AULA # 3 TÓPICOSim250/SITE IM250/SITES INTERESSE/em461-… · Exemplo 3-Considere o escoamento laminar de água a 15oC entre duas placas paralelas com o perfil de velocidades dado

EM 461 – Prof. Eugênio Rosa

AULA # 3

TÓPICOS

Tensão

Taxa de Deformação

Viscosidade

Assistir Filme: Deformation of Continuous Media, Lumley,

National Committee for Fluid Mechanics Films

http://web.mit.edu/hml/ncfmf.html


Conceitos desta aula

1) Natureza tensorial da tensão no fluido e notação indicial;

2) Representação vetorial do elemento de área;

3) Taxa de deformação;

4) Relação entre tensão e taxa de deformação;

5) Definição de viscosidade dinâmica e cinemática;

6) Definição de deformação em cisalhamento puro;

7) Condição de não-deslizamento;


Campo escalar, vetorial e tensorial

Pressão, temperatura, energia, entropia, concentração, dependem

da posição no espaço e do tempo. Estas variáveis são denominadas de

escalares. (tensor ordem zero)

Velocidade, vorticidade, força, quantidade de movimento

dependem da posição, do tempo e da direção. Estas variáveis são

denominadas de vetoriais. (tensor ordem um)

Tensão e Taxa de Deformação no fluido dependem da posição, do

tempo, da direção e da área onde atua. Estas variáveis são

denominadas de tensoriais. (tensor ordem dois)

Início da seção de conceitos


Campo de tensão no fluido

Tensão no fluido é uma força de superfície por unidade de área definida por:

1. intensidade, 2. direção e 3. área onde ela atua.

A análise de escoamento envolve um sistema (termodinâmico) que possui um volume cuja fronteira é uma superfície.

O que é força de superfície?

sistema

ambiente

superfície do sistema

Resposta:

O tensor de tensões do fluido atua na superfície do sistema.

Sua definição é a razão entre a força e o elemento de área onde ela atua.


Tensões normais e cisalhantes

O 1o índice indica a área onde a tensão atua. A área é representada por um vetor normal à superfície, neste caso An significa uma área A cuja direção é paralelo ao vetor n.

O 2º índice é a direção que a tensão atua. Na superfícia os índices podem ser ‘n’ ou ‘t’, ou x, y, z ou r, , z etc.

O livro texto diferencia tensão normal e de cisalhamento usando os simbolor e respectivamente. A notação indicial também diferencia tensão normal de cisalhamento; dois indices iguais tensão normal se não tensão cisalhamento.

Assim, n,n é uma tensão normal, que atua numa área cuja normal está na direção n e atua na direção é paralela do vetor n.

A n,t atua numa área cuja normal está na direção n e atua na direção paralela ao vetor t, como indica a figura.

n

t

0dAnt

n

n

0dAnn

dA

dFlim

dA

dFlim

n

n


Componentes da força e da tensão sobre um elemento de área Ax

1o índice: a normal a área onde a tensão atua.

2o índice: a direção que a tensão atua

Tensão num ponto

possui 9 componentes:

3 normais e 6

tangenciais

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Em EM461 vamos trabalhar com uma

tensão cisalhamento e uma normal, a

pressão hidrostática (no cap. 3)


Qual é a relação entre tensão e deformação para sólidos?

Robert Hooke (1635-1703) propôs uma relação linear entre tensão e deformação para sólidos:

2dG , G coef. Lamé (N/m )

dy


Qual é a relação entre tensão e taxa de deformação para fluidos?

Por similaridade a derformação de sólidos, Newton (1687) propôs p/ fluidos que tensão é linearmente proporcional a taxa de deformação do fluido (1*)

Por que?

Fluidos que apresentam relação linear tensão-deformação são chamadospor fluidos Newtonianos (água, óleos, todos os gases).

Resta definir a taxa de deformação do fluido e a dimensão de !

(1*) veja pdf anexo “The Newtonian Fluid” José Franco e Pedro Amaral

d taxa deformação fator

relativa a um ponto proporcionalidadedt

O fluido se deforma continuamente, logo taxa dedeformação e não deformação, conceito dado na aula 1!

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/Newtonviscosity.pdf


i. t = 0, M e N alinhados e dl = 0,

ii. t = dt, M’ deslocou dl em relação M

iii. Deformação: = arcTan(l/y)

iv. Taxa Deformação: d/dt

Filme: deformação

Taxa de deformação

Tal como a tensão, a taxa de deformação de um ponto possui natureza tensorial (consistência dimensional – aula 1); isto será visto em EM56.

Em EM461 será tratado deformações em uma única direção. Define a taxa de deformação para cisalhamento simples.

De modo complementar, como varia a no tempo o deslocamento M-M’ ou dl, em relação ao ponto N?

A taxa de deformação é um fenômeno local, ponto N. Considere duas lâminas deslocando com velocidade u e u+du espaçadas de dy.

y

u0+du

u0

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-2-CINEMATICA/cinematica-movie/V6_1.mov


A taxa de deformação é du/dy e sua a dimensão é (1/seg)

u é a velocidade

relativa entre M e N

derivada arc tan

2t 0

d 1 d dtlim

dt dy1 y

0

A taxa de deformação:

2

d 1arctan x

dx 1 x

Derivada de arctan

y

u0+du

u0

Taxa de deformação do fluido

deformação d arctan d dy

taxa deformação = d dt 1 s

As placas paralelas possuem uma velocidade relativa du.

Para um instante t, a deformação entre N e M - M’ é :

; (dl/dy)2 <<1 por isso 1 + (dl/dy)2 = 1 p/ dy0

d du 1

dt dy s


Viscosidade dinâmica (ou absoluta)

O coeficiente de proporcionalidade entre tensão e taxa de deformação é denominado por viscosidade dinâmica, . A viscosidade é um modelo, não é uma lei física.

A água, óleos, todos os gases e maioria dos líquidos seguem uma relação linear entre a tensão e a taxa de deformação por isso são denominados por fluidos Newtonianos.

A viscosidade µ é uma propriedade do fluido e tem natureza escalar.

A dimensão de sai da consistência dimensional: = .du/dy (aula 1)

yx(N/m2)

du/dy(1/s)

2

N.s kgPa.s

m m.s


Outras definições de viscosidade e unidades

N.s/m2

kg/m.s

1 Poise = 0,1 kg/m.s

m2/s

1 Stokes = 0,000001 m2/s

viscosidade dinâmica

viscosidade cinemática

= /

Viscosidade dinâmica do ar, água e óleo

ar@20oC 0,02 cP

água @20oC 1 cP

óleo SAE 10W30 @20oC 100 cP

Filme: viscosidade

http://www.fem.unicamp.br/~im250/SITE IM250/AULAS/Aula-5 & 6-EQ. DIFERENCIAL/V1_1.mov


Viscosidade dinâmica

para líquidos e gases

Unidades:

[N.s/m2] [Pa.s] [kg/(m.s)]

Observe que o aumento da temperatura faz a :

i. de líquidos diminuir –

efeito forte

ii. de gases aumentar –

efeito fraco

Porque é recomendado aquecer o motor

do carro antes de sair dirigindo o

automóvel, principalmente em dias

frios?


Taxa deformação em cisalhamento simples

As situações problemas apresentadas nos exercícios propostos em EM461 são casos onde pode-se aproximar a situação real para o movimento de cisalhamento simples.

Isto implica que:1. du/dy é constante;

2. O perfil de velocidades é linear, u(y) = c1y+c2 ;

3. A condição de não-deslizamento é aplicada.


O que é ‘condição não-deslizamento’ em superfície sólida

O fluido com interface numa fronteira sólida fica aderido ao sólido e possui a velocidade do sólido. Isto é a condição de não-deslizamento. veja filme .

Se a fronteira não se move o fluido adjacente a fronteira tem velocidade nula; se a fronteira se move com U0, o fluido adjacente tem velocidade U0.

Considere duas placas paralelas espaçadas h e deslizando em relação a outra com uma vel. relativa de U0. Os valores das velocidades nas paredes

0 0

0 0 0

0 0 0

(a) u y U h y 0 du dy U h

b u y U h y U 2 du dy U h

c u y U h y U du dy U h

Determine perfil velocidade e a taxa de deformação p/ (a), (b) e (c)

(a) (b) (c)

x

y

Caso Placa PlacaSup. Inf

(a) u(h)=U0 u(0)=0

(b) u(h)=U0/2 u(0)= -U0/2

(c) u(h)=0 u(0)= U0

h

http://www.fem.unicamp.br/~im250/MOVIES/MMF/impflow_200cs.mov


Taxa deformação em cisalhamento simplesOcorre quando a taxa de deformação, du/dy, é constante; o perfil de velocidade é linear: u(y) = c1y+c2 e a tensão é constante;

Casos (a), (b) e (c) tem duas placas espaçadas h e deslizando com velocidade U0 relativa entre sí.

A taxa de deformação é constante e igual a |du/dy| = U0/h; ela depende apenas do movimento relativo entre um ponto e outro;

São poucos os casos com du/dy constante, em geral du/dy varia com a distância da parede. Vamos ver isso no curso II.

(a) (b) (c)

x

yh

Na prática isto ocorre quando camadas planas de fluido deslizam uma sobre a outra, sem gradiente de pressão;


Fórmula de Trabalho

2

du ,

dy = viscosidade dinâmica (N.s/m )

uso da condição de não-deslizamento

Fim da seção de conceitos


Exemplo 1 - Viscosímetro de cilindros concêntricos com folga anular ‘a’ e altura ‘H’. Determine em função: das dimensões r, R, a e H; da aceleração g; da massa M; da frequencia de rotação do eixo, f (Hz), e da velocidade constante de queda da massa: Vm.

z

r

a

wR

R

r

Tensão que o sólido exerce no

fluido

Aproximação cisalhamento

puro: a/R << 1. Veja link fabricante:

Brookfield

Resposta:

2

3

m

M g r a

2 R V H

Confira se a expressão para

possui dimensão correta!

http://www.brookfieldengineering.com/products/viscometers/index.asp


Exemplo 2 –Obtenha uma expressão para o torque T entre os discos paralelos em função das dimensões: h e R; da viscosidade e da velocidade angular wem (rad/seg).

w

z

Tensão que o fluidoexerce no sólido

dA=rd.dr

Aproximação cisalhamento puro é válida quando não há escoamento radial ou que a aproximação abaixo seja válida:

2

R R dA h R hFcentrifuga h1

Fatrito RR h dA

w w

w

Resposta:4R

du dz r h e T2 h

deformação e tensão variam com r!

w w

Confira se a expressão para

T possui dimensão correta!


Exemplo 3 - Considere o escoamento laminar de água a 15oC entre duas placas paralelas com o perfil de velocidades dado abaixo. Determine a força F (módulo e direção) exercida pelo fluido numa área A de 1 m2 na placa inferior.

Considere umax = 0,05 m/s e h = 1mm.

Propriedades -> Apêndice A, tab A8 =1,14E-03 Ns/m2 e =999 kg/m3.

O perfil de velocidades mostra que a velocidade varia com y, logo a tensão

também varia com y.

Para calcular a força na parede precisamos primeiro calcular a tensão na

parede!

maxyx

Resposta :

4. 1,14E 03 . 0,05 .14 u AF A 0,228 N (direita)

h 0,001

Esta é a força que o fluido exerce na parede. Igual e contrária é a força que a parede exerce no fluido.


Exemplo 4 - Escoamento viscoso incompressível sobre uma placa plana semi-infinita, veja fig. ao lado. Determine:

i. Esboçe yx em função de y nas localizações x1 e x2 mostrada na fig. abaixo.

ii. Esboce yx ao longo da superfície da placa (y=0) como função de x.

x1 x2

Udu du , lembre que:

dy dy

w (x1) > w (x2) por que?

x1 x2

x

y


Explique como uma lâmina de um patins interage com o gelo de forma a reduzir o atrito entre a lâmina e o gelo sólido

https://www.youtube.com/watch?v=AbBe0MjtN1I

https://www.youtube.com/watch?v=AbBe0MjtN1I


Propriedade termodinâmica da água

P Líq.

P Solido

• O aumento da pressão faz a temperatura de fusão da água diminur possibilitando água líquida sob a lâmina.

• A lâmina do patins (2mm larga com 150mm de comprimento) possui uma área de 300mm2.

• Um patinador de 75kg pode exercer um acréscimo de pressão de 12 atm suficiente para liquefazer o gelo.


O fenômeno de lubrificação

• Quando a pressão aumenta o gelo se

funde abaixo da lâmina formando um

filme de água.

• Este filme exerce o papel de um

lubrificante.

• A força viscosa exercida pelo filme

de líquido é muito menor que o atrito

dinâmico com a lâmina e o gelo

sólido


Porque tensão e deformação são linearmente dependentes?

A relação = du/dy é um modelo (o mais simples!). Não há razão que na natureza os fluidos devam seguir este modelo.

Entretanto, os gases seguem este modelo;

Água, óleos em geral e uma grande maioria de líquidos podem ser bem representados por este modelo;

Mas há líquidos que não são representados: tintas, fluidos biológicos, emulsões em geral.

Por exemplo: assista ao filme: Veja no YouTube: A pool filled

with non-newtonian fluid

A_pool_filled_with_non_newtonian_fluid.wmv


Fluidos Newtonianos Generalizados pertencem a classe de fluidos não Newtonianos.

Possuem relação ‘mais’ geral entre tensão x deformação:• n – índice de comportamento do escoamento.• k – índice de consistência.

Fluidos Newtonianos Generalizados ou ‘power law fluids’

n < 1 fluido pseudo plástico

n > 1, fluido dilatante

n = 1, fluido newtoniano, k = m

Veja no YouTube: A pool filled with

non-newtonian fluid

A_pool_filled_with_non_newtonian_fluid.wmv


Fluidos Não-Newtonianos ou Não Lineares

Plástico Bingham – até atingir tensão limite é sólido, acima tem comportamento newton.

n < 1 fluido pseudo plástico – (mais frequentes) a taxa de crescimento da tensão diminui com o aumento da taxa de deformação.

n > 1, fluido dilatante – (raros) a taxa de crescimento da tensão aumenta com o aumento da taxa de deformação ( o fluido usado no filme do you tube é dilatante!) .

n = 1 fluido Newtoniano – a taxa de crescimento da tensão com a taxa deformação é constante.


Viscosidade Aparente, h

É uma conveniência matemática ajustar à forma de modelos lineares.

Desmembrando a tensão em um termo linear e outro com potência (n-1):

A viscosidade aparente é h = k.(du/dy)(n-1) .

Note que ela não é mais propriedade do fluido mas depende do campo de velocidades!

Ela pode variar ponto a ponto dentro do campo do escoamento


n < 1 fluido pseudo plástico –(mais frequentes) viscosidadeaparente diminui com o aumentoda taxa de deformação.

n > 1, fluido dilatante – (raros)viscosidade aparente aumentacom o aumento da taxa dedeformação.

n = 1 fluido Newtoniano –viscosidade aparente écoincidente com a viscosidadedinâmica.

Viscosidade Aparente, h

Com a viscosidade aparente fica mais fácil de visualizar:

• Pseudoplástico diminui viscosidade aparente com aumento taxa def.

• Dilatante aumenta viscosidade aparente com aumento taxa def.


REOLOGIA

Fluidos comportamento Não-linear

tensão x deformação

Sólidos comportamento Não-linear

tensão x deformação

Materiais comportamento

Visco-elástico

Fluido Newtoniano Comportamento

Puramente Viscoso Linear

Mecânica dos Fluidos

Sólido Hookeano Comportamento

Puramente Elástico Linear

Mecânica dos Sólidos

du/dy

tan =

tan = G

Reologia


Classificação da Mecânica dos Fluidos

mecânica fluidos meios contínuos

Sem viscosidade


Visão Geral dos Cursos I e II

Gas Liquids Statics Dynamics

Air, He, Ar,

N2, etc.

Water, Oils,

Alcohols,

etc.

0 iF

Viscous/Inviscid

Steady/Unsteady

Compressible/

Incompressible

0 iF

Laminar/

Turbulent

, Flows

Compressibility ViscosityVapor

Pressure

Density

PressureBuoyancy

Stability

Chapter 1: Introduction Chapter 2: Fluid StaticsFluid Dynamics:

Rest of Course

Surface

Tension

FluidMechanics


Classificação dos Escoamentos

Interno ou externo

Regime laminar ou turbulento

Com viscosidade ou sem viscosidade

Visão geral dos cursos EM461 e EM 561


Escoamento externo x interno

Escoamentos externos não são

confinados por paredes .

Escoamentos internos possuem

fronteiras que limitam ou restrin-

gem o campo de escoamento


Escoamento laminar x turbulento


Escoamento com e sem viscosidade


O que foi apresentado nos caps. 1 e 2?

1) Definição de Fluido

2) Dimensões e Unidades

3) O Fluido como um Contínuo

4) Campo de Velocidade

5) Campo de Tensão

6) Viscosidade

7) Tensão Superficial

Os tópicos acima correspondem ao “Fluido e propriedades”, nas próximas aulas vamos começar aplicar o termo “Mecânica” introduzindo a conservação da massa, 2ª lei de Newton e Energia .


FIM DO CONTEÚDO

A seguir exercícios de fixação para fazer em casa.

Exercício p/ fazer em casa

Os exercícios selecionados contém os conceitos

desenvolvidos nos exercícios resolvidos em sala

de aula. O aluno deve fazer estes exercícios para

checar e fixar os conceitos.


Exercício 1 -Transmissão de cilindros concêntricos com folga anular ‘d’ e raio interno R. Determine se a Pot = 5W dadas as rotações.

0.5mm

w1R

R=10mm

Respostas:

w2R+)

w2=9000rpmw1=10000rpm

1 2 2R R RduTaxa

1 def dy

w w w w

:

.

w 2du

2 Tensão: Rdy

w w

w 23 Torque T 2 RL R R 2 RL R w w :

2 2 2Potencia

4 : P T R 2 RL Rtransmitida

w w w w .



Exercício 2 – Viscosímetro cone e placa possui tensão

constante em z e r. O ângulo < 0,5 grau. Deduza uma expressão

para a taxa de deformação e expresse o torque em função de , w

e R.

wr

h = r.tan ~r z

3

R2Ttorque

3

wResposta:

Note que a taxa de deformação e a tensão são constantes em todo

espaço entre os discos. Esta configuração é a mais usada em

viscosímetros.

r rtaxa du

def . dz h r

w w w



Exercício 3 – Os dados foram medidos num viscosímetro. Identifique:

i) que tipo de fluido não-Newtoniano é;

ii) os coeficientes k e n.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

100 300 500 700 900 1100

taxa deformação (1/s)

mi

(N.s

/m2)

dilatante

y = 0.2068x - 3.1024

R2 = 0.9925

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5

ln(taxa deformação)

ln(m

i a

pa

ren

te)

du

Ln Ln k n 1 Lndy

h

k=0.045 & n=1.21

vel (rpm) 10 20 30 40 50 60 70 80

neta (N.s/m2) 0.121 0.139 0.153 0.159 0.172 0.172 0.183 0.185

def (1/s) 120 240 360 480 600 720 840 960

ln(neta) -2.11 -1.97 -1.88 -1.84 -1.76 -1.76 -1.70 -1.69

ln(du/dy) 4.79 5.48 5.89 6.17 6.40 6.58 6.73 6.87



Desafio 1 – Um bloco de massa M desliza sobre um filme de óleo de espessura h. Cada face do bloco possui área A.i. Desenvolva uma expressão para a força viscosa no bloco.ii. Encontre a velocidade V(t) em função do tempo

t

Resposta :

M m hmV g 1 e

M m A

Confira se as expressões para V e possuem

dimensões de m/s e s!


Desafio 2 – Determine como Vm varia no tempo se a massa M parte do repouso e começa acelerar. O valor de é dado. Considere nos cálculos o momento de inércia do cilindro Iz1 = ½.M1.R

2 sendo M1 a massa do cilindro, despreze massa da polia c/ raio = r

2

2 21

2 R HR

a rt

m2 R H M R

R2ra r

M g rResposta : V V 1 e onde V e

M r

• Mostre que balanço torques p/ o cil. é:

2 2M1 cabo M

V1 d RM R r F 2 R H; e V r

2 dt a r

w w

z

r

Polia

pequena

MdV dt forças externas & Id dt torques externos w

M

cabo

dVM Mg F

dt

• e o balanço das forças para massa M:

221

2 R HM R m Rm2r a r

dVMr Mgr V

dt

• Encontre a EDO usando Vm , M1, M, g, a e :



Exercícios recomendados – aula #3

Search on the web what is boundary layer flow.

(1) (2)

(3)


(4)

29. C. L. Yaws, Handbook of Viscosity, 3 vols., Elsevier

Science and Technology, New York, 1994.

49. R. L. Mott, Applied Fluid Mechanics, Pearson Prentice-

Hall, Upper Saddle River, NJ, 2006.

(5)

(6)


F I M

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