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MATEM ´ ATICAS B ´ ASICAS Autoras: Jeanneth Galeano Pe˜ naloza Margarita Ospina Pulido Edici´ on: Marcela Rubio Perilla Oscar Guillermo Ria˜ no Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ aticas Sede Bogot´ a Enero de 2015 Universidad Nacional de Colombia Matem´ aticas B´ asicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 1/1

Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

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Page 1: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

MATEMATICAS BASICAS

Autoras: Jeanneth Galeano PenalozaMargarita Ospina Pulido

Edicion: Marcela Rubio PerillaOscar Guillermo Riano

Universidad Nacional de ColombiaDepartamento de Matematicas

Sede Bogota

Enero de 2015Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 1 / 1

Page 2: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Parte I

Coordenadas Rectangulares

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 2 / 1

Page 3: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Coordenadas Rectangulares

Plano Cartesiano

Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, esta formadopor dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejescoordenados, que se intersectan en un punto llamado origen.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 3 / 1

Page 4: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Coordenadas Rectangulares

Plano Cartesiano

Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, esta formadopor dos rectas coordenadas perpendiculares llamadas ejescoordenados, que se intersectan en un punto llamado origen.

La recta horizontal se llama eje x y la recta vertical eje y.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 3 / 1

Page 5: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Coordenadas Rectangulares

Plano Cartesiano

Generalmente se escoge la direccion positiva del eje x hacia laderecha, y la direccion positiva del eje y hacia arriba.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 4 / 1

Page 6: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Coordenadas Rectangulares

Plano Cartesiano

Generalmente se escoge la direccion positiva del eje x hacia laderecha, y la direccion positiva del eje y hacia arriba.

A cada punto del plano se le asigna una pareja de reales (a, b) dondea es el punto de corte sobre el eje x de la recta perpendicular a esteeje que pasa por el punto (a, b)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 4 / 1

Page 7: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Coordenadas Rectangulares

Plano Cartesiano

Generalmente se escoge la direccion positiva del eje x hacia laderecha, y la direccion positiva del eje y hacia arriba.

A cada punto del plano se le asigna una pareja de reales (a, b) dondea es el punto de corte sobre el eje x de la recta perpendicular a esteeje que pasa por el punto (a, b) y b es el punto sobre el eje y delcorte de la perpendicular a este eje que pasa por (a, b).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 4 / 1

Page 8: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Coordenadas Rectangulares

Plano Cartesiano

Al trazar estas dos rectas, el plano queda dividido en cuatro sectoresllamados cuadrantes, en el primer cuadrante tanto x como y son positivos,en el segundo, x es negativo y y es positivo, en el tercero los dos sonnegativos y en el cuarto x es positivo y y negativo.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 5 / 1

Page 9: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Plano Cartesiano

1

1

x

y

III

III IV

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 6 / 1

Page 10: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Coordenadas Rectangulares

Ejercicio

Encuentre las coordenadas de los puntos marcados en rojo.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 7 / 1

Page 11: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Coordenadas Rectangulares

1

1

x

y

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

ab

c

d

e

f

g

h

i

j

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 8 / 1

Page 12: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Distancia

Definicion

La distancia entre dos puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) del plano cartesianoesta dada por

d(P ,Q) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 9 / 1

Page 13: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Distancia

x

y

x1 x2

y1

y2

b

bQ = (x2, y2)

P = (x1, y1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 10 / 1

Page 14: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Punto medio

x

y

x1 x2

y1

y2

b

b

b

Q

P

M

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 11 / 1

Page 15: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Punto medio

x

y

x1 x2

y1

y2

b

b

b

Q

P

M

Definicion

Las coordenadas del punto medioentre los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2)esta dada por

M =

(

x1 + x2

2,y1 + y2

2

)

.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 11 / 1

Page 16: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 17: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 18: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

b

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 19: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

b(x0, y0)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 20: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

b(x0, y0)

b

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 21: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

b(x0, y0)

b(x1, y1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 22: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

b(x0, y0)

b(x1, y1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 23: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

b(x0, y0)

b(x1, y1)

x1 − x0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 24: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

b(x0, y0)

b(x1, y1)

x1 − x0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 25: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Pendiente de una recta

x

y

b(x0, y0)

b(x1, y1)

x1 − x0

y1 − y0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 12 / 1

Page 26: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Si una recta pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) definimos la pendientede la recta como

m =y1 − y0

x1 − x0,

donde x0 6= x1, que nos da el grado de inclinacion de la recta con respectoal eje x.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 13 / 1

Page 27: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Si una recta pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) definimos la pendientede la recta como

m =y1 − y0

x1 − x0,

donde x0 6= x1, que nos da el grado de inclinacion de la recta con respectoal eje x.Una recta con pendiente cero no tiene inclinacion, es decir, es horizontal.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 13 / 1

Page 28: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Si una recta pasa por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) definimos la pendientede la recta como

m =y1 − y0

x1 − x0,

donde x0 6= x1, que nos da el grado de inclinacion de la recta con respectoal eje x.Una recta con pendiente cero no tiene inclinacion, es decir, es horizontal.La pendiente de una recta vertical no esta definida.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 13 / 1

Page 29: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

La ecuacion general de la recta que tiene pendiente m y cuyo corte con eleje y esta en y = b es

y = mx + b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 14 / 1

Page 30: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Ejemplo

Para hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4,−1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 15 / 1

Page 31: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Ejemplo

Para hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4,−1)hallamos la pendiente:

m =3− (−1)

2− 4=

4

−2= −2,

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 15 / 1

Page 32: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Ejemplo

Para hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4,−1)hallamos la pendiente:

m =3− (−1)

2− 4=

4

−2= −2,

y el corte:

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 15 / 1

Page 33: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Ejemplo

Para hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4,−1)hallamos la pendiente:

m =3− (−1)

2− 4=

4

−2= −2,

y el corte:

y = mx + b ecuacion general

−1 = (−2)(4) + b sustituimos los valores de x , y , m

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 15 / 1

Page 34: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Ejemplo

Para hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (4,−1)hallamos la pendiente:

m =3− (−1)

2− 4=

4

−2= −2,

y el corte:

y = mx + b ecuacion general

−1 = (−2)(4) + b sustituimos los valores de x , y , m

7 = b despejamos b

y = −2x + 7 ecuacion reemplazando m y b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 15 / 1

Page 35: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion general de la recta

Ejercicio

1 Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos (3,−7) y(−6, 3).

2 Hallar la ecuacion de la recta que corta al eje y en y = −4 y pasa porel punto (1, 5).

3 Hallar la ecuacion de la recta que tiene pendiente m = 23 y pasa por el

punto (53 ,−7).

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 16 / 1

Page 36: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

Para graficar y = 2x + 3 es suficiente encontrar dos puntos quepertenezcan a esta recta.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 17 / 1

Page 37: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

Para graficar y = 2x + 3 es suficiente encontrar dos puntos quepertenezcan a esta recta. Los obtenemos sustituyendo x por dos valoresdistintos, por ejemplo

x = 0 implica y = 3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 17 / 1

Page 38: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

Para graficar y = 2x + 3 es suficiente encontrar dos puntos quepertenezcan a esta recta. Los obtenemos sustituyendo x por dos valoresdistintos, por ejemplo

x = 0 implica y = 3

x = 1 implica y = 5

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 17 / 1

Page 39: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

Para graficar y = 2x + 3 es suficiente encontrar dos puntos quepertenezcan a esta recta. Los obtenemos sustituyendo x por dos valoresdistintos, por ejemplo

x = 0 implica y = 3

x = 1 implica y = 5

Ubicamos en el plano los puntos (0, 3) y (1, 5) y trazamos la recta quecontiene estos puntos.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 17 / 1

Page 40: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

1

1

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 18 / 1

Page 41: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

1

1

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 18 / 1

Page 42: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

1

1

x

y

•(0, 3)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 18 / 1

Page 43: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

1

1

x

y

•(0, 3)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 18 / 1

Page 44: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

1

1

x

y

•(0, 3)

• (1, 5)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 18 / 1

Page 45: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

1

1

x

y

•(0, 3)

• (1, 5)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 18 / 1

Page 46: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

En la recta y = 2x + 3, la pendiente es m = 2 y el corte con el eje y esb = 3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 19 / 1

Page 47: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

En la recta y = 2x + 3, la pendiente es m = 2 y el corte con el eje y esb = 3 , ası que podemos ubicarnos en el punto (0, 3) y como m = 2 = 2

1 ,a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direccion positiva de x

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 19 / 1

Page 48: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

En la recta y = 2x + 3, la pendiente es m = 2 y el corte con el eje y esb = 3 , ası que podemos ubicarnos en el punto (0, 3) y como m = 2 = 2

1 ,a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direccion positiva de x y2 unidades en la direccion positiva de y .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 19 / 1

Page 49: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de una expresion lineal

En la recta y = 2x + 3, la pendiente es m = 2 y el corte con el eje y esb = 3 , ası que podemos ubicarnos en el punto (0, 3) y como m = 2 = 2

1 ,a partir de este punto avanzamos 1 unidad en la direccion positiva de x y2 unidades en la direccion positiva de y .De esta manera determinamos otro punto de la recta: (1, 5) y unimosestos puntos para trazar la grafica.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 19 / 1

Page 50: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = 2x + 3

1

1

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 1

Page 51: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = 2x + 3

1

1

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 1

Page 52: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = 2x + 3

1

1

x

y

•(0, 3)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 1

Page 53: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = 2x + 3

1

1

x

y

•(0, 3)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 1

Page 54: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = 2x + 3

1

1

x

y

•(0, 3)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 1

Page 55: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = 2x + 3

1

1

x

y

•(0, 3)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 1

Page 56: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = 2x + 3

1

1

x

y

•(0, 3)

• (1, 5)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 20 / 1

Page 57: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Si la pendiente es negativa,

Ejemplo

En la recta y = −43x − 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 21 / 1

Page 58: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Si la pendiente es negativa,

Ejemplo

En la recta y = −43x − 1.

A partir del punto (0,−1) (el corte con el eje y)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 21 / 1

Page 59: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Si la pendiente es negativa,

Ejemplo

En la recta y = −43x − 1.

A partir del punto (0,−1) (el corte con el eje y) avanzamos 3 en ladireccion positiva de x

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 21 / 1

Page 60: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Si la pendiente es negativa,

Ejemplo

En la recta y = −43x − 1.

A partir del punto (0,−1) (el corte con el eje y) avanzamos 3 en ladireccion positiva de x y 4 en la direccion negativa de y .

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 21 / 1

Page 61: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = −43x − 1

1

1

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 1

Page 62: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = −43x − 1

1

1

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 1

Page 63: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = −43x − 1

1

1

x

y

•(0,−1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 1

Page 64: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = −43x − 1

1

1

x

y

•(0,−1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 1

Page 65: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = −43x − 1

1

1

x

y

•(0,−1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 1

Page 66: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = −43x − 1

1

1

x

y

•(0,−1)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 1

Page 67: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = −43x − 1

1

1

x

y

•(0,−1)

• (3,−5)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 22 / 1

Page 68: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

¿Que pasa si la pendiente es cero?

Si la pendiente es cero, podemos escribir m = 0 = 0acon a 6= 0.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 23 / 1

Page 69: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

¿Que pasa si la pendiente es cero?

Si la pendiente es cero, podemos escribir m = 0 = 0acon a 6= 0.

Al realizar la grafica, avanzamos a unidades en la direccion positiva de x y0 unidades en la direccion positiva de y ,

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 23 / 1

Page 70: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

¿Que pasa si la pendiente es cero?

Si la pendiente es cero, podemos escribir m = 0 = 0acon a 6= 0.

Al realizar la grafica, avanzamos a unidades en la direccion positiva de x y0 unidades en la direccion positiva de y , la recta resultante es horizontal.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 23 / 1

Page 71: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

¿Que pasa si la pendiente es cero?

Si la pendiente es cero, podemos escribir m = 0 = 0acon a 6= 0.

Al realizar la grafica, avanzamos a unidades en la direccion positiva de x y0 unidades en la direccion positiva de y , la recta resultante es horizontal.Su ecuacion es y = b.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 23 / 1

Page 72: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = b

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 1

Page 73: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = b

x

y

b

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 1

Page 74: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = b

x

y

b•

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 1

Page 75: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = b

x

y

b•

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 1

Page 76: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = b

x

y

b• •

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 1

Page 77: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Grafica de y = b

x

y

b• •

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 24 / 1

Page 78: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Rectas

Ejercicio

Realice la grafica de y = 32x − 4 y de y = 3

2x − 1 en el mismo plano. ¿Querelacion existe entre las rectas?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 25 / 1

Page 79: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 1

Page 80: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 1

Page 81: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente , o ambasson verticales.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 1

Page 82: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente , o ambasson verticales.

¿Cuando dos rectas son perpendiculares?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 1

Page 83: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente , o ambasson verticales.

¿Cuando dos rectas son perpendiculares?

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es−1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 1

Page 84: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Paralelas y Perpendiculares

Rectas Paralelas

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente , o ambasson verticales.

¿Cuando dos rectas son perpendiculares?

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es−1 , o si una es vertical y la otra es horizontal.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 26 / 1

Page 85: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Rectas paralelas y perpendiculares

x

y

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 27 / 1

Page 86: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Rectas paralelas y perpendiculares

x

y

L1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 27 / 1

Page 87: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Rectas paralelas y perpendiculares

x

y

L1 L2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 27 / 1

Page 88: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Rectas paralelas y perpendiculares

x

y

L1 L2L3

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 27 / 1

Page 89: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Rectas paralelas y perpendiculares

Ejercicio

Realice la grafica de y = 53x + 2 y de y = −3

5x − 1 en el mismo plano.

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Rectas paralelas y perpendiculares

Ejercicio

1 Encuentre la ecuacion de la paralela a 3y + 4x = 2 que pasa por elpunto (3,−1).

2 Encuentre la ecuacion de la perpendicular a 2y − 6x − 5 = 0 que pasapor el punto (2, 4).

3 Encuentre el punto de corte de las rectas L1 : 2y − 4x = 8 yL2 : 3x + 4y = −1.

4 Encuentre la ecuacion de la paralela a L2 que pasa por (−3, 3).

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Page 91: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Circunferencia

Una circunferencia con centro C (h, k) y radio r > 0 esta formada portodos los puntos del plano cuya distancia al centro es r .

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Page 92: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Circunferencia

Una circunferencia con centro C (h, k) y radio r > 0 esta formada portodos los puntos del plano cuya distancia al centro es r .Si un punto arbitrario P(x , y) del plano pertenece a la circunferencia,satisface

d(P ,C ) = r

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 30 / 1

Page 93: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Circunferencia

Una circunferencia con centro C (h, k) y radio r > 0 esta formada portodos los puntos del plano cuya distancia al centro es r .Si un punto arbitrario P(x , y) del plano pertenece a la circunferencia,satisface

d(P ,C ) = r√

(x − h)2 + (y − k)2 = r

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 30 / 1

Page 94: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Circunferencia

Una circunferencia con centro C (h, k) y radio r > 0 esta formada portodos los puntos del plano cuya distancia al centro es r .Si un punto arbitrario P(x , y) del plano pertenece a la circunferencia,satisface

d(P ,C ) = r√

(x − h)2 + (y − k)2 = r

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 30 / 1

Page 95: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Circunferencia

Una circunferencia con centro C (h, k) y radio r > 0 esta formada portodos los puntos del plano cuya distancia al centro es r .Si un punto arbitrario P(x , y) del plano pertenece a la circunferencia,satisface

d(P ,C ) = r√

(x − h)2 + (y − k)2 = r

(x − h)2 + (y − k)2 = r2

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 31 / 1

Page 96: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

x

y

h

k •

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 32 / 1

Page 97: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

x

y

h

k •r

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 32 / 1

Page 98: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

x

y

h

k •r

• P = (x , y)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 32 / 1

Page 99: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

x

y

h

k •r

• P = (x , y)

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 32 / 1

Page 100: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Si el punto C es el origen

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 33 / 1

Page 101: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Si el punto C es el origen la ecuacion se reduce a

x2 + y2 = r2.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 33 / 1

Page 102: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Si el punto C es el origen la ecuacion se reduce a

x2 + y2 = r2.

Si ademas r = 1, la circunferencia se conoce como circunferencia unitaria.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 33 / 1

Page 103: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) yradio 3.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 1

Page 104: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) yradio 3.

(x + 2)2 + (y − 4)2 = 32

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 1

Page 105: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) yradio 3.

(x + 2)2 + (y − 4)2 = 32

x2 + 4x + 4 + y2 − 8y + 16 = 9

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 1

Page 106: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) yradio 3.

(x + 2)2 + (y − 4)2 = 32

x2 + 4x + 4 + y2 − 8y + 16 = 9

x2 + 4x + y2 − 8y + 11 = 0.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 1

Page 107: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Encontrar la ecuacion de la circunferencia que tiene centro en (−2, 4) yradio 3.

(x + 2)2 + (y − 4)2 = 32

x2 + 4x + 4 + y2 − 8y + 16 = 9

x2 + 4x + y2 − 8y + 11 = 0.

Dada esta ecuacion, ¿como encontramos el centro y el radio?

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 34 / 1

Page 108: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Completamos el cuadrado, ası:

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Page 109: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Completamos el cuadrado, ası:

x2 + 4x + y2 − 8y + 11 = 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 35 / 1

Page 110: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Completamos el cuadrado, ası:

x2 + 4x + y2 − 8y + 11 = 0

x2 + 4x + y2 − 8y = −11

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 35 / 1

Page 111: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Completamos el cuadrado, ası:

x2 + 4x + y2 − 8y + 11 = 0

x2 + 4x + 4 + y2 − 8y = −11 + 4

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 35 / 1

Page 112: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Completamos el cuadrado, ası:

x2 + 4x + y2 − 8y + 11 = 0

x2 + 4x + 4 + y2 − 8y + 16 = −11 + 4 + 16

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 35 / 1

Page 113: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Ejemplo

Completamos el cuadrado, ası:

x2 + 4x + y2 − 8y + 11 = 0

x2 + 4x + 4 + y2 − 8y + 16 = −11 + 4 + 16

(x + 2)2 + (y − 4)2 = 9

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 35 / 1

Page 114: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 36 / 1

Page 115: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.

x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 36 / 1

Page 116: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.

x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0

x2 − 6x + y2 + 4y = −12

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 36 / 1

Page 117: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.

x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0

x2 − 6x + 9 + y2 + 4y = −12 + 9

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 36 / 1

Page 118: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.

x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0

x2 − 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = −12 + 9 + 4

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 36 / 1

Page 119: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.

x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0

x2 − 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = −12 + 9 + 4

(x − 3)2 + (y + 2)2 = 1

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 36 / 1

Page 120: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

Encontrar el centro y el radio de x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0.

x2 + y2 − 6x + 4y + 12 = 0

x2 − 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = −12 + 9 + 4

(x − 3)2 + (y + 2)2 = 1

Esta circunferencia tiene centro en (3,−2) y radio 1.

Universidad Nacional de Colombia Matematicas Basicas Plano Cartesiano, Rectas y Circunferencia 36 / 1

Page 121: Autoras: Jeanneth Galeano Pen˜aloza Margarita Ospina

Ecuacion cartesiana de la circunferencia

¿Toda ecuacion del tipo x2 + y2 + ax + by + c = 0 representa unacircunferencia?

x2 + y2 + 2x − 6y + 15 = 0

x2 + y2 + 2x − 6y + 10 = 0.

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