Trigonometria

Autor: José António Fernandes de Freitas

Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011

Aplicações da Trigonometria

A palavra Trigonometria é formada por três radicais

gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metron (medir). Daí

vem o seu significado mais amplo: Medida dos Triângulos,

assim através do estudo da Trigonometria podemos

calcular as medidas dos elementos do triângulo (lados e

ângulos).

Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular

distâncias inacessíveis

A Trigonometria é um instrumento potente de cálculo, que

além do seu uso na Matemática, também é usado no

estudo de fenómenos físicos, Eletricidade, Mecânica,

Música, Topografia, Engenharia entre outros.

Alguns exemplos básicos de aplicações práticas da

trigonometria

Distâncias dentro do sistema

solar Distância de planetas inferiores

Quando o planeta inferior (tem a sua órbita menor que a da terra)

em máxima elongação (emax), o ângulo entre a Terra e o Sol, na

posição do planeta, será 90º. Então, nessa situação Sol, Terra e

planeta formam um triângulo retângulo, e a distância do planeta

ao sol será:

Distância de planetas superiores

Considerando o triângulo formado pelo sol, Terra e planeta

(SE’P’), o ângulo entre o Sol e o planeta, visto da terra é 90º, e o

ângulo formado entre a Terra e o planeta é α. Então a distância

entre o Sol e o planeta será:

Determinação do raio lunar

Um observador com ajuda de aparelhos especiais que lhe

forneçam o ângulo em que ele vê a lua e a distância em que a lua

se encontra da Terra, pode descobrir o raio da lua, apenas

utilizando a lei do seno:

substituindo, , o que deduz a fórmula:

Determinação da altura de

casas, montanhas, torres, …

Análise e estudo da frequência

cardíaca.A variação da pressão sanguínea (em mm HG) de uma pessoa, em

função do tempo (em s), é uma função trigonométrica cuja lei é

dada por:

Fenómenos periódicos

Em matemática, as funções trigonométricas são

funções angulares, importantes no estudo dos

triângulos e na modelação de fenómenos

periódicos.

Nós chamamos um fenómeno de periódico

quando este fenómeno se repete após certo

intervalo de tempo (período).

Se um fenómeno é sabidamente periódico,

podemos prever com relativa facilidade o que

ocorre em momentos não observados.

Alguns exemplos de fenómenos periódicos

Movimento das marés

Ciclo menstrual da mulher

As fases da Lua

Movimento de um pêndulo

Ciclo dia e noite (rotação da

Terra)

Função Seno

Dado um ângulo de medida x, a função seno é a

relação que associa a cada x ϵ IR, o seno do

ângulo x, definido pelo número real sen(x).

A função é definida por f(x) = sen(x) ou y =

sen(x)Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico

da restrição da função seno ao intervalo [0,

2π].

O traçado representado na figura anterior

corresponde a uma volta no círculo

trigonométrico, de 0 a 2π. Continuando a dar

voltas no círculo, no sentido positivo ou no

sentido negativo, obtém-se o gráfico da função

seno, que pode ser visto como uma sucessão

repetitiva da curva anteriormente apresentada.

A seguir apresenta-se parte da representação

gráfica da função seno, um pouco mais

«estendida» no seu domínio. O gráfico da função

seno é uma curva que se designa por sinusóide.

Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 3, 4, 5 e 6 da ficha orientada.

A periodicidade das funções trigonométricas permite que

estas sejam frequentemente utilizadas para definir

modelos matemáticos que ajudam à compreensão de

inúmeros fenómenos periódicos, tais como: marés, fases

da lua, ondas sonoras, órbitas de satélites, etc.

Um modelo muito utilizado para este tipo de fenómenos é

definido por f(x) = a.sen(bx + m) + k, onde os parâmetros

reais a, b e m são, em vários contextos, designados como

amplitude, frequência e desfasamento, respectivamente.

Transformações no gráfico da função seno

Situação 1: Consideremos a função cuja expressão é dada

por y = f1 (x) = sen(x) + k, onde k é uma constante real. A

pergunta natural a ser feita é: “Qual a ação da constante

k no gráfico desta nova função quando comparado ao

gráfico da função inicial y = sen(x)?”Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.

Sugere-se uma pequena investigação sobre esta família de

funções.

Partindo da função seno e recorrendo ao Geogebra, estude a

influência de cada parâmetro no comportamento da função,

nomeadamente em relação ao período, contradomínio, zeros e

extremos.

Situação 2: Ainda podemos pensar numa função seno que

seja dada pela expressão y = f2 (x) = a.sen(x), onde a é

uma constante real, a ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é:

“Qual a ação da constante a no gráfico desta nova função

quando comparado ao gráfico da função inicial y =

sen(x)?”Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.

Situação 3: Consideremos agora uma função seno que

seja dada pela expressão y = f3 (x) = sen(x + m), onde m é

uma constante real, m ≠ 0. A pergunta natural a ser feita

é: “Qual a ação da constante m no gráfico desta nova

função quando comparado ao gráfico da função inicial y =

sen(x)?”

Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.

Para ajudar na resposta a esta questão clique aqui.

Situação 4: Consideremos agora uma função seno que seja

dada pela expressão y = f4 (x) = sen(bx), onde b é uma

constante real, b ≠ 0. A pergunta natural a ser feita é:

“Qual a ação da constante b no gráfico desta nova função

quando comparado ao gráfico da função inicial y = sen(x)?”

Agora que já estudou o efeito de cada parâmetro

separadamente, chegou o momento de os colocar a todos em

ação.

O gráfico da função f(x), representado a negro, foi gerado

aleatoriamente.

O seu desafio é encontrar os valores dos coeficientes a, b, c e d

da função g(x) (a vermelho) de modo que o gráfico desta função

seja igual ao gráfico de f(x).

Para resolver o desafio clique aqui.

Função Cosseno

A função cosseno é a correspondência unívoca que associa a

cada número real x o valor do cosseno de x, tal como definido

no círculo trigonométrico.

Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da

função cosseno ao intervalo [0, 2π].

A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função

cosseno, um pouco mais «estendida» no seu domínio.

O gráfico da função cosseno é o transformado do gráfico da

função seno pela translação horizontal associada ao vetor

(-π/2 ; 0).

Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 14, 15, 16 e 17 da ficha orientada.

Função Tangente

A função tangente é a correspondência unívoca que associa a

cada número real x, que não pertença a

{x ϵ IR : x = (π/2) + k π, k ϵ Z}, o valor da tangente de x, tal

como definido no círculo trigonométrico.Clique na figura abaixo para visualizar o gráfico da restrição da

função tangente ao intervalo [0, 2π], para os valores de x onde a

tangente está definida.

A seguir apresenta-se parte da representação gráfica da função

tangente, um pouco mais «estendida» no seu domínio.

Clique na imagem anterior e resolva os exercícios 20, 21, 22 e 23 da ficha orientada.

Observe, agora, como as funções trigonométricas também

podem representar figuras interessantes.

Figura 1 – clique aqui.

Figura 2 – clique aqui.

Figura 3 – clique aqui.

FIM

Ficha técnica

Autor da atividade : José António Fernandes de Freitas

Licença da atividade: Creative Commons da Casa das Ciências