Equações Diferenciais Ordinárias - WordPress .Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Guilherme

  • View
    219

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Equações Diferenciais Ordinárias - WordPress .Equações Diferenciais Ordinárias Prof. Guilherme

  • Equaes Diferenciais Ordinrias

    Prof. Guilherme Jahnecke Weymar

    AULA 03

    Equaes diferenciais de primeira ordem

    Equaes separveis

    Fonte:

    Material Daniela Buske, Boyce, Bronson, Zill,

    diversos internet

    1

  • Equaes separveis

    2

    As equaes diferenciais ordinrias separveis so equaes que podem ser escritas na forma (1) Seja Ento Substituindo-se g(y) por dh/dy na equao (1) obtemos (2)

    )()( xfdx

    dyyg

    dyygyh )()(

    )(ygdy

    dh

    )(xfdx

    dy

    dy

    dh

  • Mas pela regra da cadeia O que implica que (2) pode ser escrita como: (3) A eq. (3) do tipo (1.3) ( , vista na aula 02), ou seja, da forma Em que Y(x) = h(y(x)). Assim, integrando-se (3) dos dois lados obtemos que a soluo geral de (1) dada implicitamente por

    Equaes separveis

    3

    dx

    dy

    dy

    dhxyh

    dx

    d))((

    )(tqdt

    dy

    )())(( xfxyhdx

    d

    )(xfdx

    dY

    Cdxxfxyh )())((

  • Equaes separveis

    4

    Tambm podemos obter a soluo anterior da seguinte maneira: Integrando-se em relao a x ambos os membros de (1) obtemos Que pode ser reescrita como Fazendo a substituio ydx = dy obtemos Observao: As curvas que so solues de uma equao separvel podem ser vistas como curvas de nvel da funo

    Cdxxfdxdx

    dyyg )()(

    Cdxxfdxyyg )(')(

    Cdxxfdyyg )()(

    dxxfxyhyxFz )())((),(

  • Exemplo 1: Modo de resoluo 1

    Encontrar a soluo geral da EDO:

    A EDO pode ser reescrita como:

    ou pela regra da cadeia:

    Assim a soluo geral dada implicitamente por:

    As solues so elipses (ver fig. 1) que so curvas de nvel da funo

    O grfico da funo F(x,y) dada um parabolide elptico (ver fig. 2)

    Equaes separveis

    5

    xdx

    dyy 42

    xdx

    dyy

    dy

    d4)( 2

    xydx

    d4)( 2

    Cxdxxy 22 2)4(

    22 2),( xyyxFz

  • Equaes separveis

    6

    Exemplo 1: Modo de resoluo 2

    Encontrar a soluo geral da EDO:

    Integrando-se em relao a x ambos os membros obtemos:

    Fazendo a substituio ydx = dy obtemos:

    Assim a soluo geral dada implicitamente por

    As solues so elipses (ver fig. 1) que so curvas de nvel da funo

    O grfico da funo F(x,y) dada um parabolide elptico (ver fig. 2)

    xyyxdx

    dyy 4'2ou 42

    Cxy 22 2

    22 2),( xyyxFz

    Cdxxdxyy 4'2

    Cdxxydy 42

  • Equaes separveis

    7

    Figura 1: Solues da equao diferencial do exemplo 1

  • Equaes separveis

    8

    Figura 2: Solues da equao diferencial do exemplo 1 como curvas de nvel do parabolide elptico z = F(x,y) = 2x2+y2.

  • Equaes separveis

    9

    Exemplo 2: a) Encontre a soluo do PVI

    b) Determine o intervalo de validade da soluo, ou seja, o maior intervalo contendo x0=1 para o qual a soluo y(x) e sua derivada dy/dx esto definidas.

    c) Determine os pontos onde a soluo tem um mximo local.

    d) Faa um esboo do grfico da soluo.

    0)1(33

    122

    yy

    x

    dx

    dy

  • Equaes separveis

    10 Exerccio: Fazer pela primeira metodologia para verificar

  • Equaes separveis

    11

  • Equaes separveis

    12

  • Equaes separveis

    13

  • Equaes separveis

    14

    Figura 3: Soluo do PVI do exemplo 2.

  • Equaes separveis

    15

    Figura 4: Solues da EDO e do PVI do exemplo 2.

  • Equaes separveis

    16

    Figura 5: Solues da EDO do exemplo 2 como curvas de nvel de uma funo de duas variveis z=f(x,y)=y3-3y-x2+x.

  • 17

    Solues por Substituies

    Muitas Equaes Diferenciais, o primeiro passo para resolv-la

    transformar em outra E.D. conhecida por meio de uma substituio.

    Equaes Homogneas;

    Equaes de Bernoulli;

    Equaes de Riccati;

  • Equaes Homogneas

    18

    Definio: Funo homognea

    Se uma funo f satisfaz

    Para algum nmero real n, ento dizemos que f uma funo

    homognea de grau n .

    ),(),( yxfyxf n

  • Equaes Homogneas

    19

    Exemplo 1: , = 2 2

    ),()(),(

    ),(

    22222222

    22

    yxfyxyxyxf

    yxyxf

    f homognea de grau 2

    Exemplo 2: : , = 32 2 + 1

    ),(13),(

    13),(

    32233

    23

    yxfyxxyxf

    xyxyxf

    f no homognea

  • Equaes Homogneas

    20

    Exemplo 3: : , =

    ),()/()/(),(

    )/(),(

    0//

    /

    yxfyxseneyxseneyxf

    yxseneyxf

    yxyx

    yx

    f homognea de grau zero

    OBS: 1. Nos exemplos 2 e 3 observamos que uma constante adicionada

    funo destri a homogeneidade, a menos que a funo seja homognea de grau zero.

    2. Uma funo homognea pode ser reconhecida examinado o grau de cada termo

  • Equaes Homogneas

    21

    Definio: Equao homognea

    Uma equao diferencial da forma

    chamada de homognea se ambos os coeficientes M e N

    so funes homogneas do mesmo grau.

    0),(),( dyyxNdxyxM

  • Equaes Homogneas

    22

    Mtodo de soluo: Equao homognea

    Uma equao diferencial homognea

    pode ser resolvida por meio de uma substituio algbrica. Neste

    caso a substituio:

    transformar a equao em uma equao diferencial de 1 ordem

    separvel.

    0),(),( dyyxNdxyxM

    vxy

    xdvvdxdyvxy ;Lembrando:

  • Equaes Homogneas

    23

    Exemplo 1:

    0)( 22

    22

    dyyxxydx

    yx

    xy

    dx

    dy

    xdvvdxdyvxy ;Substituio:

    f homog. de mesmo grau

    ccv

    vx

    v

    dvv

    x

    dx

    v

    dvv

    x

    dxx

    dvvxdxxv

    dvvxdxxv

    dvxvxdxxvvxvx

    xdvvdxxvxxvxdx

    2

    2y/xv

    2

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    2323

    2323

    3232322

    222

    2y

    xlny

    2

    1lnln

    )1()1(

    )1(

    )separveis (variveis 0)1(

    0)()(

    0))((

  • Exerccios

    Resolva as equaes diferenciais homogneas: 1) 2 + 2 2 = 0 Sol. Geral: 2 =

    2) 2 + 2 + = 0 Sol. Geral: ln + +

    +=

    3) cos

    = cos

    Sol. Geral:

    = ln

    4) = 2 Sol. Geral: = /()

    5) = + Sol. Geral: ln + +arctan(/) =

    6) = 4 +

    +

    2; 1 = 2

    Sol. Particular: arctan(/2) = ln + /4 24

  • Equaes Homogneas

    25

    Observaes: Caso M(x,y) e N(x,y) sejam funes de trinmios lineares

    em x e y, ou seja

    (1)

    Teremos de analisar se os coeficientes a1, a2, b1 e b2 so proporcionais

    ou no.

    0)()( 222111 dycybxadxcybxa

  • Equaes Homogneas

    26

    1 caso:

    Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 so proporcionais , ie,

    Substituindo em (1):

    (2)

    A transformao

    reduz (2) forma de uma equao de variveis separveis.

    0)(])([ 222122 dycybxadxcybxaR

    022

    11

    ba

    ba

    21212

    1

    2

    1 e RbbRaaRb

    b

    a

    a

    2

    222 ;

    b

    dxadtdyybxat

  • Equaes Homogneas

    27

    Exemplo 1 caso:

    + + + + =

  • Equaes Homogneas

    28

    2 caso:

    Os coeficientes a1, a2, b1 e b2 no so proporcionais , ie,

    A transformao

    onde h e k so coordenadas da soluo do sistema

    reduz (1) forma de uma equao homognea.

    022

    11

    ba

    ba

    dYdy

    dXdx

    kYy

    hXx

    0

    0

    222

    111

    cybxa

    cybxa

  • Equaes Homogneas

    29

    Exemplo 2 caso:

    + + + =

    Transformao:

    h e k so coordenadas da soluo do sistema

    = 3; = 1

    reduz forma de uma equao homognea.

    1 11 1 2 0

    1 1

    dYdy

    dXdx

    kYy

    hXx

    2 0

    4 0

    h k

    h k

    + = 0

  • Equaes Homogneas

    30

    Exemplo 2 caso:

    + = 0 Eq. Homognea de Grau 1

    = ; = + Substituio:

    ( + ) + = 0

    1 2 + 2 = 0

    1

    2+1 +

    = 0 tan1 +

    1

    2ln |2 + 1| + ln || =

    tan1

    +

    1

    2ln |

    2+2

    2| + ln || = tan

    1 3

    +1+ ln | ( 3)2+( + 1)2| =

  • Equaes de Bernoulli

    31

    Seja a equao diferencial:

    + = , (1)

    Onde

    E.D. No linear

    Note que: = 0 = 1 a equao se torna linear. Para 0 1, a substituio = 1 reduz qualquer equao

    da forma (1) a uma equao