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FUNÇÕES A VALORES VETORIAIS
Curva Plana - Função Vetorial - r(t)=(x(t),y(t))
Curva Espacial - Função Vetorial - r(t)=(x(t),y(t),z(t))
r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k
CURVAS DEFINIDAS POR EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
(x=f(t),y=f(t))
x = t cos t y = t + sin t
Site sobre figuras de Lissajou
http://perso.orange.fr/olivier.granier/meca/simul/lisajou/simul.html
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Trocoides/paginas/introduccion.htm#cap0
CICLÓIDE
TROCÓIDE
HIPOTROCÓIDE
EPITROCÓIDE
ESPIROGRAMA
COORDENADAS POLARES
O
P(r,)
x
x = r cos y = r sen
COORDENADAS POLARES
O
P(r,)
x
TANGENTE
cos
cos
dy drsen rdy d d
dx drdx rsend d
ÁREA
2
* 2
1
2
2
1
21
[ ( )]2
1[ ( )]
2
1
2
n
i
b
a
b
a
A r
A f
A f d
A r d
COMPRIMENTO
2 2 22
2 2 22
cos ( )cos
( )
cos
cos
b b
a a
x r f
y rsen f sen
dx drrsen
d ddy dr
sen rd d
dx dy drr
d d d
dx dy drL d r d
d d d
SEÇÕES CÔNICAS
FUNÇÕES SPLINES
Site sobre curvas de Bézier
http://www.math.ubc.ca/~cass/gfx/bezier.html
FUNÇÕES DE BEZIER
Diretório de curvashttp://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Java/index.html
EXERCÍCIOS
ex. 6 pag. 673, ex. 15 pag. 673, ex. 48 pag. 674, ex. 55 pag. 674,ex. 8 pag. 679, ex. 30 pag. 679, ex. 5 pag. 685, ex. 15 pag. 686,
ex. 19 pag. 686, 51 pag. 686.
FUNÇÕES VETORIAIS
Curva Plana - Função Vetorial - r(t)=(x(t),y(t))
Curva Espacial - Função Vetorial - r(t)=(x(t),y(t),z(t))
r(t)=f(t)i+g(t)j+h(t)k
TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA EM CAMPOS ELÉTRICOS E MAGNÉTICOS
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/viewtopic.php?t=53
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
0
( ) ( )( ) limh
dr r t h r tr t
dt h
REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
SOMAPRODUTO POR CONSTANTEPRODUTO POR VARIÁVELPRODUTO INTERNOPRODUTO VETORIALREGRA DA CADEIA
INTEGRAL DEFINIDA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
( ) ( ) ( ) ( )b b b b
a a a a
r t f t dt i g t dt j h t dt k
Exercíciosex. 15 pag. 853, ex. 17 pag. 853, ex. 20, ex. 12 pag. 853,
ex. 1 pag. 860, ex. 13 pag. 860, ex. 23 pag. 860, ex. 31 pag. 860,ex. 33 pag. 861, ex. 45 pag. 861, ex, 46 pag. 861.
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
0
( ) ( )( ) limh
dr r t h r tr t
dt h
REGRAS DE DIFERENCIAÇÃO
SOMAPRODUTO POR CONSTANTEPRODUTO POR VARIÁVELPRODUTO INTERNOPRODUTO VETORIALREGRA DA CADEIA
INTEGRAL DEFINIDA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
( ) ( ) ( ) ( )b b b b
a a a a
r t f t dt i g t dt j h t dt k
COMPRIMENTO DE ARCO
2 2 2
2 2 2
[ ( )] [ ( )] [ ( )]
| ( ) |
b
a
b
a
b
a
L f t g t h t dt
dx dy dzdt
dt dt dt
r t dt
FUNÇÃO COMPRIMENTO DE ARCO
( ) | ( ) |
| ( ) |
t
a
s t r u du
dsr t
dt
REPARAMETRIZAÇÃO
( ( ))r t s
CURVATURA
( )( )
| ( ) |
/ ( )| | | | | |
/ ( )
r tT t
r t
dT dT dt T t
ds ds dt r t
CURVATURA EM FUNÇÃO DE r(t)
2
2
22
2
2 2 2
2 2
| |
( )
| | | | | || | | |
| | | || |
( / ) | |
| | | |
| | |
dsr r T T
dt
d s dsr T T
dt dt
ds d s ds dsr r T T T T T
dt dt dt dt
ds ds dsr r T T T T T
dt dt dt
r r r rT
ds dt r
T r r
r
3|r
CURVATURA PARA UMA CURVA PLANA
2
3 2 3/ 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0
( ) ( ) ( )
| ( ) | 1 [ ( )]
| ( ) ( ) | | ( ) |( )
| ( ) | [1 ( ( )) ]
r x xi f x j
r x i f x j
r x f x j
i j k j j
r x r x f x k
r x f x
r x r x f xx
r x f x
VETORES NORMAL E BINORMAL
( )( )
| ( ) |
( ) ( ) ( )
T tN t
T t
B t T t N t
Cost i + Sent j + Cos 2t kazul - vetor tangenteverde - vetor normalroxo - vetor binormal
PLANO NORMAL EM UM PONTO DA CURVA
N e B
PLANO OSCULADOR EM UM PONTO DA CURVA
T e N
CÍRCULO OSCULADOR (DE CURVATURA)
( ) 1/
No ponto P tem a mesma tangente que a curva
e raio de curvatura igual a
MOVIMENTO NO ESPAÇO: VELOCIDADE E ACELERAÇÃO
0
( ) ( )( ) ( )h
r t h r tv t lim r t
h
2
( ) ( ) ( )
| |
| |
( ). ( )
| ( ) |
| ( ) ( ) |
| ( ) |
T N
T
N
T
N
a t v t r t
a a T a N
a v
a v
As componentes tangencial e normal podem ser escritas em funçao de r
r t r ta
r t
r t r ta
r t
EXERCÍCIOSex. 1 pag.867, ex. 5 pag. 867, ex. 9 pag. 867, ex. 10 pag. 868,
ex. 15 pag. 867, ex. 17 pag. 867, ex. 20 pag. 867, ex. 28 pag. 867,ex. 32 pag. 868, ex. 39 pag. 868, ex. 41 pag. 868, ex. 3 pag. 877,ex. 9 pag. 877, ex. 19 pag. 877, ex. 20 pag. 877, ex. 31 pag. 878.
