Equações de conservação e Equações constitutivas · Equação de conservação de quantidade de movimento • Da Segunda Lei de Newton: • Aplicando num volume material de

Equações de conservação e Equações constitutivas

Profa. Mônica F. [email protected]

Sala 153-L, R 1174http://naccache.usuarios.rdc.puc-rio.br/Cursos/FNNIP.html

Soluções de escoamentos

•  Equações de conservação: massa, momentum, energia

•  Equações constitutivas •  Condições de contorno •  Objetivo: descrição do movimento de

fluidos sob a ação de uma força; transferência de calor por convecção em escoamentos não isotérmicos

Profa. Mônica F. Naccache, PUC-Rio

Hipótese de contínuo

•  Fluido é modelado como sendo infinitamente divisível, sem mudança de suas características

•  Todas as propriedades materiais (ρ, µ, κ, …) e variáveis (p, v, T, …) são definidas num ponto como o limite da média da grandeza nas flutuações moleculares

•  Estudo do movimento a nível macroscópico (p. ex.: escoamento em tubos, em volta de corpos, etc …


Fundamentos

•  Variáveis macroscópicas definidas como uma média da variável a nível molecular

•  Média no volume:

•  δ (micro-escala)<<V1/3<<L(macro-escala)


€

u ≡ w ≡1V

wdVV∫

Consequências da hipótese de contínuo

•  Mecanismos de transporte: w  Transporte associado ao campo de velocidade

macroscópico u w Mecanismo de transporte “molecular”:

contribuição de superfície nas eqs. momentum e energia.

•  Na formulação contínua, são necessários modelos para descrever o fluxo de momentum e calor a nível molecular (incertezas)

•  Incerteza nas condições de contorno


Ponto material •  Vetor posição do ponto (partícula) material x0:

•  Propriedade/variável associada a x0:

•  Derivadas no tempo: w  Euleriana (posição fixa) w  Lagrangeana (ponto material fixo)

•  Usando a regra da cadeia:


€

x = x(x0,t) ≡ x0 + u(τ ,x0)dτ0

t∫

€

B(x0,t) = B x(x0,t),t[ ]

€

∂∂t≡

∂∂t$

% &

'

( ) x

DDt

≡∂∂t$

% &

'

( ) x0

€

DBDt

=∂B(x0,t)

∂t#

$ %

&

' ( x 0

=∂B(x(x0,t), t)

∂t#

$ %

&

' ( x 0

=∂B∂xi

∂xi∂t

#

$ %

&

' ( x 0

+∂B∂t

#

$ %

&

' ( x

= ui∂B∂xi

+∂B∂t

Derivada em relação ao tempo seguindo o material

Derivada material ou convectada

•  Volume material Vm(t): volume arbitrário que contém um certo número de pontos materiais em t=0. Vm(t) se move e se deforma tal que o fluxo de massa através de todos os pontos na sua superfície é zero:

•  Derivada material ou convectada:


€

DBDt

=∂B∂t

+ u•∇B

€

DDt

ρdVVm ( t )∫[ ] = 0

Derivada no tempo da massa total associada a Vm

Sm(0), Us=u(x)

U(x) n

Vm(0)

Vm(t)

Sm(t)

n t

expressa a variação com o tempo seguindo uma partícula material

•  Derivada parcial com relação ao tempo:

•  Derivada total:


€

∂B∂t

≡∂B∂t$

% &

'

( ) z

expressa a variação com o tempo, numa posição fixa

€

DBDt

=∂B∂t

+ v•∇B expressa a variação com o tempo em relação a um “material” arbitrário

Conservação de massa (1)

•  Balanço de massa num volume de controle arbitrário:

•  Usando o Teorema da divergência, chega-se a Equação da continuidade:


€

∂ρ∂tV∫ dV

taxa de variação de massa em V

= − ρuA∫ •ndA

fluxo líquido de massa através da fronteira de V=- divu dV∫

€

∂ρ∂t

+∇ • ρu( ) = 0

V

A

u n

Teorema do Transporte de Reynolds


•  O teorema do transporte é uma generalização da Regra de Leibnitz para diferenciação de uma integral, 1-D, quando ambos integrando e limites de integração variam

€

DDt

B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡

δt→0lim 1

δtB t + δt( )dV - B t( )dV

Vm ( t )∫Vm ( t+δt )

∫[ ]& ' (

) * +

Teorema do Transporte de Reynolds (cont.)


€

DDt

B x( t), t( )dVVm ( t )∫[ ] ≡

δt→0lim 1

δtB t + δt( )dV - B t( )dV


∫[ ]& ' (

) * +

Adicionando e subtraindo o termo:

€

B t + δt( )dVVm ( t )∫

€

DDt

B x( t), t( )dVVm ( t )∫# $ %

& ' ( ≡

δt→ 0lim 1

δtB t +δt( )dV - B t +δt( )dV


∫# $ % & ' (

= lim1δt

B t+δt( )dV Vm( t+δt )−Vm( t )∫[ ]#

$ % &

' (

+1δt

B t +δt( )dV − Vm ( t )∫ B t( )dV

Vm ( t )∫#

$ % & ' (

≡∂B∂tdV

Vm( t )∫

€

DDt

B x,t( )dVVm ( t )∫[ ] =

∂B∂t

+∇ • Bu( )%

& ' (

) * dV

Vm ( t )∫


€

lim 1δt

B t + δt( )dV Vm ( t+δt )−Vm ( t )∫[ ]%

& ' (

) * = lim 1

δtB t + δt( )u•nδdA Am ( t )∫[ ]%

& ' (

) *

= B t( )u•nδdAAm ( t )∫

Usando o teorema da divergêngia ( ), chega-se a forma final para o Teorema de Transporte:

€

divTR∫ d∀ = T ⋅ ˆ n dA

S∫



Caso o volume esteja se movendo a uma velocidade u*, diferente da velocidade do fluido u:

€

D*

Dt*B x,t( )dV

V *m ( t )∫[ ] =∂B∂t

+∇ • Bu*( )%

& ' (

) * dV

V *m ( t )∫

D*

Dt*≡∂∂t

+ u* •∇


Equação de Conservação de Massa (2)

•  A equação de conservação de massa (continuidade) pode ser também derivada usando o conceito de volume material e o Teorema de Transporte:


€

DDt

ρdVVm ( t )∫[ ] =

∂ρ∂t

+∇ • ρu( )&

' ( )

* + dV

Vm ( t )∫ = 0

€

∂ρ∂t

+∇ • ρu( ) = 0 ou DρDt

+ ρ∇ • u( ) = 0

Casos particulares

•  Densidade constante (fluido real: ρ=ρ(p,T); fluido incompressível, boa hipótese quando M=|u|/usom<<1)

•  Obs: a validade da equação acima não

implica na incompressibilidade do fluido •  Regime permanente:


€

∇ •u ≡ div u = 0

€

∇ • ρu ≡ div ρu = 0

Função corrente

•  Escoamentos 2-D •  A diferença entre o valor da fc entre 2 pontos

fornece o fluxo (volumétrico) através da linha que conecta os 2 pontos

•  Ex: fluidos incompressíveis, coord. esféricas


€

vr = vr r,θ( ) vθ = vθ r,θ( ) vϕ = 01r2

∂∂r

r2vr( ) +1

rsinθ∂∂θ

vθ sinθ( ) = 0

∂∂r

r2vr sinθ( ) = −1

rsinθ∂∂θ

vθ sinθ( )

vr ≡1

r2 sinθ∂ψ∂θ

vθ ≡ −1

rsinθ∂ψ∂r

⇒∂ 2ψ∂r∂θ

=∂ 2ψ∂θ∂r

Taxa de deformação

•  A taxa de deformação no ponto de interseção de 2 curvas materiais é descrita pela taxa instântanea de variação do comprimento das curvas e pela taxa de variação do ângulo entre elas


Tensor Taxa de Deformação e Tensor Vorticidade

€

Dij =taxas de alongamento na direção da coordenada quando i = jmetade da taxa de cisalhamento na direção das coordenadas quando i≠ j# $ %

D =12

∇v( ) + ∇v( )T[ ] parte simétrica de ∇v( )

∇v( ) =D+WW : tensor vorticidade (parte antissimétrica de ∇v( ))


Wij … ½ da soma da taxa de rotação, de acordo com a regra da mão direita, em torno da direção k de elementos materiais instantâneamente alinhados com i e j

€

w ≡ tr ε •W( ) = εijkWkjei =

12εijk

∂vk∂z j

−εijk∂v j

∂zk

&

' ( (

)

* + + ei = εijk

∂vk∂z j

ei = rot v( )vetor vorticidade: representação polar de W

•  A direção de w é a do eixo de rotação do fluido •  Primeiro Teorema de Cauchy:”O componente do

vetor vorticidade em qualquer direção é a soma das taxas de rotação (no sentido da regra da mão direita) sobre a direção dos elementos em quaisquer direções perpendiculares a ela e a cada uma outra”

•  Se podemos escrever


€

w = 0 esc. irrotacionalw ≠ 0 esc. rotacional

€

v = −∇P⇒ w = 0 pois rot ∇α( ) = 0 sempre

Tensor Taxa de Deformação e Tensor Vorticidade


Tensor Taxa de Deformação !γ = ∇v( )+ ∇v( )T

D = 12!γ


Tensor Vorticidade

Equação de conservação de quantidade de movimento

•  Da Segunda Lei de Newton:

•  Aplicando num volume material de fluido:


€

taxa variação quantidademovimento linear num corpoem relação a um ref inercial

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

soma das forçasagindo sobre ocorpo

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

€

DDt

ρudVVm ( t )∫[ ] =

soma das forçasagindo em Vm (t)$

% &

'

( )

Tipos de força

•  Forças de corpo: associadas a presença de campos externos (Ex.: força gravitacional). Neste curso só iremos considerar o efeito da força gravitacional.

•  Forças de contato ou de superfície: forças do material fora de Vm(t) sobre Vm(t)


Segunda Lei de Newton para Vm

•  Vetor tensão t: força local de superfície

por unidade de área •  Usando o Teorema do Transporte


€

DDt

ρudVVm ( t )∫$ % &

' ( )

taxa variação QML em Vm

= ρgdV

Vm ( t )∫força gravitacional

+ tdAAm ( t )∫

força agindo sobre a superfície de Vm

€

∂ ρu( )∂t

+∇ • ρuu( ) − ρg&

' (

)

* + dVVm ( t )

∫ = tAm ( t )∫ dA

Tensor das tensões

•  Seja l a dimensão característica de Vm. Quando l →0, a integral de volume vai a zero mais rapidamente do que a integral de área do vetor tensão. Assim:


€

liml→0

tAm ( t )∫ dA→ 0 Princípio de equilíbrio

da tensão

Para a condição acima ser satisfeita, o vetor tensão em x tem que depender também da orientação da superfície que ele age. Usando esta equação e o tetraedro:

€

t(n) ΔAn − t(e1) ΔA1 − t(e2) ΔA2 − t(e3) ΔA3 = 0

Mas Então:


€

ΔAi = ΔAn n•ei( ) i =1,2,3

€

t(n) − t(e1) n•e1( ) − t(e2) n•e2( ) − t(e3) n•e3( )[ ]ΔAn = 0

No limite l →0:

€

t(n) = n• e1t(e1)( ) + e2t(e2)( ) + e3t(e3)( )[ ]Tensor das tensões T

t(x p ,n) = n•T(x p )

€

tAm ( t )∫ dA = n•T

Am ( t )∫ dA = ∇ •T( )

Vm ( t )∫ dV

Então:

Tensor das tensões

Equação de conservação de quantidade de movimento

•  A equação de momentum fica então:


€

∂ ρu( )∂t

+∇ • ρuu( ) − ρg −∇ •T&

' (

)

* + dVVm ( t )

∫ = 0

Como Vm é arbitrário, o integrando tem que ser nulo:

€

∂ ρu( )∂t

+∇ • ρuu( ) = ρg +∇ •T

Combinando a eq. acima com a eq. continuidade:

€

ρ∂ u( )∂t

+ u•∇ u( )%

& '

(

) * = ρg +∇ •T Equação de

Cauchy


Equações de conservação de quantidade de movimento


Equações de conservação de quantidade de movimento

Equação de conservação de energia

•  u2: velocidade local do meio contínuo •  ρe: energia interna (representa en.

cinética adicional a nível molecular) •  Primeira Lei da Termodinâmica


€

DDt

ρu2

2

+ ρe#

$ %

&

' ( dV

Vm ( t )∫

taxa de variação de energia em Vm

=

Taxa de trabalhofeito sobre Vm pelas forças externas

*

+ ,

- ,

.

/ ,

0 ,

+

Fluxo de energia interna através dasfronteiras de Vm

*

+ ,

- ,

.

/ ,

0 ,

Equação de conservação de energia na forma diferencial


q: vetor fluxo de calor (cruza a superfície de Vm). Positivo quando calor é transferido a Vm

Usando o Teo Transporte e o Teo Divergência: €

DDt

ρv2

2

+ ρu#

$ %

&

' ( dV

Vm ( t )∫ = t(n) • v[ ]dAAm ( t )∫ + (ρg) • v[ ]dV − q•n[ ]dA + ˙ q dV

Vm ( t )∫Am ( t )∫Vm ( t )∫

€

∂ ρe( )∂t

taxa var. en.

+ div ρe v( )fluxo en. por convecção

= ˙ q em. gerada

− divqfluxo calor cond. + ρ v⋅ g

trab. forçagravitacional

+ div Tv( )trab. forçasviscosas e de pressão

€

e = u + v 2 /2div Tv( ) = vdivT+ tr Tgradv( )


•  Balanço de Energia Mecânica: u•(eq.Cauchy)

•  Balanço de Energia Térmico: substituindo a eq. acima na Eq. conservação energia€

ρ2Dv 2

Dt= ρg( ) • v+ v• divT( )

€

ρDuDt

variação en.interna por un. vol.

= ˙ q

geraçãoen. por un.vol.

−divqganho en.por condução

−p div vaumento rev. deen. int. por compressão

+ tr τ∇ v( )aumento irrev. en. int. pordissipação viscosa

€

T = −pΙ + τ

D ≡ 12∇ v+∇ vT( )

∇ v ≡ 12∇ v+∇ vT( )parte simétrica

+12∇ v+∇ vT( )

parte anti-simétrica

=D+W

D:Tensor taxa de deformação

W: Tensor vorticidade 32 Profa. Mônica Naccache PUC-Rio

Equação de energia em termos da temperatura

•  A equação de balanço de energia térmico fica (sem o termo de geração):


€

ρCpDθDt

= T D+ p∇ •udissipação viscosa − ∇ •q( ) − θ

ρ∂ρ∂θ

'

( )

*

+ , p

DpDt

trabalho de compressão ≈ 0

Fechamento

•  A solução de problemas de mecânica dos fluidos é obtida com a solução das equações de conservação de massa, momento linear e energia

•  A equação de momento angular e a Segunda Lei aparecem apenas indiretamente, como restrições às equações constitutivas para T e q


•  Incógnitas: u (3), T (9), q (3), θ e p (total:17) •  Equações: Conservação de massa (1), momento

linear (3), energia (1) e momento angular (reduz as 9 incógnitas Tij para 6).

•  Temos então no total: w  14 incógnitas w  5 equações


⇒Equações constitutivas para T e q

Fechamento

Equações constitutivas

•  Fluidos (ou outros materiais) tem uma estrutura molecular definida, e não são indivisíveis e homogêneos como quando assumidos como meio contínuo

•  Equações constitutivas são relações entre T e q (representam processos de transporte molecular) e os campos (macroscópicos) de velocidade e temperatura. Em outras palavras, elas vão fornecer a relação entre a resposta de um material a uma dada solicitação (campo de escoamento/temperatura)


Princípios que devem ser satisfeitos

•  Determinismo: A tensão em um corpo é determinada pela história do movimento que o corpo descreveu

•  Ação local: O movimento do material for a de uma vizinhança arbitrariamente pequena em torno de uma partícula não influencia a tensão nesta partícula

•  Indiferença ao referencial: As descrições do comportamento do material (relações constitutivas) têm que ser indiferentes ao referencial


Lei de Fourier de condução de calor

•  Para um fluido isotrópico, i.e., fluxo de calor depende da magnitude do gradiente de temperatura e não da sua orientação (K=kI):

•  A Segunda Lei impõe que k>0


€

q = −k∇θ Lei de Fourier

D: parte simétrica de

Equação constitutiva para o Tensor das Tensões: Fluido Newtoniano


€

T+ pI = τ ∇u, termos de maior ordem de derivadas em u( )τ: tensão desviadora, tensor extra-tensão Considerando que τ satisfaz ao princípio de objetividade, é simétrico e depende apenas da história do movimento:

€

τ = τ D,...( )

€

∇u : 12∇u−∇uT( )W: parte anti-simétrica de

€

∇u : 12∇u+∇uT( )

Equação constitutiva para Fluidos Newtonianos

•  A forma mais geral para T, consistente com as hipóteses anteriores é:


€

T = −p + λtrD( )I+ 2µD

Equação Constitutiva para Fluidos Newtonianos

D: Tensor taxa de deformação

•  Se o fluido for também incompressível:

•  A equação constitutiva é satisfeita pela maioria dos gases e líquidos com baixos e moderados pesos moleculares

•  Observa-se que a restrição imposta pelo balanço de momento angular é satisfeita por T e q

•  A Segunda Lei é satisfeita se:


€

trD =∇ •u = 0T = −pI+ 2µD

€

λ +23

µ#

$ %

&

' (

viscosidade de bulk

≥ 0 , µ ≥ 0 , k ≥ 0

Equação constitutiva para Fluidos Newtonianos


Equações de quantidade de movimento: Fluido Newtoniano com densidade e viscosidade ctes


Equações de quantidade de movimento: Fluido Newtoniano com densidade e viscosidade ctes

Equações constitutivas para fluidos não Newtonianos

•  Equações dependem do tipo de comportamento (fluido viscoso, tixotrópico, viscoelástico)

•  Algumas equações podem descrever bem o comportamento do fluido em alguns escoamentos mas não em outros

•  Tipos de equações: algébricas, diferenciais, integrais


Equações constitutivas para fluidos não Newtonianos

•  Alguns exemplosw Fluido não Newtoniano Generalizado:

w Modelo de Maxwell

w Expansão de movimento retardado


τ = 2η !γ( )Dτ +λ

∂τ∂t= 2η0 D

τ =η0λ 2e−(t−t ')/λ

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭−∞

t∫ γ t, t '( )dt '

τ = b1γ (1) + b2γ (2) + b1 γ (1) •1 γ (1){ }+ b3γ (3) +...γ (1) = !γ = 2D

γ (n+1) =DDtγ (n) − ∇v( )T •γ (n) +γ (n) • ∇v( ){ }

Passo a passo na análise de problemas envolvendo fluidos complexos

•  Caracterização dos materiais a partir de medidas de propriedades (funções materiais), obtidas em escoamentos aimples (cisalhamento/extensão; regime permanente/transiente)

•  Com os dados experimentais, determina-se os parâmetros (constantes ou não) que aparecem nas eqs. Constitutivas

•  Solução do escoamento usando as eqs. de conservação e eqs. constitutivas

•  Validação da solução obtida


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