Capítulo 4 aula #11im250/SITE IM250/SITES INTERESSE/em461-… · Exemplo (1) - O avião anfíbio Canadair CL-215T é projetado para combater incêndios. Ele pode capturar 1620 galões

EM 461 – Prof. Eugênio Rosa

Capítulo 4 – aula #11

Tópicos:

Variação q. movimento num V.C. deslocando

com velocidade constante

Exercícios


Eq. da Massa & Q. Mov. Linear

Massa: r

sys V.C S.C

dM dd n V dA 0

dt dt

• Equação vetorial da quantidade de movimento:

Vxy é a velocidade medida do referencial que se desloca.

xy xy r MEC

V.C. S.C S.C. S.C. V.C.

dV d + V n V dA p n dA n dA gd F

dt

xy xy r x x x MEC,x


xz xz r z z z MEC,z


dx u d + u n V dA p n dA n dA g d F

dt

dz v d + v n V dA p n dA n dA g d F

dt

• Componentes da eq. de quantidade de movimento nas direções (x,y)


Como trabalhar com S.C.

Trace uma superfície de controle

Analise, separadamente, na superfície de controle adotada

As velocidades que cruzam a S.C.

As pressões que agem na S.C.

As forças mecânicas, caso a S.C. cruze uma fronteira sólida.

• Adote um referencial inercial (x,y) por exemplo

Deixe claro o sentido de x > 0 e y > 0

• Calcule o módulo e o sinal (+/-) das velocidades absolutas e

relativas. Indique isso em cada face da S.C.


Casos de estudo nesta aula

1) Efeitos da variação da Quantidade de Movimento linear com

S.C. que se desloca com velocidade constante.

2) S.C. com fronteiras fixas.

3) Introdução de velocidades absolutas e relativas ao referencial

que se desloca com velocidade constante.


V.C. deslocando-se com velocidade

constante


S.C. deslocando velocidade constante

Referencial (XZ) é inercial e estacionário.

O referencial (xz) é também inercial mas desloca-se c/ velocidade constante, U.

Em relação ao ref. (xz):

• ref. (XZ) desloca-se com velocidade –U e • Barco possui velocidade zero.

A relação de velocidades entre referenciais é: VXZ = Vxz + U

Barco e a S.C se deslocam

com a mesma velocidade, U

X

Z

Ref. Inercial

U

U

você está

aqui

x

z

FEM- Unicamp


Conversão de velocidades entre ref. XZ e xzLembre que: VXZ = Vxz + U ou Vxz = VXZ -U

X

Z

Ref.

Inercial

FEM- Unicamp

Referencial XZ Referencial xz

Vel. fluido, VfVf Vf – U

Vel. S.C., Vb+U 0

Vel. relativa,

Vr = Vf - Vb

Vf – U (Vf - U) – (0)

velocidade correnteza, Vf

x

z

Vel. (xy)correnteza,

Vf - U

Um ponto na água viajando com a correnteza, Vf

U


Como fica a Eq. da Massa?Nada muda! Lembre-se porém que pode ser mais simples realizar a análise a partir do referencial inercial móvel (xy). No entanto vimos que Vr é o mesmo para qualquer referencial!

r

V.C. S.C.

dd n V dA 0

dt

Como fica a Eq. da Q. Movimento?

Nada muda! As velocidades são medidas do referencial (xy), e expressas pela notação Vxz, para reafirmar que são medidas de um referencial inercial que se desloca com velocidade constante.

Lembre que: VXZ = Vxz + U e U é constante, logo o termo transiente

não altera dVXZ/dt = dVxz/dt porque dU/dt = 0!

xz xz r MEC


dV d + V n V dA p n dA n dA gd F

dt


CL-215T

Assista vídeo do carregamento de água no CL215T

O tanque de água fica na fuselagem sob as asas. No processo de enchimento o avião levanta o nariz e uma pá de 90o

(scoop) desce e desvia água para o tanque até o enchimento (vaza por cima).

Como o avião coleta água com U=120 km/h surge uma força contrária, tal qual a ancoragem de uma tubulação, devido a variação de quantidade de movimento.

Exemplo (1) - O avião anfíbio Canadair CL-215T é projetado para combaterincêndios. Ele pode capturar 1620 galões em 12 seg. (511 l/seg) de qualquerrio, lago ou oceano. Determine o empuxo adicional, E, requerido durante acaptura da água em função da vel. do avião, U = 120 km/h, quando estáenchendo o tanque.

https://www.youtube.com/watch?v=LG-p_jU85u4


FR é uma força de reação para que o tanque fique estacionário. Quem fornece esta força é o empuxo do avião. Isto requer uma potência extra para encher o tanque com velocidade U! (Nesta análise estamos desprezando a força de arrasto do casco em contato com a água)

Processo de enchimento do tanque

Tanque aprox. 1,8x1,8x1,8 metros

Água do lago está parada.

t = 0s t = 4s t = 12s

6132 l

FRFR

UU U

x

z

x

z

x

z

No tanque a velocidade é na direção z, dU/dt = 0; pressão e tensão viscosa não

contribuem; g na direção x é nulo. A equação simplifica para:

xz xz r x x x x

V.C. S.C. S.C S.C. V.C.

dx u d u n V dA p n dA n dA g d E

dt

QU 1000 0,511 33.3 17132 N

P E.U 571kW ou (766 HP)

x r

S.C.

E u n V dA


Exemplo (2) – Um veículo submarino (link) Orca-Jet, de propulsão a jato d’água, “engole” água pela frente (bocal de admissão) na medida em que avança, e expele um jato de água para trás (bocal de ejeção), gerado por uma bomba axial interna à carcaça. Área do bocal ejetor, as .

No referencial estacionário “X”, fixo no solo marinho, as velocidades do jato de água e do veículo, Vj e Vs , são constantes com trajetória horizontal. A água, em condições normais, tem velocidade nula, Va = 0, sem correnteza.

(i) Esboce linhas de corrente p/ observador que desloca junto com o veículo; (ii) Calcule a força de arrasto (D) que o fluido exerce sobre o conjunto veículo-piloto. Indique a S.C. selecionada.

Dados:

Patm =100 kPa; g = 9,81m/s2, = 1025 kg/m3. as = 0,04 m2.

Velocidades no referencial estacionário “X”: Vs = 2 m/s e Vj = 8 m/s.

X

X

https://www.youtube.com/watch?v=SX2vkWa8XbQ


Lin

has

de c

orr

en

te,

ref.

(x,z

), p

ilo

to

Esboce perfil vel., real e idealizado, em (1) e (2) p/ ref. (x,z) que desloca c/ Vs.

(1) Qual deveria ser a distância x da sucção até a seção (1)? Resposta: muito grande, onde o perfil idealizado seria uniforme e igual –Vs.

(2) Qual deveria ser a distância x do bocal até a seção (2)Resposta: curta, para o jato não abir e ‘idealizando’ que fora da região do jato a velocidade é –Vs.

(3) Qual deveria ser a dimensão na direção z?Resposta: o suficiente para que as linhas de corrente sejam próximas de paralelas, isto garante que a pressão seja constante.

(1)(2)

X

Y

-vs-vs

-vj-vs

xz

S.C. fronteiras fixas deslocando com Vs

(1)(2)

vs

x

z-vs-vs

-vj-vs


Perfil real Perfil idealizado


ref.

(x,z

) p

ilo

toVel. idealizadas abs. e relativas, ref (xz) e (XZ)

(1)(2)

vs

x

z-vs-vs

-vj-vs


Vel. abs ref.(xy)

(1)(2)

vs

-vs-vs

-vj-vs


Vel. relativa à S.C.

ref.

(X

,Z)

esta

c.

(1)(2)

vs

X

00

-vj


Vel. abs. ref.(XY)

(1)(2)

vs

-vs-vs

-vj-vs



Nota: vel. relativa não depende referencial mas de Vf e Vb medidos no m/mo ref.

Z

Z

X


Lin

has d

e c

orr

en

te,

ref.

(x,z

) p

ilo

to

Note que a área de captura define um tubo de corrente. O que passa através da área de captura a é injerida pela Orca-jet e descarregada pelo bocal de descarga, as.

j s S s S j sm V V a V a a a V V 1

A área de captura, a, do Orca-Jet

(1)(2)

vs

x

z-vs-vs

-vj-vs


a

Significado a linhas corrente reais

a

Um balanço de massa, para um referencial que se desloca com Vs, determina-se a área de captura a:

Adicionalmente, a inspeção nos fluxos que cruzam S.C. revela:• A vazão mássica na face (1) é menor que a vazão mássica na face (2)• Portanto há fluxo de massa cruzando cruzando o topo e o fundo da S.C.• Similar ao exemplo 3 da aula#9


• A S.C. possui fronteiras fixas deslocando-se com Vs e a corrente livre com Va; ambas medidas do ref. (X,Z).

• A primeira etapa é determinar as velocidades Vf e Vr do ref. (x,z) deslocando com o orca-jet, Vs.

vf,2a = -(vj +vs)

vf,2b = (va - vs)

v1=

va

-v

s

(1)(2)

Velocidades, Vf , do ref. (xz)

vf,

2a

vf,

2b

vs

x

y

(1)(2)

vr2

a

vr1

= (

va-

vs)

vr2a = - (vj+vs)

vr2b = - (va+vs)

vr2

b

velocidades relativas na S.C.

vs

x

z

xz

Vs

XZ

As velocidades Vj e Vs são medidas referencial estacionário (X,Z)

Velocidades no ref. (xz) com Va0


vs

Considere somente S.C. no Orca-Jet. • O balanço de massa. Na sucção vazão mássica que

entra é igual a vazão que sai do S.C. da água. Na descarga o processo é invertido.

r

S.C. S.C. S.C.orca orca. orca.

u v n dA p ndA ndA • O balanço q. movimento dir. x.

Como o veículo está imerso na água a S.C. não possui força mecânica

• A distribuição de pressão e de atrito na S.C. do veículo vai gerar uma força tal que a soma da q.mov e da força D é igual a zero.

r

S.C.

u v n dA Di

xy

Considere somente S.C. na água• A S.C. da água tem as fronteiras (1) e (2) e também

uma fronteira interna que é o Orca-jet.

• O balanço de massa. Na face (1) entra pela área de captura, a, toda vazão mássica que passa pelo Orca-Jet e na face (2) pela área as sai a mesma vazão mássica. (1)(2)

vs


Calculo da vazão mássica S.C. água

Em regime permanente, d/dt = 0,

a equação da massa reduz para :

r

S.C água

n V dA 0

as – área bocal descarga

aT – áreas das faces (a)-(b) e (c)-(d)

j s s s T s s T bc ad

j s

v v a v a a v a + m +m = 0

simplificando m v a m 0 indica fluxo entra na S.C.

v

r2a

vr1

= (

va-

vs)

vr2a = - (vj+vs)

vr2b = - (va+vs)

vr2

b

vs

x

y

m ?

(a)

(b) (c)

(d)

A vazão mássica que entre pelas faces (b)-(c) e (a)-(b) é dada pela de velocidade do jato.


Considere somente S.C. na água (continuação)

Na S.C. externa há força de pressão?Na S.C. externa há força viscosa?No V.C. age ‘g’ direção x?Na S.C. age força mecânica?Na S.C. agem força de reação?

r x x

S.C S.C S.Cágua á

x

gua água

x u n V d DA p n dA n dA

Não, a pressão é uniforme.Não, pq. não há grad. vel. na S.C.Não.Não.Sim o arrasto.

Este resultado é similar ao modelo usado para resolver o problema da placa plana (aula 9): a força de arrasto na placa é igual a integral da variação de quantidade de movimento na direção x.

r x

S.Cágua

u n V dA D

Na S.C. não há atrito e a pressão é uniforme. Porém, a S.C. interna age no S.C. da água com uma força igual e contrária a D.

O que restou da eq. Q.Mov?

O balanço q. movimento dir. x. Na S.C. na água a força de reação (não é f. mecânica) é igual e contrária a força exercida pelo fluido no corpo sólido, D!

A q. movimento na direção x na S.C. c/ água tem que ser acrescida deste termo:


r

S.Cágua

j s j s s s s T s

s s T

s

u n V dA

V V V V a V V a a

V V a

V m

Cálculo força arrasto r x

S.C água

u n V dA D

q. mov. face (2), as

q. mov. face (2), aT-as

q. mov. face (1), aT

q. mov. faces bc, ad

vr2

a

vr1

= (

va-

vs)

vr2a = - (vj+vs)

vr2b = - (va+vs)

vr2

b

vs

x

y

m ?

(a)

(b) (c)

(d)

(2) (1)

Sabendo que: e simplificando a expressão acima chega-se a: j sm v a

r j j s s x

S.C água

u n V dA V V V a D


Cálculo força arrasto e potência

O Orca-Jet faz uma força no V.C. da água igual da +3280N. Esta força corresponde ao produto entre Vj e a vazão mássica descarregada pelo bocal de descarga, aS.

Sinal da velocidade Vs

s r

S.C água

s r

S.C água

S.C. água: V 0 se u n V dA 0

S.C. água: V 0 se u n V dA 0

A água faz uma força igual e contrária no Orca-Jet de -3280N, decorrente da ação e reação.

Água faz uma força contrária

Orca-jet

Orca jet faz uma força igual e

contrária na água

• Do V.C. do Orca-jet, esta força é denominada por força de arrasto. Ela é sempre contrária ao movimento do corpo (cap. 9).

x j j s sD V V V a 8 410 3280 N

x sP D .V 6,56 kW

Arrasto S.C. água:

Potência:


Exercício (1) - Mostre que usando ref. XZ chega-se ao mesmo valor de força de arrasto e de potência quando se usa o ref. xz.Dica: use a informação abaixo para resolver o exercício

Exercício p/

fazer em

casa

+

ref.

(X

,Y)

esta

c.

(1)(2)

vs

X

00

-vj


Vel. abs. ref.(XY)

(1)(2)

vs

-vs-vs

-vj-vs



(1)(2)

vs

x

y-vs-vs

-vj-vs


Vel. abs ref.(xy)

(1)(2)

vs

-vs-vs

-vj-vs


Vel. relativa à S.C. re

f. (

x,y

) p

ilo

to


Porque não posso usar a S.C. próxima da

sucção do Orca Jet?

vs

x

y

-vs =?-vs

-vj-vs

(1)(2) S.C. fronteiras fixas deslocando com Vs

vel. abs ref.(xy)

vs

-vs

-vj-vs

(1)(2)S.C. fronteiras fixas deslocando com Vs

vel. relativa à S.C. re

f. (

x,y

) p

ilo

to -vs =?

Há dois problemas nesta escolha de S.C.

1) Não é conhecida a velocidade próxima da sução. Mesmo se fosse conhecida não resolveria, vamos ver no próximo item;

2) As linhas de corrente contraem na sucção e faz com que a pressão cai em relação longo da sucção. Isto introduz uma força de superfície desconhecida também.

3) Atenção com sucção, usualmente não é conhecida a pressão na sucção, fiquem alertas. Veja aula#10, Bernoulli com curvatura.


Imagine um barco a vela num dia sem vento. Um colega tem uma idéia: ligar um ventilador para soprar a vela.

Pergunta: o barco irá deslocar para frente ou para tráz ou ficar parado?

Para resposta assista o vídeo no link.Reúna seus colegas da classe e discutam as

diferentes possibilidade usando a eq. Q. Movimento.

https://www.youtube.com/watch?v=gKzWrumXS7E


Neste modelo com uma força de atrito sabemos que a o deslocamento do carro a vela é contrário ao sentido da força de atrito.

Na S.C. indicada considera-se variação de q. mov. na direção x. Similar ao Orca-jet, não há força pressão, força viscosa nem arrasto (muito pequeno).

Vamos considerar que o carro anda com velocidade constante (para não usar ref NI) então haverá uma força de atrito que será igual a variação da q. movimento.

r atr

S.C

u n V dA F

x

y

Ferramentas para análise do carro a vela

A próxima ferramenta p/ análise é como funciona uma hélice (cap 10)


PambPamb

Pamb

VVolume de

controle

Fronteira do tubode corrente

D

V+V

Distribuição de pressão

p

Uma hélice recebe trabalho e aumenta a energia cinética do fluido.

Se a montante a velocidade corrente livre é V na saída a velocidade passa a ser V+V

A pá da hélice possui uma pressão baixa a montante e alta a jusante.

A variação de q. movimento do tubo de corrente é igual a força gerada pela diferença de pressão nas faces da hélice vezes a área da hélice.

Como funciona uma hélice (cap.10)


Carro com hélice (bateria) sem vela

Considere a S.C. com fronteiras fixas deslocando com o barco e um referencial inercial que também desloca com o barco.

x

y

1:00

A variação q. mov. é na direção x < 0 portanto vel. do barco, Vb > 0.

r atr b

S.C

u n V dA m V F 0 V 0


Carro com hélice (bateria) + vela planaSe ambiente ar está parado, a hélice passa a dar um incremento V

Se colocarmos a entrada da S.C. longe do barco teremos um fluxo de massa mas q. mov. não porque v0.

Na saída da S.C. não há fluxo de q. movimento na direção x mas na direção transversal.

Portanto não há variação de q. movimento e o barco fica parado.

…

Vb = 0

x

y

Porque a S.C. não pode ficar próxima da hélice? A pressão é menor que a Patm e surge uma força de pressão que não temos informação

1:00


Carro com ventilador e hélice (bateria) + vela plana

Se houver um ventilador na sala que sopra, com vel. V<0, com a hélice haverá V+V

Na entrada da S.C., longe do barco, há um fluxo de massa com velocidade V a Patm.

Na saída da S.C. não há fluxo q. movimento na direção x, mas transversal devido a posição da vela.

Há uma var. q. mov. na direção x devido a entrada, o barco desloca no sentido x < 0.

x

y

…

Vb < 0

r atr b

S.C

u n V dA 0 V m F 0 V 0


Carro com hélice (bateria) + vela côncava

Já sabemos que não há fluxo q. mov. na entrada da S.C.

O ventilador dá um incremento de V que é defletido com uma componente na direção x > 0

Portanto desloca na direção x > 0.

…

x

y

Vb<0

3:50 a 5:00

r atr b

S.C

u n V dA V Cos m +0 F 0 V 0


Carro com hélice (bateria) + vela convexa

…

x

y

Já sabemos que não há fluxo q. mov. na entrada da S.C.

O ventilador dá um incremento de V que é defletido com uma componente na direção x < 0

Portanto desloca na direção x < 0.

Chega-se a conclusão que um ventilador pode deslocar um barco para frente ou para traz ou não causar deslocamento. Depende da forma da vela!

Vb>0

3:50 a 5:00

r atr b

S.C

u n V dA V.Cos m +0 F 0 V 0


Uma das aplicações dos ‘carrinhos’ impulsionados por jatos são as turbinas/compressores térmicos (gás ou vapor).

Elas são constituídas por uma sequência de pás num disco que gira impulsionada pela variação de Q. Movimento do fluido.



Exemplo 3 – Uma série de pás curvas é atingida por um jato de vapor de água superaquecido (20 kgf/cm2 & 400oC) =10 kg/m3 (d = 50mm e Vj = 86,6 m/s). As pás tem ângulos de entrada e saída, 1 e 2 de 30o e 45o. As pás se movem com U = 50 m/s. Toda a vazão que deixa o bocal cruza as pás. i) Avalie o ângulo para que o jato tangencie o bordo de ataque da pá. ii) Calcule a força necessária para manter a velocidade U constante.

Resp.:

= 30º;

m = .Vj. Aj = 1,7 kg/s

V1 = Vj tg30o = 50m/s

Fx = -mV1(sen1+ sen2) = -102,6 N;

Pot = F.U = 5,13 kW

O ângulo , item (i), é considerado a parte ‘menos trivial’ do problema. Vamos atacá-lo primeiro e depois aplicar eq. q. mov. conhecendo -próximo slide

Vj

V2

d =

Vj V1 = 30o

= 86,6

m/s= 50 mm

2 = 45o

V.C

.

1

Se toda vazão do bocal cruza as pás então a vazão mássica que cruza a S.C. é m = VjAj! Não precisamos calcular (vr. n)! Esta é uma particularidade importante deste problema.

Comentários: (i) o processo é isoentalpico mas o modelo não considera expansão do vapor! (ii) o jato sempre intercepta as pás com 1 . Esta condição é aproximada pois se pá desloca 1varia um pouco!


Vj

1

U

2

V1

V2 V.C.

V1

U

1

Vj

Triângulo velocidadesRef. fixo no V.C., Vj possui

uma componente U<0

U

Sabendo-se que:

1=30º, U=50 e VJ = 86,6

então = 30º e V1 = 50m/s

Avaliação do ângulo do bocal para que o jato tangencie o bordo de ataque da pá.

- Slide anterior

Lei dos Senos 𝐎𝐀𝐁

j 1

1 1

V VU

Sen 90 Sen 90 Sen

Termos conhecidos menos 𝛼

Termos conhecidos menos 𝑉1

O

A B

x

y

V1 e V2 são velocidades medidas do ref. (x,y) que

desloca-se com U.


(1) Um jato de água, de 100 mm de diâmetro e velocidade de 3 m/s

para a direita é defletido por um cone que se move de encontro ao

jato a Vc = 14 m/s. Determine (a) a espessura da lâmina de água em

um raio de 230 mm e (b) a força externa horizontal necessária para

mover o cone.

Comentário: o esquemático já mostra a velocidade de saída do

cone de um observador que se desloca com Vc enquanto que Vj é

de um referencial estacionário. Isto pode gerar dúvida na hora de

resolver o problema.

(2) Um jato de água é dirigido contra uma pá defletora, que poderiaser uma pá de turbina ou outra peça de uma máquina hidráulicaqualquer. A água sai de um bocal estacionário, de 40 mm dediâmetro, com uma velocidade de 25 m/s e entra na pá tangente à suasuperfície em A. A superfície interna da pá em B faz um ângulo θ =150° com a direção x. Calcule a força que deve ser aplicada sobre apá para manter sua velocidade constante em U = 5 m/s.

Comentário: o esquemático já mostra a velocidade de saída do cone

de um observador que se desloca com U enquanto que V é de um

referencial estacionário. Isto pode gerar dúvida na hora de resolver o

problema.

Exercícios recomendados

Aplicação em válvulas de controle

Aplicação em turbina Pelton


Exercícios recomendados

(3) Considere uma pá defletora simples, com curvatura θ, movendo-

se horizontalmente com velocidade constante, U, sob a ação de um

jato impingente. A velocidade absoluta do jato é V e permanece

constante quando em contato com a pá. Obtenha expressões gerais

para a força resultante F e para a potência que a pá poderia produzir.

Mostre que a potência é maximizada quando U = V/3. Dica: a

máx potência ocorre dP/dU = 0. Resposta: Fx= - (V-U)2A(1-cos)

e P =U.Fx.

(4) O prato circular, cuja seção transversal é mostrada, tem um

diâmetro externo de 0,15 m. Um jato de água o atinge

concentricamente e em seguida escoa para fora ao longo da

superfície do prato. A velocidade do jato é 45 m/s e o prato move-

se para a esquerda a uma velocidade de 10 m/s. Determine a

espessura da lâmina de água em um raio de 75 mm a partir do eixo

do jato. Que força horizontal sobre o prato é requerida para manter

o seu movimento? Resposta: Espessura 4,17mm e Fx=-4,24 kN.

Aplicação em turbina Pelton,


(3) A parachute falls with a constant velocity V. For a frame of reference attached to theparachute one sees this as a circular air jet, of diameter half the chute diameter, which isturned completely around by the chute.

(i) Find the force F to support the chute.

(ii) Express F as a dimensionless drag coefficient (see chapter 9), CD=F/[(1⁄2)V2.(D2/4)

(iii) A typical coefficient of drag for a parachute is about 1.3, compare against (b).

(4) Um jet-ski viaja a V = 10m/s. Considere as condições

operacionais indicadas na figura. A descarga do jet-ski é

um jato com uma inclinação de 15º com a horizontal.

Nestas condições, determine:

(i) a vazão de água bombeada para que o empuxo do

jet-ski seja igual a 5683 N.

(ii) A potência requerida, considerando que o rotor

possui 100% e eficiência.

Jet-ski excel analytics

Jato descargadiâm. = 89mm

sucção 0,016 m2.

V=10 m/s

Esquemático sução, rotor e bocal descarga

jet-ski problem.xlsx

jet-ski-analytics.png


Fim

Documents

Capítulo 4 aula #11im250/SITE IM250/SITES INTERESSE/em461-… · Exemplo (1) - O avião anfíbio Canadair CL-215T é projetado para combater incêndios. Ele pode capturar 1620 galões