1 EDO-Teoria Tratamento Numerico Parte 1e2

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Equações Difereciais

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    6- EDOs: TEORIA E TRATAMENTO NUMRICO

    Introduo

    Muitos problemas importantes e significativos da engenharia, das cincias fsicas e das cincias sociais, formulados em termos matemticos, exigem a determinao de uma funo que obedece a uma equao que contm uma ou mais derivadas da funo desconhecida. Estas equaes so equaes diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido seja o da lei de Newton F = m.a . Se u = u(t) a posio no instante t de uma partcula de massa m submetida a uma fora F, temos

    =

    dtdu

    utFdt

    udm ,,

    2

    2

    (1)

    onde a fora F pode ser funo de t, u, e da velocidade dtdu

    . A fim de determinar o movimento da

    partcula sob a ao da fora F necessrio encontrar a funo u que obedea (1). O nosso objetivo discutir propriedades de solues de equaes diferenciais ordinrias e descrever alguns mtodos que se mostram eficientes para encontrar as solues do ponto de vista analtico e numrico. 6.1- CONCEITOS BSICOS

    6.1.1 Definies e Classificao das Equaes Diferenciais

    Definio 6.1.1.1: Uma das classificaes mais evidentes se baseia em a funo desconhecida depender de uma s varivel independente ou de diversas variveis independentes. No primeiro caso, na equao diferencial s aparecem derivadas ordinrias e a equao a equao diferencial ordinria (E.D.O.). No segundo caso, as derivadas so derivadas parciais, e a equao uma equao diferencial parcial (E.D.P.). Um exemplo de uma E.D.O. dado pela equao

    )()(1)()(

    2

    2

    tEtQCdt

    tdQR

    dttQd

    L =++ , (2)

    enquanto que um exemplo de e.d.p. uma equao do tipo potencial

    0),(),(

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    yyxu

    xyxu

    . (3)

    Definio 6.1.1.2: Uma outra classificao a que depende do nmero de funes desconhecidas que esto envolvidas. Quando se quiser determinar apenas uma funo, basta uma equao. Quando forem duas ou mais as funes desconhecidas, necessrio ter um sistema de equaes diferenciais. Por exemplo, as equaes de Lotka-Volterra (ou predador-presa), importantes modelos de ecologia, tm a forma:

    yxycdtdy

    yxxadtdx

    ...

    ...

    g

    a

    +-=

    -= , (4)

    onde x(t) e y(t) so as populaes da presa e do predador, respectivamente. As constantes a, c, a , g esto baseadas em observaes empricas e dependem das espcies particulares que esto sendo estudadas.

  • 124

    Definio 6.1.1.3: A ordem de uma equao diferencial a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equao. Neste sentido, uma equao da forma

    F[t, u(t), u(t), u(t), ...., u(n)(t)] = 0 (5) uma equao diferencial ordinria de ordem n. Observao: conveniente denotar u(t) por y e conseqentemente suas derivadas ficam escritas em funo de y. Geralmente consideramos equaes diferenciais que se apresentam na forma

    ),...,,,,( )1(''')( -= nn yyyyxfy (6) Definio 6.1.1.4: Uma soluo de uma equao diferencial ordinria do tipo (6), no intervalo

    ba

  • 125

    Teorema 6.1.2.1: (de Existncia e Unicidade de Soluo para uma E.D.O. Linear de Ordem Um):

    Seja uma E.D.O. da forma ),(' yxfy = (9)

    onde a funo f(x, y) est definida em um domnio D do plano xy que contm o ponto ( 00 , yx ). Se a funo f(x, y) satisfaz as condies:

    f(x, y) uma funo contnua de duas variveis em D;

    f(x, y) admite derivada parcial yf

    contnua com relao a x e y em D.

    Ento existe uma, e somente uma soluo )(xy j= da equao que satisfaz a condio

    00 )( yxy = . Exemplo 6.1.3: Considere a E.D.O. de 1a ordem

    y' = x.y +e-y.

    O segundo membro da equao f(x, y) = x.y + e-y e sua derivada parcial yexyf --=

    so contnuas

    com relao a x e a y em todos os pontos do plano xy . Em virtude do teorema de existncia e unicidade, o conjunto em que a equao tem soluo nica todo o plano xy .

    6.2- EQUAES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM E 2A ORDEM

    6.2.1 Equaes de 1a Ordem a Variveis Separveis

    s vezes conveniente usar como varivel x em vez de t para designar a varivel independente de uma equao diferencial. Neste caso, a equao geral de primeira ordem assume a forma

    ),( yxfdxdy

    = . (1)

    Se a equao (1) no-linear, isto , se f no uma funo linear da varivel dependente y, no existe um mtodo geral para resolver a equao. Consideremos uma subclasse das equaes de primeira ordem para as quais um processo direto de integrao pode ser usado.

    Em primeiro lugar, reescrevemos a equao (1) na forma

    M(x,y)+N(x,y)dxdy

    = 0 . (2)

    sempre possvel conseguir isto fazendo M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1, mas pode haver outras maneiras. Caso M seja uma funo apenas de x e N seja uma funo apenas de y, a equao (2) se torna

    M(x) + N(y) dxdy

    = 0 . (3)

    Uma equao deste tipo dita separvel porque escrita na forma diferencial M(x) dx + N(y)dy = 0 (4)

    na qual, caso se deseje, os termos que envolvem cada varivel podem ser separados pelo sinal de igualdade. Exemplo 6.1.4:

    Mostrar que a equao 2

    2

    1 yx

    dxdy

    -= de varivel separvel e encontre sua soluo.

  • 126

    Exemplo 6.1.5: Mostre que a soluo da E.D.O. com condio inicial

    -=-

    ++=

    1)0()1(2

    243 2

    yy

    xxdxdy

    dada por 4221)( 23 +++-= xxxxy . Exemplo 6.1.6:

    Achar a soluo do problema de valor inicial

    =+

    =

    1)0(21

    cos2

    yyxy

    dxdy

    .

    Resposta.: )1||(lnarcsen)( 2 -+= yyyx .

    6.2.2- Exerccios

    6.2.2.1) xy

    dxdy

    = Sol.: y = c.x

    6.2.2.2) (1 + y) dx (1-x) dy = 0 Sol.: xxc

    y-+

    =1

    6.2.2.3) 3'. yyyx =- Sol.: 21 ycxy +=

    6.2.2.4) 0).(cot)(cos.sen)( 22 =+ dyygxdxyxtg . Sol.: cxy += 22 secseccos

    6.2.2.5)

    =

    =+

    1)0(

    )1(

    y

    edxdy

    ye xx Sol.: )2

    1ln(

    212 xey +

    =-

    6.2.2.6) yx

    dxdy 2

    = Sol.: cxy =- 32 23

    6.2.2.7) 0)sen(2 =+ xydxdy

    Sol.: 0)cos(1

    =+ yseCxy

    ; y = 0.

    6.2.2.8) )2(cos).(cos 22 yxdxdy

    = Sol.:

    +=

    =--

    4

    )12(0)2cos(

    )2sen(2)2(2

    ny

    yseCxxytg

    p

    6.2.2.9) y

    x

    eyex

    dxdy

    +-

    =-

    Sol.: Ceexy xy =-+- - )(222

    6.2.2.10) )1( 3

    2'

    xyx

    y+

    = Sol.: Cxy =+- 32 1ln23

    6.2.2.11) 212' )1(. yyx -= Sol.: 1];sen[ln =+= yCxy

    6.2.2.12)

    ==+

    3/)2/(0 cos(3y)dy dx sen(2x)

    ppy; Sol.: 3)2cos(3)3sen(2 += xy

  • 127

    6.2.2.13)

    -=

    +=

    21

    )0(

    4)1(

    3

    2'

    y

    yxx

    y Sol.:

    212 +

    -=x

    y

    6.2.2.14)

    =+-

    =

    0)0(23

    2'

    yy

    ey

    x

    Sol.: 01232 =--++ xeyy x

    6.2.3 Equaes de 1a Ordem Homogneas Definio 6.2.3.1: Uma funo f(x,y) diz-se homognea de grau n nas variveis x e y se para todo

    l , 0>l , temos: ),(),( yxfyxf nlll = ,

    onde n = grau de homogeneidade. Exemplo 6.2.1:

    a) Se 3 33),( yxyxf += ento,

    temos, =+=+= ),()(()((),( 3 333 33 yxfyxyxyxf llllll f homognea de grau 1.

    b) 2

    33

    .),(

    yxyx

    yxf-

    = homognea de grau zero.

    Definio 6.2.3.2: Tambm podemos chamar uma E.D.O. de homognea se f(x,y) uma funo homognea de grau zero ou se M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, onde M e N so funes homogneas de mesmo grau. 6.2.3.1- Mtodo de Resoluo

    Impe-se uma soluo do tipo y = u(x). x, sendo que a equao diferencial antes escrita na forma:

    ),( yxfdxdy

    = ,

    onde dxdu

    xudxdy

    .+= e ),(),( yxfyxf ll= (hiptese), tomamos x1=l , ficando

    ),1(),( xyfyxf = e como

    xy

    u = , temos que f(x,y) = f(1,u).

    A E.D.O. passa a ser escrita como:

    uufdxdu

    xufdxdu

    xu -==+ ),1(.),1(. , que uma E.D.O. de variveis separveis. Assim,

    integrando chegamos :

    +=- Cxdx

    uufdu

    ),1(.

    Substituindo u por xy

    , aps a integrao, obtm-se a soluo da E.D.O. original.

  • 128

    6.2.3.2 Exerccios

    6.2.3.2.1) 22 yx

    xydxdy

    -= Soluo: ||ln2 cyyx -=

    6.2.3.2.2)

    ==-+

    0)4(0..2)( 22

    yydyxdxyx

    Soluo: x

    xy4

    1. -=

    6.2.3.2.3) 0)()( =--+ dyxydxyx Soluo: 2

    2 1)(2)(xC

    xy

    xy

    =++-

    6.2.3.2.4) 0)()32( =-++ dyxydxyx Soluo: ||ln|2

    2|ln

    2

    2

    Cxuu

    uu=

    +

    +

    6.2.3.2.5) 03)( 233 =++ dyxydxyx Soluo: 3 2 ))(1

    1(21

    )(cx

    xxy -=

    6.2.3.2.6) 0))cos(.())cos(.( =+- dyxy

    xdxxy

    yx Soluo: ||ln)sen( xCxy -=

    6.2.4- Equaes de 1a Ordem Lineares com Coeficientes Variveis Definio 6.2.4.1: Uma equao diferencial linear de primeira ordem uma equao da forma

    )()(' xQyxPy =+ , onde P(x) e Q(x) so funes contnuas. Se, na definio anterior, assumirmos Q(x) = 0 para todo x, podemos separar as variveis e integrar ento como segue (desde que y 0):

    +-=-=-==+ CdxxPydxxPdyyxPdxdy

    yyxP

    dxdy

    ln)(ln)(1

    )(1

    0)(

    Expressamos a constante de integrao sob a forma ln|C|a fim de modificar, como a seguir, a forma da ltima equao:

    CeyeCy

    dxxPCy

    dxxPCydxxPdxxP

    ==-=-=- - )()(

    .)(ln)(||ln||ln .

    Observemos em seguida que, pela regra do produto, +=+=+=

    dxxPdxxPdxxPdxxP

    x

    dxxP

    x

    dxxP

    x eyxPyexyPeyeDyeyDyeD)(')()(')()()( ))(()()()()( .

    Conseqentemente, multiplicando ambos os membros de )()(' xQyxPy =+ por dxxP

    e)(

    , a equao resultante pode ser escrita como

    =dxxPdxxP

    x exQyeD)()(

    )()( . I