IM250 Prof. Eugênio Rosa Parte I Formulação Integral das Equações de Transporte

IM250 Prof. Eugênio Rosa

Parte I

Formulação Integral

das Equações de Transporte


As Leis Físicas e o Conceito de Sistema

• “As leis da natureza não foram inventadas pelo homem, mas sim forçadas sobre ele pelo próprio mundo natural. São a expressão de uma ordem racional do mundo“; Max Planck

• As leis físicas foram desenvolvidas para sistemas: um conjunto de partículas (massa) com identidade fixa.

• Não há fluxo de massa na fronteira de um sistema, mas pode haver forças (pressão, tensão) e energia na forma de calor ou trabalho cruzando sua fronteira.


Propriedades de Sistemas• Um sistema pode ser caracterizado pela sua

Massa, Quantidade de Movimento Linear, Energia, Entropia, entre outros parâmetros.

0Dt

DM

sis

ext

sis

FDt

VMD

WQ

Dt

ED

sis

S

sis

PT

Q

Dt

SD

Variação da Massa de um sistema é, por definição, nula:

Variação da Quant. de Movimento de um sistema - 2a lei de Newton

Variação da Energia de um sistema - 1a Lei da Termodinâmica

Variação da Entropia de um sistema - 2a Lei da Termodinâmica

Sinal Q & W: Q>0 se entra no sistema, W>0 se sai do sistema.


Forma Genérica

• Se considerarmos B uma propriedade extensiva de um sistema, sua variação pode ser expressa genericamente por:

SDt

DB

sis

• Onde S representa um termo fonte adequado para o fenômeno que B representa: massa, quantidade de movimento, energia etc.


Propriedade Não-Uniformes• A propriedade genérica B (massa, q. movimento,

energia etc) do sistema, em geral, não é uniforme no espaço.

• Ela pode ser convenientemente avaliada definindo-se uma propriedade intensiva b como:

m

Blim

0m

• De tal forma que a taxa de variação de B no sistema pode ser determinada por:

SdDt

D

sis


Propriedades de Sistemas

• As equações que descrevem as variações das propriedades nos sistemas são postulados ou leis da física.

• Para constituirmos estas equações devemos especificar a natureza do termos fonte.


Equação da Massa para um Sistema

• A equação da Massa é obtida fazendo-se b =1,

• Note que não há termo fonte de massa, pressupõe-se na ausência de efeitos nucleares.

0dDt

D

sis


Equação da Q. Movimento para um Sistema

• A equação da Q. Movimento é obtida fazendo-se b = V,

• As forças externas são dividas em forças que agem na fronteira do sistema, Tensões T (natureza tensorial), e forças de campo que agem no volume do sistema .

extF

AsisdgndAdV

Dt

DT


Equação da Energia para um Sistema

• A equação da Energia é obtida fazendo-se b =e, onde ‘e’ ainda não especificada neste estágio,

• Q e W só existem na fronteira do sistema, o calor é exclusivamente devido a condução térmica e o trabalho é aquele realizado pelas tensões que atuam na fronteira.

• O último termo refere-se a geração volumétrica de energia no interior do volume (reação química, dissipação efeito joule, etc)

dqdAVndAnqed

Dt

D

W

A

Q

Ak

sis

T


2a Lei para um Sistema

• A 2a Lei é obtida fazendo-se b = s,

• O primeiro e segundo termo referem-se a produção ou destruição de s devido a transferência de calor na fronteira e devido a geração de energia internamente ao volume.

• O último termo refere-se a produção de entropia devido as irreversibilidades do sistema, Ps 0.

A

k

sisPsd

T

qdAn

T

qsd

Dt

D


Equações de Transporte ou Conservação?

• Os livros textos freqüentemente denominam a taxa de variação das propriedades dos sistemas por Equações de Transporte ou Equações de Conservação.

• A primeira denominação sub-entende como uma propriedade específica é transportada (convecção e difusão) pelo campo.

• O termo conservação é igualmente aplicado porque o lado direito da equação deve ser igual ao seu lado esquerdo, isto é, o transporte deve ser igual ao termos fonte associados a produção ou destruição da propriedade!


• Os postulados físicos para sistemas são aplicados com sucesso para partículas e corpos rígidos.

• No entanto encontra-se dificuldade para aplicá-los em corpos que se deformam continuamente (FLUIDOS)!

• Veja se você conseguiria identificar, em qualquer instante de tempo, todas as partículas de fluido que compõe o sistema ao entrar em um reator com agitação, transferência de calor e trabalho:

Aplicação do Conceito de Sistema


sistema

Q W

m1

m1

sistema

Q W

m1

m1

Instante: t0

Instante: t0+Dt


• Para corpos que se deformam continuamente( gases e líquidos) é difícil realizar uma análise seguindo-se o sistema!

• É muito mais simples se ater a uma região no espaço (Volume de Controle) onde massa pode cruzar sua fronteira.

• O Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) permite que se faça uma análise de um Sistema a partir do conceito de Volume de Controle!

Sistema x Volume de Controle


O Volume de Controle• O Volume de Controle V.C. é uma região do espaço onde se deseja

realizar a análise.• A sua fronteira com o meio externa é delimitada pela Superfície de

Controle, S.C.: massa, força e energia podem cruzar a S.C.• O Volume de Controle pode ser estacionário ou móvel no espaço;

fronteiras fixas ou deformáveis ou qualquer outra combinação;


Teorema de Transporte de Reynolds • Ele descreve a variação da propriedade do

sistema em termos de propriedades medidas no Volume de Controle.

VC SC

rsis

dAVndVdt

dd

Dt

D

• A variação da propriedade B do sistema é igual a variação de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C.

onde Vr é a velocidade relativa do fluido em relação a fronteira, Vr = Vf - Vb


Demonstração do Teorema de Transporte

de Reynolds


Teorema de Transporte de Reynolds

( t0 ) (t0 + dt)

system control volume

I II

III

• No instante t0 a superfície de controle é coincidente com a fronteira do sistema.

• No instante t0+dt o sistema ‘deixa’ parcialmente o V.C. A região III está fora do V.C.; a região II ainda está dentro do V.C.; e a região I é preenchida por outro sistema.



t

B

t

B

t

BBB

0t

Lim

t

BBB

0t

Lim

dt

dB

ttI

ttIII

tttII

ttI

tttII

ttIII

sys

( t0 ) (t0 + dt)

sistema volumecontrole

I II

III

A taxa de variação do sistema é escrita em função de propriedades do V.C.

• Sistema = (II)+(III)• V. C. = (I)+ (II)

Identificação do sistema e do VC no instante (t0 + dt) .


Sistema com Propriedades Não-Uniformes

• Com freqüência ocorre que as propriedades de uma variável não são uniformes em toda extensão espacial do sistema.

• Neste caso, para representar adequadamente a massa ou qualquer outra propriedade do sistema devemos somar sua contribuição em toda extensão:

• Onde

vol vol

M dV & B dV

m

Blim

0m



O primeiro termo representa a taxa de variação de B no V.C.

vol

tttII

ttI dV

dt

d

t

BBB

0t

Lim

( t0 ) (t0 + dt)


I II

III


Teorema de Transporte de ReynoldsOs 2o e 3o termos representam os fluxos de B para for a e para dentro do V.C.

.S.Cr

Ir

IIIrtt

Itt

III

dAVn

t

dAVnt

t

dAVnt

0t

Lim

t

B

t

B

0t

Lim

( t0 ) (t0 + dt)


I II

IIIn

Vr Leaving C.V.n.Vr >0

n

VrEntering C.V. n.Vr <0


• Taxa de variação do sistema escrita em termos de propriedades do Volume de Controle,

.V.C .S.C

rsys

dAVndVdt

d

dt

dB

• A variação de B no sistema é igual a variação de B no V.C. mais o fluxo líquido de B que cruza a S.C.

• A derivada ‘lagrangeana’ do sistema é determinida para uma região no espaço por meio do TTR.



Forma Integral das Equações de Transporte • O TTR permite escrever as Equações de Transporte

a partir do conceito de Volume de Controle:

b( / )B M

Source

Massa 1 0

Movimento V

1a Lei e

2a Lei s

S Source

VCSCVC SCr dfdAJ dAVnd

dt

d

CVCS

dgndA

T

VCSCSC

k dqdAVndAnq

T

SC VC

k PsdT

qdAn

T

q

J e f são fontes genéricos associados a SC e ao VC


Conservação da Massa

.C.V .C.S

r 0dAnVddt

d

A Eq. da conservação da massa é obtida fazendo-se

B = M, b = 1. Não há fontes de superfície ou de volume; DM/Dt = 0 por definição de sistema!

S Source

VCSCVC SCr dfdAJ dAVnd

dt

d


Ex. – Escoamento de água (incompressível) com velocidade uniforme nas seções. Determine a vazão mássica em (3). São conhecidas as áreas em (1), (2) e (3) e as velocidades nas seções (1) e (2) são, respectivamente: U1 e U2+cos(wt).

O balanço de massa fica sendo os fluxos que entram e saem do VC:

0MAVAV 32211

Comentário: não importa se as velocidades são transientes, não há termo de acumulação, a vazão instantânea que entra é igual àquela que sai!

Fluido incompressível, r = constante e fronteira não deformável, então o termo de acumulação é nulo;


Ex. – Água escoa em regime permanente através de uma placa porosa, avalie a vazão da massa na seção bc se o perfil de velocidades na seção cd é:

• Trace uma superfície de controle

5,1y

2y

3U

u

m=?

• Aplique o balanço de massa para R.P.

0dAnV.C.S

r

0mdxwVdywyudywU bc

L

000

• Calcule os fluxos em cada face da S.C.:

71 0

10 bc

w

V LU w m

U

s/kg42,1mbc • Note que mbc>0, portanto o fluxo de massa cruza a S.C. para fora!


Ex. – Um tanque de volume fixo contém salmoura, com densidade inicial ri. Água pura (dens. rA) entra no tanque e mistura-se perfeitamente com a salmoura. Determine uma expressão para a taxa de variação da densidade da salmoura rm com o tempo.

• Trace uma S.C.

• Crie um referencial

x

y

• Balanço de massa: como há uma mistura ‘perfeita’, a densidade média no volume é igual àquela da saída, rm então:

0QQdt

dmA

m • Como vol. const., então a vazão

volumétrica na entrada e saída são iguais a Q

0dAnVddt

d

.C.Sr

.C.V


Ex. – continuação

• Separando os termos vamos ter:

• Integrando,

x

y

• Onde ri é a concentração inicial.

• Reconhecendo que V/Q é a constante de tempo, t, a razão das densidades pode ser então representada por:

dtQd

Am

m

tQ

Ai

Am e

t

Ai

Am e


Ex. – continuação

• Qual é a relação entre a densidade da salmoura e a concentração volumétrica do sal?

• Reconhecendo que as densidades do sal e da água pura são: rs e rA, então a densidade da mistura é:

x

y

• Onde C é a concentração volumétrica do sal, isto é, a razão entre o volume que ele ocupa e o volume da mistura,

C1C ASm

aguasal

salC


Fronteira Deformável x

Fronteira Fixa


Ex. – Um acumulador hidráulico reduz os pulsos de pressão acumulando ou descarregando óleo no seu interior. Considerando que a vazão instantânea de óleo que entra é Q e que a velocidade instantânea de saída é V numa área A, determine a taxa a qual o acumulador ganha ou perde óleo.

0AVQdtd

A taxa de acumulação é:

ar

Q V,A


• Aplique o balanço de massa


x

y

Fronteira fixa

Fronteira deformável

0dAnVddt

d

.C.Sr

.C.V

AVQdt

d

Ou,


Exemplo– Um pistão de área Ap desliza num cilindro com velocidade Vb. Na extremidade oposta do cilindro há uma abertura de área A. Determine a velocidade de saída do jato. Considere o fluido incompressível.


• Aplique o balanço de massa:

0dAnVddt

d

.C.Sr

.C.V

• Calcule as integrais:

VbVs


x

y

0AV

dt

hAdS

P

h(t)

• Reconhecendo que ´-dh/dt = Vb, então: b P SV A V A 0- r× × +r× × =

Fronteira fixa



Problema Desafio – Inicialmente o raio interno de um balão elástico é Ri e ar no seu interior está a pressão e temperatura Pi e T0.

Ele começa a ser enchido por um fluxo de ar com velocidade V1 e densidade r1 pela seção (1) de área A1. A pressão externa ao balão é atmosférica, Patm. Considere o ar como um gás perfeito e o processo de enchimento se dá a temperatura constante T0.

Determine a taxa de variação da densidade do ar no balão rb e R com o fluxo de ar na entrada. Utilize a equação de Laplace-Young para determinar a diferença de pressão em função do raio durante o processo de enchimento.

Ri

Pi

Patm

T0

R

P

Patm

rb

T0

V1A1r1


Teorema de Leibniz


• Pode ocorrer uma função f(t) definida pela integral:

dxt,xft

tB

tA

• A derivada de f(t) é definida pelo teorema de Leibniz:

dt

dAt,Af

dt

dBt,Bfdx

t

t,xfdxt,xf

tdt

td tB

tA

tB

tA

• Note que se os limites de integração forem fixos no tempo então

dx

t

t,xfdxt,xf

tdt

td tB

tA

tB

tA

• Qual seria a derivada da função f(t) em relação a t?


Representação Gráficaf

x

f(x,t+dt)

A(t+dt) B(t+dt)

2

8

3

10

16

4 f(x,t)

f(A) f(B)

A(t) B(t)

7 9

5

tdt

dA

tt

f

tdt

dB

dxt,xft

tB

tA

dt

dAt,Af

dx

t

t,xftB

tA

dt

dBt,Bf

4,3,2,1áreadxt

t

t,xftB

tA

10,9,5,4áreatdt

dBt,Bf

8,7,6,1áreatdt

dAt,Af

Agrupando os termos e fazendo dt->0, tem-se:


Extensão para Volumes do Teorema de Leibniz

• Onde A(t) e B(t) são volumes deformáveis cuja forma depende do tempo t.

• df/dt depende da taxa de variação do volume (ou vazão volumétrica) nas fronteiras!

dt

dAt,Af

dt

dBt,Bfd

t

t,xfdxt,xf

tdt

td tB

tA

tB

tA


Como eu aplico o T. Leibnitz em Mec Flu?

• onde Vb é a velocidade da fronteira.• A derivada da integral do volume deformável é igual:

1. A integral da derivada da propriedade no V.C.

2. Mais um termo de fluxo associado com a deformação da fronteira.

dAnVdt

dt

DeformávelFronteira

btt


Como fica o T.T. Reynolds?

dAnVdAnVdtdt

dB

.C.Sr

V.C. no B Variação Taxa


btSISTEMA


Ex. revisitado

• A velocidade da fronteira pode ser determinada a partir do balanço de massa:

QVA

.C.Sr

AV


b

0

t

dAnVdAnVdt

0

b

ar

Q V,A

x

y

Fronteira fixa

Fronteira deformável Vb


Exemplo revisitado

• A velocidade da fronteira pode ser determinada a partir do balanço de massa:

AV

.C.Sr

AV


b

0

t

s

Pb

dAnVdAnVdt

0

VbVs

h(t)

Fronteira fixa



Conservação da Quantidade de Movimento

2ª Lei de Newton

ext

sist

DVd F

Dt ��


O que é um Ref. Não-Inercial?

• Um referencial é inercial se ele não tiver aceleração em relação a um referencial ‘estacionário’.

• Um referencial NI é aquele que pode apresentar aceleração linear, angular, centrífuga ou de coriolis em relação a um referencial ‘estacionário’

• Exemplos de referencial NI e I:• 1. ref. seguindo VC que acelera em relação ref.

estacionário• 2. ref. seguindo VC que descreve um arco de curva• 3. ref. Seguindo VC que se desloca com velocidade

constante em relação a um ref. Estacionário , este é Inercial!


A 2a Lei de Newton

• Para referenciais NI é necessário relacionar a aceleração do referencial NI (xyz) a um referencial estacionário (XYZ).

ext

XYZ

sistema Fdt

Vmd

xyzext

xyz

sistema amFdt

Vmd

• A variação de quantidade de movimento de um sistema é igual a somatória das forças externas desde que o referencial seja Inercial.


Posição Relativa

• O ref (xyz) gira com w e é localizado pelo vetor posição R.

• A posição do sistema PXYZ = R + r

• O problema fundamental é estabelecer a aceleração relativa do referencial NI a um estacionário.

X

Y

Z

y

x

z

R

Pr

w

sistema


Movimento Relativo• A velocidade observada no ref (XYZ) é dada pela

velocidade de translação de (xyz) (dR/dt = Vrf) mais a velocidade de translação e rotação do sistema em relação ao ref (xyz) (Vxyz e wxr)

X

Y

Z

y

x

z

R

Pr

w

sistema

rdt

rd

dt

Rd

dt

Pd

rVVV xyzrfXYZ


Aceleração Inercial x Não-Inercial A aceleração do ref. (XYZ) é obtida derivando-se as

velocidades relativas .

xyzXYZ rfdV d xrdV dV

dt dt dt dt

rr r r r

Aceleração Inercial

Acel. retilínea do ref

(xyz)

Aceleração de rotação ref (xyz)

xyz

d r V xr

dt

r rr r r rXYZ xyz xyz a a V

rr r r

Aceleração linear medida no ref (xyz)

XYZ xyz xyz rfd

a a 2 V a r r dt

rrr r r r r r r r

Aceleração angular (xyz)

Aceleração centrífuga

Aceleração retilínea no (xyz)

Aceleração Coriolis

rfar


• A aceleração Inercial é composta por duas parcelas: – (1) axyz : acel. do sistema medida do referencial N.I.,

– (2) arel: termo de aceleração relativa,

XYZ xyz rel a a a r r r

Aceleração Inercial x Não-Inercial

2

rel xyz2d R d

a r r 2 Vdtdt

r r rr r r r r r

O termo (1) é simplesmente a aceleração medida do referencial N.I. Se o referencial estiver com velocidade linear constante então aXYZ = axyz e arel = 0

O termo (2) compõe com a axyz a aceleração inercial! Ele tem 4 parcelas : (i) aceleração linear e (ii) aceleração devido a rotação do referencial:


Como fica a Eq. da Massa?

• Nada muda!

• Lembre-se porém que pode ser mais simples de realizar a análise a partir do referencial inercial móvel (xyz).

rsys V.C. S.C

dM dd n V dA 0

dt dt

rrÒ


Como fica a Eq. da Q. Movimento?

• As velocidades são medidas do referencial (xyz),

• onde a aceleração relativa, arel é,

xyz r xyz CAMPO SUP MEC rel

V.C. S.C. V.C.

dV d n V V dA F F F a d

dt r r r r r rr r

Ò

2

rel xyz2

d R da r 2 V r

dt dt

r r rr r r r r r

CAMPO

V.C.

SUP

S.C. S.C.

MEC

F gd ; atua em todo o V.C.

F n p dA n dA; atua somente na S.C.

F um eixo ou barra cruza a S.C.

r r

r r r

rÒ Ò


Casos Especiais de arel

• 2. Sistemas Não-Inerciais com deslocamento linear apenas ( = 0):

1. Sistemas Não-Inerciais caso Geral:

rel rf xyzd

a a r r 2 V dt

r rr r r r r r r

3. Sistemas Não-Inerciais com rotação constante apenas:

rel xyza 2 V r rr r r r r

2 2rel rfa a d R dt r r


Alguns devaneios sobre os efeitos do termo de

aceleração de Coriolis…


A aceleração de Coriolis

• Enquanto que os termos de aceleração retilínea, rotação e centrífugo são relativamente familiares, o mesmo não é verdade para o termo de Coriolis!

• O termo de Coriolis faz surgir uma força perpendicular ao plano definido pelos vetores velocidade e rotação

2 V

V2

. .

Filme 1

Filme 2


A aceleração de Coriolis• Um jato de líquido num vaso cilíndrico sem e com

rotação descreverá trajetórias diferentes devido ao termo de Coriolis

Sem rotação: trajetória retilínea Com rotação: trajetória curva

2V

2

V

V2

Vista lateral tanque

Ñão deixe de assistir Rotating Flows

V2

http://web.mit.edu/hml/ncfmf.html




Porque os furacões no hemisfério N giram no sentido anti-horário e no S no sentido horário?

• Ciclone em Sta. Catarina, 2004

• Sentido: horário

• Ciclone Fran, golfo do México, 1996

• Sentido: anti- horário


Estrutura do Furacão (Hurricane)

• Próximo ao solo, devido a rotação das massas, é criado uma região de baixa pressão que faz com que o ar seja succionado em direção ao ‘olho’


Hemisfério Norte

• É a ação da aceleração de Coriolis e a rotação do planeta que produzem o sentido da rotação.

Vxyz

w, w N

2

V

Vista lateral

(1) V2

2V

V

V2

V2


EXEMPLOS


C.S.

(1) (2)Patm

Pat

mPatm

P1

21

2 1 1 atm x

dm V V P P F

4

&

Fx<0

Veja no link: força de reação de jato de água, causada por um bocal, é capaz de levantar um carro.


• Exemplo Determine a força de arrasto em uma placa plana devido ao atrito viscoso. Considere regime permanente. A velocidade em (a-b) é uniforme e vale Uo, a velocidade em (c-d) é variável e descrita por u(y). A pressão é atmosférica. Encontre uma expressão da força de arrasto em função do perfil de velocidades. L é a largura da placa

Uo u(y)

(a)

(b)

(d)

(c)

x

y

S.C.

0

Resp D u U u Ldy


Efeitos de Mudança de Direção na Quantidade de Movimento


• 4.58 – Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 180o. Na entrada do cotovelo a pressão manométrica é 96 kPa. Água é descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são uniformes nas seções de entrada e saída, A1= 2600mm2, A2=650mm2 e V1=3,05 m/s. Determine a componente horizontal da força necessária para manter o cotovelo no lugar.

F

1 2 1 1F m V V P A


HOW IS LIFT GENERATED?

• Lift occurs when a moving flow of fluid is turned by a solid object.

• When the flow is turned in one direction it causes a change in the momentum flux which, in turn, requires an equal force in the opposite direction (THE LIFT), according to Newton's Third Law of action and reaction.


HO

W IS

LIF

T G

EN

ER

AT

ED

?

• If one draws a control surface C.S. encompassing a solid body which by some means deflects the flow downward, there must be a vertical net force acting on the C.S. accordingly to the Newton’s Law:

• In equilibrium, the lift force is equal to the body weight: L = W!

Momentum flux face N

weightControl Surface

Momentum flux face S

Momentum flux face E

Momentum flux face W

y y ny n

CS CS CS

V V n dA pn dA dA L r r


Animais com propulsão baseada na sucção-injeção

Água viva (jellyfish)filme

Polvo (octopus)filme

Efeitos de Sucção e Injeção na Quantidade de Movimento


SUCÇÃO X INJEÇÃO (filme)Diferenças

Área de baixa

pressão Área de pressão atmosf

Área Baixa Pressão: linhas de corrente radiais em sentido ao centro.Descarga de um Jato: linhas de corrente paralelas a pressão atmosférica.


Superfície de Controle Deformável


Ex. 4. 191 – Determine a freqüência natural de oscilação de um tubo e U. Despreze o atrito. FILME

h+

h-

H

g

z

L

Considere:•Uma S.C. se movendo com a interface livre do líquido: vr=vf-vb=0• Tubo com seção transversal constante e igual a A•Velocidade no tubo igual a taxa de variação do nível, V = dh/dt

2

2 L2H n L

2

Resposta :

h t h Cos td h g

h h t 1 gdt H 1 f

2 H


Referencial Não Inercial


O carro com massa inicial M0 parte do repouso propelido pelo jato horizontal (Vj, Aj e r) que sai de seu reservatório a velocidade constante. A pista é horizontal e não há atrito nas rodas nem resistência do ar ao movimento. A) Determine a velocidade em função do tempo e a aceleração.

Resposta: A) U/Vj = Ln[1/(1-t*)] onde t* =t/t e t = (M0/m)

U

M0

Vj

Aj

r

Obs.: Vj é a velocidade do jato para um observador que se move com o carro


Exemplo I – Um carro com massa inicial M0 é feito por um tubo de área A com um comprimento horizontal L e um vertical h0. Na sua extremidade tem uma válvula de abertura rápida e a água está armazenada numa altura h0.

A) determine a equação para movimento do carro ao abrir a válvula.B) faça uma análise do movimento considerando que após os instantes iniciais de abertura da válvula o nível de água varia linearmente com o tempo (observação experimental)

Resposta: A) -rALd2h/dt2 + rA(dh/dt)^2 = -MdU/dt

V

Lh(t)

h0S.C. se movo junto com o

carro

Ref N.I.Move com

Vcarro

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IM250 Prof. Eugênio Rosa Parte I Formulação Integral das Equações de Transporte