Equações Diferenciais Ordinárias - .Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões

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Equaes Diferenciais Ordinrias

Semanas 6, 7 e 8

Professor Luiz Claudio Pereira

Departamento Acadmico de Matemtica

Universidade Tecnolgica Federal do Paran

Material Previsto para trs semanas

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 73

Equaes Diferenciais Ordinrias

1 Exemplos de aplicaes das Equaes Diferenciais OrdinriasConcentrao em soluo qumicaEnvoltria e envolvida

2 Espcies de Equaes Diferenciais OrdinriasEquao de ClairautEquao de LagrangeTipos diversos

3 Equaes de ordem maior do que 1Tipos especiais de equaes de ordem 2: y = f (x), y = f (x ,y ),y = f (y), y = f (y ,y )

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.(a) Determine a taxa da quantidade de sal que chega, por minuto, notanque.(b) Sendo Q(t) a quantidade de sal, em libras, no instante t , prove que aconcentrao de sal, em libras por galo, no instante t

Q(t)

100+2t

(c) Determine a taxa da quantidade de sal que sai, por minuto, do tanque.(d) Ache Q(t) em funo de t.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.(a) Determine a taxa da quantidade de sal que chega, por minuto, notanque.

Resposta de (a)

Cada galo bombeado para dentro do tanque contm 1/2 libra de soluto.Como a salmoura bombeada a taxa de 6 gal/min, segue que

12libragal6 gal

min= 3 libra/min

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.(b) Sendo Q(t) a quantidade de sal, em libras, no instante t , prove que a

concentrao de sal, em libras por galo, no instante t Q(t)

100+2t.

Resposta de (b)

No tanque, por minuto, cam 2 gales de solvente e, aps t minutos, seuvolume ser 100+2t gales. Portanto, a concentrao de soluto, no

instante t, Q(t)

100+2tlibra/gal.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.(c) Determine a taxa da quantidade de sal que sai, por minuto, do tanque.

Resposta de (c)

Como a concentrao de soluto, no instante t, Q(t)

100+2tlibra/gal, e a

cada minuto 4 gales saem do tanque, segue que

Q(t)

100+2tlibragal4 gal

min=

2Q(t)50+ t

libra/min

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min. (d) Ache Q(t) em funo de t.

Resposta de (d)

Por um lado,dQdt

representa a taxa de variao da quantidade de soluto.

Por outro lado, essa taxa tal que{taxa de sal quechega ao tanque

}{

taxa de sal quesai do tanque

}= 3 2Q(t)

50+ t.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min. (d) Ache Q(t) em funo de t.

Resposta de (d)

Deste modo, a situao modelada pelo Problema de Valor Inicial

dQdt

= 3 2Q(t)50+ t

dQd

= 3 2Q()

, Q(0) = 10

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min. (d) Ache Q(t) em funo de t.

Resposta de (d)

Deste modo, a situao modelada pelo Problema de Valor Inicial

dQdt

= 3 2Q(t)50+ t

dQd

= 3 2Q()

, Q(0) = 10

Sua soluo geral Q(t) = 50+ t+A

(50+ t)2. A condio inicial

Q(0) = 10 acarreta A=40 502 .EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min. (d) Ache Q(t) em funo de t.

Resposta de (d)

Deste modo, a situao modelada pelo Problema de Valor Inicial

dQdt

= 3 2Q(t)50+ t

dQd

= 3 2Q()

, Q(0) = 10 .

cuja soluo (particular) Q(t) = 50+ t 40 502

(50+ t)2.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.

Ache a quantidade de libras de sal no tanque aps 30 min.

Resposta

Como Q(t) = 50+ t 40 502

(50+ t)2, segue que

Q(30) = 50+30 40 502

(50+30)2= 64,375 libras

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: concentrao em soluo qumica

Exerccio

Um grande tanque est parcialmente cheio com 100 gales de um uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A soluo bem misturada ento bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.

Ache a quantidade de libras de sal no tanque aps 30 min.

Resposta

Como Q(t) = 50+ t 40 502

(50+ t)2, segue que

Q(30) = 50+30 40 502

(50+30)2= 64,375 libras

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: escoamento de um uido

Exerccio

Suponha que um tanque contendo um determinado lquido tem um drenoperto do fundo. Seja h(t) a altura da superfcie acima do dreno no instantet. O princpio de Torricelli arma que a velocidade v do uxo t no dreno igual velocidade de uma partcula em queda livre (sem atrito) de umaaltura h.(a) Mostre que v =

2gh, onde g a acelerao da gravidade.

(b) Igualando a taxa do uxo no dreno taxa de variao da quantidade delquido no tanque, mostre que h(t) satisfaz a equao

A(h)dhdt

=a2gh ,

onde A(h) a rea da seo reta do tanque altura h e a a rea daabertura do dreno. A constante (0,1) o coeciente de contrao queconsidera o fato observado que a seo reta do jato de lquido uindo menor do que a. O valor de para a gua cerca de 0,6.

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes: escoamento de um uido

Exerccio

Um tanque hemisfrico tem raio do topo 121,92cm e no instante t = 0sest cheio de gua. Neste momento, um buraco circular com dimetro de2,54cm aberto no fundo do tanque. Mostre que o tempo necessrio paraque toda a gua do tanque tenha escoado 35min 50s.

Sugesto

Desprezando o atrito no buraco que possa causar uma reduo na taxa deuxo e a contrao do lquido no orifcio, tomando h dado em ps e t emsegundos, verique que

(8hh2)dhdt

=(

124

)264h

( porquanto 121,92cm= 1,2192m= 4ps e g = 9,8m/s2 = 32ps/s2 )

EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 73

Equao Diferencial Ordinriade ordem 1, aplicaes em geometria: envoltria e envolvidas

Denio

Uma famlia uniparamtrica decurvas associa a cada R umacurva f (x ,y ,) = 0. Isso estabeleceuma aplicao de R no espao dasfunes:

7 f (x ,y ,) = 0

No presente contexto, essa aplicaoe cada curva f (x ,y ,) = 0 serochamadas envolvidas.

EDO (UTFPR) Luiz Claud