Equações Diferenciais Ordinárias
Semanas 6, 7 e 8
Professor Luiz Claudio Pereira
Departamento Acadêmico de Matemática
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Material Previsto para três semanas
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 1 / 73
Equações Diferenciais Ordinárias
1 Exemplos de aplicações das Equações Diferenciais OrdináriasConcentração em solução químicaEnvoltória e envolvida
2 Espécies de Equações Diferenciais OrdináriasEquação de ClairautEquação de LagrangeTipos diversos
3 Equações de ordem maior do que 1Tipos especiais de equações de ordem 2: y ′′ = f (x), y ′′ = f (x ,y ′),y ′′ = f (y), y ′′ = f (y ,y ′)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 2 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.(a) Determine a taxa da quantidade de sal que chega, por minuto, notanque.(b) Sendo Q(t) a quantidade de sal, em libras, no instante t , prove que aconcentração de sal, em libras por galão, no instante t é
Q(t)
100+2t
(c) Determine a taxa da quantidade de sal que sai, por minuto, do tanque.(d) Ache Q(t) em função de t.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 3 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.(a) Determine a taxa da quantidade de sal que chega, por minuto, notanque.
Resposta de (a)
Cada galão bombeado para dentro do tanque contém 1/2 libra de soluto.Como a salmoura é bombeada a taxa de 6 gal/min, segue que
12libragal·6 gal
min= 3 libra/min
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 4 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.(b) Sendo Q(t) a quantidade de sal, em libras, no instante t , prove que a
concentração de sal, em libras por galão, no instante t éQ(t)
100+2t.
Resposta de (b)
No tanque, por minuto, �cam 2 galões de solvente e, após t minutos, seuvolume será 100+2t galões. Portanto, a concentração de soluto, no
instante t, éQ(t)
100+2tlibra/gal.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 5 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.(c) Determine a taxa da quantidade de sal que sai, por minuto, do tanque.
Resposta de (c)
Como a concentração de soluto, no instante t, éQ(t)
100+2tlibra/gal, e a
cada minuto 4 galões saem do tanque, segue que
Q(t)
100+2tlibragal·4 gal
min=
2Q(t)
50+ tlibra/min
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 6 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min. (d) Ache Q(t) em função de t.
Resposta de (d)
Por um lado,dQdt
representa a taxa de variação da quantidade de soluto.
Por outro lado, essa taxa é tal que{taxa de sal quechega ao tanque
}−{
taxa de sal quesai do tanque
}= 3− 2Q(t)
50+ t.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 7 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min. (d) Ache Q(t) em função de t.
Resposta de (d)
Deste modo, a situação é modelada pelo Problema de Valor Inicial
dQdt
= 3− 2Q(t)
50+ t⇔ dQ
dτ= 3− 2Q(τ)
τ, Q(0) = 10
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 8 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min. (d) Ache Q(t) em função de t.
Resposta de (d)
Deste modo, a situação é modelada pelo Problema de Valor Inicial
dQdt
= 3− 2Q(t)
50+ t⇔ dQ
dτ= 3− 2Q(τ)
τ, Q(0) = 10
Sua solução geral é Q(t) = 50+ t+A
(50+ t)2. A condição inicial
Q(0) = 10 acarreta A=−40 ·502 .EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 9 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min. (d) Ache Q(t) em função de t.
Resposta de (d)
Deste modo, a situação é modelada pelo Problema de Valor Inicial
dQdt
= 3− 2Q(t)
50+ t⇔ dQ
dτ= 3− 2Q(τ)
τ, Q(0) = 10 .
cuja solução (particular) é Q(t) = 50+ t− 40 ·502
(50+ t)2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 10 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.
Ache a quantidade de libras de sal no tanque após 30 min.
Resposta
Como Q(t) = 50+ t− 40 ·502
(50+ t)2, segue que
Q(30) = 50+30− 40 ·502
(50+30)2= 64,375 libras
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: concentração em solução química
Exercício
Um grande tanque está parcialmente cheio com 100 galões de um �uido noqual foram dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura contendo 1/2 librade sal por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 6gal/min. A solução bem misturada é então bombeada para fora a umataxa de 4 gal/min.
Ache a quantidade de libras de sal no tanque após 30 min.
Resposta
Como Q(t) = 50+ t− 40 ·502
(50+ t)2, segue que
Q(30) = 50+30− 40 ·502
(50+30)2= 64,375 libras
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 11 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: escoamento de um �uido
Exercício
Suponha que um tanque contendo um determinado líquido tem um drenoperto do fundo. Seja h(t) a altura da superfície acima do dreno no instantet. O princípio de Torricelli a�rma que a velocidade v do �uxo t no dreno éigual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) de umaaltura h.(a) Mostre que v =
√2gh, onde g é a aceleração da gravidade.
(b) Igualando a taxa do �uxo no dreno à taxa de variação da quantidade delíquido no tanque, mostre que h(t) satisfaz a equação
A(h)dhdt
=−αa√2gh ,
onde A(h) é a área da seção reta do tanque à altura h e a é a área daabertura do dreno. A constante α ∈ (0,1) é o coe�ciente de contração queconsidera o fato observado que a seção reta do jato de líquido �uindo émenor do que a. O valor de α para a água é cerca de 0,6.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 12 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações: escoamento de um �uido
Exercício
Um tanque hemisférico tem raio do topo 121,92cm e no instante t = 0sestá cheio de água. Neste momento, um buraco circular com diâmetro de2,54cm é aberto no fundo do tanque. Mostre que o tempo necessário paraque toda a água do tanque tenha escoado é 35min 50s.
Sugestão
Desprezando o atrito no buraco que possa causar uma redução na taxa de�uxo e a contração do líquido no orifício, tomando h dado em pés e t emsegundos, veri�que que
π(8h−h2)dhdt
=−π
(124
)2√64h
( porquanto 121,92cm= 1,2192m= 4pés e g = 9,8m/s2 = 32pés/s2 )
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 13 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
De�nição
Uma família uniparamétrica decurvas associa a cada α ∈ R umacurva f (x ,y ,α) = 0. Isso estabeleceuma aplicação de R no espaço dasfunções:
α 7→ f (x ,y ,α) = 0
No presente contexto, essa aplicaçãoe cada curva f (x ,y ,α) = 0 serãochamadas envolvidas.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 14 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
De�nição
Uma família uniparamétrica decurvas associa a cada α ∈ R umacurva f (x ,y ,α) = 0. Isso estabeleceuma aplicação de R no espaço dasfunções:
α 7→ f (x ,y ,α) = 0
No presente contexto, essa aplicaçãoe cada curva f (x ,y ,α) = 0 serãochamadas envolvidas.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 15 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
De�nição
Uma família uniparamétrica decurvas associa a cada α ∈ R umacurva f (x ,y ,α) = 0. Isso estabeleceuma aplicação de R no espaço dasfunções:
α 7→ f (x ,y ,α) = 0
No presente contexto, essa aplicaçãoe cada curva f (x ,y ,α) = 0 serãochamadas envolvidas.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 16 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
De�nição
Uma família uniparamétrica decurvas associa a cada α ∈ R umacurva f (x ,y ,α) = 0. Isso estabeleceuma aplicação de R no espaço dasfunções:
α 7→ f (x ,y ,α) = 0
No presente contexto, essa aplicaçãoe cada curva f (x ,y ,α) = 0 serãochamadas envolvidas.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 17 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
De�nição
Uma curva y = φ(x), cujos pontos(x ,φ(x)) estão sobre a famíliauniparamétrica f (x ,y ,α) = 0 e cujatangente em cada ponto é tangentea uma curva desta família é chama-da envoltória.
Observação
Pode ser que não exista a envoltóriarelativa a uma dada famíliauniparamétrica de curvas. Ademais,se existir a envoltória, ela pode nãoser única.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 18 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Pergunta
Se existir, como se determina aenvoltória y = φ(x) das envolvidasf (x ,y ,α) = 0?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 19 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Pergunta
Se existir, como se determina aenvoltória y = φ(x) das envolvidasf (x ,y ,α) = 0?
Uma resposta possível
(a) Como todo ponto (x ,φ(x)) daenvoltória é ponto da envolvida,deve-se ter
f (x ,φ(x),α) = 0⇔ f (x ,y ,α) = 0 ,
para algum α ∈ R.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 20 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Pergunta
Se existir, como se determina a envoltória y = φ(x) das envolvidasf (x ,y ,α) = 0?
Uma resposta possível
(b) A reta tangente a envoltória α 7→ f (x ,y ,α) = 0 coincide com a retatangente de cada envolvida no ponto (x ,φ(x)). Para a envolvida,
0=∂ f
∂xdx+
∂ f
∂ydy ⇔ dy
dx=−
∂ f
∂x∂ f
∂y
. Para a envoltória,dydx
=
dydαdxdα
. Daí,
∂ f
∂x· dxdα
+∂ f
∂y· dydα
= 0. Porém, a derivada da envoltória em relação a α
conduz a∂ f
∂x· dxdα
+∂ f
∂y· dydα
+∂ f
∂α= 0. Logo,
∂ f
∂α= 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 21 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Assim, o requisito (b) da reta tangente aenvoltória
α 7→ f (x ,y ,α) = 0
coincidir com a reta tangente de cadaenvolvida no ponto (x ,φ(x)), traduz-sealgebricamente na condição
∂ f
∂α= 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 22 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Pergunta
Se existir, como se determina a envoltóriay = φ(x) das envolvidas f (x ,y ,α) = 0?
Resposta
Os pontos (x ,φ(x)) da envoltória são taisque
(∗) f (x ,y ,α) = 0 e∂ f (x ,y ,α)
∂α= 0
A equação da envoltória pode ser obtida naforma paramétrica ou eliminando-se oparâmetro α entre as duas equações dosistema (∗).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 23 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
De�nição
Os pontos das envolvidas que pertencemà envoltória
(∗)
f (x ,y ,α) = 0
∂ f (x ,y ,α)
∂α= 0
são denominados pontos característicos.
Corolário
A envoltória é o lugar geométrico dospontos característicos.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
De�nição
Os pontos das envolvidas que pertencemà envoltória
(∗)
f (x ,y ,α) = 0
∂ f (x ,y ,α)
∂α= 0
são denominados pontos característicos.
Corolário
A envoltória é o lugar geométrico dospontos característicos.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 24 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Exemplo
Ache a envoltória da família de curvas x2+ y2+2(α +2)y +α2 = 0 .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 25 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Exemplo
Ache a envoltória da família de curvas x2+ y2+2(α +2)y +α2 = 0 .
Resposta
A equação da envoltória advém da resolução do sistema
f (x ,y ,α) = 0 e∂ f (x ,y ,α)
∂α= 0
Como f (x ,y ,α)≡ x2+ y2+2(α +2)y +α2, segue que
x2+ y2+2(α +2)y +α2 = 0 e y +α = 0
Por conseguinte, x2+ y2+2(−y +2)y +(−y)2 = 0⇔ x2+4y = 0 é aequação da envoltória.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 26 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Observação
A envolvida dada pela famíliauniparamétrica de curvas f (x ,y ,α) = 0é solução geral de F (x ,y ,y ′) = 0. Ospontos (x ,φ(x)) da envoltória relativa aesta envolvida são tais quef (x ,φ(x),α) = 0. Portanto, a envolvidaé tal que F (x ,φ(x),φ ′(x)) = 0.
Noutras palavras, a envoltória é tambémsolução da EDO, cuja solução geral é aenvolvida. Que tipo de solução da EDOé a envoltória?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Observação
A envolvida dada pela famíliauniparamétrica de curvas f (x ,y ,α) = 0é solução geral de F (x ,y ,y ′) = 0. Ospontos (x ,φ(x)) da envoltória relativa aesta envolvida são tais quef (x ,φ(x),α) = 0. Portanto, a envolvidaé tal que F (x ,φ(x),φ ′(x)) = 0.
Noutras palavras, a envoltória é tambémsolução da EDO, cuja solução geral é aenvolvida. Que tipo de solução da EDOé a envoltória?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Observação
A envolvida dada pela famíliauniparamétrica de curvas f (x ,y ,α) = 0é solução geral de F (x ,y ,y ′) = 0. Ospontos (x ,φ(x)) da envoltória relativa aesta envolvida são tais quef (x ,φ(x),α) = 0. Portanto, a envolvidaé tal que F (x ,φ(x),φ ′(x)) = 0.
Noutras palavras, a envoltória é tambémsolução da EDO, cuja solução geral é aenvolvida. Que tipo de solução da EDOé a envoltória?
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 27 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Exercício
Ache a envoltória da família de curvas y = x2/2+αx+α2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 28 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Exercício
Ache a envoltória da família de curvas y = x2/2+αx+α2.
Resposta - um outro olhar
A família de curvas é dada por
f (x ,y ,α)≡−y + x2
2+αx+α2 =−y +(α +
x
2)2+
x2
4= 0
Derivando em relação a x ,
0=−y ′+(α +x
2)+
x
2⇔(y ′− x
2
)2= y − x2
4⇔ y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2.
Fazendo p = y ′, tem-se y = p2− xp+ x2/2. Derivando em relação a x ,p = 2pp′−p− xp′+ x ⇔ 2p(1−p′) = x(1−p′)⇔ (1−p′)(x−2p) = 0.Assim, (i)p′ = 1 ou (ii)p = x/2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 29 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Exercício
Ache a envoltória da família de curvas y = x2/2+αx+α2.
Resposta - um outro olhar
(i) p′ = 1⇔ p = x+k origina a solução geral da equação diferencial
y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2
(ii) p = x/2 origina a solução singular dessa equação diferencial. Portanto,
y =(x2
)2− x ·
(x2
)+
x2
2=
x2
4
é a envoltória da família de curvas dada.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Exercício
Ache a envoltória da família de curvas y = x2/2+αx+α2.
Resposta - um outro olhar
(i) p′ = 1⇔ p = x+k origina a solução geral da equação diferencial
y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2
(ii) p = x/2 origina a solução singular dessa equação diferencial. Portanto,
y =(x2
)2− x ·
(x2
)+
x2
2=
x2
4
é a envoltória da família de curvas dada.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 30 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 31 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, aplicações em geometria: envoltória e envolvidas
Exercício
Ache a envoltória da família de curvas dada pela equação diferencial:
(a)
(dydx
)2
+1= y−2 . Interprete geometricamente.
(b) y − xdydx
=
(dydx
)2
.
Exercício
Determine a envoltória da família de curvas que distam 2 unidades de umponto �xo.
Exercício
Prove que a família de curvas uniparamétrica x2+ y2 = k > 0 não admiteuma envoltória.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 32 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de Clairaut
De�nição
É uma equação da forma y = xdydx
+φ
(dydx
).
Soluções da equação de Clairaut
A mudança de variável p =dydx
acarreta y = xp+φ(p). Derivando em
relação a x , obtém-se
p = p+ xp′+φ′(p) ·p′⇔ (x+φ
′(p))p′ = 0
Assim, (i) p′ = 0⇒ p = k fornece a solução geral da equação de Clairaut e(ii) φ ′(p) =−x origina a solução singular, que é a envoltória da família decurvas dada pela solução geral.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de Clairaut
De�nição
É uma equação da forma y = xdydx
+φ
(dydx
).
Soluções da equação de Clairaut
A mudança de variável p =dydx
acarreta y = xp+φ(p). Derivando em
relação a x , obtém-se
p = p+ xp′+φ′(p) ·p′⇔ (x+φ
′(p))p′ = 0
Assim, (i) p′ = 0⇒ p = k fornece a solução geral da equação de Clairaut e(ii) φ ′(p) =−x origina a solução singular, que é a envoltória da família decurvas dada pela solução geral.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 33 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de Lagrange
De�nição
É uma equação da forma y = xψ
(dydx
)+φ
(dydx
).
Soluções da equação de Lagrange
A mudança de variável p =dydx
acarreta y = xψ(p)+φ(p). Derivando em
relação a x , pelo Teorema da Derivada da Função Inversa, obtém-se
p = ψ(p)+ xψ ′(p) · dpdx
+φ ′(p) · dpdx
⇔ dxdp
(p−ψ(p))− xψ ′(p) = φ ′(p)
⇔ dxdp− ψ ′(p)
p−ψ(p)· x =
φ ′(p)
p−ψ(p)cuja solução geral é x = f (p). A solução da equação de Lagrange, na
forma paramétrica, é
{x = f (p)
y = f (p)ψ(p)+φ(p)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de Lagrange
De�nição
É uma equação da forma y = xψ
(dydx
)+φ
(dydx
).
Soluções da equação de Lagrange
A mudança de variável p =dydx
acarreta y = xψ(p)+φ(p). Derivando em
relação a x , pelo Teorema da Derivada da Função Inversa, obtém-se
p = ψ(p)+ xψ ′(p) · dpdx
+φ ′(p) · dpdx
⇔ dxdp
(p−ψ(p))− xψ ′(p) = φ ′(p)
⇔ dxdp− ψ ′(p)
p−ψ(p)· x =
φ ′(p)
p−ψ(p)cuja solução geral é x = f (p). A solução da equação de Lagrange, na
forma paramétrica, é
{x = f (p)
y = f (p)ψ(p)+φ(p)
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 34 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de Clairaut e de Lagrange
De�nição
Uma equação diferencial da forma y = xdydx
+φ
(dydx
)é dita equação de
Clairaut.
De�nição
Uma equação diferencial da forma y = xψ
(dydx
)+φ
(dydx
)é chamada
equação de Lagrange.
Observação
A equação de Lagrange é uma generalização da equação de Clairaut.Noutras palavras, a equação de Clairaut é um caso particular da equação
de Lagrange com ψ
(dydx
)=
dydx
.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 35 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de Clairaut e de Lagrange
Exercício
Resolva a equação x
(dydx
)3
− y
(dydx
)2
+1= 0.
Exercício
Resolva a equação y =
(1+
dydx
)x+
(dydx
)2
.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 36 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação 4y2(dydx
)2
+4y2−(x+ y
dydx
)2
= 0.
Exercício
Resolva a equação y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2.
Exercicio
Resolva a equação x = sendydx
+ lndydx
.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 37 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de Clairaut: y = xdy
dx+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação x
(dydx
)3
− y
(dydx
)2
+1= 0.
Resposta
Note que
x
(dydx
)3
− y
(dydx
)2
+1= 0⇔ y = xdydx
+
(dydx
)−2
é uma equação de Clairaut, com φ
(dydx
)=
(dydx
)−2. Considere a
mudança de variável p =dydx
. A equação assume a forma y = xp+p−2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de Clairaut: y = xdy
dx+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação x
(dydx
)3
− y
(dydx
)2
+1= 0.
Resposta
Note que
x
(dydx
)3
− y
(dydx
)2
+1= 0⇔ y = xdydx
+
(dydx
)−2
é uma equação de Clairaut, com φ
(dydx
)=
(dydx
)−2. Considere a
mudança de variável p =dydx
. A equação assume a forma y = xp+p−2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 38 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de Clairaut: y = xdy
dx+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação x
(dydx
)3
− y
(dydx
)2
+1= 0.
Resposta
Derivando y = xp+p−2 em relação a x , decorre que
p ≡ y ′ = xp′+p−2p−3 ·p′⇔ (x−2p−3) ·p′ = 0
Assim, há dois dois casos a analisar: (i) p′ = 0 ou (ii) x = 2p−3.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 39 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de Clairaut: y = xdy
dx+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação x
(dydx
)3
− y
(dydx
)2
+1= 0.
Resposta
(i) Se p′ = 0, então p = k = const. e a equação y = xp+p−2 reduz-se ay = kx+k−2, que é a solução geral da equação de Clairaut.
(ii) x = 2p−3⇔ p =
(2x
)1/3
. Neste caso, obtém-se a função
y = x ·(2x
)1/3
+
(2x
)−2/3⇔ 2y = 3 ·21/3 · x2/3⇔ 4y3 = 27x2
que é a solução singular da equação de Clairaut.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 40 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de Lagrange: y = xψ
(dy
dx
)+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação y =
(1+
dydx
)x+
(dydx
)2
.
Resposta
Note que a equação dada é uma equação de Lagrange com
ψ
(dydx
)= 1+
dydx
e φ
(dydx
)=
(dydx
)2
. Considere a mudança de variável
p =dydx
. A equação assume a forma y = (1+p)x+p2. Derivando em
relação a x , pelo Teorema da Derivada da Função Inversa, obtém-se
p ≡ y ′ = p′x+(1+p)+2p ·p′⇔ 0= 1+(x+2p) · dpdx⇔ dx
dp+ x+2p = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de Lagrange: y = xψ
(dy
dx
)+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação y =
(1+
dydx
)x+
(dydx
)2
.
Resposta
Note que a equação dada é uma equação de Lagrange com
ψ
(dydx
)= 1+
dydx
e φ
(dydx
)=
(dydx
)2
. Considere a mudança de variável
p =dydx
. A equação assume a forma y = (1+p)x+p2. Derivando em
relação a x , pelo Teorema da Derivada da Função Inversa, obtém-se
p ≡ y ′ = p′x+(1+p)+2p ·p′⇔ 0= 1+(x+2p) · dpdx⇔ dx
dp+ x+2p = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 41 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de Lagrange: y = xψ
(dy
dx
)+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação y =
(1+
dydx
)x+
(dydx
)2
.
Resposta
Ora,dxdp
+ x+2p = 0 é uma equação diferencial linear em x e p. Usando
como fator integrante a função µ(p) = ep, segue que
dxdp
+ x+2p = 0⇔ ddp
(epx) =−2pep⇔ x(p) = 2−2p+Ae−p ,
onde A= const. Ademais,
y = (1+p)x+p2 = (1+p)(2−2p+Ae−p)+p2 = 2−p2+A(1+p)e−p
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 42 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de Lagrange: y = xψ
(dy
dx
)+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação y =
(1+
dydx
)x+
(dydx
)2
.
Resposta
Portanto, a solução da equação de Lagrange, na forma paramétrica, é dadapor {
x(p) = 2−2p+Ae−p
y(p) = 2−p2+A(1+p)e−p
onde A ∈ R é uma constante.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 43 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação 4y2(dydx
)2
+4y2−(x+ y
dydx
)2
= 0.
Resposta
Observe que
4y2(dydx
)2
+4y2 ⇔ 3y2(dydx
)2
−2
(ydydx
)x− x2+4y2 = 0
−(x+ y
dydx
)2
= 0
⇔(ydydx
)2
−2
(ydydx
)· x3+(x3
)2− 4x2
9+
4y2
3= 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 44 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação 4y2(dydx
)2
+4y2−(x+ y
dydx
)2
= 0.
Resposta
Observe que
4y2(dydx
)2
+4y2 ⇔(ydydx− x
3
)2
+43
(y2− x2
3
)= 0
−(x+ y
dydx
)2
= 0
⇔[ddx
(y2
2− x2
6
)]2+
43
(y2− x2
3
)= 0
Considere a mudança de variável 2u =x2
3− y2. Segue que
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 45 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação 4y2(dydx
)2
+4y2−(x+ y
dydx
)2
= 0.
Resposta
Observe que[ddx
(y2
2− x2
6
)]2+
43
(y2− x2
3
)= 0 ⇔
[dudx
]2− 4
3·2u = 0
⇔∣∣∣∣dudx
∣∣∣∣= 2√2√3·u1/2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 46 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação 4y2(dydx
)2
+4y2−(x+ y
dydx
)2
= 0.
Resposta
Observe que[ddx
(y2
2− x2
6
)]2+
43
(y2− x2
3
)= 0 ⇔
[dudx
]2− 4
3·2u = 0
⇔∣∣∣∣dudx
∣∣∣∣= 2√2√3·u1/2
que é uma equação separável.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 47 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação 4y2(dydx
)2
+4y2−(x+ y
dydx
)2
= 0.
Resposta
(i) Se u′(x)> 0, então∣∣∣∣dudx∣∣∣∣= 2
√2√3·u1/2 ⇔ u−1/2 du− 2
√2√3dx = 0
[2u =
x2
3− y2
]⇔ 2
√u− 2
√2√3x = const.
[6u = x2−3y2
]⇔
√x2−3y2−2x = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 48 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação 4y2(dydx
)2
+4y2−(x+ y
dydx
)2
= 0.
Resposta
(ii) Se u′(x)< 0, então∣∣∣∣dudx∣∣∣∣= 2
√2√3·u1/2 ⇔ −u−1/2 du− 2
√2√3dx = 0
[2u =
x2
3− y2
]⇔ 2
√u+
2√2√3x = const.
[6u = x2−3y2
]⇔
√x2−3y2+2x = const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 49 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação 4y2(dydx
)2
+4y2−(x+ y
dydx
)2
= 0.
Resposta
Em síntese,(i) se u′(x)> 0,
√x2−3y2−2x = const.
(ii) se u′(x)< 0,√
x2−3y2+2x = const.
Portanto, a solução da equação diferencial dada é√x2−3y2∓2x = k ⇔ x2−3y2 = k2+4x2±4kx
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 50 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2.
Resposta - um outro olhar
Observe que
y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2⇔ y =
(dydx
)2
−2 · dydx· x2+(x2
)2+
x2
4
⇔ y =
(dydx− x
2
)2
+x2
4
⇔ y − x2
4=
[ddx
(y − x2
4
)]2EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 51 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2.
Resposta - um outro olhar
Considere a mudança de variável u = y − x2
4. Daí,
y − x2
4=
[ddx
(y − x2
4
)]2⇔ u =
(dudx
)2
⇔∣∣∣∣dudx
∣∣∣∣= u1/2 .
(i) Se u′(x)> 0, tem-se u−1/2 du−dx = 0 e 2u1/2− x = const.(ii) Se u′(x)< 0, tem-se u−1/2 du+dx = 0 e 2u1/2+ x = const.Portanto, a solução geral da edo dada é
√4y − x2∓ x = k .
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 52 / 73
Equação Diferencial Ordinária
de ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos: y = x ·ψ(dy
dx
)+φ
(dy
dx
)
Exercício
Resolva a equação y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2.
Resposta - sob uma nova perspectiva
Note que a equação é de Lagrange, pois
y =
(dydx
)2
− xdydx
+x2
2⇔ y = x ·
(x
2− dy
dx
)+
(dydx
)2
A mudança de variável p =dydx
e a diferenciação em relação a x permitem
obter - como visto no tópico sobre envoltória - a solução geraly = x2/2+αx+α2⇔
√4y − x2 = |2α + x |
e também a solução singular y = x2/4, que não fora obtida noprocedimento anterior!
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 53 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Resolva a equação x = sendydx
+ lndydx
.
Resposta
A mudança de variável p =dydx
acarreta x = senp+ lnp . Derivando em
relação a y e usando o Teorema da Derivada da Função Inversa, obtém-sea equação linear
dxdy
= cosp · dpdy
+1p· dpdy
⇔ 1p= cosp · dp
dy+
1p· dpdy
⇔ dydp
= p cosp+1
cuja solução, na forma paramétrica, éx(p) = senp+ ln |p|, y(p) = A+p+p senp+ cosp, A= const.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 54 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 1, de grau diferente de 1 e de tipos diversos
Exercício
Considere a equação diferencial ordinária
ex =
y2+
(dydx
)2
2dydx
(a) Encontre sua solução (geral) na forma paramétrica.(b) Veri�que, por derivação, a validade do resultado obtido no item (a).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 55 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Recordando
Uma EDO de ordem n na forma normal é dada por
y (n) = f (x ,y ′,y ′′, . . . ,y (n−1)) . (1)
De modo geral, soluções de uma EDO de ordem n contêm n constantes deintegração arbitrárias, que poderão ser determinadas por meio de n infor-mações adicionais, chamadas condições iniciais (ou de contorno).
Exemplo de condições iniciais
y(x0) = y0, y ′(x0) = y1, y ′′(x0) = y2, ..., y (n−1)(x0) = yn−1.
A equação (1) junto com condições iniciais estabelecem um Problema deValor Inicial (ou de Cauchy).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Recordando
Uma EDO de ordem n na forma normal é dada por
y (n) = f (x ,y ′,y ′′, . . . ,y (n−1)) . (1)
De modo geral, soluções de uma EDO de ordem n contêm n constantes deintegração arbitrárias, que poderão ser determinadas por meio de n infor-mações adicionais, chamadas condições iniciais (ou de contorno).
Exemplo de condições iniciais
y(x0) = y0, y ′(x0) = y1, y ′′(x0) = y2, ..., y (n−1)(x0) = yn−1.
A equação (1) junto com condições iniciais estabelecem um Problema deValor Inicial (ou de Cauchy).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Recordando
Uma EDO de ordem n na forma normal é dada por
y (n) = f (x ,y ′,y ′′, . . . ,y (n−1)) . (1)
De modo geral, soluções de uma EDO de ordem n contêm n constantes deintegração arbitrárias, que poderão ser determinadas por meio de n infor-mações adicionais, chamadas condições iniciais (ou de contorno).
Exemplo de condições iniciais
y(x0) = y0, y ′(x0) = y1, y ′′(x0) = y2, ..., y (n−1)(x0) = yn−1.
A equação (1) junto com condições iniciais estabelecem um Problema deValor Inicial (ou de Cauchy).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Recordando
Uma EDO de ordem n na forma normal é dada por
y (n) = f (x ,y ′,y ′′, . . . ,y (n−1)) . (1)
De modo geral, soluções de uma EDO de ordem n contêm n constantes deintegração arbitrárias, que poderão ser determinadas por meio de n infor-mações adicionais, chamadas condições iniciais (ou de contorno).
Exemplo de condições iniciais
y(x0) = y0, y ′(x0) = y1, y ′′(x0) = y2, ..., y (n−1)(x0) = yn−1.
A equação (1) junto com condições iniciais estabelecem um Problema deValor Inicial (ou de Cauchy).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 56 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Recordando
Uma EDO de ordem n é dita linear, quando possui a seguinte formaan(x)y
(n)+an−1(x)y(n−1)+ . . .+a2(x)y
′′+a1(x)y′+a0(x)y = Q(x)
Noutras palavras, uma EDO de ordem n é linear quando é uma combinaçãolinear de y e suas derivadas até ordem n.
Ora,
an(x)y(n)+an−1(x)y
(n−1)+ . . .+a2(x)y′′+a1(x)y
′+a0(x)y = Q(x) ⇔
y (n)+an−1(x)
an(x)y (n−1)+ . . .+
a2(x)
an(x)y ′′+
a1(x)
an(x)y ′+
a0(x)
an(x)y =
Q(x)
an(x)⇔
y (n)+αn−1(x)y(n−1)+ . . .+α2(x)y
′′+α1(x)y′+α0(x)y = q(x)
Portanto, pode-se a�rmar queEDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 57 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Recordando
Uma EDO de ordem n é dita linear, quando possui a seguinte formaan(x)y
(n)+an−1(x)y(n−1)+ . . .+a2(x)y
′′+a1(x)y′+a0(x)y = Q(x)
Noutras palavras, uma EDO de ordem n é linear quando é uma combinaçãolinear de y e suas derivadas até ordem n.
Ora,
an(x)y(n)+an−1(x)y
(n−1)+ . . .+a2(x)y′′+a1(x)y
′+a0(x)y = Q(x) ⇔
y (n)+an−1(x)
an(x)y (n−1)+ . . .+
a2(x)
an(x)y ′′+
a1(x)
an(x)y ′+
a0(x)
an(x)y =
Q(x)
an(x)⇔
y (n)+αn−1(x)y(n−1)+ . . .+α2(x)y
′′+α1(x)y′+α0(x)y = q(x)
Portanto, pode-se a�rmar queEDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 57 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Uma EDO de ordem n é linear, quando tem a seguinte forma (normal)
y (n)+αn−1(x)y(n−1)+ . . .+α2(x)y
′′+α1(x)y′+α0(x)y = q(x) (2)
Uma EDO que não possui a forma (2) é dita não-linear.
De�nição
Uma EDO linear, de ordem n, é dita homogênea quandoQ(x) = 0⇔ q(x) = 0. Caso contrário, é denominada não-homogênea.
Observação
Inexistem procedimentos (analíticos) gerais de resolução de equaçõesnão-lineares. Neste caso, usam-se métodos numéricos ou geométricos. Poroutro lado, para equações lineares há procedimentos analíticos adequados.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Uma EDO de ordem n é linear, quando tem a seguinte forma (normal)
y (n)+αn−1(x)y(n−1)+ . . .+α2(x)y
′′+α1(x)y′+α0(x)y = q(x) (2)
Uma EDO que não possui a forma (2) é dita não-linear.
De�nição
Uma EDO linear, de ordem n, é dita homogênea quandoQ(x) = 0⇔ q(x) = 0. Caso contrário, é denominada não-homogênea.
Observação
Inexistem procedimentos (analíticos) gerais de resolução de equaçõesnão-lineares. Neste caso, usam-se métodos numéricos ou geométricos. Poroutro lado, para equações lineares há procedimentos analíticos adequados.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem maior que 1
Uma EDO de ordem n é linear, quando tem a seguinte forma (normal)
y (n)+αn−1(x)y(n−1)+ . . .+α2(x)y
′′+α1(x)y′+α0(x)y = q(x) (2)
Uma EDO que não possui a forma (2) é dita não-linear.
De�nição
Uma EDO linear, de ordem n, é dita homogênea quandoQ(x) = 0⇔ q(x) = 0. Caso contrário, é denominada não-homogênea.
Observação
Inexistem procedimentos (analíticos) gerais de resolução de equaçõesnão-lineares. Neste caso, usam-se métodos numéricos ou geométricos. Poroutro lado, para equações lineares há procedimentos analíticos adequados.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 58 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x)
Exemplo 1
Neste caso, porque y ′′ =ddx
(y ′), integrando em relação a x , tem-se
y ′ =∫
x
f (t)dt+ c1
E integrando novamente em relação a x , obtém-se
y(x) =∫
x{∫
s
f (t)dt
}ds+ c1x+ c2,
que fornece a solução geral da equação.
Exercício
Resolva o Problema de Valor Inicial{y ′′ = sen3x+ e−2x
y(0) = 1/2, y ′(0) = 1/6
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x)
Exemplo 1
Neste caso, porque y ′′ =ddx
(y ′), integrando em relação a x , tem-se
y ′ =∫
x
f (t)dt+ c1
E integrando novamente em relação a x , obtém-se
y(x) =∫
x{∫
s
f (t)dt
}ds+ c1x+ c2,
que fornece a solução geral da equação.
Exercício
Resolva o Problema de Valor Inicial{y ′′ = sen3x+ e−2x
y(0) = 1/2, y ′(0) = 1/6
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 59 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x)
Exercício
Resolva o Problema de Valor Inicial{y ′′ = sen3x+ e−2x
y(0) = 1/2, y ′(0) = 1/6
Resposta
Integrando em relação a x , tem-se
y ′ =∫ (
sen3x+ e−2x)dx =−cos3x
3− e−2x
2+ c1. Como y ′(0) = 1/6,
c1 = 1. Integrando uma vez mais em relação a x decorre
y(x) =−sen3x9
+e−2x
4+ x+ c2. Assim, porque y(0) = 1/2, c2 = 1/4.
Portanto, a solução particular do PVI é y(x) =−sen3x9
+e−2x
4+ x+
14.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x)
Exercício
Resolva o Problema de Valor Inicial{y ′′ = sen3x+ e−2x
y(0) = 1/2, y ′(0) = 1/6
Resposta
Integrando em relação a x , tem-se
y ′ =∫ (
sen3x+ e−2x)dx =−cos3x
3− e−2x
2+ c1. Como y ′(0) = 1/6,
c1 = 1. Integrando uma vez mais em relação a x decorre
y(x) =−sen3x9
+e−2x
4+ x+ c2. Assim, porque y(0) = 1/2, c2 = 1/4.
Portanto, a solução particular do PVI é y(x) =−sen3x9
+e−2x
4+ x+
14.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 60 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x ,y ′)
Exemplo 2
Neste caso, a mudança de variável
p =dydx
(3)
transforma a equação diferencial de ordem 2 na equação p′ = f (x ,p). Seessa equação de ordem 1 puder ser resolvida para p, a função y poderá serobtida por integração de (3).
Exercício
Resolva a equação y ′′+ x(y ′)2 = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x ,y ′)
Exemplo 2
Neste caso, a mudança de variável
p =dydx
(3)
transforma a equação diferencial de ordem 2 na equação p′ = f (x ,p). Seessa equação de ordem 1 puder ser resolvida para p, a função y poderá serobtida por integração de (3).
Exercício
Resolva a equação y ′′+ x(y ′)2 = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 61 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x ,y ′)
Exercício
Resolva a equação y ′′+ x(y ′)2 = 0.
Resposta
y ′′ =−x(y ′)2. Considere a mudança de variável p =dydx
. Segue que
p′+ xp2 = 0⇔ p−2 dp+ x dx = 0⇔−p−1+ x2
2= c1
Daí,
y ′ =2
x2−2c1⇒ y(x) =
∫x 2dxx2−2c1
+ c2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x ,y ′)
Exercício
Resolva a equação y ′′+ x(y ′)2 = 0.
Resposta
y ′′ =−x(y ′)2. Considere a mudança de variável p =dydx
. Segue que
p′+ xp2 = 0⇔ p−2 dp+ x dx = 0⇔−p−1+ x2
2= c1
Daí,
y ′ =2
x2−2c1⇒ y(x) =
∫x 2dxx2−2c1
+ c2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 62 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x ,y ′)
Exercício
Resolva a equação y ′′+ x(y ′)2 = 0.
Resposta
(i) Se c1 > 0, então x2−2c1 = (x−√2c1)(x+
√2c1). Pondo
2x2−2c1
=A
x−√2c1
+B
x+√2c1
obtém-se A=−B =1√2c1
e
y(x) =∫
x 2dxx2−2c1
+ c2 =1√2c1
ln
∣∣∣∣x−√2c1x+√2c1
∣∣∣∣+ c2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 63 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x ,y ′)
Exercício
Resolva a equação y ′′+ x(y ′)2 = 0.
Resposta
(ii) Se c1 < 0, então
2x2−2c1
=1−c1· 1(
x√−2c1
)2
+1
Sendo u = x/√−2c1, decorre que dx =
√−2c1 du e
y(x) =∫
x 2dxx2−2c1
+ c2 =
√−2c1−c1
·arctg∣∣∣∣ x√−2c1
∣∣∣∣+ c2
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 64 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (x ,y ′)
Exercício
Resolva a equação y ′′+ x(y ′)2 = 0.
Resposta
(iii) Se c1 = 0, y(x) =∫
x 2dxx2−2c1
+ c2 =−2x−1+ c2.
Portanto, a solução geral da equação é
y(x) =
1√2c1
ln
∣∣∣∣x−√2c1x+√2c1
∣∣∣∣+ c2, se c1 > 0
−2x−1+ c2, se c1 = 0
√−2c1−c1
·arctg∣∣∣∣ x√−2c1
∣∣∣∣+ c2, se c1 < 0
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 65 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (y)
Exemplo 3
A variável independente x não aparece explicitamente, mas apenas atravésda variável dependente y . Seja a mudança de variável
p =dydx
(4)
Considerando p como função de y , pela Regra da Cadeia, segue que
y ′′ =dpdx
=dpdy· dydx
= pdpdy
e a equação diferencial reduz-se a
pdpdy
= f (y)⇔ pdp− f (y)dy = 0
que é separável em y e p. Obtida a função p = φ(y) 6= 0, de (4) segue aequação separável
dyφ(y)
−dx = 0,
cuja resolução fornece a função y(x).
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 66 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (y)
Exercício
Resolva a equação diferencial y ′′+ y = 0.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 67 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (y)
Exercício
Resolva a equação diferencial y ′′+ y = 0.
Resposta
y ′′ =−y . Seja a mudança de variável p =dydx
. Então, y ′′ = pdpdy
e a
equação diferencial dada reduz-se a
pdpdy
+ y = 0⇔ pdp+ y dy = 0⇔ p2+ y2 = c1 > 0⇔ |p|=√
c1− y2
Assim, obtém-se a equação∣∣∣(c1− y2)−1/2
dy∣∣∣−|dx |= 0⇔
∣∣∣∣∣∣[1−(
y√c1
)2]−1/2
dy
∣∣∣∣∣∣−√c1 |dx |= 0
cuja solução geral é√c1 arcsen
(y√c1
)∓√c1x = const.⇔ arcsen
(y√c1
)∓ x = c2.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 68 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (y)
Exercício
Resolva a equação diferencial y ′′+ y = 0.
Resposta
Prosseguindo um pouco mais, tem-se
arcsen
(y√c1
)∓ x = c2 ⇔ arcsen
(y√c1
)= c2± x
⇔ y =√c1 sen(c2± x)
⇔ y =√c1 senc2 · cosx±
√c1 cosc2 · senx
Sendo A≡√c1 senc2 e B ≡±√c1 cosc2 constantes, conclui-se que asolução geral da equação é
y(x) = Acosx+B senx
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 69 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (y ,y ′)
Exemplo 4
A variável independente x não aparece explicitamente, mas apenas atravésda variável dependente y . Seja a mudança de variável
p =dydx
(5)
Considerando p como função de y , pela Regra da Cadeia, segue que
y ′′ = pdpdy
e a equação de ordem 2 assume a forma
pdpdy
= f (y ,p)
Se essa equação de ordem 1 puder ser resolvida para p, a função y poderáser obtida por integração de (5).
Exercício
Resolva a equação diferencial yy ′′+(y ′)2 = 0.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 70 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2 do tipo y ′′ = f (y ,y ′)
Exercício
Resolva a equação diferencial yy ′′+(y ′)2 = 0.
Resposta
Para y(x) 6= 0, y ′′ =−(y ′)2/y . Seja a mudança de variável p =dydx
.
Considerando p como função de y , pela Regra da Cadeia, segue que
y ′′ = pdpdy
e a equação diferencial dada reduz-se a
ypdpdy
+p2 = 0⇔ p−1 dp+ y−1 dy = 0⇔ ln |y ·p|= const.⇔ |y ·p|= c1
Assim, obtém-se a equação
|y dy |− c1 |dx |= 0
cuja solução geral é y2∓2c1x = 2c2, c1 > 0.EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 71 / 73
Equação Diferencial Ordináriade ordem 2, de tipos particulares
Exercício
Encontre a solução do problema dado. Em seguinda, veri�que, porderivação, a validade do resultado obtido.
(a) y ′′−4= (y ′)2
(b) y ′′+(y ′)2 = 2e−y
(c) (1+ x2)y ′′+2xy ′+3x−2 = 0, y(1) = 2, y ′(1) =−1
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 72 / 73
Leitura Recomendada I
Abunahman, S. A.Equações diferenciais.Rio de Janeiro: EDC, 1989.
Boyce, W. E. e Diprima, R. C.Equações diferenciais elementare e problemas de valores de contorno.Rio de Janeiro: LTC, 2002.
Edwards, C. H. e Penney, D. E.Equações diferenciais elementares com problemas de contorno.Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1995.
Zill, D. G.Equações diferenciais: com aplicações em modelagem.São Paulo: Pioneira Thomson, 2003.
EDO (UTFPR) Luiz Claudio Pereira 2015 73 / 73