MECÂNICA GERAL 1Marcel Merlin dos Santos

TÓPICOS DE HOJE

� Binários� Sistemas Força-Binário� Redução de um sistema de forças a um sistema

força-binário� Sistemas equivalentes de forças � Equações de equilíbrio � Diagrama de corpo livre� Equilíbrio de estruturas bidimensionais� Exercícios

BINÁRIOS

� Duas forças que têm mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário. O momento de um binário é independente do ponto em relação ao qual é calculado, ele é um vetor Mperpendicular ao plano binário e seu módulo é igual ao produto do valor de F do módulo comum das forças do binário pela distância d entre suas linhas de ação.

F F

M

d

BINÁRIOS

� Dois binários que têm o mesmo momento são equivalentes. A soma de dois binários é um binário e o momento M do binário resultante é a soma vetorial dos momentos M1 e M2 de dois binários originais. Em consequência, um binário pode ser representado por um vetor, denominado vetor binário, igual em módulo, direção e sentido ao momento M do binário. Um vetor binário é um vetor livre que pode ser aplicado à origem O, se conveniente, e cujas componentes cartesianas podem ser calculadas.

x

z

y

Od

F-F x

z

y

O

M=Fd

x

z

y

O

M

x

z

y

O

My

MxMz

= = =

EXERCÍCIO 1

� Substitua o binário e a força ilustrada por uma única força, equivalente, aplicada à alavanca. Determinar a distância do eixo ao ponto de aplicação dessa força equivalente.

EXERCÍCIO 2

� Substitua os dois binários atuantes sobre a coluna tubular pelo momento resultante dos binários.

EXERCÍCIO 3

� Quatro pinos de diâmetro D são presos a uma tábua. Dois barbantes apoiados nos pinos são tracionados, como mostrado na figura. Determine o diâmetro dos pinos sabendo que o momento do binário resultante aplicado à tábua é de 54,8 Nm no sentido anti-horário

SISTEMAS FORÇA-BINÁRIO

� Qualquer força F aplicada em um ponto A de um corpo rígido pode ser substituída por um sistema força-binário aplicado em um ponto arbitrário O, e constituído da força F aplicada em O e de um binário de momento MO igual ao momento em relação a O da força F na sua posição original. Deve-se notar que a força F e o momento MO são mutuamente perpendiculares.

F

rA

O

F

rA

O

MO

=

REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS

A UM SISTEMA FORÇA-BINÁRIO

� Substituindo cada força do sistema por um sistema força-binárioequivalente aplicado a O e depois somam-se todas as forças de todos os binários obtendo-se a força resultante R e o vetor binário resultante MO

R. Em geral, a resultante R e o vetor binário MOR

não serão mutuamente perpendiculares.

F

r1A

O

R

O

MOR

=

B

r2

F

r1A

O

B

r2

P

P

MOF

MOP

=

SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS

� Dois sistemas de forças F1, F2 e F3 e F’1, F’2 e F’3 São equivalentes se, e somente se:

EXERCÍCIO 4

� A viga da figura está submetida às forças indicadas. Reduzir o sistema de forças dado a:

� a) Um sistema força-binário equivalente em A� b) Um sistema de força-binário equivalente em B� c) Uma única força que resulte o mesmo momento em

A150N

1,6m

600N 100N 250N

1,2m 2,0m

A B

EXERCÍCIO 5

� Determine a distância do ponto A à linha de ação daresultante das 3 cargas da figura quando a) x=0,38m, b) x=1,22m e c)x=2,44m

EXERCÍCIO 6

� As 3 forças da figura e um binário de momentoM=6N.m são aplicados a um suporte. a) determine a resultante desse sistema de forças. b) Determine ospontos onde a linha de ação da resultante corta as retas AB e BC.

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

� Para que um sistema fique em equilíbrio, ele deverá obedecer as seguintes equações:

� Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas, podemos expressar as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido através de seis equações escalares:

� Estas equações permitem determinar forças desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou reações desconhecidas exercidas pelos vínculos.

DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

� Ao resolver um problema envolvendo equilíbrio de um corpo rígido, é essencial considerar todas as forças que atuam sobre o corpo. Portanto, o primeiro passo para a solução é desenhar o diagrama de corpo livre mostrando o corpo em estudo e todas as forças que agem sobre ele, tanto as conhecidas como aquelas a se determinar.

x

y

F1=?

F2=?

F4=2000N

F3=1000N

30o

30o

EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS

BIDIMENSIONAIS

� Vamos supor que a estrutura considerada e as forças a ela aplicadas estejam em um plano. As reações às forças aplicadas ao corpo rígidos são exercidas pelos vínculos, podendo estes envolver uma, duas ou três incógnitas, conforme apresentado na tabela a seguir.

EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS

BIDIMENSIONAIS

EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS

BIDIMENSIONAIS

� No caso de uma estrutura bidimensional, as equações de equilíbrio podem ser simplificadas para:

� Onde A é um ponto arbitrário no plano da estrutura. Estas equações podem ser utilizadas para calcular três incógnitas. Embora ao sistema de três equações de equilíbrio não se possam acrescentar novas equações, cada uma das equações pode ser substituída por uma outra equação. Podemos assim escrever seis conjuntos de equações de equilíbrio, tais como:

� onde o segmento AB é tomado segundo uma direção distinta da do eixo y, ou

� onde A, B e C não são pontos alinhados.

EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS

BIDIMENSIONAIS

� Como cada um dos conjuntos de equações de equilíbrio determina apenas três variáveis, as equações sobre uma estrutura rígida bidimensional podem não ser completamente determinadas se houver mais de três incógnitas, sendo consideradas estaticamente indeterminadas.

� Se os vínculos envolvem menos que três incógnitas, o equilíbrio não pode ser mantido em condições gerais de carregamento, diz-se que o sistema está parcialmente vinculado.

EXERCÍCIO 7

� Um guindaste fixo tem massa igual a 1000 kg e é usado para levantar uma caixa de 2400 kg. Ele é mantido no lugar por um pino articulado em A e um balancim (apoio simples) em B. O centro de gravidade do guindaste é o ponto G. Determine as componentes das reações em A e B.

EXERCÍCIO 8

� Na ilustração, 3 cargas são aplicadas em uma viga. A viga é apoiada em um rolete (apoio simples) em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso da viga, determine as reações em A e em B quando P = 75kN.