IM250 – Prof. Eugênio Rosa CINEMÁTICA. Definição de Fluido Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado: O Fluido se deforma continuamente O Sólido

IM250 – Prof. Eugênio Rosa

CINEMÁTICA


Definição de Fluido

Quando uma tensão de cisalhamento é aplicado: O Fluido se deforma continuamente O Sólido se deforma, mas não continuamente

Sólido Fluido

O Fluido pode apresentar nas fases: líquido, vapor ou gás.


Fluido como um Continuo

Os fluidos são compostos de moléculas em constante movimento.

1 mol de gás contém 1023 moléculas, não é possível simular a trajetória de cada molécula. No entanto é possível medir os efeitos macroscópicos do de muitas moléculas: velocidade, pressão, temperatura, etc.

O Conceito do Continuo é a Base da MF clássica, ele deixa de lado o comportamento individual das moléculas.

Falha quando a trajetória livre das moléculas se torna da mesma ordem de grandeza da dimensão significativa do problema


Fluido como um Contínuo

Definição da densidade num ponto infinitezimal > 10-7 cm

Conseqüência da Hipótese de contínuo: cada propriedade tem um valor definido continuamente em todo espaço (x,y,z), em particular o ponto C do espaço


Referencial Euler x Lagrange


Métodos de Descrição

Referencial Lagrangeano:Acompanha elementos de massa identificáveis;Em mecânica dos fluidos, acompanhar o

movimento de cada partícula, muitas vezes, torna-se impraticável.

Referencial EulerianoFocaliza a atenção sobre as propriedades do

escoamento num determinado ponto do espaço como função do tempo;

As propriedades do campo do escoamento são descritas como funções das coordenadas espaciais e do tempo;


Lagrange: segue a trajetória de partículas com identidade fixa

y

x

0tr

ttr 0

ttr 20

kcjbiatr ,tt instante no 00

t,c,b,azzt,c,b,ayyt,c,b,axx

dtdzwdtdyvdtdxu

22

22

22

dtzddtdwa

dtyddtdva

dtxddtdua

z

y

x

Eqs. paramétricas da trajetória de uma partícula que t =t0, x=a, y=b e z=c

Velocidade partícula Aceleração partícula


Euleriano: descreve o que ocorre em diferentes posições do campo do escoamento

y

x

t,z,y,xwwt,z,y,xvvt,z,y,xuu

000

000

000

Anemômetro

O campo de velocidades é uma função de sua posição no espaço e no tempo. Por exemplo, colocando-se um instrumento no ponto (x0,y0) ele vai registrar a velocidade:

Note que se o regime for permanente, a velocidade no ponto (x0,y0) será sempre constante. No entanto, se você mudar o instrumento para o ponto (x1,y1) você obterá um novo valor de velocidade

(x0,y0) (x1,y1)


Relação Coordenadas: Euler e Lagrange No referencial Euleriano a velocidade numa posição

(x0,y0,z0) coincide com a taxa de deslocamento da partícula que passa por este ponto no mesmo instante (conceito Lagrangeano):

0

0

0

0000000

0000000

0000000

tt

tt

tt

dtt,z,y,xZdt,z,y,xww

dtt,z,y,xYdt,z,y,xvv

dtt,z,y,xXdt,z,y,xuu

Euler Lagrange

Euler/Lagrange e analogia EngTráfego/Policial:EngTráfego: conta o número de veículos que passa num cruzamento.

Policial: segue um veículo


Lagrangeano x Euleriano

A sequência mostra a concentração de CO2 em ar com 1 segundo de injeção.

Os resultados foram obtidos com o PHOENICS cfd, cortesia Prof. Altemani DE.

Tente acompanhar como o CO2 se dispersa (Lagrangeano)

Observe num ponto fixo no espaço como o CO2 varia (Euleriano)


Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 2 seg, indicando superfície com 15 % .

2 seg após injeção








Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 8 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.



Fração de CO2 na mistura - intervalo de injeção: 1 segundo. Perfil de fração mássica de CO2 após 10 seg. Concentração diluída a valores menores que 15 %.



Lagrangeano x Euleriano

Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc

Elas aplicam-se a corpos que possuem uma massa (identidade) fixa.

Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto?

Re-escrever as leis a partir de um referencial Euleriano que define os campos a partir da sua posição no espaço e no tempo.

Isto é possível por meio do Teorema do Transporte de Reynolds (cap 4)


Campo de Velocidade

Um conceito EULERIANO


Num dado instante, o campo de velocidade, , é uma função das coordenadas espaciais (x, y, z) e do tempo (t) – referencial euleriano;

Ou em termos de suas componentes:

(u,v,w), também dependem de x, y, z e t.

Campo de Velocidade


ESCOAMENTO PERMANENTE As propriedades em cada ponto do campo (x,y,z) não

mudam com o tempo, então:

ESCOAMENTO TRANSIENTE:As propriedades em cada ponto do escoamento

mudam com o tempo, então:

Campo de Velocidade

zy,x,V V ou 0 t

V


Escoamentos 1D, 2D e 3D

Um escoamento é Uni, Bi ou Tridimensional em função do número de coordenadas espaciais necessárias para se especificar o campo de velocidade .

Exemplos:

Todos os escoamentos são 3D. Alguns casos podem ser “aproximados” para 1D ou 2D

permanente e D1 xVV

transiente e D1 t,xVV

permanente e D2 y,xVV

transiente e D3t,z,y,xVV


Escoamento 1D

Escoamento completamente desenvolvido em um Tubo. O perfil de velocidades é dado por:

A velocidade axial é função

do “r”

2

max R

r-1 u u


Escoamento 2D em um Difusor Plano

A velocidade varia em y e x.

O canal é considerado como infinito em z. O campo de velocidade em z é “considerado” idêntico em todos os planos, ou seja, invariável na direção z.


Escoamento 3D

Escoamento em rotação

na vizinhança da parede

de um disco estacionário.

A velocidade varia nas

direções x, y e z.


Campo de Velocidades: regime permanente e 2D

Escoamento laminar sobre

uma placa, plano YZ.

Resultados produzidos pelo PHOENICS cfd

Campo Vetorial (j,k)

Campo escalar w(y,z)

superposição


Outras Formas de Representação Visual do Campo de Escoamento

É útil e conveniente visualizar a direção e o sentido das velocidades das partículas por meio de:

Linhas de tempo (experimental) Trajetória da partícula (experimental) Linhas de emissão (experimental) Linhas de Corrente (matemática)


Linhas de Tempo Uma quantidade de partículas adjacentes são marcadas

simultaneamente num dado instante:

• making timelines 1• making timelines 2

Links p/ técnica de bolha de hidrogênio: (1) e (2)


Trajetória e Linhas de Emissão

Linha de trajeto: é a trajetória traçada por uma partícula de fluido em movimento (ref. Lagrangeano).

Linha de Emissão: num local fixo no espaço você marca as partículas que passam por lá. Após um curto período teríamos uma certa quantidade de partículas, todas identificáveis e que em algum momento passaram pelo mesmo ponto no espaço

Injetor de fumaça

dtXdV

veja túnel de fumaça


Diferença entre Trajetória e Linha de Emissão

Em regime permanente, a trajetória das partículas é coincidente com a

linha de emissão , veja filme.

A afirmativa acima não é verdadeira para regime transiente!

Cenário: escoamento ascendente submetido a uma corrente horizontal

alguns instantes após início. Fumaça -> linha emissão; Bolinha ->

trajetória.

Compare no segundo vídeo a diferença entre linha de emissão e a

trajetória!

emissão emissão + trajetória


Placa Plana Oscilante

Veja filme de uma placa plana oscilante. Neste escoamento transiente as linhas de emissão não coincidem com a trajetória das partículas nem tão pouco com as linhas de corrente!

filme


Linhas de Corrente

ds

dx

dy

u

v V

ds

R(t)

R(t+dt)

Linha de corrente

V

Pela semelhança de triângulos tem-se a

definição matemática da linha de corrente:

w

dz

v

dy

u

dx

São tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. Isto é, num dado ponto, a tangente a linha de corrente é paralela ao vetor velocidade naquele ponto.


Linhas de Corrente

Propriedade 1: como as linhas de correntes são sempre tangentes à velocidade, não pode haver escoamento normal a elas.

flowno-flow

flowno-flow

Impossível!

Propriedade 2: linhas de corrente nunca se cruzam, do contrário haveria extinção ou produção de massa no interior do escoamento.


Importante

Em regime permanente, a trajetória

das partículas é coincidente com a

linha de emissão que por sua vez

também coincide com a linha de

corrente


ExemploUm campo de velocidade é dado por:

Obtenha uma equação para as linhas de corrente no plano xy incluindo aquela para o ponto (x,y) = (1,2)

1m/s B e 3m/sA ;jAyiBAxV

0

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x(m)

y(m

)

c=1

c=2

c=4

c=8

y(3x+1)=C


Derivada Total ou Substantiva

Ela relaciona a taxa de variação de uma propriedade

(H, V, P, Conc, etc) vista de um referencial Lagrangeano

a partir de medidas realizadas de um referencial Euleriano!


Referencial Lagrangeano: segue a

partículay

x

r(t)r(t+dt)

2

2

y

2

2

x

dt

yd

dt

dva

dt

dyv

dt

xd

dt

dua

dt

dxu

Velocidade e Aceleração para um referencial Lagrangeano.

Como seguir uma partícula num fluido?


Referencial Euleriano: fixo no espaço ele define o campo de velocidades

em função do ponto.y

x

r1

r2

tz,y,xvvtz,y,xvv

tz,y,xuutz,y,xuu

,22222,11111

,22222,11111

Velocidade para um referencial Euleriano. Como definir uma aceleração?


Para que serve Derivada Total?

Todas as leis físicas são definidas para um referêncial Lagrangeano: conservação massa, quantidade de movimento, energia etc

Elas aplicam-se a sistemas, que possuem uma massa (identidade) fixa.

Como tratar corpos que se deformam continuamente, ex. os fluidos, dentro deste contexto?

A derivada Total é a taxa de variação seguindo uma partícula. Ela possui um conceito Lagrangeano mas é medida a partir de um referencial Euleriano.


Um Experimento MENTAL. (Tente Imaginar...)

Imagine um rio onde há o despejo de um contaminante. A sua concentração diminui a medida que ele é transportado pela correnteza. Você deve fazer uma medida da poluição. Para isto você dispõe de um bote a motor e um medidor da concentração C do contaminante.

Você realizou três tipos de medidas, cada uma com um resultado diferente! Tente explicar porque:

1) com o bote parado no rio (jogou ancora) você mediu uma concentração

2) com o motor do bote ligado você se deslocou normal a correnteza a velocidade Vb e mediu outra concentração

3) com o motor do bote desligado, você deixou o bote ir com a correnteza e mediu um valor diferente dos dois primeiros.


Barco Estacionário, Vb = 0

t

c

Dt

Dc

Se o barco está estacionário, o sensor de poluição medirá uma concentração C que passa pelo ponto de medida e que varia com o tempo apenas:x

y

A variação da concentração c é função do tempo e do espaço:

dyy

cdx

x

cdt

t

cdc


Barco Movimentando com Vb ≠ 0

Se o barco está se movimentando com Vb então dx, dy e dt não são independentes mas estão relacionados por Vb:

bV

x

y

dtvdy e dtudx bb

A variação da concentração c é função do tempo e do espaço:

dyy

cdx

x

cdt

t

cdc

A taxa temporal de c é determinada por:

y

cv

x

cu

t

c

Dt

Dc

dt

dy

y

c

dt

dx

x

c

t

c

Dt

Dcbb


Barco Movimentando com a correnteza Vb = V

V

x

y Se o bote desloca junto com a correnteza então:

Desta maneira o medidor de concentração irá medir a variação de c SEGUINDO a trajetória de uma partícula carregada pela correnteza (CONCEITO LAGRANGEANO!!!)

y

cv

x

cu

t

c

Dt

Dc


Derivada Total, Material ou Substancial

• Denomina-se por derivada total, material ou substantiva a taxa temporal de variação de um escalar o vetor SEGUINDO uma partícula de fluido.

• De fato esta taxa de variação é coincidente com aquela determinada por um referencial LAGRANGEANO porém ela é medida a partir de um referencial EULERIANO.

• f é uma variável genérica, sua derivada substancial:

• Em notação vetorial

convectivo

termo transiente

termo

yv

xu

tDt

D

VtDt

D


Derivada Total de um Escalar• O escalar pode ser uma concentração, temperatura, energia

interna, entalpia, entropia, etc.• A taxa de variação temporal seguindo uma partícula é dada

por:

f Transiente Convectivo – 2D

T

c

u

h

tT u T x v T y

tc u c x v c y

ˆ ˆu u x v u y

u h x v h y

u t

th

t V


Derivada Total de um Vetor• A derivada total de um vetor é aceleração da partícula medida

de um referencial Lagrangeano. Para um escoamento 2D ela possui duas componentes:

f transiente Convectivo 2D

u

v

tu u u x v u y

tv u v x v v y


Motion of a Fluid Particle (Kinematics)

Fluid Translation: Acceleration of aFluid Particle in a Velocity Field


Motion of a Fluid Particle (Kinematics)

Fluid Translation: Acceleration of aFluid Particle in a Velocity Field (Cylindrical)


Identidade para Aceleração do Campo

Aceleração seguindo uma partícula:

VVt

V

Dt

VD

A identidade: VVVV

VVVV

2

VVV

t

V

Dt

VD

2

mas V


TAXA DE DEFORMAÇÃO DO FLUIDO

Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a uma

tensão de cisalhamento


Deformação de um Elemento Fluido A taxa de deformação depende do movimento relativo de

de um ponto em relação a sua vizinhança, ou seja da diferença de velocidade entre ele e seus vizinhos.

Num caso 2D há duas direções principais. No instante t=0 temos o triângulo AOB, após t=dt vamos observar o deslocamento relativo AOB devido às diferentes velocidades que atuam em AOB

O movimento relativo de AOB para A’OB’ ou sua taxa de deformação pode ser decomposta em três movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:

C

0tr

A’

B’

A

BO

O’ dttr


Cinemática• Veja a deformação de um elemento de fluido próximo a

parede (filme).• Movimentos complexos podem ser decompostos em três

movimentos básicos : deformação angular, deformação linear e rotação:

rotação

def. linear

def. angular


Qual é a taxa de variação do ponto N em relação ao ponto M, isto é, como a varia com o tempo?

TAXA DE DEFORMAÇÃO

t = 0, pontos M e N alinhados e dl = 0,

t = dt, ponto M’ deslocou dl em relação M

dy

Fenômeno Local, de um ponto em relação a sua vizinhança (dy)

Filme: deformação


TAXA DE DEFORMAÇÃO

dy du dy y tarctan arctan

y y

l

Para um instante dt, a deformação entre M e M’ é dada por a é:

dy

du

dt

d deformação de taxa

ou:

2t 0

y td 1 ulim

dt t y y1 y

l l

l

du é a variação relativa da

velocidade entre os pontos M e M’

<< 1

Logo a taxa de deformação é:

u

u+(du/dy)y


Natureza da Taxa de DeformaçãoTaxa de deformação é um conceito relativo,

quer dizer, ela representa a taxa de um dado ponto relativo a sua vizinhança;

Ela pode variar ponto a ponto no escoamento.

Este conceito uni-dimensional pode ser generalizado para tri-dimensional

Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto fluido possui natureza tensorial; Dxy = du/dy

Para determiná-la é necessário o conhecimento do campo de velocidades e suas derivadas...


Deformação de um Elemento Fluido No ponto O as componentes de velocidade são u,v,w A velocidade na vizinhança de O é determinada por

uma expansão em série de Taylor (primeira ordem) ao redor de O:

dzz

vdy

y

vdx

x

vwdww

dzz

vdy

y

vdx

x

vvdvv

dzz

udy

y

udx

x

uuduu

OO

OO

OO


Deformação de um Elemento Fluido A variação da velocidade de O para vizinhança é

expressa por uma matriz com 9 derivadas parciais do campo de velocidades local:

Cada derivada parcial representa uma taxa de deformação do fluido ( 1/seg) associada a um plano e uma direção onde ela ocorre e portanto tem natureza tensorial.

dz

dy

dx

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

dw

dv

du


Tensor Deformação

Em notação indicial, o tensor deformação, Dij, é definido por

Em notação vetorial,

z

w

y

w

x

wz

v

y

v

x

vz

u

y

u

x

u

DDDDDDDDD

x

uD

j

ij,i

333231

232221

131211

TTVDou VgradD


Operação com Tensores

Qualquer tensor pode ser decomposto em uma parte simétrica e outra anti-simétrica:

Simétrico- AntiTensor

i,jj,i

Simétrico Tensor

i,jj,ij,i DDDDD 2

1

2

1

Si,j Ri,j


Decomposição do Tensor Deformação

Vamos ver a seguir que:

1. A diagonal do tensor simétrico está associada a dilatação linear do elemento

2. Os elementos fora da diagonal do tensor simétrico estão associados a deformação angular

3. Os elementos do tensor anti-simétrico estão associados a rotação do elemento fluido.

SIMÉTRICO-ANTI TENSORSIMÉTRICO TENSOR

0z

v

y

w

2

1

z

u

x

w

2

1

y

w

z

v

2

10

y

u

x

v

2

1

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

10

z

w

z

v

y

w

2

1

z

u

x

w

2

1

y

w

z

v

2

1

y

v

y

u

x

v

2

1

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

1

x

u


(1) Dilatação linear na direção x

Um segmento ADBC, sujeito a uma extensão ‘pura’, no tempo t=0 deforma-se e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. A extensão ocorre para os segmentos AC->A’C’ e DB->D’B’.

O deslocamento relativo:

dtxudx

dxdtxu

AC

ACCA ''

A taxa de deformação linear na direção é:

xuAC

ACCA

dt

dD

''

xx

As componentes nas outras direções são:

yvDyy zwDzz


(2) Deformação angular no plano xyUm segmento ADBC, sujeito a uma deformação angular ‘pura’ no tempo t=0, deforma-se e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A deforma-se proporcionalmente aos ângulos gxy e gyx

yudt

d

dy

dydtyu

AD

DD xy'

xy

'

yx

yx

dv x dxdtCCv x

dx dtAC

A taxa de deformação angular é definida como a média destes dois movimentos:

A deformação angular e sua taxa:

xvyu

2

1

dt

d

dt

d

2

1DD

yxxyyxxy

É evidente que a deformação do vértice A é duas vezes o valor de Dxy!


(3) Rotação no plano xyUm segmento ADBC, sujeito a uma rotação ‘pura’ no tempo t=0, gira sobre o vértice A e no instante t=dt, ele encontra-se em A’D’B’C’. O ângulo original do vértice A é preservado! Neste movimento não há deformação mas rotação

yudt

d

dy

dydtyu

AD

DD xy'

xy

'

yx

yx

dv x dxdtCCv x

dx dtAC

A taxa de rotação é definida como a média destes dois movimentos:

Se o ângulo de A é preservado então: yx

''

xyAC

CC

AD

DD

yuxv

2

1

dt

d

dt

d

2

1DD

yxxyyxxy


Ten

sor

Def

orm

ação

1. A diagonal de S está associada a dilatação linear do elemento.

2. Os elementos fora da diagonal de S estão associados a deformação angular.

3. Os elementos do tensor anti-simétrico R estão associados a rotação do elemento fluido, eles não causam deformação mas somente rotação dos elementos.

SIMÉTRICO-ANTI R TENSOR

yzxz

yzxy

xzxy

SIMÉTRICO S TENSOR

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

0RRR0RRR0

SSSSSSSSS

)V(Def

ijjijiij xuxu2

1SS

i

j

j

iijkij x

u

x

u

2

1R

onde e = 0 se dois índices forem iguais, e = +1 se ijk = 1,2,3; 2,3,1; 3,1,2 e e = -1 se ijk = 3,2,1; 2,1,3; 1,3,2.


Dij = Sij + Rij

D = parte simétrica (shear) + parte anti-simétrica (rotação)


Vetor Vorticidade, w

Definição de vetor

vorticidade:

zzzz 2V2

1

y

u

x

v

2

1

wvu

zyx

kji

ou x

uV

k

jijki

w é igual a duas vezes a taxa de rotação do elemento de fluido. Considere rotação no plano xy, z é a média das taxas de deformação:

w representa a rotação em cada eixo das coordenadas.

IMPORTANTE: vorticidade ou rotação do elemento são fenômenos locais, isto é, linhas de corrente com curvatura não garantem que o o fluido tenha rotação!


Relação entre Rij e w

Um tensor anti-simetrico (Rij) possui somente 3 escalares distintos, isto sugere que na ‘essência’ ele é um vetor!

Para um elemento em estado de rotação pura (S≡0),

rdU2

1 rdUR Ud ij

dzdydx

kjidet

2

1

dzdydx

0z

v

y

w

2

1

z

u

x

w

2

1

y

w

z

v

2

10

y

u

x

v

2

1

x

w

z

u

2

1

x

v

y

u

2

10

zyx


Vetor Vorticidade, w

A vorticidade é DUAS VEZES a rotação do fluido. Ela tem papel central no estudo de escoamentos com

ausência de viscosidade. Escoamentos onde w é nulo são chamados de

escoamentos irrotacionais. Note que na parede (condição de não deslizamento) o

fluido está impedido de ganhar velocidade mas não rotação!

As equações de dinâmica dos fluidos podem ser expressas em termos de variáveis primitivas (u,v,w e p) ou em termos da vorticidade – elas contêm informação equivalente.

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