Segunda Unidade-A4 Numerico

Material sujeito a correções

Prof. José Augusto Lucas Matos Página 1 de 32

1 Isolamento de raízes ....................................................................................................2

2 Equações Algébricas (Polinomiais) .................................................................................4 2.1 Valor Numérico de um Polinômio ......................................................................................6 2.1.1 Método convencional................................................................................................6 2.1.2 Método de Horner....................................................................................................7 2.1.3 Método de Briot-Ruffini.............................................................................................7

2.2 Limites das raízes reais....................................................................................................9 2.2.1 Teorema de Lagrange ..............................................................................................9

2.3 Número de Raízes .........................................................................................................13 2.3.1 Regra (dos sinais) de Descartes ..............................................................................14

2.4 Relação entre Raízes e coeficientes (Regra de Girard) ......................................................15 2.5 Método da Bisseção.......................................................................................................16 2.5.1 Número de Passos (Divisões) ..................................................................................17

2.6 Método das Cordas (ou das partes proporcionais) ............................................................18 2.6.1 Equação Geral .......................................................................................................20 2.6.2 Outra dedução do método das cordas......................................................................21

2.7 Método de Newton-Raphson ..........................................................................................22 2.7.1 Interpretação Geométrica .......................................................................................23 2.7.2 Convergência.........................................................................................................24

2.8 Método da Iteração Linear .............................................................................................25 2.8.1 Interpretação geométrica .......................................................................................26 2.8.2 Convergência.........................................................................................................27

2.9 Observações finais sobre os Métodos..............................................................................29 2.10 Método de Birge-Vieta ...................................................................................................30 2.11 Grau de exatidão de uma raiz ........................................................................................31



EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES Existe uma necessidade em problemas de ciência e engenharia, de se determinar um número εεεε para o qual uma função )(xf seja zero, ou seja, 0)( =xf . Este número εεεε , é chamado raiz da equação 0)( =xf ou zero da função )(xf . Para se calcular uma raiz, duas etapas devem ser seguidas:

1. Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ ]ba; , o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz de 0)( =xf .

2. Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido pelo problema.

1 Isolamento de raízes

Teorema: Se uma função contínua no intervalo [ ]ba; , )(xf assume valores de sinais opostos nos pontos extremos deste intervalo e sua derivada primeira mantém o sinal, isto é 0)().( <bfaf , então, no intervalo conterá no mínimo uma raiz da equação 0)( ====xf . Em outras palavras haverá no mínimo um número [[[[ ]]]]ba;∈∈∈∈εεεε tal que 0)( ====εεεεf .

A Raiz εεεε será definida e única se a derivada )(' xf existir e preservar o sinal

dentro do intervalo [ ]ba; , isto é:

e para 0)( ou 0)( '' bxaxfxfSe <<<<<<<<<<<<>>>>

:sinal de muda não )( derivada 1ª a e contínua é )( ' xfxf



Exemplo: Aplicar o princípio da bisseção à equação 13)(3 −+= xxxf , entre os pontos

(3;1) e (-1;-5):

Tomemos 4 intervalos:

1º) raiz. tem não logo ,0)().( 625,2)( 5,0

5)( 1>

−=⇒−=

−=⇒−=bfaf

bfb

afa

2º) raiz. tem não logo ,0)().( 1)( 0

625,2)( 5,0>

−=⇒=

−=⇒−=bfaf

bfb

afa

3º) raiz. uma menos pelo tem é logo ,0)().( 625,0)( 5,0

1)( 0<

=⇒=

−=⇒=bfaf

bfb

afa


625,0)( 5,0>

=⇒=

=⇒=bfaf

bfb

afa



2 Equações Algébricas (Polinomiais) Seja uma equação algébrica de grau )1( ≥≥≥≥nn :

02

21

1 ............)( axaxaxaxP nn

nn

nn ++++++++++++++++==== −−−−

−−−−−−−−

−−−−

Equação A Teorema: Uma equação algébrica de grau “n” tem exatamente “n” raízes, reais ou

complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com a sua multiplicidade.

Uma raiz εεεε da Equação A tem multiplicidade “m” se:

0)(

e

0)(..........)()()( )1('''

≠≠≠≠

==================== −−−−

εεεε

εεεεεεεεεεεεεεεε

n

n

P

PPPP

Onde:

njxdx

xPdP

j

j ..,,.........1 e , )(

)(2

============ εεεεεεεε

Exemplo: Seja:

(((( )))) (((( ))))

0(2)P 3024)(P

0(2)P 123012)(P

0(2)P 412154)(P

0P(2) 846512)(

''''''

''2''

'23'

2343

≠≠≠≠∴∴∴∴−−−−====

====∴∴∴∴++++−−−−====

====∴∴∴∴++++++++−−−−====

====∴∴∴∴−−−−++++++++−−−−====−−−−−−−−====

xx

xxx

xxxx

xxxxxxxP

Então εεεε é uma raiz de multiplicidade m=3.



Teorema: Se os coeficientes da equação algébrica A são reais, então as raízes complexas desta equação são complexos conjugados em pares, isto é, se iββββααααεεεε ++++====1 é uma

raiz de multiplicidade “m”, então iββββααααεεεε −−−−====2 também é uma raiz desta equação

e tem a mesma multiplicidade “m”. Exemplo: Seja 0106)( 2 ====++++−−−−==== xxxP Cujas raízes são:

ii

ii

i

−−−−====−−−−

====

++++====++++

====

∴∴∴∴±±±±

====−−−−±±±±

====

32

26

32

26

2

26

2

40366

2

1

εεεε

εεεε

εεεε

Corolário: Se é uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais, tem no

mínimo uma raiz real. Exemplo:

(((( ))))(((( ))))

1

e 3

,3

:raízes como tem 101671106)(

3

2

1

232

====

−−−−====

++++====

−−−−++++−−−−====−−−−++++−−−−====

εεεε

εεεε

εεεε

i

i

xxxxxxxP



2.1 Valor Numérico de um Polinômio

2.1.1 Método convencional

1. O valor numérico de um polinômio )( xP para cx ==== é igual ao resto da divisão de )( xP por cx ==== .

(((( )))) nbcxxQxP ++++−−−−==== )()(

Substituindo x por c vem:

(((( )))) nn bbcccQcP ====∴∴∴∴++++−−−−==== P(c) )()(

2. O valor numérico da derivada do polinômio )( xP para cx ==== é igual ao resto da divisão de )(xQ por )( cx ==== .

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

)()(

)()()(

)()()(

)()(

'

''

''

cQcP

cQcccQcP

cQcxxQxP

bcxxQxP n

====∴∴∴∴

++++−−−−====

++++−−−−====

++++−−−−====

Aplicando o teorema do item (1) anterior, podemos afirmar que )(cQ é o resto da divisão de )(xQ por )( cx ==== . Este último teorema nos permite deduzir que para obter o valor numérico da derivada de um polinômio )(' xP basta dividi-lo duas vezes seguidas por )( cx ==== , e o resto da segunda divisão é o valor procurado.

Para calcular )( 0xP de um )( xP , é necessário fazermos (((( )))) 21++++nn multiplicações e n adições. Então, se o grau n do polinômio for elevado (digamos 200≥≥≥≥n ), o cálculo de

)( 0xP além de se tornar trabalhoso, é, também, ineficiente em termos computacionais

(em época anterior). Exemplo:

5316231521023)(23456789 −−−−++++−−−−++++−−−−−−−−++++−−−−++++==== xxxxxxxxxxP

No ponto 2 teremos:

(((( ))))

====

====++++

========

∴∴∴∴

−−−−++++−−−−++++−−−−−−−−++++−−−−++++====

9

152

199

321)(

5)2(3)2(16)2(2)2(3)2(15)2(2)2(10)2(232)( 23456789

adições

çõesmultiplicaxP

xP



2.1.2 Método de Horner

0121

0123

12

0122

11

012

21

1

))............)((....(

..........................................................................

))........((

)...........(

...............)(

axaxaxaxa

axaxaxaxa

axaxaxaxa

axaxaxaxaxP

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nn

++++++++++++++++++++====

++++++++++++++++++++====

++++++++++++++++++++====

++++++++++++++++++++====

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−

Exemplo:

13)3(

8-4)32)3-5)3-3*((2()3(

3 ponto No

8)4)25((2x

8)425(2

84452)(

2

23

234

====

++++====

====

−−−−++++−−−−−−−−====

−−−−++++−−−−−−−−====

−−−−++++−−−−−−−−====

P

P

x

xxx

xxxx

xxxxxP

2.1.3 Método de Briot-Ruffini

Sejam os polinômios:

bxbxbxbxQ

e

axaxaxaxaxP

nn

nn

nn

nn

++++++++++++++++====

++++++++++++++++++++====

−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−

22

11

012

21

1

............)(

...............)(

Dividindo )( xP pelo binômio )( cx −−−− , obtemos:

(((( )))) rcxxQxP ++++−−−−==== )()( Onde )(xQ é um polinômio de 1−−−−n e r uma constante (resto da divisão). Sendo que o resto r é o valor do polinômio. Se 0====r , então c é uma raiz real de 0)( ====xP .



Temos que:

)1( 1 nkacbb

ab

knknkn

nn

≤≤≤≤≤≤≤≤++++====

====

−−−−−−−−++++−−−−

Ou:

010

212

11

...........................

acbb

acbb

acbb

nnn

nnn

++++====

++++====

++++====

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

Esquematicamente:

121 ...... aaaa nnn −−−−−−−− 0a

c 21 ...... cbcbcb nn −−−− 1cb

121 ...... bbbb nnn −−−−−−−− rb ====0

Exemplo:

10167)( 23 −−−−++++−−−−==== xxxxP

167 1 −−−− 10−−−−

2 102 12

6 5 1 −−−− 2 2)2( ====P

1671 −−−− 10−−−−

3−−−− 303−−−− 138

46101 −−−− 148 148)3( −−−−====−−−−P

1671 −−−− 10−−−−

1 61 −−−− 10

46101 −−−− 0 0)1( ====P



2.2 Limites das raízes reais Consideremos o polinômio )( xP , vem:

012

21

1 ............)( axaxaxaxaxP nn

nn

nn ++++++++++++++++++++==== −−−−

−−−−−−−−

−−−−

Onde )1,1( com e 0 −−−−====∈∈∈∈≠≠≠≠ njRaa jn .

2.2.1 Teorema de Lagrange

Seja )10( e 0 ,0 0 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤≠≠≠≠>>>> nkkaan , o maior índice dos coeficientes

negativos do polinômio )( xP . Então, para o limite superior das raízes positivas do polinômio, pode-se tomar o número:

kn

na

BL −−−−++++==== 1

Onde B é o máximo dos módulos dos coeficientes negativos do polinômio. Assim se pεεεε é a maior das raízes positivas do polinômio, então Lp ≤≤≤≤εεεε . Se os

coeficientes de )( xP forem todos positivos, então 0)( ====xP não terá raízes positivas. Exemplo: Seja

30975)( 234 ++++++++−−−−−−−−==== xxxxxP

81

71

negativos) termos de módulo, em e,coeficient(maior 7

negativos) termos de expoente(maior 3

34 ====++++====

−−−−====

====

−−−−L

B

k

Ou seja, a partir de 8 o polinômio não tem zeros. A partir daí, podemos procurar outros três polinômios que tenham uma relação entre suas raízes e o polinômio anterior.



1. Se substituirmos as raízes de )( xP pelos seus inversos, encontraremos outro polinômio cuja relação com o 1º será ter as raízes inversas. Chamaremos este Polinômio de )(1 xP , então teremos:

nxPxP

εεεεεεεεεεεε

1,......

1,

1:serão raízes cujas ),

1()(

211 ====

Sendo pεεεε

1 a maior das raízes positivas e 1L o limite acima do qual 0)

1(1 ====

xP não

terá raízes positivas, então:

1

111

LL p

p

≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤ εεεεεεεε

ou seja, 1

1

L é o limite inferior das raízes positivas de 0)(1 ====xP . Notar que é o “inverso” de

acima do qual não temos raízes.

2. Se substituirmos x pelo seu simétrico x−−−− , em 0)( ====xP , teremos 0)()(2 ====−−−−==== xPxP , cujas raízes são: nεεεεεεεεεεεεεεεε −−−−−−−−−−−−−−−− ,.......,,, 321

Sendo pεεεε−−−− a maior das raízes positivas de 0)(2 ====xP e 2L o limite superior das

raízes positivas de 0)(2 ====xP , então: 22 LL pp −−−−≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤−−−− εεεεεεεε

Ou seja, 2L−−−− é o limite inferior (simétrico) abaixo do qual não temos raízes negativas em 0)( ====xP .

3. Se substituirmos x pelo seu inverso simétrico x

1−−−− , em 0)( ====xP , teremos

0)1

()(3 ====−−−−====x

PxP , cujas raízes são: nεεεεεεεεεεεεεεεε

1,.......,

1,

1,

1

321

−−−−−−−−−−−−−−−−

Sendo )0( com 1

<<<<−−−− pp

εεεεεεεε

a maior das raízes positivas de 0)(3 ====xP e 3L o limite

superior das raízes positivas de 0)(3 ====xP , então: 3

3

11

LL p

p

−−−−≤≤≤≤∴∴∴∴≤≤≤≤−−−− εεεεεεεε

ou seja, 3

1

L−−−− é o limite superior das raízes negativas de 0)( ====xP acima do qual

não temos raízes negativas em 0)( ====xP .



Todas as raízes positivas ++++εεεε , se existirem, satisfarão a: LL

≤≤≤≤≤≤≤≤ ++++εεεε1

1 e as negativas −−−−εεεε , se

existirem, satisfarão a: 3

2

1

LL −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− −−−−εεεε .

Exemplo: Seja a equação: 0302975 234 ====++++++++−−−−−−−− xxxx

1. Cálculo de L

81

71



34 ====++++====

−−−−====

====

−−−−L

B

k

2. Cálculo 1L

Para a obtenção de )(1 xP substituiremos x por x

1:

03029751

03029751

4

432

234

====++++++++−−−−−−−−

∴∴∴∴

====++++++++−−−−−−−−

x

xxxx

xxxx



Logo: 01572930)( 234

1 ====++++−−−−−−−−++++==== xxxxxP

67428,01

48304,130

71



1

241 ====⇒⇒⇒⇒====++++====

−−−−====

====

−−−−

LL

B

k

3. Cálculo 2L

Para a obtenção de )(2 xP substituiremos x por x−−−− :

0302975)( 2341 ====++++−−−−−−−−++++==== xxxxxP

38516,638516,61

291



224

2 −−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++====

−−−−====

====

−−−− LL

B

k

4. Cálculo 3L

Para a obtenção de )(3 xP substituiremos x por x

1−−−− :

01572930)( 234

1 ====++++++++−−−−−−−−==== xxxxxP

50847,01

96666,130

291



3

343 −−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒====++++====

−−−−====

====

−−−−

LL

B

k

Logo:

867427,0 ≤≤≤≤≤≤≤≤ ++++εεεε 50847,038616,6 −−−−≤≤≤≤≤≤≤≤−−−− −−−−εεεε



2.3 Número de Raízes Teorema de Bolzano: Seja 0)( ====xP uma equação algébrica com coeficientes reais e

);( bax ∈∈∈∈ .

• Se 0)().( <<<<bPaP , então existe um número impar de raízes reais (contando suas multiplicidades) no intervalo );( ba .

• Se 0)().( >>>>bPaP , então existe um número par de raízes (contando suas multiplicidades) ou não existem raízes reais no intervalo );( ba .



2.3.1 Regra (dos sinais) de Descartes

Teorema: O número de raízes reais positivas ++++n de uma equação algébrica é igual ao número de variações de sinais na seqüência dos coeficientes, ou menor que este número por um inteiro par, sendo uma raiz de multiplicidade m , como m raízes e não sendo contados os coeficientes zero.

Corolário: Se os coeficientes de uma equação algébrica são diferentes de

zero, então, o número de raízes reais negativas −−−−n (contando suas multiplicidades) é igual ao número de permanências ns seqüência dos seus coeficientes, ou é menor que este número por um inteiro par.

Exemplos: Seja o polinômio 0302975 234 ====++++++++−−−−−−−− xxxx

5 e 3 1,- 2,- são raízes as

0 ou 222

0 ou 222

2

1

====⇒⇒⇒⇒−−−−====

====⇒⇒⇒⇒−−−−====

−−−−−−−−

++++++++

nkn

nkn

Seja o polinômio 0104079218579 2345 ====++++−−−−++++++++−−−− xxxxx

2i3 e 2i-3 4, 4, 5,- são raízes as

11

0 ou 2 ,424 1

++++

====⇒⇒⇒⇒====

====⇒⇒⇒⇒−−−−====

−−−−−−−−

++++++++

nn

nkn



2.4 Relação entre Raízes e coeficientes (Regra de Girard) Escrevendo 0)( ====xP na forma fatorada temos:

(((( )))) (((( )))) 0............))(()( 321 ====−−−−−−−−−−−−−−−−==== nn xxxxaxP εεεεεεεεεεεεεεεε

Se efetuarmos as multiplicações e agruparmos teremos:

0).......()1(................

)....(

).........(

).....()(

321

31243121321

2113213121

121

====−−−−++++++++

++++++++++++++++++++−−−−

−−−−++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++−−−−====

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

nnn

nnnnnn

nnnnn

nnn

nn

a

xa

xa

xaxaxP


εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε


Comparando o resultado com 0)( ====xP vem:

)()1(..........................

..............................................................

)(......

)(......

)(...................

0321

312321

213121

121

nn

n

nnnnn

nnnn

nnn

aa

aa

aa

aa

−−−−====

−−−−====++++++++

====++++++++++++

−−−−====++++++++++++

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−


εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε

εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε


Exemplo: 010167 23 ====−−−−++++−−−− xxx Cujas raízes são:

1

3

3

3

2

1

====

−−−−====

++++====

εεεε

εεεε

εεεε

i

i

Logo:

1

101).3)(3(

1

161).3(1).3()3)(3(

1

71)3()3(

−−−−====−−−−++++

====−−−−++++++++++++−−−−++++

−−−−−−−−====++++−−−−++++++++

ii

iiii

ii



2.5 Método da Bisseção Consiste em descobrir duas abscissas ba e que contenha apenas uma raiz, tal que:

)( e )( bfaf tenham sinais contrários. Ou seja: Dessa forma espera-se que poderemos tomar como valor inicial 0x a abscissa da

metade desse intervalo, ou:

2 0)().( 0

baxbfaf

++++====⇒⇒⇒⇒<<<<

Verificam-se os novos intervalos e se prossegue o processo ate que 0)( ====xf .

Exemplo: Achar uma aproximação da raiz real (única) de 010167 23 ====−−−−++++−−−− xxx . Tomemos 4 intervalos iguais entre 1−−−− e 1++++ .

1º) raiz. tem não logo ,0)().( 625,2)( 5,0

5)( 1>

−=⇒−=

−=⇒−=bfaf

bfb

afa


625,2)( 5,0>

−=⇒=

−=⇒−=bfaf

bfb

afa

3º) raiz. uma menos pelo tem é logo ,0)().( 625,0)( 5,0

1)( 0<<<<

====⇒⇒⇒⇒====

−−−−====⇒⇒⇒⇒====bfaf

bfb

afa

Logo 0252

5,00 e 0)().( 0 ====

++++====<<<< xbfaf



2.5.1 Número de Passos (Divisões)

Em alguma etapa do processo teremos ou a raiz exata εεεε ou uma seqüência infinita de intervalos (caso de uma raiz ser um valor irracional), tal que:

....)(n1,2,3,.. 0)().( <<<<bfaf Como a cada iteração o intervalo [[[[ ]]]]ba; é dividido ao meio, na n-ésima divisão o comprimento do intervalo será:

nnn

abab

2

−−−−====−−−− ou

Desde que

εεεε≤≤≤≤−−−− −−−−1nn xx

Então:

2ln

)(ln

2 1

−−−−

≥≥≥≥∴∴∴∴≤≤≤≤−−−−

++++

εεεεεεεε

ab

nab

n

Ou seja, para um dado intervalo [[[[ ]]]]ba; , são necessárias, no mínimo n divisões calcularmos a raiz com tolerância εεεε . Como )(raizbLimaLim n

nn

nεεεε========

∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→.

Exemplo: Ver página 108 de Leônidas Barroso.



2.6 Método das Cordas (ou das partes proporcionais)

Seja a determinação da raiz de )(xf , _

xx ==== compreendida no intervalo bxa <<<<<<<< e seja )(xf representada da maneira que segue:

Ligando-se os pontos (((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; afa através de um seguimento de reta, determina-se sobre o eixo dos x o ponto 1x . Repetindo-se este procedimento em relação aos pontos

(((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; 11 xfx , determinamos 2x e assim sucessivamente até que 1++++rx tenderá

para εεεε . Analiticamente teríamos: A equação da reta que passa pelos pontos (((( )))) (((( ))))f(bb; e )(; afa :

[[[[ ]]]]ab

axafbfafxf

ab

ax

afbf

afxf

xx

xx

yy

yy

−−−−

−−−−−−−−++++====

∴∴∴∴

−−−−

−−−−====

−−−−

−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−

−−−−====

−−−−

−−−−

)()()()(

)()(

)()(

12

1

12

1

Fazendo 1xx ==== , vem:

[[[[ ]]]]ab

axafbfafxf

−−−−

−−−−−−−−++++======== 1)()()(0)(

E, portanto:

(((( )))))()(

)(1

afbf

afabax

−−−−−−−−−−−−====

Generalizando teremos:

(((( )))))()(

)(1

r

rrrr

xfbf

xfxbxx

−−−−−−−−−−−−====++++



Quando )(xf tem a forma abaixo, a determinação da raiz envolve o emprego de duas fórmulas:

Neste caso, indicamos reduzir o intervalo por bisseção para obter um intervalo com a 2ª derivada constante. Observar que se a mudança de sinal da 2ª derivada for a raiz basta calcular seu valor e igualar a zero. Situações Possíveis:



2.6.1 Equação Geral

Podemos utilizar a equação:

(((( ))))cxcfxf

xfxx n

n

nnn −−−−

−−−−−−−−====++++

)()(

)(1

Sendo c o ponto extremo (fixo) do intervalo [[[[ ]]]]ba; onde a função )(xf apresenta o mesmo sinal da sua segunda derivada )(" xf , ou seja:

0)().( " >>>>cfcf

1. O ponto fixo ) ou ( ba é aquela que satisfaz 0)().( " >>>>xfxf .

2. A aproximação sucessiva nx , se faz do lado da raiz εεεε , onde o sinal da função )(xf

é oposto ao sinal da derivada segunda )(" xf .



2.6.2 Outra dedução do método das cordas

Seja )(xf uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no

intervalo [[[[ ]]]]ba; , sendo 0)().( >>>>bfaf e que exista apenas um número [[[[ ]]]]ba;∈∈∈∈εεεε tal que 0)( ====εεεεf .

O intervalo [[[[ ]]]]ba; é dividido em partes proporcionais à razão )(

)(

bf

af−−−− .

(((( ))))abaffbf

afax

hax

bfaf

af

ab

h

−−−−−−−−

−−−−====

++++====

++++−−−−

−−−−====

−−−−

)(()(

)(

Como

)()(

)(

1

11

1



2.7 Método de Newton-Raphson Seja )(xf uma função contínua no intervalo [[[[ ]]]]ba; e εεεε o seu único zero neste intervalo. As derivadas )(" e )(' xfxf devem, também, ser contínuas. Desenvolvendo )(xf na série de Taylor, na vizinhança de um dos limites acima, (por exemplo: a ) vem, considerando os dois primeiros termos da série:

(((( ))))2"

'

2

)()()()(

−−−−++++−−−−++++====

−−−−

nnnn xxf

xxxfxfxfεεεε

Desprezando-se o termo do erro de e fazendo xx_

==== no desenvolvimento acima, teremos:

(((( ))))

(((( ))))

)(

)(

)()()(

0)()()(

0)()(

'

''

''

'

n

nn

nnnn

nnnn

nnn

xf

xfxx

xfxfxxfx

xfxxfxxf

xxxfxfxf

−−−−====

∴∴∴∴

−−−−====

====−−−−++++

====

−−−−++++====

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

Fazendo 1++++

−−−−

==== nxx ;

n),1,2,3,....(n com )(

)('1 ====−−−−====++++

n

nnn

xf

xfxx

Onde 1++++nx é uma aproximação de εεεε .



2.7.1 Interpretação Geométrica

Temos:

10

00

' )()(

xx

xfxftg

−−−−========αααα

)(

)(

1'

010

xf

xfxx ====−−−−

Multiplicando-se por )1(−−−− e passando-se 0x para a direita da equação, vem:

)(

)(

1'

001

xf

xfxx −−−−====

Por indução pode-se fazer o mesmo para ββββ e assim por diante. Logo:

,.....)3,2,1( com )(

)('1 ====−−−−====++++ n

xf

xfxx

n

nnn



2.7.2 Convergência

Da figura anterior vemos que traçando a tangente a partir do ponto [[[[ ]]]])(; 00 xfxa , podemos

encontrar [[[[ ]]]]bax ;1 ∉∉∉∉ e o método pode não convergir. Por outro lado, se escolhermos

0xb ==== o processo convergirá.

È condição suficiente para a convergência do método de Newton-Raphson que:

1. )( e )( "'xfxf sejam não nulas e preservem o sinal no intervalo [[[[ ]]]]ba; e

2. que 0x seja tal que 0)().( "' >>>>xfxf Exemplo: Calcular a raiz quadrada de N .

Seja 02 ====−−−− Nx , e como )(

)('1

n

nnn

xf

xfxx −−−−====++++ vem:

++++====

++++−−−−====

−−−−−−−−====

++++

++++

++++

nnn

n

nnn

n

nnn

x

Nxx

x

Nxxx

x

Nxxx

2

1

2

2

,2

1

22

1

1

Tomemos 59N e 10 ========x

2)( e 2x12)1()( "' ================ xffxf O que satisfaz às condições de convergência. Logo:

68144,768144,7

5968144,7

2

1

68144,768467,7

5968467,7

2

1

68467,791744,7

5991744,7

2

1

91744,783733,9

5983733,9

2

1

83733,998333,15

5998333,15

2

1

98333,1530

5930

2

1

301

591

2

1

7

6

5

4

3

2

1

====

++++====

====

++++====

====

++++====

====

++++====

====

++++====

====

++++====

====

++++====

x

x

x

x

x

x

x

O que nos indica que a raiz de 59 com até 5 decimais é 7,68144.



2.8 Método da Iteração Linear Seja )(xf uma função contínua no intervalo [[[[ ]]]]ba; e εεεε um número pertencente a este intervalo, tal que: 0)( ====εεεεf . Por um artifício algébrico é sempre possível transformar )(xf em )( xFx ==== , onde )(xF é uma função de iteração. Sendo 0x uma primeira aproximação da raiz εεεε , calcula-se )( 0xF . O processo pode ser então, generalizado como segue:

...)0,1,2,....(n ),(1 ========++++ nn xFx Se a seqüência {{{{ }}}},......,, 210 xxx é convergente, isto é, se existe εεεε====

∞∞∞∞→→→→n

n

xLim e )(xF é

contínua, então:

====

∞∞∞∞→→→→++++

∞∞∞∞→→→→n

nn

n

xFx LimLim 1

e,

)(εεεεεεεε F==== , onde εεεε é uma raiz de 0)( ====xf .



2.8.1 Interpretação geométrica

Traçamos no plano xy os gráficos das funções xy ==== e )( xFy ==== . Cada raiz real da equação )(xFx ==== , é uma abscissa do ponto de interseção R da curva )(xFy ==== com a bissetriz xy ==== .

Onde:

)(

)(

......................................................

)(0

)(0

)(0

1

2322333

)1211222

)0100111

εεεεεεεε F

xFx

xFxCACBC

xFxCACBC

xFxCACBC

nn

====

====

====→→→→========

====→→→→========

====→→→→========

++++



Situações que podem ocorrer:

2.8.2 Convergência

Teorema: Partindo de um valor de 0x pertencente a uma vizinhança r de I , ),( δδδδδδδδ ++++−−−− rr ,

no qual )(xF é diferenciável, as aproximações sucessivas realizadas na equação )( xFx ==== , convergirão para uma raiz real Ir ∈∈∈∈ se tivermos:

1)(' <<<<xF

Para todo.

Se por outro lado 1)(' >>>>xF para todo Ix ∈∈∈∈ , as aproximações divergirão.

Demonstração: Devemos provar inicialmente que todo valor 1++++ix obtido na i-ésima

iteração, pertence a I se nxxx ..,,.........,,x 210 também pertencem.

Temos:

)()(x

)(x )(

1i

1i

rFxFr

xFrFr

i

i

−−−−====−−−−∴∴∴∴

========

++++

++++



Pelo teorema do valor médio aplicado a )(xF no intervalo ),( ou ),( ii xrrx , temos:

)(')()(

ii

i Frx

rFxFξξξξ

−−−−

−−−−

onde, )( ou iiii xrrx ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ ξξξξξξξξ

Logo:

)).((' 11 rxFrx ii −−−−====−−−−++++ ξξξξ Ou:

rxFrx iii −−−−====−−−−++++ .)('1 ξξξξ

A Para 0====i vem:

rxFrx −−−−====−−−− 001 .)(' ξξξξ

E como I∈∈∈∈0ξξξξ temos:

1)(' 0 <<<<εεεεF

∴∴∴∴ δδδδ<<<<−−−−<<<<−−−− rxrx 01

Logo, Ix ∈∈∈∈1

Podemos, analogamente, deduzir que .............,..........,, ,321 ixxxx também pertencem a I .

Definindo

)('

)('

xFmáximoM

xFmínimom

====

====

Isto é: Ix )(' ∈∈∈∈∀∀∀∀≤≤≤≤≤≤≤≤ MxFm

Da relação A vem:

rxMrxrxm

rxMrxrxm

rxMrxrxm

iii −−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−

−−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−−

−−−−−−−− 11

121

010

..........................................

Multiplicando membro a membro (teremos smi ), retemos:

rxMrxrxm ii −−−−≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤−−−− 010



Se 1<<<<M , então: 0lim ====−−−−∞∞∞∞→→→→

rxii

, portanto 0lim ====−−−−∞∞∞∞→→→→

rxii

, e a seqüência converge para

r . Por outro lado, se 1>>>>m , a diferença (((( ))))rxi −−−− aumenta indefinidamente e o método não converge. Como para 1)(' <<<<rF , deve existir uma vizinhança I de r , onde, para todo Ix ∈∈∈∈ ,

1)(' <<<<xF , e vice-versa, podemos finalmente concluir que obedecendo a duas condições

asseguramos o êxito do processo.

1. Escolher a função de modo que 1)(' ≤≤≤≤rF (condição necessária) e

2. Escolher 0x na dita vizinhança.

2.9 Observações finais sobre os Métodos 1. Bisseção

Não exige o conhecimento das derivadas, mas tem uma convergência lenta. Deve ser usado para diminuir o intervalo que contém a raiz.

2. Cordas

Exige que o sinal da derivada segunda permaneça constante no intervalo (o que pode ser verificado até graficamente). Se o ponto fixado c for razoavelmente próximo da raiz (grosseiramente 10)( <<<<cF ),

o método tem boa convergência; caso contrario pode ser mais lento que a bisseção.

3. Newton-Raphson

Requer o conhecimento da forma analítica de )(' xf , mas sua convergência é extraordinária.

4. Iteração Linear

Sua maior dificuldade é encontrar uma função de iteração que satisfaça a condição de convergência.

O teste 1)(' ≤≤≤≤rF pode levar a um engano se 0x não estiver suficiente próximo da

raiz.

A velocidade de convergência dependerá de )(' xf ; quanto menor este valor, maior

será a convergência.



2.10 Método de Birge-Vieta O algoritmo obtido quando combinamos os métodos os métodos de Briot-Ruffinni com o método de Newton-Raphson para determinarmos a raiz r de um polinômio, é conhecido como método de Birge-Vieta. Assim, no calculo de ix com:

)(

)(

1'

11

−−−−

−−−−−−−− −−−−====

i

iii

xP

xPxx

usamos o teorema que nos dá o valor de )( 1'

−−−−ixP que diz que basta dividirmos )( 1−−−−ixP duas vezes consecutivas por )( cx −−−− , o que pode ser feito através o método de Briot-Ruffinni . Ex.: Seja 046163763)( 23 ====−−−−++++−−−−==== xxxxP

Pesquisando zeros positivos pelo método da bisseção usando intervalos de amplitude 5 encontramos uma raiz, pelo menos, entre 3404)25( e 3186)20( ====−−−−==== PP . Tomando, então, 5,22====x , aplicamos o método de Birge-Vieta.

00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−−

50,22 00,3 50,8−−−− 25,28−−−− 25,681−−−− 50,22 00,3 00,59 25,1299

Logo:

02,2325,1299

25,68150,221 ====

−−−−−−−−====x

00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−−

02,23 00,3 94,6−−−− 24,3 58,28 02,23 00,3 12,62 24,1433

Logo:

00,2324,1433

58,2802,231 ====−−−−====x

00,3 00,76−−−− 00,163 00,46−−−−

00,23 00,3 00,7−−−− 00,2 0

E sem dúvida 00,23 é uma raiz.



2.11 Grau de exatidão de uma raiz Após obter a raiz, por qualquer método numérico, encontramos um valor, possivelmente aproximado. Teorema: Seja εεεε uma raiz isolada exata e nx uma raiz aproximada de 0)( ====xf com εεεε e

nx pertencentes ao [[[[ ]]]]ba; e:

)(min ' xfmbxa ≤≤≤≤≤≤≤≤

====

Então:

m

xfx

nn

(≤≤≤≤−−−− εεεε

Prova: Aplicando o teorema do valor médio vem:

[[[[ ]]]]baccx

onde

cfxfxf nn

:)(

:

)()()()( '

∈∈∈∈⇒⇒⇒⇒<<<<<<<<

−−−−====−−−−

εεεε

εεεεεεεε

Como

b)x(a para 0)( e 0)( ' ≤≤≤≤≤≤≤≤>>>>≥≥≥≥==== mxff εεεε

Temos

εεεεεεεε −−−−≥≥≥≥−−−−==== nnn xmfxfxf )()(( )

Vem

m

xfx

nn

)(≤≤≤≤−−−− εεεε

Exemplo: Sendo 8)( 2−−−−==== xxf , delimitar o erro cometido com 827,2====nx , no intervalo

[[[[ ]]]]3;2 .

42min32

========≤≤≤≤≤≤≤≤

xmx

002,0827,2

002,04

8827,2827,2

2

±±±±====

∴∴∴∴

====−−−−

≤≤≤≤−−−−

εεεε

εεεε



O cálculo de m muitas vezes é trabalhoso e difícil de ser feito. Por esta razão, a tolerância de εεεε pode ser avaliada por um dos três critérios (que também podem ser critérios de parada de processos iterativos) a seguir:

εεεε

εεεε

εεεε

≤≤≤≤−−−−

≤≤≤≤−−−−

≤≤≤≤

−−−−

−−−−

n

1n

1n

n

x

x .3

x .2

)f(x .1

n

n

x

x

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