aula3

Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 17

Unidade 3

Aplicaes de Derivadas

3.1. Regra de LHospital:

Na disciplina anterior, Matemtica para Cincias Aplicadas II, aprendemos o clculo de limites

indeterminados, sob a forma 0

0 e

, usando artifcios algbricos. Agora, podemos aplicar

derivadas para resolvermos limites de formas indeterminadas, utilizando a chamada Regra de

LHospital. A regra de LHospital creditada ao matemtico francs Guillaume Franois Antonie

de LHospital (1661-1704). Tal regra empregada para calcular o valor limite de uma frao

onde tanto o numerador quanto o denominador tendem, simultaneamente, para zero ou para

o infinito.

Nesta seo, queremos calcular o limite g(x)

f(x)lim

ax, nos seguintes casos:

1) axquando0)x(ge0)x(f ;

2) axquando)x(ge)x(f .

Sejam )x(f e )x(g funes derivveis num intervalo aberto I,

exceto possivelmente , em um ponto a I. Suponhamos 0)x('g para todo ax em I.

i) Se 0)x(glim)x(flimaxax

==

e L

(x)g'

(x)flim

'

ax=

, ento L

(x)g'

(x)f'lim

g(x)

f(x)lim

axax==

;

ii) Se ==

)x(glim)x(flimaxax

e L(x)g'

(x)flim

'

ax=

, ento L

(x)g'

(x)f'lim

g(x)

f(x)lim

axax==

;

O mesmo resultado vlido para x tendendo a infinito. A regra de LHospital pode ser aplicada

sucessivas vezes, at o momento em que o limite no for mais indeterminado. Assim, para

aplicar a regra derivamos, simultaneamente, o numerador e o denominador.

Exemplo 1: Considere a funo ( )1x

2xxxf

2

+= , onde se deseja calcular

1x

2xxlim

2

1x

+

.

Substituindo o valor da tendncia na funo, obtm-se: 0

0

11

2112=

+, que uma expresso

indeterminada ou uma indeterminao. Alm disso, percebe-se que a funo ( )1x

2xxxf

2

+=

no definida em 1x = , porm isso no problema, visto que queremos estudar seu

Regras de LHospital

Ricardo GomesHighlight

Ricardo GomesHighlight

Curso de Administrao 18 comportamento na vizinhana de 1x = (limite) e no, exatamente, em 1x = . Vamos, ento,

aplicar a regra de LHospital para resolver o limite.

Resoluo: Calculando )x('f vem 1x2)x('f += e calculando )x('g vem

1)x('g = . Aplicando a regra de LHospital temos:

31

1)1(2

1

1x2lim

0

0

1x

2xxlim

1x

2

1x=

+=

+==

+

Exemplo 2: Usando a regra de LHospital, calcular o valor do limite 4x3x

12xxlim

2

2

4x

.

Resoluo: Aplicando a tendncia, 4x , o limite apresenta a forma

indeterminada 0

0. Calculando )x('f vem 1x2)x('f = e calculando )x('g vem

3x2)x('g = . Aplicando a regra de LHospital temos:

5

7

3)4(2

1)4(2

3x2

1x2lim

0

0

4x3x

12xxlim

4x2

2

4x=

=

==

, portanto

5

7

4x3x

12xxlim

2

2

4x=

.

Exemplo 3: Usando a regra de LHospital, calcular o valor do limite

)x(g

)x(flim

1x2x

1x3xlim

x2

2

x =

+

Resoluo: Aplicando a tendncia, x , o limite apresenta a forma

indeterminada

. Calculando )x('f vem 3x2)x('f = e calculando )x('g vem

2x2)x('g = . Aplicando a regra de LHospital temos:

2x2

3x2lim

1x2x

1x3xlim

x2

2

x

=

+

que continua na forma indeterminada

.

Aplicando novamente a regra de LHospital, isto , derivando simultaneamente o

numerador e o denominador vem:

12

2lim

2x2

3x2lim

1x2x

1x3xlim

xx2

2

x==

=

+

, portanto 1

1x2x

1x3xlim

2

2

x=

+

Exemplo 4: Usando a regra de LHospital, calcular o valor do limite 3x4x

1xlim

2

2

1x ++

.


Resoluo: O limite 3x4x

1xlim

2

2

1x ++

toma a forma indeterminada

0

0. Aplicando

a regra de LHospital, isto , derivando simultaneamente o numerador e o

denominador vem:

12

2

4)1(2

)1(2

4x2

x2lim

0

0

3x4x

1xlim

1x2

2

1x=

=

+

=

+==

++

.

Exemplo 5: Usando a regra de LHospital, calcular o valor do limite xcose

xlim

x0x

.

Resoluo: O limite xcose

xlim

x0x


0

0. Pois

1)0cos(e1e0 == . Calculando )x('f vem 1)'x()x('f == e calculando )x('g

vem )x(sene))'x(cos()'e()x('g xx +== . Aplicando a regra de LHospital temos:

101

1

)0(sene

1

senxe

1lim

0x0x=

+=

+=

+.

Exemplo 6: Usando a regra de LHospital, calcular o valor do limite 7x

23xlim

7x

.

Resoluo: O limite 7x

23xlim

7x


0

0. Pois

0

0

77

22

77

237lim

7x=

=

. Calculando )x('f vem

3x2

1)1.()3x(

2

1

dx

)2(d)3x(

dx

d)'23x()x('f 2/112/1

==== e

calculando )x('g vem 1)7x()x('g == . Aplicando a regra de LHospital temos:

4

1

42

1

372

1

1

3x2

1

lim7x

23xlim

7x7x==

=

=

.

Exemplo 7: Usando a regra de LHospital, calcular o valor do limite 2x2

xxxlim

3

23

x +

++

+.

Resoluo: O limite =+

++

+ 2x2

xxxlim

3

23

x toma a forma indeterminada

.

Calculando )x('f vem 1x2x3)x('f 2 ++= e calculando )x('g vem 2x6)x('g = .

Aplicando a regra de LHospital temos:

=

++=

+

++

++ 2

2

x3

23

x x6

1x2x3lim

2x2

xxxlim , derivando mais duas vezes o

numerador e o denominador, obtemos

Curso de Administrao 20

2

1

12

6lim

x12

2x6lim

x6

1x2x3lim

xx2

2

x==

+=

=

++

+++

Conseguiu acompanhar o contedo estudado at aqui? Para saber se aprendeu,

procure resolver os exerccios propostos abaixo. Caso encontre dificuldades, busque

apoio junto ao tutor. Exerccios propostos I:

Aplicando a regra de LHospital, calcular os seguintes limites.

1) 8x

4xlim

3

2

2x

4)

x

xlnlim

x +

2) senx

xcos1lim

0x

5)

2

x3

x x

elim

+

3) x4

)x6(senlim

0x 6)

x

24xlim

0x

+

3.2. Mximos e mnimos de uma funo:

O objetivo desta seo aplicar os conhecimentos de derivada para determinar os valores

mximos e mnimos de uma funo.

3.2.1. Definies:

Dada a funo definida em um intervalo I, um ponto 0x I chamado de:

Ponto de mximo local(ou relativo) da funo, quando )x(f)x(f 0 para todo x I;

Ponto de mnimo local(ou relativo) da funo, quando )x(f)x(f 0 para todo x I.

O valor de )x(f 0 chamado de mximo ou mnimo local de f, e ))x(f,x( 00 so as coordenadas

do ponto de mximo ou mnimo local de f.

Quando )x(f 0' existe, a condio 0)x(f 0

'= necessria para a existncia de um extremo

relativo em 0x , mas no suficiente, isto , se 0)x(f 0'

= , a funo f pode ter ou no um

extremo relativo no ponto 0x . Da mesma forma, quando )x(f 0' no existe, f pode ter ou no

um extremo relativo em 0x . Ento, o ponto 0x fD tal que 0)x(f 0'

= ou )x(f 0' no existe,

chamado de ponto crtico da funo. Assim uma condio necessria para a existncia de

um extremo relativo em um ponto 0x que 0x seja um ponto crtico.


Exemplo 8: Determinar os pontos crticos da funo 1xxx)x(f 23 ++= e os intervalos de

crescimento e decrescimento.

Resoluo: So pontos crticos os pontos que anulam a primeira

derivada. Assim 1x2x3)x(f 2' += , fazendo 0)x(f ' = ,

01x2x3 2 =+ obtemos 6

42

6

)1)(3(442x

=

= ,

3

1x1 = e 1x2 = .

Logo ))3/1(f,3/1( e ))1(f,1( so possveis pontos extremos da funo, ou seja,

podem ser mximos ou mnimos.

Agora vamos analisar o sinal da funo derivada. Como temos uma funo do

segundo grau, sabemos que o grfico uma parbola de concavidade voltada para

cima. Assim, o sinal da primeira derivada negativo entre -1 e 1/3 e fora deste

intervalo ele positivo, conforme mostra o esboo abaixo.

Analisando o esboo podemos dizer que y>0 no intervalo (-,-1) e no intervalo

(1/3, +), e y< 0 no intervalo (-1,1/3). Logo:

f(x) > 0 para todo x (-,-1) U (1/3, +) funo crescente;

f(x)< 0 para todo x (-1,1/3) funo decrescente.

y -1 1/3

+ +

Se uma funo cresce medida que x aumenta, a tangente ao seu grfico, em cada ponto, tem

coeficiente angular positivo. Logo, se a tangente tem coeficiente angular maior que zero significa

que a derivada da funo no ponto tambm maior que zero. Podemos, ento, dizer que uma

funo crescente em um intervalo (a,b) se 0)x(f 0' > .

Da mesma forma, se uma funo decresce medida que x aumenta, a tangente ao seu grfico,

em cada ponto, tem coeficiente angular negativo. Logo, se a tangente tem coeficiente angular

negativo (interpretao geomtrica da derivada) significa que a derivada da funo em cada

ponto menor do que zero. Podemos, ento, dizer que uma funo decrescente num

intervalo (a,b) se 0)x(f 0' < .


Podemos concluir que, se a funo cresce at x=-1 e depois decresce, em x=-1

temos um ponto mximo. Da mesma forma se a funo decresce at 1/3 e depois

cresce, em x=1/3 temos um ponto mnimo.

3.2.2. Critrio da primeira derivada para determinao de extremos:

Sejam f uma funo derivvel num intervalo (a,b) e 0x um ponto crtico de f neste intervalo,

isto , 0)x(f 0'

= , com bxa 0

Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 23 No caso a funo decrescente (y0).

3.2.3. Critrio da segunda derivada para determinao de extremos:

Sejam f uma funo derivvel num intervalo (a,b) e 0x um ponto crtico de f neste intervalo,

isto , 0)x(f 0'

= , com bxa 0 , f tem um valor mnimo relativo em 0x .

3.2.4. Concavidade e pontos de inflexo:

Uma funo cncava para cima num intervalo aberto I se y crescente em I. Ou se y

positiva em I.

Uma funo cncava para baixo num intervalo aberto I se y decrescente em I. Ou se y

negativa em I.

Ponto de Inflexo (PI): o ponto onde a derivada segunda troca de sinal, ou seja, a funo

muda de concavidade.

+ +

+ +


Exemplo 9: Dada a funo 23 x3x)x(f = . Determine:

a) os pontos crticos;

b) os intervalos de crescimento e decrescimento da funo;

c) os pontos extremos; d)intervalos quanto concavidade;

e) e pontos de inflexo, se existirem:

Resumo

f(x) CRESCENTE num intervalo I se f(x) > 0 em I.

f(x) DECRESCENTE num intervalo I se f(x)< 0 em I.

x0 um ponto MXIMO, se f(x) passa de positiva (y>0) para

negativa (y0 em I, f(x) tem concavidade voltada para cima em I.

Se f(x0)>0, ento x0 um mnimo relativo.

+ +

Se f(x)

Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 25 Resoluo:

a) Para determinarmos os pontos crticos, calculamos a primeira derivada de f(x)

e a igualamos a zero: x6x3)x(f 2' = , 0)2x(x30x6x3 2 == , um x=0 e

outro x=2. Assim os pontos crticos so (0, f(0)) e (2,f(2)), ou seja, (0,0) e (2,-4).

Lembrando: 0)0(30)0(f 23 == e 4128)2(32)2(f 23 ===

b) Os intervalos de crescimento e decrescimento da funo so obtidos por meio do sinal da

primeira derivada ( )x(f ' uma parbola da concavidade voltada para cima (veja funes

parte 1, MCSAI))

F.E.C. = funo estritamente crescente (y>0)= ),2()0,( +

F.E.D.= funo estritamente decrescente (y

Curso de Administrao 26 e) Como em x=1 a segunda derivada de f(x) passa de negativa para positiva, x=1

um ponto de inflexo do grfico da funo.

Exemplo 10: Seja 8x6x2

1x

3

1)x(f 23 ++= , determine:

a) os pontos crticos;

b) os intervalos onde f crescente e decrescente;

c) os valores mximos e mnimos de f.

Resoluo:

a) calculando a primeira derivada e a igualando a zero, determinamos os pontos

crticos:

6x2

2x

3

3)x(f 2' +=

06xx2 =+

2

51

2

)6)(1(411x

=

=

3xe2x 21 == .

b) Analisando o sinal da funo 6xx)x(f 2' += podemos determinar os

intervalos de crescimento e decrescimento de f(x).

-3 2

+

+


F.E.C. = funo estritamente crescente (y>0)= ),2()3,( +

F.E.D.= funo estritamente decrescente (y


Exerccios Propostos II:

1. Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funes e determine os

eventuais pontos de mximo e mnimo:

a) 3x12x2

7

3

x)x(f 2

3

++=

b) 3x)x(f =

c) 4x4

1)x(f =

d) 3x

x)x(f

=

e) 1x2x2

3

3

x)x(f 2

3

++=

Exemplo 12: (Prtico) Dada a funo de demanda x240p = , obtenha o preo que deve

ser cobrado para maximizar a receita.

Resoluo: Receita=p.x (p= preo e x= quantidade)

Assim 2x2x40x)x240(R == , calculando a derivada primeira de R obtemos o

ponto crtico 10x0x440x440R ' === .

Podemos usar o critrio da primeira derivada: a funo primeira derivada

uma funo do primeiro grau decrescente, logo antes de x=10 a funo positiva,

aps negativa. Ento em x=10 temos um valor mximo.

Ou podemos usar o critrio da segunda derivada: 04R ''

Matemtica para Cincias Sociais Aplicadas I 29 Exemplo 14: (Prtico) A funo custo mensal de fabricao de um produto

10x10x23

xC 2

3

++= , e o preo de venda p=13. Qual a quantidade que deve ser

produzida e vendida mensalmente para dar o mximo lucro?

x13x.pR == (receita) ; 10x3x23

x)10x10x2

3

x(x13L 2

32

3

++=++=

Ponto crtico: 3x4x3x43

x3L 2

2

++=++= , igualando a zero e achando as razes:

2

284

2

)3)(1(4164x03x4x2

=

==++ , 64,4x = e 0,68x =

, x=4,68 a quantidade mxima que deve ser

produzida e vendida para dar o mximo lucro.

Saiba Mais ...

Para aprofundar os contedos abordados nesta aula consulte:

MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Clculo funes de uma

e vrias variveis, 5a ed. So Paulo: Saraiva, 2006.

ANTON, H. Clculo: Um Novo Horizonte, volume 1, 6a ed. So Paulo: Editora Bookman,

2000.

SCHNEIDER, D. I., LAY, D. C., GOLDSTEIN, L. J. Matemtica Aplicada Economia,

Administrao e Contabilidade, 10a ed. So Paulo: Editora Bookman, 2006.

-0,68 4,64

+

y

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