Espaços Vetoriais Euclidianos, Produto Interno

ÁLGEBRA LINEAR

Prof. Susie C. Keller

Produto Interno Produto interno no espaço vetorial V é uma função de

V V em IR que a todo par de vetores (u, v) V V associa um número real, indicado por u.v ou <u, v>, tal que os seguintes axiomas sejam verificados:P1) u.v = v.uP2) u.(v + w) = u.v + u.wP3) (u).v = (u.v), IRP4) u.u 0 e u.u = 0 se, e somente se, u = 0.

Produto Interno Dos quatro axiomas decorrem as propriedades:

I) 0.u = u.0 = 0, u VII) (u + v).w = u.w + v.wIII) u.(v) = (u.v), IRIV) u.(v1 + v2 + ... + vn) = u.v1 + u.v2 + ... + u.vn

Produto Interno Exemplos:

Produto Interno

Produto Interno

Produto Interno

2)

Produto Interno

Produto Interno Problemas resolvidos:

Produto Interno

Produto Interno

Espaço Vetorial Euclidiano Um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual

está definido um produto interno, é um espaço vetorial euclidiano.

Módulo de um Vetor: Dado um vetor v de um espaço vetorial euclidiano V, chama-

se módulo, norma ou comprimento de v o número real não-negativo, indicado por |v|, definido por:

Se u = (x1, y1, z1) IR3 com produto interno usual, têm-se:

vvv

222111111 111

,,,, zyxzyxzyxu

Espaço Vetorial Euclidiano Distância entre dois vetores:

Chama-se distância entre dois vetores (ou pontos) u e v o número real representado por d(u,v) é definido por:

Sendo u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) vetores do IR3 com produto interno usual, têm-se:

Se |v| = 1, o vetor v é um vetor unitário. Diz-se que v está normalizado.

Todo vetor não-nulo v V pode ser normalizado: .

vuvud ),(

2212

212

21212121 ,,),( zzyyxxzzyyxxvuvud

vvu

Espaço Vetorial Euclidiano Observamos que:

Exemplos:

12

2

2

vv

vvv

vv

vv

Espaço Vetorial Euclidiano

Espaço Vetorial Euclidiano

IMPORTANTE:

Espaço Vetorial Euclidiano Propriedades do Módulo de um Vetor

Seja V um espaço vetorial euclidiano.I) |v| 0, v V e |v| = 0, se, e somente se, v = 0.

II) |v| = | | |v|, v V, IR.

III) , u,v V.

Se u = 0 ou v = 0, vale a igualdade

vvvvvvvv 2

vuvu

0 vuvu

Desigualdade de Schwartz ou Inequação de Cauchy-Schwartz

Espaço Vetorial EuclidianoIV) |u + v| |u| + |v| , u,v V.

De fato:

mas

logo

ou

ou, ainda

vvvuuuvuvuvu 2

vuvuvu

222 )(2 vvuuvu

222 2 vvuuvu

22 vuvu

vuvu

Desigualdade triangular

Espaço Vetorial Euclidiano Ângulo de dois Vetores

Sejam u e v vetores não-nulos de um espaço vetorial euclidiano V. A desigualdade de Schwartz, , pode ser escrita assim:

ou

ou, ainda

Daí, tem-se que o cosseno de um ângulo entre dois vetores u e v é:

1vuvu

vuvu

1vuvu

1vuvu1

0 ,cosvuvu

Espaço Vetorial Euclidiano Exemplos:

Espaço Vetorial Euclidiano

Espaço Vetorial Euclidiano Vetores Ortogonais

Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que dois vetores u e v são ortogonais, e se representa por u v, se, e somente se, u.v = 0.

Exemplos:

Espaço Vetorial Euclidiano Observações:

1. O vetor 0 V é ortogonal a qualquer v V: 0.v = 0

2. Se u v, então u v, R.

3. Se u1 v e u2 v, então (u1 + u2) v.

Espaço Vetorial Euclidiano Conjunto Ortogonal de Vetores

Seja V um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} V é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, vi

. vj = 0 para i ≠ j.

Espaço Vetorial Euclidiano Teorema

Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos A = {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente (LI).

Consideremos a igualdade:a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0

e façamos o produto interno de ambos os membros da igualdade por vi:(a1v1 + a2v2 + ... + anvn).vi = 0.vi

oua1(v1.vi) + ... + ai(vi

. vi) + ... + an(vn.vi) = 0

ai(vi. vi) = 0

Como A é ortogonal só resta o termo vi.vi ≠ 0, pois vi ≠ 0. Então ai(vi.vi)=0 implica ai = 0 para i = 1, 2, ..., n.

Logo o conjunto A = {v1, v2, ..., vn} é LI.

Espaço Vetorial Euclidiano Base ortogonal

Diz que uma base A = {v1, v2, ..., vn} é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais.

Assim, se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores não-nulos e dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal.

Por exemplo:

{(1, 2, -3), (3, 0, 1), (1, -5, -3)}

é uma base ortogonal do IR3.

Espaço Vetorial Euclidiano Base ortonormal

Diz que uma base B = {v1, v2, ..., vn} de um espaço vetorial euclidiano é ortonormal se B é ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é:

Espaço Vetorial Euclidiano

Espaço Vetorial Euclidiano

Espaço Vetorial Euclidiano

Podemos verificar que: