Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
Revisão - Mecânica Vetorial
Vetores são definidos como
expressões matemáticas que tem
intensidade, direção e sentido. São
representados por seta acima da letra usada
para representá-lo . Um usado vetor
usado para representar uma força que atua
sobre uma dada partícula tem um ponto de
aplicação bem definido, a saber, a partícula
propriamente dita.
Dois vetores que têm a mesma
intensidade, a mesma direção e o mesmo
sentido são considerados iguais,
independentemente de terem ou não o
mesmo ponto de aplicação; vetores iguais
podem ser representados pela mesma letra.
O vetor oposto de um dado vetor P é
definido como um vetor que tem a mesma
intensidade e a mesma direção de P e um
sentido oposto ao de P; o oposto de um vetor
P é denotado por –P. Em geral nos referimos
aos vetores P e –P como vetores iguais e
opostos.Obviamente P+(-P) = 0.
Vetores iguais
Vetores opostos
Decomposição de Vetores –
Componentes Retangulares de uma Força
Em muitos problemas será desejável
decompor uma força em dois componentes
que são perpendiculares entre si. Na figura, a
força F foi decomposta em um componente Fx
ao longo do eixo x e um componente Fy ao
longo do eixo y. O paralelogramo desenhado
para se obterem os dois componentes é um
retângulo, e Fx e Fy são chamados de
componentes retangulares.
Os eixos x e y são, geralmente
escolhidos na horizontal e na vertical,
respectivamente, como na Figura; podem,
entretanto, ser escolhidos em duas direções
perpendiculares quaisquer.
Dois vetores de intensidade unitária,
dirigidos respectivamente ao longo dos eixos
positivos x e y, serão introduzidos nesse
ponto. Esses vetores são denominados
vetores unitários e são representados por i e
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
j, respectivamente. Os componentes
retangulares Fx e Fy da força F podem ser
obtidos multiplicando-se respectivamente os
vetores unitários i e j pelos escalares
apropriados. Escrevemos
Fx = Fxi Fy = Fy j
e
F = Fxi + Fy j
Para que não haja confusão, o
componente escalar Fx é positivo quando o
componente vetorial Fx tiver o mesmo sentido
que o vetor unitário i (ou seja, o mesmo
sentido que o eixo x positivo) e é negativo
quando Fx tiver sentido oposto. Pode-se
chegar a uma conclusão semelhante com
relação ao sinal do componente escalar Fy.
Representando por F a intensidade da
força F e por o ângulo entre F e o eixo x,
medido no sentido anti-horário a partir do eixo
x positivo, podemos expressar os
componentes retangulares de F da seguinte
maneira:
Fx = F.cos e Fy = F.sen
Notamos que as relações obtidas
valem para qualquer valor do ângulo , de 00
a 3600, e que elas definem tanto o sinal quanto
o valor absoluto dos componentes escalares
Fx e Fy.
Quando a força F é definida pelos seus
componentes retangulares Fx e Fy , o ângulo
definindo sua direção pode ser obtido
escrevendo-se x
y
F
Ftg .
A intensidade da força F pode ser
obtida aplicando o teorema de Pitágoras e
escrevendo-se:
F = 22
yx FF .
____________________________________
____
____________________________________
____
Exercícios:
01. Uma força de 800N é exercida no parafuso
A, como mostra a Figura. Determine os
componentes vertical e horizontal dessa
força.
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
02. Um homem puxa com a força de 300N
uma corda amarrada a um edifício, como
mostra a figura. Quais são os componentes
horizontal e vertical da força exercida pela
corda no ponto A?
03. Uma força F = (3,150N) i + (6,750N) j é
aplicada a um parafuso A. Determine a
intensidade da força e o ângulo que ela
forma com a horizontal.
04. Determine os componentes x e y de cada
uma das forças indicadas:
(A)
(B)
(C)
(D)
05. O elemento BD exerce sobre o elemento
ABC uma força P dirigida ao longo da linha
BD. Sabendo que P deve ter um componente
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
vertical de 960N, determine (a) a intensidade
da força P e, (b) seu componente horizontal.
06.O elemento CB de um torno de bancada
(morsa) exerce no bloco B uma força P
dirigida ao longo da linha CB. Sabendo que P
deve ter um componente horizontal de 1170N,
determine (a) a intensidade da força P, e (b)
seu componente vertical.
07. O cabo de sustentação BD exerce no
poste telefônico AC uma força P dirigida ao
longo de BD. Sabendo que P tem um
componente de 450N ao longo da linha AC,
determine a intensidade da força P, e (b) seu
componente em direção perpendicular a AC.
Adição de Forças Pela Soma dos
Componetes X e Y
Quando três ou mais forças são
adicionadas, a solução analítica do problema
pode ser obtida decompondo-se cada força
em dois componentes retangulares.
Considere, por exemplo, tres forças, P, Q e R
atuando sobre uma partícula A, a resultante é
obtida pela relação:
R = P + Q + R
Decompondo cada força em seus
componetes retangulares, escrevemos
Rxi + Ry j = Pxi + Pyj + Qxi + Qyj + Rxi + Ryj
= (Px + Qx + Sx) i + (Py + Qy + Sy) j
De onde temos que
Rx = Px + Qx + Sx Ry = Py + Qy + Sy
Ou, em notação reduzida,
Rx = Fx Ry = Fy
Concluímos que os componentes
escalares Rx e Ry da resultante R de várias
forças que atuem sobre uma partícula são
obtidos adicionando-se algebricamente os
correspondentes componentes escalares das
forças dadas.
Na prática, a determinação da
resultante R é feita em três passos. Primeiro
as forças são decompostas em seus
componentes x e y de R. Adicionado esses
componentes, obtemos os componentes x e y
de R. Por fim, a resulatnte R = Rxi + Ry j é
determinada aplicando-se a lei do
paralelogramo. Este é o único método
analítico prático para a adição de três ou mais
forças.
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
Exemplo: Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo.
Exercícios:
01.Determine a resultante das forças
mostradas:
(A)
(B)
(C)
(D)
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
Equilíbrio de uma Partícula
Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vária forças coplanares e colineares, cada força poderá ser decomposta em componentes x e y e para a condição de equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas.
0xF e 0yF
--------------------------------------------------------
Exercícios
01. .Dois cabos estão atados em C, onde é
aplicada uma carga. Determine as trações em
AC e BC, em cada caso:
A)
B)
C)
02.Dois cabos estão ligados em C e são
carregados tal como mostra a figura.
Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no
cabo BC.
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
03. Sabendo que α = 25◦, determine a tração
(a) no cabo AC e (b) na corda BC.
04.Sabendo que α = 50º e que a haste AC
exerce no pino C uma força dirigida ao longo
da linha AC, determine (a) a intensidade
dessa força e (b) a tração no cabo BC.
05. Dois cabos estão ligados em C e são
carregados tal como mostra a figura. Sabendo
que α = 30º , determine a tração (a) no cabo
AC e (b) no cabo BC.
06.Um teleférico parou na posição indicada.
Sabendo que cada, cadeira pesa 300N e que
o esquiador que está na cadeira E pesa 890N,
determine o peso do esquiador da cadeira F.
07. Quatro elementos de madeira são unidos
com placas conectoras metálicas e estão em
equilíbrio sob a ação das quatro forças
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
mostradas. Sabendo que FA = 2295N e FB =
2160N, determine as intensidades das outras
duas forças.
08. Duas forças P e Q são aplicadas tal como
mostra a figura a uma conexão de uma
aeronave. Sabendo que a conexão está em
equilíbrio e P = 1800N e Q = 2340N,
determine as intensidades das forçaas
exercidas nas hastes A e B.
09. Dois cabos ligados em C são carregados
tal como mostra a figura. Sabendo que W =
840N, determine a tração (a) no cabo AC e (b)
no cabo BC.
Exercícios
01. Determine a resultante das forças
mostradas:
(A)
(B)
02. Dois cabos estão ligados em C e são
carregados tal como mostra a figura.
Determine a tração (a) no cabo AC e (b) no
cabo BC.
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
03. Se a intensidade da força resultante deve
ser 9KN direcionada ao longo do eixo x
positivo, determine a intensidade da força T
que atua sobre a argola e seu ângulo .
=30,6o e T =
6,6,KN
04.A caminhoneta precisa ser rebocada
usando duas cordas. Determine as
intensidades das forças FA e FB que atuam em
cada corda para produzir uma força de
intensidade de 950N, orientada ao longo do
eixo x positivo. Considere = 50◦.
FA = 774N e FB = 346 N
05. Sabendo que α = 30◦, determine a tração
(a) no cabo AC e (b) na corda BC.
06. Se a intensidade da força resultante que
atua sobre a argola é de 600N e sua direção
no sentido horário do eixo x positivo é = 30o,
determine a intensidade de F1 e o ângulo .
R: =42,4o F1=730,9N
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
07.Se os cabos BD e BC podem suportar uma
força de tração máxima de 20KN, determine a
massa da viga que pode ser suspensa pelo
cabo AB, de modo que nenhum cabo se
rompa. O centro de massa da viga está
localizado ao ponto G.
R=2785Kg
08.O pendente de reboque AB está submetido
à força de 50KN exercida por um rebocador.
Determine a força em cada um dos cabos de
amarração, BC e BD, se o navio está se
movendo para a frente em velocidade
constante.
TBC = 22,3 KN e TBD = 32,6KN
09. Se o bloco D pesa 1,5KN e o bloco B pesa
1,375 KN, determine o peso do bloco C e o
ângulo para o equilíbrio.
Pc=1,2KN e = 40,90
10.Determine a tração desenvolvida em cada
um dos fios usados para sustentar o
candelabro de 50Kg.
R: FCD = 359N ; FBD = 440N ; FAB = 622N ; FBC
= 228N
11. Se a tração desenvolvida em cada um dos
quatro fios não pode exceder 600N, determine
a maior massa do candelabro que pode ser
suportada.
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
R: 48,2 Kg.
12.Determine o peso máximo do balde que o
sistema de fios pode suportar, de modo que
nenhum fio desenvolva uma tração maior que
0,5KN.
R: W = 0,289 KN
13.A esfera D possui uma massa de 20Kg. Se
uma força F = 300 N é aplicada
horizontalmente no anel A, determine a
dimensão d, de modo que a força no cabo AC
seja zero.
R: 2,42m
Resistência dos Materiais Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
Momento de uma força
01 – Uma válvula de pedal para um sistema
pneumático é articulada em B. Sabendo que α =
28°, determine o momento de uma força de 16 N
em relação ao ponto B decompondo a força em
componentes horizontal e vertical. R: 1,277 N.m
02 – A força de 300 N é aplicada em A como
mostrado na figura. Determine (a) o momento da
força de 300 N sobre D, (b) a menor força aplicada
em B que cria o mesmo momento em D. R: (a) 41,7
N.m ( b ) 147,4 N α: 45.0°.
03 – Uma força P de 35 N é aplicada em uma
alavanca de câmbio. Determine o momento de P
sobre B quando α é igual a 25°.
04 – Sabe-se que uma força vertical de 890 N é
necessária para remover da tábua o prego fixado
em C. Ao primeiro momento do prego, determine
(a) o momento em relação a B da força exercida
sobre o prego, (b) a intensidade da força P que cria
o mesmo momento em relação a B se α = 10°, (c) a
menor força P que cria o mesmo momento em
relação a B. R: P=228,3 N, Pmin = 197,77 N.
05 – Um guincho AB é usado para endireitar um
mourão. Sabendo que a tração no cabo BC é 1.140
N e o comprimento d é de 1,9 m, determine o
momento em relação a D da força exercida pelo
cabo em C decompondo tal força no componente
horizontal e no vertical aplicados (a) no ponto C,
(b) no ponto E. R: 1.224 N.
Estática Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
Estática Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
Sistemas Equivalentes – Vínculos/Apoios
Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples): São aqueles que impedem deslocamento somente em uma direção, produzindo reações equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. Apenas uma reação será a incógnita.
O deslocamento na posição y é impedido, logo, nesta direção, tem-se uma reação de apoio V. Vínculos de Segunda Ordem (articulação plana): São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não podem restringir a rotação em torno da conexão. Portanto, a reação produzida equivale a uma força com direção conhecida, envolvendo duas incógnitas, geralmente representadas pelas componentes x e y da reação.
Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo): São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o completamente.
Observação: Os vínculos podem ser chamados de 1a, 2ª e 3ª ordem ou classe ou gênero ou tipo.
Condições de equilíbrio Para um corpo, submetido a diferentes forças, estar em equilíbrio, é necessário que as forças não provoquem tendência à rotação e translação. Translação depende das forças resultantes: ∑ F = 0 Rotação depende dos momentos resultantes: ∑ M = 0
Logo, tem-se as seis equações fundamentais da estática: ∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; ∑ Fz = 0 ∑ Mx = 0; ∑ My = 0; ∑ Mz = 0
Exercícios - Reações de apoio
01. Determinar as reações de apoio para as estruturas dadas abaixo. a. Viga biapoiada com carga concentrada: (RA = RB = 200 N)
b. Viga biapoiada com carga concentrada: (RA =
100 N, RB = 300 N)
c. Viga biapoiada com carga concentrada (RAx =
282,84, RAy = 187,87 e RBy = 212,13 N):
d. Viga engastada com carga concentrada (RAy =
200N:
Estática Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
e.
RAy = 6 kN e RBy = 11 kN.
f.
.
RBx = 2,12 kN, RBy = 0,84 kN e RAy = 1,27 kN.
g.
RAx = -1,73 kN, RAy = 2,75 kN e RBy = 1,25 kN.
h.
R = 3 kN
i.
R = 9 kN.
02. Calcule a reação nos apoios da viga ilustrada na Figura, a seguir:
03. Calcule as reações no apoio A da estrutura conforme a Figura:
04. Um guindaste fixo tem uma massa de 1000Kg
e é usado para suspender um caixote de 2400 kg.
O guindaste é mantido na posição indicada na
figura por um pino em A e um suporte basculante
em B. O centro de gravidade está localizado em G.
Determine os componentes das reações em A e B.
(B = 107,1 kN, Ax = 107,1 kN e Ay = 33,3 kN)
Estática Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
05. Três cargas são aplicadas a uma viga tal como
mostra a figura. A viga é sustentada por um rolete
em A e por um pino em B. Desprezando o peso da
viga, determine as reções em A e B quando P =
67,5 KN. (Ra = 27 kN e Rb = 94,5 kN)
06. A estrutura representada na figura sustenta
parte do teto de um pequeno edifício. Sabendo que
a tração no cabo é 150KN, determine a reação na
extremidade fixa E. REx = 90 kN, REy = 200 kN e
ME = 180 kN.m.
07. O pau-de-carga montado em um caminhão de
4300Kg é usado para descarregar uma plataforma
de telhas com massa de 1600kg. Determine a
reação em cada uma das duas (a) rodas traseiras
B, (b) rodas dianteiras C. RB = 2471,92 kg, RC =
3428,07 kg
08. Duas crianças estão de pé sobre um trampolim
com massa de 65kg. Sabendo que as massas das
crianças em C e D são 28Kg e 40Kg,
respectivamente, determine (a) a reação em A e
(b) a reação em B.
09. Dois caixotes, cada qual pesando 1125N, são
colocados na caçamba de uma camionete com
peso de 13500N. Determine as reações em cada
uma das duas (a) rodas traseiras A e (b) rodas
dianteiras B.
10. Determine as reações de apoio da
viga abaixo:
Estática Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
11. Determine as reações de apoio da
Treliça abaixo:
Estática Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
Centro de Gravidade - Centroides
01. Determine o centróide da figura a
seguir:
02. Determine o centróide da peça
plana, ilustrada na figura, sabendo-
se que ela possui um furo com raio
igual a 100mm.
03. Localize o centróide da área da
figura abaixo:
04. Determinar as coordenadas do
centróide da superfície hachurada
representada na figura abaixo:
05.Localize o centróide ( yx, ) da área
sombreada.
Estática Prof. Dr. Willyan Machado Giufrida
06. Localize o centróide ( yx, ) da
placa mostrada na figura:
07. Calcule o centróide do perfil na
forma T: