Autor: Adriano Staiger BressanNRE: Cornélio ProcópioEscola: Colégio Estadual “André Seugling” Ensino Básico e ProfissionalDisciplina: MATEMÁTICA (   ) Ensino Fundamental  (X ) Ensino MédioDisciplina da relação interdisciplinar 1: BiologiaDisciplina da relação interdisciplinar 2: FísicaConteúdo Estruturante: FunçõesConteúdo Específico: Funções Polinomiais

Construindo funções polinomiais

Problematização:

Você sabe de onde vêm essas fórmulas que nós encontramos nos livros didáticos? 

Alguma   vez   você   já   se   deparou   com   funções   do   tipo:   y=−0,78x21,2   ou 

y=x3−2x24x−12 ?

E com problemas que calculam o peso de uma baleia em relação ao comprimento da 

cauda, ou a quantidade de raios ultravioleta em relação ao horário do dia? Certamente que 

sim,   pois   nos   livros   didáticos   muitos   problemas   são   apresentados   com   a   fórmula 

matemática pronta.

O objetivo deste módulo é construir as nossas próprias funções, para tanto vamos 

trilhar os seguintes passos:

I ­ contextualizar a Matemática no mundo contemporâneo e abordar o que é 

um modelo matemático;

1

II   –   construir   modelos   matemáticos   a   partir   de   tabelas   utilizando   uma 

planilha de cálculo;

III­ testar os modelos encontrados.

Contextualização

No início do terceiro milênio, o homem, com o auxílio das ciências, tem conseguido 

produzir medicamentos cada vez mais eficazes, retirando das plantas seus princípios ativos 

e   utilizando­os   em   muitas   produções   científicas,   desde   a   fabricação   de   vacinas   até   a 

produção de armas biológicas por meio da manipulação de vírus e bactérias. O homem, 

durante todo seu processo de evolução e, principalmente a partir da invenção da escrita, há 

aproximadamente cinco mil anos, vem criando ferramentas para tornar sua vida mais fácil.

Em pleno século XXI nos deparamos com sofisticadas  máquinas  de automação, 

com processos cirúrgicos impensados em décadas passadas, nos impressionamos com as 

descobertas  a  cerca do cosmos e nos surpreendemos com o avanço da genética  e  seus 

processos de clonagem.

A   Matemática   está   presente   em   todos   esses   avanços.   Ela   contribui   de   forma 

significativa na sua formação, visa seu pleno desenvolvimento como pessoa, seu preparo 

para o exercício  da cidadania  e sua qualificação para o  trabalho,  em outras palavras,  a 

Matemática está presente na sua vida e te ajuda a entender melhor o mundo do qual você 

faz parte.

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A Matemática pode ser concebida como instrumento de análise,  interpretação de 

dados e resolução de problemas, a qual o auxiliará na tomada de decisão, seja qual for a sua 

futura área de atuação profissional.

Apesar de todo esse avanço científico e  tecnológico,  algumas dificuldades  ainda 

persistem   no   que   tange   em   conceber   significativamente   o   conceito   de   função   e 

compreender a origem das fórmulas matemáticas apresentadas nos livros didáticos. Dentro 

deste   contexto,   busca­se   utilizar   a   modelagem   como   método   de   apropriação   de 

conhecimentos   com o   intuito   de   facilitar   o   processo  de   aprendizagem  das   funções   no 

Ensino Médio.

Mas o que é essa tal de modelagem?

Na visão do professor BASSANEZI,

Modelagem Matemática  é  um processo  dinâmico utilizado  para  a  obtenção e validação dos modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com   a   finalidade   de   previsão   de   tendências.   A   modelagem   consiste, essencialmente,   na   arte   de   transformar   situações   da   realidade   em   problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual. (2002, P.24).

Nessa   perspectiva,   a   modelagem   é   uma   importante   ferramenta   que   fornece 

aproximações   da   realidade   e   pode   ser   aplicada   em   sala   de   aula   “com   a   intenção   de  

estimular alunos e professores de matemática a desenvolverem suas próprias habilidades  

como modeladores.” (BASSANEZI, 2002, P.25)

Você,   certamente,   já   se   deparou   com a   situação  de  não   conseguir   relacionar   o 

conteúdo matemático estudado no colégio com os problemas do dia­a­dia e, por isso pode 

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ser   levado  a   acreditar  que  as   regras  de   três,   simples   e   composta,   a  porcentagem e  as 

conversões de unidades são os únicos assuntos importantes para a vida. 

Talvez isso se deva à forma como se vem trabalhando o ensino da Matemática, com 

situações problemas pré­concebidas recheadas de fórmulas e expressões algébricas prontas, 

em que você, muitas vezes, decora a solução sem entender, só para fazer a prova! 

As fórmulas matemáticas não nascem prontas! Os escritores de livros didáticos, os 

professores,  bem como os  cientistas,  quando descrevem uma determinada   situação  por 

meio de uma fórmula matemática não o fazem de supetão. Não raras vezes há a necessidade 

de se empregar complexos conceitos matemáticos, bem como se utilizar do que há de mais 

moderno em termos computacionais.

Para   reverter   esse   quadro,   vamos   trabalhar   as   funções   polinomiais   de   forma 

contextualizada,   integrando­as  ao  seu  cotidiano  e,  para   tanto,   se  emprega  a  modelação 

matemática como metodologia alternativa e delineadora das atividades.

 Baseado nas afirmações anteriores, acredita­se que chegou o momento de inovar, 

de resolver problemas reais, ou seja, que partem da observação da realidade, que requerem 

suporte matemático, nos quais as fórmulas são engendradas a partir da coleta de dados, da 

observação, da generalização, da abstração, e a solução tenha um significado real. Você vai 

perceber quão valiosa é a ferramenta matemática.

O   objetivo   primeiro   desse   trabalho   é   propor   a   Modelação   Matemática   como 

metodologia alternativa para a aprendizagem de funções na disciplina de Matemática no 

Ensino Médio.

 

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Espera­se   que,   ao   término   do   Ensino   Médio,   você   se   sinta   mais   seguro   para 

enfrentar os desafios acadêmicos e profissionais, que consiga estabelecer relações, prever 

resultados,  fazer  abstrações e ver o mundo sob um novo ponto de vista,  expressando­o 

através da linguagem matemática.

Construindo modelos matemáticos a partir de uma tabela de dados.

Situação problema: Sabe­se que a concentração de ácido ascórbico (vitamina C) 

decai no processo de amadurecimento da manga após esta  ter  sido apanhada no estado 

verde maturo, em outras palavras, a manga verde possui mais vitamina C que a manga 

madura. Para se chegar a essa conclusão os pesquisadores colheram as mangas em estágio 

verde maturo e transportaram­nas para o laboratório, onde foram selecionadas e lavadas, 

durante   o   período   de   estudo   as   frutas   foram   armazenadas   em   câmara   com   umidade 

controlada e de dois em dois dias foram analisadas amostras da fruta. Os resultados obtidos 

estão dispostos na tabela­1, sendo que o momento “0” corresponde ao estágio verde maturo 

e  o  “14”  indica  que a   fruta   foi  colhida  há  quatorze  dias  atrás.  Analise  a   tabela  –  1  e 

responda: Qual a relação matemática existente entre o tempo, em dias, de amadurecimento 

após a colheita e a concentração de ácido ascórbico de uma manga?

Tabela   1:  Concentração  de   ácido   ascórbico  na  manga   em  função  do   tempo  de 

amadurecimento.

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Tempo em dias Concentração de ácido ascórbico (mg/100g)0 21,42 204 18,56 16,18 14,110 12,912 11,714 11,1

Fonte: Adaptado de CARDELLO1

Para encontrarmos a função matemática que melhor se ajusta aos dados da tabela 1 

vamos utilizar uma planilha de cálculo, neste caso o EXCEL. Para que você entenda todo o 

processo de obtenção de um modelo vamos fazê­lo passo­a­passo.

Para pesquisar:

O que são vitaminas?

Qual a função da vitamina C no organismo humano?

Quais   os   alimentos   ricos   em   ácido   ascórbico   que 

fazem parte de sua alimentação?

1  CARDELLO, Helena Maria A.B. CARDELLO, Leonardo. TEOR DE VITAMINA C, ATIVIDADE DE ASCORBATO OXIDASE E PERFIL SENSORIAL DE MANGA (Mangífera   índica L.)  VAR. HADEN, DURANTE O AMADURECIMENTO. 

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Primeiro passo: Digitar a tabela no EXCEL; selecionar os dados numéricos; inserir 

gráfico. Neste momento abrirá uma janela: “Assistente de gráfico”. Clique em “Tipo de 

gráfico: Dispersão (XY)” e no “Subtipo de gráfico” clique no desenho – Dispersão com 

pontos  de  dados  por   linhas  suaves  sem marcadores.  Clique  em avançar  até   finalizar  o 

gráfico.

No seu computador aparecerá a seguinte tela:

Figura 1: Construção do gráfico.

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Segundo passo: Com o gráfico pronto vamos clicar com o botão direito sobre a 

curva que descreve a tabela, aparecerá uma caixa de diálogo. Clique em adicionar linha de 

tendência. 

No seu computador aparecerá a seguinte tela:

Figura 2: Adicionar linha de tendência.

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Terceiro passo: Quando você clicou em adicionar linha de tendência abriu a janela 

“Adicionar linha de tendência”. 

O programa pré­selecionou o tipo de regressão linear. Dependendo do caso você 

pode escolher outro tipo de regressão, como a polinomial. 

Como nosso gráfico lembra muito uma reta vamos manter o tipo linear e clicar em 

“Opções”.

Figura 3: Tipo de regressão.

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Quarto passo: Clicar em “Exibir equação no gráfico” e “Exibir valor de R­quadrado 

no gráfico”. Em seguida clique “Ok”

Figura 4: Opções de resultados.

Importante:   R­quadrado   é   um   valor   compreendido   entre   ­1   e   1.   Quanto   mais 

próximo de 1 ou de ­1 melhor é o ajuste. Em termos práticos considera­se um bom ajuste se 

­1 ≤ R2 ≤ ­0,8 ou 0,8 ≤ R2 ≤ 1.

Figura 5: Indicador do ajuste de curvas.

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Você terá encontrado a função y = ­0,7881x + 21,242, onde x representa o tempo 

em dias e y representa a concentração de ácido ascórbico em miligramas por 100 gramas de 

manga.

Figura 6: Ajuste de curvas.

Para pesquisar:

Historicamente, quando surgiu a idéia de representar 

relações por meio de gráficos?

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Testando o resultado encontrado

Para testarmos o resultado vamos comparar o valor y da tabela para cada x com o 

valor numérico da função encontrada.

Tabela   2:   Comparação   entre   a   concentração   de   ácido   ascórbico   encontrado   no 

experimento e o resultado obtido pelo ajuste de curvas.

Tempo 

em 

dias

Concentração 

de   ácido 

ascórbico 

(mg/100g) 

encontrado   no 

experimento. 

(tabela original)

Substituindo   x   na   função 

y=0,7881x21,242  temos:

Resultado   obtido 

quando 

substituímos x na 

função 

encontrada.

0 21,4 x=0  ⇒   y=0,7881021,242           y = 21,2422 20 x=2  ⇒   y=0,7881221,242           y = 19,66484 18,5 x=4  ⇒   y=0,78814 21,242             y = 18,08866 16,1 x=6  ⇒   y=0,7881621,242           y = 16,51248 14,1 x=8  ⇒   y=0,7881821,242           y = 14,936210 12,9 x=10  ⇒   y=0,788110 21,242           y = 13,3612 11,7 x=12  ⇒   y=0,788112 21,242           y = 11,783814 11,1 x=14  ⇒   y=0,788114 21,242           y = 10,2076

Para ilustrar a tabela 2 e facilitar  sua visualização veja os gráficos comparativos 

abaixo:

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Gráfico 1: Concentração de ácido ascórbico encontrada em laboratório.

Gráfico 2: Concentração de ácido ascórbico estimada pela fórmula.

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Concentração de ácido ascórbico na manga encontrado em laboratório em 

função do tempo

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14Tempo em dias

Conc

entra

çã o de

 

á cido

 asc

ó rbic

o 

mg/

100g

Concentração de ácido ascórbico na manga encontrado em laboratório em 

função do tempo

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14Tempo em dias

Conc

entra

çã o de

 

á cido

 asc

ó rbic

o 

mg/

100g

Gráfico 3: Comparação entre os dados colhidos em laboratório e os obtidos pelo 

ajuste de curvas.

Como se pode observar as respostas obtidas são muito próximas das encontrados em 

laboratório, o que nos permite formular o seguinte problema:

Sabendo que a  concentração  de  ácido  ascórbico  na manga  é  dada  pela   fórmula 

y=0,7881 x21,242 ,  onde x   ¿   [0,14],  sendo 0 correspondente ao estágio verde 

maturo, momento da colheita e 14 ao tempo em dias de amadurecimento após a colheita. A 

variável y representa a quantidade de vitamina C, ácido ascórbico, em mg/100g de manga. 

Qual a concentração de ácido ascórbico provável numa manga colhida há 10 dias?

Acredito que agora o problema tem sentido, pois você sabe que a fórmula não é 

fictícia, ela aproxima os valores reais encontrados no laboratório.

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Concentração de ácido ascórbico na manga em função do tempo

y = ­0,7881x + 21,242R2 = 0,9794

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12 14Tempo em dias

Conc

entra

çã o de

 

á cido

 asc

ó rbic

o 

mg/

100g

Atividade proposta.

Suponha que uma indústria automobilística fez testes para aferir a autonomia de um 

carro que será lançado no próximo ano.  Cada teste foi realizado com um litro, e apenas um 

litro de combustível. No primeiro teste verificou­se que a 20km/h o carro percorreu 4km. 

No segundo verificou­se que a 50km/h o carro percorreu 11km. No terceiro teste verificou­

se que a 80km/h o carro percorreu 15km. No quarto e último teste colocou­se um litro, e 

apenas um litro, de combustível, como nos testes anteriores e verificou­se que a 110km/h o 

carro percorreu 15km.

De posse dessas informações escreva a fórmula matemática que melhor se ajusta à 

situação   apresentada,   use­a   para   estimar   a   distância   percorrida  pelo   carro   a   95km/h   e 

encontre qual a velocidade permite percorrer a maior distância. 

Para pesquisar:

Qual o conceito de distância?

O que é velocidade?

Qual a relação matemática entre velocidade, distância 

e tempo?

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino­aprendizagem com modelagem matemática: uma 

nova estratégia. São Paulo: Contexto, 2002, 389p.

CARDELLO,   Helena   Maria   A.B.   CARDELLO,   Leonardo.  Teor   de   Vitamina   C, 

Atividade de Ascorbato Oxidase e Perfil Sensorial de Manga (Mangífera Índica L.) 

Var.   Haden,   Durante   o   Amadurecimento.   Disponível   em: 

<http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0101­20611998000200013&script=sci_arttext 

#back>. Acesso em: 18 de novembro de 2007.

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