66332779 eBook Calculo Numerico

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Leonardo F. Guidi

Notas da disciplina Clculo Numrico A

1 Instituto de Matemtica Universidade Federal do Rio Grande do Sul Av. Bento Gonalves, 9500 Porto Alegre - RS

SumrioCaptulo 1. Representao de nmeros em mquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.2. Sistema de numerao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. Mudana de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representao de nmeros inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representao de nmeros com parte fracionria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representao de ponto utuante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propriedades do conjunto F (b, n, e1 , e2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representao em ponto utuante IEEE754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4. 1.3.5. 2.1. Origem dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conceitos iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagao dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instabilidade numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aritmtica de mquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 8 8 9 10 11 12 13 13 14 14 16 16 20 21 21 23 24 25 27 28 29 29 31 32 32 33 33 35

Captulo 2. Equaes no lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodos de quebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. 2.1.2. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.3. 2.3.1. Mtodo da bisseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limitaes do mtodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo da falsa posio ou regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo da iterao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo da secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodos de ponto xo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mtodos de mltiplos pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Captulo 3. Sistemas de equaes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Captulo 4. Interpolao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algoritmo de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Interpolao polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. 4.1.2. Interpolao pelos polinmios de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolao de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sumrio 4.1.3. 4.2. Erros de truncamento na interpolao por polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fenmeno de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpolao spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Interpolao spline cbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spline natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spline com as mesmas condies de f nos extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . Captulo 5. Ajuste de mnimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.2. Ajuste de mnimos quadrados polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso particular: regresso linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste de mnimos quadrados por uma combinao linear de funes . . . . . . . . . . . . . . Problemas de condicionamento no mtodo de ajuste de funes pelo mtodo dos mnimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. 5.4. Ajuste de mnimos quadrados por uma combinao linear de funes ortogonais . . . . . . . . Ajustes no lineares redutveis ao caso linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

338 38 40 41 43 44 46 46 49 50 51 51 53 55 55 56 57 58 62 62 65 65 65 67 68 68 68 68 69 69 70 71 73 76 77 81 82 84 89

Captulo 6. Derivao numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aproximao da derivada por diferenas nitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erros de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erros de arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. 7.1. 7.2. Extrapolao de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratura por interpolao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadraturas newtonianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. Regra do trapzio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erro de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regras de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regra 3/8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regra de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4. Regras compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erro de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regra de Simpson composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5. 7.3. 8.1. 8.2. 8.3. Mtodo de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo da srie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erro de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mtodo Runge-Kutta Clssico (4 estgios) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regra do trapzio composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Captulo 7. Integrao numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Captulo 8. Equaes Diferenciais Ordinrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sumrio 8.4. Mtodos de mltiplos passos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1. Mtodo de Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2. Mtodo de Adasm-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

491 91 91

Captulo 1

Representao de nmeros em mquinas1.1. Sistema de numeraoUm sistema de numerao formado por uma coleo de smbolos e regras para representar de maneira consistente conjuntos de nmeros. Para desempenhar favoravelmente o seu propsito, um sistema de numerao deve possuir as seguintes propriedades: 1. Deve ser capaz de representar um conjunto de nmeros distintos de maneira padronizada. 2. Deve reetir as estruturas algbricas e aritmticas dos nmeros O sistema mais utilizado o sistema de numerao posicional de base10 ou sistema de numerao base-10 o sistema decimal. Em um sistema de numerao posicional a posio relativa dos smbolos guarda informao sobre o nmero que se quer representar. Mais especicamente, posies adjacentes esto relacionadas entre si por uma constante multiplicativa denominada base do sistema de numerao. Assim, cada smbolo em uma determinada posio contribui aditivamente com uma quantidade dada pela multiplicao do valor numrico do smbolo pela base elevada ao expoente dado pelo posio. Dessa forma, o numeral, formado por uma seqncia de smbolos, representa o nmero calculado a partir da soma da contribuio conjunta de cada smbolo e de sua posio. Denio (Sistemas de numerao base-b). Sistemas de numerao base-b. Dado um natural b > 0, a coleo de smbolos , , e os algarismos 1 {0, 1, . . . , b 1}, o numeral 2 dn dn1 d1 d0 , d1 representa o nmero real positivo dj bj .jn b

(1.1)

(1.2)

Aplicando o sinal frente do numeral representamos os reais negativos. Observao. Quando no h possibilidade de equvoco, dispensamos o subscrito 10 na representao decimal. Dessa forma, por exemplo, o numeral 1, 23 10 , ou simplesmente 1, 23, representa oQuando a base maior do que 10 utilizamos as letras maisculas A, B, C, . . . para representar os algarismos essa a notao utilizada na base hexadecimal (base-16). 2 Por se tratar de nmeros reais, a seqncia sempre limitada esquerda e portanto n Z.1

Captulo 1. Representao de nmeros em mquinas

6

dos se no houver mais algum outro algarismo esquerda. O mesmo ocorre para os algarismos zero preciso de alguma medida. Assim, evitamos notaes da forma 00 . . . 02, 3 para indicar o racional23 10 ;

nmero 1 100 +2 101 +3 102 . Os algarismos 0 antes da vrgula tambm no so representa-

direita aps a vrgula com exceo do uso nas cincias exatas quando faz-se necessrio