Anis comutativos,

Euclideanos, fatoriais, principais e Noetherianos

Questo 1. Vamos iniciar recordando, com alguns exerccios, fatos sobre extenses de corpos,

grau de uma extenso e polinmios irredutveis.

1. Seja K = F (x) o corpo das funes racionais racionais sobre um corpo F . Mostre que K tem

dimenso innita sobre F . Por causa disso dizemos que F (x) uma extenso innita de F , e

as vezes escrevemos [K : F ] = . (Em contraposio, se K uma extenso de F com graunito, [K : F ]

7. Mostre que: Se K uma extenso algbrica de F e A um subanel de K que contm F , ento

A corpo.

8. D um exemplo de que isto no verdadeiro se a extenso F K no for algbrica.

9. Sejam K = Q() com C, tal que [K : Q] = n < . Mostre que se n impar, entoK = Q(2).

10. Chama-se caracterstica de um anel A ao menor inteiro positivo c(A) tal que

c(A)1 =

c(A) 1 + 1 + + 1 = 0,

caso exista. Quando n1 6= 0 para todo inteiro n positivo, denimos c(A) = 0.

(a) Mostre que se A um domnio de integridade, ento c(A) vale zero ou um nmero primo.

(b) Seja A um anel tal que c(A) = n 6= 0. Mostre que (x) = xn um homomorsmo de anelde A em A. Logo An = { an | a A} um subanel de A.

11. Seja K um corpo com caracterstica zero (c(K) = 0). Mostre que existe um nico homomor-

smo no nulo de Q em K. Logo podemos considerar que todo corpo K com c(K) = 0 uma

extenso de Q.

Questo 2. Vamos ver agora alguns exerccios bsico sobre ideais. Nas questes abaixo teremos

sempre que A e B so anis e B uma extenso de A.

1. Dados a, b A, mostre que aA bA se e somente se b | a. Mais ainda, aA = bA, se e somentese a b. Por causa disso, dados dois ideais I e J de A, dizemos que I | J (I divide J) se J I.

2. Dados dois ideais I e J de A, mostre que I J e I + J = {x + y | x I, y J} tambm soideais de A.

Mostre tambm que em relao a divisibilidade de ideais denida no item anterior temos: IJ o mnimo multiplo comum de I e J e I + J o mximo divisor comum de I e J .

3. Dados dois ideais I e J de A denimos o produto deles como IJ = {nt=1 atbt | n 1, e para todo i, ai I, bi J }. Isto , IJ o conjunto de todas as somas de produtosde um elemento de I por um elemento de J . Mostre que IJ um ideal de A e que IJ I J .

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4. Dados trs ideais I, J e U de A, mostre que I(J+U) = IJ+IU (observe que IJ+IU J+U).

5. Usando o exerccio anterior mostre para dois ideais I e J de A que (I J)(I + J) IJ .

6. Dado um ideal I deA denimos o radical de I comoI = { a A | an I, para algum n 1 }.Por exemplo, para A = Z e I = pmZ, onde p irredutvel e m > 1 temos que

I = pZ. Mostre

que

I um ideal de A.

7. Dado um ideal I de A denimos J = IB = {nt=1 atbt | n 1, e para todo i, ai I, bi B }.Mostre que IB um ideal de B. Esse ideal chamado de extenso de I B.

8. Dado um ideal J de B, mostre que J A um ideal de A.

D um exemplo de uma extenso de anis A B onde A no corpo e existe ideal J de B talJ A = { 0 }.

9. Mostre que um domnio que s tem dois ideais distintos um corpo.

10. Seja : A B um homomorsmo de anis. Mostre que para cada ideal J de B, 1(J) umideal de A. Observe que 1(J) contm o ncleo de .

Ser que podemos tambm dizer: para cada ideal I de A, (I) um ideal de B?

11. Mostre que todo ideal I de A um A-mdulo.

Questo 3. Vamos a seguir fazer uma generalizao da construo do corpo de fraes de um

domnio, como vimos na pgina 6 da Notas II.

1. Um subconjunto S de um anel A chamado de parte multiplicativa se tiver as seguintes pro-

priedades: 1 S, se a, b S, ento ab S e 0 6 S. Seja S uma parte multiplicativa deum domnio A. Tome o conjunto A S e dena nele a relao: (a, s) (b, r) se e somente sear = bs. Mostre que uma relao de equivalncia.

2. Seja S1A = (AS)/ o conjunto quociente. Denotando-se por (a, s) a classe de equivalnciado elemento (a, s) A S, determine (0, 1) e (1, 1).

3. Dena em S1A as seguintes operaes:

(a1, s1) + (a2, s2) = (a1s2 + a2s1, s1s2), (a1, s1) (a2, s2) = (a1a2, s1s2).

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Mostre que essas operaes esto bem denidas. Isto , mostre que as aplicaes de duas

variveis (binrias) que associam a cada par de elementos ((a1, s1), (a2, s2)) a soma e o produto

so funes.

4. Mostre que S1A com essas operaes um anel onde todo elemento da forma (a, s) com a Stem inverso multiplicativo.

5. Mostre que a funo de A em S1A que a cada a associa (a, 1) um homomorsmo injetivo

de anel. Logo podemos identicar (a, 1) com a. Como (a, s) = (a, 1) (1, s) = (a, 1) (s, 1)1

podemos escrever que (a, s) = as1. Esse anel S1A chamado de um anel de fraes de A.

6. Se S = Ar { 0 }, ento S1A o corpo de fraes de A, j estudado anteriormente.

7. Para cada ideal I de A podemos estender I a S1A como no item (7) do exerccio anterior.

Neste caso IS1A = { a/b | a, b A, b S e a I }. Mostre que temos uma correspondnciabijetiva entre o conjunto { I ideal de A e I S = } e o conjunto de todos os ideais de S1A.Mais precisamente temos que as correspondncias I 7 IS1A e J 7 J A so bijetivas, euma a inversa da outra.

8. Considere o caso A = Z.

(a) Para cada irredutvel p Z seja S = Zr pZ, isto , S = {n Z | p - n }. Verique que S uma parte multiplicativa de Z e S1Z = { a/b Q | p - b }.Nesse caso denotamos S1Z = Z(p) e esse anel chamado de localizado de Z em p.

(b) Sejam agora p1, . . . , pm, irredutveis distintos de Z. Mostre que Z(p1) Z(pm) = S1Z,onde S = Z r p1 pm.

(c) Estude Z2 Z7 Z5.

Observao. O anel S1A construdo no exerccio (4) pode ser considerado como o menor anel

contendo A onde todos os elementos de S tem inverso. Esse anel tem a seguinte propriedade: existe

homomorsmo injetivo (de anis) : A S1A tal que (s) invertvel para todo s S. Se B foroutro anel para o qual existe um homomorsmo : A B de forma que (s) seja invertvel paratodo s S, ento exite, e nico, homomorsmo : S1A B tal que = .

Questo 4. Vejamos agora alguns exerccios sobre homomorsmos de anel.

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1. Seja : A B um homomorsmo de um anel. Demonstre que a imagem de = Im() = (A) um subanel de B. Neste caso melhor dizemos subanel pois queremos mostrar que Im()

um anel em relao a restrio das operaes de B.

2. Sejam : A B e : B C dois homomorsmos de um anis. Demonstre que : A C um homomorsmo de um anel.

3. Seja um homomorsmo de um anel A em um anel B. Construa um homomorsmo de

A[X] em B[X] cuja restrio a A seja . Podemos construir essa extenso de de quantas

maneiras?

4. Sejam e dois homomorsmos que tem um anel A como domnio e os anis B e C como

contra-domnios. Mostre que existe um homomorsmo de B em C tal que = se esomente se o ncleo de est contido no ncleo de . (A denio de homomorsmo de anel e

tambm de ncleo esto na pgina 10 das Notas II. Na Questo 19 verica-se que o ncleo de

um homomorsmo um ideal.)

5. Reveja a Questo 22, pgina 11, das Notas II.

1 Congruncias mdulo um ideal

Recordemos que xado um inteiro n Z denimos que dois inteiros a, b Z so congruentesmdulo n (notao: a b (mod n)), se n | (a b). Congruncia uma relao de equivalncia(reexiva, simtrica e transitiva) e preserva operaes, isto :

se a b (mod n) e c d (mod n), ento a+ c b+ d (mod n) e ac bd (mod n). ()

O conjunto das classes de equivalncia usualmente denotado por Zn e costumamos tomar para um

sistema completo de restos mdulo n o conjunto { 0, 1, . . . , n 1 }. Tambm costumamos escreverZn = { 0, 1, . . . , n 1 }. Mais geralmente para cada m Z denimos m = r caso r seja o resto dadiviso de m por n.

Do fato das operaes serem preservadas pela relao de equivalncia (as equaes () acima)obtemos em Zn operaes denidas por

a+ b = a+ b e a b = ab.

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Podemos vericar que Zn com as operaes acima um anel. Um anel desse tipo chamado de anel

quociente.

Vamos agora estender esse processo a um ideal qualquer de um anel.

Denio. Sejam A um anel, I um ideal de A, e a, b A. Denimos a b (mod I) se e somentese a b I.

Observe que a relao a b (mod n) o mesmo que a b nZ. Como Z um domnio de ideaisprincipais as congruncias mdulo ideais so a mesma coisa que as congruncias mdulo elementos.

Para um anel A que no um domnio de ideais principais as as congruncias mdulo ideais so mais

gerais.

Questo 5. Verique que a classe de equivalncia de um elemento a A dada por a = a+ I,isto , b a (mod I) se e somente se b = a + c, para algum c I. Ento a + I = { b A | b a(mod I) }.No caso dos inteiros temos que m = m + nZ e as n 1 classes distintas so dadas por 0 + nZ,

1 + nZ, . . . , (n 1) + nZ.

Denio. Para A e I como na denio anterior chamamos de anel quociente de A por I ao

conjunto das classes de equivalncia

A/I = { a = a+ I | a A }

com as operaes dadas por

a+ b = a+ b e a b = ab,

quaisquer que seja a, b A, como no caso dos inteiros.

Tambm aqui as operaes so preservadas pela relao de equivalncia, isto ,

se a b (mod I) e c d (mod I), ento a+ c b+ d (mod I) e ac bd (mod I). ()

Por causa disso as operaes de soma e produto que denimos esto bem denidas, isto , a cor-

respondncia + : A/I A/I A/I que associa a cada par (a, b) o elemento a+ b uma funo.Igualmente a correspondncia : A/I A/I A/I que associa a cada par (a, b) o elemento abtambm uma funo. Essas funes binrias (em duas variveis) denem duas operaes que tor-

nam A/I um anel, com podemos vericar facilmente. igualmente imediato que a correspondncia

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pi : A A/I dada por pi(a) = a uma funo e um homomorsmo sobrejetivo de anis cujo ncleo exatamente o ideal I.

Vamos agora relacionar homomorsmos de anel com anel quociente. O resultado que veremos

chamado de Teorema do Isomorsmo.

Seja : A B um homomorsmo de anel. Tomemos o anel quociente A/N(), onde N() oncleo de (ver denio de N() e tambm a Questo (19), pgina 10 das Notas II). Denido-se

: A/I B como (a) = (a) obtemos que uma funo, um homomorsmo e injetivo, eainda pi = . Vemos assim que todo homomorsmo de anel pode ser decomposto na composiode um homomorsmo sobrejetivo com um homomorsmo injetivo.

Temos ainda que N(pi) = N() e N() = { 0 } (ver Questo (21), pgina 11, Notas II). Maisainda Im() = Im().

Podemos ento concluir que um isomorsmo entre A/I e o subanel Im() (item (1) da

Questo (4)).

Denio. Dizemos que um homomorsmo de anel : A B um isomorsmo se for umafuno bijetora. Nesse caso escrevemos A ' B.

Observao. Se a coleo de todos os anis fosse um conjunto a relao de isomora ' denidaacima seria um relao de equivalncia. Contudo ela tem as trs propriedades: reexiva, simtrica e

transitiva.

Questo 6. Seja : A B um isomorsmo de anis. Demonstre que 1 : B A umhomomorsmo de anel (portanto um isomorsmo).

Denio. Dado um anel A, dizemos que um elemento a A um divisor prprio de zero sea 6= 0 e existe b A, b 6= 0 tal que ab = 0. Claro que o elemento b dessa denio tambm umdivisor prprio de zero.

Questo 7. O exemplo mais simples de anel com divisores prprios de zero obtido fazendo-se o

produto cartesiano de dois anis. Sejam A e B dois anis e tome C = AB com operaes denidascoordenada a coordenada: (a, b)+(a, b) = (a+a, b+b) e (a, b)(a, b) = (aa, bb). Encontre divisores

prprios de zero em C.

Questo 8. Considere os anis quocientes de Z. Isto , Zn = Z/nZ. Demonstre para esses anis

vrios fatos no usuais:

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Zn tem caracterstica n (ver item (10) da Questo (1)).

Se n no irredutvel, ento Zn tem divisores prprios de zero.

Encontre valores para n de forma a temos a 6= 0 e a 2 = 0. Mais geralmente podemos ter a 6= 0e a r = 0, com r 2. Elementos desse tipo so chamados de nilpotentes.

Encontre as unidades de Zn. Mais precisamente demonstre que Zn = { r | 1 r n 1 e r relativamente primo com n }.

Podemos ento concluir duas coisas:

(a) o nmero de elementos de Zn , ou melhor a ordem de Zn igual a (n) = indicador de Euler

de n que por denio exatamente o nmero de inteiros no intervalo 1 r < n que que soprimos com n.

(b) Se n irredutvel Zn = Zn r { 0 } e Zn um corpo.

Vamos denotar um corpo desse tipo por Fp, para cada irredutvel p de Z. Esse corpos tambm

so conhecidos como corpos de Galois.

Em alguns casos podemos determinar propriedades do anel quociente a partir de propriedades do

ideal. Vamos introduzir dois ideais especiais.

Denio. Seja A um anel e I um ideal de A.

(primo) Dizemos que I primo se dados a, b A tais que ab I, ento a I ou b I.

(maximal) Dizemos que I maximal, se toda vez que I J A, onde J tambm um ideal de A, resultarque J = I ou J = A.

Questo 9. Vejamos a seguir alguns exerccios envolvendo anis quociente.

1. Demonstre que um ideal I de um anel A primo se e somente se A/I for um domnio de

integridade. Isto , A/I no tem divisores prprios de zero.

2. Demonstre que um ideal I de um anel A maximal se e somente se A/I for um corpo. (Sugesto:

se I maximal observe que para todo a A, a / I temos o ideal I + aA).

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3. Mostre que todo ideal maximal um ideal primo.

4. Seja B uma extenso de A, A e B anis. Dado um ideal primo J de B, mostre que J A umideal primo de A.

5. Seja A um anel e P um ideal primo de A. Demonstre os seguintes fatos:

(a) Se I e J so ideais de A tais que IJ P , ento I P ou J P . Lembrar que tambmdizemos P | IJ quando IJ P . Logo P | IJ implica que P | I ou P | J .(b) Demonstre a recproca do item anterior. Isto , se P um ideal de A tal que se IJ P ,para ideais I, J de A, resulta que I P ou J P , ento P primo.(c) Sejam I1, . . . , In ideais de A. Se I1 In P , ento existe 1 t n tal que It P .

6. Mostre que em um domnio de ideais principais todo ideal primo maximal. Em particular

isso verdade em todo domnio Euclidiano.

7. Mostre que em um domnio de fatorao nica A o ideal pA, com p A um irredutvel umideal primo. Por outro lado mostre que existem domnios de fatorao nica onde temos ideais

primos que no so maximais.

8. Sejam I e J dois ideais de um anel A.

(a) Mostre que a funo : A (A/I) (A/J) denida por (a) = (a + I, a + J) umhomomorsmo de anis que tem I J como ncleo. Logo, pelo Teorema do Isomorsmo,temo um homomorsmo injetivo : A/(I J) (A/I) (A/J), como descrito napgina 7.

(b) no sobrejetiva em geral. Mas se assumirmos uma condio adicional podemos obter

a sobrejetividade e como consequncia que ser um isomorsmo.

Denimos que dois ideais I e J de um anel A so co-maximais se I + J = A.

Assumindo-se que I e J so co-maximais obtemos a sobrejetividade de . De fato, seja

(a1 + I, a2 + J) (A/I) (A/J). Como I + J = A, existem b1 I e b2 J tais que1 = b1 + b2. Seja c = a1b2 + a2b1 A. Observe que c a1 = a1(b2 1) + a2b1 I eigualmente c a2 J . Portanto (c) = (c+ I, c+ J) = (a1 + I, a2 + J).(c) A condio de I e J serem co-maximais tem outra consequncia: I J = IJ . Podemosinterpretar esse fato dentro da aritmtica dos ideais da seguinte maneira: se I e J so

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relativamente primos (pois I + J = A, ou MDC de I e J A), ento o mnimo mltiplo

comum deles igual a seu produto, isto , I J = IJ . De fato, no exerccio (4) da pgina2, vimos que IJ I J . Para mostrar a outra incluso usamos o exerccio (5) da pgina2.

(d) O resultado acima pode ser generalizado para uma famlia nita de ideais de A: sejam

I1, . . . , In ideais de A, dois a dois co-maximais, i.e., It+ Is = A sempre que t 6= s. Mostreque dados a1, a2, . . . , an A existe c A tal que c at(modIt), para todo t = 1, . . . , n.Portanto a funo dada por (a + (I1 In)) = (a + I1, a + I2, . . . , a + In) induz umisomorsmo A/(I1 In) ' A/I1 A/I2 A/In.

Dica.Mostre primeiro, por induo, que o fato de I1, . . . , In serem dois a dois co-maximais

implica que I1 I2 In = I1 In. O caso n = 2 o item (c) acima. Assumindo-se quevale para n 1 temos I1 I2 In1 = I1 In1. Armamos agora que I1 I2 In1e In so co-maximais. De fato, para cada 1 t n 1 existem ut It e vt In tais que1 = ut + vt. Logo u = u1u2 un1 = (1 v1)(1 v2) (1 vn1) = 1 v, para algumv In. Logo 1 = u + v I1 I2 In1 + In e assim I1 I2 In1 + In = A. Agora susar o caso n = 2 e a hiptese de induo para demonstrar o resultado com n ideais.

Observao. O argumento acima demonstra que se I1, . . . , In so dois a dois co-maximais,

ento I1 It1 It+1 In + It = A, para todo t = 1, . . . , n.Para obter o c A tal que c at(modIt) siga a seguinte receita: tome bt I1 It1 It+1 In e dt It tais que bt+dt = 1, para todo t = 1, . . . , n (observado acima). Tomamosnalmente c = a1b1 + anbn e vericamos que c at It, para todo t = 1, . . . , n. (Esseresultado conhecido como Teorema Chines de Restos.)

9. Seja K uma extenso de F , K algbrico sobre F e f(x) o polinmio minimal de sobreF . Seja E o menor subcorpo de K que contm F e simultaneamente.

(a) Verique que E = interseo de todos os subcorpos de K contendo F { }.

(b) Seja : F [x] K dada por (g(x)) = g(). Mostre que um homomorsmo deanis cuja imagem E e cujo ncleo (f) = f(x)F [x], ideal principal gerado por f(x).

Conclua assim que induz um isomorsmo entre E e F [X]/(f). Esse corpo E denotado

por E = F (), com j zemos anteriormente e chamado de uma extenso simples de

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F . Observe que pelo item (9a) a extenso F () pode ser denida de maneira absoluta

independente de conhecermos o polinmio mnimo de .

10. Observe que a construo E feita no item (9) pode ser repetida interativamente. Podemos

tomar K algbrico sobre E e construir E(). Nesse caso vamos escrever E() = F (, ).

Mostre que temos um homomorsmo sobrejetivo de F [x, y], anel de polinmios em duas var-

iveis com coecientes em F , sobre F (, ). Logo essa extenso pode ser vista como um quo-

ciente do anel F [x, y]. Isto , se I for o ncleo do homomorsmo construdo acima o Teorema

do Isomorsmo nos diz que F [x, y]/I ' F (, ).

11. Fazer a mesma coisa do item anterior com um nmero nito de elementos 1, . . . , n Kalgbricos sobre F .

12. Seja f(x) F [x] um polinmio irredutvel e seja K = F [x]/(f) o anel quociente pelo idealprincipal (f).

(a) Mostre que : F K, denida por (a) = a + (f) = a = classe de equivalncia dea, um homomorphismo injetivo de anis (como so corpos tem que ser injetivo, ver

Questo (21), pgina 11, Notas II). Logo podemos pensar que K uma extenso de F .

Vamos tambm identicar para cada a F , a com a, isto , vamos escrever a = a e nomais usar a barra sobre os elementos de F ,

(b) Usando o algortimo de Euclides mostre que toda classe de K pode ser dada por r(x) +

(f) = r(x) com gr r(x) < gr f(x).

(c) Seja = x + (f) = x K. Utilizando-se os itens (12a) e (12b) anteriores mostre quetoda classe de K pode ser dada na forma a0 + a1 + + an1n1, onde n = gr f(x) ea0, a1, . . . , an F (lembra que ai = ai). Conclua disso que [K : F ] = n.

(d) Observe nalmente que raiz de f(x). Dessa forma construmos uma extenso K de F

onde f(x) tem raiz. Com a notao do item (9b) do exerccio (9) temos K = F ().

(e) Conclua, baseado no fato de que F [x] um domnio de fatorao nica, que dado um

polinmio no constante h(x) F [x] existe uma extenso L de F onde h(x) tem uma raiz(pelo menos uma).

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13. Para alguns casos como p = 2, 3, 5, 7, . . . procure polinmios f(x) Fp[x], de grau 2 ou 3 quesejam irredutveis e use o exerccio anterior para construir extenses Fp() algbricas sobre Fponde f(x) tem raiz.

14. Teorema da Correspondncia: Sejam A e B dois anis e um homomorsmo sobrejetivo de A

sobre B.

(a) Mostre que existe uma correspondncia biunvoca entre o conjunto dos ideais de A que

contm o ncleo de e o conjunto de todos os ideais de B (use o item (9) da Questo 2

para levantar os ideais de B).

(b) Explore essa correspodncia vericando coisas como: ela preserva incluses, preserva in-

tersees, preserva MDC de dois ideais, e assim por diante.

(c) Seja I um ideal de A que contm N() e J = (I). Mostre que A/I ' B/J . (Use oexerccio (4), pgina 5, da Questo (4) para obter um homomorsmo : B/J A/I edepois verique que um isomorsmo.)

15. Construa homomorsmos tendo Z[X] como domnio e Fp[X] como contra-domnio. Lembrar o

item (3) da Questo (4).

16. Usando o Teorema da Correspondncia (14) e o ltimo exerccio determine todos os ideais

primos e maximais de Z[X].

17. Na verdade os homomorsmo so a melhor maneira para determinar quem um anel quociente.

O matemtico J. J. Rotman costumava dizer: deixe que os homomorsmos trabalhem para

voce. Os dois ltimos exerccios, (15) e (16), so melhor atacados por essa tcnica. Vejamos

como fazer isso:

(a) Seja o polinmio irredutvel f(x) = x3 5 Q[x] (Eisenstein). Quem o anel quocienteQ/(f)? Neste exemplo simples tomamos C uma raiz de f(x); = 35 R, porexemplo. Denimos : Q[x] Q() como (h(x)) = h(). Vericamos que umhomomorsmo sobrejetivo de anis com ncleo N() = (f). Logo, pelo Teorema do

Isomorsmo, Q/(f) ' Q(). Observe que como visto no item (9a) do exerccio (9) ocorpo Q() pode ser denido de forma absoluta.

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(b) Um exemplo mais complexo. Seja I = 5Z[x]+h(x)Z[x], onde h(x) = x3+2x1. Tomamosprimeiro : Z[x] F5[x] denida como

(ao + a1x+ + anxn) = ao + a1x+ + anxn,

onde a = a + 5Z a classe de restos de a mdulo 5. Verica-se facilmente que um

homomorsmo sobrejetivo de anis (Podemos tambm considerar pi : Z F5 = Z/5Za projeo cannica denida na pgina 6. Em seguida estendemos pi, como no item (3)

da Questo (4), para obtermos .) Vericamos em seguida que N() = 5Z[x]. Logo

Z[x]/5Z[x] ' F5[x] e 5Z[x] um ideal primo de Z[x] pois o quociente um domnio deintegridade, mas no era isso que estamos procurando (obtemos tambm que 5Z[x] um

ideal primo pelo exerccio (6) acima. Por outro lado, a construo que estamos fazendo

responde a segunda pergunta desse exerccio (6)).

Vericamos agora que h(x) = x3+2x1 F5[x] irredutvel (no tem razes em F5). Comono item anterior F5[x]/(h) ' F5(), para alguma raiz de h(x) escolhida em um fechoalgbrico de F5. Seja : F5[x] F5() o homomorsmo denido com no item anterior:(g(x)) = g(), para todo g(x) F5[x]. Temos que sobrejetivo e N() = h(x)F5[x].Tomemos em seguida a composio : Z[x] F5() e vericamos que o ncleo de o ideal I. Podemos ento concluir que I um ideal maximal e que Z[x]/I ' F5(), um corpo com 53 elementos.

(c) Use o Teorema da Correspondncia (14) para levantar atravs de os ideais de F5[x] e

assim determinar todos os ideais de Z[x] que contm 5Z[x].

(d) Considere agora o ideal J = 5Z[x]+ f(x)Z[x], onde f(x) = x2+1 e repita o procedimento

acima. Temos porm uma situao diferente: f(x) = x2 + 1 redutvel em F5[x]. Temos

agora que x2 + 1 = (x + 2)(x 2). Temos que os ideais (x + 2)F5[x] e (x 2)F5[x] soprimos (conforme exerccio (6)) e tem como Mnimo Mltiplo Comum (x+2)F5[x] (x+2)F5[x] = (x2 + 1)F5[x] (ou ento verique diretamente essa igualdade). Vamos agora

denir : F5[x] F5 F5 pondo (g(x)) = (g(2), g(2)). Observe que pelo algortimode Euclides g(x) = (x+2)q(x) + g(2) e igualmente g(x) = (x 2)q(x) + g(2). Portantog(2) = g(x) + (x + 2)F5[x] F5[x]/(x + 2)F5[x] e analogamente podemos interpretarg(2). De qualquer forma podemos vericar diretamente que um homomorsmo deanis com N() = (x2 + 1)F5[x]. Finalmente, pelo item (b) do exerccio (8) obtemos que

sobrejetiva.

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Quando tomarmos agora a composio teremos um homomorsmo sobrejetivo sobreF5F5 cujo ncleo J . Vamos ento concluir que J no um ideal primo pois, conformeo Teorema do Isomorsmo, o anel quociente Z[x]/J ' F5 F5 tem divisores prprios dezero.

(e) Observe que o polinmio f(x) = x2 + 1 irredutvel em Z[x] (Lema de Gauss), mas f(x)

no irredutvel em F5[x]. Em contraposio, mostre que para todo g(x) Z[x], se g(x) irredutvel em F5[x], ento g(x) irredutvel em Z[x].

Na verdade esse argumento vale para todo irredutvel p de Z.

18. Sejam E e F dois corpos e : E F um homomorsmo de anis. Seja f(x) = ao + a1x + anxn E[x] um polinmio irredutvel em E[x].

(a) Mostre que g(x) := (f) := (ao)+(a1)x+ (an)xn F [x] um polinmio irredutvelem F [x].

(b) Construa um homomorsmo de anis : E[x] F [x] cuja restrio a E seja igual a .(c) Mostre que existe um homomorsmo de anis : E[x]/(f) F [x]/(g), onde (f) e (g)so os ideais gerados por f e g, respectivamente (g(x) do item (18a)) cuja restrio a E

igual a .

(d) Sejam K e L, respectivamente, extenses de E e F para as quais existem K e Lrazes de f e g, respectivamente. Mostre que existe um nico homomorsmo de anis

E() F () cuja restrio a E igual a e leva em .

19. Chama-se corpo primo de um corpo K ao menor subcorpo de K. Mostre que o corpo primo de

K Q, se c(K) = 0 (caracterstica zero) e Fp, se c(K) = p 6= 0 (caractersitica p). Concluso:todo corpo pode ser visto como um espao vetorial sobre seu corpo primo.

Em particular se c(K) = p e n = [K : Fp], ento K tem pn elementos.

Reciprocamente, se K um corpo nito, ento c(K) = p 6= 0 e [K : Fp] nito. Isto , todocorpo nito tem pn elementos, onde p a caracterstica do corpo.

20. Seja P um ideal primo de A.

(a) Mostre que S = ArP uma parte multiplicativa de A. Nesse caso S1A denotado por

AP e chamado de localizado de A no ideal primo P e o processo de passar de A para AP

chamado de localizao no ideal primo P .

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(b) Mostre que PAP = {as1 | a P, s Ar P} o nico ideal maximal de AP .

(c) Mostre correspondncia bijetora entre { todos os ideais de A contidos em P} e { todosos ideais de AP}. Comparar com o Teorema da Correspondncia (14). Compare tambmcom o exerccio (7) da Questo (3).

(d) Poderamos fazer localizao com ideais que no fossem primos?

21. Todo anel com um nico ideal maximal chamado de anel local. Seja D um anel local com

nico maximal M , mostre que todos os ideais de D esto contidos em M . Mostre tambm que

D rM = D.

22. Seja c R um ponto e C o conjunto de todas as funes f com domnio e contradomniocontidos em R tais que existe vizinhana aberta V de c com f restrita a V contnua (C oconjunto de todas as funes a valores reais contnuas numa vizinhana aberta de c). Mostre

que C com a soma e o produto usual de funes um anel.

SejaM = { f C | f(c) = 0 }. Mostre queM o nico ideal maximal de C.

Observe queM no um ideal nitamente gerado de C.

Questo 10. Vamos agora estudar a relao entre ideais de um anel com os ideais de uma

extenso inteira. Seja B um domnio de integridade que uma extenso inteira de um anel A (todo

elemento de B inteiro sobre A, conforme item (i) da segunda denio da pgina 1 das Notas III).

Temos ento que:

1. Todo elemento b B algbrico sobre o corpo de fraes K de A e tem um polinmio mnimocom coecientes em A.

2. Para todo ideal no nulo I de B temos que I A um ideal no nulo de A.

Verique diretamente que I A um ideal de A. Para ver que existe a I A com a 6= 0tome b I, b 6= 0 e seja f(x) A[x], polinmio no constante e mnico, tal que f(a) = 0.Escolha f(x) = ao + a1x+ + xn de menor grau possvel com essa propriedades. Mostre que0 6= ao I A.

3. Mostre que B A = A.

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Tome u B A. Ento u1 B e portanto existe f(x) = ao + a1x+ + xn A[x] tal quef(u1) = 0. Tome o produto un1f(u1) = 0 e isole u1 para obter u1 A. Verique depoisa outra incluso.

4. Seja I um ideal primo de B. Ento B/I uma extenso inteira de A/(I A).Dado u B/I considere o polinmio mnico f(x) A[x] tal que f(u) = 0 para obter umpolinmio com coecientes em A/(I A) que se anula em u.

5. B um corpo se e somente se A for um corpo.

Estude a demonstrao do Corolrio II da pgina 4 das Notas III, especialmente o terceiro

pargrafo da demonstrao.

6. Um ideal primo I de B ser um ideal maximal de B se e somente se I A for maximal.Use os dois itens anteriores e os exerccio (2) e (4) da Questo (9), pgina 8.

7. Tire como consequncia do item anterior que se todo ideal primo no nulo de A for maximal

(em A), ento todo ideal primo no nulo de B tambm maximal (em B).

8. Seja K uma extenso nita de Q e O o fecho inteiro de Z em K.

(a) Conclua do item anterior que todo ideal primo no nulo de O maximal.(b) Usando o exerccio (4) conclua que para todo ideal primo P de O temos que O/P umaextenso algbrica de Z/(P Z).Observe que existe um irredutvel p Z tal que pZ = P Z. Logo O/P uma extensoalgbrica de Fp.

(c) Sejam u1, . . . , un O tais que u1, . . . , un O/P so linearmente independentes sobre Fp.Mostre que u1, . . . , un so linearmente independentes sobre Q.

Sugesto: se a1, . . . , an Q, no todos nulos, so tais que a1u1 + + anun = 0, en-to, multiplicando-se pelo denominador comum, podemos assumir que a1, . . . , an Z.Dividindo-se a1, . . . , an pelo MDC deles, podemos assumir que so relativamente primos.

Portanto, se pZ = P Z, ento existe 1 i n tal que p - ai. Passe agora parao anel quociente O/P , isto , considere a1u1 + + anun O/P , para chegar a umacontradio.

Concluso [O/P : Fp] [K : Q] e O/P um corpo nito.

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