.

(4) Sejam T , T 1 topologias num conjunto X tais que T T 1. Se Xfor compacto numa das topologias, o que pode concluir sobre a outratopologia?

42

(5) Considere a topologia em R gerada pelos intervalos s8, nr com n P Z.Mostre que um conjunto A R e compacto sse for majorado.

(6) Mostre que um espaco topologico com um numero finito de pontos ecompacto.

(7) Mostre que uma uniao finita de espacos compactos e compacta.(8) Seja X um conjunto ordenado com a topologia da ordem. Mostre que se

X e compacto entao X tem maximo e mınimo. Sugestao: se X nao tivermaximo, considere a cobertura pelos abertos Sa tx P X : x au, coma P X.

(9) Mostre que um conjunto X Rn tem fecho compacto sse for limitado.(10) Considere a topologia em R cujos abertos, para alem de H e R, sao os

intervalos s 8, ar. Mostre que um subespaco Y R e compacto ssetiver maximo.

(11) Considere a seguinte topologia em R: T tA R : 0 R A ou A Ru.Mostre que um subespaco Y R e compacto sse for finito ou contiver oponto 0.

(12) Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e localmente limitada se qualquerponto x P X tiver uma vizinhanca U tal que f |U e limitada. Mostre quese X e compacto, qualquer funcao localmente limitada e limitada.

(13) Dizemos que um conjunto A X e localmente finito se qualquer pontox P X tiver uma vizinhanca U tal que AXU e finito. Mostre que se X ecompacto, qualquer conjunto localmente finito e finito.

(14) Seja tUnunPN uma coleccao de abertos em X tais que

U1 U2 Un X ¤Uk .

Mostre que, dado qualquer compacto K X, existe um n P N tal queK Un.

(15) Seja pxnq uma sucessao convergente num espaco topologico X com limitea. Mostre que o conjunto txn : n P Nu Y tau e compacto.

(16) Sejam T , T 1 topologias num conjunto X tais que X e compacto deHausdorff em ambas as topologias. Mostre que, ou T T 1, ou T e T 1

nao sao comparaveis.(17) Seja B uma base de X. Mostre que X e compacto sse qualquer cobertura

de X por elementos de B tiver uma subcobertura finita. Sugestao: dadauma cobertura tUαu, para cada α e cada x P Uα tome um Bα,x P B talque x P Bα,x e Bα,x Uα.

(18) Chamamos toro a S1S1 R2R2 R4. Mostre que a funcao f : R4 ÑR3 definida por fpx, y, z, wq p2xqz, p2xqw, y induz um mergulho

do toro em R3.(19) Mostre directamente que num espaco metrico X um conjunto compacto

A e fechado, do seguinte modo: dado um ponto a P A A, considere acobertura de A pelos abertos

X Bpa, 1nq(

nPN.(20) Um espaco X diz-se Lindelof se qualquer cobertura aberta de X tiver

uma subcobertura contavel.

43

(a) Mostre que se f : X Ñ Y e contınua e A X e Lindelof, entao fpAqe Lindelof.

(b) Mostre que se X e Lindelof e A X e fechado entao A e Lindelof.(c) Mostre que, se B for uma base da topologia, X e Lindelof sse qual-

quer cobertura por elementos de B tiver uma subcobertura finita.(d) Mostre que se X tem uma base contavel B, entao X e Lindelof.

(21) Sejam Tf e Tc respectivamente as topologias cofinita e cocontavel em R.(a) Mostre que Tf e Tc sao Lindelof.(b) Averigue se Tf e Tc sao compactas.

(22) Mostre que um espaco compacto de Hausdorff X e metrizavel sse tiveruma base contavel. Sugestao: para cada n P N cubra X por bolas de raio1n.

(23) Representamos por I2o o quadrado r0, 1sr0, 1s com a topologia da ordem

do dicionario.(a) Mostre que I2

o e compacto.(b) Mostre que I2

o e normal.(c) Mostre que I2

o nao e separavel.(d) Mostre que I2

o nao e metrizavel. Sugestao: exercıcio 22.(24) Seja p : X Ñ Y uma funcao contınua e sobrejectiva.

(a) Mostre que p e fechada sse satisfizer o lema do tubo, isto e, se dadoqualquer y P Y e qualquer aberto U X tal que p1

tyu U

existir uma vizinhanca V P Vy tal que p1pV q U .(b) Mostre que se p for fechada e X for normal entao Y e tambem

normal.(c) A funcao p diz-se perfeita se for fechada e para cada y P Y , p1

tyufor compacto. Mostre que se p for perfeita, entao X e compacto sseY for compacto.

(d) Mostre que, se p e perfeita e X e Hausdorff, entao Y e tambemHausdorff.

(e) Mostre que, se p e perfeita e X e T3, entao Y e tambem T3.(25) Seja C Rn compacto e convexo (isto e, se x, y P C entao o segmento

entre x e y esta contido em C). Seja BC a fronteira de C. Assumindoque 0 P intC mostre que:(a) Qualquer semirecta com inıcio na origem intersecta BC em exacta-

mente um ponto.(b) A funcao f : BC Ñ Sn1 definida por fpxq xx e um homeomor-

fismo.(c) A funcao g : Bn Ñ C definida por gpxq xf1pxxq e um home-

omorfismo. Sugestao: para provar continuidade na origem comecepor mostrar que existe uma constante M tal que gpxq ¤Mx.

44

11. QuocientesDefinicao 11.1. Seja uma relacao de equivalencia num conjunto X. Cha-mamos quociente, e representamos por X, o conjunto das classes de equi-valencia. Chamamos projeccao a funcao p : X Ñ X tal que ppxq rxs.Dado um espaco topologico X com uma relacao de equivalencia dizemos queum conjunto U X e aberto sse p1pUq for aberto em X. Chamamos aX um espaco quociente.

Exemplo 11.1. Definimos uma relacao de equivalencia na esfera Sn dizendoque x y se e so se x y ou x y. Chamamos espaco projectivo aoquociente: Pn Sn.

Como p e sobrejectiva temos pp1pBq B para qualquer B V . Um

conjunto A X diz-se saturado se A p1ppAq. Ha uma correspondencia

um para um entre os abertos em X e os abertos saturados em X dadapor p e p1:

Dado um aberto saturado U X o conjunto ppUq e um aberto emX.

Dado um aberto V X, o conjunto p1pV q e um aberto saturadopois p

p1pV q V .

Exemplo 11.2. Vamos ver que Pn e Hausdorff. Dados a P Sn e r ¡ 0representamos por Bpa, rq tb P Sn : b a ru as bolas em Sn. Dadosx, y P Sn com rxs rys seja Uε Bpx, εq Y Bpx, εq e seja Vε Bpy, εq YBpy, εq. Entao Uε e Vε sao abertos saturados e para ε suficientementepequeno temos UεXVε H logo ppUεq e ppVεq sao vizinhancas disjuntas derxs e de rys respectivamente.

E importante ter presente que em geral umquociente nao e Hausdorff. Defacto X e T1 sse as classes de equivalencia forem subconjuntos fechadosde X.

Teorema 11.1. Seja X um espaco topologico com uma relacao de equi-valencia , e seja f : X Ñ Y uma funcao contınua tal que fpxq fpyqsempre que x y. Entao a funcao f : X Ñ Y definida por f

rxs fpxqe contınua.

Demonstracao. Seja p : X Ñ X a projeccao. Entao f f p. Dado um

aberto A Y , como f e contınua f1pAq p1f1pAq e aberto, logo

f1pAq e aberto. Assim, f e contınua.

Definicao 11.2. Uma funcao sobrejectiva f : X Ñ Y diz-se um quocientese tiver a seguinte propriedade: um conjunto A Y e aberto sse f1pAq foraberto.

Uma funcao sobrejectiva f : X Ñ Y induz uma relacao de equivalenciaem X: dizemos que x y sse fpxq fpyq. Entao a funcao f : X Ñ Y

definida por frxs fpxq e bijectiva.

45

Teorema 11.2. Uma funcao contınua e sobrejectiva f : X Ñ Y e um quo-ciente sse a funcao induzida f : X Ñ Y for um homeomorfismo.

Demonstracao. Dado um aberto A Y , f1pAq p1pf1pAqq pelo que

f1pAq e aberto sse f1pAq for aberto. Assim:

(1) Se f for um homeomorfismo, A e aberto sse f1pAq for aberto, ssef1pAq for aberto, pelo que f e um quociente.

(2) Se f for um quociente, A e aberto sse f1pAq for aberto, sse f1pAqfor aberto, pelo que f e um homeomorfismo.

Teorema 11.3. Seja X um espaco compacto, Y um espaco de Hausdorff.Entao qualquer funcao contınua e sobrejectiva f : X Ñ Y e um quociente.

Demonstracao. O espaco X ppXq e compacto e a funcao f e contınua

e bijectiva, logo f e um homeomorfismo.

Exemplo 11.3. Seja r0, 1s o quociente obtido identificando os pontos 0 e 1.A funcao fptq

cosp2πtq, sinp2πtq induz um homeomorfismo entre r0, 1se o cırculo S1. Assim, o toro S1 S1 e homeomorfo a r0, 1s r0, 1s,que e o quociente do quadrado r0, 1s r0, 1s obtido identificando os ladosopostos.

Exemplo 11.4. Seja B2 tpx, yq P R2 : x2 y2 ¤ 1u e seja f : B2 Ñ S2

a funcao definida por fpx, yq x, y,

a1 x2 y2

. A composicao de f

com a projeccao p : S2 Ñ S2 P2 induz um homeomorfismo entre oquociente de B2 obtido identificando os pontos de S1 B2 diametralmenteopostos e P2. Como B2 e homeomorfo ao quadrado r0, 1s r0, 1s, temos queP2 e homeomorfo a um quociente do quadrado obtido identificando os ladosopostos, mas esta identificacao e obviamente diferente da usada para obtero toro.

Exercıcios

(1) Seja X um espaco topologico, uma relacao de equivalencia. Mostreque o quociente X e T1 sse as classes de equivalencia forem conjuntosfechados.

(2) Considere a seguinte relacao de equivalencia em R: x y sse x λy,com λ 0. Descreva a topologia quociente em R.

(3) Considere a seguinte relacao de equivalencia em R: x y sse x y 0ou xy ¡ 0. Descreva a topologia quociente em R.

(4) Mostre que a funcao i : R3 Ñ R4 dada por ipx, y, zq px, y, z, 0q induzuma funcao contınua P2 Ñ P3.

(5) Seja p : R2 Ñ X o quociente de R2 pela relacao de equivalencia

px0, y0q px1, y1q ô x0y0 x1y1

(a) Mostre que a funcao f : R2 Ñ R definida por fpx, yq xy induz

uma funcao contınua f : X Ñ R tal que f p f .

46

(b) Mostre que X e homeomorfo a R. Sugestao: use a funcao g : RÑ R2

definida por gptq pt, 1q para construir uma inversa.(6) Seja p : R2 Ñ X o quociente de R2 pela relacao de equivalencia

px0, y0q px1, y1q ô x20 y2

0 x21 y2

1

Mostre que a funcao f : R2 Ñ R definida por fpx, yq x2 y2 induz umhomeomorfismo entre X e um subespaco de R.

(7) Seja p : R2 Ñ X o quociente de R2 pela relacao de equivalencia

px0, y0q px1, y1q ô x0 y20 x1 y2

1

O espaco X e homeomorfo a um espaco familiar. Qual?(8) Mostre que o quociente de R pela relacao de equivalencia x y ô xy P

Z e homeomorfo a S1.(9) Considere a funcao f : CÑ C definida por fpzq z2.

(a) Mostre que f induz uma funcao g : S1 Ñ S1 que e um quociente.(b) Use g para mostrar que P1 e homeomorfo a S1.

(10) Dado um espaco topologico X, chamamos cone em X e representamos porCX o quociente de X r0, 1s pela relacao de equivalencia que identificatodos os pontos da forma px, 0q, com x P X.(a) Mostre que CSn e homeomorfo a bola fechada Bn1. Sugestao:

considere a funcao f : Sn r0, 1s Ñ Bn1 definida por fpx, tq tx.(b) Mostre que, se X for compacto, entao CX tambem e compacto.

(11) Mostre que a funcao f : S2 Ñ R6 definida por fpx, y, zq px2, y2, z2, xy, xz, yzqinduz um mergulho de P2 em R6.

(12) Considere a funcao f : r1, 1s Ñ S1 definida por fpxq px,?1 x2q.(a) Seja p : S1 Ñ P1 a projeccao. Mostre que p f e um quociente.(b) Mostre que P1 e homeomorfo a S1.

(13) Mostre que Pn e homeomorfo ao quociente da bola Bn tx P Rn : x ¤1u obtido identificando os pontos da fronteira diametralmente opostos.

(14) Dado um espaco topologico X, chamamos suspensao de X ao quocientede X r0, 1s pela relacao de equivalencia que identifica todos os pontosda forma px, 0q e identifica tambem todos os pontos da forma px, 1q comx P X. mostre que a suspensao da esfera Sn1 e homeomorfa a Sn.

(15) Seja p : R2ztp0, 0qu Ñ X o quociente obtido identificando os pontos pelarelacao de equivalencia: px, yq pλx, λyq, para qualquer λ P Rzt0u. SejaA R t0u R2 o eixo dos xx.(a) Mostre que a funcao f : R2zAÑ R definida por fpx, yq xy induz

uma funcao contınua f : XzppAq Ñ R tal que f f p.(b) Mostre que f e um homeomorfismo. Sugestao: use a funcao g : RÑ

R2 definida por gptq pt, 1q para construir f1.(c) Mostre que X e compacto. Sugestao: mostre que a restricao de p a

S1 R2 e sobrejectiva.(16) Seja X rπ2, π2s R e considere as relacoes de equivalencia obtidas

a partir das seguintes particoes de X:

47

(i) As rectas x π2 e os graficos das funcoes y tanx c, comc P R.

(ii) As rectas x π2 e os graficos das funcoes y p1 cosxq c, comc P R.

Mostre que apenas um dos quocientes e Hausdorff.

12. Espacos localmente compactosDefinicao 12.1. Uma compactificacao dum espaco topologico X e umespaco compacto de Hausdorff Y tal que X Y e X Y .

Mais geralmente, por abuso de linguagem, dizemos que um espaco com-pacto de Hausdorff Y e uma compactificacao de X se existir um mergulhof : X Ñ Y tal que fpXq Y .

Exemplo 12.1. O intervalo r0, 1s e uma compactificacao de s0, 1r. O cırculoS1 e tambem uma compactificacao pois temos um mergulho f : s0, 1r Ñ S1

dado por fptq cosp2πtq, sinp2πtq.

Definicao 12.2. Dizemos que um espaco topologico X e localmente com-pacto se para qualquer ponto x P X existir um compacto K X tal quex P intK.

Teorema 12.1. Seja X um espaco de Hausdorff localmente compacto (masnao compacto). Entao existe uma compactificacao Y de X tal que o conjuntoY X tem apenas um ponto.

Demonstracao. Tomamos Y X Y t8u e dizemos que um conjunto A Ye aberto se A X for aberto em X ou Y A for compacto.

Chamamos a Y a compactificacao de Alexandrov (ou one point compac-tification) de X. Esta compactificacao e unica a menos de homeomorfismo:

Teorema 12.2. Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff SejaY um espaco compacto de Hausdorff. Se existir um ponto y P Y tal queY tyu e homeomorfo a X entao Y e homeomorfo a compactificacao deAlexandrov de X.

Demonstracao. Seja f : X Ñ Y tyu um homeomorfismo. Definimos f : XYt8u Ñ Y por fpxq fpxq para x P X e fp8q y. Vamos ver que a funcao

f e contınua. Dado um aberto U Y , se y R U temos f1pUq f1pUq.Se y P U temos f1pUq X f1pY Uq e como Y U e compacto e a

funcao f1 e contınua, f1pY Uq e compacto logo f1pUq e aberto.

Exemplo 12.2. S1 e homeomorfo a compactificacao de Alexandrov de s0, 1r.

Exercıcios

(1) Descreva o fecho N de N na recta acabada e mostre que N e homeomorfoa compactificacao de Alexandrof de N.

48

(2) Mostre que a compactificacao de Alexandrof de N e homeomorfa a 0, 1, 1

2 ,13 ,

14 , . . .

( R.

(3) Seja T a topologia em R gerada pelos intervalos da forma s8, nr, comn P Z.(a) Mostre que pR,T q e localmente compacto.(b) Mostre que o unico aberto com fecho compacto e o conjunto vazio.

(4) Mostre que a compactificacao de Alexandrof de Rn e homeomorfa a Sn

(com n P N).(5) Mostre que os seguintes espacos topologicos sao localmente compactos:

(a) Um espaco com a topologia discreta.(b) R com a topologia em que os abertos sao os conjuntos que contem o

zero, mais o conjunto vazio.(c) Um conjunto ordenado obedecendo ao axioma do supremo, com a

topologia da ordem.(d) R com a topologia em que os abertos sao os intervalos s8, ar, mais

o conjunto vazio e o R.(6) Mostre que se X e compacto de Haudforff, a unica compactificacao de X

e o proprio X.(7) Mostre que Q nao e localmente compacto. Sugestao: tome x R Q e use a

propriedade da interseccao finita com os intervalos da forma rxε, xεs.(8) Seja X localmente compacto e f : X Ñ Y uma funcao contınua.

(a) Mostre que se f e aberta entao fpXq e localmente compacto.(b) Mostre atraves dum exemplo que em geral fpXq pode nao ser local-

mente compacto. Sugestao: fpXq Q.(9) Mostre que a compactificacao de Alexandrof de

px, yq P R2 : xy 1(

R2 e homeomorfa a uniao de dois cırculos em R2 com um ponto emcomum.

(10) Mostre que um espaco de Hausdorff e localmente compacto sse qualquerponto tiver uma vizinhanca cujo fecho e compacto.

(11) Mostre que um espaco localmente compacto de Hausdorff e regular.(12) Mostre que num espaco localmente compacto de Hausdorff, para qualquer

vizinhanca U dum ponto a existe uma vizinhanca V de a tal que V ecompacto e V U .

(13) Seja X um espaco com a topologia induzida por uma metrica d.(a) Mostre que X e localmente compacto sse para qualquer x P X existir

um δ ¡ 0 tal que a bola fechada ty P X : dpx, yq ¤ δu e compacta.(b) Mostre que o espaco `8 das sucessoes limitadas com a topologia da

metrica nao e localmente compacto.(c) Seja X um espaco vectorial com um produto interno, e seja teαu

uma base ortonormada. Mostre que X e localmente compacto ssetiver dimensao finita. Sugestao: se eα eβ 1 e xeα, eβy 0

entao dpeα, eβq ?

2.(14) Seja Y uma compactificacao de X tal que X e aberto em Y . Mostre que

X e localmente compacto.

49

(15) SejaX um espaco localmente compacto de Hausdorff. Quais das seguintesafirmacoes sao verdadeiras (comparar com o exercıcio 22 na pagina 43)?(a) Se X tiver uma base contavel entao e metrizavel.(b) Se X for metrizavel entao tem uma base contavel.(c) Se Y for metrizavel entao X tem uma base contavel.

Sugestao: topologia discreta.(16) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff com uma base

contavel.(a) Mostre que existe uma coleccao contavel de compactos tKnu tais

que para qualquer compacto K X existe um n tal que K Kn.Sugestao: considere unioes finitas de fechos de elementos da base.

(b) Mostre que a compactificacao de Alexandrov de X tem uma basecontavel e portanto e metrizavel.

Seja B8 a coleccao dos complementos de unioes finitas de(17) Dizemos que uma funcao contınua f : X Ñ Y e propria se para qualquer

compacto K Y , f1pKq for tambem compacto.(a) Sejam X, Y espacos localmente compactos de Hausdorff. Mostre

que uma funcao f : X Ñ Y e propria sse o prolongamento f : X Yt8Xu Ñ Y Y t8Y u as compactificacoes de Alexandrov definido por

fp8Xq 8Y for uma funcao contınua.(b) Mostre que uma funcao propria e bijectiva entre espacos localmente

compactos de Hausdorff e um homeomorfismo.(c) Mostre que um homeomorfismo f : X Ñ Y entre espacos localmente

compactos de Hausdorff pode ser prolongado as compactificacoes deAlexandrov.

(18) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff. Mostre que qual-quer subespaco de X que seja aberto ou fechado e tambem localmentecompacto de Hausdorff.

(19) Um espaco topologico X diz-se compactamente gerado se a seguintecondicao se verificar: um conjunto U X e aberto sse para qualquercompacto K X, K XA for compacto.(a) Mostre que um espaco localmente compacto e compactamente ge-

rado.(b) Mostre que um espaco que satisfaca o primeiro axioma de numera-

bilidade e compactamente gerado.(c) Mostre que, se X e compactamente gerado, uma funcao f : X Ñ Y

e contınua sse para qualquer compacto K X, f |K for contınua.(20) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dado

um compacto K X e um aberto A K, existe uma funcao contınuaf : X Ñ R tal que fpxq 1 para qualquer x P K e tx P X : fpxq 0u A.

(21) Um espaco X diz-se Lindelof se qualquer cobertura aberta de X tiveruma subcobertura contavel. Mostre que um espaco localmente compacto

50

de Hausdorff X e Lindelof se e so se existir uma sucessao de compactospKnq tais que X

Kn e Kn Kn1 para qualquer n P N.(22) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dado

um fechado F e um compacto K tal que F X K H existem abertosdisjuntos U e V tais que F U e K V .

(23) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff. Mostre que, dadoum fechado F e um compacto K tal que F XK H existe uma funcaocontınua f : X Ñ r0, 1s tal que f |F 0 e f |K 1.

(24) Mostre que X Y e localmente compacto sse X e Y ambos forem local-mente compactos.

(25) Seja X um espaco localmente compacto de Hausdorff e seja C0pXq oconjunto das funcoes f : X Ñ R tais que, para qualquer ε ¡ 0, existe umcompacto K X tal que |fpxq| ε para x R K (dizemos que f temlimite zero no infinito).(a) Mostre que existe o prolongamento por continuidade de f a compac-

tificacao de Alexandroff de X.(b) Mostre que, dado um compacto K existe um aberto A tal que K A

e A e compacto.(c) Considere a topologia em C0pXq gerada por Bpf, εq

g P C0pXq :

sup |fpxq gpxq| ε(. Mostre que o conjunto CcpXq das funcoes f

que se anulam fora dum compacto e denso em C0pXq.

13. Espacos metricos completosUm espaco metrico e um par pX, dq em que d e uma distancia no conjuntoX.

Definicao 13.1. Dado um espaco metrico X e um conjunto A X, cha-mamos diametro de A a diamA sup

dpx, yq : x, y P A(. Dizemos que A

e limitado se diamA 8. Dizemos que uma funcao e limitada se o seucontradomınio for um conjunto limitado.

Exemplo 13.1. O diametro do quadrado r0, 1s r0, 1s R2 e?

2.

Teorema 13.1. Para qualquer A X temos diamA diamA.

Demonstracao. Claramente diamA diamA. Dado ε ¡ 0 sejam x, y P Atais que dpx, yq ¡ diamA1

3ε e tomemos x1, y1 P A tais que dpx, x1q, dpy, y1q 13ε. Entao

diamA 13ε dpx, yq ¤ dpx, x1q dpx1, y1q dpy1, yq dpx1, y1q 2

3ε

logo dpx1, y1q ¡ diamA ε.

Recorde que uma sucessao pxnqnPN num espaco metrico X converge paraum ponto a P X sse para qualquer ε ¡ 0 existir um p tal que dpxn, aq εpara qualquer n ¡ p.

51

Definicao 13.2. Uma sucessao pxnq num espaco metrico X diz-se umasucessao de Cauchy se para qualquer ε ¡ 0 existir um p P N tal que, paraquaisquer n,m ¡ p, temos dpxn, xmq ε.

Teorema 13.2. Dada uma sucessao pxnq, para cada k P N seja Xk txk, xk1, . . . , xn, . . .u. Entao pxnq e de Cauchy sse lim

kÑ8diamXk 0.

Demonstracao. Se pxnq e Cauchy, dado ε ¡ 0 existe p tal que n,m ¡p ñ dpxn, xmq ε. Mas entao diamXk ε para qualquer k ¥ p logolim diamXk 0. Se lim diamXk 0, dado ε ¡ 0 existe p tal que k ¡ p ñdiamXk ε. Mas entao dpxn, xmq ε para quaisquer n,m ¥ k ¡ p logopxnq e Cauchy.

Teorema 13.3. Qualquer sucessao convergente e de Cauchy.

Demonstracao. Seja pxnq uma sucessao com limite a. Vamos ver que pxnq ede Cauchy. Dado ε ¡ 0 tomamos p tal que n ¡ pñ dpxn, aq ε2. Entao,se n,m ¡ p temos

dpxn, xmq ¤ dpxn, aq dpa, xmq ε

Mas nem todas as sucessoes de Cauchy sao convergentes:

Exemplo 13.2. Uma sucessao em Q com limite irracional e de Cauchy poise convergente em R, mas nao e convergente em Q.

Definicao 13.3. Dizemos que um espaco metrico X e completo se todas assucessoes de Cauchy convergirem.

A nocao de espaco completo tem propriedades semelhantes a nocao deespaco compacto.

Teorema 13.4. Seja X um espaco metrico completo. Entao um subespacoY X e completo sse Y for fechado em X.

Demonstracao. Se Y e fechado, uma sucessao de Cauchy em Y converge emX e o limite pertence a Y . Se Y nao e fechado existe uma sucessao pxnq emY convergente em X mas com limite limxn R Y . Entao pxnq e de Cauchymas nao converge em Y .

Teorema 13.5. Um espaco metrico X e completo sse para qualquer sucessaode conjuntos fechados encaixados F1 F2 F3 tais que diamFk Ñ 0,se tiver

k Fk H.

Demonstracao. Se X e completo, para cada k P N tomamos um pontoxk P Fk. A sucessao pxkq e de Cauchy, logo converge, e limxk P

n Fn. Re-

ciprocamente, dada uma sucessao de Cauchy pxkq, seja Fn txn, xn1, . . .u.Entao diamFn Ñ 0 e tomando x P n Fn temos limk xk x.

Como corolario imediato temos:

Teorema 13.6. Rk e um espaco metrico completo.

52

Demonstracao. Dada uma sucessao de conjuntos fechados encaixados tFkutais que diamFk Ñ 0, tomamos um fechado Fn com diametro finito. EntaoFn e compacto e a coleccao tFn, Fn1, . . .u tem a PIF, logo

Fk H.

Assim como um espaco localmente compacto de Hausdorff pode ser com-pactificado, temos:

Teorema 13.7. Para qualquer espaco metrico X existe um espaco metricocompleto Y tal que X Y e X Y . Chamamos a Y o completado de X.O completado e unico a menos de isometria.

Definicao 13.4. Dizemos que um espaco topologico X e um espaco de Bairese a uniao contavel de fechados de interior vazio tiver interior vazio.

Passando ao complementar vemos que um espaco X e de Baire sse ainterseccao contavel de abertos densos for densa.

Teorema 13.8 (Baire). Qualquer espaco metrico completo X e um espacode Baire.

Demonstracao. Seja pAnq uma sucessao de abertos densos. Dado um abertoU , vamos mostrar que U X

An H. Como A0 e denso, A0 X U H.

Entao regularidade implica que podemos tomar um aberto U1 tal que U1 A1 X U e diamU1 1. Prosseguimos recursivamente tomando Un1 comdiametro inferior a 1pn1q e tal que Un1 UnXAn. Entao UX

An

Un H o que completa a demonstracao.

Exemplo 13.3. O espaco R nao e contavel. Se fosse seria uma uniao contavelde conjuntos com um so ponto pelo que nao poderia ser completo.

Exercıcios

(1) Mostre que o diametro duma bola de raio r e menor ou igual a 2r.(2) Mostre que se diamA δ e x P A entao A Bpx, δq.(3) Mostre que um espaco X tem diametro finito sse for igual a uma bola

Bpa, rq.(4) Considere as seguintes sucessoes em R. Usando a definicao de sucessao

de Cauchy, mostre que:(a) A sucessao xn n nao e uma sucessao de Cauchy.(b) A sucessao xn 1 e uma sucessao de Cauchy.(c) A sucessao xn p1qn nao e uma sucessao de Cauchy.(d) A sucessao xn 1n e uma sucessao de Cauchy. Sugestao: para

n ¡ k temos |xn xk| xk.(5) Calcule diamtxn, xn1, . . . u para xn 1n, xn p1qn e xn p1qnn.(6) De exemplos de conjuntos Fk R com F1 F2 F3 tais que:

(a) diamFk Ñ 0 eFk H.

(b) Os conjuntos Fk sao fechados eFk H.

(c) Os conjuntos Fk nao sao fechados, diamFk nao tende para zero eFk tem exactamente um elemento.

53

(7) Seja pxnq uma sucessao num espaco metrico tal que dpxn, xkq ¥ 1 paraquaisquer k n. Mostre que pxnq nao e uma sucessao de Cauchy.

(8) Justifique que Q nao e completo e determine o seu completado.(9) Mostre que Z e um espaco metrico completo. Note que Z e a uniao

contavel de conjuntos com um so elemento. Porque e que isto nao con-tradiz o Teorema de Baire?

(10) Indique justificando quais das seguintes sucessoes sao sucessoes de Cauchye quais sao convergentes nos espacos indicados:(a) xn n em s0,8r.(b) xn 1n em s0,8r.(c) xn 1n em Q.

(11) Seja X um espaco metrico completo, A X. Mostre que o completadode A e A.

(12) Seja pxnq uma sucessao tal que, para qualquer m ¡ n temos dpxn, xmq ¤1n. Mostre que pxnq e uma sucessao de Cauchy.

(13) Seja X um espaco metrico, e seja pxnq uma sucessao convergindo paraum ponto a P X. Mostre que para qualquer ε ¡ 0 existe um n P N talque Bpxn, 1nq Bpa, εq.

(14) Mostre que uma sucessao de Cauchy e limitada.(15) Seja X um espaco metrico.

(a) Mostre que se existir um ε ¡ 0 tal que todas as bolas de raio ε temfecho compacto, entao X e completo.

(b) De um exemplo dum espaco metrico localmente compacto que naoseja completo.

(16) Dizemos que uma funcao d : X X Ñ r0,8r e uma pseudo-metricase para quaisquer x, y, z P X se tiver dpx, xq 0, dpx, yq dpy, xq edpx, yq dpy, zq ¥ dpx, zq.(a) Mostre que a relacao x y sse dpx, yq 0 e uma relacao de equi-

valencia em X.(b) Mostre que d induz uma funcao d : X X Ñ r0,8r.(c) Mostre que d e uma metrica em X.

(17) Seja Z um espaco merico e seja A Z um subconjunto denso tal quequalquer sucessao de Cauchy em A converge em Z. Mostre que Z ecompleto. Sugestao: dada uma sucessao de Cauchy pznq em Z, para cadan P N tome an P A tal que dpan, znq 1n.

(18) Seja X um espaco metrico. Vamos mostrar a existencia do completadode X.(a) Sejam pxnq, pynq sucessoes de Cauchy em X. Mostre que existe em

R o limite lim dpxn, ynq.(b) Seja Y o conjunto das sucessoes de Cauchy em X e dadas sucessoes

pxnq, pynq P Y seja Dpxnq, pynq lim dpxn, ynq. Mostre que D e

uma pseudo-metrica em Y .(c) Seja Y o quociente obtido identificando os pontos com distancia

zero entre si (exercıcio 16). Seja h : X Ñ Y a funcao que leva um

54

ponto x P X na classe de equivalancia da sucessao constante igual ax. Mostre que h e uma isomoetria (e portanto e um mergulho).

(d) Dada uma sucessao de Cauchy x pxnq P Y , mostre que limhpxnq x P Y (em particular, hpXq e denso em Y ). Sugestao:

Dhpxnq,x

limkÑ8

dpxn, xkq.(e) Mostre que Y e completo. Sugestao: exercıcio 17.

(19) Seja R o conjunto das funcoes f : r1, 1s Ñ R integraveis a Riemanne seja C R o subconjunto das funcoes contınuas. Dados f, g P Rdefinimos

dpf, gq » 1

1

fpxq gpxqConsidere a sucessao de funcoes pfnq em C definida por

fnpxq

$'&'%1 se 1 ¤ x ¤ 1nnx se 1n ¤ x ¤ 1n1 se 1n ¤ x ¤ 1

(a) Mostre que d e apenas uma pseudo-metrica (exercıcio 16), mas arestricao de d a C e uma distancia.

(b) Confirme que para cada n P N a funcao fn e contınua.(c) Mostre que, para cada x P R, a sucessao

fnpxq

converge. Note que

a funcao fpxq lim fnpxq nao e contınua.(d) Mostre que lim dpfn, fq 0.(e) Seja p : R Ñ R o quociente pela relacao f g ô dpf, gq 0, e

considere a metrica induzida em R (exercıcio 16). Mostre que arestricao de p a C e uma isometria.

(f) Mostre que C nao e completo com a distancia d.(20) Mostre que se um espaco metrico completo X for contavel, tem que conter

pontos isolados.(21) Mostre que um espaco compacto de Hausdorff e um espaco de Baire.(22) Seja tfnunPN uma coleccao de funcoes contınuas fn : R Ñ R tais que,

para qualquer n P N e qualquer intervalo aberto nao vazio sa, br, existeum x P sa, br tal que fnpxq ¡ 0. Mostre que para qualquer intervaloaberto nao vazio sa, br existe um x P sa, br tal que, para qualquer n P N,temos fnpxq ¡ 0.

(23) Seja f : R Ñ R uma funcao contınua tal que para qualquer a P r12 , 1s

limnÑ8

fpnaq 0. Mostre que limxÑ8

fpxq 0. Sugestao: aplique o Teo-

rema de Baire aos conjuntos

AN,ε "a P r1

2 , 1s : @n¥N

fpanq ¤ ε

*.

(24) Um espaco metrizavel X diz-se topologicamente completo se existir umametrica para o qual X e completo, ou seja, se X for homeomorfo a umespaco metrico completo.(a) Mostre que s0, 1r e t1, 1

2 ,13 , . . .u R sao topologicamente completos.

55

(b) Mostre que um subespaco fechado dum espaco topologicamente com-pleto e topologicamente completo.

(c) Mostre que o produto contavel de espacos topologicamente comple-tos e topologicamente completo (na topologia produto). Sugestao:use a metrica do exercıcio 11 na pagina 38; dada uma sucessao deCauchy, comece por mostrar que as sucessoes das coordenadas con-vergem.

(d) Mostre que um subespaco aberto Y dum espaco topologicamentecompleto X e topologicamente completo. Sugestao: considere o mer-gulho f : Y Ñ X R definido por fpxq

x, 1dpx,X Y q.(e) Seja tUnu e uma coleccao contavel de abertos num espaco topolo-

gicamente completo X. Mostre que Y n Un e topologicamente

completo. Sugestao: Considere o mergulho diagonal f : Y Ñ ±Un

definido por fpxq px, x, . . . q.(f) Mostre que RQ e topologicamente completo.(g) Mostre que Q nao e topologicamente completo, ou seja, que nao

existe nenhuma metrica em Q para a qual Q seja completo. Sugestao:Teorema de Baire.

14. Funcoes uniformemente contınuasRecorde que uma funcao f : X Ñ Y entre espacos metricos X e Y e contınuanum ponto a P X sse para qualquer ε ¡ 0 existir um δ ¡ 0 tal que, sedXpx, aq δ, entao dY

fpxq, fpaq ε.

Definicao 14.1. Sejam X, Y espacos metricos. Dizemos que uma funcaof : X Ñ Y e uniformemente contınua se, para qualquer ε ¡ 0, existir umδ ¡ 0 tal que, para quaisquer x, y P X, se dpx, yq δ entao dpfpxq, fpyqq ε.

Exemplo 14.1. Dado um conjunto A X seja f : X Ñ R a funcao definidapor fpxq dpx,Aq inftdpx, z : z P Au. Vamos ver que f e uniformementecontınua. Dado ε ¡ 0 tomamos δ ε. Sejam x, y P X tais que dpx, yq ε.Podemos assumir sem perda de generalidade que fpxq ¡ fpyq. Entao paracada z P A temos

fpxq ¤ dpx, zq ¤ dpx, yq dpy, zq ε dpy, zqTomando o ınfimo sobre todos os pontos z P A obtemos fpxq ¤ ε fpyq.Como fpxq ¥ fpyq obtemos |fpxq fpyq| ε.

Uma funcao uniformemente contınua e contınua mas o recıproco e falso:

Exemplo 14.2. A funcao f : R Ñ R definida por fpxq x2 nao e unifor-memente contınua. Seja ε 1

2 . Dado qualquer δ ¡ 0 tomamos x ¡ 1δ e

y x 12δ. Entao dpx, yq 1

2δ δ mas

dfpxq, fpyq |x2 y2| py xqpy xq ¡ xdpx, yq ¡ 1

2 ε .

No entanto uma funcao contınua definida num compacto e uniformementecontınua. Antes de provarmos este resultado precisamos dum lema.

56

Lema 14.1 (Lema do numero de Lebesgue). Seja X um espaco metricocompacto e seja U uma cobertura de X. Entao existe um δ ¡ 0 (chamadode numero de Lebesgue da cobertura) tal que qualquer conjunto de diametroinferior a δ esta contido num dos abertos da cobertura.

Demonstracao. Comecamos por tomar uma subcobertura finita tU1, . . . , Unu.Seja f : X Ñ R a funcao definida por

fpxq 1

n

n

i1

dpx,X Uiq

Entao f e contınua e positiva logo pelo Teorema de Weierstrass possuimınimo δ min f ¡ 0. Dado um conjunto B X com diametro infe-rior a δ seja a P B. Entao fpaq ¥ δ logo existe i tal que dpa,X Uiq ¥ δlogo B Ui.

Teorema 14.1. Seja X um espaco compacto. Entao qualquer funcao f : X ÑY contınua e uniformemente contınua.

Demonstracao. Seja ε ¡ 0. Entao, para qualquer a P X existe um δa talque d

fpxq, fpaq ε2 para x P Bpa, δaq. Seja δ um numero de Lebesgue

da cobertura Bpa, δa2q

(aPX

. Entao, se dpx, yq δ temos x, y P Bpa, δaqpara algum a P X, donde segue que

dfpxq, fpyq ¤ d

fpxq, fpaq d

fpaq, fpyq ε2 ε2 ε .

Teorema 14.2. Uma funcao uniformemente contınua preserva sucessoesde Cauchy.

Demonstracao. Seja pxnq uma sucessao de Cauchy em X e seja f : X Ñ Yuma funcao uniformemente contınua. Queremos mostrar que fpxnq e Cau-chy. Dado um ε ¡ 0, existe um δ ¡ 0 tal que dpx, yq δ ñ d

fpxq, fpyq

ε. Como pxnq e Cauchy, existe um p P N tal que n,m ¡ pñ dpxn, xmq δdonde se conclui que d

fpxnq, fpxmq

ε. Assim,fpxnq

e Cauchy.

Teorema 14.3. Dados espacos metricos X, Y com Y completo, e umafuncao uniformemente contınua f : A X Ñ Y , existe uma unica funcaouniformemente contınua f : AÑ Y tal que f |A f .

Demonstracao. Para cada x P A fixamos uma sucessao pxnq em A comlimxn x. Como f e uniformemente contınua, fpxnq e Cauchy. Definimos

fpxq lim fpxnq. A continuidade de f mostra que fpxq fpxq para x P A.

Vamos mostrar que f e uniformemente contınua. Seja ε ¡ 0. Como f euniformemente contınua, existe um δ1 ¡ 0 tal que, para quaisquer x, y P Atemos dpx, yq δ1 ñ d

fpxq, fpyq ε3. Seja δ δ13. Dados x, y P A

com dpx, yq δ, seja n P N tal que

dpxn, xq δ, dpyn, yq δ, dfpxnq, fpxq

ε3, dfpynq, fpyq

ε3 ,em que pxnq e pynq sao as sucessoes usadas na definicao de f . Entao, peladesigualdade triangular, dpxn, ynq 3δ δ1, logo d

fpxn, fpynq

ε3.

57

Usando de novo a desigualdade triangular, obtemos dfpxq, fpyq ε.

Provamos assim que f e uniformemente contınua. Para mostrar unicidade doprolongamento, note que dado qualquer prolongamento contınuo g : AÑ Ytemos gpxq lim gpxnq lim fpxnq fpxq.

14.1. Funcoes de Lipschitz e funcoes contractantes

Definicao 14.2. Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e de Lipschitz seexistir uma constante K P R tal que dpfpxq, fpyqq ¤ Kdpx, yq para quaisquerx, y P X.

Exemplo 14.3. Seja f : R Ñ R uma funcao diferenciavel com derivada limi-tada: |f 1pxq| ¤ M para uma constante M que nao depende de x. Entao,pelo Teorema de Lagrange, para quaisquer y ¡ x existe um c P sx, yr tal que

fpyq fpxqy x

f 1pcq

pelo quefpyq fpxq f 1pcq|y x| ¤M |y x|. Assim, f e Lipschitz.

Um criterio util para uma funcao ser uniformemente contınua e o seguinte:

Teorema 14.4. Uma funcao de Lipschitz e uniformemente contınua.

Demonstracao. Se dpfpxq, fpyqq ¤ Kdpx, yq para quaisquer x, y P X, dadoε ¡ 0 tomamos δ εK. Entao dpx, yq δ ñ dpfpxq, fpyqq ε.

Um exemplo importante de funcoes de Lipschitz sao as funcoes contrac-tantes:

Definicao 14.3. Sejam X, Y espacos metricos. Dizemos que uma funcaof : X Ñ Y e contractante se existir uma constante c P s0, 1r tal que, paraqualquer x, y P X, d

fpxq, fpyq ¤ cdpx, yq.

Teorema 14.5 (Ponto fixo). Seja X um espaco metrico completo, f : X ÑX uma funcao contractante. Entao existe um unico x P X tal que fpxq x.

Demonstracao. A unicidade do ponto fixo sai de imediato de dfpxq, fpyq ¤

cdpx, yq. Para provar existencia definimos uma sucessao por recorrenciatomando um qualquer x0 P X e definindo xn1 fpxnq. Entao

dpxn1, xnq dfpxnq, fpxn1q

¤ cdpxn, xn1q¤ c2dpxn1, xn2q ¤ ¤ cndpx1, x0q

logo, para qualquer m ¡ n temos

dpxn, xmq ¤ dpxn, xn1q dpxm1, xmq

¤ cn cm1 ¤8

kn

ck cn

1 c.

Como cnp1 cq Ñ 0, segue facilmente que pxnq e Cauchy. Seja x limxn.Entao x limxn1 lim fpxnq fpxq.

58

Exercıcios

(1) Mostre que uma isometria e uniformemente contınua.(2) Seja X s0, 1s R.

(a) Mostre que a sucessao xn 1n emX e de Cauchy mas nao converge,e portanto X nao e completo.

(b) Mostre que a funcao fpxq 1x restrita a X e um homeomorfismoentre X e um subespaco completo de R.

(c) Mostre que a sucessao fp1nq nao e de Cauchy.(d) Sera f uniformemente contınua?

(3) Considere a funcao f : R t0u Ñ R definida por fpxq sinp1xq.(a) Mostre que f nao e uniformemente contınua. Sugestao: seja xn

p12π 2nπq1 e seja yn p1

2π 2nπq1; calcule xn yn e fpxnq fpynq.

(b) Mostre que f e uniformemente contınua em qualquer intervalo ra,8rcom a ¡ 0. Sugestao: calcule f 1pxq.

(4) Mostre que a composicao de funcoes uniformemente contınuas e unifor-memente contınua.

(5) Dado um conjunto A X mostre que a funcao dpx,Aq e de Lipschitz.(6) Seja C

ra, bs o espaco das funcoes contınuas f : ra, bs Ñ R com a metricauniforme:

dpf, gq maxxPra,bs

|fpxq gpxq|

Mostre que a funcao Int : Cra, bs Ñ R definida por Intpfq ³b

a fpxq dxe uma funcao de Lipschitz.

(7) Seja f : RÑ R uma funcao diferenciavel tal que limxÑ8

f 1pxq 8. Mos-tre que f nao e uniformemente contınua.

(8) De um exemplo duma funcao f : r0, 1s Ñ R uniformemente contınua comderivada ilimitada.

(9) Sejam X, Y espacos metricos, f : X Ñ Y .(a) Mostre que se f e uniformemente contınua, entao para qualquer

A X a restricao f |A e uniformemente contınua.(b) Mostre que a funcao fpxq x2 e uniformemente contınua em qual-

quer conjunto limitado A R.(10) Determine um numero de Lebesgue da cobertura do intervalo r0, 1s pelos

intervalos da forma

14 i 1

3 ,14 i 1

3

com i 0, . . . , 4.

(11) Mostre que, se f : X Ñ Y e contractante, entao para qualquer conjuntoA X temos diam fpAq ¤ c diamA.

(12) Dados espacos metricos X, Y , considere o produto XY com a metrica:

dpx1, y1q, px2, y2q

max dXpx1, x2q, dY py1, y2q

((a) Mostre que as projeccoes sao uniformemente contınuas.(b) Mostre que a soma, como funcao Rn Rn Ñ Rn, e uniformemente

contınua.

59

(c) Decida se o produto por um escalar, visto como uma funcao RRn ÑRn, e ou nao uniformemente contınuo.

(13) Dizemos que duas metricas d1, d2 num conjunto X sao uniformementeequivalentes se a identidade pX, d1q Ñ pX, d2q for um homeomorfismouniforme.(a) Mostre que a metrica dpx, yq mintdpx, yq, 1u e uniformemente equi-

valente a d.(b) Mostre que, se existirem m,M ¡ 0 tais que md1px, yq ¤ d2px, yq ¤

Md1px, yq entao d1 e d2 sao uniformemente equivalentes.(c) Mostre que as seguintes metricas em Rn sao uniformemente equiva-

lentes:

d1px,yq n

i1

|xi yi| d2px,yq gffe n

i1

|xi yi|2 d8px,yq maxi|xi yi|

(14) Seja E o espaco das funcoes em escada f : r0, 1s Ñ R, isto e, funcoes fpara as quais existe uma particao 0 t0 t1 tn 1 de r0, 1s talque f e constante igual a ci em cada intervalo sti1, tir, com a distanciadpf, gq max |fpxq gpxq|. Seja I : E Ñ R a funcao

Ipfq n

i1

cipti ti1q » 1

0fptq dt .

Mostre que existe o prolongamento por continuidade de I ao completadode E .

(15) Mostre que o espaco Cr0, 1s das funcoes contınuas f : r0, 1s Ñ R com

a metrica dpf, gq maxfpxq gpxq e separavel. Sugestao: considere

funcoes cujo grafico e uma linha quebrada, com vertices em pontos decoordenadas racionais.

(16) Seja f : RÑ R uma funcao diferenciavel e seja k supx |f 1pxq|.(a) Mostre que se k 1 entao f e contractante (e portanto tem um

ponto fixo).(b) Mostre que se k ¡ 1 entao f nao e contractante. Sugestao: use a

definicao de derivada.(c) O que acontece se k 1?

15. Compacidade em espacos metricosDefinicao 15.1. Dizemos que um espaco metrico X e totalmente limitadose para qualquer δ ¡ 0 pudermos escrever X como uma uniao finita deconjuntos de diametro inferior a δ.

Teorema 15.1. (1) Um espaco X e totalmente limitado sse para qual-quer δ ¡ 0 pudermos escrever X como uma uniao finita de bolas deraio δ.

(2) Um espaco totalmente limitado e limitado.

Um espaco limitado, em geral, nao e totalmente limitado.

60

Exemplo 15.1. Seja d : XX Ñ R a metrica tal que dpx, yq 1 para x y.Entao X e limitado mas so e totalmente limitado se X for finito.

Dizemos que uma sucessao pykq e uma subsucessao duma sucessao pxnq separa todo o k P N se tiver yk xnk , em que pnkq e uma sucessao estritamentecrescente de numeros naturais.

Definicao 15.2. Seja X um espaco topologico. Dizemos que:

(1) X tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass se qualquer subcon-junto infinito de X tiver um ponto limite.

(2) X e sequencialmente compacto se qualquer sucessao em X tiver umasubsucessao convergente.

Teorema 15.2. Num espaco metrico X sao equivalentes:

(1) X e compacto.(2) X tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass.(3) X e sequencialmente compacto.(4) X e completo e totalmente limitado.

Demonstracao.

1 ñ 2: Seja A X um conjunto infinito sem pontos limite. EntaoA e fechado e para cada x P A podemos tomar uma vizinhanca Uxtal que Ux X A txu. A cobertura tUxuxPA Y tX Au nao temsubcoberturas finitas.

2 ñ 3: Seja X um espaco com a propriedade de Bolzano-Weierstrass.Seja pxnq uma sucessao e seja A txn : n P Nu o conjunto dostermos da sucessao. Se A e finito entao pxnq tem pelo menos umasubsucessao constante. Se A e infinito entao tem um ponto limite x.Vamos construir por recorrencia uma subsucessao pxnkq com limite x.Escolhemos n1 de modo a que xn1 P Bpx, 1qX

Atxu. Assumindo

que ja escolhemos pontos xn1 , . . . , xnk1tais que xnj P Bpx, 1jq X

pA txuq, seja F tx1, x2, . . . , xnk1u; entao F e fechado e x R F .

Seja U Bpx, 1kqF ; entao U e uma vizinhanca de x logo podemosescolher um ponto xnk P U X pA txuq; por definicao de U temosnk ¡ nk1. Como, para qualquer k P N, temos xnk P Bpx, 1kq,necessariamente xnk Ñ x.

3 ñ 4: Como X e sequencialmente compacto, qualquer sucessao deCauchy pxnqn tem uma subsucessao pxnkqk covergente. Dado ε ¡ 0tomamos p tal que, para quaisquer n, k ¡ p temos dpxk, xnq ε2 edpxnk , xq ε2. Como nk ¥ k obtemos

dpxk, xq ¤ dpxk, xnkq dpxnk , xq ε .

Assim, X e completo.Se X nao e totalmente limitado, existe um δ ¡ 0 tal que X nao

pode ser coberto por um numero finito de bolas de raio δ. Construi-mos entao recursivamente uma sucessao pxnq tal que dpxi, xjq ¥ δpara quaisquer i j. Comecamos por tomar um qualquer x1 P X.

61

Assumindo escolhidos x1, . . . , xn, tomamos entao xn1 R Bpx1, δq Y YBpxn, δq. A sucessao pxnq tnao tem nenhuma subsucessao con-vergente.

4 ñ 1: Provamos por absurdo. Seja X um espaco completo e total-mente limitado e seja U uma cobertura aberta de X sem subco-berturas finitas. Dizemos que um subconjunto A X e pequenose puder ser coberto por um numero finito de abertos de U ; casocontrario dizemos que A e grande. Comecamos por escrever X comouma uniao finita de conjuntos de diametro inferior a um. Pelo me-nos um desses conjuntos tem de ser grande, caso contrario X seriapequeno. Seja X1 esse conjunto. Escrevemos agora X1 como umauniao finita de conjuntos de diametro inferior a 1

2 e repetimos o ra-ciocınio. Obtemos assim uma sucessao pXnq de subconjuntos de Xtais que:

(i) Cada Xn e grande.(ii) X1 X2 X3 .(iii) diamXn 1n.Como X e completo e diamXn diamXn, existe um ponto x PXn H. Tomando um aberto U P U tal que x P U , tem que

existir um n P N tal que Xn U , contradizendo o facto de Xn sergrande, o que completa a demonstracao.

Exercıcios

(1) Prove directamente a partir da definicao que um intervalo limitado em Re totalmente limitado.

(2) Mostre que o conjunto dos termos duma sucessao de Cauchy e totalmentelimitado.

(3) Mostre que em qualquer espaco topologico X, compacidade e compaci-dade sequencial ambas implicam a propriedade de Bolzano-Weierstrass.

(4) Seja X um espaco metrico. Mostre que um conjunto A X e totalmentelimitado sse A for totalmente limitado.

(5) Mostre que um subespaco dum espaco totalmente limitado e tambemtotalmente limitado.

(6) Considere a topologia T em R gerada pelos intervalos s8, ar com a P R.Mostre que pR,T q tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass mas nao ecompacto nem sequencialmente compacto.

(7) Seja X R t0, 1u em que R tem a topologia discreta e t0, 1u tema topologia indiscreta. Mostre que X tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass mas nao e compacto nem sequencialmente compacto.

(8) Mostre que r0, 1sN com a metrica uniforme e limitado mas nao totalmentelimitado.

(9) Mostre que um subespaco de Rn e limitado sse for totalmente limitado.(10) Mostre que um espaco T1 com o primeiro axioma de numerabilidade e se-

quencialmente compacto sse tiver a propriedade de Bolzano-Weierstrass.

62

(11) Mostre, sem usar o Teorema 15.2, que:(a) Um espaco metrico compacto e totalmente limitado.(b) Um espaco totalmente limitado satisfazendo o Lema do numero de

Lebesgue e compacto.(c) Um espaco compacto e completo. Sugestao: Propriedade da inter-

seccao finita.(d) Num espaco metrico sequencialmente compacto qualquer cobertura

tem numero de Lebesgue. Sugestao: prove por contradicao.(12) Mostre que qualquer espaco topologico sequencialmente compacto obe-

dece ao Teorema de Weierstrass. Sugestao: tome uma sucessao pxnq talque lim fpxnq sup f .

(13) Dizemos que um espaco X e contavelmente compacto se qualquer cober-tura numeravel de X tiver uma subcobertura finita.(a) Mostre que um espaco contavelmente compacto tem a propriedade

de Bolzano-Weierstrass.(b) Mostre que um espaco sequencialmente compacto e contavelmete

compacto. Sugestao: dada uma cobertura numeravel tUnu sem sub-coberturas finitas, para cada n P N tome xn R U1 Y . . . Un.

(c) Seja X um espaco T1. Mostre que X e contavelmente compacto sseX tiver a propriedade de Bolzano-Weierstrass. Sugestao: adapte ademonstracao da alınea anterior.

(d) Seja X um espaco T1 com uma base contavel. Mostre que X e com-pacto sse X for contavelmente compacto, sse X tiver a propriedadede Bolzano-Weierstrass, sse X for sequencialmente compacto.

(e) Mostre que X e contavelmente compacto sse qualquer sucessao defechados encaixados C1 C2 nao vazios tiver interseccao naovazia.

(14) Seja SΩ um conjunto bem ordenado (isto e, qualquer subconjunto A SΩ

nao vazio tem mınimo) e tal que, para qualquer a P SΩ, o conjuntotx P SΩ : x au e contavel 2. Considere a topologia da ordem em SΩ.(a) Mostre que SΩ nao e compacto.(b) Mostre que SΩ satisfaz o axioma do supremo.(c) Mostre que qualquer subconjunto A SΩ contavel e majorado. Su-

gestao: a uniao com a P A dos conjuntos tx P Sω : x ¤ au e contavel.(d) Mostre que SΩ e sequencialmente compacto.

(15) Seja X o espaco das funcoes f : R Ñ t0, 1, . . . , 9u. Mostre que, na to-pologia produto, X e compacto mas nao e sequencialmente compacto.Sugestao: seja fn : RÑ t0, . . . , 9u a funcao tal que fnpxq e a casa decimaln da expansao decimal de x.

(16) Seja X um espaco topologico, f : r0, 1s Ñ X uma funcao contınua, e Uuma cobertura de X. Mostre que existe uma particao 0 t0 t1 tn 1 do intervalo r0, 1s e abertos U1, . . . , Un P U tal que a imagem porf de cada intervalo rti1, tis esta contida em Ui.

2A existencia deste conjunto pode ser provada usanto o Lema de Zorn

63

(17) Seja pxnq uma sucessao num espaco metrico completo tal que o conjuntodos termos da sucessao txn : n P Nu e totalmente limitado. Mostre quepxnq tem uma subsucessao convergente.

(18) Seja X um espaco com a propriedade de Bolzano-Weierstrass. Verdadeiroou falso:(a) Se f : X Ñ Y e contınua entao fpXq tem a propriedade de Bolzano-

Weierstrass.(b) Se f : X Ñ Y e contınua e injectiva entao fpXq tem a propriedade

de Bolzano-Weierstrass.(c) SeA X e fechado entaoA tem a propriedade de Bolzano-Weierstrass.(d) Se Z e Hausdorff e X Z entao X e fechado em Z.(e) Se Z e Hausdorff e tem o primeiro axioma de numerabilidade, e

X Z, entao X e fechado em Z.

16. Topologia uniformeSeja tXαu uma coleccao de espacos topologicos. Ja encontramos a topologiaproduto em X ±

αXα. Vamos agora estudar outra topologia em X.

Definicao 16.1. Seja tpXα, dαqu uma coleccao de espacos metricos e sejaX ±

αXα Dados x pxαq,y pyαq P X seja

ρpx,yq supαdαpxα, yαq P R

e dado r ¡ 0, seja

Bpx, rq y P X : ρpx,yq ru

Chamamos topologia uniforme em X a topologia cujos abertos sao os sub-conjuntos U X tais que:

@xPU

Dr¡0

Bpx, rq U .

Dizemos que uma sucessao pxnq em X converge uniformemente de convergirna topologia uniforme, e que converge pontualmente se convergir na topo-logia produto.

Teorema 16.1. A coleccao B Bpx, rq(

xPX,r¡0e uma base da topologia

uniforme.

Demonstracao. Se y P Bpx, εq, seja δ ερpx,yq. Entao Bpy, δq Bpx, εq.

Note que ρ nao e uma distancia pois o seu valor pode ser infinito. Noentanto:

Teorema 16.2. A topologia uniforme e metrizavel.

Demonstracao. Para cada α substituimos a distancia dα por dαpxα, yαq min

dpxα, yαq, 1

(e definimos

ρpx,yq supαdαpxα, yαq

64

Exemplo 16.1. O conjunto das funcoes de X para Y pode ser visto comoo produto Y X ±

xPX Y . Se Y for um espaco metrico com distancia d, atopologia uniforme em Y X tem por base a coleccao das “bolas”

Bpf, rq !g P Y X : sup

xPXdfpxq, gpxq r

)16.1. Espacos de funcoes contınuas

Vamos agora estudar funcoes contınuas dum espaco topologico X para umespaco metrico Y .

Teorema 16.3. Seja fn : X Ñ Y uma sucessao de funcoes contınuas dumespaco topologico X para um espaco metrico Y que converge uniformementepara uma funcao f . Entao f e contınua.

Demonstracao. Seja a P X. Dado um ε ¡ 0 tomamos n P N tal que fn PBpf, ε3q e tomamos U P Va tal que d

fnpxq, fnpaq

ε3 para qualquerx P U . Entao, para x P U temos:

dfpxq, fpaq ¤ d

fpxq, fnpxq

dfnpxq, fnpaq

dfnpaq, fpaq

ε3 ε3 ε3 ε ,

portanto f e contınua em a.

Teorema 16.4 (Teorema de Tietze). Seja X um espaco normal, F Xum conjunto fechado. Entao:

(1) Qualquer funcao contınua f : X Ñ ra, bs pode ser prolongada a uma

funcao contınua f : X Ñ ra, bs.(2) Qualquer funcao contınua f : X Ñ R pode ser prolongada a uma

funcao contınua f : X Ñ R.

Dado um espaco topologico X e um espaco metrico Y representamospor CpX,Y q o espaco das funcoes contınuas de X para Y com a topologiauniforme. No caso em que X e compacto a topologia uniforme e induzidapela metrica

ρpf, gq maxxPX

dfpxq, gpxq

Teorema 16.5. Seja X um espaco compacto e seja pY, dq um espaco metricocompleto. Entao o espaco CpX,Y q com a metrica ρpf, gq max

xPXdfpxq, gpxq

e completo.

Demonstracao. Dada uma sucessao de Cauchy pfnq, para cada x P X asucessao

fnpxq

e uma sucessao de Cauchy em Y , logo converge. Seja

fpxq lim fnpxq. Vamos provar que fn Ñ f uniformemente. Dado umε ¡ 0, existe um p ¡ 0 tal que m,n ¡ p ñ ρpfn, fmq ε2, logo, paraqualquer x P X temos d

fnpxq, fmpxq

ε2. Tomando o limite quando

m Ñ 8, temos dfnpxq, fpxq

¤ ε2, pelo que, tomando o supremo em

65

x P X, temos supx dfnpxq, fpxq

¤ ε2 ε. Concluimos que fn Ñ funiformemente. Entao f e contınua, o que completa a demonstracao.

16.2. Teorema de Ascoli-Arzela

Seja X um espaco topologico e seja Y um espaco metrico. Nesta seccao que-remos ver em que condicoes podemos garantir que uma sucessao de funcoescontınuas fn : X Ñ Y tem uma subsucessao que converge uniformemente.Tal acontecera sempre que a sucessao esteja contida num subespaco com-pacto de CpX,Y q.Teorema 16.6. Seja X um espaco compacto, Y um espaco metrico com-pleto e seja H CpX,Y q. Entao H esta contido num compacto se e so sefor totalmente limitado.

Demonstracao. Se H K, com K compacto, entao K e totalmente limi-tado, pelo que H e tambem totalmente limitado. Reciprocamente, se H etotalmente limitado entao H e tambem totalmente limitado. Como CpX,Y qe completo, H e tambem completo, pelo que e compacto.

Definicao 16.2. Seja X um espaco topologico e seja Y um espaco metrico.Dizemos que um conjunto de funcoes H CpX,Y q e equicontınuo numponto a P X sse:

@ε¡0

DUPVa

@fPH

x P U ñ dfpxq, fpaq ε

Se H for equicontınuo em todos os pontos a P X dizemos simplesmente queH e equicontınuo.

Teorema 16.7. Sejam X, Y espacos metricos e seja F uma coleccao defuncoes f : X Ñ Y . Se existir uma constante M ¡ 0 tal que |fpxq fpyq| ¤M |x y| para qualquer funcao f P F e quaisquer pontos x, y num abertoU X, entao F e equicontınua em qualquer ponto a P U .

Teorema 16.8. Seja X um espaco topologico e Y um espaco metrico, e sejaH CpX,Y q um conjunto totalmente limitado. Entao H e um conjuntoequicontınuo.

Como veremos em breve, o recıproco e verdadeiro se X e Y forem amboscompactos. No caso de Y nao ser compacto, precisamos duma condicaoextra:

Definicao 16.3. Seja Y um espaco metrico. Dizemos que um conjuntoH CpX,Y q e pontualmente totalmente limitado se para todo o x P X oconjunto Hpxq tfpxq : f P Hu Y for um conjunto totalmente limitado.

Em particular, se Y for compacto, qualquer subconjunto de CpX,Y q epontualmente totalmente limitado.

Teorema 16.9. . Seja X um espaco compacto e Y um espaco metrico.Seja H CpX,Y q um conjunto equicontınuo e pontualmente totalmentelimitado. Entao H e totalmente limitado.

66

Demonstracao. Seja ε ¡ 0. Como o conjunto H e equicontınuo,

@aPX

DUaPVa

@fPH

x P Ua ñ dfpxq, fpaq ε4 .

ComoX e compacto e tUauaPX e uma cobertura aberta deX, existem pontosa1, . . . , ak P X tais que X Ua1 Y Y Uak . Para cada i1, . . . , k seja

Hpaiq fpaiq : f P H( Y

que, por hipotese, e totalmente limitado. Entao a uniaoHpaiq e tambem

totalmente limitada pelo que existem pontos b1, . . . , bn P Y tais que

Hpa1q Y YHpanq Bpb1, ε4q Y YBpbn, ε4qPara cada funcao θ : ta1, . . . , aku Ñ tb1, . . . , bnu (ha um numero finito destasfuncoes) seja

Hθ f P H : max

idfpaiq, θpaiq

ε4(Vamos ver que cada Hθ tem diametro inferior a ε e que H

θHθ.

(1) Comecamos por ver que H Hθ. Dado f P H, para cada i

1, . . . , k temos fpaiq P Hpaiq Bpbj , ε4q. Definimos θpaiq de

modo a que fpaiq P Bθpaiq, ε4

. Entao f P Hθ.

(2) Falta ver que diamHθ ε. Sejam f, g P Hθ. Dado x P X temosx P Uai para algum i. Entao:

dfpxq, gpxq ¤ d

fpxq, fpaiq

d

fpaiq, θpaiq

d

θpaiq, gpaiq

d

gpaiq, gpxq

ε

Como corolario temos:

Teorema 16.10 (Ascoli-Arzela). Seja fn : X Ñ Rk uma sucessao de funcoesdefinidas num espaco compacto X. Se a coleccao de funcoes tfnunPN forequicontınua e para cada x P X a sucessao

fnpxq

nPN for uma sucessao

limitada em Rk entao existe uma subsucessao de funcoes pfnkqkPN que con-verge uniformemente para uma funcao contınua f .

Exercıcios

(1) Mostre que a topologia uniforme e mais fina que a topologia produto.(2) Seja RN o conjunto das sucessoes em R com as topologias produto e

uniforme.(a) Dada uma sucessao x pxnq P RN, mostre que

Bpx, εq sx1 ε, x1 εr sxn ε, xn εr

67

(b) Quais das seguintes funcoes R Ñ RN sao contınuas em cada umadestas topologias?

fptq pt, 2t, 3t, . . .q gptq pt, t, t, . . .q hptq pt, 12 t,

13 t, . . .q

(c) Quais das seguintes sucessoes sao convergentes em cada uma destastopologias?

w1 p1, 1, 1, 1, . . .q w2 p0, 2, 2, 2, . . .q w3 p0, 0, 3, 3, . . .q x1 p1, 1, 1, 1, . . .q x2 p0, 1

2 ,12 ,

12 , . . .q x3 p0, 0, 1

3 ,13 , . . .q

y1 p1, 1, 0, 0, . . .q y2 p12 ,

12 , 0, 0, . . .q y3 p1

3 ,13 , 0, 0, . . .q

(d) Seja R8 RN o conjunto das sucessoes que sao zero a partir de certaordem. Determine o fecho de R8 em ambas as topologias.

(3) Averigue, directamente a partir da definicao, se as seguintes coleccoes defuncoes fn : RÑ R sao ou nao equicontınuas:(a) fnpxq x n(b) fnpxq nx(c) fnpxq xn

(4) Sejam X um espaco topologico, Y um espaco metrico e H um conjuntode funcoes contınuas f : X Ñ Y .(a) Mostre que se H e finito entao e equicontınuo.(b) Mostre que se H tfnunPN e a sucessao pfnq converge uniforme-

mente entao H e equicontınuo.

(5) Para cada n P N seja fn : RÑ R a funcao definida por fnpxq epxnq2.

(a) Calcule f lim fn na topologia produto(b) Mostre que fn nao converge para f na topologia uniforme, apesar

de f ser contınua. Sugestao: x n.(c) Verifique que a coleccao tfnu satisfaz as condicoes do Teorema de

Ascoli-Arzela.(d) Seja K R um compacto. Mostre que fn Ñ f na topologia da

convergencia uniforme em CpK,Rq. Sugestao: comece por resolvera equacao |fnpxq| ε em ordem a x.

(6) Considere a sucessao de funcoes fn : R Ñ R definida por fnpxq pn 1qxn.(a) Mostre que a coleccao tfnu e equicontınua e, para cada x P R, o

conjunto fnpxq

(e limitado.

(b) Mostre que pfnq nao converge uniformemente para fpxq x.(c) Dado um compacto K R, mostre que a restricao da sucessao pfnq

a K converge para fpxq x uniformemente.(7) Repita o exercıcio anterior para a sucessao de funcoes fn : RÑ R definidas

por fnpxq xn e fpxq 0.(8) Para cada n P N seja fn : r0, 1s Ñ R a funcao fnpxq n.

(a) Mostre que a coleccao tfnu e equicontınua.

68

(b) Mostre que a sucessao pfnq nao tem nenhuma subsucessao conver-gente nem na topologia uniforme nem na topologia produto. Su-gestao: basta considerar a topologia produto.

(c) Prove que a coleccao tfnu nao e totalmente limitada.(9) Para cada n P N seja fn : RÑ r1, 1s a funcao definida por:

fnpxq

$'&'%1 se x ¤ n 1

x n se n 1 ¤ x ¤ n 1

1 se x ¥ n 1

(a) Mostre que fn converge pontualmente para uma funcao f contınua.(b) Mostre que nenhuma subsucessao de pfnq converge para f uniforme-

mente.(c) Usando a alınea anterior conclua que tfnu nao e totalmente limitada

na metrica uniforme.(d) Mostre que, para cada x P R, tfnpxqu e limitada.(e) Mostre que tfnu e equicontınua.(f) Dado um compacto K R mostre que a restricao da sucessao pfnq

a K converge para f uniformemente.(10) Considere a sucessao de funcoes fn : r0, 1s Ñ R definidas por fnpxq xn.

(a) Mostre que pfnq e pontualmente limitada.(b) Calcule o limite f de pfnq na topologia da convergencia pontual.(c) Mostre que nenhuma subsucessao de fn converge para f uniforme-

mente.(d) Use o Teorema de Ascoli-Arzela para concluir que tfnu nao e equi-

contınua.(e) Verifique directamente que pfnq nao e equicontınua em a 1, resol-

vendo explicitamente a equacao |fnpxq fnp1q| ε.(f) Seja b 1. Mostre que existe uma constante M (que depende de

b) tal que f 1npxq ¤ M para qualquer n P N e qualquer x P r0, br.Conclua que tfnu e equicontınua em qualquer ponto a P r0, 1r.

(11) Quais das seguintes sucessoes de funcoes em CpR,Rq sao pontualmentelimitadas? Quais sao equicontınuas?(a) gnpxq n sinx.

(b) hnpxq |x|1n. Sugestao: calcule o limite pontual de hn.(c) knpxq n sinpxnq. Sugestao: derive kn e aplique o Teorema de

Lagrange.(12) Considere a sucessao de funcoes fn : R Ñ R definida por fnpxq x

sinpnxq.(a) Decida se tfnu e pontualmente limitada.(b) Mostre que tfnu nao e equicontınua em a 0. Sugestao: se fosse,

existiria um δ ¡ 0 tal que |fnpxq| 1 para qualquer n P N e qualquerx P sδ, δr; tome um n P N tal que x πp2nq δ.

(13) Seja X um espaco topologico e Y , Z espacos metricos. Mostre que, seuma sucessao de funcoes fn : X Ñ Y convergir uniformemente para uma

69

funcao f e g : Y Ñ Z for uniformemente contınua entao pg fnq convergeuniformemente para g f .

(14) Seja Cr0, 1s,R o espaco das funcoes contınuas com a metrica uniforme

ρ. Seja F o subconjunto das funcoes f tais ρpf, 0q 1 e

@x,yPX

|fpxq fpyq| |x y|

Mostre que o fecho de F e compacto.(15) Seja F : R2 Ñ R2 uma funcao contınua tal que F px, yq ¤ C para quais-

quer x, y P R. Dado ε ¡ 0, definimos uma sucessao pxkq em R2 por re-correncia pondo x0 p0, 0q e xk1 xkεF pxkq εF px0q εF pxkq.Definimos tambem uma funcao γε : r0,8r Ñ R2 tal que, para t Prεk, εpk 1qs temos γεptq xkptεkqF pxkq εF px0q εF pxk1qpt εkqF pxkq.(a) Mostre que, para quaisquer t1, t2 ¡ 0, temos γεpt2q γεpt1q ¤

C|t2 t1|.(b) Mostre que, para qualquer T ¡ 0, a sucessao de funcoes pγ1nqnPN

tem uma subsucessao que converge uniformemente em r0, T s parauma funcao γ : r0, T s Ñ R2.

(c) Mostre que γ e diferenciavel com derivada γ1ptq Fγptq. Sugestao:

Seja Fεptq Fγεptq

e dados a b seja M maxt,sPra,bs Fεptq

Fεpsq. Mostre que γεpbq γεpaq pb aqFεpaq ¤M |b a|. Podeser util observar que

γεptqFεptq εF px0qFεptq

εF pxk1qFεptqptεkqF pxkqFεptq .

(16) Munkres, Pag. 288, exercıcio 3.

17. Espacos conexosDefinicao 17.1. Uma separacao dum espaco topologico X e um par deabertos disjuntos nao vazios pA,Bq cuja uniao e X. O espaco X diz-seconexo se nao tiver nenhuma separacao.

Exemplo 17.1. Seja X R t0u. Entao os abertos A s8, 0r e B s0,8r formam uma separacao de X.

Teorema 17.1. Um espaco topologico X e conexo sse os unicos subconjun-tos de X simultaneamente abertos e fechados forem o proprio X e o conjuntovazio.

Demonstracao. Se pA,Bq for uma separacao de X, A e tambem fechado poisA X B. Reciprocamente, se A X for aberto e fechado, pA,X Aq euma separacao de X.

Teorema 17.2. Um espaco topologico X e conexo sse todas as funcoescontınuas f : X Ñ t0, 1u forem constantes.

70

Demonstracao. Dada uma separacao pA,Bq deX podemos construir a funcaosobrejectiva e contınua:

fpxq #

0 , se x P A;

1 , se x P B,

Reciprocamente, dada uma funcao f : X Ñ t0, 1u sobrejectiva podemos de-finir a separacao A f1p0q e B f1p1q.

Podemos agora caracterizar os subespacos conexos de R:

Teorema 17.3. Um espaco Y R e conexo sse for um intervalo.

Demonstracao. Se Y nao for um intervalo, existem pontos a c b tais quea, b P Y mas c R Y . Entao os abertos A s8, cr X Y e B sc,8r X Yformam uma separacao de Y . Reciprocamente, se Y for um intervalo, oTeorema de Bolzano diz-nos que qualquer funcao f : Y Ñ t0, 1u R tempor contradomınio um intervalo, logo e constante, portanto Y e conexo.

Os proximos quatro teoremas dizem-nos como construir novos espacosconexos:

Teorema 17.4. Dada uma coleccao tXαu de subespacos conexos de X, seXα H entao

Xα e conexo.

Demonstracao. Assumimos por absurdo que existe uma funcao f :Xα Ñ

t0, 1u que nao e constante. Entao existem pontos a, b P Xα tais que

fpaq 0 e fpbq 1. Temos a P Xα e b P Xβ para alguns α, β, e comoXα e Xβ sao conexos, f |Xα 0 e f |Xβ 1. Mas isto e impossıvel poisXα XXβ H.

Teorema 17.5. Seja A X conexo. Entao qualquer espaco B tal queA B A e tambem conexo.

Demonstracao. Dada uma funcao contınua f : B Ñ t0, 1u, a restricao f |A econstante pelo que podemos assumir que f |A 0. Assumimos por absurdoque existia um x P B com fpxq 1. Entao U f1pt1uq e um aberto ex P U pelo que AX U H, o que e uma contradicao pois f |U 1.

Teorema 17.6. Se X e conexo e f : X Ñ Y e contınua, entao fpXq econexo.

Demonstracao. Dada uma funcao g : fpXq Ñ t0, 1u, a composicao gf : X Ñt0, 1u e constante, logo g e constante.

Teorema 17.7. Se X, Y sao espacos conexos entao XY e tambem conexo.

Demonstracao. Para qualquer px, yq P X Y , a “cruz” Tx,y txu Y

YX tyu e conexa. Entao, fixando um ponto x P X, temos X Y yPY Tx,y logo X Y e conexo.

O Teorema de Bolzano pode ser generalizado a funcoes com domınio co-nexo:

71

Teorema 17.8. Seja X um espaco conexo, f : X Ñ R uma funcao contınua.Entao, dados quaisquer a, b P X, a funcao f toma todos os valores entre fpaqe fpbq.Demonstracao. O conjunto fpXq e conexo, logo e um intervalo.

17.1. Componentes

Definicao 17.2. Para cada x P X chamamos componente conexa de x, erepresentamos por Cx, a uniao de todos os conjuntos conexos que contem x.

Teorema 17.9. Os conjuntos Cx sao conexos e formam uma particao deX, isto e, para quaisquer x, y P X ou Cx Cy ou Cx X Cy H.

Demonstracao. Os conjuntos Cx sao conexos pois sao a uniao de conexoscom um ponto em comum. Se Cx X Cy H entao Cx Y Cy e conexo econtem x e y logo Cx Y Cy Cx e Cx Y Cy Cy donde se conclui queCx Cy.

Teorema 17.10. Para qualquer x P X, a componente conexa Cx e fechadaem X.

Demonstracao. Como Cx e conexo, Cx tambem e conexo, logo Cx Cx,pelo que Cx e fechado.

Mas em geral as componentes conexas nao sao abertas.

Exemplo 17.2. Os unicos subconjuntos conexos de Q sao o vazio e os conjun-tos com um so elemento pelo que as componentes conexas de Q sao Cx txuque nao sao abertos.

Teorema 17.11. Seja C X conexo, aberto e fechado. Entao C e umacomponente conexa de X.

Demonstracao. O par pC,X Cq e uma separacao de X pelo que C naopode estar estritamente contido em nenhum conexo.

Exercıcios

(1) Encontre uma separacao de cada um dos seguintes espacos:(a) X s1, 0r Y s0, 1r R.(b) Y r0, 1s Y r2, 3s Y r4, 5s R.(c) A uniao das bolas fechadas de raio um em R2 centradas nos pontos

p1, 0q, p0,1q e p1, 1q.(d) Z px, yq P R2 : xy 0

(.

(2) Quais as componentes conexas de cada um dos espacos do exercıcio 1?(3) Mostre que os seguintes espacos sao conexos:

(a) A circunferencia S1. Sugestao: construa uma funcao com contra-domınio S1.

(b) O toro S1 S1.(c) A circunferencia S1 menos um ponto.

72

(d) Rn.(e) Uma bola Bpx, εq Rn.(f) O conjunto tpx, yq P R2 : x2 y2 ¤ 1u.

(4) Decida, justificando, se os seguintes subconjuntos de R2 sao ou nao co-nexos. Em caso negativo, determine as componentes conexas.(a) A uniao das circunferencias de raio um centradas nos pontos p2n, 0q P

R2, com n P Z.(b) O complementar do conjunto da alınea (a).(c) A uniao das circunferencias de raio um centradas nos pontos p3n, 0q P

R2, com n P Z.(d) A uniao em n P N das circunferencias de raio 1n centradas em

p1n, 0q P R2.(e) A uniao em n P N das circunferencias de raio 1n centradas na

origem.(f) O conjunto dos pontos px, yq P R2 com x, y P Q.(g) O conjunto dos pontos px, yq P R2 com x P Q ou y P Q.(h) O conjunto dos pontos px, yq P R2 com x P Q.(i) A uniao em m P Q das rectas y mx b (com b P R fixo).(j) A uniao em b P Q das rectas y mx b (com m P R fixo).(k) A uniao em m, b P Q das rectas y mx b.(l) O conjunto tpx, yq P R2 : xy ¡ 0u.

(m) O fecho do conjunto da alınea anterior.(5) Representamos por R` o conjunto R com a topologia gerada pelos interva-

los ra, br com a, b P R. Determine as componentes conexas de R`. Quaissao as funcoes contınuas f : RÑ R`, em que R tem a topologia usual?

(6) Dado um espaco topologico X, dizemos que um ponto a P X e um pontode corte de X se X tau nao for conexo.(a) Seja f : X Ñ Y um homeomorfismo. Mostre que um ponto a P X e

um ponto de corte de X sse fpaq for um ponto de corte de Y .(b) Mostre que nenhum dos seguintes espacos e homeomorfo a nenhum

outro: S1, r0, 1s, r0, 1r, s0, 1r, r0, 1sY r2, 3s, S1_S1 (a uniao de duascırcunferencias com um ponto em comum).

(7) Seja tXαu uma coleccao de espacos conexos disjuntos dois a dois e sejaX

αXα. Dizemos que um conjunto U X e aberto sse para qualquerα o conjunto U X Xα for aberto em Xα. Mostre que as componentesconexas de X sao os conjuntos Xα.

(8) Mostre que nao existe qualquer relacao entre a conexidade dum conjuntoA R2, a conexidade do seu interior e a conexidade da sua fronteira,dando exemplos de conjuntos A cobrindo as 23 8 possibilidades. O queacontece se substituirmos R2 por R?

(9) Seja A, B uma separacao de X. Mostre que qualquer subespaco conexoY X tem que estar contido ou em A ou em B.

(10) Sejam X, Y espacos conexos disjuntos e fixemos pontos x P X e y P Y .Definimos X_Y como o quociente de XYY pela relacao de equivalenciaque identifica x com y. Mostre que X _ Y e conexo.

73

(11) Seja tUαu uma cobertura dum espaco Y por abertos disjuntos dois adois e seja X um espaco conexo. Mostre que qualquer funcao contınuaf : X Ñ Y tem imagem contida num dos abertos Uα.

(12) Seja X um espaco conexo, f : X Ñ Y uma funcao localmente cons-tante, isto e, qualquer ponto x P X tem uma vizinhanca U tal quef |U e constante. Mostre que f e constante. Sera o mesmo verdade seX nao for conexo? Sugestao: tomando y P Y mostre que o conjuntotx P X : fpxq yu e aberto e fechado.

(13) Dado um espaco topologico X, o cone em X, CX, e o quociente deX r0, 1s obtido identificando todos os pontos da forma px, 0q, x P X.Mostre que CX e conexo.

(14) Seja X um espaco topologico. Mostre que um subespaco Y e conexo sseexistirem conjuntos nao vazios A,B X tais que Y A Y B e cujosfechos em X verificam AXB AXB H.

(15) Mostre que um espaco T4 e conexo com mais que um ponto nao e contavel.Sugestao: Lema de Urysohn.

(16) Munkres;: Pag. 152, exercıcio 10.

18. Caminhos. Espacos conexos por arcosDefinicao 18.1. Dado um espaco topologico X e pontos a, b P X, umcaminho de a para b e uma funcao contınua α : r0, 1s Ñ X tal que fp0q ae fp1q b.

(1) Dado um ponto a P X, representamos por ea o caminho constante:eaptq a para qualquer t P r0, 1s.

(2) Dado um caminho α em X de a para b, representamos por α ocaminho de b para a definido por αptq αp1 tq.

(3) Dados pontos a, b, c P X, um caminho α de a para c e um caminho βde c para b, chamamos concatenacao dos caminhos α e β ao caminhoα β definido pela equacao

α βptq #αp2tq se t P r0, 1

2 sβp2t 1q se t P r1

2 , 1sPara provar que α β e contınua basta observar que r0, 1

2 s e r12 , 1s sao

subconjuntos fechados de r0, 1s e que na interseccao os dois ramos coincidempois αp1q βp0q c.

Exemplo 18.1. Dados pontos a,b P Rn, a funcao γ : r0, 1s Ñ Rn definida porγptq p1 tqa tb e um caminho entre a e b.

Definicao 18.2. Dizemos que um espaco X e conexo por arcos se paraquaisquer a, b P X existir um caminho em X de a para b.

Teorema 18.1. Se X e conexo por arcos entao X e conexo.

Demonstracao. Assumimos por absurdo que X e conexo por arcos mas naoconexo. Entao existe uma funcao contınua e sobrejectiva f : X Ñ t0, 1u.

74

Entao existem pontos a, b P X com fpaq 0 e fpbq 1. Seja α : r0, 1s Ñ Xum caminho de a para b. Entao f α e sobrejectiva, o que e impossıvel poisr0, 1s e conexo.

Exemplo 18.2. Seja f : s0,8r a funcao definida por fpxq cosp2πxqx eseja X px, yq P R2 : x ¡ 0, y fpxq( o grafico de f . O espaco X e conexopois e a imagem de s0,8r pela funcao contınua gpxq px, fpxqq. Comop0, 0q P X, X Y tp0, 0qu e tambem conexo. Mas X Y tp0, 0qu nao e conexopor arcos: vamos supor por absurdo que existe um caminho α pα1, α2q emXYtp0, 0qu unindo os pontos p0, 0q e p1, 1q. Pelo Teorema de Weierstrass α2 elimitada logo existe um n P N tal que n ¡ α2ptq para qualquer t P r0, 1s. Peloteorema de Bolzano existe um t P r0, 1s tal que α1ptq 1n. Como αptq P X,α2ptq fpα1ptqq fp1nq n o que e uma contradicao. Concluımos queX Y tp0, 0qu nao e conexo por arcos.

Teorema 18.2. Seja X um espaco conexo por arcos, f : X Ñ Y uma funcaocontınua. Entao fpXq e tambem conexo por arcos.

Demonstracao. Sejam a, b P fpXq. Entao a fpxq e b fpyq para algunsx, y P X. Como X e conexo por arcos, existe um caminho α : r0, 1s Ñ X dex para y. Entao o caminho f α : r0, 1s Ñ Y e um caminho de a para b.

Dada uma funcao contınua f : X Ñ Y e um caminho α em X, e costumerepresentar o caminho f α em Y por fα.

18.1. Componentes

Comecamos por introduzir uma relacao de equivalencia em X: dados a, b PX, dizemos que a b se existir um caminho em X de a para b.

Teorema 18.3. A relacao e uma relacao de equivalencia.

Demonstracao.

(1) Para mostrar que a a basta considerar o caminho constante eaptq a.

(2) Para ver que pa bq ô pb aq basta observar que se α e umcaminho em X de a para b entao o caminho αptq αp1 tq e umcaminho em X de b para a.

(3) Vamos supor que a b e que b c. Entao existe um caminho α dea para b e um caminho β de b para c. A concatenacao α β e umcaminho de a para c logo a c.

Definicao 18.3. Chamamos componentes conexas por arcos de X as classesde equivalencia Px rxs da relacao de equivalencia .

As componentes conexas por arcos formam uma particao de X, comosempre acontece com relacoes de equivalencia: dados x, y P X, ou Px Pyou Px X Py H.

75

Teorema 18.4. A componente Px e o maior conjunto conexo por arcos quecontem x. Ou seja, Px e conexo por arcos, e dado qualquer conjunto Aconexo por arcos tal que x P A, temos A Px.

Demonstracao. Se A e conexo por arcos e x P A entao para qualquer y P Aexiste um caminho em A de x para y, logo x y, logo y P Px. Assim,A Px. Falta mostrar que Px e conexo por arcos. Sejam a, b P Px. Entaoa b logo existe um caminho α em X de a para b. Seja A a imagem deα. Entao A e conexo por arcos e a P A logo A Pa Px. Assim, α e umcaminho em Px de a para b pelo que Px e conexo por arcos.

Definicao 18.4. Dizemos que um espaco X e localmente conexo se paraqualquer x P X e qualquer U P Vx, existir uma vizinhanca V P Vx conexacontida em U . Analogamente, dizemos que X e localmente conexo por arcosse para qualquer x P X e qualquer U P Vx, existir uma vizinhanca V P Vx

conexa por arcos contida em U .

Teorema 18.5. Se X e localmente conexo entao as componentes conexasde X sao abertas. Se X e localmente conexo por arcos entao as componentesconexas por arcos e as componentes conexas de X sao abertas.

Demonstracao. Seja P uma componente conexa por arcos de X e seja x P P .Entao, tomando uma vizinhanca U de x conexa por arcos temos U Px P . Concluimos que P e um aberto.

Teorema 18.6. Num espaco localmente conexo por arcos as componentesconexas e as componentes conexas por arcos coincidem.

Demonstracao. Seja Cx uma componente conexa dum ponto x P X. Entao,para qualquer y P Cx temos Py Cx. Seja U Px e seja V a uniao dascomponentes Py com y P Cx e Py Px. Entao U e V sao abertos disjuntose U Y V Cx e, como Cx e conexo, necessariamente V H, ou seja,Cx Px.

Exercıcios

(1) Considere os caminhos α, β, γ : r0, 1s Ñ R definidos por αptq tp1 tq,βptq t e γptq 1. Calcule e esboce os graficos das funcoes α β, β γ,pα βq γ e α pβ γq.

(2) Considere o caminho α : r0, 1s Ñ S1 definido por αptq cosp2πtq, sinp2πtq.

Calcule α α e verifique que pα αq α α pα αq.(3) Dizemos que um conjunto X Rn e um conjunto em estrela se existir

um ponto a P X tal que, para qualquer x P X, o segmento de recta entrea e x:

L tx p1 tqa : 0 ¤ t ¤ 1

(estiver contido em X.(a) Mostre que qualquer conjunto em estrela e conexo por arcos.(b) De um exemplo dum conjunto conexo por arcos que nao seja um

conjunto em estrela.

76

(4) Sejam X, Y espacos topologicos, f : X Ñ Y uma funcao contınua, a, b, c PX, α um caminho entre a e b e β um caminho entre b e c. Mostre que:(a) ea ea e α α.(b) α β β α.(c) fpeaq efpaq e fα fα.(d) fpα βq pfαq pfβq.

(5) Mostre que, se existir um a P X tal que, para qualquer b P X existe umcaminho em X de a para b entao X e conexo por arcos.

(6) Mostre que um subespaco de R e conexo sse for conexo por arcos.(7) Para cada n P N seja Fn t1nurn, ns R2 e seja X R2

Fn.

(a) Seja Y tpx, yq P X : x ¡ 0u. Mostre que Y e conexo por arcos.(b) Mostre que X e conexo. Sugestao: escreva X como uma uniao AYY

para um espaco A apropriado.(c) Mostre que X nao e conexo por arcos.

(8) Mostre que o produto de uma coleccao tXαu de espacos conexos por arcose conexo por arcos.

(9) Seja tCαu uma coleccao de espacos conexos por arcos tal queαCα H.

Mostre queαCα e conexo por arcos.

(10) Se A X e conexo por arcos, sera que A e necessariamente conexo porarcos?

(11) Um espaco topologico X diz-se contractil se existir uma funcao contınuaH : X r0, 1s Ñ X e um ponto a P X tais que Hpx, 0q x e Hpx, 1q apara todo o x P X. Mostre que um espaco contractil e conexo por arcos.

(12) De um exemplo dum espaco conexo que nao seja localmente conexo.(13) Mostre que RQ nao e localmente conexo em nenhum ponto.(14) Seja X R2 a uniao das rectas y mx com m P Q. Mostre que X so e

localmente conexo em 0 P X.(15) Dado um espaco topologico X, representamos por π0pXq o conjunto das

componentes conexas por arcos de X.(a) Dada uma funcao contınua f : X Ñ Y , e uma componente conexa

por arcos C X, mostre que existe uma unica componente C 1 Ytal que fpCq C 1. Definimos a funcao f : π0pXq Ñ π0pY q porfC C 1.

(b) Dadas funcoes contınuas f : X Ñ Y e g : Y Ñ Z, mostre que pg fq g f.

(c) Mostre que se f : X Ñ Y e um homeomorfismo, entao f e umabijeccao.

(d) Sejam p1 : X Y Ñ X e p2 : X Y Ñ Y as projeccoes. Mostre quep1 p2 : π0pX Y q Ñ π0pXq π0pY q e uma bijeccao.

(16) Seja A R um aberto.(a) Mostre que as componentes conexas de A sao intervalos abertos.(b) Conclua que qualquer aberto em R e uma uniao de intervalos abertos

disjuntos.

77

(17) Mostre que, se X e localmente conexo (ou localmente conexo por arcos)e A X e aberto entao A e tambem localmente conexo (ou localmenteconexo por arcos).

(18) Munkres Pag. 162, exercıcios 2, 10.

19. Homotopia de caminhosDefinicao 19.1. Dizemos que duas funcoes contınuas f, g : X Ñ Y saohomotopicas, e escrevemos f g, se existir uma funcao contınua H : X r0, 1s Ñ Y tal que Hpx, 0q fpxq e Hpx, 1q gpxq.

Podemos pensar numa homotopiaH como uma coleccao de funcoes ht : X ÑY (com 0 ¤ t ¤ 1) tal que h0 f e h1 g, nomeadamente: htpxq Hpx, tq.Teorema 19.1. Dadas funcoes f0, f1 : X Ñ Y e g0, g1 : Y Ñ Z, se f0 f1

e g0 g1 entao g0 f0 g1 f1.

Demonstracao. Se ftpxq H1px, tq e uma homotopia entre f0 e f1 e gtpxq H2px, tq e uma homotopia entre f0 e f1 entao gt ftpxq H2pH1px, tq, tq euma homotopia entre g0 f0 e g1 f1.

De modo semelhante definimos homotopia de caminhos:

Definicao 19.2. Dado um espaco topologico X e pontos a, b P X, dizemosque dois caminhos em X de a para b: α, β : r0, 1s Ñ X sao homotopicos, eescrevemos α β, se existir uma funcao contınua H : r0, 1s r0, 1s Ñ X talque Hps, 0q αpsq, Hps, 1q βpsq, Hp0, tq a e Hp1, tq b.

Se para cada t P r0, 1s definirmos γtpsq Hps, tq, entao tγtu e umacoleccao de caminhos entre a e b tal que γ0 α e γ1 β.

Teorema 19.2. As relacoes sao relacoes de equivalencia.

Demonstracao. Dadas homotopias H1 entre f e g e H2 entre g e h a conca-tenacao:

pH1 H2qpx, tq #H1px, 2tq t ¤ 1

2

H2px, 2t 1q t ¥ 12

e uma homotopia entre f e h. A demonstracao para homotopia de caminhose completamente analoga.

Dados pontos a, b P Rn temos o caminho γptq p1 tqa tb de a para b.Chamamos segmento de recta entre a e b a imagem de γ.

Definicao 19.3. Dizemos que um conjunto A Rn e convexo se paraquaisquer a, b P A e qualquer t P r0, 1s tivermos p1 tqa tb P A.

Portanto um conjunto convexo e um conjunto que contem todos os seg-mentos unindo pontos do conjunto. Se A Rn e convexo, quaisquerduas funcoes f, g : X Ñ A sao homotopicas: a homotopia e dada porHpx, tq p1 tqfpxq tgpxq. Analogamente, dados a, b P A, quaisquerdois caminhos α, β de a para b sao homotopicos.

78

Teorema 19.3. Sejam a, b, c P X e sejam α0, α1 caminhos de a para b eβ0, β1 caminhos de b para c. Se α0 α1 e β0 β1 entao α0 β0 α1 β1.

Demonstracao. Se αt e uma homotopia entre α0 e α1 e βt e uma homotopiaentre β0 e β1 entao αt βt e uma homotopia entre α0 β0 e α1 β1.

Representamos por rαs a classe de equivalencia do caminho α e definimosrαs rβs rα βs.Teorema 19.4. Sejam a, b, c, d P X, α, β, γ caminhos de a para b, de bpara c e de c para d respectivamente. Entao:

(1) rαs rebs reas rαs rαs.(2) rαs rαs reas e rαs rαs rebs.(3)

rαs rβs rγs rαs rβs rγs.

Demonstracao. Chamamos reparametrizacao dum caminho α a um caminhoda forma α f em que f : r0, 1s Ñ r0, 1s e uma funcao satisfazendo fp0q 0e fp1q 1. Qualquer reparametrizacao dum caminho α e homotopica a α:podemos tomar Hps, tq α

tfpsq p1 tqs. Agora, os caminhos α eb

e ea α sao reparametrizacoes de α, o que prova (1), e pα βq γ e umareparametrizacao de α pβ γq, o que prova (3). Para provar (2) usamos ahomotopia Hps, tq pα αqpstq.

19.1. O grupoide fundamental

Um grupoide G e uma generalizacao da nocao de grupo em que o produtopg, hq ÞÑ gh so esta definido para alguns pares pg, hq.Definicao 19.4. Um grupoide G sobre um conjunto X e:

Para cada x, y P X, um conjunto Gxy tal que G ²x,y Gxy;

Para cada x, y, z P X, um produto Gxy Gyz Ñ Gxz que represen-tamos por pg, hq ÞÑ gh,

satisfazendo as seguintes propriedades:

(1) Associatividade: pg1g2qg3 g1pg2g3q.(2) Elemento neutro: para cada x P X existe um ex P Gxx tal que, para

qualquer g P Gxy temos exg gey g.(3) Inverso: Para qualquer g P Gxy existe um g1 P Gyx tal que gg1

ex e g1g ey.

Se apenas as propriedades (1) e (2) se verificarem chamamos a G uma cate-goria pequena.

Exemplo 19.1. G XX ² px, yq( e um grupoide sobre X com produtopx, yq py, zq px, zq.Exemplo 19.2. Um grupo G e um grupoide em que X tem apenas um ponto.

Exemplo 19.3. Uma relacao de equivalencia num conjunto X e um grupoide:o conjunto Gxy tem um elemento se x y e e vazio caso contrario.

79

Exemplo 19.4. Dado um espaco X, chamamos grupoide fundamental de Xao grupoide em que Gxy sao as classes de equivalencia de caminhos em Xde x para y e αβ α β e a concatenacao de caminhos.

Exemplo 19.5. Uma relacao de ordem ¤ num conjunto X e uma categoriapequena mas nao e um grupoide pois a propriedade (3) nao se verifica.

Exercıcios

(1) Quais das seguintes funcoes H : I I Ñ R2 tp0, 0qu sao homotopias decaminhos?(a) Hps, tq

cospπsq, p1 tq sinpπsq.(b) Hps, tq p1 tq cospπsq, sinpπsq.(c) Hps, tq

cospπsq, p1 2tq sinpπsq.(2) Construa explicitamente homotopias entre os seguintes caminhos:

(a) α, β : I Ñ R2 dados por αptq pt, t2q e βptq pt2, tq.(b) α, β : I Ñ S1 dados por αptq

cosp2πtq, sinp2πtq e βptq cosp2πt2q, sinp2πt2q.

(3) Sejam α, β caminhos em X de a para b. Mostre que α β sse αβ ea.(4) Sejam α, β, γ caminhos num espaco topologico X. Mostre a lei do corte:

se α γ β γ entao α β.(5) Sejam X e Y subespacos de Rn.

(a) Mostre que, se Y for convexo, quaisquer duas funcoes f, g : X Ñ Ysao homotopicas.

(b) Mostre que, se X for convexo, qualquer funcao f : X Ñ Y e ho-motopica a uma funcao constante.

(c) Mostre que, se X for convexo e Y for conexo por arcos, quaisquerduas funcoes f, g : X Ñ Y sao homotopicas.

(6) Um conjunto X Rn diz-se um conjunto em estrela se existir um pontoa P X tal que, para qualquer x P X, o segmento de recta unindo a a xesta contido em X.(a) Mostre que um conjunto convexo e em estrela, e de um exemplo dum

conjunto em estrela que nao seja convexo.(b) Repita o exercıcio 5 substituindo “convexo” por “conjunto em es-

trela”.(7) Um espaco X diz-se contractil se a funcao identidade 1 : X Ñ X for

homotopica a uma funcao constante.(a) Mostre que um espaco convexo e contractil.(b) Mostre que um conjunto em estrela e contractil.(c) Mostre que ser contractil e uma propriedade topologica.(d) De um exemplo dum espaco contractil que nao seja um conjunto em

estrela.(e) Mostre que um espaco contractil e conexo por arcos.(f) Repita o exercıcio 5, substituindo “convexo” por “contractil”.

(8) Seja X um espaco topologico e sejam f0, f1, g0, g1 : X Ñ C t0u funcoestais que f0 f1 e g0 g1. Mostre que os produtos f0g0 e f1g1 saohomotopicos.

80

(9) Seja r : Rnt0u Ñ Rnt0u a funcao definida por rpxq xx. Mostreque r e homotopica a funcao identidade.

(10) Mostre que o caminho γ : r0, 1s Ñ S1 definido por γptq cosp2πtq, sinp2πtq

e homotopico a um caminho constante.(11) Mostre que uma funcao f : S1 Ñ X e homotopica a uma funcao constante

sse existir um prolongamento de f a bola B2.(12) Dada uma funcao H : r0, 1s r0, 1s Ñ X, restringindo H as arestas do

quadrado temos os quatro caminhos em X:

ah0ptq Ht, 0

, ah1ptq H

t, 1

, av0ptq H

0, t

, av1ptq H

1, t

.

Mostre que os caminhos ah0 av1 e av0 ah1 sao homotopicos.(13) Dado um intervalo ra, bs R, um caminho α num espaco X induz uma

funcao contınua β : ra, bs Ñ X, nomeadamente βptq αpt aqpt bq.

Seja P t0 t0 t1 tk1 tk 1u uma particao do intervalor0, 1s. Dados pontos x0, . . . , xn P X e caminhos αi de xi1 para xi (emque i 1, . . . , n), seja pα1 αnqP : r0, 1s Ñ X o caminho cuja restricaoa cada intervalo rti1, tis e a funcao induzida por αi. Mostre que a classede homotopia deste caminho nao depende da particao P .

(14) Seja f : X Ñ X uma funcao homotopica a identidade. Mostre que, seA X e uma componente conexa por arcos de X, entao fpAq A.

20. O grupo fundamentalDefinicao 20.1. Dado um espaco X e um ponto a P X, chamamos laco ema a um caminho que comeca e acaba em a. Chamamos grupo fundamental deX em a, e representamos por π1pX, aq, o conjunto das classes de equivalenciade lacos em a, com a operacao de concatenacao.

Exemplo 20.1. Qualquer espaco convexo tem grupo fundamental trivial emqualquer ponto.

Definicao 20.2. Dados a, b P X e um caminho α de a para b, definimosα : π1pX, aq Ñ π1pX, bq por α

rγs rαs rγs rαs.Teorema 20.1. A funcao α e um isomorfismo de grupos.

Definicao 20.3. Dizemos que um espaco X e simplesmente conexo se Xfor conexo por arcos e π1pX,x0q for trivial para algum x0 P X.

Nota: como X e conexo por arcos, π1pX,xq e trivial para todo o x P X.

Teorema 20.2. Seja X um espaco simplesmente conexo, a, b P X. Entaoquaisquer dois caminhos em X de a para b sao homotopicos.

Demonstracao. Sejam α, β caminhos de a para b. Entao rα βs P π1pX, aqque e trivial logo α β ea e assim α β.

Definicao 20.4. Seja h : X Ñ Y uma funcao contınua. Dado x0 P X,definimos h : π1pX,x0q Ñ π1

Y, hpx0q

por h

rγs rh γs.

81

Teorema 20.3. h e um homomorfismo de grupos, ph kq h k e seh for a identidade, h e tambem a identidade.

Teorema 20.4. Dados espacos X1 e X2, sejam pi : X1 X2 (com i 1, 2)as projeccoes. Entao, para quaisquer xi P Xi o homomorfismo

p1 p2 : π1pX1 X2, px1, x2qq Ñ π1pX1, x1q π2pX2, x2qe um isomorfismo.

Exercıcios

(1) Sejam X, Y , Z espacos conexos por arcos e sejam f : X Ñ Y e g : Y Ñ Zfuncoes contınuas, h g f . O que pode dizer sobre os homomorfismosde grupos fundamentais f, g e h sabendo que:(a) Y e simplesmente conexo.(b) π1pXq Z2 e π1pY q Z.(c) π1pY q Z2 e π1pZq Z.(d) h e um isomorfismo.(e) h e sobrejectiva.(f) h e injectiva.

(2) Dado um espaco X, seja Pa a componente conexa por arcos dum pontoa P X. Mostre que o homomorfismo π1pPa, aq Ñ π1pX, aq induzido pelainclusao e um isomorfismo.

(3) Mostre que o grupo π1

R2S1, p0, 0q e trivial. Sera R2S1 simplesmente

conexo?(4) Dados pontos x, y, z P X, sejam α um caminho de x para y e β um

caminho de y para z. Mostre que zα β pβ pα.(5) Seja A Rn, e seja f : A Ñ X uma funcao contınua. Mostre que, se

existir um prolongamento de f a Rn entao f e trivial.(6) Dados A B C, se a inclusao A C induzir um homomorfismo sobre-

jectivo de grupos fundamentais, o que pode dizer sobre o homomorfismoπ1pB, xq Ñ π1pC, xq induzido pela inclusao?

(7) Seja X um espaco topologico, a P X. Mostre que o grupo π1pX, aq eabeliano sse dados quaisquer caminhos α e β com αp0q βp0q a e

αp1q βp1q se tiver pα pβ.(8) Dados espacos topologicos X, E e B e funcoes contınuas p : E Ñ B e

f : X Ñ B, chamamos levantamento de f a uma funcao rf : X Ñ E

tal que f p rf . Mostre que, se existir um levantamento de f , entaoim f im p, em que f : π1pX,xq Ñ π1pB, bq e p : π1pE, eq Ñ π1pB, bqsao os homomorfismos induzidos.

(9) Dado A X, uma retraccao e uma funcao contınua r : X Ñ A tal querpxq x para qualquer x P A, Mostre que r e sobrejectiva.

(10) Dada uma funcao contınua h : X Ñ Y , para cada x P X seja phxq : π1pX,xq Ñπ1

Y, hpxq o homomorfismo induzido. Mostre que, para qualquer cami-

nho α em X temos: zh α phαp0qq phαp1qq pα.

82

(11) Seja X um espaco topologico e seja tXku uma coleccao de subespacostais que

a P X1 X2 Xk X ¤Xk

e com a propriedade que, dado qualquer compacto K X existe umk P N tal que K Xk. Considere os homomorfismos

ik : π1pXk, aq Ñ π1pX, aq e jkn : π1pXk, aq Ñ π1pXn, aq pk nqinduzidos pela inclusao.(a) Mostre que, para qualquer rγs P π1pX, aq, existe um k tal que rγs

esta na imagem do homomorfismo ik.(b) Mostre que, se rγs P ker ik, entao existe um n ¡ k tal que rγs P

ker jkn.(12) Seja α : I Ñ S1 o caminho definido por αptq

cosp2πtq, sinp2πtq. Mos-

tre que uma funcao f : S1 Ñ X e homotopica a uma funcao constantesse fα for a identidade do grupo fundamental de X. Sugestao: use oexercıcio 11 na pagina 80; note que α e um quociente.

21. RevestimentosSeja x0 p1, 0q P S1 e seja φ : ZÑ π1pS1, x0q a funcao definida por φpnq rγns em que γnptq

cosp2πntq, sinp2πntq. Nesta seccao vamos mostrar que

φ e um isomorfismo de grupos. Para tal vamos recorrer a funcao p : RÑ S1

definida por pptq cosp2πtq, sinp2πtq.

Definicao 21.1. Dada uma funcao p : E Ñ B sobrejectiva, dizemos que umaberto U B e uniformemente revestido por p se p1pUq

Vα em quetVαu e uma coleccao de abertos disjuntos tais que, para cada α, a restricaop|Vα : Vα Ñ U e um homeomorfismo. Dizemos que p e um revestimento seexistir uma cobertura de B por abertos uniformemente revestidos.

Exemplo 21.1. Seja F um espaco topologico com a topologia discreta. Entaoa projeccao p : B F Ñ B e um revestimento.

Teorema 21.1. A funcao p : RÑ S1 definida por pptq cosp2πtq, sinp2πtq

e um revestimento.

Demonstracao. Seja U px, yq P S1 : x ¡ 0(. Entao p1pUq

n

n 1

4 , n 14

.

A restricao de p a cada intervalon 1

4 , n 14

e um homeomorfismo para

U , com inversa q : U Ñ n 1

4 , n 14

dada por qpx, yq arccospxqp2πqn,

pelo que U e uniformemente revestido. De modo semelhante mostramos queos abertos

px, yq P S1 : x 0(, px, yq P S1 : y ¡ 0

(e px, yq P S1 : y 0

(sao tambem uniformemente revestidos, o que completa a demonstracao.

A partir dum revestimento podemos construir outros:

Teorema 21.2. Seja p : E Ñ B um revestimento, B0 B e E0 p1pB0q.Entao p|E0 : E0 Ñ B0 e tambem um revestimento.

83

Teorema 21.3. Dados dois revestimentos pi : Ei Ñ Bi (com i 1, 2),p1 p2 : E1 E2 Ñ B1 B2 e tambem um revestimento.

Exemplo 21.2. A funcao p p : RRÑ S1 S1 e um revestimento do toropelo plano.

Exemplo 21.3. A funcao p 1 : R R Ñ S1 R e um revestimento.Como o espaco S1 R e homeomorfo a C t0u obtemos um revestimentoR R Ñ C t0u importante em analise complexa.

Definicao 21.2. Dado um revestimento p : E Ñ B e um caminho α : I Ñ B,chamamos levantamento de α a um caminho rα : I Ñ E tal que p rα α.

Exemplo 21.4. Para qualquer k P Z, o caminho γn em R definido por γnptq nt k e um levantamento de γn.

Teorema 21.4. Seja p : E Ñ B um revestimento, b0 P B, e seja α umcaminho em B com inıcio em b0. Entao:

(1) Para cada e0 P p1pb0q, existe um unico levantamento α de α cominıcio em e0.

(2) Levantamentos de caminhos homotopicos sao homotopicos.(3) Se E for simplesmente conexo, dois caminhos em B sao homotopicos

sse os seus levantamentos com inıcio no mesmo ponto terminaremtambem no mesmo ponto.

Demonstracao. Comecamos por provar (1). Dividimos a demonstracao emdois casos:

Caso 1: Assumimos primeiro que a imagem de α esta contida numaberto U uniformemente revestido. Comecamos por provar unici-dade. Temos p1pUq

Vi e assumimos e0 P V0. Entao, como Ie conexo, qualquer levantamento rα de α tem que ter imagem con-tida em V0. Como p|V0 : V0 Ñ U e um homeomorfismo, a condicaoα p rα implica que rα p1 α o que prova unicidade, e tambemexistencia, pois p1 α e um levantamento de α.

Caso 2: Consideramos agora o caso geral. Seja α um caminho emB e seja U uma cobertura de B por abertos uniformemente re-vestidos. Entao a coleccao

α1pUq(

UPUe uma cobertura de I

e pelo Lema do numero de Lebesgue, se tomarmos uma particao0 t0 t1 tn 1 do intervalo I em intervalos sufici-entemente pequenos, cada intervalo rti1, tis vai estar contido numaberto α1pUq e assim αpsq P U para ti1 ¤ s ¤ ti. Definimos rα re-cursivamente. Tomamos naturalmente rαp0q e0 e assumindo que rαja esta definida em r0, ti1s, como a imagem de rti1, tis esta contidanum aberto U P U , estamos no Caso 1, o que nos permite definir rαem r0, tis.

Provamos agora (2). Sejam rα, rβ os levantamentos de caminhos α, β cominıcio num ponto e0 P E. Dada uma homotopia H entre α e β em B,

84

repetindo o argumento em (1) vemos que existe uma homotopia rH : II ÑE tal que p rH H e rHp0, 0q e0. Vamos ver que rH e uma homotopia

entre rα e rβ.

(a) Como Hps, 0q αpsq, a unicidade de levantamento de caminhos

mostra que rHps, 0q rαpsq(b) Como o levantamento dum caminho constante e constante, e como

Hp0, tq b0, temos rHp0, tq e0 rαp0q. De igual modo vemos querHp1, tq e constante igual a rαp1q.(c) Finalmente, como rHp0, 1q e0 e Hps, 1q βpsq, temos rHps, 1q rβpsq. Note que em particular provamos que rβp1q rHp1, 1q rαp1q.

Falta apenas provar (3). Ja vimos que se α β entao rαp1q rβp1q. Reci-

procamente, se rαp1q rβp1q entao, como E e simplesmente conexo, existe

uma homotopia rH entre rα e rβ. Entao H p rH e uma homotopia entre αe β.

Podemos agora mostrar que:

Teorema 21.5. O grupo fundamental do cırculo e isomorfo a Z.

Demonstracao. Seja p : R Ñ S1 o revestimento pptq cosp2πtq, sinp2πtq,

seja b0 p1, 0q e seja e0 0 P p1pb0q. Para cada n P Z seja γn : I Ñ Ro caminho γnptq nt e seja γn p γn. Vamos ver que a correspondenciaφ : ZÑ π1pS1, b0q dada por φpnq rγns e um isomorfismo de grupos.

(1) φ e injectiva: se rγks rγns entao γk γn logo k γkp1q γnp1q n.

(2) φ e sobrejectiva: dado rγs P π1pS1, b0q, seja γ o levantamento deγ com inıcio em e0 0 e seja n γp1q; entao γp1q γnp1q logoγ γn, logo rγs φpnq.

(3) Falta verificar que φpknq φpkqφpnq, ou seja, que γkn γkγn.Para tal basta verificar que os levantamentos dos caminhos terminamno mesmo ponto. Seja γptq k nt; entao γk γ e o levantamentode γk γn com inıcio em e0 0, e γk γp1q n k.

Como aplicacao temos:

Teorema 21.6. Qualquer funcao f : B2 Ñ B2 tem um ponto fixo.

Demonstracao. Se f nao tiver nenhum ponto fixo podemos definir umafuncao r : B2 Ñ S1 do seguinte modo: para cada x P B2, a imagem rpxq ea interseccao com S1 da semirecta com inıcio em fpxq e na direccao de x.Se i : S1 Ñ B2 for a inclusao temos r i 1 logo r i 1. Mas entaor : π1pB2, aq Ñ π1pS1, aq e sobrejectivo, o que e impossıvel.

Exercıcios

(1) Dado um espaco topologico X mostre que a projeccao X NÑ X e umrevestimento.

85

(2) Construa tres revestimentos conexos com duas folhas da figura oito. Existemais algum?

(3) Construa tres revestimentos conexos com tres folhas da figura oito. Existemais algum?

(4) Mostre que se rα e um levantamento de α, rβ e um levantamento de β erαp1q rβp0q entao rα rβ e um levantamento de α β.(5) Seja p : E Ñ B um revestimento. Mostre que se p e injectiva entao p e

um homeomorfismo.(6) Seja p : R Ñ S1 o revestimento pptq pcosp2πtq, senp2πtqq. Seja γ um

laco em x0 p1, 0q P S1. Sabendo que o caminho γ : r0, 1s Ñ R dado por

γptq t4 3t3 4t2 7t

e um levantamento de γ, identifique o elemento rγs P π1pS1, x0q Z.(7) Considere o revestimento p : RÑ S1 definido por ppxq

cosp2πxq, sinp2πxqe considere os caminhos α, β em S1 definidos por:

αptq cosp2πt2q, sinp2πt2q e βptq

cosp4πtq, sinp4πtq .(a) Calcule os levantamentos de β com inıcio em x 0 e em x 1.(b) Calcule o levantamento de α β com inıcio em x 0.(c) Seja x0 p1, 0q. Qual o elemento de π1pS1, x0q Z representado

por α β?(8) Seja p : R Ñ S1 o revestimento dado por pptq pcosp2πtq, senp2πtqq.

Sejam α, β : r0, 1s Ñ S1 dois caminhos e seja β : r0, 1s Ñ R um levanta-mento de β. Sabendo que

αptq pcosp4πtq, senp4πtqq βptq tindique um levantamento de α e um levantamento de α β.

(9) Seja p : R Ñ S1 a funcao pptq cosp2πtq, sinp2πtq e considere os

caminhos α, β : r0, 1s Ñ S1 S1 definidos por

αptq pcosπt, sinπtq, p0, 1q βptq p1, 0q, psinπt, cosπtq(a) Justifique que a funcao p1 : RS1 Ñ S1S1 e um revestimento.(b) Calcule o levantamento de α com inıcio em

0, p0, 1q.

(c) Calcule o levantamento de β com inıcio em12, p0, 1q.

(d) Calcule o levantamento de α β com inıcio em0, p0, 1q.

(10) Seja X p1, yq : y P R( t1u R R2. Considere o revestimento p :

pZRqYpRt0uq Ñ XYS1 definido por ppx, yq cos 2πx, ysin 2πx

e o caminho α : r0, 1s Ñ X Y S1 definido por αptq

cos 2πt, sin 2πt.

(a) Calcule o levantamento de α com inıcio na origem.(b) Dado o caminho β : r0, 1s Ñ XYS1 definido por βptq p1, tq, calcule

o levantamento de α β com inıcio na origem.(11) Considere a funcao p : C Ñ C definida por ppzq z2. Identificando C

com R2 temos, em coordenadas cartesianas e coordenadas polares:

ppx, yq x2 y2, 2xy

, p

r cos θ, r sin θ

pr2 cos 2θ, r2 sin 2θ.

86

Seja B S1Yr1,8rt0u R2 e seja E BYs8,1st0u R2.(a) Mostre que a restricao de p a E define um revestimento p : E Ñ B.(b) Considere o caminho α : r0, 1s Ñ B definido por αptq p2 tq2 P C.

Determine o levantamento de α com inıcio em 2 P C.(c) Considere o caminho β : r0, 1s Ñ B definido por βptq ei2πt (ou

βptq cosp2πtq, sinp2πtq P R2). Calcule o levantamento de α β

com inıcio em 2 P C.(12) Seja p : S2 Ñ P2 a projeccao e considere o caminho α : r0, 1s Ñ S2 definido

por

αptq cospπtq, sinpπtq, 0

(a) Mostre que o levantamento de pα p α com inıcio em p1, 0, 0qe igual a αptq.

(b) Mostre que pα representa um elemento nao trivial no grupo funda-mental de P2 no ponto x0 rp1, 0, 0qs.

(c) Calcule o levantamento de ppαq ppαq com inıcio em p1, 0, 0q.(d) Mostre que o elemento rpαs rpαs P π1pP2, x0q e a identidade do

grupo.(13) Seja p : Sn Ñ Pn o quociente.

(a) Mostre que p e um revestimento.(b) Sabendo que, para n ¡ 1, a esfera Sn e simplesmente conexa o que

pode concluir sobre o grupo fundamental de Pn?(c) Para 1 k n, a inclusao Rk Ñ Rn induz uma funcao f : Pk Ñ Pm.

Mostre que f induz um isomorfismo de grupos fundamentais.(14) Dizemos que uma funcao f : X Ñ Y e um homeomorfismo local se qual-

quer ponto x P X tiver uma vizinhanca U tal que f |U e um homeomor-fismo.(a) Mostre que um revestimento e um homeomorfismo local.(b) Seja p : R Ñ S1 o revestimento do Teorema 21.1. Mostre que a

restricao de p a s0,8r e um homeomorfismo local.(c) Mostre que a restricao de p a s0,8r nao e um revestimento.

(15) Mostre que as funcoes f, g : S1 Ñ S1 definidas por fpzq zn e por gpzq 1zn (com z P S1 C sao revestimentos e calcule os homomorfismosinduzidos f e g.

(16) Use o revestimento p p : R R Ñ S1 S1 para mostrar que o grupofundamental do toro e isomorfo a Z Z.

(17) Seja p : E Ñ B um revestimento. Mostre que se E for conexo por arcose B for simplesmente conexo entao p e um homeomorfismo.

(18) Munkres, pag. 347, exercıcios 4,5; pag. 375, exercıcio 5.

22. Equivalencia homotopicaDefinicao 22.1. Dado um espaco X e um subespaco A X, uma retraccaoe uma funcao contınua r : X Ñ A tal que rpxq x para qualquer x P A.Dizemos que r e uma retraccao por deformacao se existir uma homotopia

87

H : X r0, 1s Ñ X tal que Hpx, 0q rpxq, Hpx, 1q x e, para qualquery P A, Hpy, tq y.

Seja i : AÑ X a inclusao. Entao r e uma retraccao sse r i 1.

Exemplo 22.1. A funcao r : R2t0u Ñ S1 definida por rpxq xx e umaretraccao por deformacao.

Teorema 22.1. Seja A X, e seja x0 P A. Se r e uma retraccao pordeformacao entao r : π1pX,x0q Ñ π1pA, x0q e um isomorfismo com inversai.

Definicao 22.2. Dois espacos X e Y dizem-se homotopicamente equivalen-tes se existirem funcoes f : X Ñ Y e g : Y Ñ X tais que f g e homotopicoa identidade em Y e g f e homotopico a identidade em X. Dizemos entaoque f e g sao equivalencias homotopicas.

Exemplo 22.2. Dois espacos homeomorfos sao homotopicamente equivalen-tes.

Se A for um retracto por deformacao de X entao A e X sao homotopi-camente equivalentes. Queremos provar agora que se f e uma equivalenciahomotopica, entao f e um isomorfismo.

Lema 22.1. Sejam x0, x1, y0, y1 P R. Dada uma funcao H : rx0, x1s ry0, y1s Ñ X, restringindo H as arestas do rectangulo temos os quatro ca-minhos em X:

h0ptq Hp1 tqx0 tx1, y0

, h1ptq H

p1 tqx0 tx1, y1

,

v0ptq Hx0, p1 tqy0 ty1

, v1ptq H

x1, p1 tqy0 ty1

.

Entao os caminhos h0 v1 e v0 h1 sao homotopicos.

Demonstracao. Consideremos os seguintes caminhos no rectangulo rx0, x1sry0, y1s:

h0ptq p1 tqx0 tx1, y0

, h1ptq

p1 tqx0 tx1, y1

,

v0ptq x0, p1 tqy0 ty1

, v1ptq

x1, p1 tqy0 ty1

,

Entao hi H hi e vi H vi (com i 1, 2). Como rx0, x1s ry0, y1s e

convexo, h0 v1 v0 h1, donde segue que h0 v1 v0 h1.

Sejam f, g : X Ñ Y funcoes homotopicas. Dado rγs P π1pX,x0q, queremoscomparar frγs P π1

Y, fpx0q

com grγs P π1

Y, gpx0q

.

Lema 22.2. Seja H : XI Ñ Y uma homotopia entre funcoes f, g : X Ñ Ye dado x0 P X seja α o caminho em Y de fpx0q para gpx0q definido porαptq Hpx0, tq. Entao g pα f.

88

Demonstracao. Seja γ um laco em x0 P X e consideremos a funcao F : I I Ñ Y definida por F ps, tq H

γpsq, t. Restringindo F as quatro arestas

do quadrado obtemos os caminhos:

h0ptq F pt, 0q fγptq, h1ptq F pt, 1q gγptq,v0ptq F p0, tq αptq, v1ptq F p1, tq αptq.

Pelo Lema 22.1 temos fγ α α gγ de onde se conlui imediatamenteque g pα f.

Teorema 22.2. Seja f : X Ñ Y uma equivalencia homotopica. Entao,para qualquer x0 P X, o homomorfismo f : π1pX,x0q Ñ π1

X, fpx0q

e um

isomorfismo.

Demonstracao. Dividimos a demonstracao em dois passos.

(1) Primeiro mostramos que, se f e uma equivalencia homotopica, entaof : π1pX,x0q Ñ π1

X, fpx0q

e injectiva. Tomando g : Y Ñ X tal

que g f 1, pelo Lema 22.2 a composicao

(1) π1pX,x0q fÝÑ π1

X, fpx0q

gÝÑ π1

X, g fpx0q

e um isomorfismo, logo f e injectiva e g e sobrejectiva.

(2) Para terminar a demonstracao basta observar que g : Y Ñ X etambem uma equivalencia homotopica logo o homomorfismo g em (1)e injectivo, sendo portanto um isomorfismo. Como g f e tambemum isomorfismo, segue que f e um isomorfismo.

Exercıcios

(1) Mostre que os seguintes espacos sao homotopicamente equivalentes a umespaco conhecido e aproveite para calcular o grupo fundamental:(a) B2 S1.(b) S1 R.(c)

x P R2 : x ¥ 1

(.

(d) x P R2 : x 1

(.

(e) x P R2 : x ¡ 1

(.

(f) S1 Y R t0u.

(g) S1 Y pR Rq.(h) R2

R t0u.(i) S1 p1, 0q(.(j) A uniao dos cırculos de raio um centrados em p1, 0q e em p1, 0q

menos o ponto p2, 0q.(k) A uniao dos cırculos de raio um centrados em p1, 0q e em p1, 0q

menos os pontos p2, 0q.(l) tpx, yq P R2 : xy 0u.

(m) R3 menos o eixo dos zz.(n) S2 menos um ponto.(o) S2 menos dois pontos.

89

(p) R3 menos os semieixos nao negativos dos xx e dos yy.(q) R2

I t0u.(2) Seja x0 P S1. Mostre que existem retraccoes S1 S1 Ñ S1 tx0u mas

nao existe nenhuma retraccao por deformacao entre estes espacos.(3) A banda de Moebius M e o quociente do quadrado I2 pela relacao de

equivalencia que identifica, para cada x P I, os pontos p0, xq e p1, 1 xq.Calcule o grupo fundamental de M .

(4) Seja P pzq znan1zn1 a1za0 um polinomio com coeficientes

ai P C. Vamos ver por absurdo que P tem pelo menos um zero. Paratal assumimos que P pzq 0 e pensamos no polinomio como uma funcaoP : C t0u Ñ C t0u.(a) Mostre que H1 : pC t0uq I Ñ C t0u dada por H1pz, tq P ptzq

e uma homotopia entre P e uma constante.(b) Mostre que H2 : pC t0uq I Ñ C t0u dada por

H2pz, tq tnP pztq zn tan1zn1 tn1a1z tna0

e uma homotopia entre P e zn.(c) Mostre que zn nao e homotopico a uma constante.

(5) Construa um retracto por deformacao de R2 para I t0u. Sugestao:comece com um retracto para a bola.

(6) Seja x P R2 tal que x ¡ 1. Mostre que S1 nao e um retracto de R2txu.(7) Um espaco X diz-se contractil se a identidade X Ñ X for homotopica

a uma constante. Mostre que X e contractil sse for homotopicamenteequivalente a um ponto.

(8) Mostre que um retracto dum espaco contractil e tambem contractil.(9) Seja X a figura oito e seja Y o espaco theta. Descreva funcoes f : X Ñ Y

e g : Y Ñ X que sejam homotopicamente inversas.(10) Mostre que Pn menos um ponto e homotopicamente equivalente a Pn1.

Sugestao: Pn e homeomorfo ao quociente da bola fechada Bn Rn pelarelacao de equivalencia que identifica os pontos de Sn1 Dn diametral-mente opostos.

(11) Mostre que qualquer homeomorfismo h : B2 Ñ B2 satisfaz hpS1q S1.Sugestao: o que acontece se retirarmos um ponto a B2?

(12) Seja a p1, 0q P S1. Mostre queS1 tau Y tau S1

e um retracto

por deformacao de S1 S1 pa, aq(.(13) Seja G um espaco topologico, a P G, e suponha que existe uma funcao

contınua µ : GGÑ G tal que µpa, xq µpx, aq a para todo o x P G.Mostre que π1pG, aq e abeliano. Sugestao: dados lacos α, β em G use µe o Lemma 22.1 para mostrar que α β β α.

(14) Seja f : X Ñ Y uma funcao contınua. Considere a relacao de equivalenciaem pX r0, 1sq Y Y definida por px, 0q fpxq para todo o x P X. SejaM o quociente e seja p : pX r0, 1sq Y Y Ñ M a projeccao. Mostre queppY q e um retracto por deformacao de M .

(15) Sejam X, Y espacos homotopicamente equivalentes. Mostre que se X econexo por arcos, entao Y e tambem conexo por arcos.

90

(16) Munkres, pag. 366, exercıcio 9.

23. Produto livre de gruposDefinicao 23.1. Seja tGαuαPJ uma coleccao parametrizada de grupos. Oproduto livre dos grupos Gα, que representamos por αGα, e o conjuntodas ”palavras”pg1, g2, . . . , gkq em que, para cada i temos gi P Gαi t1u comαi1 αi. A multiplicacao em αGα e definido recursivamente no numerode letras:

(1) A palavra vazia H e a identidade: w H H w w.(2) Se gk e h1 pertencem a grupos diferentes, pg1, . . . , gkq ph1, . . . , hnq

pg1, . . . , gk, h1, . . . , hnq.(3) Se gk e h1 pertencem ao mesmo grupo e gkh1 1 entao pg1, . . . , gkq

ph1, . . . , hnq pg1, . . . , gk1, gkh1, h2, . . . hnq.(4) Se gk e h1 pertencem ao mesmo grupo e gkh1 1 entao o produto

e definido recursivamente por pg1, . . . , gk1, gkq ph1, h2, . . . , hnq pg1, . . . , gk1q ph2, . . . , hnq.

Note que um grupo Gα pode ser visto como um subgrupo do produtolivre Gα, nomeadamente o subgrupo das palavras de comprimento menorou igual a um com letras em Gα.

Exemplo 23.1. O grupo Z2 Z2 e formado por palavras da forma pabqn,pabqna, pbaqn e apbaqn, com n P N0.

Teorema 23.1. O conjunto G αGα com a multiplicacao acima definidae um grupo.

Demonstracao. A palavra vazia H e a identidade e, por inducao em k, oinverso de pg1, . . . , gkq e pg1

k , . . . , g11 q. Falta mostrar que a multiplicacao e

associativa. SejaG αGα. Dada um g P G com uma so letra seja Lg : GÑG a multiplicacao a esquerda por g: Lg

ph1, . . . , hnq gph1, . . . , hnq. Dada

uma palavra w pg1, . . . , gkq P G, definimos Lw Lg1 Lgk . Vamosprovar que Lw1w2 Lw1 Lw2 . Comecamos por provar que

Lg Lh Lgh (g, h P Gα, gh 1).

Seja w px1, . . . , xnq-(1) Se x1 R Gα entao:

LgpLhwq Lgph, x1, x2, . . . , xnq pgh, x1, . . . , xnq Lghw

(2) Se x1 P Gα e hx1 1 entao

LgpLhwq Lgphx1, x2, . . . , xnq #pghx1, x2, . . . , xnq ghx1 1

px2, . . . , xnq ghx1 1

que e igual a Lghw gh w.(3) Se Se x1 P Gα e hx1 1 entao ghx1 g 1 logo

LgpLhwq Lgpx2, . . . , xnq pg, x2, . . . , xnq e Lghw pghx1, x2, . . . , xnq pg, x2, . . . , xnq

91

De modo inteiramente analogo verificamos que Lg Lg1 Id. Podemosagora provar o caso geral. Escrevendo w1 g1 . . . gn e w2 h1 . . . hk temos

Lw1 Lw2 Lg1 Lgn Lh1 LhkTemos tres casos:

(1) Se g1 h1 estao em grupos diferentes w1 w2 g1 . . . gnh1 . . . hk e oresultado segue de imediato.

(2) Se gn, h1 P Gα e gnh1 1 entao w1 w2 g1 . . . pgnh1q . . . hk e oresultado segue de Lgn Lh1 Lgnh1 .

(3) Se gn, h1 P Gα e gnh1 1 entao w1 w2 g1 . . . gn1h2 . . . hk e oresultado segue de Lgn Lh1 Id.

Podemos agora provar associatividade:

Lpw1w2qw3 pLw1 Lw2q Lw3

e usando a associatividade da composicao:

Lw1 pLw2 Lw3q Lw1pw2w3q

Para qualquer palavra w P G temos LwpHq w portanto aplicando aigualdade acima a palavra vazia obtemos pw1 w2q w3 w1 pw2 w3q.

Teorema 23.2. Dado um grupo G, uma coleccao de grupos tGαuαPJ e, paracada α P J , homomorfismos φα : Gα Ñ G, existe um unico homomorfismoφ : Gα Ñ G cuja restricao a cada Gα e igual a φα.

Demonstracao. Primeiro provamos unicidade. Dada uma palavra g1 gk,com gi P Gαi , como φ e um homomorfismo temos

φpg1, . . . , gkq φpg1 g2 gkq φpg1qφpg2q . . . φpgkqpelo que necessariamente φpg1 gmq φα1pg1q φαkpgkq. Para provarexistencia verificamos que φ, assim definido, e um homomorfismo.

Teorema 23.3. Dados grupos G1, G2 e subgrupos normais Gi Ni, comi 1, 2, seja G G1 G2 e N G o menor subgrupo normal que contemN1 e N2. Entao:

GN pG1N1q pG2N2qDemonstracao. Para cada i 1, 2, o homomorfismo

Gi Ñ G1 G2 Ñ pG1 G2qNinduz um homomorfismo GiNi Ñ GN , e portanto obtemos um homomor-fismo

φ : pG1N1q pG2N2q Ñ GNPara cada i 1, 2, temos homomorfismos

Gi Ñ GiNi Ñ pG1N1q pG2N2q

92

e portanto temos um homomorfismo G1G2 Ñ pG1N1qpG2N2q que induzum homomorfismo

ψ : GN Ñ pG1N1q pG2N2qVerifica-se facilmente que φ e ψ sao inversos um do outro.

23.1. Grupos livres, geradores e relacoes

Definicao 23.2. Chamamos grupo livre em n geradores ao produto livrede n copias de Z.

Podemos pensar no grupo Z como um grupo com um gerador g: identifi-camos os elementos n P Z com gn; deste modo a soma em Z corresponde aoproduto: gngk gnk. Dadas n copias de Z, com geradores g1, . . . , gn, oselementos do produto livre Z Z sao as palavras na forma gk1i1 g

k2i2 gkmim

com 1 ¤ i1, . . . , im ¤ n, ij1 ij e k1, . . . , km P Z.

Definicao 23.3. Dizemos que um grupoG e gerado por elementos h1, . . . , hn PG se qualquer elemento de G puder ser escrito na forma hk1i1 h

k2i2 hkmim .

Teorema 23.4. Um grupo G e gerado por elementos h1, . . . , hn P G sseexistir um homomorfismo sobrejectivo φ : Z ZÑ G com φpgiq hi.

Definicao 23.4. Dado um homomorfismo sobrejectivo φ : Z Z Ñ Ge palavras u, v P Z Z, dizemos que existe uma relacao u v emG se φpuq φpvq. Dizemos que G e gerado por g1, . . . , gn com relacoesu1 v1, . . . , uk vk se os elementos u1v

11 , . . . , ukv

1k gerarem kerφ.

Exemplo 23.2. O grupo Zn tem um gerador g e uma relacao gn 1. Ogrupo Z Z tem dois geradores g1, g2 e uma relacao g1g2 g2g1.

Definicao 23.5. Chamamos abelianizacao dum grupo G ao quociente de Gpelo subgrupo normal gerado pelas relacoes gh hg, com g, h P G.

Exercıcios

(1) Escreva uma representacao do grupo Z2 Z2 em termos de geradorese relacoes.

(2) Escreva uma representacao do grupo de permutacoes de tres elementosem termos de geradores e relacoes.

(3) Considere o grupo G com geradores a, b e relacao a bab.(a) Mostre que o subgrupo gerado por b e normal e que o quociente e

isomorfo a Z.(b) Calcule a abelianizacao de G.(c) Mostre que G e isomorfo ao grupo tx, y : x2 y2u.

(4) Mostre que o grupo ta, b : a3 b2u e isomorfo ao grupo tx, y : xyx yxyu. Sugestao: a xy e b xyx.

(5) Mostre que pZ2qpZ2q e isomorfo ao grupo com geradores a, b e relacoesa2 1 e aba b1.

93

(6) Escreva o grupo ta, b : aba3b1a1 1u como o produto livre de doisgrupos cıclicos.

(7) Sejam G1, G2 grupos com mais que um elemento e seja G G1 G2.Chamamos comprimento dum elemento x P G ao numero de letras dapalavra que representa x.(a) Mostre que, para qualquer g P G1 G2, existe um h P G1 G2 tal

que gh hg (em particular G1 G2 nao e abeliano).(b) Mostre que se x P G tiver comprimento par entao gn 1 para

qualquer n P N (e portanto G1 G2 tem subgrupos isomorfos a Z).(c) Mostre que se x P G tiver comprimento ımpar maior que um entao

x e conjugado a um elemento de comprimento inferior.(d) Seja x P G tal que xn 1 para algum n P N. Mostre que x e

conjugado a um elemento de G1 ou a um elemento de G2.(8) Seja G G1 G2 e dado c P G seja cGc1 tcxc1 : x P Gu. Mostre

que cGc1 XG2 t1u.(9) Munkres, pag. 454 exercıcios 6, 7.

24. O Teorema de Seifert-van KampenSeja X um espaco topologico. Seja tUαuαPJ uma cobertura aberta de X talque

Uα H e seja a P

Uα. Entao as inclusoes iα : Uα Ñ X induzemum homomorfismo de grupos

φ : jPJ

π1pUα, aq ÝÑ π1pX, aq

cuja restricao a cada grupo π1pUα, aq e igual a piαq. Dados j, k P J , sejaγ : r0, 1s Ñ Uα X Uβ um laco em a. Entao γ pode ser visto como umcaminho em Uα ou como um caminho em Uβ, ou ainda como um caminho emX. Representamos por rγsα e por rγsβ respectivamente o caminho γ vistocomo um elemento de π1pUα, aq ou de π1pUβ, aq. Entao, como elementos doproduto livre temos rγsα rγsβ, mas φ

rγsα φrγsβ.

Teorema 24.1. Seja tUαu uma cobertura aberta de X tal que a interseccaode quaisquer tres abertos Uα1XUα2XUα3 e conexa por arcos. Seja x P Uα.Entao o homomorfismo

φ : α π1pUα, xq ÝÑ π1pX,xqe sobrejectivo, e o seu nucleo e igual ao subgrupo normal N gerado pelasrelacoes rγsα rγsβ, com j, k P J e γ um caminho em Uα X Uβ. Assim, φinduz um isomorfismo απ1pUα, xq

LN π1pX,xq.

Antes de passarmos a demonstracao observemos o seguinte:

(1) Dado um intervalo ra, bs R chamamos homeomorfismo linear afuncao ψ : r0, 1s Ñ ra, bs definida por ψptq p1tqatb com inversaψ1ptq pt aqpb aq. Qualquer funcao β : ra, bs Ñ X induz umcaminho α em X, nomeadamente: α β ψ. Reciprocamente,

94

qualquer caminho α em X da origem a uma funcao β : ra, bs Ñ X,nomeadamente: β α ψ1.

(2) Seja 0 t0 t1 tk1 tk 1 a particao do intervalo r0, 1sem n intervalos iguais (ou seja, ti in). Dados pontos x0, . . . , xn PX e caminhos αi de xi1 para xi (em que i 1, . . . , n), definimosα1 αn : r0, 1s Ñ X como o caminho cuja restricao a cadaintervalo rti1, tis e a funcao induzida por αi.

(3) Dada uma qualquer particao 0 t0 t1 tk1 tk 1 dointervalo r0, 1s e um caminho α : r0, 1s Ñ X, a restricao de α a cadaintervalo rti1, tis da origem a um caminho αi : r0, 1s Ñ X, e temosα α1 αk.

Passemos a demonstracao do Teorema de Seifert-van Kampen:

Demonstracao. Vamos assumir que a interseccao de quaisquer 4 abertos dacobertura e conexa por arcos. Deixamos o caso geral como exercıcio.

Como φprγsαq φprγsβq, o homomorfismo φ induz um homomorfismorφ : π1pUα, xqLN Ñ π1pX,xq. Vamos provar que rφ e um isomorfismo.

Primeiro provamos que φ (e portanto tambem rφ) e sobrejectivo. Sejaγ : r0, 1s Ñ X um caminho fechado em X e seja δ um numero de Lebesgueda cobertura γ1pUαq do intervalo r0, 1s. Entao, tomando uma particao0 t0 t1 tn1 tn 1 do intervalo r0, 1s com ti ti1 δ, aimagem de cada intervalo rti1, tis vai estar contida num aberto Uαi . Sejaγi o caminho induzido pela restricao de γ a rti1, tis. Entao γ γ1 γkmas os caminhos γi podem nao ser lacos. Para cada i 1, . . . , k 1 sejaαi um caminho em Uαi1 X Uαi ligando o ponto γptiq a x0. Sejam tambemα0 αk ex0 e seja rγi αi1 γi αi. Entao rγi e um laco em Uαi eγ rγ1 γk logo rγs φ

rrγ1sα1 rrγnsαn o que termina a demonstracaoda sobrejectividade.

Falta mostrar que rφ e injectivo. Seja g P π1pUα, xqLN e vamos supor

que rφpgq 1. Queremos mostrar que g 1. O elemento g e representado por

um elemento rγ1sα1 rγksαk P απ1pUα, xq. A imagem rφpgq e representadapelo caminho γ1 γk em X (recorde que este caminho e obtido dividindoI em k intervalos iguais), e existe uma homotopia de caminhos H : II Ñ Xentre γ1 γk e o caminho constante ea. Dividindo cada subintervalocorrespondente a cada γi em n intervalos iguais, obtemos uma particao deI em kn intervalos iguais: 0 t0 t1 tkn 1. Esta particaodivide o quadrado I I em pknq2 quadrados Qi,j (em que i, j 1, . . . , kn),e para n suficientemente grande, a imagem por H de cada quadrado Qi,jvai estar contida num aberto Uαi,j . Restringindo H a cada aresta horizontalrti1, tisttju e a cada aresta vertical ttiurtj1, tjs dos quadrados obtemosos caminhos:

hi,jpsq Hp1 sqti1 sti, tj

e vi,jpsq H

ti, p1 sqtj1 stj

.

Entao:

95

(1) Para quaisquer i, j 1, . . . , kn temos hi,kn v0,j vkn,j ea.(2) Para cada caminho γ1, . . . , γk temos:

γ1 h1,0 h2,0 hn,0 como caminhos em Uα1 ;

γ2 hn1,0 h2n,0 como caminhos em Uα2 ;

...

γk hknn1,0 hkn,0 como caminhos em Uαkn .

(3) Pelo Lema 22.1 na pagina 87, os caminhos hi,j1 vi,j e vi1,j hi,jsao homotopicos em Uαi,j .

A cada vertice pti, tjq associamos um caminho fij unindo o ponto Hpti, tjqao ponto a do seguinte modo:

Se Hpti, tjq a tomamos fij ea. Para i, j 0, tomamos o caminho fij no aberto Uαij X Uαi,j1 XUαi1,j X Uαi1,j1 que, por hipotese, e conexo por arcos (a demons-tracao ainda funciona se tomarmos fij em apenas 3 dos abertos;quais?).

Para j 0 e ti P spm 1qk,mkr tomamos o caminho fij emUαi,j1 X Uαi1,j1 X Uαm .

Seja rhi,j f i1,j hi,j fi,j e rvi,j f i,j1 vi,j fi,j . Cada caminho rhi,j e

um laco nalgum aberto Uα definindo um elemento rrhijsα P βπ1pUβ, xq. Se

a imagem de rhi,j estiver tambem contida tambem noutro aberto Uα1 , entao

rrhijsα e rrhijsα1 sao iguais no quociente, pelo que escrevemos simplesmente

rrhijs P βπ1pUβ, xqLN . A mesma observacao e valida para os caminhos

vij . Entao:

(1) Para quaisquer i, j temos rrhi,kns rrv0,js rrvkn,js 1.(2) Para cada caminho γ1, . . . , γk temos:

γ1 rh1,0 rhn,0 como lacos em Uα1 ;

γ2 rhn1,0 rh2n,0 como lacos em Uα2 ;

...

γk rhknn1,0 rhkn,0 como lacos em Uαkn ,

logo rγ1s rγks rrh1,0s rrhkn,0s em βπ1pUβ, xqLN .

(3) Para quaisquer i, j temos rhi,j1 rvi,j rvi1,j rhi,j como lacos em

Uαi,j , logo rrhi,j1srrvi,js rrvi1,jsrrhi,js em βπ1pUβ, xqLN .

Para cada j 0, . . . , kn seja gj rrh1,jsrrh2,js rrhkn,js. Entao g0 g egkn 1 pelo que, para terminar a demonstracao, basta mostrar que gj

96

gj1 para todo o j. Temos:

gj1 rrh1,j1srrh2,j1s rrhkn,j1s rrv0,jsrrh1,j1srrh2,j1s rrhkn,j1s rrh1,jsrrv1,jsrrh2,j1s rrhkn,j1s rrh1,jsrrh2,jsrrv2,js rrhkn,j1s...

rrh1,js rrhkn,jsrrvkn,js gj

o que termina a demonstracao.

Exemplo 24.1. Para n ¡ 1 podemos escrever Sn UYV com U e V abertoscontracteis e U X V conexo por arcos logo Sn e simplesmente conexa.

Teorema 24.2. Seja X a uniao de subespacos fechados S1, . . . , Sk homeo-morfos a S1 e intersectando-se em exactamente um ponto, isto e: existe uma P X tal que Si X Sj tau para quaisquer i j. Entao π1pX, aq e o grupolivre com k geradores representados por caminhos γ1, . . . , γk, em que cadacaminho γi e um gerador de π1pSi, aq.Demonstracao. Seja xi P Si um ponto diferente de a. Entao Si txiu ehomeomorfo a R logo existe um retracto por deformacao ri : Sitxiu Ñ tau.Seja Ui Si Y

ji Sj txju. Entao, como os Si sao fechados, existem

retractos por deformacao Ui Ñ Si e Ui XUj Ñ tau, para i j. O resultadosegue agora directamente do Teorema de Seifert-van Kampen.

Teorema 24.3. Seja p : B2 Ñ X o quociente da bola B2 tx2 y2 ¤ 1u R2 por uma relacao de equivalencia que identifica apenas pontos na fronteiraS1 B2 e seja A ppS1q. Seja a P S1. Entao a inclusao i : A Ñ X induzum homomorfismo i : π1pA, rasq Ñ π1pX, rasq sobrejectivo cujo nucleo eigual a imagem do homomorfismo p : π1pS1, aq Ñ π1pA, rasq.Demonstracao. Seja U p

B2 t0u e seja V ppB2 S1q. Entao

U X V ppintB2 t0uq. Seja b a2 P intB2 t0u. Como V econtractil, o Teorema de Seifert-van Kampen diz-nos que o homomorfismoj : π1pU, rbsq Ñ π1pX, rbsq e sobrejectivo com nucleo igual a imagem do ho-momorfismo π1

U X V, rbs Ñ π1

U, rbs. Seja γ um laco em b que da uma

volta a origem. Entao pγ representa um elemento em π1pUXV, bq Z quee um gerador, e que portanto gera o nucleo de j. A funcao rpxq xxinduz uma retraccao por deformacao rr : U Ñ A o que mostra que i e so-brejectivo, com nucleo gerado por rr prγs p rrγs. Mas rrγs e umgerador de π1pS1, aq, o que termina a demonstracao.

Exemplo 24.2. O toro e um quociente do quadrado II obtido identificandopontos na fronteira. Como I I e homeomorfo a B2, o grupo fundamentaldo toro pode ser calculado usando o Teorema 24.3.

97

Exercıcios

(1) Seja x p1, 0, . . . , 0q P Rn1 e seja U Sn txu.(a) Justifique que U, U sao abertos em Sn.(b) Mostre que U X U e conexo por arcos para n ¡ 1. Sugestao:

recorde que temos homeomorfismos U, U Rn.(c) Mostre que a esfera Sn e simplesmente conexa para n ¡ 1.

(2) Seja X a uniao de dois abertos U , V tais que U XV e nao vazia e conexapor arcos. Seja a P U X V e sejam i : U X V Ñ U e j : U X V Ñ V asinclusoes. Calcule π1pX, aq sabendo que:(a) π1pU, aq π1pV, aq π1pU X V, aq Z, i e trivial e j e multi-

plicacao por n.(b) π1pU, aq π1pV, aq π1pU X V, aq Z, i e j sao isomorfismos(c) π1pU, aq π1pU X V, aq Z, π1pV, aq Z Z com geradores g, h, i

e um isomorfismo e j leva um gerador de Z para g.(d) U e simplesmente conexo, π1pU X V, aq Z, π1pV, aq Z Z com

geradores a e b, e j leva um gerador de Z para a.(e) π1pU, aq π1pU X V, aq Z, π1pV, aq Z2 e i e multiplicacao por

n.(3) Complete a demonstracao do Teorema 24.2: mostre que se X

Ui ea P

Ui, com Ui abertos tais que π1pUi, aq Z e Ui X Uj simplesmenteconexos para quaisquer i j, entao π1pX, aq e o grupo livre gerado pelasimagens dos geradores de π1pUi, aq.

(4) Sejam B e B as bolas fechadas de raio um em R2 centradas em p1, 0qe p1, 0q, respectivamente e seja X B YB.(a) Mostre que X e simplesmente conexo.(b) Sejam U X p1, 0q( e V X p1, 0q(. Use o Teorema de

Seifert–van Kampen com os abertos U e V para calcular o grupofundamental de X.

(5) Calcule o grupo fundamental da uniao da esfera S2 com o disco B2 noplano xy.

(6) SejaX um espaco topologico, x P X, e suponha que existe uma vizinhancaU de x homeomorfa a uma bola em Rn (com n ¡ 1). Mostre que a inclusaoX txu Ñ X induz um isomorfismo de grupos fundamentais.

(7) Seja p : Bn Ñ X o quociente de Bn por uma relacao de equivalencia queidentifica apenas pontos na fronteira Sn1 Bn. Mostre que para n ¡ 2a inclusao ppSn1q Ñ X induz um isomorfismo de grupos fundamentais.

(8) Seja K R3 um compacto e seja S3 a compactificacao de Alexandrof deR3. Mostre que a inclusao R3 K Ñ S3 K induz um isomorfismo degrupos fundamentais.

(9) Seja f : S1 Ñ S1 a funcao definida por fpzq zn, com z P C. A funcaof induz uma relacao de equivalencia em S1: x y sse fpxq fpyq. Sejap : B2 Ñ X o quociente obtido identificando os pontos de S1 por estarelacao.(a) Mostre que o grupo fundamental de X e isomorfo a Zn.

98

(b) Mostre que, para n 2, o espaco X e homeomorfo a P2.(10) Seja X a uniao de subespacos fechados X1, . . . , Xn com um ponto em

comum, isto e, existe um p P X tal que Xi X Xj tpu para quaisqueri j. Assumindo que para cada i existe em Xi uma vizinhanca Ui de ptal que a inclusao tpu Ñ Ui e uma equivalencia homotopica, mostre que ogrupo fundamental de X e o produto livre dos grupos fundamentais dosespacos Xi.

(11) Calcule o grupo fundamental da uniao da esfera S2 com um segmentounindo o polo norte ao polo sul. Sugestao: Exercıcio 19 na pagina 25.

(12) Seja X U1 Y U2 em que U1 e U2 sao abertos em X e U1 X U2 e naovazio e conexo por arcos, e seja a P U1XU2. Considere os homomorfismosφi : π1pU1 X U2, aq Ñ π1pUi, aq, ψi : π1pUi, aq Ñ π1pX, aq e ψ12 : π1pU1 XU2, aq Ñ π1pX, aq induzidos pelas inclusoes. Mostre que:(a) Se φ2 for um isomorfismo entao ψ1 e um isomorfismo.(b) Se φ1 e φ2 forem sobrejectivos entao ψ12 e sobrejectivo e kerψ12 e

gerado por kerφ1 e kerφ2.(c) Se φ2 for sobrejectivo entao ψ1 e sobrejectivo. O que pode dizer

sobre kerψ1?(13) Munkres, pag. 370, exercıcios 1, 3, 4(14) Seja tUiu uma cobertura aberta dum espaco X tal que cada Ui e simples-

mente conexo, cada interseccao Ui XUj e conexa por arcos ei Ui H.

Mostre que X e simplesmente conexo.(15) Seja T S1 S1 o toro, p : R2 Ñ T o revestimento usual. Seja A uma

matriz 2 2 de entradas inteiras.(a) Mostre que A : R2 Ñ R2 induz uma funcao contınua A : T Ñ T tal

que p A A p.(b) Mostre que se detA 1 entao A e um homeomorfismo.(c) Seja B2 tx2 y2 ¤ 1u R2. Sejam C1 B2 S1, C2 S1 B2

toros solidos, Ti Ci as “fronteiras”. Seja A como acima, detA 1. Construimos um espaco topologico M colando C1 e C2 ao longode T1,T2 usando A : T1 Ñ T2. Isto e,

M C1

²C2

e o quociente pela relacao de equivalencia que identifica x Axpara x P T1. Calcule π1pM,x0q, x0 P T1, em funcao das entradas damatriz A.

25. VariedadesDefinicao 25.1. Chamamos variedade de dimensao n a um espaco de Haus-dorff com uma base contavel em que cada ponto tem uma vizinhanca home-omorfa a Rn.

Qualquer bola aberta e homeomorfa a Rn: e facil de ver que qualquerbola e homeomorfa a bola Bp0, 1q e a funcao f : Bp0, 1q Ñ Rn dada por

99

fpxq xp1 xq e um homeomorfismo entre Bp1, 0q e Rn com inversaf1pyq yp1 yq.Exemplo 25.1. Qualquer aberto U Rn e uma variedade de dimensao n.

Exemplo 25.2. A esfera Sn e o espaco projectivo Pn sao variedades de di-mensao n.

Exemplo 25.3. O produto de duas variedades e uma variedade. Por exemplo,o toro S1 S1 e uma variedade de dimensao 2.

Podemos construir novas variedades usando a chamada soma conexa:

Definicao 25.2. Sejam X e Y variedades de dimensao n, e sejam φ : Rn ÑX e ψ : Rn Ñ Y mergulhos com imagem aberta. Seja Bn Rn a bolaaberta de raio um centrada na origem e seja Sn1 Rn a esfera de raio um.Chamamos soma conexa de X e Y ao quociente

X#Y X φpBnq²

Y ψpBnq ,

em que e a relacao de equivalencia que para cada t P Sn1 identifica ospontos φptq ψptq.Exemplo 25.4. Para qualquer variedadeX de dimensao n temosX#Sn X.

Teorema 25.1. Qualquer variedade compacta X pode ser mergulhada emRN , para N suficientemente grande.

Demonstracao. Para cada x P X tomamos uma vizinhanca Ux homeomorfaa Rn; seja gx : Ux Ñ Rn um homeomorfismo. Como X e normal podemostomar Vx,Wx P Vx tais que W x Vx e V x Ux. Seja Wx1, . . . ,Wxk umasubcobertura de X. Pelo lema de Urysohn existem funcoes φi : X Ñ r0, 1stais que φi 1 em W i e φi 0 em X Vi. Seja hi : X Ñ Rn a funcaodefinida por

hipxq #φipxqgipxq x P V i

0 x P X Vi

Entao a funcao f pf1, . . . , fk, λ1, . . . , λkq : X Ñ Rnkk e contınua e bijec-tiva. Como X e compacto e Rnkk e Hausdorff, a funcao f e um mergu-lho.

Chamamos suporte duma funcao f : X Ñ R ao conjunto supp f tx P X : fpxq 0u.As funcoes φi acima tem a propriedade que suppφi Ui e

°φipxq ¡ 0

para qualquer x P X. Se definirmos ψi φip°φiq entao suppψi Ui e°

ψi 1.

Definicao 25.3. Seja tU1, . . . , Unu uma cobertura aberta de X. Umaparticao da unidade subordinada a cobertura e uma coleccao de funcoesφ1, . . . , φn : X Ñ R tais que:

(1) suppφi Ui.(2) Para qualquer x P X,

°ni1φipxq 1.

100

Exercıcios

(1) Seja X e uma variedade de dimensao n. Mostre que qualquer vizinhancadum ponto x P X contem uma vizinhanca de x homeomorfa a Rn.

(2) Mostre que um ponto x P X tem uma vizinhanca homeomorfa a Rn ssex tiver uma vizinhanca homeomorfa a um aberto em Rn.

(3) Mostre que um subespaco aberto duma variedade e tambem uma varie-dade com a mesma dimensao.

(4) Mostre que qualquer variedade e localmente compacta.(5) Mostre que, se X e uma variedade de dimensao n, e Y e uma variedade

de dimensao m, entao X Y e uma variedade de dimensao nm.(6) Mostre que o grafico duma funcao contınua f : Rk Ñ Rn e uma variedade

de dimensao k.(7) Mostre que a esfera Sn tx P Rn1 : x 1u e uma variedade de di-

mensao n. Sugestao: considere as funcoesbx 2

0 x 2k1 x 2

k1 x 2n .

(8) Mostre que o plano projectivo Pn e uma variedade de dimensao n.(9) Mostre que qualquer variedade e metrizavel.

(10) Um espaco diz-se localmente n-euclideano se qualquer ponto tiver umavizinhanca homeomorfa a Rn. SejaX um espaco localmente n-euclideano.(a) Mostre que X e localmente compacto.(b) Mostre que, se X for compacto de Hausdorff, entao X e uma varie-

dade.(c) Seja Y um espaco nao contavel com a topologia discreta. Mostre

que X Y e localmente n-euclideano mas nao e uma variedade.(d) Mostre que X e Hausdorff sse for completamente regular.(e) Seja X o quociente de R t1, 1u pela relacao de equivalencia que

identifica, para x 0, os pontos px, 1q px,1q. Mostre que X elocalmente 1-euclideano e tem uma base contavel, mas nao e umavariedade.

(f) Mostre que o produto SΩ s0, 1s e localmente 1-euclideano e Haus-dorff, mas nao e uma variedade.

(11) Sejam X e Y variedades de dimensao n. Dados mergulhos φ : Rn Ñ X eψ : Rn Ñ Y considere a soma conexa X#Y .(a) Mostre que, se X Y Rn e φ e ψ forem a identidade entao X#Y

e homeomorfo a Sn1 R.(b) Mostre que X#Y e uma variedade de dimensao n.

(12) Mostre que num espaco normal, qualquer cobertura finita tem uma particaoda unidade a ela subordinada.

(13) Mostre que a soma conexa de duas variedades conexas de dimensao maiorque um e conexa. O que acontece em dimensao um?

(14) Sejam M1, M2 variedades conexas de dimensao n ¡ 2. Calcule o grupofundamental da soma conexa M1#M2 em termos dos grupos fundamen-tais de M1 e de M2.

101

(15) O plano projectivo complexo CP2 e uma variedade de dimensao quatrotal que, dado x P CP2, CP2 txu e homotopicamente equivalente a S2.Mostre que CP2 e simplesmente conexo.

26. Classificacao de superfıciesChamamos superfıcie a uma variedade de dimensao 2. Nesta seccao vamosver que qualquer superfıcie compacta e conexa e homeomorfa ou a S2, ou auma soma conexa de toros ou a uma soma conexa de planos projectivos.

26.1. Quocientes de Polıgonos

(1) Dados pontos p,q P Rn (com p q), o segmento entre p e q e oconjunto dos pontos p1 tqp tq p tpq pq com 0 ¤ t ¤ 1.Uma orientacao do segmento e uma ordenacao dos seus extremos pe q.

(2) Dados pontos p,q P Rn a funcao fptq p1 tqp tq e um homeo-morfismo entre r0, 1s e o segmento entre p e q (pois r0, 1s e compactoeRn e Hausdorff). Dado um segmento orientado de p1 para q1 e umsegmento orientado de p2 para q2 chamamos homeomorfismo linearao homeomorfismo que leva o ponto p1 tqp1 tq1 para o pontop1 tqp2 tq2.

(3) Dados angulos θ0 θ1 θn θ02π, seja vk pcos θk, sin θkq PS1. O polıgono P com vertices v1, . . . ,vn e o menor subconjuntoconvexo de R2 que contem os pontos v1, . . . ,vn.

(4) Chamamos arestas do polıgono P aos segmentos unindo os pontosvi1 e vi, com i 1, . . . , n. Um esquema de etiquetas para as arestasde P e:(a) uma escolha de orientacao para cada aresta de P ;(b) uma funcao do conjunto das arestas de P para um conjunto de

etiquetas taiuiPJ .(5) Dado um conjunto de polıgonos P1, . . . , Pk disjuntos dois a dois,

cada um com um esquema de etiquetas, definimos uma relacao deequivalencia em

Pi identificando as arestas com a mesma etiqueta

atraves do homeomorfismo linear que preserva as orientacoes.

E conveniente representar um esquema de etiquetas num polıgono de nlados por uma palavra da forma aε1i1a

ε2i2 aεnin em que aij e a etiqueta da

aresta vj1vj e εj 1 indica a orientacao da aresta: positiva de vj1 paravj e negativa de vj para vj1.

Exemplo 26.1. O toro e homeomorfo ao quociente dum quadrado com es-quema de etiquetas aba1b1. O plano projectivo e homeomorfo ao quoci-ente dum quadrado com esquema de etiquetas abab. A esfera e homeomorfaao quociente dum quadrado com esquema de etiquetas aa1bb1.

Definicao 26.1. Chamamos soma conexa de n toros, e representamos pornT2 T# #T, o quociente dum polıgono com 4n lados com esquema de

102

etiquetaspa1b1a

11 b1

1 qpa2b2a12 b1

2 q panbna1n b1

n q .Chamamos soma conexa de n planos projectivos, e representamos por Pn P# #P, o quociente dum polıgono com 2n lados com esquema de etique-tas

pc1c1qpc2c2q pcncnq .Chamamos Garrafa de Klein ao quociente dum quadrado com esquema deetiquetas abab1.

O nosso objectivo e provar que:

Teorema 26.1. Seja X uma superfıcie conexa e compacta. Entao X ehomeomorfa a S2, a nP2 ou a nT2, para algum n P N.

Para ja vamos mostrar que S2, nT2 e nP2 nao sao homeomorfos. Para talcalculamos o grupo fundamental.

Teorema 26.2. Seja X o quociente dum polıgono com esquema de etiquetasaε1i1 . . . a

εkik

. Se todos os vertices do polıgono forem identificados num unico

vertice rvs P X, entao π1pX, rvsq e isomorfo ao grupo gerado pelo conjuntodas etiquetas com uma relacao: aε1i1 . . . a

εkik 1.

Assim, o grupo fundamental de nP2 e isomorfo a a1, . . . , an; a2

1 . . . a2n 1

(O grupo fundamental do toro e isomorfo a

a1, b1, . . . , an, bn; ra1, b1s . . . ran, bns 1(

em que rg, hs ghg1h1 e o comutador. E difıcil provar directamente queestes grupos nao sao isomorfos.

Definicao 26.2. Chamamos abelianizacao dum grupo ao quociente de Gpelas relacoes gh hg, com g, h P G. Chamamos homologia-1 dum espaco,e representamos por H1pXq, a abelianizacao do grupo fundamental.

Teorema 26.3. Temos H1pS2q t0u, H1pnT2q Z2n e H1pnP2q Zn1Z2. Em particular, estes espacos nao sao homeomorfos.

Demonstracao. Para nP2 temos

H1pnP2q ta1, . . . , an1, an; 2pa1 anq 0u ta1, . . . , an1, x; 2x 0ucom x a1 an.

Identificamos no proximo teorema varias operacoes num esquema de eti-quetas que produzem quocientes homeomorfos. Neste teorema representa-mos as etiquetas por letras a, b, c, d, e um conjunto de etiquetas por rys ouw.

Teorema 26.4. Sejam P1, . . . , Pk polıgonos disjuntos 2 a 2, com esquemasde etiquetas rw1s, . . . , rwks. As seguintes operacoes produzem quocienteshomeomorfos:

103

(1) (Cortar) Substituir um dos polıgonos Pi com esquema rwis ry0sry1spor dois polıgonos com esquemas ry0sc1, cry1s, desde que a etiquetac nao apareca em mais nenhum lado.

(2) (Colar) Substituir ry0sc1, cry1s por ry0sry1s, desde que a etiqueta cnao apareca em mais nenhum lado.

(3) Substituir todas as ocurrencias duma etiqueta a por uma nova eti-queta c (que nao pode aparecer em mais nenhum lado).

(4) Mudar o sinal do expoente em todas as ocurrencias duma etiquetaa.

(5) (Rodar) Substituir um esquema rwis ry0sry1s por ry1sry0s.(6) (Imagem no espelho) Substituir um esquema rwis aε1i1 . . . a

εnin

pelo

seu inverso formal: rwis1 aεnin. . . aε1i1

.

(7) (Pacman) Substituir um esquema da forma rysaa1 por rys, desdeque a etiqueta a nao apareca em mais nenhum lado.

Exemplo 26.2. A garrafa de Klein K dada pelo esquema de etiquetas abab1

e homeomorfa a P2.

Exemplo 26.3. O esquema acabcb e equivalente a aabcbc1 e tambem accaba1b1 logo P2#K e homeomorfo a P2#T.

26.2. Triangulacoes

Chamamos triangulo com vertices v0,v1,v2 P Rn ao conjunto dos pontos daforma t0v0 t1v1 t2v2 em que t0, t1, t2 ¥ 0 e t0 t1 t2 1. Chamamosarestas do triangulo aos subconjuntos em que t0 0, t1 0 e t2 0.

Definicao 26.3. Uma triangulacao (finita) dum espaco X e:

(1) uma coleccao de triangulos tT1, . . . , Tku em Rn tais que a interseccaode quaisquer dois triangulos ou e vazia ou e um vertice de ambos ouuma aresta de ambos;

(2) um homeomorfismo f :Ti Ñ X.

Exemplo 26.4. A superfıcie dum tetraedro define uma triangulacao da esferacom 4 triangulos. O icosaedro define outra triangulacao da esfera, com 20triangulos. Se identificarmos pontos diametralmente opostos no icosaedroobtemos uma triangulacao de P2 com 10 triangulos (nao e possıvel realizaresta triangulacao em R3). Uma triangulacao do toro pode ser obtida to-mando o paralelipıpedo r0, 3s r0, 3s r0, 1s e retirando-lhe o cubo centrals1, 2r s1, 2r r0, 1s. A superfıcie do solido resultante e homeomorfa ao toroe pode ser facilmente triangulada pois e a uniao de 32 quadrados.

Qualquer superfıcie compacta possui triangulacoes (nao vamos demons-trar isso).

Teorema 26.5. Se f :Ti Ñ S e uma triangulacao duma superfıcie S,

cada aresta pertence a exactamente dois triangulos Ti.

104

Demonstracao. Se um aresta pertencer a apenas um triangulo, tomamos umponto x no interior da aresta. Entao:

(1) existe uma vizinhanca U de x homeomorfa a R2;(2) a vizinhanca U contem uma vizinhanca V de x tal que V txu e

contractil;(3) A vizinhanca V contem uma vizinhanca W de x tal que a inclusao

W txu Ñ U txu e uma equivalencia homotopica.

Estas 3 afirmacoes conduzem a uma contradicao pois a composicao W txu Ñ V txu Ñ U txu e necessariamente homotopica a uma constante.

Se uma aresta pertencer a mais que um triangulo, procedemos de modosemelhante:

(1) Existe uma vizinhanca U de x tal que o grupo fundamental de Utxue nao abeliano.

(2) A vizinhanca U contem uma vizinhanca V de x homeomorfa a R2.(3) A vizinhanca V contem uma vizinhanca W de x tal que a inclusao

W txu Ñ U txu e uma equivalencia homotopica.

Estas 3 afirmacoes conduzem a uma contradicao.

26.3. O Teorema de classificacao

Teorema 26.6. Seja X uma superfıcie conexa e compacta. Entao X ehomeomorfa a S2, a nP2 ou a nT2, para algum n P N.

Vamos dividir a demonstracao em varios lemas. Dados dois trianguloscom vertices v0,v1,v2 e w0,w1,w2, chamamos homeomorfismo linear aohomeomorfismo φ tal que φpt0v0 t1v1 t2v2q t0w0 t1w1 t2w2. Noteque a restricao de φ as arestas e tambem um homeomorfismo linear.

Lema 26.1. Qualquer superfıcie compacta e homeomorfa a um quociente detriangulos P1, . . . , Pk com esquemas de etiquetas que identificam as arestasduas a duas.

Demonstracao. Dada uma triangulacao tT1, . . . , Tku de S tomamos triangulosdisjuntos P1, . . . , Pk R2 e homeomorfismos lineares fi : Pi Ñ Ti. Comecamospor definir uma relacao de equivalencia em

Pi: dadas arestas Ai Pi e

Aj Pj tais que fipAiq fjpAjq, identificamos os pontos de Ai com os de

Aj pelo homeomorfismo linear f1j fi : Ai Ñ Aj . As funcoes fi induzem

uma funcao no quociente f :Pi

LÑ

Ti que e contınua e sobrejectiva.

ComoPi

L e compacto e

Ti e Hausdorff, para mostrar que f e um

homeomorfismo e apenas necessario mostrar que f e injectiva.

(1) Sejam xi P Pi e xj P Pj tais que fipxiq fjpxjq P Ti X Tj . SeTiXTj A for uma aresta, entao existem arestas Ai Pi e Aj Pjtais que fipAiq fjpAjq A. Estas arestas sao identificadas por logo rxis rxjs em

Pi

L. Assim, podemos assumir que TiXTj

tvu e um vertice e que fipxiq fjpxjq v.

105

(2) Seja v P Ti um vertice e seja C a coleccao dos triangulos que

tem v como vertice. Dizemos que dois triangulos Ti, Tj P C sao

equivalentes se f1i pvq f1

j pvq. Note que, pelo que vimos em (1), seTiXTj for uma aresta entao Ti e Tj sao equivalentes. Agora fixamosum triangulo T P C . Seja B1 a uniao dos triangulos equivalentes aT e seja B2 a uniao dos restantes triangulos em C . Vamos mostrarque B1 X B2 tvu: se x P B1 X B2 entao x P Ti X Tj com Ti B1

e Tj B2; entao Ti e Tj nao sao equivalentes logo Ti X Tj tvulogo x v. Mas isto e uma contradicao pois se tomarmos umapequena vizinhanca U de v entao U pU XB1qY pU XB2q pelo queU tvu e desconexo o que e absurdo. Provamos assim que B2 H.Portanto todos os triangulos sao equivalentes a T , pelo que f1pvqtem um so elemento. Assim, a funcao f e injectiva, o que termina ademonstracao.

Lema 26.2. Qualquer superfıcie compacta e conexa e homeomorfa a umquociente dum so polıgono com um esquema de etiquetas que identifica asarestas duas a duas e que identifica todos os vertices num so vertice.

Demonstracao. Dados triangulos P1, . . . , Pk com esquemas de etiquetas queidentificam as arestas duas a duas, comecamos por identificar as arestascom a mesma etiqueta em polıgonos diferentes. O resultado e necessaria-mente um so polıgono P , caso contrario a superfıcie nao seria conexa. Sejamv1, . . . , vn os vertices de P e seja X P o quociente. Falta mostrar queo esquema de etiquetas e equivalente a um esquema de etiquetas em quetodos os vertices sao identificados no quociente. Assumimos que tal nao eo caso, ou seja, que rvis rvjs para alguns i, j. Fixamos agora um verticex rvs P X no quociente. Representamos por #x o numero de elemen-tos da classe de equivalencia (o numero de vertices que sao identificados noquociente). Comecamos por mostrar que podemos reduzir #x. Para taltomamos i tal que rvis x mas rvi1s y x. Seja a a etiqueta da arestavi1vi (que podemos assumir tem orientacao positiva). Entao a etiqueta daaresta vivi1 nao pode ser a (com a mesma orientacao), pois entao vi seriaequivalente a vi1. Temos dois casos:

(1) A etiqueta da aresta vivi1 e a1. Neste caso necessariamente #x 1, e ao cancelarmos aa1 o vertice vi desaparece, e o ponto x P Xdeixa de ser um vertice. Ficamos portanto com menos um verticeem X.

(2) A etiqueta da aresta vivi1 e b a. Entao, cortamos o polıgono aolongo do segmento unindo vi1 a vi (abrys abc, c1rys) e identifica-mos as duas arestas com etiqueta b (fazendo um flip se necessario).Seja z rvi1s P X. Temos 3 casos:(a) Se y z entao #y #z aumenta um e #x diminui um.(b) Se x z entao #y aumenta um e #x #z diminui um.(c) Se x, y, z forem diferentes, entao #y aumenta um, #x diminui

um e #z permanece constante.

106

Em qualquer dos casos #x diminui.

Assim, aplicando sucessivamente o caso (2) ate termos #x 1, e aplicandoentao o caso (1), eliminamos um dos vertices. O processo pode ser repetidoate termos apenas um vertice no quociente.

Lema 26.3. Seja X o quociente dum polıgono P com um esquema de eti-quetas que identifica as arestas duas a duas e que identifica todos os verticesnum so vertice.. Entao X e homeomorfo ou a S2, ou a Tn ou a Pn paraalgum n P N.

Demonstracao. Dizemos que uma aresta com etiqueta a e de tipo I se a outraaresta com etiqueta a tiver a mesma orientacao. Caso contrario dizemos quea aresta e de tipo II.

(1) Comecamos por mostrar que podemos juntar os pares de arestas detipo I. Primeiro mostramos que ry0sary1sa aary0sry1s1:

ry0sary1sa ry0sab, b1ry1sa bry0sa, a1ry1s1b

bry0sry1s1b bbry0sry1s1 aary0sry1s1

Repetindo o processo podemos juntar todos os pares de arestas detipo I. Assim, qualquer esquema de etiquetas e equivalente a um es-quema da forma a1a1ry1sa2a2ry2s . . . akakryks em que todas as arestasem cada ryjs sao de tipo II.

(2) Tomamos agora uma aresta de tipo II com etiqueta a O esquema eentao da forma ary1sa1ry2s. Agora observamos que ry1s e ry2s temnecessariamente etiquetas em comum: caso contrario os dois verticesda aresta a seriam diferentes no quociente. Escolhemos uma etiquetab presente em ry1s e em ry2s e observamos que o esquema e da formaarw1sbrw2sa1rw3sb1rw4s.

(3) Vamos agora mostrar que:

arw1sbrw2sa1rw3sb1rw4s aba1b1rw3srw2srw1srw4sPrimeiro juntamos 3 das etiquetas:

arw1sbrw2sa1rw3sb1rw4s arw1sbrw2sa1c, c1rw3sb1rw4s rw2sa1carw1sb, b1rw4sc1rw3s rw2sa1carw1srw4sc1rw3s

e agora juntamos a etiqueta que faltava:

rw2sa1carw1srw4sc1rw3s c1rw3srw2sa1carw1srw4s c1rw3srw2sa1d1, dcarw1srw4s d1c1rw3srw2sa1, arw1srw4sdc

d1c1rw3srw2srw1srw4sdc dcd1c1rw3srw2srw1srw4s(4) Repetindo os passos (2) e (3) obtemos um esquema de etiquetas

da forma ry1sry2s . . . ryks em que cada ryis e da forma ryis aa ouryis aba1b1. Para completar a demonstracao vamos mostrar que

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aabcb1c1rys e equivalente a aabbbccrys. Primeiro substituimos P2

pela garrafa de Klein:

aabbccrys abbccrysa abd1, dbccrysa db1a1, adbccrys db1dbccrysAgora:

db1dbccrys crysdb1dbc crysdb1da, a1bc

rysdb1dac, c1b1a rysdb1dab1a

e fazendo mais um corte:

rysdb1dab1a arysdb1dab1 arysdb1c, c1dab1

carysdb1, ba1d1c carysda1d1c arysda1d1cc

Aplicando o passo (3) com rw1s rys, rw2s rw3s H e rw4s ccobtemos aba1b1ryscc o que termina a demonstracao.

Exercıcios

(1) Encontre espacos cujo grupo fundamental seja isomorfo a:(a) Zn Zm(b) Zn Zm(c) Z Zn Zm(d) tg, h; g3h2 h2g3u(e) tx, y, z;xyx1 y3u

(2) Calcule a homologia e o grupo fundamental de T2#P2. Assumindo oTeorema de classificacao de superfıcies, a que superfıcie e T2#P2 homeo-morfa?

(3) Seja X o quociente dum polıgono de 7 lados com esquema de etiquetasabaaab1a1. Mostre que o grupo fundamental de X e o produto livrede dois grupos cıclicos.

(4) Seja X uma superfıcie conexa e compacta.(a) Mostre queX e homeomorfa a exactamente um dos seguintes espacos:

S2, P2, K, nT2, pnT2q#P2 ou pnT2q#K.(b) Mostre queX e homeomorfa a exactamente um dos seguintes espacos:

S2, nT2, P2, mK, P#pmKq em que mK e a soma conexa de m gar-rafas de Klein.

(5) Seja X o espaco obtido como quociente dum polıgono de 8 lados comesquema de etiquetas acadbcb1d.(a) Verifique que todos os vertices do polıgono representam o mesmo

ponto em X.(b) Calcule H1pXq.(c) Assumindo que X e uma superfıcie compacta, qual delas e?

(6) Identifique qual o espaco representado pelos seguintes esquemas de eti-quetas:(a) abc, dae, bef, cdf(b) abc, cba, def, dfe1

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(7) Considere o espaco X obtido como quociente de dois quadrados comesquemas de etiquetas abcd e adbc1.(a) Mostre que X e homeomorfo ao quociente dum hexagono com es-

quema de etiquetas ccdad1a1.(b) Calcule o grupo fundamental de X e a homologia de X.(c) A que superfıcie e X homeomorfo?

(8) Seja X o espaco obtido como quociente de dois pentagonos com o esquemade etiquetas b1a1dba, ecdce1.(a) Escreva X como o quociente dum so hexagono.(b) Calcule o grupo fundamental deX em termos de geradores e relacoes.(c) O Teorema de classificacao de superfıcies compactas da-nos uma lista

de superfıcies. A qual delas e X homeomorfo?(9) Considere o espaco X obtido como quociente dum polıgono P com 8 lados

com esquema de etiquetas abcda1c1d1b1.(a) Esboce o quociente da fronteira do polıgono.(b) Calcule o grupo fundamental de X e a homologia de X.(c) Confirme que X e a soma conexa de 2 toros, cortando o polıgono ao

meio e colando ao longo da aresta b.(10) Seja p : H Ñ X o quociente dum hexagono H pela relacao de equivalencia

dada pelo esquema abcabc1.(a) Seja BH a fronteira do hexagono. Determine o quociente Y ppBHq

da fronteira do hexagono.(b) Mostre que X e homeomorfo a P2#P2. Sugestao: comece por cortar

o hexagono ao meio de acordo com os esquemas abcd, d1abc1.(11) Seja X a superfıcie obtida por identificacao de tres quadrados de acordo

com o esquema aba1e, cdc1f , edfb.(a) Mostre queX e homeomorfa a soma conexa de dois toros: aba1b1cdc1d1.(b) Encontre uma representacao do grupo fundamental de X em termos

de geradores e relacoes.(12) Considere o toro obtido como quociente dum quadrado com esquema

aba1b1. As duas diagonais dividem o quadrado em 4 triangulos. Decidase esta divisao induz uma triangulacao do toro com 4 triangulos.

(13) A banda de Mobius M e o quociente dum quadrado com esquema deetiquetas abac. Mostre queM e homeomorfa a P2 com um disco removido.

(14) Seja K a garrafa de Klein. Construa um revestimento com duas folhasp : T2 Ñ K e descreva o homomorfismo induzido nos grupos fundamen-tais.

(15) Seja X o espaco obtido como quociente dum polıgono de 8 lados comesquema de etiquetas abcdad1cb1.(a) Verifique que os os vertices do polıgono nao sao todos identificados

no quociente e calcule o quociente da fronteira do polıgono.(b) Calcule o grupo fundamental do quociente da fronteira do polıgono,

identificando os geradores.(c) Determine o grupo fundamental e a homologia de X.(d) Que superfıcie e X?

109

27. Revestimentos27.1. Accoes de grupos

Definicao 27.1. Dado um conjunto A chamamos grupo de permutacoes deA (ou grupo simetrico de A) e representamos por ΣA o grupo das aplicacoesbijectivas AÑ A com a operacao de composicao.

Uma accao dum grupo G num conjunto A e um homomorfismo de G paraA. No entanto e costume definir accao dum grupo doutro modo:

Definicao 27.2. Chamamos accao a esquerda dum grupo G num conjuntoF a uma funcao L : G F Ñ F , que representamos por Lpg, xq g x, talque, para quais quer g, h P G e x P X temos:

1 x x e pghq x g ph xqChamamos accao a direita dum grupo G num conjunto F a uma funcaoR : G F Ñ F , que representamos por Rpg, xq x g, tal que, para quaisquer g, h P G e x P X temos:

x 1 x e x pghq px gq hTeorema 27.1. Uma funcao pg, xq Ñ g x define uma accao a esquerda ssea funcao φ : GÑ ΣF dada por φpgqpxq g x for um homomorfismo.

Uma funcao pg, xq Ñ xg define uma accao a direita sse a funcao ψ : GÑΣF dada por ψpgqpxq x g1 for um homomorfismo.

A partir de agora assumimos que as nossas accoes sao sempre a direita.

Definicao 27.3. Seja G um grupo a agir num conjunto F e seja a P F .Chamamos orbita de a ao conjunto

Oa ta g : g P Gu F

Dizemos que a accao e transitiva se Oa F . Chamamos estabilizador de aa

Ia tg P G : a g auVerifica-se facilmente que o estabilizador e um subgrupo de G.

Teorema 27.2. Para qualquer a P F e qualquer g P G temos:

Iag gIag1

Teorema 27.3. Seja G um grupo a agir num conjunto F e seja a P F .Entao a funcao φ : G Ñ F definida por φpgq a g induz uma funcao

φ : GIa Ñ Oa que e uma bijeccao entre conjuntos.

Observacao 27.1. O levantamento dum laco γ com inıcio em e P E e umlaco sse rγs P Ie.

110

27.2. Accao do grupo fundamental na fibra

Seja p : E Ñ B um revestimento. Para cada b P B chamamos ao conjuntop1pbq E a fibra sobre b. Dado rγs P π1pB, bq e um ponto e P p1pbq sejarγ o levantamento de γ com origem em e. Definimos:

e rγs rγp1qTeorema 27.4. Dado um revestimento p : E Ñ B:

(1) A correspondencia prγs, eq ÞÑ e rγs define uma accao de π1pB, bq nafibra p1pbq.

(2) Dado e P p1pbq o homomorfismo

p : π1pE, eq Ñ π1pB, bqe injectivo com imagem Im p Ie o estabilizador de e.

(3) Se E for conexo por arcos a accao e transitiva e temos

p1pbq π1pB, bqIe27.3. Existencia de levantamentos

A partir de agora assumimos que todos os espacos sao conexos e localmenteconexos por arcos. Dado um revestimento p : E Ñ B e uma funcao contınua

f : X Ñ B dizemos que uma funcao contınua rf : X Ñ E e um levantamento

de f se f p rf .

Teorema 27.5. Sejam rf1, rf2 dois levantamentos de f : X Ñ B tais querf1paq rf2paq para algum a P X. Entao rf1pxq rf2pxq para todo o x P X.

Demonstracao. Dado x P X tomamos um caminho α de a para x. Entaorf1α e rf2α sao ambos levantamentos do caminho fα com inıcio no mesmo

ponto rf1paq rf2paq pelo que sao iguais, terminando portanto no mesmo

ponto rf1pxq rf2pxq.

Teorema 27.6. Seja p : E Ñ B um revestimento, b P B e e P p1pbq. Sejaf : X Ñ B uma funcao contınua com fpaq b para um certo a P X. Saoequivalentes:

(1) Existe um levantamento rf de f com rfpaq e.(2) Im

f : π1pX, aq Ñ π1pB, bq

Imp : π1pE, eq Ñ π1pB, bq

Demonstracao. A implicacao 1 ñ 2 segue de imediato de f p rf.Assumimos portanto (2). Dado um x P X seja α um caminho em X de

a para x e seja fα o levantamento de fα com inıcio em e. Definimosrfpxq fαp1q. Vamos ver que esta definicao nao depende da escolha do

caminho α. Dado outro caminho β de a para x, seja fβ o levantamento

de fβ com inıcio em e. Queremos mostrar que fβp1q fαp1q. Por (2),frαβs esta na imagem de p pelo que o levantamento de fpαβq com inıcio

em e fpα βq, e tambem um laco. Este levantamento e a concatenacao

111

fα fβ em que fβ e o levantamento de fβ com inıcio fβp0q fαp1q.Como fα fβ e um laco, temos fβp1q e pelo que

fβp0q e e fβp1q fαp1qPortanto fβ fβ e assim fβp1q fαp1q.

Falta mostrar a continuidade de rf . Seja x P X e seja V E uma vizi-nhanca de widetildefpxq. Entao ppV q B e um aberto. Como a coleccaoB dos abertos W E tais que p|W e um homeomorfismo formam umabase da topologia de E, podemos assumir que V P B. Como f e contınua,f1pppV qq e aberto. Seja U uma vizinhanca de x conexa por arcos tal que

U f1pppV qq. Vamos mostrar que rfpUq V . Fixamos um caminho α em

X de a para x e seja rpfαq o levantamento de fα com inıcio em e. Dado

y P U seja γ um caminho em U de x para y e seja fγ o levantamento de

fγ com inıcio em rfpxq fαp1q. Entao

rfpyq fpα βqp1q fα fγp1q fγp1qComo U f1pppV qq, fγ e um caminho em ppV q e como p|V : V Ñ ppV qe um homeomorfismo, rγ p1 pfγq e um caminho em V logo rfpyq fγp1q P V , o que termina a demonstracao.

27.4. Classificacao de revestimentos

Definicao 27.4. Dizemos que dois revestimentos pi : Ei Ñ B (com i 1, 2) sao equivalentes se existir um homeomorfismo f : E1 Ñ E2 tal quep1 p2 f .

Teorema 27.7. Dados revestimentos pi : Ei Ñ B (com i 1, 2), b P B eei P p1

i pbq, sao equivalentes:

(1) Existe um isomorfismo de revestimentos f : E1 Ñ E2 tal que fpe1q e2.

(2) Imp1 : π1pE1, e1q Ñ π1pB, bq

Imp2 : π1pE2, e2q Ñ π1pB, bq

Demonstracao. Basta observar que um isomorfismo f e um levantamento dep1, um isomorfismo g : E2 Ñ E1 e um levantamente de p2 e as composicoesf g e g f sao levantamentos de p2 e de p1 respectivamente.

Teorema 27.8. Dois revestimentos E1 e E2 sao isomorfos se e so se ossubgrupos Im p1, Im p2 π1pB, bq forem subgrupos conjugados.

Demonstracao. Os estabilizadores duma accao em pontos diferentes sao sub-grupos conjugados.

112

27.5. Automorfismos dum revestimento

Seja AutpEq o grupo dos automorfismos dum revestimento E, ou seja, ogrupo dos isomorfismos f : E Ñ E.

Teorema 27.9. Seja b P B. Entao para quaisquer e P p1pbq e rγs P π1pB, bqtemos

fe rγs fpeq rγs

Definicao 27.5. Dado um grupo G e um subgrupo H G, chamamosnormalizador de H ao subgrupo de G:

NpHq tg P G : gHg1 HuTeorema 27.10. Existe um homomorfismo de grupos entre AutpEq e NpIeqIe.Demonstracao. Consideremos as funcoes

Φ: π1pB, bqIe Ñ p1pbq e Ψ: AutpEq Ñ p1pbqem que Φ e o isomorfismo de conjuntos definido pela accao e Ψpfq fpeq.Entao Ψ e injectiva. Comecamos por mostrar que Im Ψ te rγs : rγs PNpIequ. De facto, dado um x e rγs P p1pbq, existe um f P AutpEq talque fpeq x se e so se:

Ie Ifpeq Ierγs rγsIerγs1

o que e equivalente a rγs P NpIeq. Assim, Φ induz uma bijeccao de conjuntosIm Ψ NpIeqIe pelo que a funcao Φ1Ψ: AutpEq Ñ NpIeqIe e bijectiva.Falta mostrar que se trata dum isomorfismo de grupos. Sejam f1, f2 PAutpEq e sejam rγ1s, rγ2s P NpIeq tais que fipeq e rγis. Entao

f2

f1peq

f2

e rγ1s

f2peq rγ1s

e rγ2s rγ1s

e rγ2s rγ1s

de onde segue facilmente que Φ1 Ψ e um isomorfismo de grupos.

27.6. Existencia de revestimentos

Definicao 27.6. Um espaco X diz-se semilocalmente simplesmente conexose qualquer ponto x P X possuir uma vizinhanca U P Vx tal que a inclusaoi : U Ñ X induz um homomorfismo trivial i : π1pU, xq Ñ π1pX,xq.Teorema 27.11. Dado um espaco topologico X, existe um revestimentop : E Ñ X com E simplesmente conexo se e so se X for semilocalmentesimplesmente conexo.

Demonstracao. Fixamos primeiro a P X. Seja E o conjunto das classesde equivalencia de caminhos α em X com inıcio em a e seja p : E Ñ Xdefinido por p

rαs αp1q. Seja U a coleccao dos abertos em X conexos

113

por arcos tais que a inclusao U Ñ X induz um homomorfismo trivial degrupos fundamentais. Entao U e uma base da topologia de X. Para cadaU P U e rαs P E com αp1q P U seja

Urαs rα γs : γ e um caminho em U com inıcio em αp1q(

Estes conjuntos satisfazem:

A restricao p|Urαs : Urαs Ñ U e bijectiva.

Se rβs P Urαs entao Urαs Urβs.

Daqui segue que a coleccao Urαs

(forma uma base para uma certa topologia

T em E. Com esta topologia a bijeccao p : Urαs Ñ U e um homeomorfismo

e assim U e um aberto uniformemente revestido com p1pUq Urαs com

a uniao tomada sobre todos os caminhos α de a para um ponto x P U . Paramostrar que E e simplesmente conexo consideramos, para cada caminhoα em X, Seja αtpsq αptsq. Entao a correspondencia t ÞÑ rαts defineum caminho em E que e um levantamento de α com inıcio na classe deisomorfismo reas do caminho constante em a e com extremidade em rαs. Istomostra que E e conexo por arcos. Para mostrar que E e simplesmente conexobasta mostrar que a imagem de p e trivial. Seja rγs P Im p. Entao o seulevantamento com inıcio em reas, rγptq rγts e um laco logo rγp1q rγs reaso que termina a demonstracao.

Exercıcios

(1) Seja G um grupo a agir a esquerda num espaco F . Mostre que a funcaopg, xq ÞÑ g1 x e uma accao a direita.

(2) Dada uma accao dum grupo G num conjunto F mostre que a relacao

x y ô DgPGy x ge uma relacao de equivalencia e que Oa e a classe de equivalencia de a.

(3) Seja G um grupo e H G um subgrupo. Mostre que a multiplicacao dogrupo define uma accao de H em G. Qual e o estabilizador dum pontog P G? Qual e a orbita dum elemento h P H?

(4) Dado um grupo G com uma accao num conjunto F , uma funcao f : F ÑF diz-se equivariante se fpx gq fpxq g para quaisquer x P F e g P G.(a) Mostre que as funcoes equivariantes formam um subgrupo de ΣF .(b) Assumindo que a accao e transitiva, mostre que uma funcao equiva-

riante e completamente determinada pelo seu valor num ponto.(5) Descreva todos os revestimentos conexos dos seguintes espacos construindo

explicitamente os revestimentos e identificando em cada caso a accao dogrupo fundamental na fibra e o estabilizador da accao num ponto.(a) O cırculo.(b) O plano projectivo.(c) O espaco B tpx, yq P R2 : 1 ¤ x2 y2 ¤ 4u.

(6) Para cada revestimento do cırculo identifique explicitamente os elementosdo grupo de automorfismos.

114

(7) Seja p : E Ñ B um revestimnto.(a) Mostre que a coleccao dos abertos uniformemente revestidos formam

uma base de B.(b) Mostre que E e T2 sse B for T2.(c) Mostre que E e compacto sse E for compacto e para todo o x P B o

conjunto p1pxq for finito.(8) Seja X R3 a uniao da esfera S2 com o diametro r1, 1s t0u t0u.

Construa um revestimento de X simplesmente conexo.(9) SejaX um espaco conexo por arcos e localmente conexo por arcos. Mostre

que, se π1pXq e finito, entao qualquer funcao f : X Ñ S1 e homotopica auma funcao constante.

(10) (hard) Determine o revestimento do oito correspondente ao subgruponormalde Z Z gerado por a2, b2 e pabq4.

(11) Seja p : E Ñ B um revestimento simplesmente conexo de B e seja A Bconexo por arcos e localmente conexo por arcos. Seja EA p1pAq umacomponente conexa por arcos. Mostre que EA Ñ A e o revestimento deA associado ao nucleo de i : π1pAq Ñ π1pBq.