1
Sumario
1 Equacoes diferenciais ordinarias 3
1.1 Equacoes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Caso de matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Solucoes e conjugacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Teoria geral de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Exponencial de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Autovalores com autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Solucao de sistemas lineares usando forma canonica de Jordan . . . . . . . 25
1.4 Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Solucoes maximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Classificacao de sistemas planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.1 Classificacao por conjugacao topologica . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 EDO e sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.8 Dependencia das solucoes em relacao as condicoes iniciais e parametros . . 35
1.8.1 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9 Elementos da teoria qualitativa das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . 41
1.9.1 Campos vetoriais e fluxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2
Capıtulo 1
Equacoes diferenciais ordinarias
Definicao 1 (Equacao diferencial ordinaria em Rn). Sejam f : U → Rn, U aberto de
R × Rn, (t, x) ∈ U onde t ∈ R, x ∈ Rn, x : I → Rn onde I e um intervalo aberto de R,
x = x(t) sendo tambem chamada de caminho. Uma equacao da forma
x′(t) = f(t, x)
e uma equacao diferencial ordinaria em Rn, definida por f , no caso queremos encontrar
x que satisfaca a equacao acima. t em f(t, x) e dita ser a variavel temporal. Tal equacao
x′ = f(t, x) e dita ser equacao vetorial, no caso de funcoes reais dizemos que a equacao e
escalar.
Podemos denotar x(t) = (xk(t))n1 e f(t, x) = (fk(t, x))
n1 onde cada xk : I → R,
fk(t, x) : U → R sao as funcoes coordenadas. A derivada x′(t) consiste em derivar
coordenada-a-coordenada
x′(t) = (x′k(t))n1
equiparando com o lado direito, temos o sistema
x′1(t) = f1(t, x1(t), · · · , xn(t))
x′2(t) = f2(t, x1(t), · · · , xn(t))...
x′n(t) = fn(t, x1(t), · · · , xn(t))
3
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 4
Entao a equacao diferencial vetorial x′ = f(t, x) e equivalente a um sistema de equacoes
diferenciais escalares. x′ = f(t, x) e ainda chamada de equacao de primeira ordem por
envolver apenas a derivada primeira de x. Diremos tambem que x′ e uma velocidade.
Corolario 1. Segue da interpretacao da equacao diferencial por meio de sistema que a
existencia e unicidade de solucoes de sistema de equacoes diferenciais em R equivale a
existencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais vetoriais em Rn.
Definicao 2 (Solucao de equacao diferencial). Uma solucao para equacao diferencial
x′(t) = f(t, x) e um caminho derivavel x : I → R que satisfaz a primeira equacao, x
tambem pode ser chamado de curva integral.
Em termos de sistemas, uma solucao consiste em n funcoes xj : I → R derivaveis, tais
que
x′j(t) = fj(t, x1(t), · · · , xn(t)).
Definicao 3 (Condicao inicial). Dada um solucao de uma equacao diferencial x′ = f(t, x)
dizemos que x(t0) = x0 e uma condicao inicial, um problema de valor inicial e achar
x : I → Rn com x′ = f(t, x) e x(t0) = x0.
Uma condicao inicial para o sistema e dada por
x1(t0) = x1, x2(t0) = x2, · · · , xn(t0) = xn.
Definicao 4 (Equacao diferencial autonoma e campo de vetores). E uma equacao do tipo
x′ = f(t, x) onde f(t, x) = f(x), a funcao nao depende de t.
Nesse caso interpretamos f : E → Rn como um campo de vetores, E ⊂ Rn.
Definicao 5 (Equacao diferencial nao-autonoma). E uma equacao do tipo x′ = f(t, x)
onde f(t, x) depende de t.
Definicao 6 (Equacao diferenciais normais). Sao equacoes do tipo x′ = f(t, x) onde e
possıvel explicitar x′ em funcao de (t, x).
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 5
Definicao 7 (Equacao diferencial de ordemm). Uma equacao diferencial de ordem ordem
m em Rn, e uma equacao do tipo
y(m) = g(t, y, y(1), · · · , y(m−1))
onde g e definida em um aberto U ⊂ R×Rn × · · ·Rn︸ ︷︷ ︸n vezes
onde y(k) e a k-esima derivada em
relacao a t, y : I → Rn
Propriedade 1. Toda equacao de ordem m, pode ser escrita como uma equacao diferen-
cial de ordem 1.
Demonstracao.
Definimos o sistema
x′1(t) = x2(t)
x′2(t) = x3(t)...
x′m−1(t) = xm(t)
x′m(t) = g(t, x1(t), · · · , xm(t))
com isso temos x′m(t) = xm1 (t), tomando x1(t) = y(t), fazemos o sistema de ordem m
recair em um sistema de ordem 1
x′(t) = f(t, x)
x(t) = (x1(t), x2(t), · · · , xm(t))
f(t, x) = (x2(t), x3(t), · · · , xm(t), g(t, x1(t), · · · , xm(t)) )
as igualdades conseguimos derivando termo-a-termo x(t) e equiparando com f(t, x).
Propriedade 2. Um sistema nao-autonomo pode ser reduzido a um sistema autonomo.
Demonstracao. Sendo uma equacao nao-autonoma x′ = f(t, x), f : U → Rn,
definimos y = (t, x) ∈ U ⊂ R×Rn, definimos g : U → Rn+1 com
g(y) = g(t, x) = (1, f(t, x))
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 6
e a equacao y′ = g(y) que resulta em (1, x′) = (1, f(t, x)).
Com isso temos que a existencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais veto-
riais dependentes da variavel temporal e equivalente a existencia e unicidade de solucoes
de equacoes diferenciais vetoriais sem dependencia na variavel temporal t.
Como os casos citados recaem sobre o estudo da equacao autonoma x(t) = f(x), vamos
dar enfase ao estudo desse tipo de equacao.
1.1 Equacoes diferenciais lineares
Definicao 8 (Campos lineares). Campos lineares sao funcoes do tipo
f(x) = Ax
onde A = (ak,j)n×n e x e o vetor coluna n× 1.
Definicao 9 (Equacao diferencial linear). Uma equacao diferencial linear e uma equacao
do tipo x′ = A(x)
x′(t) = Ax(t),
que pode ser vista como
x′1(t)
x′2(t)
...
x′n(t)
=
a1,1 a1,2 · · · a1,n... · · · · · · ...
an,1 an,2 · · · an,n
x1(t)
x2(t)
...
xn(t)
efetuando a multiplicacao temos o sistema
x′1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t) + · · ·+ a1,nxn(t)
x′2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t) + · · ·+ a2,nxn(t)
...
x′n(t) = an,1x1(t) + an,2x2(t) + · · ·+ an,nxn(t)
Nesta secao iremos em geral considerar matrizes com entradas reais.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 7
Teorema 1. Se A = (ak,j)n×n e uma matriz real, entao para cada x0 ∈ Rn existe uma
unica solucao do problema de valor inicial
x′(t) = Ax, x(0) = x0.
Demonstracao.
Propriedade 3. O conjunto de todas solucoes de x′ = A(x) e um espaco vetorial, su-
bespaco de F (R,Rn).
Demonstracao.
• x(t) = 0v e solucao da equacao pois x′(t) = 0v, A(0v) = 0v, logo temos a equacao
diferencial satisfeita.
• Se s1(t) e s2(t) sao solucoes de x′ = A(x) entao s1(t) + cs2(t) e solucao onde c ∈ R
qualquer. Temos s′1(t) = As1(t), s′2(t) = As2(t), c ∈ R entao cs′2(t) = cAs2(t) =
Acs2(t) portanto cs2(t) e solucao, juntando tais fatos temos
A(s1(t) + cs2(t)) = As1(t) + cAs2(t) = s′1(t) + s′2(t)
logo s1(t) + cs2(t) e solucao, como querıamos demonstrar.
Corolario 2. Por unicidade de solucao se x(t′) = 0 para algum t′ ∈ R entao x(t) = 0 ∀t ∈
R por unicidade de solucao.
1.1.1 Caso de matriz diagonal
Propriedade 4. Se A e uma matriz diagonal, A = d(λ1, · · ·λn) entao a solucao de
x′(t) = Ax(t)
e da forma
x(t) = (x1eλ1t, x2e
λ2t, · · · , xneλnt)
onde x(0) = (t1, t2, · · · , tn) em outra notacao
x(t) = d(eλ1t, eλ2t, · · · , eλnt)x0.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 8
Demonstracao. Pelo produto das matrizes Ax = x′(t) temosx′1(t)
x′2(t)...
x′n(t)
=
λ1 0 · · · 0... · · · · · · ...
0 0 · · · λn
x1(t)
x2(t)...
xn(t)
efetuando a multiplicacao temos o sistema
x′1(t) = λ1x1(t)
x′2(t) = λ2x2(t)...
x′n(t) = λnxn(t)
cada uma das equacoes diferenciais pode ser resolvida, resultando em xk(t) = ckeλkt ,
usando xk(0) = tk, temos ck = tk entao a solucao e da forma como querıamos
x(t) = (t1eλ1t, t2e
λ2t, · · · , tneλnt).
1.1.2 Solucoes e conjugacao
Propriedade 5. Se Q conjuga as matrizes reais A e B de Mn×n, isto e, A = QBQ−1,
entao sao equivalentes
1. y(t) e uma solucao de y′ = By
2. x(t) = Qy(t) e uma solucao de x′ = Ax.
Demonstracao.
1. 1) ⇒ 2). Vamos mostrar que se y(t) e uma solucao de y′ = By entao x(t) = Qy(t)
e uma solucao de x′ = Ax. Derivamos x(t) = Qy(t)
x1(t)
x2(t)...
xn(t)
=
c1,1 c1,2 · · · c1,n... · · · · · · ...
cn,1 cn,2 · · · cn,n
y1(t)
y2(t)...
yn(t)
=
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 9
=
c1,1y1(t) + · · · c1,ny1(t)c2,1y2(t) + · · · c2,ny2(t)
...
cn,1yn(t) + · · · cn,nyn(t)
derivando temos
c1,1y′1(t) + · · · c1,ny′1(t)
c2,1y′2(t) + · · · c2,ny′2(t)
...
cn,1y′n(t) + · · · cn,ny′n(t)
=
c1,1 c1,2 · · · c1,n... · · · · · · ...
cn,1 cn,2 · · · cn,n
y′1(t)
y′2(t)...
y′n(t)
= Qy′(t)
lembrando que AQ = QB e y′(t) = By(t) temos
x′(t) = Qy′(t) = QBy(t) = AQy(t) = Ax(t)
como querıamos demonstrar.
2. 2) ⇒ 1). Vamos provar que se x(t) = Qy(t) e uma solucao de x′(t) = Ax(t) entao
y(t) e uma solucao de y′(t) = By(t). Temos
Qy′(t) = AQy(t)
como AQ = QB tem-se
Qy′(t) = QBy(t) ⇒ y′(t) = QBy(t)
pois Q e invertıvel, logo provamos a equivalencia.
Propriedade 6. Seja A ∈Mn matriz diagonalizavel, isto e, A = QDQ−1 comD diagonal.
1. Se D possui todos elementos na diagonal negativos entao x(t), solucao de x′(t) =
Ax(t) satisfaz
limt→∞
x(t) = 0.
2. Se D possui todos elementos na diagonal positivos distintos, A nao nulo e y(0) nao
possuir coordenada nula entao
limt→∞
|x(t)| = ∞.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 10
3. Cada coordenada xk satisfaz equacao diferencial linear de ordem n .
Demonstracao.
1. Seja y(t) solucao de y′(t) = Dy(t), ela e da forma y(t) = (c1eλ1t, · · · , cneλnt), onde
D =
λ1 · · · 0... · · · 0
0 · · · 0
.
A solucao de x′(t) = Ax(t) e x(t) = Qy(t),a1,1 · · · a1,n... · · · ...
an,1 · · · an,n
c1eλ1t
...
cneλnt
=
a1,1c1e
λ1t + · · ·+ a1,ncneλnt
...
an,1c1eλ1t + · · ·+ an,ncne
λnt
=
x1(t)...
xn(t)
.
logo o limite em qualquer coordenada tende a zero, pois
xk(t) = ak,1c1eλ1t + · · ·+ ak,ncne
λnt
onde cada parcela tende a zero pois eλkt → 0 quando t → ∞, se os coeficientes sao
nulos nao se altera o resultado.
2. Tem-se que
xk(t) = ak,1c1eλ1t + · · ·+ ak,ncne
λnt
tomando λs o maior valor entre os (λk)n1 que esteja associado a constante ak,s = 0 ,
colocamos em evidencia
|xk(t)| = |eλst||ak,1c1e(λ1−λs)t + · · ·+ ak,scs + · · ·+ ak,ncne(λn−λs)t|
onde |ak,1c1e(λ1−λs)t + · · · + ak,scs + · · · + ak,ncne(λn−λs)t| e limitada pois possuem
termos que tendem a zero e o termo ak,ncn nao e nulo, por isso a expressao tambem
nao se anula, como |eλst| tende a infinito entao |xk(t)| tambem, sendo que isso vale
para qualquer coordenada de x(t).
3. Temos que
xk(t) = ak,1c1eλ1t + · · ·+ ak,ncne
λnt
aplicando o operador (D−λ1) · · · (D−λk) anulamos xk(t), logo ele satisfaz equacao
diferencial de ordem n.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 11
1.2 Teoria geral de sistemas lineares
1.2.1 Exponencial de matrizes
Definicao 10 (Exponencial de matriz). Dada A ∈ Mn(C), definimos a sua exponencial
como a matriz n× n simbolizada por eA, definida como
eA =∞∑k=0
Ak
k!
que tambem pode ser denotada por exp(A).
Propriedade 7. Dada A ∈Mn(C) entao∞∑k=0
Ak
k!converge no espaco normado Mn(C).
Demonstracao. Temos que
∞∑k=0
||Ak
k!|| ≤
∞∑k=0
||A||k
k!= e||A||
logo a serie∞∑k=0
Ak
k!converge absolutamente e portanto converge em Mn(C).
Corolario 3. Sendo A = 0 a matriz nula, temos
e0 =∞∑k=0
0k
k!=
00
0!+
∞∑k=1
0k
k!︸ ︷︷ ︸0
= I
pois 00 = I a matriz identidade.
Corolario 4. Se A e a matriz diagonal A =
λ1 · · · 0
0. . . 0
0 · · · λn
, temos que
eA =∞∑k=0
λk1k!
· · · 0
0. . . 0
0 · · · λknk!
=
∞∑k=0
λk1k!
· · · 0
0. . . 0
0 · · ·∞∑k=0
λknk!
=
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 12
=
eλ1 · · · 0
0. . . 0
0 · · · eλn
.
Em especial
eI =
e1 · · · 0
0. . . 0
0 · · · e1
= eI
e novamente tiramos que e0 = I.
Corolario 5. Seja a matriz n× n
Gc(n) =
0 0 · · · 0
c 0 · · · 0
... · · · · · · 0
0 · · · c 0
tal matriz e nilpotente e vale Gc(n)
n = 0. Podemos calcular sua exponencial, sendo que
sua serie trunca
eGc(n) =n−1∑k=0
Gc(n)k
k!
calculando as potencias de tal matriz e somando podemos simplificar como
eGc(n) =
1 0 · · · 0
c 1 · · · 0
(c2
2!)︸︷︷︸
...
· · · · · · 0
cn−1
(n− 1)!· · · c
2
2!c 1
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 13
Exemplo 1. Obter a exponencial de A =
0 b
−b 0
. Podemos provar por inducao que
0 b
−b 0
2k
= (−1)k
b2k 0
0 b2k
0 b
−b 0
2k+1
= (−1)k
0 b2k+1
−b2k+1 0
logo
eA =∞∑k=0
A2k
(2k)!+
∞∑k=0
A2k+1
(2k + 1)!=
=
∞∑k=0
(−1)kb2k
(2k)!
∞∑k=0
(−1)kb2k+1
(2k + 1)!
−∞∑k=0
(−1)kb2k+1
(2k + 1)!
∞∑k=0
(−1)kb2k
(2k)!
=
cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)
.
Propriedade 8. Se A,B,Q ∈Mn tais que AQ = QB entao eAQ = QeB. Em especial se
A e B sao conjugadas entao eA e eB tambem o sao.
Demonstracao. De AQ = QB temos por inducao que vale AsQ = QBs ∀s ∈ N , logo
eAQ = (limn∑k=0
Ak
k!)Q = lim
n∑k=0
AkQ
k!= lim
n∑k=0
QBk
k!= QeB.
Corolario 6. Se Q ∈Mn invertıvel com A = QBQ−1 entao
eA = eQBQ−1
= QeBQ−1
pois
AQ = QB ⇒ eAQ = QeB ⇒ eA = QeBQ−1.
Se as matrizes sao conjugadas basta calcular a exponencial de uma das matrizes a da
outra e obtida por produto com Q e Q−1.
Propriedade 9. Sejam A,B ∈Mn entao et(A+B) = etAetB∀t ∈ R ⇔ AB = BA.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 14
Demonstracao. ⇐).
Vale que (AB)k = AkBk = BkAk
etAetB = (∞∑k=0
tkAk
k!)(
∞∑k=0
tkBk
k!) =
∞∑k=0
cktk
onde
ck =k∑s=0
Ak−sBs
(k − s)!s!=
k∑s=0
k!Ak−sBs
(k − s)!s!k!=
k∑s=0
(k
s
)Ak−sBs
k!=
(A+B)k
k!
o binomio de Newton pode ser aplicado pois A e B comutam, entao
etAetB =∞∑k=0
(A+B)k
k!tk = et(A+B).
⇐).
Supondo a igualdade, derivando de ambos lados temos
(A+B)et(A+B) = AetAetB + etABetB
derivando novamente
(A+B)(A+B)et(A+B) = A2etAetB + AetABetB + AetABetB + etAB2etB
tomando t = 0 tem-se
(A+B)(A+B) = A2 + AB + AB +B2 = A2 + AB +BA+B2 ⇒ AB = BA
como querıamos demonstrar.
Propriedade 10. Vale que
||eA −p∑
k=0
Ak
k!|| ≤ e||A|| −
p∑k=0
||A||k
k!≤ ||A||p+1e||A||,
p ∈ N e A ∈Mn.
Demonstracao.
||eA −p∑
k=0
Ak
k!|| = ||
∞∑k=p+1
Ak
k!|| ≤
∞∑k=p+1
||A||k
k!= e||A|| −
p∑k=0
||A||k
k!
temos ainda que
∞∑k=p+1
||A||k
k!=
||A||p+1
(k + p+ 1) · · · (k + 1)
∞∑k=0
||A||k
k!≤ ||A||p+1e||A||.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 15
Corolario 7. Em especial no resultado anterior com p = 0 temos
||eA − I|| ≤ e||A|| − I ≤ ||A||e||A||,
caso p = 1
||eA − I − A|| ≤ e||A|| − 1− |A| ≤ ||A||2e||A||.
Propriedade 11. Seja x : R → Mn um caminho contınuo de matrizes que e derivavel
em 0 ∈ R, com X(0) = I e x(t + u) = x(t)x(u) ∀t, u ∈ R entao x e derivavel em R com
x′(t) = x′(0)x(t).
Demonstracao.
Consideramos a expressao, com t ∈ R arbitrario fixo
x(t+ h)− x(t)− x′(0)x(t)h
h=
usamos que x(t+ h) = x(h+ t) = x(h)x(t), substituindo tem-se
=x(h)x(t)− x(t)− x′(0)x(t)h
h=
[x(h)− I]x(t)− x′(0)x(t)h
h=
=[x(h)− I − x′(0)(h)]
hx(t) +
x′(0)hx(t)
h− x′(0)x(t)(h)
h=
=[x(h)− I − x′(0)(h)]
hx(t) → 0
quando h→ 0 pois x(s) e derivavel em s = 0, entao vale realmente x′(t) = x′(0)x(t).
Propriedade 12. Dada A ∈Mn, x(t) : R →Mn com x(t) = etA vale que
x(t+ u) = x(t)x(u) ∀t, u ∈ R.
Demonstracao. Temos que
n∑r=0
(tA)r
r!
n∑s=0
(uA)s
s!=
2n∑k=0
ckAk
onde
ck =k∑s=0
tsuk−s
(s)!(k − s)!(k − s)!=
k∑s=0
(k
s
)tsuk−s
(k)!=
(t+ u)k
k!
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 16
onde essa expressao e dada pelo regra do produto de polinomios, entao
n∑r=0
(tA)r
r!
n∑s=0
(uA)s
s!=
2n∑k=0
(t+ u)k
k!Ak
com n→ ∞ todos expressoes com somatorio convergem tomando o limite temos
∞∑r=0
(tA)r
r!
∞∑s=0
(uA)s
s!=
∞∑k=0
(t+ u)k
k!Ak ⇒
e(t+u)A = etAeuA.
Corolario 8. Em especial vale que
e(t+u)A = etAeuA = euAetA
as expressoes comutam, pois t+ u = u+ t.
Propriedade 13. Sejam A ∈ Mn, x0 ∈ Rn, X : R → Mn com X(t) = etA, x : R → Rn
com x(t) = X(t)x0 = etAx0, entao x e X sao derivaveis e vale
d(etA)
dt= AetA ∈Mn
d(etAx0)
dt= AetAx0 ∈ Rn.
Demonstracao. Dados A ∈ Mn e t ∈ R temos ||tA|| = |t| ||A||, temos por desigual-
dade de exponencial que
|| etA︸︷︷︸X(t)
− I︸︷︷︸X(0)
− tA︸︷︷︸A(t)
|| ≤
1
|t|||tA||2e||tA|| = |t| ||A||2e|t| ||A|| ≤ |t|||A||2e||A||
com |t| < 1, onde usamos desigualdade que ja demonstramos para exponencial. Dessa
desigualdade tem-se que X ′(0) = A por definicao de derivada. Como temos
X(t+ u) = X(t)X(u)
tem-se que X(t) e derivavel valendo
X ′(t) = X ′(0)X(t) = AX(t)
por aplicacao em x0 segue que x(t) = X(t)x0 e derivavel em R e x′(t) = Ax(t).
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 17
Corolario 9. Se A ∈ Mn e x0 ∈ Rn entao o caminho x(t) = etAx0, t ∈ R define a unica
solucao de x′ = Ax com condicao inicial x(0) = x0.
Propriedade 14. Se A,B ∈ Mn tais que AB = BA entao eA+B = eAeB. Vejamos outra
demonstracao dessa propriedade usando unicidade de solucao de equacao diferencial.
Demonstracao. Como BA = AB entao B(tA) = (tA)B, daı por resultado que ja
mostramos tem-se BetA = etAB. Fixamos x0 ∈ Rn, definindo
x(t) = etAetBx0
a regra da derivada do produto garante que
x′(t) = AetAetBx0 + etABetBx0 = AetAetBx0 +BetAetBx0 = (A+B)x(t)
alem disso x(0) = x0, logo x(t) e solucao de x′ = (A+B)x com condicao inicial x(0) = x0,
porem et(A+B)x0 e a unica solucao desta equacao, disso segue
etAetBx0 = et(A+B)x0
tomando t = 1 segue eAeBx0 = e(A+B)x0, como x0 e arbitrario, os dois operadores devem
ser identicos, por isso
eA+B = eAeB.
Corolario 10.
eAe−A = eA−A = e0 = I
entao eA e sempre invertıvel com inversa e−A.
Exemplo 2. Mostre que se u nao e autovalor de A entao a equacao x′ = Ax+eutb, possui
uma solucao da forma ϕ(t) = veut. Onde b ∈ Rn, u, t reais, logo eut e a exponencial real.
Substituımos ϕ(t) = veut na equacao diferencial para encontrar v.
uveut = Aveut + eutb⇒ (u− A)veut = eutb⇒ (u− A)v = b
como u nao e autovalor de A det(u−A) = 0 logo u−A e invertıvel v = (u−A)−1b, entao
realmente existe ϕ(t) = veut solucao da equacao.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 18
Propriedade 15. Seja V < Rn, A-invariante. Entao V e etA invariante para qualquer
t ∈ R fixo .
Demonstracao. Como V e A invariante e subespaco de Rn, entao e invariante portkAk
k!e soma de aplicacoes desse operador, por isso ∀n temos
n∑k=0
(tA)k
k!(v) ∈ V ∀v ∈ V
como subespacos vetoriais sao fechados a propriedade se mantem na passagem do limite
∞∑k=0
(tA)k
k!(v) ∈ V ∀v ∈ V.
Propriedade 16. Sejam A ∈Mn, S ⊂ F (R,Rn) espaco de todas as solucoes de x′ = Ax.
Definimos T : S → Rn com T (x) = x(0). Nessas condicoes T e linear, sobrejetora e
injetora, portanto e um isomorfismo e daı dimS = n.
Demonstracao.
T e linear, pois sendo x1, x2 ∈ S, c ∈ R tem-se
T (cx1 + x2) = (cx1 + x2)(0) = cx1(0) + x2(0) = cT (x1) + T (x2).
T e sobrejetora pois dado x0 ∈ Rn a equacao x′ = Ax com x(0) = x0 possui solucao,
por condicao de existencia, portanto existe x ∈ S tal que T (x) = x0 = x(0).
T e injetora, suponha que T (x) = T (y), x, y ∈ S entao x(0) = y(0) ambas sendo
solucao de z′ = Az, por unicidade de solucao segue que x = y, pois coincidem na condicao
inicial.
Disso concluımos que T e isomorfismo entao dimS = n.
Propriedade 17. Sejam A ∈ Mn, (vk)n1 base de Rn, (sk)
n1 : R → Rn as solucoes de
x′ = Ax com sk(0) = vk, k ∈ In. Entao (sk)n1 e LI em S ⊂ F (R,Rn) (espaco das solucoes
de x′ = Ax), qualquer solucao de x′ = Ax e combinacao linear de (sk)n1 .
Demonstracao. Temos que a transformacao T : S → Rn com T (s) = s(0) e um
isomorfismo entao ela leva base de S em base de Rn e sua inversa T−1 : Rn → S leva base
de Rn em base de S, como a imagem de (sk)n1 e (vk)
n1 base de Rn, entao (sk)
n1 e base de
S. Por isso tal conjunto gera S, espaco das solucoes sendo tambem LI.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 19
Propriedade 18. Se A e idempotente, entao
eA = I + (e− 1)A.
Demonstracao. A e idempotente, isto e, A2 = A, Ak = A para k > 0 entao
eA = I + A∞∑k=1
1
k!= I + A(e− 1).
Exemplo 3. De exemplo de matrizes A e B tais que eA+B = eAeB. Tomamos matrizes
que nao comutam no produto.
A =
1 0
0 0
, B =
0 0
1 0
1 0
0 0
0 0
1 0
=
0 0
0 0
0 0
1 0
1 0
0 0
=
0 0
1 0
portanto elas nao comutam. B e nilpotente com B2 = 0, entao
eB =
1 0
1 1
= I +B.
A e idempotente A2 = A, entao
eA = I + (e− 1)A =
e 0
0 1
A+B =
1 0
1 0
A+B e idempotente logo
eA+B = I + (e− 1)(A+B) =
e 0
e− 1 1
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 20
porem temos
eAeB =
e 0
0 1
1 0
1 1
=
e 0
1 1
= eA+B.
Portanto nao vale eA+B = eAeB, neste caso.
Exemplo 4. Calcule a exponencial da matriz a b
0 a
.
Escrevemos a b
0 a
=
a 0
0 a
+
0 b
0 0
.
as duas matrizes comutam no produto, dando em qualquer ordem 0 ab
0 0
A =
0 b
0 0
satisfaz A2 = 0 entao
eA =
1 0
0 1
+
0 b
0 0
=
1 b
0 1
a outra matriz possui exponencial
e
ea 0
0 ea
usando que eA+B = eAeB quando A e B comutam, temos o resultado desejado multipli-
cando as matrizes, resultando em ea bea
0 ea
.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 21
Exemplo 5. Calcule a exponencial da matriz
a b
−b a
.
Separamos a matriz como a soma a b
−b a
=
a 0
0 a
+
0 b
−b 0
sendo que as parcelas comutam (primeira chamamos de A, segunda de B) 0 b
−b 0
a 0
0 a
=
0 ab
−ab 0
=
a 0
0 a
0 b
−b 0
entao
eA+B = eA.eB =
ea 0
0 ea
cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)
=
= ea
cos(b) sen(b)
−sen(b) cos(b)
.
1.2.2 Autovalores com autovetores
Propriedade 19. Seja v ∈ Rn um autovetor de A ∈Mn com autovalor λ ∈ R entao
x(t) = eλtv, t ∈ R
e a solucao de x′ = Ax com x(0) = v.
Demonstracao.
Derivamos x(t) = eλtv, obtemos
x′(t) = λeλtv = eλtλv = eλtA = A(x(t))
alem disso x(0) = eλ0v = v que satisfaz a condicao inicial e a equacao diferencial entao
tal expressao fornece a solucao por unicidade.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 22
Propriedade 20. Se v ∈ Rn e um autovetor de A ∈ Mn e x : R → Rn e solucao
de x′ = Ax tal que x(t′) ∈ av ∈ Rn |a ∈ R = s(v), para algum t′ ∈ R entao
x(t) ∈ S(v) ∀t ∈ R.
Demonstracao. Temos x(t′) = av para algum a real, x′ = Ax, a solucao de tal
equacao com condicao inicial e
x(t) = eλ(t−t′)av,
pois, derivando
x′(t) = λeλ(t−t′)av = eλ(t−t
′)aλv = eλ(t−t′)aAv = A(eλ(t−t
′)av) = Ax(t),
alem disso x(t′) = av, como a solucao e unica tem-se x(t) = eλ(t−t′)av ∈ S(v).
Exemplo 6. Em um sistema
x′1(t)
x′2(t)
=
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
x1(t)
x2(t)
x1(t) e x2(t) satisfazem equacoes diferenciais lineares de ordem 2. Por exemplo x1
satisfaz
x′′1 = (a1,1 + a2,2)x′1 + (a1,2a2,1 + a2,2a1,1)x1.
Propriedade 21. Suponha que A ∈Mn possui um autovalor real λ < 0 entao a equacao
x′ = Ax possui pelo menos uma solucao x(t) nao trivial tal que
limt→∞
x(t) = 0.
Demonstracao.
Seja v0 autovetor associado a λ entao x′ = Ax, A(0) = v0 possui solucao da forma
x(t) = eλtv0,
pois x(0) = v0 e derivando
x′(t) = λeλtv0 = eλtλv0 = eλtAv0 = A(eλtv0) = Ax(t)
portanto e realmente solucao, ainda temos que limt→∞
eλtv0 = 0 por dominacao da exponen-
cial em cada coordena do vetor solucao.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 23
Propriedade 22. Todas as solucoes x(t) de x′ = Ax tendem a 0 ∈ Rn quando t→ ∞ se
A ∈Mn e diagonal e todas suas entradas sao negativas.
Demonstracao.
A equacao diferencial e da formax′1(t)...
x′n(t)
=
−λ1 · · · 0... · · · 0
0 · · · −λn
x1(t)...
xn(t)
entao em cada coordenada temos x′k(t) = −λkxk que possui solucao da forma xk(t) =
e−λktxk(0), com cada λk > 0, portanto cada coordenada tende a zero e daı x(t) → 0.
Propriedade 23. Seja A ∈ Mn. Se λ e um autovalor de A associado a v entao eλ e um
autovalor de eA associado a v.
Demonstracao. Sabemos que A(v) = λv, v = 0
eAv = (∞∑k=0
Ak
k!)v =
∞∑k=0
Akv
k!=
∞∑k=0
λkv
k!= eλv
como querıamos demonstrar.
Exemplo 7. De um exemplo de uma matriz A tal que eA tenha algum autovalor real
negativo.
Seja A =
0 π
−π 0
, sua exponencial e
eA =
cos(π) sen(π)
−sen(π) cos(π)
=
−1 0
0 −1
que possui autovalor −1, perceba que −1 = eiπ, iπ e autovalor de A sobre C.
Propriedade 24. Seja A ∈Mn tal que ||A− I|| < 1, entao A e invertıvel e
∞∑k=0
(I − A)k
converge absolutamente para A−1.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 24
Demonstracao. Denotaremos b = ||A− I|| < 1
|x| = |I(x)| = |(I − A)x+ A(x)| ≤ |(A− I)(x)|+ |A(x)| ≤ ||A− I|||x|+ |A(x)| ⇒
(1− b)︸ ︷︷ ︸>0
|x| < |A(x)|
1− b > 0 pois b < 1. Portanto A(x) se anula ⇔ x = 0, A e injetora portanto sobrejetora
e bijetora (dimensao finita).
A serie converge absolutamente pois ||I−A|| < 1 a norma dos termos da serie converge
por serie geometrica.
[(I − A)− I]n−1∑k=0
(I − A)k =n−1∑k=0
[(I − A)k+1 − (I − A)k] = (I − A)n − I,
por soma telescopica, logo
An−1∑k=0
(I − A)k = I − (I − A)n ⇒ An−1∑k=0
(I − A)k − I = −(I − A)n ⇒
||An−1∑k=0
(I − A)k − I|| = ||(I − A)||n → 0
com n grande, entao
A
∞∑k=0
(I − A)k = I ⇒∞∑k=0
(I − A)k = A−1.
Propriedade 25. Se temos solucao y de y′ = By com y(0) = Q−1x0 onde x′ = Ax,
AQBQ−1 entao temos a solucao de x′ = Ax com x(0) = x0 dada por Qy(t).
Demonstracao. A solucao de x′ = Ax com x(0) = x0 e x(t) = eAtx0 como At =
QBtQ−1 entao eAt = QeBtQ−1 de y(t) = eBty0 = eBtQ−1x0 multiplicando por Q a
esquerda, tem-se
Qy(t) = (QeBtQ−1)︸ ︷︷ ︸eAt
x0 = eAtx0.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 25
1.3 Solucao de sistemas lineares usando forma canonica
de Jordan
Propriedade 26. Sejam
B =
A1 · · · 0
... · · · ...
0 · · · Am
onde cada Ak e um bloco, B e matriz diagonal em bloco, entao temos
eB =
eA1 · · · 0
... · · · ...
0 · · · eAm
a exponencial de uma matriz em blocos e obtida tomando a exponencial de cada bloco
ao longo da diagonal.
Demonstracao.
1.4 Teorema de Picard
Teorema 2 (Teorema de Picard). Considere o problema
X ′(t) = f(t, x)
x(t0) = x0
onde f e limitada, contınua e Lipschitz na segunda variavel em Ia × Bb[x0] onde Ia =
[t0 − a, t0 + a],
Bb[x0] = x ∈ Rn | |x− x0| ≤ b.
Entao existe uma unica solucao do problema em Iα onde α = mina, bM
, M e tal
que |f | ≤M.
Demonstracao. Sabemos que o problema e equivalente a resolver a equacao integral
x(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, x(s))ds
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 26
logo podemos definir o operador L : C0(Iα, Bb) → C0(Iα, Bb)
por
L(φ) = x0 +
∫ t
t0
f(s, φ(s))ds.
Logo nosso problema se reduz a encontrar um ponto fixo de L. Dado φ ∈ C0(Iα, Bb),
L(φ) e contınua, verificaremos que L(φ) : Iα → Bb
|L(φ)(t)− x0| = |∫ t
t0
f(s, φ(s))ds| ≤M |t− t0| ≤Mα ≤ b.
Como C0(Iα, Bb) e completo, basta ver que para algum m, Lm e contracao.
Vamos provar que para t ∈ Iα, temos
|Ln(φ1)(t)− Ln(φ2)(t)| ≤kn|t− t0|n
n!|φ1 − φ2|∞
lembrando que |φ1 − φ2|∞ = supt∈Iα
|φ1(t)− φ2(t)|. Provamos por inducao, para m = 0 vale
a desigualdade pois equivale a
|φ1(t)− φ2(t)| ≤ |φ1 − φ2|∞
suponha a validade para m entao, vamos provar para m+ 1
|Lm+1(φ1)(t)−m+1L (φ2)(t)| = |L(Lm(φ1))(t)− L(mL (φ2))(t)|
substituindo pela integral temos
|∫ t
t0
f(s, Lm(φ1)(s))ds−∫ t
t0
f(s, Lm(φ2)(s))ds| ≤
∫ t
t0
|f(s, Lm(φ1)(s))− f(s, Lm(φ2)(s))|ds ≤
usando a condicao de Lipschitz na segunda variavel
≤∫ t
t0
k|Lm(φ1)(s)− Lm(φ2)(s)|ds ≤
usamos agora a hipotese da inducao
≤ k
∫ t
t0
km|s− t0|m
m!|φ1 − φ2|∞ds =
km+1
m!|φ1 − φ2|∞
∫ t−t0
0
|s|mds ≤
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 27
≤ km+1
(m+ 1)!|φ1 − φ2|∞|t− t0|m+1
logo fica provado por inducao, alem disso temos que
|Ln(φ1)(t)− Ln(φ2)(t)| ≤knαn
n!|φ1 − φ2|∞
pois α e o comprimento do intervalo, Lm e contracao para m suficientemente grande, pois
para m grande temos 0 <knαn
n!|φ1 − φ2|∞ < 1, portanto L possui um unico ponto fixo e
o resultado esta provado.
Propriedade 27. Sejam Ω aberto em R×E, E ⊂ Rn, aberto . f : Ω → E contınua com
D2f contınua para todo ponto (t0, x0) ∈ Ω existe uma vizinhanca V = I(t0) × B[x0] tal
que x′ = f(t, x), x(t0) = x0 tem uma unica solucao em I(t0). Alem disso o grafico desta
solucao esta contido em V onde I(t0) e algum intervalo centrado em t0 e B(x0) alguma
bola de Rn centrada em x0.
Demonstracao. Seja U uma vizinhanca de (t0, x0) tal que f |U e lipschitziana na
segunda variavel e |f | ≤ M em U , pois a segunda derivada e contınua em um compacto
logo a funcao e lipschitz na segunda variavel. Seja α > 0 suficientemente pequeno tal que
V = Iα(t0) × Bb[x0] ⊂ U , onde b = αM , com isso estamos na condicao do teorema de
Picard, o que implica solucao unica.
Teorema 3 (Teorema de Peano). Dada f contınua e |f | < M em Ia[t0]×Bb[x0]. Nessas
condicoes existe pelo menos uma solucao de
x′ = f(t, x), x(t0) = x0
em Iα, onde α = mina, bM
(Notacoes como no teorema de Picard).
Demonstracao. Como f e contınua em Ia×Bb, existe uma sequencia (pn) de funcoes
de classe c∞ que converge uniformemente para f . (Basta aplicar o teorema de aproximacao
de Weierstrass em cada coordenada).
Agora considere o problema
(1)
x′ = pn(t, x)
x(t0) = x0
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 28
para n grande |pn| ≤M em Ia×Bb, (pn) e lipschitz, por ser C∞ em compacto. Assim
podemos aplicar o teorema de Picard, obtendo uma famılia (φn) de solucoes do problema
(1), temos que tal famılia e uniformemente limitada pois
|φn(t)− x0| ≤ b∀t ∈ Iα
e vale a equicontinuidade pois
|φn(t)− φn(t′)| = |x0 +
∫ t
t0
pn(s, φn(s))ds− x0 −∫ t′
t0
pn(s, φn(s))ds| =
= |∫ t
t′pn(s, φn(s))ds| ≤
∫ t
t′|pn(s, φn(s))|ds ≤M |t− t′|
para n maior que algum n0 ∈ N , perceba tambem que essa relacao nao depende de n, na
condicao de n > n0, portanto temos equicontinuidade. Denotaremos a subsequencia pela
mesma notacao (φn).
Como temos a sequencia uniformemente limitada ( logo simplesmente limitada) e
equicontınua, podemos aplicar o teorema de Arzela-Ascoli, garantindo a existencia de
uma subsequencia uniformemente convergente em C([a, b], Bb) para uma funcao φ.
Afirmamos que φ e uma solucao do problema original. De fato , para cada n ≥ n0
temos que
φn(t) = x0 +
∫ t
t0
pn(s, φn(s))ds
sabemos que φn →u φ, queremos mostrar que temos convergencia para
φ(t) = x0 +
∫ t
t0
f(s, φ(s))ds.
Para isso, iremos mostrar que pn(s, φn(s)) →u f(s, φ(s)).
|pn(s, φn(s))− f(s, φ(s))| ≤ |pn(s, φn(s))− f(s, φn(s))|+ |f(s, φn(s))− f(s, φ(s))| ≤
≤ |pn − f |∞︸ ︷︷ ︸norma do sup
+|f(s, φn(s))− f(s, φ(s))|
pela continuidade de f , dado ε > 0 existe δ > 0 tal que se |(s1, x1) − (s2, x2)| < δ ⇒|f(s1, x1)− f(s2, x2)| <
ε
2, e dado tal δ > 0, existe n1 ∈ N tal que n ≥ n1
|φn(s)− φ(s)| ≤ δ ∀s ∈ Iα
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 29
por convergencia uniforme de φn. Assim n ≥ n1 temos que
|f(s, φn(s))− f(s, φ(s))| < ε
2
por outro lado temos que existe n2 ∈ N tal que n ≥ n2 implica |pn − f |∞ <ε
2, logo para
n ≥ maxn1, n2 tem-se
|pn(s, φn(s))− f(s, φ(s))| < ε
2+ε
2= ε
como querıamos demonstrar.
1.5 Solucoes maximas
Definicao 11 (Solucao maxima). Uma solucao φ de
(1)
x′ = f(t, x)
x(t0) = x0
e dita maxima, definida em I , intervalo, chamado de intervalo maximo , se toda solucao
de (1), θ, definida em J com I ⊂ J e θ|I = φ implica que J = I. φ e maxima se nao
admite extensao que tambem e solucao de (1).
Propriedade 28. Seja f contınua em Ω ⊂ R × Rn, tal que para todo (t0, x0) ∈ Ω
exista uma unica solucao de x′ = f(t, x), x(t0) = x0. Definida em um intervalo aberto
I = I(t0, x0) (por exemplo se f e localmente lipschitz na segunda variavel ), entao para
todo (t0, x0) ∈ Ω existe uma unica solucao φ = φ(t, t0, x0) de x′ = f(t, x), x(t0) = x0,
definida em um intervalo M(t0, x0) = (w−(t0, x0), w+(t0, x0)) tal que toda solucao ψ de
x′ = f(t, x), x(t0) = x0 em I, satisfaz I ⊂M(t0, x0) e ψ = φ|I , isto e, a equacao diferencial
possui uma solucao maxima.
Demonstracao. Tomamos M(t0, x0) =∪
Iψ onde Iψ e o intervalo de definicao de
alguma solucao ψ de x′ = f(t, x), x(t0) = x0. Perceba que isso implica que para qualquer
solucao φ temos φ(t0) = x0 logo elas sempre possuem algum ponto em comum no domınio.
Se t ∈ Iψ, definimos φ(t) = ψ(t), tal definicao nao depende da φ usada, pois se existem
ψ1 e ψ2 que assumem mesmo valor para o mesmo t consideramos o conjunto
B = t ∈ Iψ1 ∩ Iψ2 | ψ1(t) = ψ2(t)
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 30
que e fechado por ser (ψ1 − ψ2)−1(0), imagem inversa de fechado por funcao contınua e
fechado. B ainda e aberto, pois para todo ponto t′ nele contem I(t′, ψ1(t′)) ∩ B , pela
existencia e unicidade das solucoes pois dado t′ ∈ B por hipotese existe uma unica solucao
de x′ = f(t, x), x(t′) = φ1(t′) = φ2(t
′) logo existe um intervalo aberto I com t′ no centro
tal que φ1|I = φ2|I e I ⊂ B. Como Iψ1 ∩ Iψ2 e conexo, por ser intervalo B e um conjunto
fechado e aberto em Iψ1 ∩ Iψ2 , logo vale que
B = Iψ1 ∩ Iψ2 .
Portanto a funcao esta bem definida. A uniao∪
Iψ := M e um intervalo pois os
intervalos dos quais estamos tomando a uniao Iψ sao nao disjuntos.
Sejam x, y emM com x < y, vamos mostrar que z tal que x < z < y tambem pertence
a M . Caso x < y < t0 temos um intervalo Iψ1 com x ∈ Iψ1 mas t0 pertence a todos esses
intervalos, logo (x, t0) ∈ Iψ1 isso implica que z entre x e y tambem, neste caso. Se temos
t0 < x < y entao existe Iψ1 com (t0, y) ∈ Iψ2 logo z tambem.
O ultimo caso e x < t0 < y, temos x ∈ Iψ e y ∈ Iψ′ porem t0 pertence a ambos
intervalos, logo ao primeiro esta contido (x, t0] o segundo [t0, y) portanto (x, y) ⊂ M .
Disso segue que M e intervalo, por ser uniao de abertos e um aberto, portanto M e um
intervalo aberto.
Propriedade 29 (Solucao escapa de compacto). Seja f : U ⊂ R × Rn → Rn, contınua,
U aberto e φ uma solucao maximal unica de x′ = f(t, x) definida em (w−, w+) = M
definimos g : M → U com g(t) = (t, φ(t)), nessas condicoes g(t) → ∂U (se aproxima da
borda de U) quando t → w±. Dito de outro modo, para todo compacto K ⊂ U , existe
uma vizinhanca V de w± tal que ∀t ∈ V tem-se g(t) /∈ K. A funcao escapa de compacto .
Demonstracao.
Suponha que exista K ⊂ U compacto e (tn) ∈ R tal que tn → w+ e g(tn) ∈ K ∀n,com isso temos uma sequencia em um compacto, que possui subsequencia convergente,
passando a subsequencia convergente (mantendo a mesma notacao), temos que
g(tn) = (tn, f(tn)) → (w+, x0)
onde x0 = lim f(tn) por definicao. Considere o problema
x′ = f(t, x), x(w+) = x0
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 31
pelo teorema de Peano, existe uma solucao de tal problema em Iα[w+]×Bb[x0], considere
V ′ = Iα3[w+] × B b
3[x0] logo para qualquer (t′0, x
′0) ∈ V , existe uma solucao definida em
Iα2[t′0]×B b
2[x′0] e como g(tn) → (w+, x0) entao para n grande g(tn) ∈ V ′. Consideremos o
problema
x′ = f(t, x), x(tn) = φ(tn)
pela observacao anterior existe uma solucao em Iα2[tn] × B b
2[φ(tn)], logo φ e prolongada
ate
tn +α
2≥ (w+ − α
2) +
α
2> w+
pois tn ∈ [w+ − α
3, w+ +
α
3] o que gera contradicao pois (w−, w+) e intervalo maximal de
solucoes.
Propriedade 30. Dada f : U ⊂ R × Rn → Rn, contınua, U aberto , f limitada. Se
w+ <∞ e w− > −∞ temos que limt→w±
g(t) existe.
Demonstracao.
Propriedade 31. Se U = Rn e |f(x)| < c ∀x ∈ Rn entao Ix = R∀x ∈ Rn, nas condicoes
da propriedade de escapar de compacto . Isto e, as equacoes com campo limitado possuem
solucao maximal definida em toda reta.
Demonstracao. Suponha que w+(x) <∞ para algum x ∈ R, como
|x− φt(x)| = |∫ t
0
f(φt(s))|ds ≤ ct ≤ c+(x)
disso resulta que para todo t ∈ [0, w+(x)] φt(x) esta em Bcw+(x)[x]. O que contradiz a
propriedade de escapar de compacto, logo w+(x) = ∞ ∀x ∈ Rn do mesmo modo se prova
que w− = −∞ ∀x ∈ Rn.
Propriedade 32. Se φ e uma solucao de X ′ = f(x) definida no intervalo maximo I e
φ(t1) = φ(t2) para t1 = t2 entao I = R e φ(t + c) = φ(t) ∀t onde c = t2 − t1, isto e, φ e
periodica .
Demonstracao.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 32
1.6 Classificacao de sistemas planares
Nesta secao trabalharemos em geral com equacoes da forma x′ = Ax onde x : R → R2,
caso contrario citaremos ao longo do texto.
Definicao 12 (Orbita). A orbita de x : R → Rn e o conjunto
(x1(t), x2(t), · · · , xn(t)), t ∈ R
com t variando de −∞ ate ∞, essa variacao e dita orientacao ou sentido do percurso.
Corolario 11. Pela unicidade de solucoes por cada ponto do espaco Rn passa uma unica
orbita de x′ = Ax,A ∈Mn.
Veremos a classificacao por casos.
Caso 1)
A possui dois autovalores reais distintos, λ1 < λ2, passamos a discussao para a matriz
diagonalizada, com equacao de solucao
x(t) = (l1eλ1t, l2e
λ2t).
Caso 1a)
Ambos autovalores negativos. Consideramos a condicao inicial positiva em cada coor-
denada. Temos que
limt→∞
x(t) = 0
limt→−∞
x(t) = ∞
pois cada coordenada apresenta tal comportamento.
Neste caso, um campo com esse comportamento e dito um atrator linear (as solucoes
se aproximam de zero), que a origem e um poco ou um no estavel.
As curvas definidas pelas solucoes vem desde o infinito ate a origem do plano.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 33
Caso 1b)
Ambos autovalores positivos. Consideramos a condicao inicial positiva em cada coor-
denada. o retrato de fase e como no caso anterior, trocando t po −t.
limt→∞
x(t) = ∞
limt→−∞
x(t) = 0.
O campo linear com esse comportamento e um repulsor linear, que a origem e uma
fonte (as solucoes saem do ponto) ou no instavel .
1.6.1 Classificacao por conjugacao topologica
Definicao 13 (Matriz hiperbolica). A ∈Mn e hiperbolica se a parte real de seus autova-
lores e nao nula.
Definicao 14 (Atrator). Um retrato de fase de um sistema linear x′ = Ax e Atrator se
os autovalores de A possuem parte real negativa.
Definicao 15 (Atrator). Um retrato de fase de um sistema linear x′ = Ax e Atrator se
os autovalores de A possuem parte real negativa.
Definicao 16 (Repulsor). Um retrato de fase de um sistema linear x′ = Ax e repulsor se
os autovalores de A possuem parte real positiva.
Definicao 17 (Sela). Um retrato de fase de um sistema linear x′ = Ax, A de ordem 2 e
sela se os autovalores de A possuem, um parte real positiva e outro negativa.
Definicao 18 (Fluxo contrativo). O fluxo etA de A e contrativo se existem constantes
positivas c e r tais que
|etA| ≤ ce−rt|x| ∀t ≥ 0, x ∈ Rn.
Propriedade 33. O fluxo de x′ = Ax e contrativo se todas as solucoes convergem para
a origem uniforme e exponencialmente.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 34
Demonstracao.
Propriedade 34. Seja A ∈Mn um campo linear, sao equivalentes
• A origem e um poco para A.
• A e um atrator .
• O fluxo de A e contrativo .
Para verificar que o fluxo de um campo linear em Rn e contrativo, basta verificar se
todos os autovalores do campo possuem parte real negativa.
Demonstracao.
1.7 EDO e sistemas dinamicos
Definicao 19 (Difeomorfismos). F : U ⊂ Rn → Rn e um difeomorfismo de U aberto em
F (U) se F e derivavel e possui inversa derivavel.
Um C1 difeomorfismo e um difeomorfismo F : U ⊂ Rn → Rn, tais que F ′−1 e F ′ sao
contınuas, de maneira semelhante para Cn difeomorfismo .
Definicao 20. Denotaremos o conjunto dos difeormorfismo de Rn em Rn por Dif(n).
Propriedade 35. Dif(n) e um grupo com a composicao de aplicacoes.
Demonstracao.
Definicao 21 (Sistema dinamico). Um sistema dinamico agindo em Rn e um homomor-
fismo de grupos φ : R → Diff(n), isto e,
φ(t+ s) = φ(t) φ(s).
A cada real associamos um difeomorfismo.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 35
Definicao 22. Nas condicoes da definicao anterior, dizemos que
φ(t)t∈R
e um grupo a um parametro de difeomorfismos.
Propriedade 36. Dada A ∈Mn, eAt e um difeomorfismo.
Demonstracao.
1.8 Dependencia das solucoes em relacao as condicoes
iniciais e parametros
Para o primeiro teorema usaremos um lema
Lema 1. Seja (φn) equicontınua , pontualmente limitada, φn : X → R, X espaco metrico
compacto. Se toda subsequencia de (φn) uniformemente convergente possuir o mesmo
limite φ, entao φn →u φ
Demonstracao. Suponha que (φn) nao converge uniformemente para φ entao existem
ε > 0 , (tk) em X e (φnk) subsequencia de (φn) tal que
|φnk(tk)− φ(tk)| ≥ ε.
(φnk) e equicontınua e pontualente limitada, o teorema de Arzela-Ascoli implica que (φnk
)
possui subsequencia (φnp) uniformemente convergente para φ , mas isso e um absurdo pois
|φnp(tp)− φ(tp)| ≥ ε.
Propriedade 37. Sejam fn : Ω → Rm, (fn) contınua em Ω aberto de R×Rm, fn →u f0
em cada parte compacta de Ω, (tn, xn) sequencia em Ω com (tn, xn) → (t0, x0), supondo
que
x′ = fn(t0, x0), x(tn) = xn, n ∈ N,
possui uma unica solucao maxima φn em In = (w−(n), w+(n)), seja [a, b] ⊂ I0 =
(w−(0), w+(0)) entao existe n0 = n0(a, b) tal que para n > n0, In ⊃ [a, b] e φn|[a,b] →u
φ0|[a,b].
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 36
Demonstracao.
Propriedade 38 (Continuidade nas condicoes iniciais). Sejam f contınua em Ω aberto
em R × Rn × A ,A e um espaco euclidiano, para cada (t0, x0, λ) ∈ Ω o problema com
condicoes iniciais
x′ = f(t, x, λ), x(t0) = x0
λ fixo, possua uma unica solucao
φ = φ(t, t0, x0, λ)
definida no seu intervalo maximo (w,w+), w± = w±(t0, x0, λ), entao
1.
D = (t, t0, x0, λ) | (t0, x0, λ) ∈ Ω, t ∈ (w,w+)
e aberto em R× Ω
2. φ e contınua em D.
Demonstracao.
Lema 2 (Lema de Gronwall). Sejam u, v funcoes contınuas nao negativas em [a, b] tais
que para α ≥ 0
u(t) ≤ α +
∫ t
a
v(s)u(s)ds, t ∈ [a, b]
entao
u(t) ≤ αe∫ ta v(s)ds
em especial se α = 0 entao u = 0.
Demonstracao. Se α > 0, seja w(t) = α +
∫ t
a
v(s)u(s)ds, temos w(a) = α, w(t) ≥α > 0 pois integral de nao negativas e nao negativa, de
w′(t) = v(t)u(t) ≤ v(t)w(t)
temosw′(t)
w(t)≤ v(t)
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 37
aplicando
∫ t
a
obtemos
ln(w(t)
w(a)︸︷︷︸α
) ≤∫ t
a
v(s)ds⇒ w(t)
α≤ e
∫ ta v(s)ds ⇒
u(t) ≤ w(t) ≤ αe∫ ta v(s)ds
Propriedade 39. SejaK a constante de Lipschitz na segunda coordenada de f (contınua)
, para t ∈ I(t0,x0) ∩ I(t0,y0) temos
|φ(t, t0, x0)− φ(t, t0, y0)| ≤ ek|t−t0||x0 − y0|
sendo φ(t, t0, x0) solucao de x′(t) = f(t, x), x(t0) = x0.
Demonstracao. Sejam φ(t) = φ(t, t0, x0), ψ(t) = ψ(t) = φ(t, t0, y0), entao
φ(t)− ψ(t) = x0 − y0 +
∫ t
t0
[f(s, φ(s)− f(s, ψ(s))]ds,
de onde segue por condicao de Lipschtiz e desigualdade de integral que
|φ(t)− ψ(t)| ≤ |x0 − y0|+ |∫ t
t0
K|φ(s)− ψ(s)|ds|
se t ≥ t0 o resultado decorre do Lema de Gronwall com α = |x0−y0|, u(t) = |φ(t)−ψ(t)|e v(t) = K.
Se t ≤ t0, a propriedade resulta do Lema de Gronwall aplicado a x′ = −f(−t, x), cujasolucao por (−t0, x0) e ψ(t,−t0, x0) (continuar depois nao entendi a outra parte)
1.8.1 Diferenciabilidade
Lema 3. Seja f contınua em (a, b)×K onde K e um aberto convexo de Rn. Se f admite
derivada parcial D2f contınua em (a, b)×K entao existe uma funcao h(a, b)×K ×K →
L(Rn) contınua tal que
1. h(t, x, x) = D2f(t, x), (t, x) ∈ (a, b)×K
2. f(t, x2)− f(t, x1) = h(t, x1, x2)(x2 − x1).
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 38
L(E) denota o espaco de aplicacoes lineares de E em E, isomorfo a Rn.
Demonstracao. Definimos
h(t, x1, x2) =
∫ 1
0
D2f(t, ux2 + (1− u)x1)du
que e integravel pois D2f e contınua, podemos tomar ux2 + (1− u)x1 com u variando em
[0, 1] poisK, conjunto onde f toma a segunda coordenada e convexo . A continuidade de h
resulta da continuidade de D2f .Basta tomar a diferenca das integrais e usar continuidade
de D2f. Existe δ1 > 0 tal que |(t−t′, x1−x′1, x2−x′2)| < δ1 implica |(t−t′, ux2+(1−u)x1−ux′2+(1−u)x′1)| < δ e por continuidade |D2f(t, ux2+(1−u)x1)−D2f(t, ux
′2+(1−u)x′1)| < ε
daı
|h(t, x1, x2)− h(t, x′1, x′2)| ≤
∫ 1
0
|D2f(t, ux2 + (1− u)x1)−D2f(t, ux′2 + (1− u)x′1)|du ≤ ε
logo a funcao e contınua.
1.
h(t, x, x) =
∫ 1
0
D2f(t, ux+ (1− u)x)du =
∫ 1
0
D2f(t, x)du = D2f(t, x)
como querıamos demonstrar.
2. Pelo teorema fundamental do calculo temos
f(t, x2)− f(t, x1) =
∫ 1
0
d
du[f(t, ux2 + (1− u)x1)]du =
(por regra da cadeias(?) segue que)
=
∫ 1
0
D2f(t, ux2 + (1− u)x1)(x2 − x1)du
como querıamos mostrar.
Teorema 4 (Dependencia diferenciavel com respeito as condicoes iniciais). Seja f : U ⊂
R×Rn contınua no aberto U , f(t, x), t ∈ R, x ∈ Rn, diferenciavel com relacao a variavel
x, sendo∂f
∂xcontınua em U .
Como consequencia do teorema de Picard, temos que ∀(t0, x0) ∈ U o problema de
Cauchy x′ = f(t, x), x(t0) = x0 admite uma unica solucao maximal φ = φ(t, t0, x0) com
t tomando valores em um intervalo maximal I(t0, x0). Seja D o aberto (ver), tal que
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 39
φ : D → U , entao existe e e contınua a derivada ∂x0φ(t, t0, x0), ∂x0φ : D → L(Rn). Alem
disso tal derivada e a solucao da seguinte equacao diferencial ordinaria matricial linear
Z ′ =∂f(t, φ(t, t0x0))
∂xZ
Z(t0) = I Identidade n× n.
Demonstracao.
Propriedade 40. Seja f contınua em Ω aberto de R × Rn × Rm, com D2f contınua
em Ω. Entao para λ fixo, a solucao φ = φ(t, t0, x0, λ) de x′ = f(t, x, λ), x(t0) = x0 e
unica e admite derivada parcial D3φ com relacao a x0, a aplicacao µ com x(t, t0, x0, λ) =
D3φ(t, t0, x0, λ) e contınua no seu domınio
D = (t, t0, x0, λ) | (t0, x0, λ) ∈ Ω, w(t0, x0, λ) < t < w+(t0, x0, λ)
e
x(t) = D3φ(t, t0, x0, λ)ek =∂φ
∂xk0(t, t0, x0, x)
xk0 para simbolizar k-esima, para todo 1 ≤ k ≤ dimE sendo solucao de
x′ = J(t)x, x(t0) = ek
onde J(t) = J(t, t0, x0, λ) =2 f(t, φ(t, t0, x0, λ), λ).
Demonstracao.
Propriedade 41. Se alem das hipoteses do teorema anterior f e diferenciavel em relacao
a λ e D3f e contınua em Ω, entao φ e diferenciavel em relacao a λ e D4φ(ek) =∂φ
∂λke
contınua em D.
Alem disso, x(t) =∂φ
∂λk(t, t0, x0, λ) e solucao de x′ = j(t)X + b(t), x(t0) = 0 onde
b(t) = B(t)ek
B(t) = D3f(t, φ(t, t0, x0, λ), λ).
Demonstracao.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 40
Propriedade 42. Seja f contınua em Ω aberto em R×Rn ×Rm ×Rp, se f(t, x, λ, µ) e
diferenciavel em relacao a x, λ e D2f , D3f sao contınuas em Ω entao para λ e µ fixos,
x′ = f(t, x, λ, µ), x(t0) = x0
possui solucao unica φ(t, t0, x0, λ, µ) diferenciavel em relacao a (t, x0, λ). As derivadas
D1φ,D3φ,D4φ, D1D3φ,D1D4φ sao contınuas em D.
Demonstracao.
Propriedade 43. Seja f(t, x, λ, µ) contınua em Ω ⊂ R × Rn × Rm × Rp aberto, com
derivadas parciais de ordem ≤ w relativas as coordenadas de (x, λ) contınuas, entao para
λ, µ fixo
x′ = f(t, x, λ, µ), x(t0) = x0
possui solucao unica φ = φ(t, t0, x0, λ, µ), φ definida no aberto
D = (t, t0, x0, λµ) | (t0, x0, λ, µ) ∈ Ω e w−(t, t0, x0, λ, µ) < t < w+(t0, x0, λ, µ)
de R× Ω na qual admite todas derivadas parciais da forma
∂s+
m∑k=1
αk+l∑
k=1Bk
φ
∂tsm∏k=1
∂(xk0)αk
l∏k=1
∂(λk)Bk
contınuas, comm∑k=1
αk +l∑
k=1
Bk ≤ w, s ≤ 1.
Demonstracao.
Propriedade 44. Seja f = f(t, x) de classe Cm em Ω, entao φ = φ(t, t0, x0) possui todas
as derivadas parciais de ordem ≤ m com respeito as variaveis (t, x0) contınuas no aberto
D = (t, t0, x0) | (t0, x0) ∈ Ω, w−(t0, x0) < t < w+(t0, x0).
Demonstracao.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 41
1.9 Elementos da teoria qualitativa das equacoes di-
ferenciais
1.9.1 Campos vetoriais e fluxos
Definicao 23 (Campo vetorial de classe Ck). Seja U ⊂ Rn aberto, um campo vetorial de
classe Ck, 1 ≤ k ≤ ∞ em U e uma aplicacao f : U → Rn de classe Ck ao qual associamos
a equacao diferencial
x′ = f(x).
Definicao 24 (Trajetorias-curvas integrais). As solucoes φ : I → U (I intervalo aberto
de R) de x′ = f(x), f campo vetorial de classe Ck como na definicao anterior, isto e,
dφ(t)
dt= f(φ(t)) ∀t ∈ I
sao chamadas de trajetorias ou curvas integrais de f .
Neste caso o vetor velocidade de φ, φ′(t) coincide com o valor do campo X em φ(t).
Definicao 25 (Ponto singular). x ∈ U e dito ponto singular de f se f(x) = 0.
Definicao 26 (Ponto regular). x ∈ U e dito ponto regular de f se f(x) = 0.
Propriedade 45. Se x e ponto singular de f entao φ(t) = x ∀t ∈ R e solucao de
x′ = f(x). Se φ(t) = x ∀t ∈ R e solucao de x′ = f(x) entao x e ponto singular de f .
Demonstracao. ⇒). Temos φ′(t) = 0 e f(φ(t)) = f(x) = 0 portanto
φ′(t) = f(φ(t))
e solucao da equacao diferencial.
⇐).
Temos
φ′(t) = f(φ(t)) = f(x)
porem φ′(t) = 0 portanto x e ponto singular de f .
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 42
Definicao 27 (Curva integral maxima). Uma curva integral φ : I → U de f chama-se
maxima, se para toda curva integral ψ : J → U com I ⊂ J e φ|I entao I = J e daı φ = ψ.
Definicao 28 (Intervalo maximal). I na definicao anterior e chamado de intervalo maximo
ou maximal.
Propriedade 46. Valem as propriedades
1. Existencia e unicidade de solucoes maximais. Para cada x ∈ U existe um intervalo
aberto Ix onde esta definida a unica solucao maxima φx de x′ = f(x) tal que
φx(0) = x.
2. Propriedade de grupo . Se y = φx(t) e t ∈ Ix, entao
Iy = Ix − t = r − t | r ∈ Ix
e φy(s) = φx(t+ s) ∀s ∈ Iy.
3. Diferenciabilidade em relacao as condicoes iniciais. O conjunto
D = (t, x) | x ∈ U, t ∈ Ix
e aberto em Rn+1 e a aplicacao φ : D → Rn com φ(t, x) = φx(t) e de classe Cr e
D1D2φ(t, x) = Df(φ(t, x)) D2φ(t, x) ∀(t, x) ∈ D.
f sendo Cr.
Demonstracao.
Definicao 29 (Fluxo gerado). φ : D → U chama-se fluxo gerador por f . Tambem
e chamado de fluxo local ou grupo local a um parametro gerado por f .φ satisfaz as
relacoes da propriedade anterior
φ(0, x) = x
φ(t+ s, x) = φ(t, φ(s, x)).
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 43
1.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial
Definicao 30 (Orbita). O conjunto γp = φ(t, p), t ∈ Ip imagem da curva integral de f
pelo ponto p chama-se orbita de f pelo ponto p.
Propriedade 47. q ∈ γp ⇔ γq = γp, duas orbitas de f coincidem ou sao disjuntas, U
domınio do campo f fica decomposto numa uniao disjunta de curvas diferenciaveis.
Demonstracao. (analisar) Usaremos que φ(t, φ(s, p)) = φ(t + s, p). ⇒). Se q ∈ yp
entao existe t1 ∈ Ip (intervalo de definicao de φ) tal que φ(t1, p) = q por outro lado
φ(t, q) = φ(t, φ(t1, p)) = φ(t+ t1, p)
logo todo ponto de yq que e da forma φ(t, q) e da forma φ(t + t1, p) que pertence a yp.
Agora um um elemento de yp pode ser escrito como φ(t + t1, p) para t escolhido que e
igual a φ(t1, q) portanto vale a outra inclusao e os conjuntos sao iguais.
⇐). A volta vale pois yp = yq os conjuntos sao iguais.
Usando o resultado provado acima. Se t ∈ yp ∩ yq entao yp = yt e yq = yt daı yp = yq,
portanto as orbitas ou sao disjuntas ou identicas.
Definicao 31 (Retrato de fase). O retrato de fase de f : U ⊂ Rn → Rn, U aberto , f de
classe Cr, r ≥ 1 e o conjunto U decomposto pelas orbitas de f , munido de orientacao da
curva integral.
Propriedade 48. Toda curva integral φ de f : U ⊂ Rn → Rn, U aberto , f de classe
Cr, r ≥ 1, φ solucao maxima de x′ = f(x) em I e de um dos seguintes tipos
1. φ e injetora, yp e homeomorfa a um intervalo de R.
2. I = R, φ e constante, nesse caso a orbita yp chama-se ponto singular ou singulari-
dade.
3. yp e difeomorfa a um cırculo ,φ e periodica, neste caso existe p1 > 0 tal que φ(t+p1) =
φ(t) ∀t ∈ R e φ(t1) = φ(t2) se |t1− t2| < p1, neste caso yp chama-se orbita periodica
ou fechada.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 44
Quando as solucoes sao periodicas ou singulares entao (w−, w+) = R para as outras
solucoes isto pode nao acontecer.
Demonstracao.
1. Se φ e injetiva entao temos que a orbita e imagem pelo intervalo e temos o primeira
caso.
Suponhamos que existem t1 = t2 tal que φ(t1) = φ(t2) entao o intervalo maximo e
(w−, w+) = R e para c = t2 − t1 temos φ(t) = φ(t + c) ∀t ∈ R, definimos B = s ∈R | φ(t) = φ(t + s) ∀t ∈ R, B e subgrupo aditivo fechado de R. Sejam a, b ∈ B entao
a+ b ∈ B pois
φ(t+ a+ b) = φ((t+ a) + b) = φ(t+ a) = φ(t) ∀t ∈ R.
Se a ∈ B entao −a ∈ B pois
φ(t− a) = φ((t− a) + a) = φ(t) ∀t ∈ R.
E claro tambem pela definicao que 0 ∈ B e o grupo e associativo adicao . Temos tambem
propriedade de fechamento por limite pois se (an) ∈ B com an → a como an ∈ B∀n entao
φ(t+ a) = φ(t+ lim an) = limφ(t+ an) = limφ(t) = φ(t) ∀t ∈ R,
onde usamos continuidade da funcao φ para passar o limite para fora do argumento da
funcao . Um subgrupo aditivo de R e da forma kZ (multiplos inteiros de uma constante)
ou denso em R, se B for denso em R temos que a orbita e uma singularidade por φ ser
fechado, se B = kZ entao φ e periodica de perıodo k.
Exemplo 8. Seja f(x) = 1 + x2 com f(0) = 0, x′ = 1 + x2, f e C1 a solucao e dada por
φ(t) = tg(t), I0 = (−π2,π
2), φ e injetora, a orbita e homeomorfa a um intervalo . Neste
caso nao temos a reta toda como intervalo maximal da solucao .
Propriedade 49. Seja f um campo C1 em R com um numero finito de singularidades,
digamos a1 < a2 < · · · < an podemos tomar a0 = −∞, an+1 = ∞ consideramos os
intervalos da forma (ak, ak+1) com extremos nos pontos onde f se anula. f possui o
mesmo sinal em cada (ak, ak+1) pois se mudasse de sinal por continuidade possuiria raiz
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 45
no intervalo, mas por hipotese ja contamos todas as raızes. Agora suponha que f possui
sinal positivo em (ak, ak+1) a solucao de x′ = f(x) e estritamente crescente no seu intervalo
maximal I(x) = (w−, w+) nessas condicoes vale que
1. limt→W−(x)
φ(t, x) = ak.
2. limt→W+(x)
φ(t, x) = ak+1.
Demonstracao.
Definicao 32 (Campos Cr equivalentes). Dados f1 : U1 ⊂ Rn → Rn e f2 : U2 ⊂ Rn →
Rn, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr, r ≥ 1, dizemos que f1 e f2 sao Cr equivalentes se
existe h : U1 → U2 difeomorfismo de classe Cr preservando a orientacao, com
h(y1(p)) = y2(h(p))
onde y1(p) e a orbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) e a orbita orientada de f2
passando por h(p). Neste caso h e chamado de equivalencia diferencial entre f1 e f2.
Definicao 33 (Campos topologicamente equivalentes). Dados f1 : U1 ⊂ Rn → Rn e
f2 : U2 ⊂ Rn → Rn, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr, r ≥ 1, dizemos que f1 e f2
sao topologicamente equivalentes se existe h : U1 → U2 homeomorfismo preservando a
orientacao, com
h(y1(p)) = y2(h(p))
onde y1(p) e a orbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) e a orbita orientada de f2
passando por h(p). Nesse caso h e chamado de equivalencia topologica f1 e f2.
Definicao 34 (Topologicamente conjugado). Sejam φ1 : D1 → Rn, φ2 : D2 → Rn fluxos
gerados pelos campos f1 : U1 → Rn, f2 : U2 → Rn respectivamente. f1 e topologicamente
conjugado a f2 quando existe um homeomorfismo h : U1 → U2 tal que
h(φ1(t, x)) = φ2(t, h(x)) ∀(t, x) ∈ D1.
Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)). Nesse caso h chama-se conjugacao to-
pologica entre f1 e f2 .
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 46
Definicao 35 (Cr- conjugado). Sejam φ1 : D1 → Rn, φ2 : D2 → Rn fluxos gerados pelos
campos f1 : U1 → Rn, f2 : U2 → Rn respectivamente. f1 e Cr conjugado a f2 quando
existe um difeomorfismo Cr, h : U1 → U2 tal que
h(φ1(t, x)) = φ2(t, h(x)) ∀(t, x) ∈ D1.
Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)).Nesse caso h chama-se Cr conjugacao entre
f1 e f2 .
Propriedade 50. As relacoes de equivalencia Cr, topologica e de conjugacao Cr e to-
pologica sao relacoes de equivalencia. Campos Cr conjugados e topologicamente conju-
gados sao Cr equivalentes e topologicamente equivalentes respectivamente.
Demonstracao.
Propriedade 51. Uma relacao de equivalencia h entre f1 e f2 levam pontos singulares
em pontos singulares e orbitas periodicas em orbitas periodicas. Se h for uma conjugacao
o perıodo das orbitas periodicas tambem e preservado.
Demonstracao.
Propriedade 52. Sejam f1U1 → Rn e f2 : U2 → Rn campos Cr e h : U1 → U2 difeomor-
fismo de classe Cr, entao h e uma conjugacao entre f1 e f2 ⇔
Dh(p)f1(p) = f2(h(p)) ∀p ∈ U1.
Demonstracao.
⇐).
Sejam φ1 : D1 → U1 e φ2 : D2 → U2 os fluxos de f1 e f2 respectivamente, dados
p ∈ U1 seja ψ(t) = h(φ1(t, p)) I ∈ I1(p) entao ψ e solucao de x′ = f2(x) com condicao
inicial ψ(0) = h(φ1(0, p)) = h(p), pois derivando a funcao temos
ψ′(t) = h′(φ1(t, p)) φ′1(t, p) = h′(φ1(t, p)) f1(φ1(t, p)) =
= f2(h(φ1(t, p))) = f2(ψ(t))
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 47
porem tal equacao x′ = f2(x) com ψ(0) = h(p) tambem e satisfeita por φ2(t, h(p)),
portanto vale
φ2(t, h(p)) = h(φ1(t, p))
e daı os campos sao conjugados , a igualdade vale por unicidade de solucoes.
⇒). Suponha que h seja uma conjugacao. Dado p ∈ U1 tem-se h(φ1(t, p)) = φ2(t, h(p)),
t ∈ Ip, derivando em relacao a t tem-se
h′(φ1(t, p))φ′1(t, p) = φ′
2(t, h(p)) =
= Dh(φ1(t, p))f(φ1(t, p)) = f(φ2(t, h(p)))
tomando t = 0 tem-se
Dh(p)f(p) = f(h(p))
como querıamos demonstrar.
Definicao 36 (Secao transversal). Sejam f : U → Rn campo de classe Cr, r ≥ 1, U ⊂ Rn
e A ⊂ Rn−1 abertos. Uma aplicacao g : A → U de classe Cr chama-se secao transversal
local de f quando ∀a ∈ A, Dg(a)(Rn−1) e f(g(a)) geram Rn. Seja Σ = g(A) ⊂ U ⊂ Rn
com topologia induzida. Se f : A→ Σ for um homeomorfismo , diz-se que Σ e uma secao
transversal de f .
Propriedade 53. Sejam p ∈ U nao singular e v1, · · · , vn−1, f(p) uma base de Rn, Bδ(0)
uma bola de Rn−1, para δ suficientemente pequeno, g : Bδ(0) → U com
g(x1, · · · , xn−1) = p+n−1∑k=1
xkvk
e uma secao transversal de f em p.
Demonstracao.
Teorema 5 (Teorema do fluxo tubular). Seja p um ponto nao singular de f : U → Rn de
classe C2 e g : A→ Σ uma secao transversal local de f , g de classe Cr com g(0) = p, entao
existe uma vizinhanca V de p em U e um difeomorfismo h : V → (−ε, ε) × B de classe
Cr onde ε > 0 e B = B(0) e uma bola aberta em Rn−1 de centro na origem 0 = g−1(p)
tal que
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 48
1. h(Σ ∩ V ) = 0 ×B
2. h e uma Cr- conjugacao entre f |V e o campo constante Y : (−ε, ε) × B → Rn,
Y = (1, 0, · · · , 0) ∈ Rn.
Demonstracao. Sejam φ : D → U o fluxo de f , F : DA = (t, u) | (t, g(w)) ∈ D →U com F (t, u) = φ(t, g(u)). F aplica linhas paralelas em curvas integrais de f . Vamos
mostrar que F e um difeomorfismo local em 0 = (0, 0) ∈ R × Rn−1, pelo teorema da
funcao inversa e suficiente provar que DF (0) e um isomorfismo. Temos que
D1F (0) =d
dtφ(t, f(0))|t=0 = f(φ(0, p)) = f(p) = 0
e DjF (0) = Dj−1g(0) para todo j = 2 ate j = n pois φ(0, g(u)) = φ(0, g(u)) = g(u) ∀u ∈A. Portanto os vetores DjF (u), j = 1 ate j = n geram Rn e DF (0) e um difeomorfismo
pelo teorema da funcao inversa, que ainda garante a existencia de ε > 0 e uma bola B
em Rn−1 com centro em 0 tal que F |(−ε,ε)×B e um difeomorfismo sobre o aberto V =
F ((−ε, ε)×B), seja h = (F |(−ε,ε)×B)−1 entao h(Σ ∩ V ) = 0 × B pois F (0, u) = g(u) ∈Σ ∀u ∈ B , isto prova 1). Por outro lado h−1 conjuga Y e f pois
Dh−1(t, u) Y (t, u) = DF (t, u) (1, 0, · · · , 0) =
= D1F (t, u) = X(φ(t, g(u))) = X(F (t, u)) = X(h−1(t, u)) ∀(t, u) ∈ (−ε, ε)×B,
logo Y e f |V sao conjugados pela condicao de conjugacao por derivada.
Propriedade 54. Seja Σ uma secao transversal de f , para todo p ∈ Σ existe εp > 0, V
vizinhanca de p em Rn e T : V → R de classe Ck tais que T (V ∩ Σ) = 0 e
1. ∀q ∈ V a curva integral φ(t, q) de f |V e definida e biunıvoca em Jq = (−ε,+T (q), ε+
T (q)).
2. n(q) = (φ(T (q), q)) ∈ Σ e o unico ponto onde φ(, q)|Jq intercepta a Σ em particular
q ∈ Σ ∩ V ⇔ T (q) = 0.
3. n : V → Σ e de classe Ck e Dn(q) e sobrejetora para todo q ∈ V mais ainda
Dn(q)v = 0 ⇔ v = αf(q) para algum α ∈ R.
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 49
Demonstracao.
Definicao 37 (Ponto singular hiperbolico). Um ponto p singular de um campo f : U ⊂
Rn → Rn de classe Cr, r ≥ 1 e dito singular hiperbolico se Dx(p) e hiperbolico, isto e,
possui todos autovalores com parte real nao nula.
Definicao 38 (Indice de estabilidade de um ponto singular hiperbolico). Como na de-
finicao anterior, p um ponto singular hiperbolico do campo Cr, f possui ındice de estabi-
lidade s se Dx(p) possui s autovalores com parte real negativa.
Propriedade 55. Se X e Y sao C2 conjugados por h entao se p e singular hiperbolico
de X, h(p) = q e singular hiperbolico de Y .
Demonstracao.
Usaremos que Y (h(p)) = Dh(p)X(p). Como P e singular de X entao
Y (q) = Y (h(p)) = Dh(p)X(p)X(p)︸ ︷︷ ︸0
= 0
portanto q e ponto singular de Y . Temos que
Y (z) = Dh(h−1(z))X(h−1(z))
daı aplicando D e tomando z = q tem-se
DY (q) = D[Dh(h−1(q))]X(h−1(q)) +Dh(h−1(q))D[X(h−1(q))] =
onde aplicamos a regra da derivada do produto e agora aplicando a derivada da composicao
segue
= D2h(h−1(q))Dh−1(q)︸ ︷︷ ︸p
X(h−1(q)) +Dh(p)DX(h−1(q))Dh−1(q) =
= Dh(p)DX(h−1(q))[Dh(p)]−1
onde usamos na ultima linha expressao de derivada do inverso.
Teorema 6 (Teorema de Hartman). Seja X : U ⊂ Rn → Rn, U aberto, X campo vetorial
de classe C1, p um ponto singular hiperbolico de X, entao existe uma vizinhanca W de
P em Rn e uma vizinhanca V de 0 em Rn tal que X|W e topologicamente conjugado a
Dx(p)|V .
CAPITULO 1. EQUACOES DIFERENCIAIS ORDINARIAS 50
Definicao 39 (Aplicacao de Poincare). Sejam yp = φ(t, p), t ∈ (0, t0) orbita periodica
de perıodo t0 de um campoX de classe Cr, r ≥ 1, definido em U ⊂ Rn aberto, Σ uma secao
transversal de X em p. Em virtude da continuidade do fluxo φ de X , ∀q ∈ Σ proximo
de p a trajetoria φ(t, p) permanece proxima a yp com t em um intervalo compacto pre
fixado. Π(q) e o primeiro ponto em que a orbita intercepta Σ. Temos por exemplo p ∈ Σ
e Π(p) = p.
Dada uma vizinhanca V do ponto φ(t, p) obtida pelo teorema do fluxo tubular, pela
dependencia contınua de φ(t, p), temos que existe Σ0 vizinhanca de p em Σ tal que
φ(t,Σ) ⊂ V entao podemos definir ΠΣ0 → Σ com Π(q) = n(φ(t, q)) onde n : V → Σ
com n(z) = φ(T (z), z) e a funcao Ck dada na proposicao corolario do Teorema do fluxo
Tubular, entao
Π(q) = n(φ(t0, q)) = φ(T (φ(t0, q), φ(t0, q))) = φ(t0 + T (φ(t0, q), q))
a aplicacao Π e Cr por ser composicao de aplicacoes Cr e tambem um difeomorfismo Cr.
Π nessas condicoes e a aplicacao de Poincare. T : V → R e o tempo T (x) que leva a
orbita por X em V para interceptar Σ. Do teorema da funcao implıcita T e de classe Cr.
A secao Σ e uma hiper superfıcie ou uma subvariedade diferenciavel n−1- dimensional
de U ⊂ Rn. Pode-se supor que a variedade Σ e um disco de um subespaco vetorial ou
afim de Rn. Π : Σ0 → Σ e um difeomorfismo de classe Cr sobre sua imagem Σ1, como
φ(t0, p) = p existe uma vizinhanca Σ0 de p em Σ tal que φ(t0, q) ∈ V ∀q ∈ Σ0
Definicao 40 (Atrator periodico ou orbitalmente estavel). Uma orbita periodica yp e dita
orbitalmente estavel (ou atrator periodico)se
limt→∞
d(φ(t, q), yp) = 0 ∀q ∈ Vyp
, isto e a distancia tende a zero com o tempo para qualquer q numa vizinhanca de yp.