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Vetores
Laura Goulart
UESB
21 de Julho de 2018
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 1 / 1
Introdução
Muitas grandezas físicas como força para serem completamenteidenti�cadas precisam de comprimento, direção e sentido. Essas grandezassão chamadas de grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 2 / 1
Segmentos Equipolentes
Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo.
De�nição
Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e
mesmo sentido são chamados equipolentes.
Propriedade (Re�exiva)
AB ∼ AB
Propriedade (Simétrica)
AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB
Propriedade (Transitiva)
AB ∼ CD e CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 3 / 1
Segmentos Equipolentes
Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo.
De�nição
Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e
mesmo sentido são chamados equipolentes.
Propriedade (Re�exiva)
AB ∼ AB
Propriedade (Simétrica)
AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB
Propriedade (Transitiva)
AB ∼ CD e CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 3 / 1
Segmentos Equipolentes
Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo.
De�nição
Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e
mesmo sentido são chamados equipolentes.
Propriedade (Re�exiva)
AB ∼ AB
Propriedade (Simétrica)
AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB
Propriedade (Transitiva)
AB ∼ CD e CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 3 / 1
Segmentos Equipolentes
Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo.
De�nição
Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e
mesmo sentido são chamados equipolentes.
Propriedade (Re�exiva)
AB ∼ AB
Propriedade (Simétrica)
AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB
Propriedade (Transitiva)
AB ∼ CD e CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 3 / 1
Segmentos Equipolentes
Vamos considerar o segmento orientado como um ente primitivo.
De�nição
Dois segmentos orientados com mesmo comprimento, mesma direção e
mesmo sentido são chamados equipolentes.
Propriedade (Re�exiva)
AB ∼ AB
Propriedade (Simétrica)
AB ∼ CD ⇒ CD ∼ AB
Propriedade (Transitiva)
AB ∼ CD e CD ∼ EF ⇒ AB ∼ EF
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 3 / 1
Segmentos Equipolentes
Fixemos o segmento orientado AB e considere o conjunto de todos ossegmentos orientados equipolentes a AB. Esse conjunto é chamado devetor e será denotado por
−→AB.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 4 / 1
De�nição de vetores
Observação
Dois vetores−→AB e
−→CD são iguais sse AB ∼ CD. Portanto, um mesmo
vetor−→AB é determinado por uma in�nidade de segmentos orientados, que
são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes
entre si.
Por um abuso de linguagem, nos referimos ao segmento orientado comosendo o vetor.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 5 / 1
De�nição de vetores
Observação
Dois vetores−→AB e
−→CD são iguais sse AB ∼ CD. Portanto, um mesmo
vetor−→AB é determinado por uma in�nidade de segmentos orientados, que
são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes
entre si.
Por um abuso de linguagem, nos referimos ao segmento orientado comosendo o vetor.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 5 / 1
Casos particulares de vetores
Vetores paralelos:
São vetores que possuem a mesma direção, mas não necessariamenteo mesmo sentido ou o mesmo comprimento.
Vetores ortogonais:
São vetores que formam um ângulo de 900.
Vetores coplanares:
São vetores que pertencem ao mesmo plano.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 6 / 1
Casos particulares de vetores
Vetores paralelos:
São vetores que possuem a mesma direção, mas não necessariamenteo mesmo sentido ou o mesmo comprimento.
Vetores ortogonais:
São vetores que formam um ângulo de 900.
Vetores coplanares:
São vetores que pertencem ao mesmo plano.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 6 / 1
Casos particulares de vetores
Vetores paralelos:
São vetores que possuem a mesma direção, mas não necessariamenteo mesmo sentido ou o mesmo comprimento.
Vetores ortogonais:
São vetores que formam um ângulo de 900.
Vetores coplanares:
São vetores que pertencem ao mesmo plano.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 6 / 1
Notação de Grassmann
Dado o ponto A e um vetor −→v , podemos , por meio de uma translação,obter um ponto B tal que B = −→v + A⇔ −→v = B − A. Dessa forma,podemos dizer que um vetor é a diferença de dois pontos.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 7 / 1
Exercício de Fixação
Represente os vetores abaixo no espaço:
1 ~u = (1, 3, 2)2 ~u = (−1, 3, 2)3 ~u = (1,−3, 2)4 ~u = (1, 3,−2)5 ~u = (0, 3, 2)6 ~u = (1, 0, 2)7 ~u = (1, 3, 0)
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 12 / 1
Adição de Vetores
Sejam ~u e ~v vetores no R2.Vamos considerar um representante AB para o vetor −→u e escolhemoscomo origem para o vetor −→v a extremidade B. Pela notação deGrassmann, existe um ponto C tal que −→v =
−→BC .
Logo,
−→u +−→v =−→AB +
−→BC = (B − A) + (C − B) = C − A =
−→AC .
Essa maneira de somar é dita regra da poligonal.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 13 / 1
Adição de Vetores
Sejam ~u e ~v vetores no R2.Vamos considerar um representante AB para o vetor −→u e escolhemoscomo origem para o vetor −→v a extremidade B. Pela notação deGrassmann, existe um ponto C tal que −→v =
−→BC .
Logo,
−→u +−→v =−→AB +
−→BC = (B − A) + (C − B) = C − A =
−→AC .
Essa maneira de somar é dita regra da poligonal.Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 13 / 1
Regra da poligonal para mais de 2 vetores
Observação
A adição de vetores independe dos representantes escolhidos.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 14 / 1
Regra da poligonal para mais de 2 vetores
Observação
A adição de vetores independe dos representantes escolhidos.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 14 / 1
Regra do Paralelogramo
Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra doparalelogramo dada por:
Escolha representantes dos vetores ~u, ~v com a mesma origem, ie,~u = ~AB e ~v = ~AC .
Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo.Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra éa diferença dos vetores.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 15 / 1
Regra do Paralelogramo
Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra doparalelogramo dada por:
Escolha representantes dos vetores ~u, ~v com a mesma origem, ie,~u = ~AB e ~v = ~AC .Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo.
Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra éa diferença dos vetores.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 15 / 1
Regra do Paralelogramo
Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra doparalelogramo dada por:
Escolha representantes dos vetores ~u, ~v com a mesma origem, ie,~u = ~AB e ~v = ~AC .Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo.Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra éa diferença dos vetores.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 15 / 1
Regra do Paralelogramo
Uma forma prática de calcular a soma de dois vetores é usando a regra doparalelogramo dada por:
Escolha representantes dos vetores ~u, ~v com a mesma origem, ie,~u = ~AB e ~v = ~AC .Trace linhas paralelas aos vetores para formar um paralelogramo.Uma das diagonais do paralelograma é a soma dos vetores e a outra éa diferença dos vetores.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 15 / 1
Propriedades
No Rn, dados os vetores −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn),de�nimos −→u +−→v = (x1 + y1, . . . , xn + yn).
Propriedade (Comutativa)
~u + ~v = ~v + ~u
Propriedade (Associativa)−→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w .
Propriedade (Existência do Elemento Neutro)
O vetor que tem a sua origem coincidindo com sua extremidade é chamado
vetor nulo e denotado por−→0 .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 16 / 1
Propriedades
No Rn, dados os vetores −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn),de�nimos −→u +−→v = (x1 + y1, . . . , xn + yn).
Propriedade (Comutativa)
~u + ~v = ~v + ~u
Propriedade (Associativa)−→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w .
Propriedade (Existência do Elemento Neutro)
O vetor que tem a sua origem coincidindo com sua extremidade é chamado
vetor nulo e denotado por−→0 .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 16 / 1
Propriedades
No Rn, dados os vetores −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn),de�nimos −→u +−→v = (x1 + y1, . . . , xn + yn).
Propriedade (Comutativa)
~u + ~v = ~v + ~u
Propriedade (Associativa)−→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w .
Propriedade (Existência do Elemento Neutro)
O vetor que tem a sua origem coincidindo com sua extremidade é chamado
vetor nulo e denotado por−→0 .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 16 / 1
Propriedades
No Rn, dados os vetores −→u = (x1, . . . , xn) e −→v = (y1, . . . , yn),de�nimos −→u +−→v = (x1 + y1, . . . , xn + yn).
Propriedade (Comutativa)
~u + ~v = ~v + ~u
Propriedade (Associativa)−→u + (−→v +−→w ) = (−→u +−→v ) +−→w .
Propriedade (Existência do Elemento Neutro)
O vetor que tem a sua origem coincidindo com sua extremidade é chamado
vetor nulo e denotado por−→0 .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 16 / 1
Propriedade (Existência do Elemento Oposto)
Dado o vetor −→u =−→AB ∈ Rn, existe o vetor
−→BA chamado vetor oposto
de −→u e denotado por −−→u tal que −→u + (−−→u ) =−→0 .
Observação
O vetor −−→u é um vetor de mesmo comprimento, mesma direção e
sentido contrário ao vetor −→u .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 17 / 1
Propriedade (Existência do Elemento Oposto)
Dado o vetor −→u =−→AB ∈ Rn, existe o vetor
−→BA chamado vetor oposto
de −→u e denotado por −−→u tal que −→u + (−−→u ) =−→0 .
Observação
O vetor −−→u é um vetor de mesmo comprimento, mesma direção e
sentido contrário ao vetor −→u .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 17 / 1
Multiplicação por Escalar
É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de umnúmero real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor queconserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e ocomprimento dependem do número real.
Se α = 0 ou ~u = ~0 então α~u = ~0
Se α > 0 então α · −→v e −→v tem o mesmo sentido.
Se α < 0 então α · −→v e −→v tem sentidos opostos.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 18 / 1
Multiplicação por Escalar
É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de umnúmero real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor queconserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e ocomprimento dependem do número real.
Se α = 0 ou ~u = ~0 então α~u = ~0
Se α > 0 então α · −→v e −→v tem o mesmo sentido.
Se α < 0 então α · −→v e −→v tem sentidos opostos.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 18 / 1
Multiplicação por Escalar
É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de umnúmero real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor queconserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e ocomprimento dependem do número real.
Se α = 0 ou ~u = ~0 então α~u = ~0
Se α > 0 então α · −→v e −→v tem o mesmo sentido.
Se α < 0 então α · −→v e −→v tem sentidos opostos.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 18 / 1
Multiplicação por Escalar
É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de umnúmero real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor queconserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e ocomprimento dependem do número real.
Se α = 0 ou ~u = ~0 então α~u = ~0
Se α > 0 então α · −→v e −→v tem o mesmo sentido.
Se α < 0 então α · −→v e −→v tem sentidos opostos.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 18 / 1
Multiplicação por Escalar
É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de umnúmero real ou escalar diferente de zero por um vetor é um outro vetor queconserva a mesma direção do vetor original, enquanto que o sentido e ocomprimento dependem do número real.
Se α = 0 ou ~u = ~0 então α~u = ~0
Se α > 0 então α · −→v e −→v tem o mesmo sentido.
Se α < 0 então α · −→v e −→v tem sentidos opostos.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 18 / 1
Propriedades
Em Rn, dados α escalar real e um vetor −→v = (x1, . . . , xn), de�nimosα−→v = (α · x1, . . . , α · xn).
Propriedade
α(β−→v ) = (αβ)−→v .
Propriedade
1 · −→v = −→v
Propriedade
α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .
Propriedade
(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 19 / 1
Propriedades
Em Rn, dados α escalar real e um vetor −→v = (x1, . . . , xn), de�nimosα−→v = (α · x1, . . . , α · xn).
Propriedade
α(β−→v ) = (αβ)−→v .
Propriedade
1 · −→v = −→v
Propriedade
α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .
Propriedade
(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 19 / 1
Propriedades
Em Rn, dados α escalar real e um vetor −→v = (x1, . . . , xn), de�nimosα−→v = (α · x1, . . . , α · xn).
Propriedade
α(β−→v ) = (αβ)−→v .
Propriedade
1 · −→v = −→v
Propriedade
α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .
Propriedade
(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 19 / 1
Propriedades
Em Rn, dados α escalar real e um vetor −→v = (x1, . . . , xn), de�nimosα−→v = (α · x1, . . . , α · xn).
Propriedade
α(β−→v ) = (αβ)−→v .
Propriedade
1 · −→v = −→v
Propriedade
α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .
Propriedade
(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 19 / 1
Propriedades
Em Rn, dados α escalar real e um vetor −→v = (x1, . . . , xn), de�nimosα−→v = (α · x1, . . . , α · xn).
Propriedade
α(β−→v ) = (αβ)−→v .
Propriedade
1 · −→v = −→v
Propriedade
α(−→u +−→v ) = α · −→u + α · −→v .
Propriedade
(α+ β) · −→u = α · −→u + β · −→u .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 19 / 1
Módulo de um vetor
A medida do comprimento de um vetor ~v é denominado módulo ou normae denota-se por ||~v ||.
Suponhamos que ~v = (a, b) ∈ R2 conforme �gura abaixo:
Em geral, dado ~v = (x1, . . . , xn); de�nimos ||~v || =√
x21+ · · ·+ x2n .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 20 / 1
Módulo de um vetor
A medida do comprimento de um vetor ~v é denominado módulo ou normae denota-se por ||~v ||.Suponhamos que ~v = (a, b) ∈ R2 conforme �gura abaixo:
Em geral, dado ~v = (x1, . . . , xn); de�nimos ||~v || =√
x21+ · · ·+ x2n .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 20 / 1
Módulo de um vetor
A medida do comprimento de um vetor ~v é denominado módulo ou normae denota-se por ||~v ||.Suponhamos que ~v = (a, b) ∈ R2 conforme �gura abaixo:
Em geral, dado ~v = (x1, . . . , xn); de�nimos ||~v || =√
x21+ · · ·+ x2n .
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 20 / 1
Propriedades
Propriedade
||~v || > 0 quando ~v 6= ~0.
Propriedade
||α~v || = |α| · ||~v ||.
Propriedade (Desigualde Triangular)
||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v ||.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 21 / 1
Propriedades
Propriedade
||~v || > 0 quando ~v 6= ~0.
Propriedade
||α~v || = |α| · ||~v ||.
Propriedade (Desigualde Triangular)
||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v ||.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 21 / 1
Propriedades
Propriedade
||~v || > 0 quando ~v 6= ~0.
Propriedade
||α~v || = |α| · ||~v ||.
Propriedade (Desigualde Triangular)
||~u + ~v || ≤ ||~u||+ ||~v ||.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 21 / 1
Observação
Um vetor ~v é dito versor quando ||~v || = 1.
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 22 / 1
Notação ijk
Consideremos os versores i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).
Logo,(x , y , z) = (x , 0, 0)+(0, y , 0)+(0, 0, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1).
Portanto,
(x , y , z) = x i + y j + zk
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 23 / 1
Notação ijk
Consideremos os versores i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).Logo,(x , y , z) = (x , 0, 0)+(0, y , 0)+(0, 0, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1).
Portanto,
(x , y , z) = x i + y j + zk
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 23 / 1
Notação ijk
Consideremos os versores i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).Logo,(x , y , z) = (x , 0, 0)+(0, y , 0)+(0, 0, z) = x(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1).
Portanto,
(x , y , z) = x i + y j + zk
Laura Goulart (UESB) Vetores 21 de Julho de 2018 23 / 1